Некоторые вопросы аппроксимации непрерывных функций гармоническими тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Сливняк И.М.

• Сливняк И.М.
• 1949

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы аппроксимации непрерывных функций гармоническими»

Настоящая работа- посвящена некоторым вопросам,связанным -с проблемой равномерной аппроксимации непрерывных на замкнутом гшозкес.тве & ~ Ъ — плоскости- функций 2(Ъ) аналитическими на & санкциями. • •

- . Нас интересуют условия, характеризующие множества, на которых любая непрерывная функция шэкет быть равномерно аппроксимирована аналитическими; в дальнейшем4 та~^ . -кие 'множества будут называться .^-'множествами.

Как показали Гартогс и Розенталь ' V если <£Г имеет плоскую меру нуль,'то/оно является множеством.

В частном .случае, при аппроксимации полиномами, ис х ■ черпывающее решение вопроса содержится в. изве.стной теореме ¿.„Лаврентьева ^2.1 : V множества, на которых любая непрерывная комплексно-значная функция монет быть равномерно ап проке иштро - . вана полиномами от ^ , совпадают с ограниченными, замк?-нутыми, нигде -.не плотными множествами, не разбивающими -• ч ' -. > ' "

ПЛОСКОСТЬ. '.■■./' • ' у . В общем случае такое полное решение вопроса., насколь ко нам известно, не найдено. ■ .

Н.С.ЛандкофДЗ] .получил для о1 — множеств необхо ' ' - ч димые условия, формулируемые в терминах теории потенциа-ла. В/работв проводится исследование этих условий.

Будем в дальнейшем понимать под Д ограниченное, замкнутое, нигде не плотное, множество плоскости. Из соображений, которые станут ясными .в §1, диаметр. пред полагается .¿й ч.

Пусть С г ~ л-инёйное нормированное пространство вещественных, непрерывных на функций'?^)о нормой

Ц ^ - вещественная линейная оболочка- гармонических на функции-( ~—> у \ £ & ) ' '

- вещественная линейная оболочка функций > ^ &

- ' 12- V

Условимся называть^ у—мужеством, если систе-г ма^ Ц^ плотна в , и А- множеством,, если система пло,тна в С^ . ^ '

Как известно, любая-аналитическая на ^ функция может". быть "равномерно на - ¿1 . аппроксимирована линейными комбинациями функций -—-—, ^ 5 ^ » Если сч является Д. - множес-твом, "то это хсе -справедливо и для всякой непрерывной на • ¿Ь у функции. Переходя к" вещественным-.настям/ видим, что Д является у— множеством. Таким образом, класс ■ множеств содержится в классе множеств. Вопрос о 'во впадении- этих классов,- насколько нам известно, не решен,. '■-••".'-. - - - . ,

Класс у— 'множеств содержится в свою очередь в, классе ^ лшоже'ств, так как система плотна в И^ ч в метрике" С £ ■ ), Таким образом,:; если понимать под Е^ классы соответственно о^у- и множеств, то - > ; . : V ; . к множества характеризуются- следующим'Обра

ЗОН, " Г,.:" "'■■.- . " - -■". -У .'"'

1 Как-'известно, всякий линейный, функццонал^ опреде-■'ленный на С| , предс тавим в виде: ,'где вещественная, • впеане аддитивная функция- множества, •

Если система «е плотна в и^. , то найдется, такая функция лл ■ -,.что ' о- , в. то- время как"

1 /f-t) Ф-о; ^ Цг) е С^ .

4T

Таким, образом, если (s¿. не является X— множеством, то на существует распределение не нулевых масо y-v , логарифмический потенциал которого равен нулю вне ¿ ¿наоборот, если'На Jl существует .распределение масс с потенциалом, равным нулю вне <f¿ - то не может быть А-множеством. .

Перейдем к характеристике у—-множеств. Это" те Á — множества, на которых система плотна-в oi^ . Выяс ним условия,- при которых'последнее чшеет место.

Если система' Ц^ не плотна- в аб-jjr найдется \ такая функция jj< ,-■ что , причем хотя бы в одной точке \ £ Л

Из следует: f I ;

Интегрируем- по '^ : - C©/v\Át при-^'G^ то-есть { ^ - С • при ^ 6:.G-¡.

Таким образом,- если система ^ не плотна в ,то на

-(¿ существует такое распределение масс, потенциал кото-' poro постоянен во всех пустотах С^. ; наоборот, если на - можно/ построить потенциал, постоянный в пустотах, то -система

• не '.плотна -в of-^ . ' , . . ,

Таким образом, необходимое условие принадлежности • к множествам заключается в невозможности. построе—

Дополнение к ■• ^ состоит- из конечной или счетной" со- . вокупности связных открытых множеств - пустот, -которые мы ;' будем обозначать через «В данном случае интегрирование производится в. пределах, каждой пустоты. ния на ¿Z- потенциала, постоянного в пустотах» Это условие является и достаточным, так как оно обеспечивает при~ надлежуость ^ к X— множествам*

•■ ' . Итак, класс Е ^ характеризуется невозможностью построения потенциала, постоянного в пустотах; класс ~ невозможностью построения потенциала,, равного в пустотах нулю. •»

Структура У— множеств просто описывается в терминах иррегулярных- точек: это те и только те множества, ко торые не имеют:иррегулярных точек относительно своего до

Ч ' полиения ( см. §1). Для V- множеств аналогичной характеристики, насколько нам известно, не найдено. Но для изучения <Л— мнонеств представляют интерес именно множества. Это следует из соотношения с ^Х »а такзке из необходимости обеспечить однозначность аппроксимирую-' щих функций- при переходе в комплексную область (что.невозможно при аппроксимации логарифмами).

Поэтому важно выяснить структуру множеств. • л

ЙаС» AciH^VSOipФЫсЛгл^лл* что клас сы Л- и у- множеств совпадают. Это кажется вероятным из следующее соображений. Ысли на нельзя построить

• ^ I потенциал,./-равный.'нулю в .пустотах, то для . справедлив ■ ' - ' ' ! ва теорема единственности (.см.^1) : распределение масс на: однозначно определяется заданием потенциала этих | масс вне ¿t' • . Но' б "классической. теории потенциала массы определяются-не значениями самого .потенциала, а значе-' ниями его производной. Поэтому в теореме единственности кажется существенным не то обстоятел вство,. что потенциал

• V. ' . в" пустотах равен нулю, а 'то, что .он там -постоянен* Это приводит к. мысли, что на множестве ■ . для которого справедлива теорема единственности,, нельзя построить потенциал, порождаемый:,не^нулевыми массами, лежащими на- Ж , и постоянный в пустотах, дополнительных к. " . А это," в свою очередь, означает., что всякое Х- множество является ,многкес,твоиг-

Однако-, сделанное предположение неверно. Б ■ §§'2-4" построено множество , на котором выполняется теорема единственности, 'причем на распределены массы с потенциалом,1 постоянным' в пустотах, дополнительных к . ;Это множество. является Л— ,но не ■ у- множеством. .

• В этом заключается .основной результат работы.Из-■ него следует/ властности, что ,отсутствие у е(Г иррегу- , лярких точек относительно дополнения (смв§1), необходимое для того, чтобы- было4 множеством, не является достаточным, -. ' ■ . • • ' \ Остановимся в заключение на некоторых достаточных условиях,'.относящихся к множествам. Как следует., из результата. Гартогса. и .Розен та л я , если ^ ■ имеет, плоскую меру нуль, оно является мно ,;ж.ее гвом. ■ .

- В работе^Н.С.Ландкофа [V] содержится следующее •

• у достаточное.условие для. у- мнокеств. Назовем замкнутое множество Е .-'.сингулярным, если какдая его точка является предельной для точек, принадлежащих последовательности ■

- -' ' ' Д - ' Ъ? " дополнительных, к Ь . Множество : является множеством,- 'если .оно не, содержит сингулярногр подмножества. л ■В §5 показано, что оба эти условия не-являются необходимыми. А.именио, там дан простой пример сингулярного множества, положительной меры, , являющегося однако. мнохеством, .

В этом-параграфе .мы изложим, некоторые сведения из теории логарифмического потенциала, которые понадобятся нам в дальнейшем. Под. логарифмическим потенциалом, масс Д , расположенных на-ограниченном .множестве Е ,понимается, как обычно, интеграл Стилтьеса: ограниченная^'- . & ■ - ^ где ^(О - вполне;, аддитхтвная (^нкция -множества; определенная", на - Е ' V Логарифмический--и ньютоновский.потенциал имеют между' собой некоторые существенные различия. К ним относится, в "■ . первую очередь/ разный характер интеграла энергии ^м)® 1 ,

В случае ньютоновского потенциала ^(^)>.воегда О , причем равенство достигается, только при/^зО В отличие от 'Этого, в случае логарифмического потенциала величина ^(д) мокет , • иметь любой знак. Существенно -такие различие в поведении основных решений - и^л4г на бесконечности;.

