Моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с высоким контрастом электрических характеристик применительно к задачам каротажа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Азанов, Алексей Владимирович

• Азанов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Азанов, Алексей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ СКВА-

ЖИННОГО КАРОТАЖА

1.1 Модели зондов, типы источников и измеряемые величины

1.2 Методы трехмерного математического моделирования векторных полей

1.2.1 Скалярные методы

1.2.2 Векторные методы

1.3 Выводы

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ЗАДАЧ ИНДУКЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

2.1 Система уравнений Максвелла, краевые условия и условия на межфрагментарных границах

2.2 Вариационные формулировки

2.3 Дискретные подпространства

2.4 Иерархические базисы

2.5 Дискретные аналоги вариационных формулировок в конечномерных пространствах

2.6 Выводы

Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕ-МЕНТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ, ПРОГРАММНЫЙ КОМ-

ПЛЕКС, ВЕРИФИКАЦИЯ

3.1 Конечноэлементные системы уравнений

3.2 Методы решения конечноэлементных СЛАУ

3.2.1 Итерационные методы на подпространствах Крылова

3.2.2 Многоуровневые методы

3.3 Описание комплекса программ

3.4 Верификация программного комплекса

3.4.1 Задача с распределенным источником

3.4.2 Задача с сосредоточенным источником

3.5 Тестирование поведения электромагнитного поля на границах сред с различными физическими параметрами

3.6 Выводы

Глава 4. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ ИНДУКЦИОННЫЕ КАРОТАЖНЫЕ ИЗОПАРАМАТРИЧЕСКИЕ ЗОНДИРОВАНИЯ

4.1 Скважина с каверной кругового сечения, пересекающая мощный пласт и относительно слабопроводящий пропласток

4.2 Скважина эллиптического сечения с каверной, пересекающая пласт и слабопроводящий пропластк

4.3 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с высоким контрастом электрических характеристик применительно к задачам каротажа»

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования -переменное электромагнитное поле в трехмерных составных областях с контрастными электрофизическими характеристиками.

Предметом исследования являются вычислительные схемы, реализованные на базе векторного метода конечных элементов на иерархических базисах и предназначенные для моделирования переменных электромагнитных полей в геологитческих средах с контрастными электрофизическими коэффициентами.

Актуальность работы. Разработка и реализация новых электромагнитных каротажных зондов базируется как на использовании ранее не учитываемых особенностей поведения электромагнитного поля в сложнепостроенных геологических средах, так и с изучением характеристик источников электромагнитного поля различной конфигурации. Математическое моделирование позволяет не только снизить временные затраты на испытание и тестирование вновь создаваемых приборов, но и оценить эффективность использования различных типов источников их информативность при решении задач геофизического исследования. Системы линейных уравнений, возникающие в процессе аппроксимации краевых задач электродинимики характерезуются знаконеопре-деленностью или сингулярностью, что приводит к необходимости разработки специальных процедур их решения. Следовательно, разработка эффективных вычислительных процедур для моделирования переменных электромагнитных

полей в неоднородных по электрофизическим свойствам геологических средах является актуальной задачей геоэлектрики и математической физики.

Цель работы - на основе разработанных и программно реализованных комплексов ассоциированных с ним специальных процедур предобусловливания на иерархических векторных базисных функциях высокого порядка выполнить численную имитацию сигналов электромагнитного каротажа в реалистичных моделях с учетом сильнопроводяшего бурового раствора, конечных размеров генераторных и приемных катушек, корпуса прибора и его эксцентриситета, а также неровностей стенки скважины

Задача исследования - разработать эффективные вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитных полей в частотной и временной области для реализации многовариантных расчетов. На основе разработанных вычислительных схем реализовать программный комплекс, для имитации сигналов электромагнитных зондов каротажа в реалистичных геоэлектрических моделях. Основные этапы исследования.

• На базе векторного метода конечных элементов разработать и реализовать вычислительные схемы для моделирования электромагнитных полей во временной и частотной областях в неоднородных по электрофизическим характеристикам, трехмерных средах.

• Исследовать влияние неровностей стенки скважины на показания зондов ВИКИЗ в зависимости от удельной электрической проводимости (У ЭП) бурового раствора и его контраста с исследуемой средой.

