Нейросетевые модели, алгоритмы и комплекс программ для построения адаптивных сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Нечаева, Ольга Игоревна

• Нечаева, Ольга Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нечаева, Ольга Игоревна

Введение.

Глава 1. Самоорганизующиеся карты Кохонена как модель для построения адаптивных сеток.

1.1.Самоорганизующиеся карты КоХонена (SOM).

1.2. Обзор традиционных методов построения адаптивных сеток.

1.3.Свойства нейросетевой модели Кохонена для решения проблем методов построения сеток.

1.4.Постановка задачи построения адаптивных сеток.

Глава 2. Использование базовой модели SOM.

2.1.Интерпретация элементов базовой модели SOM.

2.2.Выбор коэффициента обучения.

2.3.Теорема о соответствии.

2.4.Проблемы, возникающие при применении базовой модели SOM к построению адаптивных сеток.

2.4.1. Граничный эффект.

2.4.2. Мертвые нейроны.

2.4.3. Нарушения условия сохранения топологии.

2.4.4. Гладкость сеток, полученных с помощью модели SOM.

Глава 3. Нейросетевые модели типа SOM и алгоритмы для построения адаптивных сеток.

3.1.Модификации базовой модели SOM.

3.1.1. Модель SOM с необучаемыми нейронами.

3.1.2. Раскрашенная модель SOM.

3.1.3. Смешанная модель SOM.

3.2.Композиционная модель SOM.

3.3.Примеры использования композиционной модели SOM для построения адаптивных сеток.

3.3.1. Пример использования композиционной модели SOM для построения адаптивных сеток на односвязных областях.

3.3.2. Пример использования композиционной модели SOM для построения адаптивных сеток на многосвязных областях.

3.4.Параллельный алгоритм.

3.5.Алгоритм сглаживания.

Глава 4. Оценка качества построенных сеток.

4.1 .Описание метода эквираспределения.

4.2. Оценка качества сеток по общепринятым критериям качества.

4.3.Сравнительный анализ метода эквираспределения и нейросетевого метода на примере решения одномерного уравнения Пуассона.

4.4.Сравнительный анализ метода эквираспределения и нейросетевого метода на примере решения двумерного уравнения Пуассона.

Глава 5. Комплекс программ для построения адаптивных сеток.

5.1. Основные модули.

5.2.Представление данных.

5.3.Генерация случайной точки.

5.4.Последовательная реализация комплекса программ.

5.4.1. Параметры алгоритмов.

5.4.2. Интерактивная работа с сеткой.

5.4.3. Задание функций раскраски и элементов композиционной модели SOM.

5.5.Особенности параллельной реализации и эффективность распараллеливания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нейросетевые модели, алгоритмы и комплекс программ для построения адаптивных сеток»

Построение адаптивных сеток является одной из актуальных областей научных исследований, которая привлекает в настоящее время многих исследователей. Адаптивные сетки, являясь дискретной моделью пространственной области, получили важнейшие применения при решении сложных задач численного моделирования [1]. Кроме того, они широко используются при обработке изображений [2], визуализации данных [3], в графических приложениях [4] и т.д.

Причиной использования адаптивных сеток в задачах численного моделирования является желание повысить точность приближенного решения задачи без существенного увеличения числа узлов. Среди всех методов построения адаптивных сеток можно выделить важный класс методов, в котором адаптивные сетки получаются в результате отображения некоторой вычислительной области на физическую, переводящего зафиксированную, обычно равномерную, сетку в адаптивную с заданным распределением плотности. К методам этого класса относятся такие традиционные методы построения адаптивных сеток, как метод эквираспределения [5], метод Томпсона [6], эллиптический метод [7] и т.д. Для получения качественных адаптивных сеток все эти методы, а также алгебраические методы [8] и методы конформных отображений [9], в конечном счете требуют решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ) с частными производными. Необходимость решения ДУ, сложность которых существенно возрастает с увеличением размерности пространства, накладывает ряд ограничений на возможности этих методов. В частности, для обеспечения их сходимости требуется жесткий контроль над способами задания физической области и функции плотности сетки, над свойствами граничных и начальных данных, особенно в случае сложных многосвязных областей. Это также зачастую приводит к проблемам при попытках автоматизации работы с этими методами и их эффективного распараллеливания.

