Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Матвеева, Татьяна Александровна

• Матвеева, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матвеева, Татьяна Александровна

Введение

Глава 1. Квадратурные формулы наивысшей степени точности и их свойства

§ 1. Основные свойства КФНСТ

§ 2. Построение КФНСТ

§ 3. Связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р)

§ 4. Поведение дельтообразных ядер, порождаемых квадратурными формулами обращения преобразования Лапласа

§ 5. КФНСТ в случае комплексного числа s

Глава 2. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности

§ 1. Оценки погрешности произвольных квадратурных формул

§ 2. Оценки погрешности КФНСТ

§ 3. Квадратурные формулы с фиксированными узлами, имеющие наименьшие оценки погрешности

§ 4. Оптимальные квадратурные формулы с наименьшими оценками погрешности

Глава 3. Общий подход к построению квадратурных формул обращения преобразования Лапласа

§ 1. Первый способ построения квадратурной формулы

§ 2. Второй способ построения квадратурной формулы

§ 3. Третий способ построения квадратурной формулы

§ 4. Оценки погрешности квадратурных формул

Глава 4. Обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности

§ 1. Дробно-экспоненциальные функции Работнова

§ 2. Обобщенные квадратурные формулы

§ 3. Свойства ОКФНСТ

§ 4. Оценки погрешности ОКФНСТ

§ 5. Представление ОКФНСТ сингулярным интегралом и исследование соответствующего дельта-ядра

§ 6. Некоторые применения ОКФНСТ

§ 7. Примеры использования ОКФНСТ и оценок погрешности

Глава 5. Вычисление скачков оригинала по известному изображению

§ 1. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью

КФНСТ в случае одной точки разрыва

§ 2. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью

КФНСТ в случае двух точек разрыва

§ 3. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью метода Видцера

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения»

Задача обращения преобразования Лапласа состоит в нахождении решения интегрального уравнения

00

Jexp (-pt)f(t)dt = F(p), (0.1) о где функция F(p) - известное изображение, /(/) - искомый оригинал. Соответствие между оригиналом и изображением будем обозначать f(t) +F(p). Будем считать, что функция F(p) регулярна в полуплоскости Re (р) > 0, чего всегда можно добиться сдвигом по параметру р, что равносильно умножению оригинала на соответствующую экспоненту. Как правило, методы обращения используют не само изображение F(p), а функцию (ps(p)= ps F(p) при некотором числе s (не обязательно вещественном).

Существуют таблицы [7, 8, 10] соответствия функций-оригиналов f(t) и их изображений F[p), но они не могут охватить все встречающиеся на практике случаи.

Точное обращение преобразования Лапласа задается формулой Рима-на-Меллина:

1 c+ioo f(t)=— J exp(pt)F(p) dp, (0.2) l7tl Joo где интегрирование проводится вдоль любой прямой, расположенной правее всех особых точек изображения F(j?). Зачастую она неприменима или сложна в применении для некоторых функций из-за необходимости вычисления интеграла (0.2). Поэтому возникает задача численного обращения. Теория преобразования Лапласа и его обращения изложены в работах [1, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17,45, 50, 51, 53, 55 - 57, 64, 65, 66, 67,68].

Надо обратить внимание на неустойчивость п риближенного обращения преобразования Лапласа, т.е. на неустойчивость оригинала f относительно малых изменений изображения F{p). Это означает, что задача численного обращения относится к классу некорректных задач [47].

После построения вычислительного метода должно следовать выяснение 1) условий сходимости, 2) устойчивости, 3) трудоемкости построения, 4) фактической реализации, 5) определение скорости сходимости, 6) ускорение сходимости в случае необходимости, 7) нахождение оценок погрешности и 8) определение возможных точек разрыва и определение величины скачка. Возможно также применение методов регуляризации [47].

Разработано много различных методов [1, 2, 4, 6, 8, 15, 16, 45, 51, 54, 55 - 57, 61, 68 - 70] приближенного решения уравнения (0.1). При их построении, как правило, исходят из того, чтобы метод был точен для несколько первых функций некоторой заранее фиксированной системы. Если искомый оригинал представим в виде разложения по этой системе функций, то можно надеяться на получение удовлетворительного приближения к нему в результате применения таких методов.

Однако для большинства известных методов отсутствуют какие-либо оценки погрешности, что затрудняет их сравнение друг с другом и выбор конкретного метода при практическом применении. Сравнение различных способов обращения с единой точки зрения, которая позволит сделать заключение о качестве метода, можно сделать на основе рассмотрении порождаемых ими дельтообразных ядер.

