Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах Соболева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гордеев, Александр Николаевич

• Гордеев, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гордеев, Александр Николаевич

Введение

1. Уравнение в выпуклой цилиндрической области

§1. Разбиение единицы и вспомогательные 1/р-оценки.

§2. Оценки функции Грина.

§3. Разрешимость задачи Дирихле.

2. Уравнение в цилиндрических областях более общего вида

§1. Оценки функции Грина.

§2. Вспомогательные Lp-оценки для оператора теплопроводности

§3. Доказательство основных утверждений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах Соболева»

Рассмотрим в цилиндрической области Qt — D х (0,7') с ограниченным основанием d с Mn, п ^ 2, параболическое уравнение вида

0.1) /о + fi е Lp{Qt), г = 0,1,., га, г=1 коэффициенты которого симметричны, непрерывны в замыкании Qr и удовлетворяют условию равномерной параболичности п Y1 Ък&хШк А|е|2, А = const > 0. (0.2) i,fc= 1

В настоящей диссертации изучается вопрос об однозначной Lp-разрешимости однородной задачи Дирихле в областях с нерегулярной границей основания d. Разрешимость исследуется в пространствах о 1,0 о 1,0 о 1,0 wp (Qt) и vp (Qt). Здесь wp (Qt) — пополнение гладких функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt по норме W^°(Qt) — соболевского пространства функций, Lp-суммируемых в QT вместе с обобщенными производными первого порядка по пространствено 1,0 о 1,0 ным переменным; v р (Qt) — подпространство wp (Qt), состоящее из lp(-О)-непрерывных на [0,т] функций с нулевым следом на нижнем основании цилиндра Qt

Для соответствующих эллиптических уравнений второго порядка разо 1 решимость задачи Дирихле хорошо изучена в пространстве Wp (D) — замыкании Cq°(jD) по норме Wp(D). При р — 2 задача является классической, она однозначно разрешима для уравнений с измеримыми коэффициентами в произвольной ограниченной области D. Если р Ф 2, то граница области не может быть произвольной и от коэффициентов требуются дополнительные ограничения. Один из первых результатов в этом направлении содержится в работе С. Агмона, А. Дуглиса и JI. Ниренберга [10]. Ими показано, что если граница 3D принадлежит классу С1, коэффициенты уравнения равномерно непрерывны в D, то задача Дирихле однозначно Lp-разрешима для всех р € (1, со). Влияние границы на разрешимость задачи Дирихле исследовалось во многих работах, которые условно можно разделить на две группы. К одной группе можно отнести результаты в областях с изолированными особенностями на границе. Так, в плоском случае в работах В.А. Кондратьева [19], П. Гривара [3], В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского [6] рассмотрены угловые точки. Особенности границы типа конических точек, ребер, многогранных углов изучены В.А. Кондратьевым в [19, 20], Г.Н. Вержбинским и В.Г. Мазьей в [15]. Наиболее общие результаты о разрешимости краевых задач в ^-пространствах с весом для областей с изолированными особенностями на границе получены в серии работ В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского [7], [28]. К другой группе относятся результаты, когда особенности не локализуются и основное внимание уделяется условиям регулярности границы, достаточным для справедливости тех или иных оценок решений. Этому направлению посвящены исследования В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана в [25] и В.Г. Мазьи и Т.О. Шапошниковой в [29]. Задача Дирихле в выпуклой ограниченной области изучена Ю.А. Алхутовым и В.А. Кондратьевым в [14]. Необходимое и достаточное условие на границу области, обеспечивающее однозначную Lp-разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений с непрерывными в замкнутой области коэффициентами при всех р > 1 вместе с соответствующей коэрцитивной оценкой найдено Ю.А. Алхутовым в [11].