Перечисленные трудности традиционных методов построения адаптивных сеток рассматриваемого класса вынуждают искать новые подходы к проблеме построения адаптивных сеток, которые могли бы стать основой для создания удобных автоматизированных высокопроизводительных инструментов при решении сложных задач моделирования, расширить класс строящихся сеток, а также в полной мере использовать все достижения современных вычислительной техники и вычислительных технологий. ,

Диссертация посвящена разработке новых нейросетевых моделей, основанных на самоорганизующихся картах Кохонена (Self-Organizing Maps, SOM) [10], которые не только расширяют возможности использования модели SOM, но и предоставляют эффективные и автоматизированные методы для построения адаптивных сеток рассматриваемого класса. Модель SOM впервые была предложена Т. Кохоненом в 1984 г., и в настоящее время широко используется в задачах, требующих построения отображения из пространств многомерных данных на пространства меньшей размерности с сохранением топологии и отражением статистического распределения, этих данных.

Наиболее важными свойствами модели SOM являются, во-первых, ее способность строить отображения произвольной размерности на основе самоорганизации и методов теории вероятностей и, во-вторых, наличие у нее внутреннего параллелизма, как у представителя нейронных сетей. Однако при использовании базовой модели SOM возникает ряд проблем, упоминающихся во многих источниках [10-12], к числу которых относятся граничный эффект, наличие «мертвых» нейронов и нарушение сохранения топологии при отображении. Эти проблемы ограничивают возможности применения модели SOM, в том числе и для построения адаптивных сеток. После анализа перечисленных проблем модели SOM, было установлено, что граничный эффект приводит к неплотному прилеганию сетки к границе физической области, «мертвые» нейроны появляются при выходе узлов сетки за границу области, а нарушение сохранения топологии приводит к вырожденности сетки. Поэтому в настоящей диссертации ставится з&дача разработки новых нейросетевых моделей типа SOM, которые, с одной стороны, позволили бы решить, хотя бы частично, проблемы базовой модели SOM, а с другой - сохранили бы все ее важные свойства. Обладая этими свойствами новые модели должны позволить решить проблемы автоматизации и эффективного распараллеливания построения адаптивных сеток, а также снять ограничения на начальные, граничные данные и функцию плотности сетки, которые характерны для традиционных методов, основанных на решении нелинейных ДУ.

Попытки применить SOM для построения адаптивных сеток были сделаны ранее в [13,14]. Однако эти работы содержат лишь начальные идеи и эксперименты, которые слишком далеки от возможности их практического использования. В настоящей работе проведен глубокий анализ возможности применения модели SOM для построения адаптивных сеток, в том числе доказано, что при достижении цели алгоритма обучения для базовой модели SOM выполняется аналог принципа эквираспределения относительно ячеек Вороного для получающихся адаптивных сеток.

В качестве расширения базовой модели SOM (А), предложенной Кохоненом, в диссертации предлагается четыре новые нейросетевые модели: (В) модель <SOM с необучаемыми нейронами, которые не меняют свои веса при обучении. Задавая должным образом веса этих нейронов, можно избежать перечисленных проблем модели SOM в чистом виде. Поскольку предварительное задание этих весов также является нетривиальной задачей, то предлагаются следующие модели: (С) раскрашенная модель SOM, которая использует функции раскраски для управления обучением нейронов, заставляя их реагировать на определенное подмножество входных данных; (ВС) смешанная модель SOM, объединяющая в себе свойства моделей (В) и I

С); (D) композиционная модель SOM, состоящая из набора смешанных моделей (ВС) различной размерности, которые взаимодействуют в процессе самоорганизации. Каждая из смешанных моделей, входящая в композиционную модель SOM, самоорганизуется на заданном ей множестве данных, которое, как правило, описывает границу или внутренность физической области. Для обеспечения правильной работы композиционной I модели, стояла задача разработать такой алгоритм ее обучения, при котором все элементы композиции работают согласованно между собой. Согласование смешанных моделей SOM при поочередном их обучении в рамках композиционной модели основано на том, что на этапе обучения одной смешанной модели нейроны граничащих с ней моделей рассматриваются как необучаемые.