Защищаемые научные результаты:

Вычислительные схемы для моделирования электромагнитных полей во временной и частотной областях на базе векторного метода конечных элементов в неоднородных и высококонтрастных по электрофизическим характеристикам трехмерных средах.

В результате сравнительного анализа эффектов от неровностей стенки скважины и слабопроводящих тонких пропластков в сигналах ВИКИЗ показано, что они становятся соизмеримыми при повышении УЭП бурового раствора.

Научная новизна и личный вклад:

Разработаны вычислительные схемы моделирования нестационарных и гармонических электромагнитных полей на базе векторного метода конечных элементов, с учётом реальных размеров источника электромагнитного поля.

Вычислительные схемы реализованы в виде программного комплекса, позволяющего моделировать электромагнитное поле в трехмерных составных областях с контрастными электрофизическими характеристиками (электрическая проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемости).

Проведено исследование эффективности вычислительных схем и верификация программного комплекса на ряде тестовых задач. Получены чис-

ленные оценки порядков аппроксимации в различных нормах для векторных базисных функций до второго полного порядка включительно, согласующиеся с теоретическими результатами.

• В результате численных экспериментов выполнена оценка влияния неровностей стенки скважины на измеряемую в приемных катушках разность фаз э.д.с. в зависимости от электропроводности бурового раствора и смещения зонда. Установлено, что при повышении электрической проводимости бурового раствора влияние дефектов стенки скважины на результаты измерений становится сравнимым с реакцией на слабопроводящие про-гшастки в пластах-коллекторах.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается сравнением численных расчетов с использованием реализованных вычислительных схем с решениями в аналитическом виде (закон Био-Савара-Лапласа, зависимость разности фаз э.д.с для зондов ВИКИЗ в однородной проводящей среде) и натурным экспериментом, проведенным для зонда ВИКИЗ N0 0511010 на Телецком озере, результаты которого совпадают с численными расчетами с относительной погрешностью около 2%.

Фактический материал и методы исследования. При реализации вычислительных схем использовались теоретические результаты, представленные в работах Неделека [Nedelec, 1980] Mixed Finite Elements in R3, [Nedelec, 1986J A New Family of mixed Finite Elements in K3.

Для расчёта электромагнитного поля решались трехмерные краевые задачи для векторных волнового уравнения и уравнения Гельмгольца. Использова-

лась модификация векторного метода конечных элементов (ВМКЭ) на иерархических базисах второго полного порядка [Webb, 1993, 1999]. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученных в результате аппроксимации, применялся многоуровневый решатель, учитывающий её особенности.

Построение геометрических моделей выполнялось с использованием свободно-распространяемых генераторов тетраэдральных разбиений (GMSH, Netgen).

Практическая значимость. Полученные вычислительные схемы предназначены для расчета нестационарных и гармонических электромагнитных полей в трехмерных областях со сложной геометрией. Программный комплекс позволяет учитывать геометрические размеры генераторных и приемных катушек и выполнять расчеты в типичных моделях каротажа. Реализованный программный комплекс применялся для моделирования сигналов электромагнитных зондов в скважинах с высокопроводящим буровым раствором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. XIII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых "Современные техника и технологии СТТ 2007", г. Томск, 26 марта - 30 марта 2007 ;

2. Российская научно-техническая конференция "Информатика и проблемы телекоммуникаций", г. Новосибирск, 26 - 27 апреля 2007:

3. VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, г. Новосибирск, 27-29 ноября, 2007;

4. "Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008". Тезисы докладов, Красноярск, 18-24 августа 2008;

5. Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" Алматы, Казахстан, 10 - 14 сентября 2008 года;

6. "Трофимуковские чтения - 2008" Всероссийская молодежная научная конференция с участием иностранных ученых, г. Новосибирск, 5-12 октября 2008;

По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ [1-6], в том числе 3 в рецензируемых журналах [7-9].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта "Университеты России" (проект 03.01.187), РФФИ (грант 05-05-64528), совместного международного проекта ^О-РФФИ (грант 047.016.003).

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н. профессору Элле Петровне Шуриной, а так же руководству Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука Сибирского отделения РАН и лично д.т.н. академику Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,

заключения и списка используемой литературы. Работа изложена на 135 страницах, включая 35 рисунков и 23 таблицы.