Ч, 'х

В связи с этим, многие, факты теории ньютоновского потенциала не могут быть перенесены без ограничений на лога— / ригами чес кий-; потенциал. 'Таковоу в частности,- определение масс / , ■ по потенциалу: известные теоремы-единственности оказываются верными .только, для иноке от в, у которых константа Робэна отлична .от нуля-у У

В1 в этой предположении^ будет доказана теорема единственности Валае-Пуссена",. полученная им для ньютоновского потенциала.Г^ • . - ' .

Большинство сведений из теории логарифмического-по- -тенциала, излагаемых в п.п; 1.1 ~ '1.4. , содержится у.

Неванлинна (Хч!,^. V . ■ \ '.--.;

1.1. рассмотрим ограниченное замкнутое. мнонествоЕ плоскости.".'Пусть.'О* - связная часть дополнения к Е , содеркащая бесконечно удаленную точку; Р граница От

Если Р •состоит из конечного числа гдадких кривых, N то для области (г существует, функция Грина г^ которая гармонична при-1&±^ имеет логарифмическую особенность 'при = ^ и обращается в .нуль на Р • - ' 4 ' • Положим ^-р® » Функций^Сг^имеет в окрестности своего полюса разложение: ^и^и^^ где1л(^ гармонична в и непрерывна в точке /причем и(о<Л ^ у, гСмысл величины у , называемой константой Робэна множества Е- . ,.-станет ясен, если произвести инверсию •плоскости относительно-единичного круга с центром в начале координат ( начало координат можно считать расположенным внутри Г ). ' •

В результате инверсии бесконечно удаленная точка перейдет в начало координат;- область - в область & , , ограниченную'контуром ^ ;. .функция • в функцию' Грина., с^ о) г А-Ц, , гдеи,^)- гармоническая в функция, принимающая на. Г, значения — =

Константа Робэна у и^Со4). -1.2. Рассмотрим логарифмический потенциал простого слоя, расположенного на ^ : гтг ^ •

Этот потенциал равен У вне ^ и Т-^"^.,00"} в ^ ' • Действительно/ рассмотрим дункцию где^^оо .и^д) Гармонична шэиЪ;Ч,€-0- . По' формуле Гри

В силу Ц,- ' * Отсюда получает

• ся наше утверждение для 2: .;Есл'и к'е ,/то нужно, рассмотреть функцию ^(^Л) ^Зч^ $ ^ , попрежнему гармоничную относительно- V ' в . . \ • ' /

Л ■ " I I "ао (ъ., о«4) \ (.1

Распределение масс, =г -- ——• > 01 М называ

- ■ ■ ¿т7 V «V, ется равновесным. Оно порождает потенциал,' равный единице . О.бщее-количество, масс ^ равно-г- . о"

1.3. Емкостью замкнутого 'множества Е- > называется величи-на . = е .

Емкость - монотонная функция, множества: если Е^эЕ^ то . ■

Емкость круга рагна его радиусу. Действительно,- -пусть ' Г : - круг радиуса 1 с центром в начале координат. В-результате инверсии: получаем круг ^ ; радиуса . Функция и, (с} принимает на ' постоянное значение - . Поэто му, в силу 1 . 1, у - ^ "ТС и ^ • г Емкость отрезка равна четверти, его--длины. . —

Если Е ' - любое замкнутое множество ( не', обязательно с гладкой границей), .то под емкостью Е- .понимается ниж-■ - ' ' ' няя' граница емкостен всех замкнутых множеств,. - содержащих Е, В частности,. Е ' может .иметь 'емкость,., равную нулю. Любое распределение положительных масс на .множестве емкости нуль порождает потенциал, бесконечный- на'этом мно- • жес.тве. Это- свойство, полностью характеризует множества емкости ну л ь.

Как легко проверить/ сумма конечного^ или счетного числа множеств емкости'нуль.- снова множеств© емкости нуль.

Условимся говорить, что какое-либо свойство имеет место ^почти везде, если оно имеет место' везде за возможным ^исключением множества емкости куль» . '

1.4. Для того.,' чтобы получить равновесное распределение на произвольном замкнутом множестве Е ,'ч окружают Е" • последо вательностыо гладких контуров Г- ,' стягивающихся к Г* , строят на каждом контуре П равновесное распределение У^ -и переходят к пределу. В результате по лучаНЙГ некоторое распределение V , расположенное на Г » Потенциал этого рас пределеыия -равен единице почти везде в Е. , за возможным исключением множества граничных точек, принадлежащих Г .

Граничные точки Е -принадлежащие Г , называются -регулярными точками замкнутого множества £ если равно--■ весный потенциал равен в них -единице,1 и иррегулярными - в противном случае»

Регулярность точки - свойство локальное. Этим пользуются при определении регулярности и иррегулярности точек, принадлежащих - остальной части границы Е •» с .

Пусть 9 & Г, Окружим § окружностью . и рассмотрим пересечение . Возьмем настолько малой,' чтобы Я лежала .на внешней границе множества Ь . Точка (5 называется регулярной (иррегулярной)относительно ~ ^ /если она регулярна (иррегулярна) относительно £ Т ; 1 Сфорадируем достаточный критерий регулярности- точки С} £ Ь относительно Е" . ,

Окружим С} семейством концентрических окружностей

Г^ радиусов .с центрами в . Радиусы должны

А • удовлетворять условию: < • < € , где О ¿С* ¿б.с*1 ,

Обозначим через "емкость замкнутой части -множества £г:

I ^ заключенной между окружностями ■ и Р1л . Точка ' С^ регу-лярна относительно Ь если расходится ряд —^—> 1-5^, Этот ряд называется рядом Винера. ' ^

1.6. Многие важные- теоремы теории логарифмического потенц.иа-ла" могут быть получены с помощью процесса выметания, который 'заключается в следующем.

Пусть Е ~'замкнутое ограниченное множество;^ -массы, лежащие вне ЕГ и порождающие потенциал V Фребу-отся распределить на такие массы ^ , потенциал которых совпадал бы с V почти везде на £ '.

Будем понимать под ту пустоту,' дополнительную к Е ,■ в которой лежат массы- с* (можно считать,: что все массы .лежат в одной пустоте). Если содержит бесконечно удаленную точку,' выметание называется внешним;- в противном случае --внутренний«,

Внутреннее- Еыметание всегда осуществимо. При этом массы .у- располагаются на Р^" границе Сг^ > "Потенциал масс ук равен V почти везде вне , за возможным исключением множества иррегулярных точек, принадлежащих Г, . Если/массыО , то и массы , причем общая сумма масс •' • не меняется.

Внешнее выметание не всегда осуществимо. Имеет место теорема: если массы то. существует распределение положительных масс у* на Г^ , потенциал которых- равен ( С\ - постоянная) почти везде вне', .у. за возможным исключением множества иррегулярных точек, принадлежащих П^ . При этом сумма масс ^Ич равна, .сумме масс ' Ы •

Для .того, 'чтобы получить-на ^ распределение, осуществляющее внешнее выметание, -нужно и-з масс ^ вычесть массы- ^Ь С* потенциал которых-равен & на £ . Но это возможно только в том сл^ае/ когда на £ ; существует рав- , новесное распределение ^ . .

В силу 1,2, распределение . N существует в том и только в том случае, если ° . Таким-образом, внешнее вымета— открытое множество, ние выполнимо для ; тех. множеств,- у которых константа'Робзна .отлична от нуля, и только. для них, ' '

Это имеет место, в частности,'' если диаметр В <¿-1» Действительно/ в силу-" 1.1,' граничные, значения функции U,f"E) будут в этом случае > О ,'т.е. y^U,(o)>0, 1.7» Важным .вспомогательным средством в-теории потенциала ■ является закон взаимности,^ представляющий собой следствие теоремы Фубини.

Пусть — распределения-масс на ограниченном замкнутом ^множестве., ^ ; V U - соответствующие потенциалы-. ч

Тог'-дау если один из интегралов i Uc?i d [ Velu существует,

В Е v то, существует и- дтзугой, причем ( UcU ■= \ VoU

- г н ' •

1.8. Нашей целью'является доказательство теоремы единственности Валле-Пуссена. Для этого, докаяаы^ некоторые вспомогательные предложения.

Теорема 1. Если потенциал' U масс jM равен нулю почти везде на- плоскости, ' то массы ^лв О . г .

Дока за тельство, Рассмотрим любое .односвязное замкнутое мнб- ' жество É" диаметра и докажем/ чтоуиГЕ^—О, Пусть и . V* - равновесные-распределение и потенци ал множества Е , ^ - граница H . • . у- . ,

Зафиксируем! i и обозначим через ^ линию уровня потенциала , соответствующую .значению ■ .

Выметем массы N с ^ на Г^ (, внутреннее, выметание) Поучим распределение V, 0 потенци алом" V, . Суммарный потенциал,^-'^"; равен .1 • на Е. и нулю'- на и-вне . N

4. I между. ? и Vt По закрну взаимности ^ s i'Uûiv.-i Uoîvt ^ . где - внутренность кривой -V^ . * ' . но [(ъ-и-;Wи^ \cv-v-oty* S I где \е и^- = .