Для параболических уравнений вида (0.1) классический случай р = 2 описан в монографии О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой и В.А. Солон-никова [26]. Если р ^ 2, то .Lp-разрешимость задачи Дирихле в областях с нерегулярной границей исследована в меньшей общности. В известных нам работах разобран ряд случаев, когда граница основания цилиндра содержит изолированные особенности на границе. "Параболический аналог" результатов В.А. Кондратьева для широкого класса начально-краевых задач в областях с коническими точками на границе основания цилиндра получен В.А. Козловым в [4]. Уравнение теплопроводности в цилиндре с двугранным углом на боковой поверхности изучено В.А. Солонниковым в [8]. В перечисленных работах разрешимость задачи Дирихле доказана в Lp-пространствах с весом.

Результаты о Lp-разрешимости задачи Дирихле для уравнения вида (0.1) в цилиндрической области с нерегулярной границей основания, особенности которой не локализуются, нам неизвестны.

Основной целью настоящей диссертации является нахождение точных условий на границу 3D области D (основание цилиндра Qt) при выполнении которых задача Дирихле однозначно разрешима в пространстве о 1,0

Wp (Qt) для всех р > 1 вместе с соответствующей оценкой п

Ып^ш < Шыот). (0.3) i=0 в которой постоянная С не зависит от и и fi, г — 0,1,.,п. Аналогичный вопрос ставится и о разрешимости задачи Дирихле в пространстве о 1,0

Qt).

Перейдем к описанию полученных результатов. Обозначим через 9p(Qt) параболическую границу Qt и рассмотрим задачу Дирихле п

U = /о + Ув Qt, tr (0.4) fi е lp(qt), г = 0,1,., n, u\dp{qt) = о, о i,o под решением которой понимается функция и €.WP (Qt), удовлетворяющая интегральному тождеству г " г (u<pt - 22 OijUxifpxj) dxdt= / (f0(p - ^ fi<pXi) dx dt (0.5) QT ij'=1 QT i=l на гладких в qt пробных функциях </?, равных нулю в окрестности боковой поверхности и верхней крышки цилиндра Qtо 1,0

Перейдем к постановке задачи (0.4) и в пространстве vp (Qt)- Напомol,0 ним, что vp (Qt) означает пополнение гладких в Qt функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности St и нижнего основания цилиндра Qt, по норме u\\polt0 = max / \u(t:x)\pdx + \\и\\р 1>0 vv (Qt) *6[0ДЧ J wp (Qt) d

Решение понимается в смысле интегрального тождества

Г) г>з —1 Г)

Q-r 'J~ D п j(fo<p - x] fw**) dx dti

Qr i=l выполненного для всех значений г Е (0,Т) на гладких в замыкании QT = Dx(0,r) пробных функциях </>, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt.

Работа состоит из двух глав. В первой главе задача (0.4) исследуется в выпуклой области. Основные результаты этой главы заключаются в следующих утверждениях.

Теорема 1. Если основание D цилиндра Qt является выпуклой областью, а коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют условию (0.2) и о 1,0 непрерывны в QT, то задача (0.4) однозначно разрешима в Wp (Qt) для всех 1 < р < оо и для ее решения справедлива оценка (0.3) с постоянной С, не зависящей от и и fi, г = 0,1,., п.

В пункте 3 параграфа 3 приводятся два примера на точность условий данной теоремы, показывающие как отсутствие единственности решения, так и неразрешимость задачи Дирихле для любой правой части уравнения. Первый пример строится для оператора теплопроводности и случая, когда область D не является выпуклой. Во втором примере область D выпуклая, но отсутствует непрерывность коэффициентов уравнения (0.1).

Теорема 2. Еслир ^ 2 и выполнены условия теоремы 1, то задача (0.4) о 1,0 однозначно разрешима в пространстве Vp (Qt) вместе с соответствующей оценкой п м-*.* ^c^\m\LpiQTh (о.б) vp [Qt) г=и в которой постоянная С не зависит от и и fi, г — 0,1,., п.