Первая глава посвящена современному состоянию проблемы и обзору литературы. В п. 1.1 рассматриваются методы геоэлектрики. В п. 1.2 представлен обзор современных методов математического моделирования, рассматриваются преимущества и недостатки различных методов моделирования.

Во второй главе представлены математические модели, сформулированы вариационные постановки и их дискретные аналоги, для моделирования нестационарных и гармонических по времени электромагнитных полей. В п. 2.1 описываются математические модели. В п. 2.2 введены пространства и сформулированы векторные вариационные постановки для рассмотренных математических моделей. В п. 2.3 вводится понятие степеней свободы и условия, которыми должны обладать базисные функции дискретных подпространств. В п. 2.4 строятся локальные иерархические векторные базисы дискретных подпространств на тетраэдральных разбиениях. В п. 2.5 представлены дискретные аналоги вариационных формулировок.

В третьей главе рассматриваются свойства конечноэлементных систем уравнений и способы их решения. Приводится описание комплекса программ. В п.3.1 рассмотрена структура и свойства СЛАУ полученных с помощью иерархических базисов. В п. 3.2 сформулированы алгоритмы решения СЛАУ методами на подпространствах Крылова и двухуровневый алгоритм, построены операторы прямого и обратного проектирования. В п. 3.3 дано описание алгоритмов программного комплекса. В п. 3.4 выполняется верификация программного

комплекса на задачах с известным аналитическим решением. В п. 3.5 приведены результаты тестирования по выполнению закона сохранения зарядов.

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам. Представлены результаты моделирования зонда ВИКИЗ в неоднородных средах. Также проведено сравнение с решениями, полученными аналитическими методами для однородных сред.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Азанов, Алексей Владимирович

4.3. Выводы

Результаты моделирования электромагнитного поля в скважине и околос-кважинном пространстве при движении зонда ВИКИЗ для различных значений проводимости раствора показало, что с увеличением проводимости бурового раствора, становится невозможной идентификация низкопроводящих про-пластков на фоне влияния каверны для различных частот.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены и реализованы методы моделирования нестационарных и гармонических по времени электромагнитных полей, в неоднородных по физическим и геометрическим свойствам трехмерных областях. Обосновано выполнение условий слабой дивергенции. Сформулированы вариационные постановки, для гиперболического векторного уравнения и векторного уравнения Гельмгольца, описывающих поведение электромагнитного поля с произвольной и гармонической зависимостью от времени. Показано, что электромагнитное поле, удовлетворяющее приведенным вариационным постановкам, также удовлетворяет закону сохранения зарядов в слабой форме. На основе вариационных формулировок построены дискретные аналоги вариационных постановок с использованием полных и неполных базисов до второго порядка включительно, на тетраэдральных разбиениях.

В работе показаны структуры матриц глобальных СЛАУ, полученные на структурированных и неструктурированных тетраэдральных разбиениях с использованием векторных иерархических базисов. Предложена процедура построения оператора проектирования для двухуровневого решателя (У-цикл). Численно показана эффективность двухуровневого решателя на синтетической задаче с разрывными физическими коэффициентами. Предложен подход к переходу на элементы более высоких порядков и процедура построения оператора проектирования для них.

Численно получены оценки порядка аппроксимации для векторных элементов до второго полного порядка включительно, оценки хорошо согласуются с теоретическими. Получены оценки погрешности решения в нормах пространств En, L2, H(rot).

Выполнена верификация программного комплекса и предложеных алгоритмов на ряде тестов и задач имеющих аналитическое решение. Показана адекватность предложенного представления индукционных источников электромагнитного поля. Численные эксперименты показали высокую эффективность двухуровневого решателя по сравнению с итерационными решателями на подпространствах Крылова.

Разработанный программный комплекс применялся для решения синтетической задачи, приближенной к реальной, моделирования высокочастотного каротажного зондирования зондом ВИКИЗ в неоднородной вмещающей среде по физическим и геометрическим свойствам (скважина, каверна, пропласток).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Азанов, Алексей Владимирович, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Азанов А. В. Моделирование электрического поля в неоднородном полупространстве / А. В. Азанов // Материалы конференции: Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (26-27 апреля). - Т. 1. - Новосибирск, 2007. - С. 97-100.