Поскольку исходное уравнение (0.1) линейно относительно оригинала, естественно любой приближенный метод обращения считать линейно зависящим от изображения F(p).

В общем случае метод обращения можно записать в виде п т / \/ \

АО *fnm{t) - S S А,(О гЩрАО), ад к=0 7=1 где значения п,т могут быть и бесконечными. Величины Pj{t), А/ ( 0 соответственно «узлы» и «коэффициенты», определяющие конкретный метод. С учетом уравнения (0.1) представление (0.3) можно записать иначе:

00 ( п т 1 \\ АО* Л Е Z (- 0 % (О хк ехр ( - X рJ ( 0) f{x) dx. (0.4)

0 7=1 J

Положим nm , ,

8nm ( X,t) = S I (-1)1 A kj ( 0 J exp ( - X Pj ( 0) • (0.5) k=0j=l

Тогда приближенное равенство (0.4) запишется в виде

00

АО* \snm{xtt)f{x)dx. (0.6) о

Это равенство означает, что параметры ядра (0.5), т.е. величины п, т, Pj{t), Akj(t), желательно подбирать так, что функция Snm(x,t) была близка к дельта-функции в точке х = t или, другими словами, чтобы правая часть (0.6) представляла собой сингулярный интеграл. Для любого метода обращения написать соответствующее ядро (0.5) никакого затруднения не представляет. Изучение ядра (0.5) для конкретного метода позволяет сделать некоторые априорные выводы о точности метода.

В формуле (0.3) достаточно рассматривать лишь положительные конечные значения t, ибо если /(+ 0), /( оо) существуют, то их можно найти по формулам 0) = Пш pF{p), /(qo)= lim pF(p).

00 О

Как правило, любой метод обращения в произвольной точке t > О дает f{t + 0)+f(t-0)/ приближение к величине —---——-- (см. [67]), и тем самым в окрестности точек разрыва оригинала приближенное решение fnm{t) при конечных п,т, являясь суммой конечного числа гладких слагаемых, не может правильно отражать поведение оригинала. Вопросы построения конкретных методов обращения и скорости их сходимости к предельной величине изучались в работах [36, 38, 41, 43].

Существуют различные методы решения численного обращения преобразования Лапласа:

1) сведение уравнения (0.1) к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомого оригинала в некоторых точках полуоси t > 0 при помощи квадратурных формул [4, 15];

2) поиск решения интегрального уравнения (0.1) в виде рядов по специальным функциям [2, 19, 31, 51, 59];

3) дельта-методы обращения, в которых приближённое значение оригинала в некоторой точке представляется сингулярным интегралом вида (0.6) с ядром (0.5), приближающим дельта-функцию в точке х = t [67];

4) асимптотические методы обращения, в которых используется информация о расположении и характере особых точек изображения F(p) на комплексной плоскости, привлечение которых в определённом порядке и количестве позволяет строить более точные приближения; однако на этом пути требуется аналитическое задание изображения, что не всегда возможно [2, 4, 29, 45]. Другие подобные аналитические методы обращения рассмотрены в [1];

5) применение квадратурных формул (КФ) для приближённого вычисления интеграла Римана-Меллина вида

I c+гсо й \exp(p)p~s<p(p)dpi*'EAk<p(pk),s>0. (0.7) iKlc-ioo *=1

Узлы рк и коэффициенты ^ выбираются из условий точности формулы (0.7) для некоторого набора функций <р(р). Обычно требуют, чтобы для произвольных узлов рх,р2,.,рп, лежащих в области регулярности изображения, формула была точна для функций ф{р) — P~J, j = 0,1,— 1. Такие формулы называются интерполяционными.

Специальный выбор узлов позволяет получить квадратурные формулы наивысшей степени точности (КФНСТ), т.е. формулы, которые точны для функций ср (р) = p~J, j = 0,1,. ,2п — 1. Построение различных квадратурных формул обращения рассмотрено в [15, 16, 30, 44]. Свойства КФНСТ изучаются в работах [18, 30, 35, 37, 39, 40, 42, 64, 65, 69, 70]. Таблицы узлов и коэффициентов КФ приведены в [15]. Первая глава диссертации посвящена построению КФНСТ, изучению их свойств и нахождению оценок погрешности.

Существуют обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности (ОКФНСТ), содержащие в себе указанные выше КФНСТ. Они эффективны, когда функция q)s (р) = psF(p) фактически зависит от ра, а> 0. ОКФНСТ точны для функций <р(р)= р~ат, т = 0,1,.,2и-1. Построение таких формул и нахождение оценок погрешности приведены в четвертой главе. Там же рассмотрены некоторые применения ОКФНСТ к теории наследственной упругости твердых тел.

