Морфологические методы идентификации объектов со случайно изменяющейся формой по их изображениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Зубюк, Андрей Владимирович

• Зубюк, Андрей Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Зубюк, Андрей Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Математические методы морфологического анализа изображений и моделирования случайности и нечёткости (обзор литературы)

1.1 Морфологический анализ изображений

1.1.1 Пространство полутоновых изображений

1.1.2 Форма изображения

1.1.3 Независимость изображений по форме

1.1.4 Морфологические методы решения прикладных задач анализа изображений [42]

1.1.5 Морфологический анализ изображений при изменениях геометрических параметров сцены и условий регистрации

1.2 Математическое моделирование случайности и нечёткости

1.2.1 Теория вероятностей

1.2.2 Теория возможностей Заде и её аналоги

1.2.3 Теория возможностей Пытьева

Глава 2. Математические модели случайной формы изображения

2.1 Геометрическая форма объекта и форма его изображения

2.2 Вероятностная модель случайной формы изображения

2.2.1 Основные определения и модель регистрации изображения

2.2.2 Идентификация

2.2.3 Обучение идентификации

2.3 Возможностная модель случайной формы изображения

2.3.1 Основные определения и модель регистрации изображения

2.3.2 Идентификация

2.3.3 Согласованность вероятностной и возможностной моделей идентификации

2.3.4 Обучение идентификации

Глава 3. Численные методы решения задач идентификации объектов по их изображениям и моделирования

____и и _______

вероятностной случайности возможностными методами

3.1 Численное решение задачи идентификации объектов со случайными геометрическими формами в вероятностной постановке

3.1.1 Разбиение семейства форм изображений

3.1.2 Упрощённая постановка задачи идентификации и её решение

3.1.3 Обучение идентификации

3.2 Приближённое решение задачи идентификации объектов со случайными геометрическими формами в возможностной постановке

3.2.1 Упрощённая постановка задачи идентификации и её решение

3.2.2 Обучение идентификации

3.3 Построение вероятностной модели стохастического эксперимента по

его возможностной модели

Глава 4. Программный комплекс для решения задач идентификации и выделения объектов на изображениях и компьютерного моделирования случайности возможностными методами

4.1 Программный модуль для компьютерного моделирования вероятностной случайности возможностными методами

4.2 Идентификация объектов со случайными геометрическими формами

4.2.1 Тестирование программного модуля для построения оптимальных вероятностных и возможностных правил идентификации на реальных данных

4.2.2 Тестирование программного модуля для построения оптимальных вероятностных и возможностных правил идентификации на модельных данных

4.3 Программный модуль для построения алгоритмов поиска известного объекта со случайной формой на предъявленном изображении

Заключение

Список использованных обозначений и сокращений

Список литературы

Приложение Л. Оптимальные вероятностные и возмож-

ностныЕ решения

Л.1 Элементы теории вероятностей

Л.1.1 Абсолютно непрерывная вероятность

Л.1.2 Случайный элемент

Л.1.3 Независимость случайных событий и случайных элементов

Л.1.4 Переходная вероятность

Л.2 Элементы теории возможностей

Л.2.1 Нечёткий элемент

Л.2.2 Независимость нечётких событий и нечётких элементов

Л.2.3 Переходная возможность

Л.2.4 Возможность, максимально согласованная с вероятностью

Л.3 Статистические задачи проверки гипотез

Л.3.1 Объект исследования и проверяемые гипотезы

Л.3.2 Схема принятия решения

Л.3.3 Выбор оптимального критерия

Л.4 Возможностные методы принятия решений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Морфологические методы идентификации объектов со случайно изменяющейся формой по их изображениям»

Введение

Актуальность темы диссертации и степень ее разработанности

В связи с появлением компьютерной техники и её бурным развитием в последние десятилетия всё большее внимание уделяется автоматизации различных видов человеческой деятельности, обусловленных интеллектуальными возможностями человека, а также его способностью анализировать зрительные образы. Примером такой деятельности является получение информации о пространственных характеристиках сцен по изображениям и видеосигналам, в частности: идентификация объектов по их изображениям, определение размеров и других геометрических параметров изображённых объектов, поиск известного объекта на предъявленном изображении, анализ изменений сцены по серии её изображений, зарегистрированных в разные моменты времени при неизвестных условиях освещения.

Первые работы в этой области относятся к середине - второй половине прошлого столетия. Так, например, в работах [1, 2] предложен метод обнаружения на предъявленном бинарном изображении (изображении, яркость которого может принимать только 2 значения, соответствующие «чёрному» и «белому» цветам) белых прямых линий, в основу которого легло преобразование, названное впоследствии преобразованием Хафа. В работах [3, 4] представлены методы математической морфологии Матерона-Серра , изначально разработанные для анализа структуры минералов по бинарным изображениям их тонких срезов. Начиная с последней четверти прошлого века данная область получает бурное развитие, и в настоящее время представлена целым рядом направлений как в России: морфологический анализ изображений [5—9], непрерывная морфология бинарных изображений [10], знаковые представления в задачах анализа изображений [11, 12] и др., так и по всему миру — в дополнение к математической морфологии Матерона-Серра и методам, основанным на преобразовании Хафа, отметим методы контурной морфологии на базе Фурье-дескрипторов [13], представления в межмасштабном пространстве кривизны (Curvature Scale Space, CSS) [14] и др. При этом исследования последних лет позволили охарактеризовать единую математическую природу различных морфологических методов [15—21] и подытожить результаты исследований в области морфологии изображений в виде хорошо оформленного

«курса лекций и практических занятий» [22].

Среди всех подобных методов выделим методы морфологического анализа изображений [5—9], развиваемые с 70-ых годов XX века под руководством профессора Московского университета Ю. П. Пытьева и положенные в основу настоящей диссертации. В основе математических методов морфологии Пытьева, изначально предназначенных для анализа полутоновых изображений, лежит идея инвариантности относительно изменения априори неизвестных условий регистрации. Ключевым математическим понятием в морфологии Пытьева является понятие формы заданного изображения сцены как множества всех её изображений, представляющих геометрические характеристики сцены и составляющих её объектов не более детально, чем заданное. Форма изображения сцены несёт всю информацию о геометрических характеристиках сцены и составляющих её объектов, доступную по этому изображению.

На сегодняшний день морфология Пытьева является одним из наиболее эффективных инструментов решения задач анализа сцен по изображениям, зарегистрированным при радикально различающихся условиях освещения и параметрах регистрирующей аппаратуры (камеры), например, задачи выделения новых объектов на городской улице на основе сравнения двух её изображений, полученных при яркой солнечной погоде и в пасмурный день, задачи узнавания объекта по изображениям, полученным в разных спектральных диапазонах и др. С другой стороны, при решении прикладных задач анализа изображений зачастую приходится иметь дело с объектами, геометрические формы которых могут изменяться в известных пределах, сохраняя при этом характерные особенности, свойственные формам именно этих объектов. К таким задачам относятся задача идентификации личности по изображению лица (трудность данной задачи обусловлена как возможными вариациями условий освещения, так и вариациями причёски, мимики и т. д.), задача идентификации личности по изображению ладони (геометрическая форма которой определяется, среди прочего, неизвестным заранее относительным положением пальцев) и т. п.