2. Азанов А. В. Моделирование электрического поля в неоднородных средах с источником не индукционного типа / А. В. Азанов // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (27-29 ноября). — Новосибирск : Изд-во ИВТ СО РАН, 2007.

3. Азанов А. В. Моделирование электрического поля для проверки возможности передачи сигнала в неоднородном полупространстве / А. В. Азанов // ТРУДЫ XIII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ 2007» (26-30 марта). - Т. 1. - Томск, 2007. - С. 16-18.

4. Азанов А. В. Вычислительные схемы решения прямых задач геоэлектрики в скважинах с криволинейными границами / А. В. Азанов // Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». Труды конференции. — Ал маты, Казахстан, 2008.

5. Азанов А. В. Вычислительные схемы решения прямых задач геоэлектрики

в скважинах с учетом каверн / А. В. Азанов // Трофимуковские чтения - 2008 Всероссийская молодежная научная конференция с участием иностранных ученых (5-12 октября). Труды конференции. — Т. 2,— Новосибирск, 2008. - С. 168-170.

Азанов А. В. Применение базисов высокого порядка при расчете гармонических электромагнитных полей / А. В. Азанов // Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008 (18-24 августа). Тезисы докладов. — Красноярск, 2008.

Азанов А. В. Математическое моделирование электромагнитного канала связи при бурении нефтяных скважин / А. В. Азанов, В. Н. Ерёмин // Научный вестник НГТУ. - 2008. - Т. 1(30). - С. 41-49.

Азанов А. В. Вычислительные схемы решения прямых задач геоэлектрики в скважинах с криволинейными границами / А. В. Азанов, Э. П. Шурина, М. И Эпов // Совместный выпуск по материалам Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (10 - 14 сентября 2008 г.), Вычислительные технологии, том 13, Вестник КазНУ им. аль-Фараби, серия математика, механика, информатика, № 3 (58). - 2008. - С. 95-99.

Азанов А. В. Исследование влияния дефектов стенок скважины на результаты высокочастотного индукционного каротажа / А. В. Азанов, Э. П. Шурина, М. И. Эпов // Каротажник. - 2010. - Т. 6 (195). - С. 42 -57.

10. Хмелевской В. К. Краткий курс разведочной геофизики / В. К. Хмелев-ской. - М. : Изд-во МГУ, 1979.

11. Хмелевской В. К. Геофизические методы исследования земной коры / В. К. Хмелевской. — Дубна : Международный университет природы, общества и человека Дубна, 1997. — Т. 2. — URL:

http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1161637.

12. Шарма П. Геофизические методы в региональной геологии / П. Шарма. — Москва : Мир, 1989.

13. Pardo D. Simulation of resistivity logging-while-drilling (lwd) measurements using a goal-oriented hp finite element method / D. Pardo, L. Demkowicz, C. Torres-Verdin, M. Paszynski // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 2006. - Vol. 66.

14. Pardo D. Fourier series expansion in a non-orthogonal system of coordinates for the simulation of 3d alternating current borehole resistivity measurements. / D. Pardo, C. Torres-Verdin, M. J. Nam et al. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2008. — Vol. 197. — P. 3836-3849.

15. Тихонов A. H. Уравнения математической физики / A. H. Тихонов, А.А. Самарский. — М. : Наука, 1977. — 735 с.

16. Самарский А. А. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко и др. — Минск : ЗАО Критерий,

1996. — 275 с. — Российская Академия наук, Институт математического моделирования.

17. Годунов С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, B.C. Рябенький. — М. : Наука, 1977. - 439 с.

18. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В. П. Ильин. — Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 2000. - 345 с.

19. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — М. : Наука, 1977. - 656 с.

20. Самарский А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. - М. : Наука, 1973. — 416 с.

21. Федотова 3. И. Моделирование поверхностных волн, порожденных оползнями / 3. И. Федотова, Л. Б. Чубаров, Ю.И. Шокин // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9, № 6. - С. 89-96.

22. Sofronov I. L. Influence of defects on electromagnetic fields in the problem of diagnostic of ferromagnetic pipes / I. L. Sofronov, N. A. Zaitsev. — 2006. — Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science, 2006.