Ядро ехр(- рх) интеграла (0.1) является целой аналитической функцией, и операция интегрирования, которая выполняет усреднение f с весом ехр(— рх), может значительно сгладить особенности в поведении преобразуемой функции f{t). Поэтому, в задаче обращения по гладкому изображению F(p) необходимо восстановить все возможные неровности поведения оригинала /(/), в частности, определить, в каких точках f(t) может испытывать разрывы и вычислить величину скачка в этих точках искомого оригинала и его производных. Следовательно, метод должен учитывать характер поведения оригинала. Очевидно, что некоторые методы дают хорошее приближение в случае достаточно гладкого оригинала, а в случае разрывного оригинала восстановление по этому методу не имеет смысла. Методы, восстанавливающие разрывный оригинал, рассмотрены в пятой главе.

В диссертации изучаются квадратурные формулы численного обращения Лапласа и их оценки погрешности. Показывается, что наилучшими оценками погрешности обладают КФНСТ. Рассмотрен общий подход к задаче обращения преобразования Лапласа с помощью КФ. Изучены специальные квадратурные формулы (ОКФНСТ) и их применение к наследственной механике твердых тел. Рассмотрена задача определения точек разрыва оригинала, величины скачков оригинала и его производных в этих точках.

В главе 1 рассматривается задача обращения преобразования Лапласа с помощью квадратурных формул. Наивысшей алгебраической степенью точности обладают КФНСТ. Выведена формула для менее трудоемкого вычисления их коэффициентов. На основе изученных свойств приведен алгоритм построения КФНСТ, который численно реализован. и

Значение ^ | Akn | характеризует устойчивость процесса обращения

К= 1 при помощи КФНСТ по отношению к ошибкам задания функции <ps{p)-Как отмечалось выше, задача обращения неустойчива. Следовательно, накапливание ошибок на промежуточных этапах построения может существенно отразиться на конечном результате. Поэтому для построения

КФНСТ с требуемой точностью используем математический пакет Maple V, позволяющий проводить вычисления с переменной точностью.

В этой же главе рассмотрена связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р). Изучено поведение дельтообразных ядер, порождаемых этими КФ обращения преобразования Лапласа. Получены новые аналитические формулы некоторых характеристик дельта-ядер.

Если искомый оригинал f(t) является комплекснозначной функцией аргумента t, то его изображение F(p) при вещественных значениях параметра р уже не будет вещественным числом, а потому и значения параметра s не обязательно вещественны. Несомненный интерес представляет изучение КФНСТ в случае комплексного числа s. Этот вопрос рассмотрен в § 5 главы 1.

Во второй главе идет изучение оценок погрешности квадратурных формул. Некорректность задачи обращения преобразования Лапласа влечет за собой невозможность оценки погрешности в общем случае. Однако в предложении точного задания изображения F{p) и наличии некоторой априорной информации о гладкости оригинала f(t) существуют оценки погрешности КФ, которые можно найти в работах [30, 35, 39].

Были построены КФ с минимальными оценками погрешности: рассмотрены случаи оптимального выбора коэффициентов при фиксированных вещественных узлах, или при узлах КФНСТ и для произвольных узлов, и коэффициентов. Естественно, встает вопрос о сравнении оценок погрешности полученных КФ и КФНСТ.

Полученные результаты показывают, что при возрастании числа узлов КФНСТ обладают практически неулучшаемыми оценками погрешности.

В третьей главе рассмотрен общий подход к построению квадратурных формул обращения. Приведены три наиболее естественных подхода к построению квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа, изучены свойства получающихся приближенных методов и получены оценки погрешности.

Четвертая глава посвящена изучению обобщенных квадратурных формул. Показана необходимость применения таких специальных квадратурных формул. Изучены их свойства и на их основе приведен алгоритм построения ОКФНСТ. В связи с неустойчивостью метода обращения рассматривались вопросы сходимости, устойчивости и оценки погрешности ОКФНСТ. Большое внимание в этой главе уделяется применению данных формул к теории вязкоупругости твердых тел.