В связи с тем, что методы морфологии Пытьева, изначально не ориентированные на решение задач анализа изображений объектов с изменяющейся формой, не позволяют строить вычислительно эффективные алгоритмы их решения, представляет интерес развитие методов, совмещающих инвариантность относительно изменения заведомо неизвестных условий освещения и параметров регистрирую-

щей аппаратуры с возможностью анализа изображений объектов, геометрические формы которых подвержены изменениям. В диссертации данная проблема рассмотрена на примере важной прикладной задачи идентификации объектов по их изображениям.

Цели и задачи работы

Целью диссертации является разработка математических методов, позволяющих анализировать изображения в терминах, инвариантных относительно изменения условий освещения и параметров регистрирующей аппаратуры (что характерно для морфологии Пытьева), и позволяющих решать задачи идентификации объектов с изменяющейся геометрической формой по их изображениям. Под объектом со случайно изменяющейся геометрической формой (или просто — случайно изменяющейся формой) в диссертации понимается подвижный эластичный физический объект, геометрическая форма которого может изменяться в известных пределах, сохраняя при этом характерные особенности, свойственные форме именно этого объекта, либо объект, выбранный наугад из класса объектов, геометрические формы которых имеют общие характерные особенности. Предполагается, что процедура регистрации изображений подобного объекта такова, что его геометрическая форма, запечатлённая на каждом конкретном изображении, является результатом случайного выбора из множества всех его форм.

Задачами диссертации являются:

1) Разработка для вероятностной и возможностной моделей методов математического моделирования форм изображений объектов со случайно изменяющейся геометрической формой, зарегистрированных при неизвестных и изменяющихся условиях освещения и параметрах регистрирующей аппаратуры.

2) Постановка и решение математических задач идентификации объектов со случайно изменяющейся формой по их изображениям как задач минимизации вероятности и возможности ошибки.

3) Разработка методов обучения идентификации объектов, т. е. построения оптимальных правил идентификации по обучающей выборке изображений объектов со случайно изменяющейся формой.

4) Разработка алгоритмов и комплекса программ для решения задач идентификации объектов по их изображениям. Сравнительный анализ методов идентификации, разработанных в рамках вероятностной и возможностной моделей случайной формы изображения.

Научная новизна

Научная новизна диссертации состоит в том, что впервые:

1) Разработаны методы математического моделирования случайных форм изображений, позволившие расширить область применимости морфологии Пытьева на задачи анализа изображений объектов со случайно изменяющейся геометрической формой.

2) Определено понятие сравнительной близости форм изображений, на основе которого введена функция конкурентного сходства форм изображений и разработан метод определения её числовых значений.

3) На основе анализа понятия сравнительной близости форм изображений получены оценки вероятности ошибки определения формы изображения методом ближайшего соседа при искажении изображения случайным аддитивным шумом. Это позволило предложить методы сведения математических задач идентификации объектов со случайно изменяющейся формой по их изображениям к упрощённым конечномерным задачам оптимизации, разработать численные методы и алгоритмы поиска приближённых решений исходных задач идентификации и их программные реализации.

4) Разработан программный модуль для построения компьютерных моделей стохастических экспериментов с изменяющимися вероятностными моделями по заданным (и неизменным) возможностным моделям этих экспериментов (ранее вопросы стохастического моделирования возможности были детально исследованы в [23], где был предложен метод стохастического моделирования независимых в возможностном смысле одинаково распределённых нечётких величин, не подразумевающий, однако, изменения вероятностной модели).

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены при построении систем анализа сцен и формы объектов по их изображениям, таких как системы видеонаблюдения и контроля доступа, антитеррористические и биометрические системы, системы интерпретации микроскопических изображений, медицинской диагностики, анализа природных ресурсов Земли из космоса и т. д.

Методология и методы диссертационного исследования

Теоретическая часть диссертационной работы выполнена с использованием теории меры и интеграла, теории вероятностей и математической статистики, теории возможностей, математических методов морфологического анализа изображений. Вычислительные эксперименты реализованы с помощью комплекса программ, разработанного с использованием языков программирования C++, Python, пакета программ Scilab, технологий Qt и NVIDIA CUDA.

Положения, выносимые на защиту

1) Разработаны методы математического моделирования случайных форм изображений и реализованы для вероятностной и возможностной моделей.

2) Предложены методы сведения задач минимизации ошибок идентификации объектов со случайно изменяющейся формой по их изображениям к упрощенным конечномерным задачам оптимизации. Разработаны численные методы и алгоритмы поиска приближенных решений задач минимизации ошибок идентификации, в том числе с использованием обучающей выборки изображений. Получены оценки, характеризующие отклонение приближённых решений от истинных в зависимости от размера изображений в пикселях, а также величины допустимых вариаций условий освещения и параметров регистрирующей аппаратуры.

3) Разработаны алгоритмы поиска объектов со случайно изменяющейся формой на предъявленном изображении, допускающие программную реализа-

цию с использованием параллельных вычислений на графических процессорах.

4) Разработан комплекс программ для идентификации и обучения идентификации объектов со случайно изменяющейся формой по их изображениям, поиска на предъявленном изображении объектов со случайно изменяющейся формой с использованием параллельных вычислений на графических процессорах, компьютерного моделирования вероятностной случайности воз-можностными методами.

Степень достоверности полученных результатов

Достоверность теоретических результатов, полученных в диссертационной работе, обоснована приведёнными доказательствами лемм и теорем, корректностью проведённых математических преобразований. Достоверность прикладных результатов подтверждена устойчивой работой разработанных алгоритмов и комплекса программ анализа формы изображений в проведённых вычислительных экспериментах и согласием полученных результатов с предсказаниями теории.

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены:

— на конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование-1», 2005 г.,

— на конференции «Математические методы распознавания образов-12»,

2005 г.,

— на конференции «Интеллектуальные системы и компьютерные науки-1Х»,

2006 г.,

— на конференции «Математические методы распознавания образов-13»,

2007 г.,

— на конференции «Математические методы распознавания образов-15», 2011г.,

— на Московском морфологическом семинаре под рук. проф. Ю. П. Пытьева 22 сентября 2011г., 01 ноября 2012 г. и 17 декабря 2015г.,

— на семинаре «Математические методы в естественных науках» под рук. проф. А. Н. Боголюбова 22 мая 2013 г.,

— на семинаре «Обратные задачи математической физики» под рук. проф. А. Б. Бакушинского, проф. А. В. Тихонравова, проф. А. Г. Яголы 11 сентября 2013г. и 11 марта 2015 г.,

— на научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ под рук. проф. А. В. Тихонравова 3 ноября 2017 г.

Личный вклад автора

Все результаты диссертации получены автором лично. Математические постановки задач и анализ полученных результатов осуществлены совместно с Ю. П. Пытьевым.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ [24—34], из которых 6 статей в рецензируемых печатных научных журналах [24—29] и 5 статей в сборниках трудов конференций [30—34]. В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 5 статей [24— 28].

Глава 1. Математические методы морфологического анализа изображений и моделирования случайности и нечёткости

(обзор литературы)

Как указано во введении, настоящая диссертация посвящена разработке новых методов морфологического анализа изображений Пытьева, позволяющих решать задачи идентификации объектов, геометрические формы которых подвержены случайным изменениям. В связи с этим в разделе 1.1 настоящей главы дан краткий обзор морфологии Пытьева.

Для учёта случайных изменений форм объектов сцены и определения критериев оптимальности в задачах их идентификации в диссертации строятся вероятностная и возможностная модели формы изображения. В связи с этим в разделе 1.2 настоящей главы дан краткий обзор методов математического моделирования случайности и нечёткости. Методы принятия решений в рамках вероятностной и возможностной моделей рассмотрены в приложении А.