23. Zaitsev N. A. An algorithm for solving three-dimensional harmonic Maxwell equations in ferromagnetic pipes / N. A. Zaitsev, I. L. Sofronov. — 2005.— Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science. 2005.

24. Shurina E. P. Technologies of finite volume-finite element method for the solution of convection-diffusion problems on unstructured grids / E. P. Shurina, O. P. Solonenko, Т. V. Voitovich // Вычислительные технологии. — 2002. — Т. 7, № 3. - С. 98-120.

25. Прокопьева JI. А. Параллельная реализация метода конечных объемов для решения нестационарных уранений максвелла на неструктурированной сетке / Л. А. Прокопьева, Ю. И. Шокин, А. С. Лебедев, М.П. Фе-дорук // Вычислительные технологии. Специальный выпуск 4: Труды V Совещания российско-казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям. — 2007. — Т. 12. — С. 59-69.

26. Domingues М. О. An adaptive multiresolution scheme with local time stepping for evolutionary pdes / Margarete O. Domingues, Sonia M. Gomes, Olivier Roussel, Kai Schneider // Journal of Computational Physics. — 2008. - Vol. 227. - P. 3758—3780.

27. Haber E. Fast simulation of 3d electromagnetic problems using potentials / E. Haber, U. M. Ascher, D. Oldenburg, D. A. Aruliah // J. Сотр. Phys. — 2000.-Vol. 163.-P. 150-171.

28. Hermeline F. Two coupled particle-finite volume methods using delaunay-voronoi meshes for the approximation of vlasov-poisson and vlasov-maxwell equations / F. Hermeline // J. Comput. Phvs.— 1993.— Vol. 106, no. 1.— P. 1-18.

29. Madsen N. К. A three-dimensional modified finite volume technique for maxwell's equations / Niel K. Madsen, Richard W. Ziolkowski // Electromagnetics. — 1990. — Vol. 10, no. 1. — P. 147-161.

30. Munz C.-D. A finite-volume method for the maxwell equations in the time domain / C.-D. Munz, R. Schneider, U. Voss // siam j. Sci. Comput. — 2000. — Vol. 22, no. 2. — P. 449-475.

31. Лаевский Ю. M. Метод конечных элементов / Ю. М. Лаевский. — Новосибирск : НГУ, 1999. - 166 с.

32. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флет-чер. - М. : Мир, 1991. - Т. 1. - 504 с.

33. Braess D. Finite Elements: Theory, Fast Solvers, and Applications in Solid Mechanics. / Dietrich Braess. — 2nd edition edition. — Cambridge University Press, 2001, — 370 p.

34. Brenner S. C. Mathematical Theory of Finite Element Methods / S. C. Brenner, L. R. Scott. - Springer-Verlag, 2002,- P. 361.

35. Clenet S. Model with source terms in the constitutive relationship / Stephane Clenet // IEEE Transactions on Magnetics. — 2002,— Vol. 38, no. 2,- P. 481-484.

36. Alotto P. A mixed face-edge finite element formulation for 3d magnetostatic problems / P. Alotto, F. Delfino, P. Molfino, M. Nervi // IEEE Transactions on Magnetics. - 1998. — Vol. 34, no. 5. - P. 2445-2448.

37. Ren Z. High order differential form-based elements for the computation of electromagnetic field / Z. Ren, N. Ida // IEEE Transactions on Magnetics. — 2000. - Vol. 36, no. 4. - P. 1472-1478.

38. Soleimani M. Computational aspects of low frequency electrical and electromagnetic tomography: A review study / Manuchehr Soleimani // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. — 2008. — Vol. 5, no. 3. - P. 407-440.

39. Tonti E. Finite formulation of electromagnetic field / Enzo Tonti // IEEE Transactions on Magnetics. - 2002. - Vol. 38, no. 2. — P. 333-336.

40. Breslavsky P. V. Simulation of interacting discontinuous solutions on dynamically adaptive grids / P. V. Breslavsky, V. I. Mazhukin // Comput. Meth. Appl. Math. - 2007. - Vol. 7, no. 2. — P. 103—117.

41. Larson M. G. Adaptive variational multiscale method for convection-diffusion problems / Mats G. Larson, Axel Malqvist. — 2006. — Finite Element Center, Preprint 2006-04.