Предлагаемые нейросетевые модели типа SOM и композиционная модель SOM позволяют создать эффективные методы построения адаптивных сеток на односвязных и многосвязных физических областях. В I отличие от традиционных методов, в которых для каждой размерности области и пространства требуются свои ДУ и алгоритмы, предлагаемые методы универсальны относительно этих размерностей, т.е. используют алгоритмы, в которых размерности являются лишь параметром. Лежащие в основе модели принципы самоорганизации позволяют использовать произвольные начальные данные при построении сеток и не требуют предварительной фиксации узлов сетки на границе области, т.к. граничные узлы могут расставляться автоматически в течение итерационного процесса построения сетки. Стохастическая природа алгоритмов позволяет снять I ограничения на функцию плотности сетки и использовать различные представления исходных данных, в том числе частично заданных.

Кроме того, при построении адаптивных сеток на многосвязных областях возможно использовать свойства самоорганизации для автоматического определения расположения вырезов в сетке, зафиксированной в вычислительной области, которые должны натянуться на соответствующие дыры в физической области. Отсутствие автоматизированного способа определения вырезов обычно ведет к большому количеству ручной работы особенно в случае произвольной области с неравномерной функцией плотности.

Еще одним важным преимуществом данного подхода является наличие внутреннего параллелизма в алгоритмах [10]. Поскольку все узлы при построении сетки обрабатываются по одному и тому же правилу независимо друг от друга, то эффективность распараллеливания предлагаемых методов не зависит от способа распределения узлов сетки по процессорам. Поэтому имеется возможность распараллеливать эти методы в соответствии с теми требованиями, которые налагаются на параллельное решение задачи на строящейся сетке.

Для обеспечения хорошего качества адаптивных сеток, во-первых, была поставлена задача выработки стратегии выбора параметров обучения, которые влияют также на скорость построения сеток. Во-вторых, требовалось разработать алгоритм сглаживания адаптивных сеток. Для того, чтобы не нарушались свойства предлагаемых методов, алгоритм сглаживания должен использовать правило обучения такого же вида, ^то и все разработанные нейросетевые модели типа SOM. Для оценки качества получающихся адаптивных сеток используются общепринятые критерии качества для конечно-разностных сеток [15]. Окончательная характеристика адаптивных сеток дается после оценки точности численного решения конкретной задачи на этих сетках, а также проводится сравнение с методом эквираспределения [5].

Использование нейросетевых технологий самоорганизации и предложенный принцип композиции нескольких нейросетевых моделей имеют перспективы, так как на их основе могут быть разработаны другие эффективные методы, основанные на самоорганизации. К числу таких методов могут относиться (1) методы построения движущихся адаптивных сеток [16], для которых особенно важным является свойство внутреннего параллелизма из-за необходимости постоянной подстройки сетки; (2) методы построения неструктурированных сеток на сложных областях, основанных на композиции нейросетевых моделей растущего нейронного газа (Growing Neural Gas) [17]. Цель работы

Целью работы является разработка нейросетевых моделей типа SOM, алгоритмов и программного комплекса, предназначенных для построения адаптивных сеток на односвязных и многосвязных физических областях и допускающих эффективное распараллеливание и автоматизацию.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Разработать нейросетевые модели типа SOM и композиционную модель SOM, которые решают следующие проблемы использования базовой модели SOM, предложенной Кохоненом: граничный эффект, появление «мертвых» нейронов и нарушение сохранения топологии при отображении.

2. Показать, что достижение цели обучения базовой модели SOM ведет к требуемому сгущению сетки, в частности к выполнению аналога принципа эквираспределения относительно ячеек Вороного для получающейся сетки.

3. Разработать методы, последовательные и параллельные алгоритмы для построения адаптивных сеток на основе предложенных нейросетевых моделей для односвязных и многосвязных физических областей, а также алгоритм сглаживания.

4. Разработать и реализовать комплекс программ для построения адаптивных сеток с возможностью интерактивной работы с сетками и контролем их качества.

5. Провести экспериментальное исследование методов и оценить качество получающихся адаптивных сеток по общепринятым критериям качества.