1.1 Морфологический анализ изображений

В отличие от многих других методов анализа изображений, в том числе морфологических (таких как методы теории распознавания образов [35—37], методы математической морфологии Матерона-Серра [3, 4] и др.), рассматриваемые в настоящем разделе методы морфологического анализа изображений Пытьева [5-9, 38—42] могут быть с успехом применены при решении таких задач, как узнавание объектов на изображениях, зарегистрированных при существенно отличающихся условиях освещения, выделение структурных отличий (отличий по форме) изображений, снятых разными камерами или в разных спектральных диапазонах и т. п. Иными словами, методы морфологического анализа изображений Пытьева позволяют решать указанные задачи в ситуациях, характеризующихся принципиальной неизвестностью и неконтролируемостью условий регистрации изображений. Математической основой данного свойства служит идея анализа изображений в терминах инвариантов относительно неизвестных и неконтролируемо изменяющихся условий регистрации.

1.1.1 Пространство полутоновых изображений

Рассмотрим типовую схему регистрации полутонового изображения, см. рис. 1.1. Для регистрации обычно используется аппаратура (фотоаппарат, видеокамера и др.), основными элементами которой являются:

1) объектив, осуществляющий фокусировку светового потока;

2) матрица светочувствительных детекторов, осуществляющая преобразование падающего на неё света в выходной электрический сигнал, который в современной аппаратуре оцифровывается и представляется в виде матрицы целых или вещественных чисел. В случае регистрации полутоновых изображений все светочувствительные детекторы, составляющие матрицу, одинаковы.

лз I Ф

и

и

К лз Е

Ф >

СР 5 СР

н

и

ф о.

Регистрирующая аппаратура

А

х .й I .й

Ф Н

Рисунок 1.1 — Схема регистрации полутонового изображения.

Каждый светочувствительный детектор, входящий в состав матрицы, представляет собой элемент, преобразующий падающий на него свет в выходной сигнал /, связанный с физическими характеристиками детектора и света следующим образом:

/ = и \ в(ш)/ш(ш)6.ш

(1.1)

— е(-) : [0, то) ^ [0, то) — спектральная плотность интенсивности светового потока, падающего на детектор,

— ■&>(•) : [0, то) ^ [0, то) — спектральная чувствительность детектора,

— и(-) : [0, то) ^ [0, то) — монотонно неубывающая функция.

Функции эд(-) и м(^) определяют цветопередачу детектора.

Введём на поверхности, которую образует матрица светочувствительных детекторов (как правило, это плоскость), координаты ж1, ж2 € (-то, то). Множество пар (ж1, ж2), соответствующих центрам светочувствительных детекторов, которое обозначим X, называется полем зрения. Таким образом, между множеством детекторов матрицы и полем зрения X установлено взаимно-однозначное соответствие:

1) каждому детектору соответствует точка ж = (ж1, ж2) поля зрения X, где ж1, ж2 € (-то, то) — координаты цента детектора в выбранной системе;

2) каждой точке ж = (ж1, ж2) € X соответствует детектор матрицы, центр которого имеет координаты ж1, ж2 € (-то, то).

Пусть на а-алгебре В подмножеств поля зрения X определена мера д. Например, если поле зрения X конечно, то есть X = {ж1, ..., жп}, то д может быть определена на алгебре ) всех подмножеств множества X как считающая мера, то есть такая, что д({ж}) = 1, ж € X. Если же X — прямоугольное подмножество координатной плоскости, то в качестве д может выступать мера Лебега, определённая на а-алгебре всех борелевских подмножеств X.

Математической моделью полутонового изображения в морфологическом анализе является интегрируемая с квадратом функция ](•) : X ^ (-то, то):

J /2(ж)ф,(ж) < то. (1.2)

X

Значения функции /(•) интерпретируются следующим образом: для всякой точки (ж1, ж2) = ж € X величина /(ж) есть выходной сигнал светочувствительного детектора, центр которого имеет координаты ж1, ж2 € (-то, то). Данный выходной сигнал, который принято называть яркостью изображения в точке ж, определяется выражением (1.1).

Множество всех функций, определённых на X, принимающих значения на (-то, то) и удовлетворяющих (1.2), с естественными линейными операциями, скалярным произведением

(/ъ /2) = ^

X

и согласованной с ним нормой

II/II = УТТ,

которое будем обозначать ^^), называется пространством изображений. Как было сказано выше, математической моделью всякого полутонового изображения считается интегрируемая с квадратом функция /(•) : X ^ (-то, то), то есть элемент пространства (X). В связи с этим для краткости любой элемент пространства (X) в дальнейшем также будем называть изображением.

1.1.2 Форма изображения

Ключевым понятием морфологического анализа изображений является понятие формы изображения. Первое математическое определение формы изображения, данное в [5], основано на математической связи изображений сцены, полученных при одинаковых условиях освещения, но с использованием разной регистрирующей аппаратуры. Данная связь является следствием выражения (1.1).

Пусть /1, /2 € ^^) — два изображения одной сцены, зарегистрированные разными камерами при одинаковых освещении и ракурсе. Если эти камеры отличаются только функциями и(-) в (1.1), причём функции м1(^) и м2(-), соответствующие двум данным камерам, обратимы, то найдётся такая функция ^(•) : (-то, то) ^ (-то, то), что

/1(ж) = ^(/2(ж)), ж € X. (1.3)

Верно и обратное — найдётся такая функция : (-то, то) ^ (-то, то), что

/2(ж) = ^'(/1(ж)), ж € X. (1.4)

Рисунок 1.2 — Два изображения одного и того же фрагмента стены, отличающиеся контрастностью.

Пример подобных изображений приведён на рис. 1.2. В связи с (1.3), (1.4) дадим следующее определение [5].

Определение 1.1. Формой изображения I Е С1 (X) называется множество изображений

Уг =

^(•) : (-то, то) ^ (-то, то), у I('))Ф(х) < то

х

Заметим, что интерпретация определения 1.1 может быть гораздо более широкой, чем интерпретация, связанная с рассуждениями, приведшими к этому определению. Действительно, если I Е У/2, I, I2 Е С^(X), то:

— либо изображения I и 12 связаны равенствами (1.3), (1.4), в этом случае верно также и 12 Е У^, а изображения 1, 12 можно считать эквивалентными по форме в том смысле, что все детали сцены, которые можно увидеть на одном из них, можно увидеть и на другом, независимо от того, какими камерами и при каких условиях освещения зарегистрированы I и 12;

— либо верно только равенство (1.3), в то время как (1.4) нарушено, в этом случае некоторые детали сцены, различимые на изображении 12, не различимы на 1\ (радикальным примером такой ситуации может служить случай, когда изображение I получено при отсутствии освещения и I (х) = 0, х Е X).

Таким образом, форма Vf изображения I Е С^(X) может быть интерпретирована как множество изображений сцены, представленной на I, несущих о геометрической форме объектов этой сцены, их расположении относительно регистрирующей аппаратуры и взаимном расположении такую же или меньшую информа-

цию, что и f. При этом изображения из Vf могут быть зарегистрированы разными камерами, при разных условиях освещения, в разное время года (если речь идёт, например, о снимках поверхности Земли из космоса) и т.д. Так, изображения f и f2, приведённые на рис. 1.3 слева, зарегистрированы с использованием одной и той же камеры, но при существенно отличающихся условиях освещения, при этом они связаны равенством (1.3), т.е. f £ Vf2, график функции F(•) приведён на рис. 1.3 справа.