Если 1 < р < 2, то задача (0.4) может оказаться неразрешимой в просто странстве Vp (Qt) даже в том случае, когда оператор Л совпадает с оператором теплопроводности, а область D имеет сколь угодно гладкую границу. Соответствующий пример построен в пункте 3 параграфа 3.

Требование выпуклости области D в теоремах 1 и 2 можно несколько ослабить, если часть S границы 3D принадлежит классу С1. В этом случае достаточно предположить существование постоянной г > О, такой, что в r-окрестности О* каждой точки х е dD \ S функция, задающая в локальной системе координат уравнение 3D П О*, является выпуклой.

Основная идея, реализуемая в этой главе, состоит в использовании конструкции разбиения единицы в области D, основанной на покрытиях типа Уитни. С помощью этого разбиения и точных оценок функции Грина оператора теплопроводности вблизи границы, полученных в параграфе 2 (теорема 1.2.1), удается доказать априорную оценку, лежащую в основе доказательства приведенных выше теорем.

Во второй главе, с одной стороны, полученные результаты обобщаются на области более широкого класса, а с другой стороны, дается необходимое и достаточное условие на границу области D, при выполнении которого задача Дирихле для оператора теплопроводности однозначно Lp-разрешима для всех р > 1 вместе с соответствующей Lp-оценкой. Здесь важную роль играет /^-условие, введенное в работе [11] при исследовании Lp-разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений. В формулировке этого условия участвует понятие гармонической меры, которое мы сейчас напомним.

Пусть fl с 1" - ограниченная область и Е С дП — открытое на 8Q, множество. Гармоническое продолжение в Q полунепрерывной снизу на дО, функции, равной единице на Е и нулю на dil \ Е, которое обозначим через ш(х,Е,П), называется гармонической мерой множества Е в точке х относительно области Q. Конструкция построения гармонической меры и ее свойства приводятся в пункте 1 параграфа 1.

Ниже В*0 — открытый n-мерный шар {х : \х — ж0| < г}, S— сфера {х : \х — xq[ = г}, d — диаметр области D. В диссертации используется гармоническая мера множества Е = S'f П D относительно области В*" HD, где х° G 3D, и в дальнейшем положим cjp°{x) — lo(x: S*0 П D, ВП D).

Определение 0.1. Область D удовлетворяет Ra-условию, если существует постоянная a G (0,1), такая, что для всех р G (0, d) и х° G 3D справедливо неравенство в котором константа Ла не зависит от р, х° и х.

Введенное понятие в случае его выполнения для всех a G (0,1) будем называть /^.-условием.

Приведем, указанные в работе [11], геометрические условия на область D, обеспечивающие выполнение ^-условия. Пусть Q = {х = (х',хп) : f(\x'\) < хп, 0 < \х'\ < а }, где / — неотрицательная, непрерывно дифференцируемая на [0, а) функция, такая, что /'(+0) = /(0) = 0. Тогда если при некотором г0 > 0 в произвольной точке границы х° можно выбрать ортогональную систему координат, в которой Г2 не имеет общих точек с Dfl В®0, то D удовлетворяет Д-условию. В частности, Д-условие выполнено для областей, удовлетворяющих условию внешней сферы: область D удовлетворяет условию внешней сферы, если существует такое г о > 0, что для любой точки х° G 3D найдется шар В7?/о, для которого Bl0 (ID = х°.

Сюда относятся и области с нелипшицевой границей, имеющие "пик наружу". Другие достаточные требования на границу для справедливости irl-условия, связанные с первым собственным числом оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, приведены в [22].

0.7)

Рассмотрим задачу Дирихле для оператора теплопроводности: п аи - щ = /о + У^Шхг В Qt,

0-8) г € LP(QT), г = 0,1,., n, w|0p(Qt) = 0. Теорема 3. Для однозначной разрешимости задачи (0.8) в пространо 1,0 стве Wp (Qt) при всехр > 1 вместе с соответствующей оценкой (0.3), в которой постоянная С не зависит от и и fi, i = 0,1,. ,п, необходимо и достаточно, чтобы область D удовлетворяла R-условию. о 1,0

Аналогичная теорема имеет место в пространстве Vp (Qt) при р ^ 2. Перейдем к задаче (0.4) для уравнения (0.1), предварительно положив 2/(р+1), если ре (1,2] ар = < (0.9) 2(р - 1)/(2р - 1), если р е (2, оо).