Пятая глава посвящена методам определения возможных точек разрыва оригинала и величины скачка оригинала в них. Приближенное значение искомой функции-оригинала вычисляется с использованием КФНСТ при различном числе узлов или с помощью методов Виддера.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 23 параграфа, и приложения. Работа изложена на 117 страницах, содержит 7 рисунков и 8 таблиц; список цитируемой литературы включает 70 наименований и расположен в алфавитном порядке. Формулы, теоремы, утверждения, замечания и таблицы нумеруются двумя цифрами: первая совпадает с номером главы, а вторая является порядковым номером внутри главы.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Матвеева, Татьяна Александровна

Основные результаты этой главы опубликованы в работе [24]. Автору принадлежит определение точек разрыва оригинала с помощью КФНСТ и скачков оригинала в них.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матвеева, Татьяна Александровна, 2003 год

1. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40, № 7. С. 1030- 1044.

2. Амербаев В.М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагер-ра. Алма-Ата. 1974. 182 с.

3. БейкерДж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М., 1986. 502 с.

4. Белов М.А., Цирулис Т.Т. Асимптотические методы обращения интегральных преобразований. Рига. 1985. 288 с.

5. Библиотека алгоритмов 1516 2006 / / Под ред. Агеева М.И. М., 1981. 184 с.

6. Гиль М.И. Об одном приближенном методе обратного преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 1972. Т. 12, № 2. С. 475 485.

7. Грандштейн И.С., Рыжик КМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962. 1100 с.

8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z преобразования. М., 1971. 288 с.

9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966. 671 с.

10. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М., 1975. 407 с.

11. Екельчик B.C., Рябов В.М. Об использовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости / / Механика композитных материалов. 1981. № 3. С. 393 -404.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959. 684 с.

13. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М., 1975. 319 с.

14. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск. Т. I, 1972. 584 е.; Т. II, 1975. 671 с.

15. Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Минск, 1968. 296 с.

16. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращению преобразования Лапласа. М., 1974. 224 с.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973. 736 с.

18. Лебедева А.В., Рябов В.М. Асимптотические свойства квадратурных формул для численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1998. № 8. С. 44 49.

19. Лебедева А.В., Рябов В.М. Об обращении преобразовании Лапласа с помощью рядов Лагерра и квадратурных формул / / Методы вычислений. Вып. 19. СПб., 2001. С. 123-139.

20. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Об оценках погрешности квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2000. № 25. С. 7 11.

21. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности. Деп. в ВИНИТИ от 25.12.00 № 3256ВОО. М., 2000. 14с.

22. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О некоторых свойствах квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. № 1. С. 16 23.

23. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О свойствах некоторых квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. № 9. С. 17 23.

24. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О квадратурных формулах обращения преобразования Лапласа и их применении к определению скачка оригинала // Вопросы мат. анализа. Красноярск. 2002. Вып. 5. С. 61 69.

25. Матвеева Т.А. Специальные квадратурные формулы приближенного обращения преобразования Лапласа и их приложения / / Перспективы развития Волжского региона. Тверь. 2002. Вып. 4. С. 236 241.

26. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Обобщенные квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. унта. 2002. №25. С. 23-33.

27. Работное Ю.Н., Паперник Л.Х., Звонов Е.Н. Таблицы дробно-экспоненциальной функции отрицательных параметров и интеграла от нее. М, 1969. 132 с.

28. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977.384 с.

29. Риекстынъш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига. Т. I. 1974. 390 е.; Т. II. 1977. 463 е.; Т. III. 1981. 370 с.

30. Рябов В.М. Обращение преобразования Лапласа при помощи квадратурных формул / / Методы вычислений. Вып. 10. Л., 1976. С. 48 60.

31. Рябов В.М. О численном обращении преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 11. Л., 1978. С. 48 57.

32. Рябов В.М. Применение аппроксимаций Паде к обращению преобразования Лапласа / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. № 7. С. 41 44.

33. Рябов В.М. Об ускорении сходимости метода Виддера обращения преобразования Лапласа / /Вестн. Ленингр. ун-та. 1981. № 1. С. 53 -58.

34. Рябов В.М. О многочленах, возникающих при численном обращении преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 12. Л., 1981. С. 46-53.

35. Рябов В.М. Оценка погрешности квадратурных формул обращения преобразования Лапласа, связанных с аппроксимациями Паде функции еz / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1984. № 1. С. 42 47.

36. Рябое В.М. О точности некоторых методов обращения преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 14. Л., 1985. С. 59 71.

37. Рябое В.М. О свойствах квадратурных формул, применяемых для обращения преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 15. Л., 1988. С. 63-73.

38. Рябое В.М. Вычисление значений и скачков оригинала с помощью формул Виддера / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 1. С. 114-116.

39. Рябое В.М. Свойства квадратурных формул, применяемых для обращения преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29, № 6. С. 941 -944.