6. Провести сравнение с методом эквираспределения по критериям качества и на основе оценки точности решения задач на сбтках, построенных обоими методами.

Новизна

1. Предложены три новые нейросетевые модели типа SOM: модель SOM с необучаемыми нейронами, раскрашенная модель SOM и смешанная модель SOM, а также композиционная модель SOM, которые во-первых, решают ряд проблем использования базовой модели &ОМ, предложенной Кохоненом, а во-вторых, позволяют получать адаптивные сетки, удовлетворяющие общепринятым критериям качества.

2. Предложена стратегия выбора параметров обучения для базовой модели SOM, разработанных нейросетевых моделей типа SOM и композиционной модели SOM. Доказано, что при достижении цели алгоритма обучения для базовой модели SOM выполняется аналог принципа эквираспределения относительно ячеек Вороного для получающихся адаптивных сеток. '

3. На основе предложенных нейросетевых моделей разработаны методы построения адаптивных сеток рассматриваемого класса для односвязных и многосвязных физических областей, а также алгоритм сглаживания.

4. Реализованный программный комплекс является первым прототипом программного приложения для построения адаптивных сеток рассматриваемого класса на основе нейросетевых моделей типа SOM. Практическая ценность

Предложенные нейросетевые модели могут использоваться ка^ при построении адаптивных сеток для сложных задач численного моделирования, так и для задач, в которых базовая модель SOM не всегда может обеспечить приемлемого качества решения: визуализация многомерных данных, нелинейное проектирование, классификация, поиск информации, сжатие данных, обработка изображений и др. Разработанные на основе предложенных нейросетевых моделей методы построения адаптивных сеток могут быть применены при необходимости автоматизированного построения сеток. В особенности рекомендуется использовать предложенные методы в случае, если функции плотности сеток и физические области произвольны или частично заданы и не обладают свойствами, гарантирующими успешную работу традиционных методов, а также при отсутствии специально заданных начальных данных и граничного распределения узлов сетки. Внутренний параллелизм алгоритмов позволяет эффективно их использовать при параллельном решении задач большого размера на многопроцессорных вычислительных системах. Методы исследований

При выполнении работы использовались методы теории нейронных сетей, методы теории обучения, аппарат теории вероятностей и математической статистики, методы Монте-Карло. При исследовании качества сеток и сравнения предлагаемого метода с традиционными использовались методы вычислительной математики, методы построения адаптивных сеток на основе решения нелинейных ДУ, методы оценки качества адаптивных сеток. Для экспериментального исследования предлагаемых алгоритмов была выполнена их программная реализации в среде Visual С++ с использованием библиотеки MFC, а также библиотеки параллельного программирования MPI. Апробация работы

По мере выполнения работы с полученными результатами было сделано 20 докладов на конференциях и семинарах:

- Всероссийской научно-технической конференции Нейроинформатика-2006.

- Международная конференция по искусственным нейронным сетям, ICANN 2006, Афины, Греция

- Международная конференция Parallel Computing Technologies, РаСТ ^005.

- Пятая школа-семинар «Распределенные кластерные вычисления», Красноярск, 2005.

- Конференция молодых учёных ИВМиМГ, Новосибирск, 2004 и 2005.

- Вторая сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям. Трмск, 16-19 дек. 2003.

- Всероссийский семинар «Нейроинформатика и её приложения», ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003, 2004 и 2005.

- Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", НГУ, Новосибирск, 2005 и 2004.

- Международный семинар «Вычислительные методы и решение оптимизационных задач», Киргизия, оз. Иссык-Куль, 2004.

- Семинары Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений ИВМиМГ СО РАН (3 доклада), Информационно вычислительные технологии ИВТ СО РАН (2 доклада), Математика в приложениях ИМ СО РАН (1 доклад), Системное программирование ИСИ СО РАН (1 доклад).

Достоверность

Достоверность работы подтверждается доказательствами и выводами, а также оценкой качества сеток по общепринятым критериям качества, сравнением с одним из традиционных методов построения сеток. Все алгоритмы и методы получили экспериментальную проверку.