I I у у ■ ** Р Р

С ] ЦсЦ = 0 \ - £ р ■ ^

Действительно,"-множества емкости нуль не несут на себе масс ^ ^ ( так как .потенциалы -конечны),ч -а по уел почти везде Ц = О. \

Далее/ в силу .ограниченности масс улл и ( о . . • а ' .■-"'.

ОВИЮ I

Таким образом," и [£ ) = О .

Теорема 2. Пусть с - .замкнутое множество с константой Робзна,. отличной от нуля; . - распределение масс на Ё ;

1Л - потенциал этого распределения. Если потенциал Ы задан почти везде на-£, и иррегулярные точки' В . не несут масс, то массы ^ Л. однозначно ''определены. Д о ка з а те л ьс т во. I Мы-докажем,; что потенциал. ■ и однозначно определен везде вне . Отсюда, в силу теоремы 1,-,будет следовать:.едияетвенноотв распределения' ^ •

Для доказательства зафиксируем.какую-нибудь точку Р вне " Е . , поместим в -нее единичную массу и выметем4эту массу на- Е .Выметание осуществимо,так как константа Робэна множества -Е некравна нулю. В результате,выметания получим распределение- . на ^ .- внешней границе Е .Рас-смотрим суммарный- потенциал единичной массы в Р ' и распределения . на .Г1 . Эт.о есть не что иное,йак

Г ' '

-функция Грина

• Допустим,.! что распределение " ^ ■ не единственное- , 1 Ф

Тогда существует; другое распределение, пот-енциал-ко- ■ торого /.совпадает с. и.-- - почти везде на , Е .

Применим ;з.акон взаимности-к потенциалам-'^ -и г / / . г - - \ ••

0 ■ . так как . У^с О • поч.ти везде на с . у за возшжным. -исключением множества иррегулярных точек, которое по условию- не несет масс лд, ц » .- ^(и-и^Д 0' , так как Ц^и, - почти везде на

V. .^ • ■. V ; "■ Ч Ч

Таким образом,и(Р)- и^ СРУ что и. требов.алось 'доказать. : Теорема .3. Пусть Б -. - замкнутое множество с константой.

• -Роб она, отличной, от нуля; Р " • - регулярная точка ^Е ; 1

Ад . - потенциал масс ' , равных нулю на иррегулярных, •точках множества - Е ( в.'остальном массы' никак, не связана.-с . . Е • -). Если ,* .т.о : значения, потенциала .

- . ^ 'почти*везде, на Н однозначно определяют его в •

• ." ■' р — ' V' точке \ . . *" - . ' . ■ ' .

Доказательство. ¡Обозначим через, ^д, : и .массы ,лежащие соответственно на . •и вне' Ь через- и потенциалы этих;масс.- 4 - . Выметем массы иг на, Ь: -лполучим .распределение ^Ц^ с потенциалом Ц|, ¡- :„■ Суммарный потенциал Ц.-^и'- . масс . - • . . у г. совпадает а г '. почти.-везде'- на "Е .В частности,' так'как. Р. . 4 .регулярная точка Т.в). • . . '

В силу теоремы.2У значения - . почти везде на Е . ; " од'но.зне.чно определяют массы . З.ти массыв- свою, о.че

• рсдь, определяют на .всей плоскости потенциал ' , •

Властности,' значение (Р ) г ^(рУ однозначно определено ,„ что и требовалось доказать. 1.9. В . тёор'.ем.е единственности Балл е~Пу селена, --.'ц-' доказатель- . ■ству которой"-мы'|переходим, используется, понятие регулярности-Теорема 3 может : быть-дока-зана при более'-общих предположениях. точки . относительно .открытого множества;

Будем понимать .'под .ограниченное' открытое мно-. же.стЕО с границей П' •., Д'очка'Ре Р.' называется* регулярной ' ^ относительно , если существует, такое замкнутое -множество ЕГС.Х!."*"Р^-Е , относительно'которого Р" . ре гулярна. В противном .случаел Р иррегулярна относительно у,-;-'- ~ . . ' . * ■ ' Предположим, что--константа Робэна замкнутого множества.'-Л.+.Р - .^отлична от. нуля, -и рассмотрим ' како.е-ни-будь распределение, масс у* на Г с потенциалом 1Л . Теорема единственности 'Балл ё-Пуссена:1- распределение 'у. однозначно определяется значениями - 1А , почти везде на если , множество- Г- ; не-, содержит ■ трлек, иррегулярных' относи т ельно .5*2. .''. -- '■' Доказательство.-. Пусть'. Р ; - точка *Р , в которой 1д(р)гсо. и Е^С Л+? . - -.то замкнутое множество,, относительно: кото-рого . Р > регулярна. Потенциал (Л ■ задан почти везде на 'Ь и конечен ,в .V? .'В силу, теоремы он однозначно . определен' в ■ точке-- Р Тем самым потенциал, Ц определен почти-везде на, Р ■ , так как почти везде на Р он конечен (последнее легко .получить из ограниченности масс ^ -■.пользуясь ¿законом взаимности). . .

Итак, , потенциал -Ц ■ ' известен почти везде^на Л.4-Г, Замкнутое. множество не имеет иррегулярных точек,, и . его константа Робэна - отлична- от. нуля. Таким- образом, применима теорема 2--,. и:массы и ''однозначно определены. --

1.10. Можно показать,- что теорема единственности нарушается, если Г содержит хотя бы одну то.чку,. иррегулярную -от-' ' носи тел ьно^ . ' ■ '"" " .'.•''." "Поэтому условия, 'наложенные на--Д. В' 1.9 являются ¿с^елл ТъЧЛМХ РбГ р-елл^ий^^А; О^О^ДЫ^Чд Л "ГО ©Ллхч.

-Л. 4 Г

- TG не только'/достаточными /, но и необходимыми для. выполнения• теоремы единственности.'*."

Постановка, задачи» Построить такое ограниченное, замкнутое , нигде -не. плотное множество.! \ и- распределить на • нем конечные массы таким образом, чтобы:а) логарифмический потенциал этих масс был постоянен во -всех пустотах ,:ззз$яакрк допояшпшажвик множеству ; б) все точки кножеотва -. & * были регулярны относительно дополнения-«

1,-1» Условимся .в обозначениях,- Будем понимать под Л< " ■, *. замкнутое кольцо , ограниченное концентрическими^, окрук- . ностями ; и С." радиусов V: -„и Ч'-^1 ^'МО с центром -в О ; под \с ^ . - внутренний открытый круг ,кольца ■ под к." - замкнутый круг , ограниченный окружностью С Далее, поди будем понимать соответственно массы, расположенные на- окружностях . С ' и • С ' кольца' ^ ' ,■ и .•>' полную вариацию этих масс, означает суммарный потенциал масо

V*. И

1,2. Рассмотрим кольцо - .- с центром в • О , которое будем в дальнейшем .называть- кольцом нулевого -порядка« Распре Г массы . и ., потенциал коделим на торых и^г1} равен'.единице в ^С^ и. нулю - вне -У:0' » Это V делается элементарно. * • - ■

1.3. Поместим строго, внутри. кольцо VIу с центром в О, которое назовем кольцом первого порядка,- Согласно лемме 1.7, на окружностях кольца \< у можно - распределить такие массы Уу*^ и потенциал которыхАа^ (.9) . равен-ис(?Нио(о^в V} -и нулю - вне .При этом ;• » еличина полная вариация масс, помещенных на окружностях кольца Ve — пропорциональна' отношению радиусов -Нг кольца VCv . Потенциал \а0+Ла, маосрасположенных» на окружное-тях колец ;WC и , постоянен, в VcJ: и и равен нулю вне V;. . ■ •

1^4. Докроем кольцо V< „ всюду плотный иножеством попарно непересекающихся KpyroB.{WN| (v^w-Y» лежащих строго внутрйк, Каждому Kipyry Vc^ сортветствует кольцо -первого порядкакг« на окружностях которого; согласно лемме Zcfi помещены4массы.

При этом отношения должны убывать настолько быстро ^ -" , ' ^ . - / - ' чтобы ряд^-.'Ул», ■ сходился. ■ . . • буммарный потенциал масс, раоположенных на окружностях построенных колец., постоянен в кругах VsoyVcV^iAV---)'1? /равен .нулю^вне »

Каждое кольцо-первого порядка ^покрываем/всюду плотным множеством попарно непересекающихся кругов лежащих строго- внутри- -Vc^ # Этим кругам соответствуют-коль ца УГц , . которые мы назовем кольцами второго порядка. *.

На окружное тях кольца Vc^^^- (с цен тром в ) располагаем ^согласно лемме. 1.7 массы У^'у,1у4г , поаенциал кото-piacU^?) * k^ и нулю. вне

При: этом нужно обеспечить сходимость ряда"]Гпл .