Можно показать, что форма Vf всякого изображения f £ L2(X) является линейным многообразием (вообще говоря, не замкнутым) в пространстве L2(X). Если в дополнении к этому Vf замкнута, т. е. является линейным подпространством L (X), то ей может быть поставлен в соответствие оператор Пу, ортогонального проецирования (или иначе проектор) на Vf. Результат действия оператора Пу на изображение g £ L2 (X) определяется как решение задачи наилучшего приближения1 g изображениями из Vf, т. е.

IIg — Пу.gII = min IIg — f'II . f N f'£Vf1^ J 11

При этом

Vf = {Пуg | g £L2(X)} .

В связи с этим проектор Пу также иногда называют формой изображения f (однако в настоящей диссертации термин форма изображения применительно к оператору проецирования не применяется).

В морфологическом анализе изображений элементы ортогонального дополнения Vf1 к Vf принято интерпретировать как изображения, не имеющие с f никаких общих черт.

1.1.3 Независимость изображений по форме

Как было указано выше, Vf — множество изображений сцены, представленной на /, несущих о геометрической форме объектов этой сцены, их расположении относительно регистрирующей аппаратуры и взаимном расположении такую же или меньшую информацию, что и /. Однако не все изображения из Vf несут информацию о какой-либо сцене. Так например, изображение х0(О, определённое

1 Решение этой задачи существует и единственно в силу выпуклости и замкнутости V/•

/1

™ ^ ш *

Рисунок 1.3 — Сверху — два изображения одной сцены, зарегистрированные камерой видеонаблюдения при существенно отличающихся условиях освещения. Снизу — их фрагменты /1 и /2, связанные равенством (1.3), и график соответствующей функции ^(•).

как х0(х) =0, х Е X, принадлежит всякой форме Vf, но, очевидно, являясь изображением «чёрного поля зрения»2, не несёт никакой информации об «изображённой» на нём сцене.

Более того, рассмотрим случай, когда С2^) содержит индикаторную функцию XX(•) множества X, т.е. изображение, определённое как XX(х) = 1, х Е X. Это возможно, например, если поле зрения X конечно, и д — считающая мера, определённая на алгебре ) всех подмножеств множества X, или если X — ограниченное прямоугольное подмножество координатной плоскости, и д — мера Лебега, определённая на а-алгебре всех борелевских подмножеств X. Обозначим У0 следующее одномерное линейное подпространство пространства С2 (X):

V = {с^ I С Е (-то, то)},

Проектор на У0 обозначим Е.

Тогда изображения из подпространства У0 С Vf являются изображениями «ровного поля зрения», равными константе на X, в связи с чем нет никаких оснований узнавать в них какую-либо сцену. При этом Пу;д = Ед для всякого д Е У0. В связи с этим в [42] дано следующее определение.

Определение 1.2. Изображение д Е С^^) называется независимым от формы изображения / Е С^^), если

д - Ед = 0,

Пусть д Е С^) не зависит от формы / Е С^^). Тогда

д = д± + gо,

где д± Е Уу1, и д0 Е У0. Таким образом, в связи с данными выше интерпретациями множеств Уу1 и У0 нет оснований считать, что изображение д является изображением той же сцены, что и /.

Может быть дано и более сильное определение независимости по форме.

Определение 1.3. Форма изображения д Е С^^) называется независимой от

2Такое изображение может быть зарегистрировано при полном отсутствии освещения.

Рисунок 1.4 — Пример независимых по форме изображений.

формы изображения / Е С2^), если

Пу.Н - ЕН = 0, УН Е Уд.

Можно показать [42], что для любых изображений /, д Е С^^) независи-

мость формы изображения д от формы изображения / эквивалентна независимости формы изображения / от формы изображения д. Это позволяет говорить о независимости по форме изображений / и д, не уточняя, какая из двух форм У у и Уд не зависит от другой. При этом из независимости д и / по форме в смысле определения 1.3 следует независимость д от формы f (и наоборот) в смысле определения 1.2. Пример независимых по форме изображений приведён на рис. 1.4.

1.1.4 Морфологические методы решения прикладных задач анализа изображений [42]

1.1.4.1 Узнавание сцены по её изображению

Пусть / Е С^) — «эталонное» изображение некоторой сцены, т.е. такое, что всякое другое изображение этой же сцены несёт о геометрической форме объектов сцены, их расположении относительно регистрирующей аппаратуры и взаимном расположении не больше информации, чем /. В задаче узнавания требуется всё пространство изображений С^^) разбить на два класса: С1 — класс изображений, которые могут быть признаны изображениями той же сцены, что и ], и С2 = С(X) \С1 — класс изображений, которые нет оснований считать изображениями этой сцены. Такое разбиение для всякого предъявленного изображения д Е С2 (X)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зубюк, Андрей Владимирович, 2016 год

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hough P. V. C. Machine Analysis Of Bubble Chamber Pictures // Proc. 2nd International Conference on High-Energy Accelerators and Instrumentation. — 1959. — Pp. 554-558.

2. Hough P. V. C. Method and Means for Recognizing Complex Patterns: Patent. — Dec. 18, 1962.

3. Matheron G. Random Sets and Integral Geometry. — New York, John Wiley & Sons, 1975.

4. Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology. — London: Academic Press Inc. Ltd., 1982.

5. Пытьев Ю. П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений // Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 224, № 6. - С. 1283-1286.

6. Пытьев Ю. П. Морфологический анализ изображений // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 269, № 5. - С. 1061-1064.

7. Пытьев Ю. П. Задачи морфологического анализа изображений // В сб. ст. «Математические методы исследования природных ресурсов Земли из космоса». - 1984. - С. 41-82.

8. Pyt'ev Yu. P. Morphological Image Analysis // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1993. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 19-28.

9. Пытьев Ю. П. Косые проекторы и относительные формы в морфологии изображений // ЖВМиМФ. - 2013. - Т. 53, № 12. - С. 154-176.

10. Местецкий Л. М. Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

11. Гончаров А. В. Исследование свойств знакового представления изображений в задачах распознавания образов // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - 2009. - № 8. - С. 97.

12. Каркищенко А. Н., Гончаров А. В. Исследование устойчивости знакового представления изображений // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 9. - С. 57-69.

13. Zahn C. T., Roskies R. Z. Fourier descriptors for plane closed curves // IEEE Transactions on Computers. — 1972. — Vol. 100, no. 3. — Pp. 269-281.

14. Mokhtarian F., Bober M. Curvature scale space representation: theory, applications, and MPEG-7 standardization. — Springer Science & Business Media, 2013.

15. Визильтер Ю. В., Желтое С. Ю. Проективные морфологии и их применение в структурном анализе цифровых изображений // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 6. — С. 113—128.

16. Визильтер Ю. В., Желтое С. Ю. Сравнение и локализация фрагментов изображений с использованием проективных морфологий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2008. — № 2. — С. 14—22.

17. Визильтер Ю. В. Структурная фильтрация цифровых изображений с использованием проективных морфологий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2008. — № 5. — С. 18—22.

18. Визильтер Ю. В. Обобщенная проективная морфология // Компьютерная оптика. — 2008. — Т. 32, № 4.

19. Визильтер Ю. В., Желтое С. Ю. Использование проективных морфологий в задачах обнаружения и идентификации объектов на изображениях // Теория и системы управления. — 2009. — № 2. — С. 125—138.

20. Vizilter Yu. V., Zheltov S. Yu. The use of projective morphologies for object detection and identification in images // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2009. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 282-294.