Публикации )

Основное содержание диссертации отражено в 15 печатных работах. Среди них 7 работ в рецензируемых изданиях, в их числе 2 работы в журналах из перечня ВАК, 4 работы в трудах конференций и 4 тезиса в материалах конференций.

Финансовая поддержка работы

Работа была отмечена премией на конференции Молодых ученых ИВМиМГ СО РАН в 2005 г. и дважды поощрена стипендиями Intel Scholarship Grant в 2005 и 2006 г. Также работа была поддержана грантами по программе фундаментальных исследований №17 Президиума РАН (20042007) и программе Рособразования «Развитие научного потенциала ВШ», проект РНП.2.2.1.1.3653 (2006-2007), European Neural Network Society Travel

Grant для участия в международной конференции ICANN 2006, Афины, Греция и IEEE Computational Intelligence Society Travel Grant для участия в международной конференции IJCNN 2007, Орландо, США. I

Личный вклад соискателя

Все научные результаты были получены лично соискателем, все публикации без соавторов.

Структура диссертации

Диссертация состоит из 5 глав. В первой главе дается обзор областей применения самоорганизующихся карт Кохонена, а также традиционных методов построения адаптивных сеток. Обозначается круг проблем, которые требуется решить путем разработки новых нейросетевых моделей. Приводится постановка задачи построения адаптивных сеток. Вторая глава посвящена анализу базовой модели SOM. В этой главе предлагается интерпретация элементов модели SOM и алгоритма ее обучения в терминах сеточной постановки задачи. Предлагается стратегия выбора коэффициента обучения. Доказывается теорема о соответствии, которая показывает, что достижение цели обучения базовой модели SOM ведет к выполнению аналога принципа эквираспределения относительно ячеек Вороного для получающейся сетки. Подробно рассматриваются проблемы базовой модели SOM и их значение для адаптивных сеток. В третьей главе предлагаются четыре нейросетевые модели и алгоритмы их обучения, а также их I использование в некоторых частных случаях: для односвязных и многосвязных областей. Предлагается алгоритм сглаживания. Четвертая глава посвящена оценке качества получающихся сеток. Для этого приводится описание метода эквираспределения, с которым будет проводиться сравнение, а также формулы некоторых общепринятых критериев качества. Оценка качества сеток проводится в сравнении с методом эквираспределения по приведенным критериям качества, а также по точности решения 1D и 2D уравнения Пуассона на сетках построенных обоими методами. В пятой главе дается описание реализованного комплекса программ для построения I адаптивных сеток с использованием разработанных нейросетевых моделей. Приводится последовательная и параллельная реализации алгоритмов. .

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Нечаева, Ольга Игоревна

Выводы из главы 5 I

Разработанный комплекс программ позволяет автоматизировано строить адаптивные сетки на произвольных областях, заданных растровым изображением, с помощью предложенных нейросетевых моделей типа SOM. Программные приложения предоставляют ряд инструментов для визуализации данных, корректировки сетки и получения информации о ее состоянии. Эффективность распараллеливания алгоритма обучения для смешанной модели SOM составляет более 90%.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты.

Проанализированы особенности непосредственного применения модели SOM, предложенной Кохоненом, для построения адаптивных сеток и выявлен ряд проблем, которые требуется решить для получения приемлемых адаптивных сеток.

Предложены три нейросетевые модели типа SOM: модель SOM с необучаемыми нейронами, раскрашенная модель SOM и смешанная модель SOM, а также композиционная модель SOM, которые с одной стороны решают проблемы использования базовой модели SOM, а с другой -обладают теми же важными ее свойствами, дающими перспективы эффективного и автоматизированного построения адаптивных сеток.

Предложена стратегия выбора параметров обучения для разработанных моделей типа SOM. Доказано, что при достижении цели обучения выполняется аналог принципа эквираспределения относительно ячеек Вороного для получающейся сетки.

На основе предложенных нейросетевых моделей типа SOM разработаны методы построения адаптивных сеток рассматриваемого класса для односвязных и многосвязных физических областей, а также алгоритм сглаживания.

Разработан и реализован комплекс программ для автоматизированного построения двумерных адаптивных сеток, который позвбляет визуализировать процесс построения сетки, выполнять ряд преобразований полученных сеток и получать информацию о параметрах алгоритмов и критериях качества.