Суммарный потенциал (?) . постоя

• . 1 ' 14 нен в. кругах V- V и равен нулю

Бне Wj . . г.6. Продолжая конструкцию* мы будем последовательно получать кольца третьего, четвертого и высших порядков и.придем в результате kjзамкну тому нигде не плотному множеству

- :1Э . . . . . V*! > Ь - ' 1*1. • - . . . .; •

Л , ' На. этом.: мкохествё расположёны массы ^'-ГчлГ.упг. уу? • ' ~ . V- О, .У ;-.У.-- *• ••• . ' - > п>) "«"о---')

-Л. ряд;''полных -вариаций которых должен сходиться:. ; у V

V -.:. - у - ' - г ■ л /уу" ■ .-;■■.- у--у;:.у\

Суммарныйгпот.енциа'л этих .масс ••

-; '■■.'■ /л -У--. -у'- .-■■. .V ■■.-. • '»V • ' • • . • - .

• •• постоянен ,во всех -кругахЛС " и равен нулю вне. •.• # . > '•• Г : - При этом конструкция должна быть проведена таюшуобра . зо м, -чтобы, все точки -множества ■<& у оказались регулярнымиуу, .-т-«е«г .¿чтобы .каждая,.точка €ш ;бШ1а./предельной ^для :до.статочно плотно^) . .'. .' '\У •'.''• ' у. У' ' ц а цп о л последовательности: пустот "'У.

• у • : г» 7. Ра с с мо.т'рим ко л ьцо центром/:в начале. коорди-' уг кат и вспомогательную окружнрсть .С,-1 ^радугутакже- •' ' су-центром - в начале координат,- Внутри С'', задана гармоничес* у- кая ' функцияис*,^),< .непрерывная з - замкнутом'круге.; ; .; у. 'л- " Лемма: существует .распределение ,веществённыхмасс на ; с •• " сГнепрерывной пло.ткостью^иД^)- ) -и на X". • (е.непрерывной Л . • - плотнос^'логарифмический-. потенциал которого равен - й (.о-о У у внутри. С '.,.-. к нулю в не. С;' "■'.-• т 4 ■ пр ич ем ; по лная- ;ва- риация/. этих, масс уУН - д> +.ЙЛ^СЛау где ■ ' и . . г : ' Г у - - Дока зательствоу ;ДополнимиС^У-в С'-'11 до/ аналитической ; функции.: где.хгС^-о . : ч- • "У'';' :"- ^ 'у

7 ' Ж ^ , " ' 7 л. -у" У

Требуется 'решать; систему, -уравнений ; Г - ' [ О, Т: ^ С относительно. вещественных функций Ф, 1ц). и ^Лч) '• У Пусть И: ' - внутри С.1 • .• Тогда с' ' ' ^ гтг . гтт - Ю

Аналогично при вне С' получаем: • . • , функция.^('^раскладывается внутри С" в степенной:

В оилу .(1) = (\<-^"Ц---) . . .

-.""-в - силу (2) О С так как и Ф^-.О-и. )•

Отсюда -О ; : .где^^-,

С. другой стороны,.Ас*и -Цр ; ■ - где Г^ Г . . • .; .

Таким образом,\(М< ¿Ллск ' и \£,, I.ч

4 (так как д.' 7 1

• полагаем 21. + л") И ■}

• эти ряды, сходятся-абсолютно и равномерно. Таким, образом, нкцИИ^и, ((5) .И (и?) непрерывны. Они. удовлетворяют уравнени- . ям (1) и (2), так как - ^^¿(ч)-^ ~0 • ' " г

1. С' : ■ ' ' С" ' - '■'■.'■ го м^.величина вещественной .постоянной.^с нао не интересует. Ветви логарифмов выбираются, определенный - безразлично, каким - способом»

- - г*

Переходим :ог К : к (Л : И Л ^Сс-о) 1+- -1)01'

5аки мо бра зон, Уу\<7. ьОч с£ *.

Введем обозначения: £ = Ц-^к^; и т.д.; >

Очевидно,* . &

В § 3 мы построим систему[Х^ колец первого поряд-ка и проверим конечность масс ^расположенных согласно §1. ■ - \ •• на'окружностях этих колец,-и регулярность точек множества относительно совокупности пустот^\с^у • ( Эти точки тем более будут регулярны относительно совокупности всех пустот, дополнительных к множеству . ¿V ).

3,1, Поместим полюс полярной системы координат в центр кольца У? 0 и зафиксируем направление поляной оси. Будем называть двоично рациональными точками кольца точки,' полярные координаты которых имеют вид:.

С ъ

Установим" порядок нумерации этих точек. означает пересечение множеству конечность масс означает конечность их полной вариации.

Сперва нумеруем

- координаты,

ГУ I

L Cl L 'L.

8 4 9 2

S"

Делим интервал(^о-)' пополам -^получаем одну точку • первого ранга затем делим каждый полученный интерн вал онова пополам - получаем-две точки второго Р- ранга^т после этого получаем четыре точки.третьего

- ранга и т.д. Y\ -му ' о-рангу принадлежит 1 точек; общее количество точек, о - ранг которых: é v\ у есть причем совокупность этих точек- делит интервал (ЧЛо ^ на промежутки длиной каждый. Нумеруем точки в порядке их получения ( окажем - слева направо). Аналогично-поступаем и с ин-тервалом.(от2гГ) .

Точки^^унумеруем,- как указано в таблице. \

В результате получаем последовательность [Ppi] точек кольца \<0 jr ранг и /ч^- ранг точки éYV , то Мгм? . .

К ч. Р, R Рг к'

Рч Рз Я, ч\ Ро Pv р.,

Pis-" Р,ч

ЕслиЯ

3.2, Каждой точке - сопоставим индивидуальную последовательность^1^ j колец первого порядка.

- Для этого проведем прямую С .( О ' - центр -<с ) и семейство концентрических окружностей с центром в :Р .'• радиусов •» Обозначим через •• -и '.Н ¡/-'точки переселения Г. с т^О. 35 •• Посредине отрезка^.^П. помещаем центр кольца. еношний радиус, которого ~ в/На отрезке^.;^ ■ делаем то же самое. В результате получаем последовательность колец|Кя|. , сходяп^ю.ся. с обеих сторон к точке С каждому номеру I 'соответствует, два- кольца). £се: эти кольца, начиная с некоторого, номера л^ ,лежат внутри V, о 9 и. на них , согласно 1.4 * должны быть помещены массы. .

• . ее ' '

- По требуем,-" чтобы < ^ , где. уа . - полная- ва- •

• ' - " ~ . , гу риация массу расположенных на ок^жностях кольца К,- .Для этого-полагаем * -—~ Это -условие определяет величину , ■ гЛ• " ; -- - - ^ внутреннего- радиуса - кольца . ■ ч ' ■ В силу леммы г.,7 , * С*. Щ- = ~ £.Уу, < / гп , так как (ом. г>2). ° у* . ° . ' ■ •■,- " ^ ' Из условия г находим: =„ . • ^ л/г. г1** ^ ^ ¿гем«;. , .

3.3в Из последовательностей $ . . ' »опреде | ) ^ I. .) - ' V. ленных в 3.2 - й будет построена система колец первого по~

-л)' " " ' ' " '' у '' рядка. •> . - ,

-Тем самым^ сходимость ряда обеспечена:^**.,--«-±.

Точки Я.ч . . . ' ''} предельные для этих последовательностей,

- Еойдут в . Проверим регулярность каждой такой точки.

-йцкуятаяташ^^лы— Для доказательства регулярности точотносительно дополнения к . достаточно указать. Заметим, что .совокупность ном.еровН^ц., использованных при построении,-будет образовывать значительные пропуски в натуральном ряде-. хотя бы одну последовательность кругов^.1 ' , сходящуюся к О относительно которой С^ регулярна, .".-.

Положим для каждой точки

П-О- -1 ■ <1 - -У; с ' ""' ' ;

1 . ■ NX < 2.г"Л '' ' • ' / ■ - ' ■' ■' ■ 5 ^ ■ " ~

С мы учитываем пустоты из, последовательности колец | соответствующей данной4точке ).

Ряд Зинера^Ц:——" -^Г" - — расходится. Проверка регулярности' других точек множества • значит ельно труднее. Ей посвящена остальная часть .ЭТОГО параграфа. ; , "V''' V' .■ ' / Л . ''■.':' ' " Переходим к.^конструкции- системы колец, первого порядка,

В к.о- ' ■■"■.4 •.- --ч^/' ' -' - ^ г: . - ■ ''.■'.

Кольцо '• покрыто сеткой. окружностей- лу- ' чей. При э-том двоично/рациональные окружности и лучи разбиты соответственно на ^ и ; . --.ранги и перенумерованы (3.1). Интервал. (^-Л.«'). условимся называть основным.'

И мй

Делим основной интервал пополам,- получаем точку .Устреь ляем к точке 9, о обеих сторон последовательность, точек удаленных от. О .' . ,нач ¿ Обозначаем через .»3-, - отре

- ;:■;'• ■'■'-/ • - - О I ' * . , • " •" '' ■ ' ' ' ' ' зок длины • с концамиП-, М- и через' Л. - - отрезок длины ■ О ^ ■' . ■ . .-. . ; - • . .- ■ . с с : ■ - ' • . - - н'л. т-^р" , расположенный сившетрично относительно .середины о^ . .

