Моделирование свободных колебаний и процессов взаимодействия электромагнитного поля с электронными потоками в открытых резонаторах гиротронов субтерагерцевого и терагерцевого диапазонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Рожнев Андрей Георгиевич

• Рожнев Андрей Георгиевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Рожнев Андрей Георгиевич

ВВЕДЕНИЕ

1 Проблема граничных условий в теории гиротрона с нефиксированной структурой поля

1.1 Введение

1.2 Граничные условия для резонатора гиротрона, нагруженного на рупор с малым углом раскрыва (стационарная теория)

1.2.1 Связь полей во входной плоскости рупора с амплитудами волн в выходном волноводе

1.2.2 Граничные условия для случая, когда в выходном рупоре есть локальные отражения и внешний сигнал

1.2.3 Граничные условия в случае, когда в выходном рупоре нет отражений и внешнего сигнала

1.2.4 Формула для коэффициента отражения волны от рупора с малым углом раскрыва

1.2.5 Оценка необходимости учёта отражений от рупора в теории гиро-трона с нефиксированной структурой поля

1.2.6 Граничные условия в случае, если в выходном волноводе нет отражений, но присутствует входной сигнал

1.2.7 В выходном волноводе есть отражения, но нет внешнего сигнала

1.2.8 Граничные условия для сужающегося рупора

1.2.9 Граничные условия для случая плавного перехода профиля резонатора в рупор

1.3 Граничные условия в теории гиротрона с нефиксированной структурой поля (нестационарная теория)

1.3.1 Безотражательные и импедансные граничные условия

1.3.2 Граничные условия для нестационарной теории в случае рупора с малым углом раскрыва

1.3.3 Граничные условия для нестационарной теории в случая плавного перехода резонатора в рупор

1.3.4 Граничные условия для нестационарной теории при наличии отражений от удалённой нагрузки

1.4 Основные выводы по главе

2 Использование граничных условий импедансного типа для исследования свойств открытых резонаторов гиротронов

2.1 Введение

2.2 Характеристическое уравнение для комплексных частот резонатора

2.3 Алгоритм численного поиска корней уравнения для комплексных частот резонатора

2.4 Примеры расчёта резонаторов гиротронов

2.5 Уравнения для расчёта резонаторов с одним закрытым концом и с двумя расширяющимися рупорами

2.6 Расчёт резонаторов с предельно низкой добротностью, имеющих с плавные сочленения однородного участка и рупоров

2.7 Исследование зависимости добротности комплексных мод резонатора от параметров граничных условий

2.8 Приближённые формулы для частоты и добротности резонатора

2.9 Сравнение результатов с формулой для добротности, представленной в литературе

2.10 Основные выводы по главе

3 Моделирование электромагнитных колебаний в открытых аксиально— симметричных резонаторах гиротронов терагерцевого диапазона

3.1 Введение

3.2 Слабая формулировка уравнений электромагнитного поля для моделирования колебаний в аксиально симметричных электродинамических структурах в двумерной постановке

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Метод штрафных функций для подавления нефизических мод

3.2.3 Реализация слабой формулировки краевой задачи для аксиально— симметричного резонатора

3.2.4 Граничные условия для компонент электрического поля

3.2.5 Моделирование открытых границ резонатора с помощью идеально согласованных слоев

3.2.6 Учёт затухания на поверхности металла

3.3 Программы расчёта аксиально—симметричных резонаторов гиротронов методом конечных элементов

3.3.1 Общая характеристика программы

3.3.2 Выбор параметров численной модели

3.3.3 Расчел омической добротности резонатора

3.4 Моделирование колебаний в эшелеттном резонаторе

3.5 Основные выводы по главе

4 Исследование гиротрона терагерцевого диапазона со ступенчатым резонатором, работающего на связанных высших продольных модах

4.1 Введение

4.2 Ступенчатый резонатор с преобразованием мод

4.3 Исследование связанных колебаний в ступенчатом резонаторе без электронного потока

4.4 Стартовые условия возникновения генерации для гиротрона c СР-ПМ в приближении фиксированной структуры поля

4.5 Результаты расчёта стартовых токов в гиротроне со ступенчатым резонатором и преобразованием мод

4.6 Основные выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Алгоритм вычисления интеграла свертки в граничных условиях для нестационарного уравнения возбуждения

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Формулы для расчёта стартовых условий в гиро-

троне в приближении фиксированной структуры поля

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование свободных колебаний и процессов взаимодействия электромагнитного поля с электронными потоками в открытых резонаторах гиротронов субтерагерцевого и терагерцевого диапазонов»

Актуальность темы диссертации

Одним из основных направлений развития радиофизики и электроники СВЧ в настоящее время является освоение субтерагерцевого и терагерцевого диапазона частот. Это имеет важное значение для различных областей науки, техники и многочисленных практических приложений, включая нагрев плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза (УТС) [1], медико—биологических применения [2, 3], технологические приложения (нагрев и обработка материалов) [4], дистанционная диагностика и радиоспектроскопия [5], разработка систем связи следующего поколения [6], систем безопасности [7], в других случаях.