21. Визильтер Ю. В. Теория и методы морфологического анализа изображений: дис. ... док. физ.-мат. наук : 05.13.17 / Визильтер Юрий Валентинович. — ФГУП «ГосНИИАС», 2009.

22. Обработка и анализ изображений в задачах машинного зрения. Курс лекций и практических занятий / Ю. В. Визильтер и др. — М.: Физматкнига, 2010.

23. Пытьее Ю. П., Жиеотникое Г. С. Теоретико-вероятностные и теоретико-возможностные модели распознавания. Сравнительный анализ // Интеллектуальные системы. — 2001. — Т. 6, 1-4. — С. 63—90.

24. Зубюк А. В., Федотов А. Б. Алгоритм идентификации объектов по изображениям, основанный на разделении гиперплоскостью и нечувствительный к изменению условий освещения и ракурса // Вестник Московского Ун-та. Серия 3: Физика. Астрономия. — 2015. — № 6. — С. 49—54.

25. Зубюк А. В. Вычисления на графических процессорах в задачах анализа сцен по их изображениям методами случайной морфологии // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 25, № 7. — С. 48—58.

26. Зубюк А. В. Классификация изображений в нечёткой морфологии: алгоритм эмпирического построения решающего правила // Вестник Московского Унта. Серия 3: Физика. Астрономия. — 2013. — № 1. — С. 8—13.

27. Зубюк А. В. Теоретико-возможностная модель в задачах морфологического анализа изображений // Вестник Московского Ун-та. Серия 3: Физика. Астрономия. — 2012. — № 6. — С. 47—54.

28. Зубюк А. В. Критерий отношения правдоподобия в случайной морфологии // Интеллектуальные системы. — 2012. — Т. 16, 1-4. — С. 103—126.

29. Зубюк А. В. Эмпирическое построение решающих правил в стохастической морфологии // Фундаментальная и прикладная математика. — 2009. — Т. 15, вып. 6. — С. 43—50.

30. Зубюк А. В. Случайная морфология: алгоритмы обучения и классификации // Математические методы распознавания образов, 15-я Всероссийская конференция: Сб. докл. — М.: МАКС Пресс, 2011. — С. 436—439.

31. Зубюк А. В. Алгоритмы идентификации изображений в случайной и нечёткой морфологии // Математические методы распознавания образов, 13-я Всероссийская конференция: Сб. докл. — М.: МАКС Пресс, 2007. — С. 30— 32.

32. Пытьев Ю. П., Зубюк А. В. Случайная и нечёткая морфология (эмпирическое восстановление модели, идентификация) // Интеллектуальные системы и компьютерные науки: материалы IX Международной конференции. Т. 1. Ч. 2. — М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2006. — С. 222—225.

33. Зубюк А. В. Эмпирическое восстановление возможности // Математические методы распознавания образов, 12-я Всероссийская конференция: Сб. докл. — М.: МАКС Пресс, 2005. — С. 112—115.

34. Зубюк А. В., Шишакое В. В., Еесегнеее С. О. Морфологические методы оценивания параметров геологических структур // Современные информационные технологии и ИТ-образование: Сб. докл. научно-практической конференции. — М.: МАКС Пресс, 2005. — С. 533—539.

35. Duda R. O, Hart P. E., Stork D. G. Pattern classification. — John Wiley & Sons, 2012.

36. Ту Д., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. — М.: Мир, 1978.

37. Bishop C. M. Pattern Recognition and Machine Learning. — Springer Science & Business Media, 2006.

38. Pyt'ev Yu. P. The Morphology of Color (Multispectral) Images // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1997. — Vol. 7, no. 4. — Pp. 467-473.

39. Pyt'ev Yu. P. Methods for Morphological Analysis of Color Images // Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 517-531.

40. Куличкое С. Н., Чуличкое А. И., Дёмин Д. С. Морфологический анализ инфразвуковых сигналов в акустике. — М.: Новый Акрополь, 2010.

41. Цыбульская Н. Д., Чуличкое А. И. Эмпирическое построение формы изображения как инварианта его преобразований, сохраняющих упорядочение яркостей пикселей // ЖВМиМФ. — 2012. — Т. 52, № 9. — С. 1735—1744.

42. Пытьее Ю. П., Чуличкое А. И. Методы морфологического анализа изображений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.

43. Колмогорое А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — ОНТИ НКТП СССР, 1936. — (Математика в монографиях).

44. Нееё Ж. Математические основы теории вероятностей. — М.: «Мир», 1969.

45. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — М.: Мир, 1984.

46. Ширяее А. Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

47. Колмогорое А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

48. Zadeh L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. — 1978. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 3-28.

49. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. — М.: «Радио и связь», 1990.

50. Dempster A. P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping // Ann. Math. Statist. — 1967. — Т. 38, № 2. — С. 325—339.

51. Shafer G. A Mathematical Theory of Evidence. — Princeton University Press,

1976.

52. Tahani V. A conceptual framework for fuzzy query processing — A step toward very intelligent database systems // Information Processing & Management. —

1977. — Vol. 13. — Pp. 289-303.

53. Dubois D., Prade H. Twofold fuzzy sets: An approach to the representation of sets with fuzzy boundaries based on possibility and necessity measures // Fuzzy Mathematics (Huazhong, China). — 1983. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 5376.

54. Пытьев Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения. — М.: «Эдиториал УРСС», 2000.

55. Pyt'ev Yu. P. Stochastic Models of Possibility // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2002. — Vol. 12, no. 4. — Pp. 376-396.

56. Пытьев Ю. П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

57. Пытьев Ю. П., Шишмарёв И. А. Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков. — М.: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010.

58. Пытьев Ю. П. Эмпирическое восстановление мер возможности и правдоподобия возможности в моделях экспертных решений // Автомат. и телемех. — 2010. — № 3. — С. 131—146.

59. Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables // Journal of the American statistical association. — 1963. — Vol. 58, no. 301. — Pp. 13-30.

60. Демьянов В. Ф., Малозёмов В. Н. Введение в минимакс. — М.: Наука, 1972.

61. Гладков Д. И. Оптимизация систем неградиентным случайным поиском. — М.: Энергоатомиздат, 1984.

62. Molkentin D. The Book of Qt 4: The Art of Building Qt Applications. — 2007.

63. Summerfield M. Rapid GUI Programming with Python and Qt: The Definitive Guide to PyQt Programming. — 2007.

64. Бореское А. В., Харламое А. А. Основы работы с технологией CUDA. — М.: ДМК-Пресс, 2010.

65. Барра Ж.-Р. Основные понятия математической статистики. — М.: «Мир», 1974.

66. Леман Э. Проверка статистических гипотез. — 1979.

67. Бороекое А. А. Математическая статистика. — Новосибирск: Наука, Издательство Института математики, 1997.

Приложение Л. Оптимальные вероятностные и возможностные решения

В настоящем приложении рассмотрены элементы теории принятия оптимальных решений в условиях, когда моделью эксперимента, в ходе которого исследователь получает информацию об исследуемом объекте, является вероятностное пространство или пространство с возможностью. Для сохранения целостности изложения разделы, посвящённый методам принятия оптимальных решений, предварены изложением элементов теории вероятностей и теории возможностей Пытьева, не вошедших в литературный обзор, данный в разделе 1.2.