42. Aruliah D. A. Fast Solvers for Time-Harmonic Maxwell's Equations in 3D : Ph. D. thesis / Dhavide Arjunan Aruliah ; The University of British Columbia. — 2001. — August.

43. Edge finite elements of variable order for maxwell's equations - a discussion : Rep. / The University of Texas at Austin ; Executor: L. Demkowicz : 2000.

44. Rodriguez A. A. Mixed finite element approximation of eddy current problems / Ana Alonso Rodriguez, Ralf Hiptmair, Alberto Valli // IMA Journal of Numerical Analysis. — 2004. — Vol. 24. - P. 255—271.

45. Hiptmair R. Finite Elements in Computational Electromagnetism / Ralph Hiptmair // Acta Numerica. — 2002. — Vol. 11. — P. 237-339.

46. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. — Москва : Мир, 1977. - 349 с.

47. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьяр-ле. - Москва : Мир, 1980. — 512 с.

48. Jin J. The Finite Element Method in Electromagnetics / Jianming Jin.— second edition. — Wiley-IEEE Press, 2002. — P. 780.

49. Assous F. Numerical solution to the time-dependent maxwell equations in axisymmetric singular domains: the singular complement method / F. Assous, Jr. P. Ciarlet, S. Labrunie, J. Segre // J. Comput. Phys. — 2003.— Vol. 191, no. 1,- P. 147-176.

50. Nedelec J. C. Mixed Finite Elements in K3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. - 1980. - Vol. 35, no. 3. - P. 315-341.

51. Nedelec J. C. A New Family of mixed Finite Elements in R3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. — 1986. - Vol. 35, no. 3. - P. 57-81.

52. Andersen L. S. Hierarchical tangential vector finite elements for tetrahedra / L. S. Andersen, J. L. Volakis // Proc. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. — Vol. 1. — 1998. — 21-26 June. — P. 240-243.

53. Jorgensen E. Higher order hierarchical legendre basis functions for electromagnetic modeling / E. Jorgensen, J. L. Volakis, P. Meincke, O. Brein-bjerg // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2004. — Nov. — Vol. 52, no. 11. — P. 2985-2995.

54. Ingelstrom P. A new set of h(curl)-conforming hierarchical basis functions for tetrahedral meshes / P. Ingelstrom // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 2006. — Jan. — Vol. 54, no. 1. — P. 106-114.

55. Jiao D. Three-dimensional orthogonal vector basis functions for time-domain finite element solution of vector wave equations / D. Jiao, Jian-Ming Jin // IEEE Transactions on Antennas and Propagation.— 2003. — Jail.— Vol. 51, no. 1.—

P. 59-66.

56. Lee J. F. Conforming hierarchical vector elements / J. F. Lee // Proc. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. — Vol. 1.— 2002. — 1621 June. - P. 66-69.

57. Slone R. D. Systematic method for finding a hierarchical vector finite element of any order using the nedelec criteria and a webb basis / R. D. Slone, Jin-Fa Lee, R. Lee // Proc. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. — Vol. 3. — 2001. - 8-13 July. — P. 184-187.

58. Webb J. P. Hierarchal vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements / J. P. Webb // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1999. — Vol. 47, no. 8. — P. 1244-1253.

59. Arnold D. N. Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications / Douglas N. Arnold, Richard S. Falk, Rag-nar Winther // Acta Numerica. — 2006,— no. 15.— P. 1-155.— URL:

http: //ima.umn.edu / ~ arnold / papers / acta, pdf.

60. Costabel M. Singularities of eddy current problems / Martin Costabel, Monique Dauge, Serge Nicaise // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 2003. - Vol. 37, no. 5. - P. 807-831.

61. Solin P. Higher-Order Finite Element Methods / P. Solin, K. Segeth, I. Dolezel. - Boca Raton, FL : Chapman & Hall/ CRC Press, 2003. P. 408.

62. Баландин M. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина, - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2000. — 70 с.

63. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems / Yousef Saad. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. — 447 p.

64. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods / R. Barrett, M. Berry, T. F. Chan et al. — 2nd edition.— Philadelphia, PA : SIAM, 1994.