Теорема 4. Если коэффициенты уравнения (0.1) непрерывны в QT, удовлетворяют условию (0.2) и для области D выполнено Яа-условие при a G (ар, 1), то задача (0.4) однозначно разрешима в пространстве о 1,0

Wp (Qt) вместе с соответствующей оценкой (0.3), в которой постоянная С не зависит от и и fi, i = 0,1,., п.

В частности, однозначная Lp-разрешимость задачи (0.4) при всех р > 1 имеет место, если область D удовлетворяет Д-условию.

Теорема 5. Еслир « выполнены условия теоремы 4, то задача (0.4) о i,o однозначно разрешима в пространстве Vp (Qt) вместе с оценкой (0.6).

В случае липшицевой области D требование на постоянную а можно несколько ослабить, выбирая

1 /р, если ре (1,2]

Oiv = \ (0.10) р — 1 )/р, если р G (2, оо). 10

Из приведенного результата следует, что задача (0.4) оказывается однозначно Lp-разрешимой для наперед выбранного р > 1 в цилиндре Qt с основанием D, которое удовлетворяет только условию внешнего конуса Пуанкаре. Условия на конус, обеспечивающие гельдеровость в граничной точке с заданным показателем а для гармонической меры cof\x) формулируются в терминах первого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Эти результаты хорошо известны, а подробную библиографию можно найти в обзоре [24].

Предложенный нами метод исследования не использует технику распрямления границы, а основан только на оценках функции Грина вблизи границы и внутренней априорной Ьр-оценке. Основополагающую роль здесь играют точные оценки функции Грина Г(£, т, х, у) первой краевой В задачи для оператора теплопроводности L = Ах — щ в цилиндре Qt. Ниже р(х) — расстояние от точки х £ D до 3D, х(/<) — характеристическая функция полуоси t > 0, г = \х — у\ + y/t — т.

Теорема 6. Если выполнено Ra-условие, то существует полоо/ситель-ная постоянная С, зависящая только от п, а и константы 01а в (0.7), такая, что f

Cx(t — т)ра(х)ра(у)г~п~2а, если г>р(у)/А Cx{t — т)ра(х)ра(у)г~п-2а, если г > р{х)/4 Cx(t — т)г~п, если г ^ р{у)/4

Cx{t — т)г~п, если г < p{x)j4.

Г(t,r,x,y) < <

0.11)

Важную роль играет весовая оценка функции Грина с весом, зависящим от расстояния точки х € D до границы 3D. Следующее утверждение основано на (0.11) и оценке меры специальных приграничных множеств.

При оценке меры этих множеств используются свойства тепловой емкости, порожденной функцией Грина.

Теорема 7. Если область D удовлетворяет Яа-условию и а £ (2/3,1), 7 £ (2 — а, (2 + а)/2), (0.12) то справедливо неравенство

J Г(t,t,x,y)p-1{y)dydT ^ С(п,а,-у,Яа)р2-^(х).

Qt

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, профессору Юрию Александровичу Алхутову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00446.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гордеев, Александр Николаевич, 2009 год

1. Aronson, D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equation / D.G. Aronson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — V. 73. — № 6. — P. 890-896.

2. Egorov, Yu.V. On spectral theory of elliptic operators / Yu.V. Egorov, V.A. Kondrat'ev // Oper. Theory Adv. Appl. — 1996. — V. 89. — Birkhauser. Basel.

3. Grisvard, P. Elliptic problems in nonsmooth domains / P. Grisvard. — Boston London - Melbourne. Pitman Advanced Publications Program, 1985.