Переходя от 'основного интервала- к кольцу, 1<Г0 V ,"Х.е. заменяя отрезки $ •'-V?' соответствующими круговыми полосами, по луч а- . ем последовательность круговых полос О- /покрывающую во< покрывающую веек!.

- гг исключая р ^. окружность р /с. )¿у¿причем в' каждой-^-.^ - - ■ содержится круговая полоса «у*- . с 7

-"• •'.'•' Рассмотрим-':точку-:, лежалою;йна.;пёреоечении окЦ: ■ • ружности. .'^.--'¿с^лулго*»; .из ♦¿•Ус гремим к ней^; соглаоно З«2 . , последовательность, колец .Эти кольца будут- -иметь центры на рассматриваемом: луче /й точно' впишутся в ПОЛОСЫ .- »•.;

- Затем, рассмотрим -тонки г? о координатой ^ '. - ,ле~ жащие на лучах; из. Ос. .-»¿ Каждой-'из :н их/подобно предыду-• щему, сопоставляем последователыю сть "колец - N ■ -./-'— : у номер/данной -точки .? л ■ в поеледовате льн:ооти|} ••)• При:. . ; • этом кольцрр^Г1'.-^^ точн6""вписываетоя в- полосу; .• п. Не будем' гов орить, !что .оно принадлежит- полосе .•♦-•;Диаме'тры-' ; -колец4. ^С ■ упринадлежащихполосе. ^^ ;. ,' -равны ширине этой.'„ -'■-ПОЛОСЫ у : ,, - ^ . ■'"'-''- '■ .'.';Л 'ч'"' 'V .'.'' V

-: • При построении последовательностей должно ' выполни ться-условие;- (-1) •:' расстояние между центрами сооед'г» г, ^ н их ^ К о л е -прин аДгЛезках^и-х - полосе ,ч считаемое по средт ней окружности полосы, должно превышать ■,/;Л:-'''Если дл^ какого-нибудь кольца условие (Г) •нару-. шается,- .то/.мычэто -.кольцо- пропускаем. Кольца , о данным -номером С-.' -будут пропущены или оставлены одновременно •, '. . ! для всех лучейГ рассматриваемого ■ ^ ранга»: - - • , ' : Построив последовательности^?^ на .лучах из ,

••.-• переходим к лучам; из 'затем - к лучам из ■ и. т.д.

При этом/ согласно условию. (I) поел едо вательно.сти .с возрастанием- -г-ранга • начинаются с.о вое /больших;' с . В результате будут охвачены все двоично рациональные точ- .'',' . ки кольца 0 1 • а./ ^ . координатой, .о , • , причем номер, V , : с. которого начинается последовательность | ■ооответству

- г б

V ' Л\> - ющая данной:.точке Р^ определяется только- ранг

ГО.М ТОЧКИ -Р^ . .'.'Л.- V-'

Ита* • кольцо АСо -покрыто круговыми полосами 3-}'. - г кажт- ' ■ С 1 ■■■■.- ' ■■■■■'^ ' . : ■ ■■■ ' - ' '-'■■■ дая ь>.{ содержит лолосу--Лч упокрытуюпринадлежащими /: ' ' • ^ " \ ■ N ■ • ' ' ■■ - ■■ ей кольцами К". -'; расстояние между центрами/соседних' ко ' лец, принадлежащих полосе , заключено мекду-2о/с кМс!^ : , ■"' ' ' •" ■"■/'г-'' .■'.'■■,"'• .',., ' оно одно и. то .же'на всем-протяжении ), : ;

3,5« Зафиксируем-какой-нибудь отрезок; ^.^ -.-основного ин-( тервала» Будем различать в-нем три части; ^ ± ' ' 1 т : ^ 1 --:-— Г Ж

4-1=1 рассмотрим любую из.крайних, - скажем г ;■: ;'/\. Провод им для р • ту же конструкцию,, что : и для ос- . но'вного интервала. А: именно- : делим. \ пополам -. по—; лучаем точ^у ; -устремляем -к ней последовательна ать ■ о трезков и- Л?- ; переходя к -кольцу/ 'К0 ^^получа-. ем/со вркугшост.ь полос ^ , 'покрывающих, /рассматриваемую;- част ь пол осы -ьУ; -причем. каждая.-.м ■ •-. содержи тполосу . . Продолжая 'ко норукщш. аналогично. 3,4'/ , покрываем ' полосы ^Т'.,--/принадлежащими '.им- кольцами, первого порядка и ^охватываем •.таким.'образом:-:все" точки,, с' координатои , о;л *«• То' же. построение: повторяем для^ отрезка. ^ п ./.,-- Описанный выше/процесс-- производится для гвсех /-. отрезков пот.ом вообще- для. всех- отрезков у получаемых при построении«-. В результате: кольцо- ^ цокрк-' вается всюду плотным множеством круговых поло о ■ у ,.каж-. - дая из .которых" лакит внутри /соответствующей<• полосы '¿г*, и

-V

V 1. ч

- г»- "Г. Т — ; - . 9 у' ' •• ' покрыта принадлежащими, ей. кольцами первого порядка,.

3,в. Зафиксируем какой-нибудь, отрезок основного .;ин- тервала. Разобьем Л* на левую половину Л'Г- - и правую половину Л .Г'« Рассмотрим любую из них, скажем ; ЛГ # Про— делаем для Л? то же построение , какое было произведено ' в 3.4 - 3.5 • для основного интервала, В результате круговая полоса покроется всюду плотным множеством поло о

- , каждая из которых - лежи® внутри соответствующей по

- ' .• \ г--'"' ■ у " ■' V' " . " ' • лосы- ,о и покрыта принадлежащими ей кольцами первого порядка,;-, .г.,.".' ч ',\-;.г.

Для дальн ейше г?о введем не кото рыв опр ед ел ения »• Пусть кольцо ^ принадлежит; полосе Назовем круг

Лс" , соответствующий этому кольцу, пересекающий-кругом . по отношению ко всякой или Д- полосе, лежащей внутт . ри ^ .у • л'; ^ ■ ; ;., ."■

Проведем через, центр какого-нибудь кольца ЛС^ принад- -. ■ ' ' А (V * , . I N лежащего полосе ^ луч, Цудем. понимать под- ' отрезок этого луча, заключенный внутри соответствующей с' * • ■ - . ;■■'. , ■ полосы м ■•• .-ч ■ •• '

Зафиксируем теперь одну из-'полос ^ , построенных . . внутри ^^ # Рассмотрим принадлежащие. Д кольца \< ,

Покрыта", разумеемся,х не сплошь,а с учетом условия (I)«

Ух

Удалим сперва из конструкции все "кольца Л<" -у которых соответствующие .отрезки Ь имеют общие точки о Округами, пересекающими полосу . В'результате кольца, принад-* лежащие полосе ^ , разобьются на группы, заключенные между пересекающими кругами» Затем из каждой такой группы удалим крайние кольца. . .

Эту операцию проделаем со всеми полосами , построенными в . . . •

Процесс, описанный в 3.6. повторяем для отрезка^ 5 , затем - для -всех отрезков -. •,• полученных в . а потом - для всех вообще отрезков Л , получаемых при.!построе< нии. в результате кольцо: К0 покрывается всюду плотным множеством колец%первого порядка. 1

3.?. Рассмотрим какую-нибудь полосу .• В этом индекс ^ означает, что является последней в ряду . вложенных полос Л^^р . .■.ъ ^^ где между и " .содержится никакой полосы ^ . / 4 'Совокупность -кругов\£^. , принадлежащих ^ ^ ■. и пересекающих -^уч » складывается из кругов,1 принадлежащих всем полосам . Л ^ .■ \

Всякий луч пересекается в пределах полосы

- ' ' ■ ' ' ' С"-*

- „ не более чем, о дням из кругов ЛСП . Приэто следует . из 3.6. При- применяем индукцию.

Зафиксируем точку^«^ , не -принадлежаг^гю ни одному из кругов К" Пусть ;и ^ означают луч ■ и окружность, проходящие через О, . На луче можно указать, направление,* двигаясь в. котором от точки Ц . мы не встретим в пределах ни одного из кругов Ус" . .