А.1 Элементы теории вероятностей

Л.1.1 Абсолютно непрерывная вероятность

Пусть на а-алгебре А подмножеств множества элементарных событий О определена положительная а-конечная мера д. Вероятность Рг, также определённая на А, называется абсолютно непрерывной относительно д, если для всякого А Е А из д(А) = 0 следует Рг(А) = 0. В этом случае по теореме Радона-Никодима [46] найдётся такая А-измеримая функция рг(-) : О ^ [0, то), Рг-почти наверное единственная, что

Рг(А) = J рг(ы)фд(ы), А Е А.

А

Функция рг(-) называется плотностью вероятности Рг.

Л.1.2 Случайный элемент

Пусть помимо вероятностного пространства (О, А, Рг) задано измеримое пространство1 (X, В). Случайным элементом со значениями в (X, В) называется

Измеримым пространством здесь названа совокупность (X, В) двух объектов: множества X и а-алгебры В подмножеств множества X.

всякая А/В-измеримая функция £(•) : О ^ X, то есть такая, что

УБ е В £-1(Б) = {и : £(и) е Б} е А.

Случайный элемент £ индуцирует на измеримом пространстве (X, В) вероятность Рге : В ^ [0,1], определённую как

Такая вероятность Рг^ называется распределением вероятностей значений случайного элемента £ и вместе с X и В образует новое вероятностное пространство (X, В, Рге). Случайный элемент £, в свою очередь, называется каноническим для вероятностного пространства (X, В, Рг^). В случае, если Рг^ абсолютно непрерывна относительно некоторой положительной а-конечной меры V, определённой на В, то плотность рг^(•) : X ^ [0, то) распределения Рг^ называется плотностью распределения случайного элемента £.

Пусть заданы измеримые пространства ^^ В1), ..., , Вк), и £, — случайные элементы, принимающие значения в X,;, г = 1, ..., к. Обозначим В10.. .0В& минимальную по включению а-алгебру, содержащую все подмножества множества X1 х ... х Xk вида В1 х ... х Вк, Б; е В,. Совместным распределением случайных элементов £1, ... , £к называется вероятность Рг^,...,^, определённая на В1 0 ... 0 Вк и удовлетворяющая условию

Если случайный элемент £ принимает значения в (X, В), X = (-то, то), и В — а-алгебра всех борелевских подмножеств числовой прямой, то £ называется случайной величиной. Для характеристики случайных величин и их связей зачастую используются:

— Математическое ожидание (или среднее значение) Е £ случайной величи-

Рге(Б) = Рг(£-1(В)), Б е В.

ны £:

00

— 00

Дисперсия Б £ случайной величины £:

Б £ = Е ((£ - Е £ )2).

Ковариация соу(£,п) случайных величин £ и п

осу(£,П) = Е ((£ - Е£)(п - Еп)).

— Ковариационная матрица Е случайных величин £1, ... , £к, матричные элементы которой определены как

Еу = соу(£г,£-), ^ = ^ ...,к

Л.1.3 Независимость случайных событий и случайных элементов

События А и В называются независимыми, если

Пусть заданы измеримые пространства ^^ В1), ..., , Вк), и £, — случайные элементы со значениями в (X,;, В,), г = 1, ... , к. Случайные элементы £1, ..., £к называются независимыми в совокупности, если

и попарно независимыми, если независимы в совокупности любые два случайных элемента £, и £у, г = ^.

Л.1.4 Переходная вероятность

Пусть заданы два измеримых пространства (X, В) и (У, С). Переходной вероятностью для пары этих пространств называется функция Ргп|^(• | •) : С х X ^ [0,1], удовлетворяющая условиям:

Рг(А П В) = Рг(А) • Рг(В), А, В Е А.

В, Е В,, г = 1, ..., к,

— Для всякого х е X функция Ргп|£(• | х) есть вероятность, определённая на С.

— Для всякого С е С функция Ргп|£(С | •) является В-измеримой.

Пусть £ — случайный элемент, принимающий значения в (X, В), с распределением Рге. Как известно [44, 65], существует единственная вероятность Рг, определённая на В 0 С и удовлетворяющая условию

Рг(Б х С) = У Ргп|е(С | х)аРге(х), Б е В, С е С, в

где В 0 С — минимальная по включению а-алгебра подмножеств множества X х У, содержащая все подмножества вида Б х С, Б е В, С е С. Данный факт может быть интерпретирован следующим образом. Задав случайный элемент £ с распределением Рг^ и переходную вероятность Ргп|е, мы задаём совместное распределение Рг пары случайных элементов: £ и п. Элемент п принимает значения в (У, С) и имеет распределение Ргп : С ^ [0,1], определённое как Ргп(С) = Рг(У х С), С е С.

А.2 Элементы теории возможностей

А.2.1 Нечёткий элемент

Пусть задано пространство с возможностью (О, Р(О), Р), и р(-) : О ^ [0,1] — распределение возможности Р. Нечётким элементом, принимающим значения в X, называется любая функция £(•) : О ^ X. Измеримость функции £(•) не требуется, так как Р определена на Р(О), и любая функция £(•) является Р(О)-измеримой.

Нечёткий элемент £ индуцирует на измеримом пространстве (X, )) возможность Ре : Р^) ^ [0,1], определённую как

Ре (Б) = Р(£-1(Б)) = 8пр{р(и) | £ (и) е Б}, Б е Р^),

с распределением ре(•) : X ^ [0,1]:

Ре (х) = вир{р(и) | £ (и) = х}, х е X.

Распределение р^(•) называется распределением возможностей значений нечёткого элемента £. Нечёткий элемент £, в свою очередь, называется каноническим для пространства с возможностью (X, ), Р^).

Совместным распределением возможностей нечётких элементов £,, г = 1, ..., к, принимающих значения в X,, называется функция р£ь...,£к(•) : XI х ... х X*; ^ [0,1]:

(Ж1,...,ЖЛ ) = р( р : = Хг^ , X, Е X,, г = 1, ..., к.

Л.2.2 Независимость нечётких событий и нечётких элементов

События А и В называются Р-независимыми, если

Р(А П В) = Р(А) • Р(В), А, В Е А.

Заметим, что в отличие от вероятностного случая, когда независимость (в вероятностном смысле) событий А и В влечёт независимость событий О \ А и О \ В, Р-независимость А и В, вообще говоря, не влечёт Р-независимости О \ А и О \ В Нечёткие элементы £,, г = 1, ..., к, принимающие значения в X,, называются независимыми в совокупности, если

р( р £г-1(Вг^ = .• 1 Р(£--1 (В,)), В, с X, г = 1, ..., к,

V ¿=1 / ,=1

и попарно независимыми, если независимы в совокупности любые два нечётких элемента £ и £у, г = ].

Л.2.3 Переходная возможность

Пусть заданы два измеримых пространства (X, )) и (У, Р(У)). Переходной возможностью для пары этих пространств называется такая функция Рп|£(• | •) : Р(У) х X ^ [0,1], что Рп|£(• | х) есть возможность, определённая на Р(У), при любом х Е X, распределение которой обозначим (• | х).

Пусть £ — нечёткий элемент, принимающих значения в X, с распределением

ре(•). Тогда функция рп,е(•, •) : У х X ^ [0,1], определённая как

рп,е^ х) = р^|е(у | х) • ре(х^ у е У, х е X,

является совместным распределением возможностей пары нечётких элементов: £ и п. Причём распределение возможностей нечёткого элемента п есть рп(•) : У ^ [0,1]:

рп(У) = йиррп,е(У,х^ у е у.