4. Kozlov, V.A. On the asymptotics of the Green function and of the Poisson kernels for parabolic initial boundary value problem in a cone / V.A. Kozlov. I: Zeitschr. Anal. Anw., 1989 (8). — P. 131—151. ; II: ibid., 1991 (9). - P. 27-42.

5. Lanconelli, E. Sul problema di Dirichlet per 1'equazioni del calore / E. Lanconelli // Ann. Math. Рига Appl. 1973. - V. 97. — P. 83—114.

6. Maslennikova, V.N. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries /V.N. Maslennikova, M.E. Bogovskii // Rend, del Seminario Mat. e Fis. di Milano. 1986. - V. 56. - P. 125-138.

7. Solonnikov, V.A. Lp-estimates for solutions of the heat equation in a dihedral angle / V.A. Solonnikov // Rendiconti di Matematica. — 2001.Serie VII. Roma. — V. 21. — P. 1—15.

8. Watson, N.A. Thermal capacity / N.A. Watson // Proc. London Math. Soc. 1978. - V. 37. - P. 342—362.

9. Агмон, С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Агмон, А. Дуглис, JI. Ниренберг. — М.: ИЛ, 1962.

10. Алхутов, Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов // Матем. сборник.1998. — Т. 189. № 1. — С. 3—20.

11. Алхутов, Ю.А. Lp-оценки решений параболических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов, А.Н. Гордеев // Труды Санкт-Петербургского матем. общества. — 2007. — Т. 13. — С. 1—25.

12. Алхутов, Ю.А. Lp-разрешимость задачи Дирихле для оператора теплопроводности / Ю.А. Алхутов, А.Н. Гордеев // Успехи математических наук. — 2009. — Т. 64. — вып. 1. — С. 137—138.

13. Алхутов, Ю.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области / Ю.А. Алхутов,В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. — № 5. — С. 806—818.

14. Вержбинский, Г.М. О замыкании в Ьр оператора задачи Дирихле в области с коническими точками / Г.М. Вержбинский, В.Г. Мазья // Известия вузов. Математика. — 1974. — Т. 145. — № 6. — С. 8—19.

15. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. — М.: Наука, 1989.

16. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Труды Моск. мат. о-ва. — 1967. — Т. 16. — С. 209—292.

17. Кондратьев, В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра / В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6. — С. 1831—1843.

18. Кондратьев, В.А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений / В.А. Кондратьев // Труды Моск. мат. о-ва. 1967. - Т. 16. - С. 293-318.

19. Кондратьев, В.А. О наилучших показателях Гельдера для обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка / В.А. Кондратьев, И. Копачек, О.А. Олейник // Матем. сб.- 1986. — Т. 131. — № 1. — С. 113-125.

20. Кондратьев, В.А. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка / В.А. Кондратьев, Е.М. Ландис // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. —1988. — Т. 32. — С. 99—215.

21. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях / В.А. Кондратьев, О.А. Олейник // Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38. — вып. 2. — С. 3—76.

22. Кондратьев, В.А. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических краевых задач / В.А. Кондратьев, С.Д. Эйдельман // Доклады АН СССР. 1979. — Т. 246. - № 4. - С. 812-815.

23. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, В.А. Солопников.М.: Наука, 1967.

24. Ландис, Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. / Е.М. Ландис. — М.: Наука, 1971.

25. Мазья, В.Г. £р-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами / В.Г. Мазья, Б.А. Пламеневский // Труды Моск. мат. о-ва. 1978. — Т. 37. - С. 49-93.

26. Мазья, В.Г. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций / В.Г. Мазья, Т.О. Шапошникова. — Ленинград: ЛГУ, 1986.

27. Солонников, В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа / В.А. Солонников // Труды МИАН. — 1964. — Т. 70. С. 133-212.

28. Стейн, Е. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / Е. Стейн. — М.: Мир, 1973.