65. Fast solvers and domain decomposition preconditioned for spectral element discretizations of problems in h(curl : Rep. : TR2001-823 / Courant Institute of Mathematical Sciences ; Executor: Bernhard Hientzsch, C Bernhard Hientzsch : 2001.

66. Theoretical and numerical comparison of various projection methods derived from deflation, domain decomposition and multigrid methods : Report : 0704 / Delft University of Technology, Delft Institute of Applied Mathematics ; Executor: J.M. Tang, R. Nabben, C. Vuik, Y.A. Erlangga. — Delft : 2007.

67. Zheng Z. A stabilized explicit lagrange multiplier based domain decomposition method for parabolic problems / Zheming Zheng, Bernd Simeon, Linda Petzold // J. Comput. Phys. - 2008. - Vol. 227, no. 10. - P. 5272-5285.

68. Brezina M. Algebraic multigrid based on element interpolation (amge) / M. Brezina, A. J. Cleary, R. D. Falgout et al. // siam J. Sci. Comput. — 2000. — Vol. 22, no. 5,- P. 1570-1592.

69. Hiptmair R. Multigrid method for maxwell's equations / R. Hiptmair // SIAM J. Numer. Anal. — 1998. — Vol. 36, HO. 1. — P. 204-225.

70. Bochev P. B. An improved algebraic multigrid method for solving maxwell's equations / Pavel B. Bochev, Christopher J. Garasi, Jonathan J. Hu et al. // SIAM J. Sci. Comput. — 2003. — Vol. 25, no. 2. - P. 623-642.

71. Mifune T. A fast solver for fem analyses using the parallelized algebraic

multigrid method / Т. Mifune, Т. Iwashita, M. Shimasaki // IEEE Transactions on Magnetics. — 2002. - March. — Vol. 38, no. 2. - P. 369-372.

72. Hu J. J. Toward an h-independent algebraic multigrid method for maxwell's equations / Jonathan J. Hu, Raymond S. Tuminaro, Pavel B. Bochev et al. // SIAM J. Sci. Comput. - 2006. - Vol. 27, no. 5. - P. 1669-1688.

73. Ольшанский M. А. Лекции и упражнения по многосеточным методам / М. А. Ольшанский.— М. : Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003. — 176 с.

74. Perrussel R. Algebraic multilevel methods for edge elements / R. Perrussel, L. Nicolas, F. Musy et al. // IEEE Transactions on Magnetics. — 2006. — April.— Vol. 42, no. 4,- P. 619-622.

75. Nechaev O. Multilevel iterative solvers for the edge finite element solution of the 3D Maxwell equation / O.V. Nechaev, E.P. Shurina, M.A. Botchev // Computers & Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 55, 110. 10. — P. 2346-2362.

76. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов / В. В. Шай-дуров. — Москва : Наука, 1989. — 288 с.

77. Chow Е. Multilevel block factorizations in generalized hierarchical bases / Edmond Chow, Panayot S. Vassilevski // Numerical Linear Algebra with Applications. — 2003. — Vol. 10, 110. 1-2. - P. 105-127.

78. Toselli A. Domain Decomposition Methods - Algorithms and Theory / Andrea Toselli, Olof Widlund. — Springer, 2005. — Vol. 34 of Springer Series in Computational Mathematics. — P. 450.

79. Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стрэттон. — Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — 539 с.

80. Current and voltage excitations for the eddy current model : Research Report : 2003-07 / Eidgenossische Technische Hochschule ; Executor: R. Hipt-mair, O. Sterz : 2003, —July.

81. Biro O. Generating source field functions with limited support for edge finite-element eddy current analysis / O. Biro, K. Preis // IEEE Transactions on Magnetics. - 2007. - April. - Vol. 43, no. 4. - P. 1165-1168.

82. Ren Z. Solving 3d eddy current problems using second order nodal and edge elements / Z. Ren, N. Ida // IEEE Transactions on Magnetics.— 2000. — July.— Vol. 36, no. 4. - P. 746-750.

83. Carpes Jr W. P. A 3D finite element method for the modelling of bounded and unbounded electromagnetic problems in the time domain / W. P. Carpes Jr, L. Pichon, A. Razek // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. — 2000. — Vol. 13, no. 8. - P. 527-540.