хеХ

A.2.4 Возможность, максимально согласованная с вероятностью

Принципиальным отличием рассматриваемой в настоящем разделе теории возможностей Пытьева от теории возможностей Заде и её аналогов является то, что теория возможностей Пытьева изначально задумана как альтернатива теории вероятностей при моделировании вероятностной случайности [55, 56]. Итак, пусть моделью стохастического эксперимента является вероятностное пространство (О, А, Рг). Возможностная модель данного эксперимента была определена в разделе 1.2.3.5 как пространство с возможностью (О, Р(О), Р), где Р максимально согласована с Рг, см. определение 1.8 на стр. 39. Однако в разделе 1.2.3.5 не был указан конструктивный способ построения такой возможности Р.

Рассмотрим случай, когда О = {и1, и2, ...} — конечное или счётное множество элементарных событий, А = Р(О), и вероятности элементарных событий упорядочены:

рг(и1) ^ рг(и2) ^ ..., (А.1)

где рг(-) — плотность распределения вероятности Рг относительно считающей меры2. Очевидно, что в этом случае возможность Р, максимально согласованная с Рг, должна удовлетворять условию

1 = р(и1) ^ р(и2) ^ ...,

где р(-) — распределение возможности Р. Более того, справедлива следующая теорема.

2Считающей называется мера для которой ^({и}) = 1 для любого и е О.

Теорема А.1. Возможность Р максимально согласована с вероятность Рг, удовлетворяющей условию (А.1), если и только если

,1

р(^,+1) > р(^) рг(ыу ) + 2рг(^«) > 1,

У=1

г = 1, 2,... (А.2)

р(ыг+1) = р(^) рг(^' ) + 2рг(^г) ^ 1,

У=1

Теорема А.1 позволяет построить возможностную модель стохастического эксперимента с заданной вероятностной моделью. Однако она может быть интерпретирована и в «обратном направлении». Пусть задана возможность Р. Тогда всякая вероятность Рг, с которой максимально согласована Р, удовлетворяет условиям (А.2), представляющим собой систему линейных неравенств относительно рг(ы,), г = 1, 2, ... Класс всех вероятностей, удовлетворяющих (А.2), обозначим Рг(Р). Получаем, что пространство с возможностью (О, Р(О), Р) служит возмож-ностной моделью любого стохастического эксперимента, вероятностная модель которого принадлежит классу

Это означает, что возможностная модель эксперимента, вообще говоря, менее информативна, чем вероятностная, так как не позволяет смоделировать различия экспериментов, вероятностные модели которых принадлежат классу (А.3). С другой стороны, данное свойство позволяет использовать возможностную модель стохастического эксперимента в тех случаях, когда его вероятностная модель не известна точно или может изменяться с течением времени, оставаясь в пределах класса (А.3).

Л.3 Статистические задачи проверки гипотез

Рассмотрим одну из задач принятия решений в условиях неопределённости, имеющей стохастическую природу, — статистическую задачу проверки гипотез [65—67]. Результаты, изложенные в настоящем разделе, будут использованы при построении оптимальных правил идентификации объектов, геометрические

(А.3)

формы которых подвержены случайным изменениям, по их изображениям.

A.3.1 Объект исследования и проверяемые гипотезы

Пусть исследуется объект, состояние или свойства которого характеризуются параметром, принимающим значения на множестве в, и задачей исследования является получение информации о значении этого параметра. Для этого исследователь проводит эксперимент Э, являющийся стохастическим, вероятностная модель которого есть вероятностное пространство (X, А, Рг). При этом предполагается, что вероятность Рг принадлежит параметрическому классу Рг вероятностей, определённых на А:

Рг = {Рг(- | 0) I 0 е в}, Рг(- | 01) = Рг(- | 02), 01 = 02, 01, 02 е в.

Здесь Рг( | •) : А х в ^ [0,1] как функция своего 1-го аргумента (записываемого слева от вертикальной черты) является вероятностью на А при любом значении 2-ого аргумента (записываемого справа от вертикальной черты). Таким образом, между Рг и в установлена биекция.

Стохастическая природа эксперимента Э может быть связана с тем, что сам исследуемый объект имеет стохастическую природу (например, радиоактивный образец), с тем, что измерение характеристик образца, проводимое в рамках Э, сопровождается случайной погрешностью и т. п.

Если бы было известно истинное значение 0 е в параметра, характеризующего состояние или свойства исследуемого объекта, то была бы известна и вероятность Рг(-) = Рг( | 0) е Рг, определяющая модель стохастического эксперимента Э, и наоборот. В действительности же исследователю не известно ни то, ни другое. Единственно доступная исследователю информация — это исход х е X стохастического эксперимента Э, называемый результатом наблюдения. На основании х исследователю требуется сделать вывод о значении 0.

Заметим, что описанная ситуация иногда интерпретируется иначе. Обозначим £ канонический случайный элемент вероятностного пространства (X, А, Рг). Тогда результат наблюдения х представляет собой реализацию случайного элемента £ в проведённом эксперименте. Таким образом, исследователю требуется на основании реализации случайного элемента £ сделать вывод о значении параметра 0 е в, при котором Рг( | 0) есть распределение вероятностей данного элемента.

В ^альтернативной статистической задаче проверки гипотез множество в разбивается на N подмножеств в,, г = 1, ... , N, называемых гипотезами:

N

в = и в,, в, П ву = 0, г = г, ] = 1, ..., N. (А.4)

,=1

Исследователю требуется узнать номер верной гипотезы, то есть номер г Е {1, ..., N}, при котором О Е в,.

Л.3.2 Схема принятия решения

Обозначим Б множество {1, 2, ..., N}. Измеримое пространство (Б, Р(Б)) называется пространством решений в ^альтернативной статистической задаче проверки гипотез. Рандомизированным критерием называется всякая переходная вероятность Рг^ес( | •) : Р(Б) х X ^ [0,1] для пары пространств (Б, Р(Б)) и (X, А). Векторнозначную функцию п(-):

п(-) = (•)), X ^ [0,1],

п,(х) Ргйес({г} | х), х Е X, г = 1, ..., N (А.5)

являющуюся плотностью распределения переходной вероятности Рг^ес(- | •), также будем называть рандомизированным критерием. Множество всех функций вида (А.5) обозначим П(X).

Каждому рандомизированному критерию Рг^ес(- | •) и результату наблюдения х Е X, полученному в стохастическом эксперименте Э, соответствует стохастический эксперимент Э*, моделью которого является вероятностное пространство (Б, Р(Б), Ргйес(- | х)). Для выбора одной из гипотез в,, г = 1, ..., N, исследователь, получивший в Э результат х, проводит дополнительный эксперимент Э* и принимает решение в пользу гипотезы в,, где номер г является исходом Э*.

Из вышесказанного следует, что если п Е П (X) — рандомизированный критерий, используемый исследователем для принятия решения в статистической задаче проверки гипотез, то вероятность того, что на основании результата наблюдения х Е X исследователь примет решение в пользу гипотезы в,, равна п,(х), г = 1, ... , N.

Л.3.3 Выбор оптимального критерия

Не все рандомизированные критерии п € П (X) одинаково хороши для принятия решения в статистической задаче проверки гипотез.

Пусть Рг(-) = Рг( | в) и в € О^, тогда вероятность выбрать неверную гипотезу

(ошибиться) при использовании критерия п равна

1 - / П'(х)аРг(х 1в).