Назовем это направление, положител ьным;. V 1

А - - 29 - л - - ■ ■■■ : л . ■ Ч Обозначим через ■ А (^ криволинейный .прямоуголь- -ник с вершиной в - Q. - , одной из сторон которого служит отрезок луча Лл ^ , а другой дуга окружности Г^ . Лемма: каково бы ни было положение. точки , лежащей вне., кругов W" у всегда существует прямоугольник Л'^ ; , . не пересекающийся.ни с одним из кругов W • и лтростира— шщийся по лучу • U^ в 'положительном- направлении рт"-точ~ ч ки Q до границы > $^ и по средней окружности - -на , где oiy, ширина Л ^ • :

- - • .Дейс твительноув силу- 3,4^. расстояние . между двумя соседними кругами, принадлежащими .,. считаемое по средней- окружности •; -./-^/d h * В' силу ,3.6 : то# же справедливо'и для расстояния между кругом/ принадлежащим ' Л , и' кругом, пересекающим ^ • Таким образом, если провести - с подходящей стороны от L ^ -. бли-жайшИй к. L § • - луч,'-имеющий .общие- точки- с каким-ни будь \<-м , -то расстояние, между -этими лучами , считае-г . .f.,,. . . . . . . ^ j . ■ моё: по. средней, .окружности - w . .,■ "5- ^ , Это й доказывает лемму .-. . ". . ,

3,8. рассмотрим какую-нибудь из последовательностей; j", входящих в ,насу конструкцию (3.2) . . Демма: если' .поел едов а те л ьно с ть .[VC^ j -начинается, .о .номера , , то ранг- точкии- ^ранг?^ ■ .•

Доказ ательство. .Кольцо принадлежит полосе Л ши

- - q " * рины —г-г- (Зу2) v.Расстояние между центрами соседних ко ■■■ • ' . " . :v-r о ■ / ец , принадлежащих, этой полосе f- должно быт*.■>•■'■

Пусть центр V - ' лежит на. луче из ¿R. • Достаточно. показать, что < —-у т. е. что "TT-l^ % или ,д . г^4 г} - - -и << . Но это так* ибо Ч^ £. 'h- (г. П. ' т ■ - ^ - . ' о Переходим к • рангу • j — ранг точки TN определяется на основном интервале тем отрезком, который N она при построении 3.4 — Э«6 делит пополам :.-если полого ' ■ '' 0 вина длины ^этого отрезка еоть ■ ,- то ранг г^, равен . Для-доказательства заметим следующее.

Рассмотрим какой-нибудь отрезок) основного интервала, концами которого,служат точки**; р- из после-довательности [ э. ^ 9. построенной в 3.1 . Обозначим середину (о^о^ через . . Если отрезок^- лЛ имеет . длину , причем один, из его- концов - окажем,- Р{

31 . • ■ > г . о ч. га принадлежит рангу » то* 4 В самом деле , • если в построении 3.1 ограничиться точками рангов ^ I , . то Р- будет общим концом-двух отрезков,- каждый из кото

1 . • о ' , . рых имеет длину ч . Если же нанести на основной интер

V ■ вал еще точки ранга ,то каждый из этих двух отрезков разделится пополам . ^аким образом, т? . .

Пользуясь этим'Замечанием и последовательно проводя разбиение основного, интервала , произведенное 3.4-3.6, легко убеждаемся в доказываемом :: если точка Р(у при построении делит пополам отрезок -. длиной . г

1-г то ее ранг равен .

Но, с другой стороны, наибольший диаметр соответствующего этой точке кольца есть

Поэтому кольцо \<Г. может соответствовать лишь точкам ,

О - ранг которых 3.9. Переходим к проверке регулярности точек множества ^ . Пусть Сопоставим точке последовательность вложенных полоспересечению которых принадлежитQ • При этом между '(5,1 и ^ . . не содержится никакой по«лооы , э , Пусть е( ' означает ширину полосы ^^ , соответствующей • Ряд Винера для точки ^ будем строить следующим образом, фиксируем номер ^с ; выбираем конечное число колец' \<Г* * лежащих, внутри, ¿о!. и вне„^к,. ; охватыва

- - < К. - , ем кольца \с*"' окружностями -■ -Гс центрами в <5 - ,при-. чем» так, что между двумя соседними окружностями Г расV положено в .точности одно из выбранных колец К? * При этом ■ '. - ■ ч. 1 1 внутренний радиус построенной группы окружностей полагаем равным с! , внешний - е!ч у и радиусы окружностей ^ должны удовлетворять условию: Сх i тг~* * £ » где О^< 1 # А Соединяя группы окружностей, соответствующие различным номерам \< , в одну последовательность, .приходим к ряду Винера , в котором в качестве емкости С^ берется ем-кость ( т,е^ радиус.) внутреннего круга соответствующего кольца

3,.Ю, Зафиксируем К- и рассмотрим -полосы^ и .

Построим в. прямоугольник. .А „ положительное-направ- • ление по лучу будет указывать стрелкой. гГ

Д принадлежит одноьф из четырех отрезков: Рассмотрим подробно?; случай Л. •

1) Д^,,"" лежит." в левой половине - ■, - ^

I,

Образуем последовательность - -А- отрезков » двигаясь о правого конца. ^ . к^ середине и беря каж- „ дый четвертый ^ — отрезок.' Пусть • »S! * " означает отрезок, соответствующий — отрезку . Обозначая левый конец .-'-jS^ через . W * , получаем последовательность точек|Н*} . Через

К* обозначим ближайшее к , üq из колец,, принадлежащих полосе и лежащих в А^ • «

Через' точки проводим окружности Г1^ радиусов Л:* с у центрами в Q Пусть — первый из отрезков , - ч , Vc • ' ' расположенный не ^дальше, чем от середины »S1 ч .

Полагаем ■<%* - J ■ С т«е* * * не проходит через о ^ У-i Л * - о- '<-v.\ N и рассматриваем полученную группу колец^* V* "®t и окружностей , Р^ " •

Все кольца существуют. • .

Действительно,: протяженность Aq.' по средней окружности полосы ^ sLi.,- , Радиус средней окружности полосы^ четверти радиуса средней окружности полосы ¿>к Поэтому протяженность по дуге любой — окружности, проходящей в пределах правой половины ¿'ц. , ( а также в пределах Л* . и левой половины )

I . Г- - - ^ Пусть Ау, ~ ширина полосы , - радиус ее средней окружности. а„ > • л! * , I * г!* Ч

Расстояние о.т до точек кольца \с\* по дуге средней окружности полосы < ( см., 3.6). при построении (см. 3.4 - З.в) отрезок -.2у : делится пополам; к-полученной :точке . устремляется последовательность отрезков (покрывающая и соответствующих им отрезков .'О последних, здеоь и идет речь.

- зг а

•л

V- / ^

С\ ЪЛ* Л '

V . V V ■

Если -максимум этого расстояния по дуге любой о—

- А4" " . окружности в пределах ^ , то - все кольца существуют.1.

О* П*" и »-а ! 1 ад т

Кольцо К у!' лежит между. окружи остями

Тот а:акт, что лежит вне. ^ /очевиден* Докажем,, .что. Лс^" внутри • ' Пусть - расстояние по ^ф.'от С) до середины*.

1 ^ точка пересечения • средней окружности полосы - с

Простой подсчет показывает,- что коль-| цо лежит-целиком внутри, прямоугольника, изображенного, на рисунке. . 1 окажется внутри Г^ если Ъ- , где легко проверить,.;

Йодачет величин О, , «. ;

Для определения, величин СХ -•■и-.; £ нужно оценить , ■ > ■ а**. ^' - ' 1 а\ ' й*

• отношения • ' О и -"Г" * '

Воспользуемся соотношением : -с( ** , Л'

Л* г*

V» VI

4и л г * •

Х.7 ч гь • ■ --- £

-У* . ь

7" ~ 2!> - ; .4

Након ец\ если п^• то

Таким■■ образом,лД-'-Ьй'."--^-.-^-''- ч

V: 1 ~ Ь ' ' л* / г* — 'р -1 ^ 2) лежит в правой половине . г но левее . • "

Повторяем 'ту же конструкцию',:-что-" и в/1) , но теперь -будем понимать под • ближайший .к справа; из отрезков ■ ♦ Всё кольца. существуют это доказано в .

1) . Нужно проверить, что лежит между и. .

Это делается- так же,, как- и в 1). Нужно только учесть, что теперь «С- Л® . « Л* •

Подсчет величин а) проводится^ аналогичное 1), причем снова; получаются значения,, независящие от и . - и к, • Действительно, .-.- . УИ^Ы Л см

I

V Ы^-ЧА

1с -)

•к-И

-Л' --^--А > ^«Ч- ¿у. ц*^ ^

Наконец, при- У\ . у. '

•Л* г-

3) $ 'лежит в, правой половине /5'. "• справа от ГМ."^'-. 'Г

1С-Н ■• •--■■.' •■■."■•' ■'■• ■ '-•.'■■■.■■■••■'. ■ ■■■ • • • Обозначим через четвертый, считая слева направо, 4-- отрезок левой, половйньг^^ . \ через V?*"'* - ближайшее К- ф ' из колец, -принадлежащих . полосе :Л^%и-.лежащих в А♦ существует-" по .тем же -причинам, что и , \с\*" '• " :■ \ • '■'-■'.-■//у"'- Пола гаем ^ V, ^ * = ¿>\ к • Нужно; проверить, что " лежит'".внутри , т.о. что'^ ,с> • Но' это оче- , видно, "так:'как-^<^ < ; '

- 8 2. '^ г <, Л . < • ,, I. Оценка-в еливднО;.^-" ^ /•->•' ибо ^ 2»:' ' ' ' ' ''У' ** ^'¿Г г ."■■ ' .