40. Рябое В.М. Свойства квадратурных формул наивысшей степени точности, применяемых для обращения преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29, № 7. С. 1083 1087.

41. Рябое В.М. О точности вычисления значений и скачков оригинала методом Виддера / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 15. С. 35 38.

42. Рябое В.М. Поведение коэффициентов квадратурных формул обращения преобразования Лапласа при возрастании числа узлов / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1990. № 15. С. 38-40.

43. Рябое В.М. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью квадратурных формул / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1998. № 1. С. 36-39.

44. Скобля Н.С. О распределении корней многочленов, связанных с численным обращением преобразования Лапласа / / ДАН БССР. 1965. Т. 9, №5. С. 288-291.

45. Слепян JI.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. JI., 1980. 343 с.

46. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1976. 328 с.

47. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979. 288 с.

48. Цалюк З.Б. Асимптотическая структура резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром / / Математика. 2000, № 4. С. 50-55.

49. Штраус В Д. Обработка сигналов в редакционных экспериментах / / МКМ. 2000. Т. 38, № 1. С. 105 128.

50. Bellman R.E., Kalaba Р.Е., LockettJ.A. Numerical inversion of the Laplace transform. N.-Y. 1966. 249 p.

51. Boutros Y.Z. Numerical methods for the inversion of the Laplace transforms. Zurich. 1964. 64 p.

52. Bruin M.G., Saff E.B., Varga R.S. On the zeros of generalized Bessel polynomials / / Indagat. Math. 1981. Vol. 43, № 1. P. 1 25.

53. Davies В., Martin B. Numerical inversion of the Laplace transform: a survey and comparison of methods / / J. comput. phys. 1979. Vol. 33, № 1. P. 1-25.

54. Haidar N.H.S. The collocation double series inverse in quasilinear regular-izer form / / J. of inverse ill-problem. 1999. Vol. 7, № 2. P. 127 144.

55. Jagerman D.L. An inversion technique for Laplace transform with application to approximation / / The Bell system techn. j. 1978. Vol. 57, № 3. P. 669-710.

56. Jagerman D.L. An inversion technique for Laplace transform / / The Bell system techn. j. 1982. Vol. 61, № 8. P. 1995 2002.

57. Jagerman D.L. Laplace transform inequalities with application to queueing / / AT&T techn. j. 1985. Vol. 64, № 7. P. 1755 1764.

58. Leopold E. Localisation des polynomes de Bessel generalises / / C.P. Acad. Sci. Serie I. Paris. 1993. Vol. 316. P. 337 340.

59. Luke Y. The special functions and their approximations. Vol. II. 1969. N.-Y. 349 p.

60. May C.P. Saturation and inverse theorems for combination of a class of exponential-type operators / / Can. J. of Math. 1976. Vol. 28, № 6. P. 1224 -1250.

61. Mc. Whirter J. G., Pike E.R. On the numerical inversion of the Laplace transform an similar Fredholm integral equations of the first kind / / J. of Physics. A.: Mathematical and General. 1978. Vol. 11, № 9. P. 1729 1745.

62. Pasquini L. A ccurate с omputation о f t he z eros of t he g eneralized В essel polynomials / / Numerische Mathematik. 2000. Vol. 86, № 3. P. 507 538.

63. Rodrigues A.J. Properties of constants for a quadrature formula to evaluate Bromwich's integral / / J. inst. math. appl. 1976. Vol. 18, № 1. P. 49 56.

64. Rodrigues A.J. An error analysis and convergence of a quadrature formula to invert Laplace transforms II J. inst. math. appl. 1977. Vol. 20, № 1. P. 21-32.

65. Rodrigues A.J. On the accuracy of a quadrature laplace transform inversion and solution of space state equations II J. inst. math. appl. 1978. Vol. 22, № 3. P. 283-296.

66. Talbot A. The accurate numerical inversion of Laplace transforms / / J. inst. math. appl. 1979. Vol. 23, № 1. P. 97 120.

67. Widder D. V. The Laplace transform. Oxford. 1946. 406 p.

68. Zakian V. Application of Jmn approximants to numerical initial value problems in linear differential-algebraic systems II J. inst. math. appl. 1975. Vol. 15, №2. P. 267-272.

69. Zakian V. Properties of Imn & Jmn approximants and applications to numerical inversion of the Laplace transforms and initial value problems / / J. inst. math. appl. 1975. Vol. 50, № 1. P. 191 222.

70. Zakian V., Edwards M.J. Tabulations of constants for full grade Imn approximants / / Math, comput. 1978. Vol. 32, № 142. P. 519 531.