Проведено экспериментальное исследование предложенных нейросетевых методов и их сравнение с методом эквираспределения на примере решения одномерного и двумерного уравнения Пуассона на построенных сетках, в результате чего было установлено, что качество получающихся адаптивных сеток удовлетворяет общепринятым критериям. I I

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нечаева, Ольга Игоревна, 2007 год

1. Лебедев А.С., Лисейкин В.Д., Хакимзянов Г.С. Разработка методов построения адаптивных сеток. // Вычислительные технологии. Том 7, №3, 2002. с. 29

2. Brankov J.G., Yang Y., Galatsanos N.P. Image restoration using cojitent-adaptive mesh modeling. // ICIP 03, Vol. II, 2003, pp. 997-1000

3. Hu W., Yang W., Xiong Y. An adaptive mesh model for 3D reconstruction from unorganized data points // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Springer London, Springer London, Vol. 26, No. 11-12, pp. 13621369

4. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами // Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001,394 с.

5. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation, foundations and applications // Amsterdam: North-Holland. 1985.

6. Лисейкин В.Д., Лебедев A.C., Китаева И.А. Универсальный эллиптический метод построения разностных сеток // Новосибирск: НГУ, 2004.266 с. '

7. Gordon W.J., Thiel L.C. Transfinite mappings and their applications to grid generation. // Numerical Grid Generation, Appl. Mathematics and Computation, vol. 2/3,1982. p. 171-192.

8. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разносных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т.7. 1967. С. 1031-1059

9. Kohonen Т. Self-organizing Maps // Springer Series in Information Sciences, V.30, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2001, 501 p.

10. Wu Y., Takatsuka M. The Geodesic Self-Organizing Map and its error analysis

11. ACM International Conference Proceeding Series. Proceedings of the Twentyieighth Australasian conference on Computer Science, Vol. 38, Australian Computer Society, Inc., Darlinghurst, Australia, 2005, pp. 343 351

12. Villman Т., Der R., Hermann M., Martinetz Т. M. Topology preservation in self-organizing maps: exact definition and measurement // IEEE Transactions on Neural Networks, 8, 1997, pp. 256-266

13. Manevitz L., Yousef M.s Givoli D. Finite Element Mesh Generation Using Self-Organizing Neural Networks // Special Issue on Machine Learning of Microcomputers in Civil Engineering, Vol. 12, No. 4,1997, pp. 233-250i

14. Lowther D.A., Mai W. On automatic mesh generation using Kohonen maps // IEEE transactions on magnetics, 34(5), 1998, pp. 3391-3394

15. Прокопов Г.П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных двумерных разностных сеток // Москва, 1989. 27 с. (Препринт / ИПМ им. Келдыша АН СССР; № 18).

16. Nechaeva О., Bessmeltsev М. Parallel Construction of Moving Adaptive Meshes Based on Self-Organization // Accepted for publication in PaCT 2007 proc., Lecture Notes in Computer Science, Vol. 4671. Berlin: Springer, )2007, pp. 591-600

17. Bohn Ch.-A. Finite Element Mesh Generation using Growing Cell Structures Networks // Neural Networks in Engineering Systems, Turku, Finland, 1997. pp. 241-244.

18. Ritter H., Martinets Т., Schulten K. Neural Computation and Self-Organizing Maps: An Introduction // New York: Addison-Wesley, 1992.

19. Das A. Cortical Maps: Where Theory Meets Experiments // Neuron^ Vol. 47, Issue 2,2005, pp. 168-171

20. Polzlbauer G., Rauber A., Dittenbach M. Graph projection techniques for Self

21. Organizing Maps // Proceedings of the European Symposium on Artificial Neurali

22. Networks (ESANN'05), Bruges, Belgium, 2005, pp. 533-538

23. Fritzke B. Some competitive learning methods // Technical report, Systems Biophysics, Inst, for Neural Сотр., Ruhr-Universitat Bochum, April 1997

24. Flexer A. On the Use of Self-Organizing Maps for Clustering and Visualization // Principles of Data Mining and Knowledge Discovery, 1999, pp. 80-88.