Если о значении в ничего не известно, то единственное, что можно сказать о вероятности ошибки при использовании п, это то, что она не превышает величины

L(n) = max sup ( 1 — ^(x)dPr(x | 0) i, i=l,...,N߀Q. \ J J

amm(

i=l,...,N ßee. \

X

но может оказаться сколь угодно близкой к ней. В связи с этим amm(п) принято считать характеристикой качества (точнее, некачественности) критерия п, а оптимальным считать критерий, являющийся решением минимаксной задачи

amm(n) ~ min (A.6)

п€П(Х)

Такой подход к выбору оптимального критерия и сам оптимальный критерий называются минимаксными.

Другой подход, получивший название байесовского, используется, когда неизвестный параметр исследуемого объекта сам является случайным элементом, принимающим значение в О. Пусть заданы измеримое пространство (в, B) и вероятность Q : B ^ [0,1], называемая априорной, а неизвестный параметр 0 является каноническим случайным элементом вероятностного пространства (О, B, Q). Пусть, к тому же, Oi £ B, i = 1, ..., N, и Pr(- | •) — переходная вероятность для пары пространств (О, B) и (X, A). Тогда вероятность ошибки при использовании рандомизированного критерия п £ П (X) равна

N г г

ад(п) = 1 — ^ / ni(x)dPr(x | t) dQ(t),

i=i ^ ^

öi X

а оптимальным считается критерий п^ Е П (X), являющийся решением задачи

п?(х) = {

ад(п) - тип (А.7)

пЕП(Х )

Критерий п^ зависит от априорной вероятности Q и называется байесовским.

Рассмотрим случай, когда гипотезы в, являются простыми, т. е. когда в = {О1, ..., ОN}, и в, = {О,}, г = 1, ..., N, и вероятности Рг(- | £) абсолютно непрерывны относительно определённой на А меры д при всех £ Е в. Известно [67], что в этом случае решение п^ Е П(X) задачи (А.7) может быть найдено следующим образом:

П*(0 = (п?(0,...,п£ (•)), П?(.): X ^ [0,1],

1, если орг^х) > тах оургу (х),

^ у=1,..., N у у

0, если : оргДх) < оургу-(х),

Е [0,1] в остальных случаях,

х Е X, г = 1, ..., N (А.8)

где о, = Q(вг), и рг,(^) : X ^ [0, то) — плотность распределения вероятности Рг( | О,). При этом величина ад(п^) не зависит от выбора ^(х) в (А.8). Байесовский критерий п^ Е П (X) называется уравнивающим, если

1 - ^ пгд(х)аРг(х | £) = с при £ Е в,,

для всех г = 1, ... , N, причём константа с не зависит от г. Априорная вероятность Q* называется наименее благоприятной (или наихудшей), если для любой другой априорной вероятности Q

ад(п^) ^ адф (пд*). Связь решений задач (А.6) и (А.7) даётся следующей теоремой [67]:

Теорема А.2. Уравнивающий байесовский критерий п^ является минимаксным. Минимаксный критерий является байесовским критерием п, соответствующим наименее благоприятной априорной вероятности Q*.

Л.4 Возможностные методы принятия решений

В настоящем разделе рассмотрим задачу проверки гипотез в условиях неопределённости, моделируемой возможностными методами [54—57].

Пусть как и в разделе А.3 исследуется объект, состояние или свойства которого характеризуются параметром, принимающим значения на множестве О, см. (А.4), и задачей исследования является получение информации о том, какому из подмножеств О^ принадлежит истинное значение в этого параметра. Для этого исследователь проводит эксперимент Э, являющийся нечётким, возмож-ностная модель которого есть пространство с возможностью (X, Р(Х), Р). При этом предполагается, что возможность Р принадлежит параметрическому классу Р возможностей, определённых на Р(Х):

Р = {Р(-| в) | в € О}, Р( | в!)=Р(-| 02), в! = 02, 01,02 € О,

Р( ) = Р(Ч в).

Исход эксперимента Э обозначим х и будем называть результатом наблюдения.

Фазифицированным критерием называется всякая переходная возможность Раес(- | •) : ?(£) х X ^ [0,1] для пары пространств (Б, ?(£)) и (X, Р(Х)), где (Б, Р(Б)) — пространство решений в Х-альтернативной задаче проверки гипотез. Векторнозначную функцию к(-):

«(•)= МО, ..., кж(•)), «*(•): X ^ [0,1],

кг(х) = Раес({^} | х), х € X, г = 1, ..., Х, (А.9)

являющуюся распределением переходной возможности Раес(- | •), также будем называть фазифицированным критерием. Множество всех функций вида (А.9) обозначим К^).

Для выбора одной из гипотез О^, г = 1, ..., Х, исследователь, использующий критерий Раес(- | •) и получивший в эксперименте Э результат X, строит вероятность Рг^ес : Р(Б) ^ [0,1], с которой максимально согласована возможность Раес(- | х) (см. разделы А.2.4, 3.3, 4.1), и проводит дополнительный стохастический эксперимент Э*, модель которого есть вероятностное пространство (Б, Р(Б), Р^ес). Решение принимается в пользу гипотезы О^, где номер г явля-

ется исходом Э*.

Рассмотрим подход к постановке задачи проверки гипотез, аналогичный байесовскому. Пусть задана возможность Q : P(0) ^ [0,1], называемая априорной, и неизвестный параметр в исследуемого объекта является каноническим нечётким элементом пространства с возможностью (0, P(0), Q). Тогда возможность ошибки при использовании фазифицированного критерия к Е к(Х) равна

к?(к) = + Ki(x) • (x), (A.10)

¿=1,..., N xEX

где

(x) = + + p(x | t) • q(t), i = 1, ...,N, x E X,

¿=1,..,Nt€6j

и p( | t), q(^) — распределения возможностей P(- | t), Q соотвественно. Оптимальным считается критерий к? Е К(Х), являющийся решением задачи

к? (к) ~ min

кЕК(Х)

В [54, 56] показано, что оптимален всякий критерий к?, удовлетворяющий условиям

max к?(х) = 1, max к?(х) = 0, x Е X, (A.11)

iElQ(x) ' i=1,...,N г

¿EIQ(x)

где

1Q(x) = {i = 1, ..., N : ¿Q (x) = min^¿Q(x)}.

При этом среди критериев, удовлетворяющих (A.11), обязательно найдётся чёткий критерий Е К(Х), то есть такой, что для любого x Е X существует единственный номер i, при котором KQ(x) > 0. Таким образом, при наблюдении результата x Е X в эксперименте Э исследователь может принять решение в пользу любой из гипотез ©¿, i Е IQ(x), причём возможность ошибки не зависит от выбора i Е IQ(x) и минимальна.

Отметим, что в рамках возможностной модели не принято различать минимаксный и байесовский подходы. Это связано с тем, что операция сложения «+» в шкале L определена как «max», и «байесовское» выражение возможности ошибки (A.10) превращается в «минимаксное» в случае, если q(-) = 1(-), где функция 1(-) определена как 1(t) = 1, t Е О. Данный математический факт естествен-

ным образом связан с интерпретацией «тривиального» распределения 1(-) как распределения, выражающего полное отсутствие информации о значениях нечёткого элемента 0. Кроме того, априорная возможность Q0 : P(O) ^ [0,1], имеющая распределение 1(-), т.е. такая, что Q0({t}) = 1, t £ О, является наименее благоприятной (или наихудшей) в том смысле, что для любой другой априорной возможности Q : P(O) ^ [0,1]

min kq0 (к) ^ min kq(k).

к£К(Х) Q к£К(Х) Q