84. Monk P. Finite Element Methods for Maxwell's Equations / Peter Monk.

Numerical Analysis and Scientific Computation Series. — Oxford University Press, 2003. - P. 464.

85. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements / Alain Bossavit. — San Diego, USA : Academic Press Ltd., 1998,- P. 352.

86. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. — Москва : Изд-во Наука, 1978. — 832 с.

87. Geuzaine С. High order hybrid finite element schemes for Maxwell's equations taking thin structures and global quantities into account : Ph. D. thesis / Christophe Geuzaine ; UNIVERSITÉ DE LIÈGE Faculté des Sciences Appliquées. — 2001.

88. Bufîa A. Some numerical and theoretical problems in computational electro-magnetism : Ph. D. thesis / Annalisa Buffa ; University of Milano. — 2000.

89. Buffa A. On traces for functional spaces related to maxwell's equations part ii: Hodge decompositions on the boundary of lipschitz polyhedra and applications / A. Buffa, Jr. P. Ciarlet // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2001. - Vol. 24, no. 1. - P. 31-48.

90. Пузанов M. И. Моделирование нестационарного электромагнитного поля методом векторных конечных элементов с использованием декомпозиции области / М. И. Пузанов, Э. П. Шурина, М. И. Эпов // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. И. № 6. - С. 104-117.

91. Кауфман Jl. А. Введение в теорию геофизических методов / Л. А. Кауфман. - М. : Недра, 1997,- 516 с.

92. Баландин М. Ю. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина, - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2001. — 69 с.

93. Schneebeli A. An H(curl; Q)-conforming FEM: Nedelec's elements of first type / Anna Schneebeli // tech. report. — 2003. — URL: http://ganymed.iwr.uni-

heidelberg.de/~ deal/5.1.0/reports/nedelec/nedelec.pdf.

94. Ren Z. High-order finite elements of complete and incomplete bases in electromagnetic-field computation / Z. Ren, N. Ida // IEE Proceedings -Science. Measurement and Technology. — 2002. — May. — Vol. 149, по. 3. — P. 147-151.

95. Webb J. P. Hierarchal scalar and vector tetrahedra / J. P. Webb // IEEE Transactions on Magnetics. — 1993. — Vol. 29, no. 2. — P. 1495-1498.

96. Webb J. P. Edge elements and what they can do for you / J. P. Webb // IEEE Transactions on Magnetics. — 1993. — Vol. 29, no. 2. — P. 1460-1465.

97. Bank R. E. Hierarchical bases and the finite element method / R. E. Bank // CUP. — Cambridge : Cambridge University Press, 1996. — Vol. 5. — P. 143. - URL: citeseer.ist.psu.edu/article/bank97hierarchical.html.

98. Boutora Y. A new method for minimizing the bandwidth and profile of square matrices for triangular finite elements mesh / Youcef Boutora, Noured-

dine Takorabet, Rachid Ibtiouen, Smail Mezani // IEEE Transactions on Magnetics. — 2007. - Vol. 43, no. 4. — R 1513-1516.

99. Голуб Д. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. — Мир, 1999.- 548 с.

100. Фаддеев Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. — Лань, 2002. — 655 с.

101. Igarashi Н. On the Property of the Curl-Curl Matrix in Finite Element Analysis With Edge Elements / H. Igarashi // IEEE Transactions on Magnetics. - 2001. - Vol. 37, no. 5. - P. 3129-3132.

102. A comparison of abstract versions of deflation, balancing and additive coarse grid correction preconditioners : Report : 07-01 / Delft University of Technology, Department of Applied Mathematical Analysis ; Executor: R. Nabben, C. Vuik. - Delft : 2007.

103. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы / И. П. Мы-совских. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 336 с.

104. Смайт В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт. — Москва : Издательство иностранной литературы, 1954. — 604 с.

105. Monk P. Phase-accuracy comparisons and improved far-field estimates for 3-d edge elements on tetrahedral meshes / Peter Monk, Kevin Parrott // j. Comput. Phys. - 2001. - Vol. 170, no. 2. - P. 614-641.

Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИ-КИЗ.Методическое руковорство / Под ред. М. И. Эпов, Ю. Н. Антонов. — Новосибирск : НИЦ ОИГГМ СО РАН, Издательство СО РАН, 2000. — 122 с.