25. Нечаева О. И. Сравнительный анализ нейросетевых алгоритмов кластеризации символьных последовательностей // Автометрия. Том 41, №1, 2005. С. 57-70 /

26. Ong J. Data Mining Using Self-Organizing Kohonen Maps: A Technique for Effective Data Clustering & Visualisation // International Conference on Artificial Intelligence (IC-AI'99), June 28-July 1, 1999, Las Vegas.

27. Mao J., Kraaijveld M. A., Jain A. K. A nonlinear projection method based on Kohonen's topology preserving maps // IEEE Transactions on Neural Networks, 6(3):548-559, May 1995.

28. Hammer В., Micheli A., Neubauer N., Sperduti A., Strickert M. Selfi

29. Organizing Maps for Time Series // Proceedings of WSOM 2005, Paris, France, pp. 115-122

30. Wang S. Application of self-organizing maps for data mining with incomplete data sets // Neural Computing & Applications, Springer London, Vol. 12, No. 1, 2004, pp. 42-48

31. Ntirnberger A., Klose A., Kruse R. Self-organizing maps for interactive Search in document databases // Studies In Fuzziness And Soft Computing, Physica-Verlag GmbH, Heidelberg, Germany, 2003, pp. 119 -135

32. Kasslin M., Kangas J., Simula O. Process state monitoring using self-organizing maps //1. Aleksander and J. Taylor, editors, Artificial Neural Networks, 2, vol. II,, Amsterdam, Netherlands, 1992. pp. 1531-1534.

33. Dar Ren Chen, Ruey Feng Chang, Yu Len Huang. Breast cancer diagnosis using Self-organizing Map for sonography // Ultrasound in Medicine and Biology, Vol. 26,2000, pp. 405-411 '

34. Joutsensalo J. Nonlinear data compression and representation by combining self-organizing map and subspace rule // Neural Networks, IEEE World Congress on Computational Intelligence, Digital Object Identifier, Vol. 2, No. 27, 1994, pp. 637-640.

35. Koutnik J., Mazl R., Kulich M. Building of 3d environment models for mobile robotics using self-organization // In Proc, of The 9th International Conference on Parallel Problem Solving From Nature PPSN-IX, Springer, 2006, pp. 721-730.115 ,

36. Bern M., Plassmann P. Mesh Generation // Chapter 6 in Handbook of Computational Geometry. J.-R. Sack and J. Urrutia, eds., Elsevier Science, 1999.

37. Cao W., Huang W., Russell R.D. Approaches for generating moving adaptive meshes: location versus velocity // Applied Numerical Mathematics, Vol. 47,2003. pp. 121-138

38. Годунов C.K., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных се^ок в газодинамических расчетах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -1972. -Т.12. С. 429-440.

39. Liseikin V.D. Grid Generation Methods // Springer-Verlag, Berlin 1999. 362p.

40. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей // М:Мир, т.2, 1991,552с.

41. Smith R.E. Algebraic Grid Generation // Numerical Grid Generation (ed. by J.F.Thompson). New York, North-Holland, 1982, pp. 137-170.

42. Eisemann P.R. A multi-surface method of coordinate generation // J. Of Сотр. Phys., vol.33, N1, 1979, pp.118-150.

43. Eisemann P.R. Coordinate generation with precise controls over'nesh properties // J. of Сотр. Phys., vol.47, N3, 1982, pp.331-351.

44. Eriksson L.E. Generation of boundary-conforming grids around wing-body configurations using transfinite interpolation // AIAA J., vol.20, N10, pp.13131320.

45. Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А. Построение сеток в сложных областях при помощи квазиконформных отображений // Труды ИМ СО РАН, Новосибирск: Наука, 1990. Т.18. - С.75-84

46. Хэлси Н.Д. Использование конформных отображений при построении сеток для расчета обтекания трехмерных аэродинамических компоновок сложной формы//АКТ, N11,1988, с.11-18.

47. Ryskin G., Leal L.G. Orthogonal mapping // J. of Сотр. Phys., vol.50, N1, 1983, pp.71-100. ,

48. Nakamura S. Marching grid generation using parabolic partial differential equations // Numerical Grid Generation (ed. by J.F.Thompson). New York, North-Holland, 1982, pp.775--786.