Таким образом,-СХ'~ . • . ;. ; у. • . л 3>11 •* Случаи Д ¿ Л." >и Л с Л--• ■ являются дословным повто- • ! рением рассмотренного случая° с '• • • .; . '■ ' 1 ■

Если;.дево0: :по'ловин;е-' 1^-.или--в правой . • полови не ле ве е точки < И * 'то -снова; повторяются7 рас-' суждения 1) и 2)--из,,3,10/, ^У '• . '• - -' .-■-.■- -.-/у • - --'■■'•.■'';.■■' Пусть, наконец, Д.л ежит --в .правой ' половине : у' правее '.НЛ^т ;следует'.различать две. возможности,. ; / . -1) ^^ не лежит- ни.' в 'одной-.'из - полос/,

• '-^огда полоса .¿. :не имеет ле.ресекающюс- кругов,- т.е. . под , Д ^ можно 'понимать всю полосу- ^ / ¿.-Выбираем чет вер- ^. • тую,' считая: слева' направо,.' ^полосу' левой -половины' ■ -■и. в этой, полосе -' ближайшее, к^¿ц йз'^••'принадлежащих, ей'колец,; ■ . 1 . •.■'. I 11 . . ■ 1 '."

Относительно.-тогоу чтру понимается под . .^-отрезками' левой: .^половины•^'^'•.'."•"г-; см, '.сноску! на •стр.ЗЗ^' "•■■'' " ' • ■

Пол агаем ^ <7(5,. а-**) • Дальнейшие рассуждения - повторение-3),' 3.10. ■ * ■ > . '.- ■■ ' п

2) Существуют А— полосы, .содержащие ^ ,

Тогда найдется '-.полоса Л'примыкающая к

1А к справа, для .которой ' ск ~ \ с,*. . - это . непосредственно г ■. ' ' следует из конструкции 3.4-3.6. • ■ Допустим теперь, что- и . . пересекаются одними и теми же кругами-. Это значит, что самая внутренняя --из всех Л- полос, содержащих '.является также внутренней для- А.-- полос', содержащих '- . .Обозначим . ее че- , раз! .Построим для' точки -0; прямоугольник Дф- .отно-* сит ел ьно полосы • ^ Он будет простираться в полокитель . . ^ . . . ^ ном направлении до границы1 ^ - , т.е. полностью^, пройдет через полосу ^ ■ , либо через .полосу - в зависимости от того, какое направление-на окажется положительным. При этом протяженность А§ по дуге любой о - окружности,, .проходящей, в- пределах »» • ^ ■ ' о Предположим далее:,/что часть "кругов, .пересекающих, . , .не. пересекает полосу . Это значит,-что ^ . -внутренняя из ^ — полос, содержащих; -. не содержит $ .Прямоугольник -/Ад ,построен ный для точки О относительно полосы , будет обладать свойства : /.■■■'■ ми, отмеченными выше; он полностью пройдет ' через- полосу. ,либо че рез полосу $ , причем протяжённост.ь А ^ по дуге лю.бой

9— окружности в пределах ■ \ ^ .' ' ■ ■ - - «8. ■ ■ - . ( • " Наконец, если-имеются,.круги, пересекающие , но непересекающи^ то ^ - внутренняя из. Л— по

- лрс,содержащих. Л- - не содержит Л . .'Снова строим .А ©у для: Б} - от

У У '. ■ у: нссительно- $ •-> Очевидно, А^ будет обладать теми, же свойствами,что и раньше. ; у^так, возможны два. случая,,.

Г" '

I¿ Прямоугольник А^ проходит через . полосу & i V В этом,случае в качестве полосы Л, (см, 3), 3.10 ) V - flti' -третью,считая .слева направо, полосу ле

У j j ,, v' Г ВОЙ ПОЛОБИНЫ

-берем лрист^-V --четвертуюЫ ■ : ■ V—---•■''■• - у*

К .

-чет в ер тую ч- : vjd' -пятую' з 'к',1т

Всякий-раз в качестве. ' - выбираем ближайшее к u ^ из колец, принадлежащих полосе "^jy. и лежащих в • Полаг.а-'. ем ^ ¿Ц J-^-гЦ* = Дальнейшие рассужд ения, аналогичны з), 3^10. ^ - , / ' .у уу"-'-/г'"-П., " Прямоугольнику Д'^ .проходит .через-полосу-'^ . ,.

В. этом случае повторяем конструкцию 1),.3,f 1, ° Ч-3.-12 а' Мы по'лу чили- пос ледова те льность' колец- V»порождающую ряд Винера для точки ;Gb ^>1;ЧЧчЧ- V. - у.уЧ . у;

При фиксированном . \<-;• - мокно указать акие конс.танты Cx Q 0-V-C\. <С ¿ Л у ,. н е зависящие от-, Ve у. -,'что (Х < - * • Q. : у- ---.■. :'•' 'У. ','.у- ■'■ •' ■ - " - . - • . ., \ - п-1. : ■ независимо от -того,v какой ,из .случаев,, рассмотренных в 10|

- 3.11;имеет-место.- В силу, произвольности • Ve неравенство л-'' ". У,'.

С\г<. л*.'"" /справедливо- для всего-ряда-Винера. . -У. У.*-*.у /.у". ■ -/'.V; .'.' ■;; , ' У у' • -■'''' v"'"-4'' У у ' у ■,.у'■' Будем' говорить, что ,при переходе от данного кольца VC к • следующему имёется.^пропуск Yv -. единиц,- если при этом .внешнии . диаме,тр-кольца уменвщается в L . .раз. . • ; -у • Г Внутри!труппы колец,'усоотвбтс.твующей номеру Л, про пу ск б се, ;,врейя -рав ен кчет ырем,- При переходе от одной

У У ■ группы- к другойг он -может увеличиться-. -Обозначим через ез ;

- за -.' и с( Енешнке диаметры первого и последнего колец данной группы, тогда, соответственно 3+10 - 3.11 , возможны три . случая: • .- . V

Таким образом, наибольший возможный пропуск в ряде Винера

00 <М

11 единиц. :

- ' . ■ ■ • ' I • ■ ^

Составляем ряд-Винера

• ' С-'у» I , так как емкость - монотонная4'(функция множества. По-этому, заменив все Ак единицами, мы только усилим, сходимость ряда.- Занумеруем величины „С-^. иначе:- пусть.Сух. - радиус внутреннего круга кольца к"^, внешний радиус которого равен - . Нужно доказать расходимость ряда^>.т-. В силу 3.2. ,С/ -' ■ — , где Л'- - номер точки •.£>, ^ которой

--I - *■ соответствует рассматриваемое кольцо В силу 3.8 , ранг этой точки -¿П-Й , а . о- ранг ^ И'. . в'-силу 3.1 , г1>?гН . . Таким' образом, С ^ > 7——— >>■ -

- ряд расходи.тся. . . ~

Таким, образом,-, все " точки .множества Ж/ регулярны,.

В §3 мы построили систему колец первого порядка Та же конструкция применима для построения-системы колец второго порядка" ' в каждом из колец .

•Построив систему колец второго порядка , мы к каждому из них снова -применим конструкцию .§ Ъ и -т.'д., При этом нужно обеспечить сходимость ряда масс + » * ■ • - • N4 " N«¡,4' > ;

В полученном нигде ,не плотном множестве Л . . все точки из ■ + '.г .- согласно .§ 3, будут регулярны, та-ким образом , останется проверить регулярность точек множества

П. ; . относительно' открытого множества

Ф. 1. Согласно 3.2 ,' каждое' кольцо к"^ к п " можно выделать из системы колец того же-порядка, расположенных ^ , заданием пары чисел N. . • С причем таких колец может оказаться два ). . ' ■ ' '•■""'.'

•В 3.2 мы положили г ./ благодаря чему X . Пусть > ?0ГДа

1 »- I 1

Вообще, ■ потребуем < -^н ^ „¿у^уЦ-.

Тогда-; < -г-тр , и ряд ^ сходится • ' . " ' ь ' . '. ■

§^2. Согласно Щ*н-*. к- ^ .- » гДе

Легко проверить, что 01. - <. \ • Действительно.,- потенциал . ' , - .

Л„ (Р^и^рУв заключен между нулем и значением и/?)-в Дент ре , т.е.', между-пулами ,и' единицей (1.2 и 1.7).» Применяя индукцию, получаем ту ке оценку; для потенциала -,

Таким образом,\у\Ч w-;' ; . .Полагаем '

Но < , у, " , где С ' ' - " ' : 'о ': v-v«. "•■•■Yv si J

•Кроме того,.1< у{ о

Отсюпа п-и: . • ч. • •-• . ■■ -,-- - —- .

--У:r"V. "

Переходим к проверке регулярности точек гмножестна

Пусть v Сопоставим .точке . Q последовательность вложенных колец 0>\С;(>>С„ . . . пересечением' которых ; является Q ВместоVC^^.^-будем' просто писать У?^ \ . Зафиксируем номер • ^ и рассмотрим .кольца V: и:; У-,. . Пусть --.та. . полоса-в /которой , ■ - . г---.;- , у ■'. . • ■• . . принадлежит У и-. :>S1* - соответствующая $ ;■ - полоса«, в отличие от 3.9, точке' Q •. в.* кольце соответствует конечное число: вложенных полос ^ , последней ,из которых- является $ * Произведя в ^ •д конструкцию / 3.9 -З.Т1, получаем отрезок ;ряда Винера у который^порождается кольцамиV"*--го порядка, лежащими внутри .".и ■ вне , . ;

Соединяя отрезки ряда, соответствующие различным -.V , получаем ряд . Винера, "для- тоадси Q Ц.5» /Конструкция группы.жолец-У-^л ,. .расположенных внут^-ри и вне , полиостью определена в 3.9 ~ 3.11. Нуж

- од но ща@а уточнить, какие кольца лежащие в \С вне , / о причисляются к: этой группе.