49. Thompson J.F. Elliptic grid generation // Numerical Grid Generation (ed. by J.F.Thompson), New York, North-Holland, 1982, pp.79-106.

50. Nechaeva O. Neural Network Approach for Parallel Construction of Adaptive Meshes //Parallel Computing Technologies 2005. Lecture Notes in Computer Science, Vol. 3606. Springer, Berlin Heidelberg (2005) 446-451 '

51. Нечаева О. И. Применение самоорганизующихся карт Кохонена (SOM) для построения адаптивных сеток // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ. Новосибирск, 2004. С. 140-147

52. Нечаева О. И. Нейросетевой подход для построения адаптивных сеток // Сборник научных трудов Всероссийской научно-технической конференции Нейроинформатика-2006: Часть 2. Москва: МИФИ, 2006. С. 172-179

53. Нечаева О. И. Применение нейросетевого подхода для построения двумерных адаптивных сеток // Автометрия. Том 42, №3, 2006. С. 40-49

54. Нечаева О. И. Построение адаптивных сеток с помощью самоорганизующихся карт Кохонена // Материалы XLIII Международной117научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, Новосиб. гос. ун-т, 2005. С. 187

55. Ghahramani, Z. Unsupervised Learning. // Bousquet О. et al. (eds.): Machine Learning 2003. Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 3176, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2004. p. 72-112

56. Okabe A., Boots В., Sugihara K., Sung Nok Chiu. Spatial Tessellationst

57. Concepts and Applications of Voronoi Diagrams // 2nd edition. John Wiley, 2000, 671 p.

58. Михайлов H. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло // Изд-во Academia, 2006,368 с.

59. Sullivan Т. J., de Sa V. R. A self-organizing map with homeostatic synaptic scaling // Neurocomputing, 69,2006. pp. 1183-1186

60. Ritter H. Self-Organizing Maps on non-euclidean Spaces // Kohonen Maps, Elsevier, Amsterdam, 1999, pp. 97-110 '

61. Сивохин А. В. Искусственные нейронные сети: Лаб. практикум // Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. 136 с.

62. Rumelhart D. Е., Zipser D. Feature discovery by competitive learning // Cognitive Sci., vol. 9, 1985, pp. 75-112

63. Нечаева О. И. Построение адаптивных криволинейных сеток на двумерной выпуклой области с помощью самоорганизующихся карт Кохонена // Нейроинформатика и её приложения: Материалы XIII

64. Всероссийского семинара. Красноярск, ИВМ СО РАН, 2004. С. 101-102118

65. Nechaeva О. Composition of Self Organizing Maps for Adaptive Mesh Construction on Complex-shaped Domains // Proc. of 6th Int. Workshop on Self-Organizing Maps (WSOM 2007), Bielefeld, Germany, September 3-6, 2007, in press.

66. Нечаева О. И. Композиционный алгоритм для построения адаптивных сеток произвольной структуры // Сборник научных трудов Всероссийской научно-технической конференции Нейроинформатика-2007. Москва: МИФИ, 2007. С. 72-79

67. Нечаева О. И. Композиционный алгоритм для построения адаптивных сеток на основе самоорганизующихся карт // Вестник Томского Университета. № 18,2006. С. 97-102

68. Большая Советская Энциклопедия // 3-е издание, изд-во Советская Энциклопедия, 1978 г. '

69. Nechaeva О. The Neural Network Approach to Automatic Construction of Adaptive Meshes on Multiply-connected Domains // Proc. of International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN 2007), Orlando, Florida, USA, August 12-17,2007, in press

70. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики // 2е изд. Научный мир, 2003, 316 с.

71. Нечаева О. И. Сравнение нейросетевого метода построения адаптивных сеток с методом эквираспределения на примере решения одномерного уравнения Пуассона // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ. Новосибирск, 2005. С. 142-154

72. Круглински Д., Уингоу С., Шеферд Дж. Программирование на Microsoft Visual С++ 6.0 для профессионалов // СПб.: Питер, 2002.

73. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.