Полоса /5^ ' принадлежит к первому раз^йлению на полосы (3,4) и потоьед" не пересекается никакими

- кругами. Под- >А а тут можно понимать все кольцо «Для выбора колец К* » лежащих4 вне , применяем конструкцию , 3,10. При этом, если отрезок лежит в левой половине основного интервала, соответствующего кольцу , " повторяем построение 1)?, ,3,10 дословно ;. если-же £ • лежит в правой половине основного интервала — меняем положи— , тельное- направление /л ^ .-на обратное, . ' Внешний радиус, /г* построенной группы оке ружностей Г полагаем равным-диацетру кольца ^ ; • внутренний радиус - диаметру кольца ♦ о - Ъ ^ '

6, Нужно проверить расходимость ряда ! » где

- - емкости внутренних кругов колец. Vх ■ г порожда^ющих ряд \ ' Винера', ' ' ■ •--•''• ,

Занумеруем емкости с - : |с " • 1 . Тут номер \ • означает . . ¿— группу колец - Ус»а* ^¿-и-^ - 1 пробегает все мрльца этой, группы. Согласно ^,3, г •>. '"' - • ° ■- Таким образом, достаточно

- ^ ; доказать расходимость ряда >> • Когда мы двигаемся по ряду Винера, оставаясь в пределах. .3) - группы колец Ус * , то приращение при переводе от данного кольца УС* -к следующему (3.12

Выясним, что происходит при переходе от ^— к группе колец \С*" ♦ Пусть - внешний радиус первого кольца в ^ группе., В силу этот радиус равен Ч»»» , ,т.е, <.; Ч* ■ ■ Приращение' величины

2й . ' . ¿^нЬ; ,-.' «пая. азёжс":'. есас ям. а и.

- ^ аРи переходе от • .к ;. ^Д гИтак,' прирацекие величины (ц*.• -при' переходе- от ■-''' • /лы'бо го кольца К'^ -в'--ряде" Винера.,к следуюцему £ А А; т,е.' 2, . .;-, . ■■"•■ Г '>2=,- —^ - -.■■' .- -""Т* '- - РЯД расХОДИТСЯ,;-: •'

-' ' ■ В" этом параграфе :мьг рассмотрим сингулярное мной е-- стео .плоской положительной меры/ на • котором нельзя .' построить'КЦППЛСРХ ■ потенциал ' , постоянный в пустотах.'

Г.1. Пусть , означает кольцо, ■ сбразо.ван но е. ; двумя чкон- -центрич ескими окружностями С*,.С" радиусов

Поместим в, центр кольца'- по-л юс полярной; сйот.ёмы;^кобрдиг-. ,нат и зафиксируем'';направление, полярно й о ей . • На -о трезке, А% "полярной .оси построим Канто-. >• рово /множество . ;.-:Каждой с. точке, • .множества сопоставим, соо.тветотвугоодю л окружность кольца : ^С •:." . Совокупность. этих окружностей и даст нам замкнутое^совериенное,^ нигде, не плотное. множе- • ство , котор.ое .мы. рассмотрим в. этом-:параграфе. ;

Точки А '. и X) ."' являются крайними - точкамиС

Пустоты/ дополнительные к будем, обозначать через ' Сг ■ .' .-Под-Сту/ и Сг, , 'будем понимать соответственно внешнюю, и .вну.трённюю пустоты, множества ^ ^считаем выбранным таким образом,, что. имеет: .плоскую меру > О .

Как легко .видетьу . ^ ,^ является ^сингулярным',множеством, $"»2 у 'Множество'- & л< не- имеет . иррегулярных • точек• относйтель-но своего дополнения^ V • ; • :.-. 'у, ■■

Действительно,-, пусть , Строим ^последователь- . но.сть окружностейу Гь ' с центрами в СГ . .и- радиусами ^гф:• .Часть дополнения к •• Я , заключенная„между Г?. -и СОг— ; Поэтому л*) ' 1. - А**-"5- - '

-ъ -±—.-/Чг. £—- • - - и, ряд2г^т-.расходится,

3. Предположим,' что на -Ж можно распределить такие массы , потенциал которых (?) постоянен во всех пустотах, дополнител ьных к Ж' , и полная вариация которых "Уу\'.ойу .

Из у» 2; следу.е.т, ' что \л(?) не может быть,равен нулю во всех пустотах, так как тогда - по теореме, единственности Валлё-Пуссена - мас.сы- . М. оказались бы тождественней рав- . ■ ными нулю; = . - Заме тим далее,"- что /можно считать\л(?)*(3 при . Рб . В самом деле, среди пустот найдется такая - скажем,0-- , в которой " г

Пусть & "** — .часть множества

X ■ лежащая внутриСг • • - ' С' ^ Ь - массы ул \ - ,- расположенные-, на &

•'■ " ' ' -V .' ' '" * '' ' " У V

С- -'внешняя граница пустоты- СЬ/у-. ■

К - - кругу ограниченный--окружностью'"С.-.-,. К** лхлхсб ъ^ойе^ить, ем\сосгь глноцестьсч Ьо.хьше - е^чости его проели« на лл^»

-чч

0*

Выметем массы на С . В результате получим распределение масс . на множестве ^-^' ^'с потенциалом' » В силу, свойств- выметания, \АУ(РУ совпадает сУ(?)вне К*

Кроме того, постоянен на

С* а чл (к УС* хснло^Л.Ъ'^^.Й*.

Будем считать-в дальнейшем, что Ц(Р)= -Л. при 5«4»' Зафиксируем О . Всегда можно выбрать пустоты^ 0*0,^3■ таким образом, что. ширина кольца между со седнйми^-пус т6тами'"'Х

Действительно, повроем'каждую пус-тоту- ^Г открытым множеством. ^ .состоящим из точек, расстояние которых ^ ГЧ , от * 3 результате кольцо Л< покроется множествами Выделяя из них конечное покрытие, получим искомые пустоты • • ' '

•„5 »5'* Пусть Су., иС^- - окружности, служащие соответст--венно внутренней, и- .внешней границей пустоты бг,^

С' ''-'' ' - . л и

С^(х'^у-^, на. контур, -этого -кольца,. В результате получим массы. • лежащие, на' границах пуотот В силу свойств выметания, потенциал Ц^. масс совпадаете пустотах

0го & ' с Щру, причем общая вариация этих масс.-Уп^гл .

5.6. Пусть с^у,.; .- значение потенциала ^(Р.) в пу'стоте Сг^ ;

Д :шиР-'1Ка кольца между С^ и С^ .

С,, у,

С| | , . ^ ./кольцом, внутренняя! окружность которого I* лежит-в С ч .;, а внешняя 1« - месасду С^ '. ' у I ( Ли,. / |

И С^»., . Нас интересует величина— ) "ХГ* Г г*1 ■ '''■ ' ^ »

Под нукно понимать- .£0 . ■

Т, I' п тт Г

Вдоль и . — и . . Далее, окружность . и можно выбрать таким образом, что. ео есвх ее точках —~ = ^ ■ I 1 г оби, . г . , ^

Гак как £ /(5Л,) . '

К """" ■ 1 -1

Отсюда > 1ДсАч| , так как 21 (5.3). о ^ о ^

При уменьшении • $> величина.'*^, а, значит и . "\гуч , неограниченно растет, .т.; е. построение потенциала, постоян-( иого -в ' пустотах , на невозможно»,

Этот результат можно"' перенести на значительно более широкий класс множеств, обладающих тем свойством, что из лю-бых ДЕух дополнительных к такому множеству пустот одна^ао-удерж-и-тУ другую. - ; . ; . Л 'И-'Т- Е Р А. Т У.-Р A. -' V ; . . CH^L - р. Д. У^и^лчл!.; " Ol - M.^Лаврентьев, К: теории конформных- отображений,-* " Труды матем. .института им.\ В. А-.Отеклова,. ,т.IV (1934).- ' '.-• [V\ - н.С.Ландкоф, Аппроксимация непрерывных .санкций гар-. м о н и ч е с кими• Maт • Сб.орник, пяти unggaau т. S, 4»**\ . 1., ^"у.

• \}л\ - Неванликна, Однозначные аналитические, функции, М. -Л.:»

• : ; rmi. г . У;-^:У-;У ; У\:''УУУ ■■".::УУ . ■ ■

У У .R^^^t* У

УоЛШ vvvc^VVÊ-S рчл. Оел • Áslo^Í.' . n^fiJ^L. (U- . «W .

SrX'r/Jbújx; -Ь'. у^ЛИ ■( t ^ • - ; • V: v