Гироприборы являются наиболее перспективными устройствами для создания генераторов и усилителей средней и большой мощности в этом диапазоне. Их использование имеет значительные перспективы для развития всех перечисленных направлений. В разработке современных генераторов гироре-зонансного типа — гиротронов отчётливо наблюдаются три основных тенденции [8]. Во-первых, это разработка мощных квазинепрерывных и непрерывных гиротронов с частотами 140 и 170 ГГц, используемых в УТС для нагрева плазмы [1]. Мощность таких приборов превышает 1 МВт и КПД может достигать 70% при квазинепрерывном режиме работы. В настоящее время планируется разработка термоядерного реактора следующего поколения «DEMO» [9,10], в котором частота генерации гиротронов должна составлять 200 ГГц, выходная мощность — 2 МВт при непрерывной работе в течении нескольких десятков часов.

Второе направление — разработка гиротронов для медицинских [11,12] и технологических применений [13-15]. Здесь необходимы частоты в диапазоне 100 -300 ГГц и выше с мощностью от 1 КВт (для медицины) до десятков КВт (для нагрева материалов и обработки поверхностей), КПД порядка 20-30%, непрерывный режим работы.

Третье направление — создание гиротронов малой мощности (несколько десятков Вт) для спектроскопических применений. В этом случае параметры приборов должны быть следующими: непрерывный режим работы, рабочая частота 200 - 700 ГГц, возможность перестройки частоты в диапазоне

2-5 ГГц, высокая стабильность частоты на интервалах времени порядка десятков часов.

Для создание гиротронов всех этих типов необходимо выполнение чрезвычайно жёстких требований ко всем элементам конструкции гиротрона — пушки, магнитной системы, резонатора, системы вывода энергии, включая окно вывода и квазиоптический преобразователь, коллектор, системы питания и т.д. В совокупности все они должны обеспечить реализацию различных, иногда вступающих в противоречие между собой, требований. К числу основных таких требований относятся выбор конструкции резонатора гиротрона и типа рабочей моды. Этот выбор определяет КПД генератора, его устойчивость к самовозбуждению на паразитных типах колебаний, возможность перестройки частоты и её стабильность.

Для правильного выбора конструкции резонатора гиротрона необходимо иметь средства для оперативного и точного компьютерного моделирования его параметров. Методы моделирования резонаторов гиротронов развиваются в течении более чем 50 лет, начиная с момента его изобретения. В настоящее время эти методы и разработанные на их основе программы можно разделить на несколько классов. К первому относятся подходы, использующие квазиоптические представления. В основе их лежат работы Л. А. Вайнштейна [16], С. Н. Власова и М. И. Петелина с сотрудниками [17]. В этом случае для описания поля в резонаторе используют так называемое уравнение неоднородной струны, которое может быть получено в результате дальнейшего упрощения параболического уравнения, описывающего электромагнитные колебания в открытом квазиоптическом резонаторе.

Уравнение неоднородной струны с соответствующими граничными условиями (ГУ) оказалось простым, удобным и, главное, точным инструментом, позволяющим рассчитывать основные параметры открытого резонатора ги-ротрона — частоту, дифракционную добротность, распределение полей несобственных (вытекающих) мод. Вплоть до настоящего времени этот подход является широко востребованным благодаря его простоте и высокой точности, а также чрезвычайно скромным требованиям к компьютерным ресурсам. В дальнейшее развитие полуаналитических и численных методов анализа резонаторов гиротрона, основанных на этом подходе, внесли вклад А. Ж БНйе^

R. J. Temkin, O. F. Li, L. Zhou, A. Xu J. J. Barroso, E. Borie, многие другие исследователи.

Несмотря на кажущуюся простоту этого подхода, при его численной реализации возникает ряд проблем. Хотя само уравнение неоднородной струны является линейным, решение полной краевой задачи, описывающей свободные колебания в резонаторе, требует использования итерационных методов, поскольку спектральный параметр (в данном случае — квадрат комплексной частоты колебаний) входит нелинейным образом в ГУ. Для нахождения всех решений в заданной области комплексной плоскости частоты нужно привлекать дополнительные теоретические или эмпирические соображения для задания начальных приближений в процедуре итерационного решения. Особенно остро эта проблема возникает при анализе резонаторов со сверхнизкой дифракционной добротностью, используемых в резонаторах терагерцевого диапазона, поскольку в этом случае регулярность расположения искомых решений на комплексной плоскости частот нарушается.

В самое последнее время появились работы, в которых ставится вопрос о необходимости иметь простые аналитические формулы, позволяющие без применения компьютерных программ с достаточной точностью оценивать параметры резонаторов гиротронов (см., например, [18-20]). Такое требование связано с желанием иметь инструмент анализа поведения гиротрона при изучении тонких эффектов, которые имеют особое значения для приборов, работающих в субтерагерцевом и терагерцевом диапазонах. К числу таких эффектов относятся, например, формирование пространства взаимодействия гиро-тронов терагерцевого диапазона для достижения их максимальной эффективности, исследование перестройки и затягивания частоты.

В основополагающей работе по электродинамике резонаторов гиротронов [17] формула для расчёта добротности открытого резонатора была получена, но её практическое использование показывает, что она обеспечивает приемлемую точность только для систем с дифракционной добротностью, в десятки раз большей минимального значения, определяемого дифракционным пределом. Кроме того, эта формула содержит параметры только расширяющегося рупора на выходном конце резонатора и по этой причине она не может описать изменение дифракционной добротности в зависимости от параметров сужающегося рупора на пушечном конце системы. Между тем хорошо извест-

но, что такая связь для резонаторов с промежуточными (превышающими минимальную в несколько раз) и низкими (порядка минимальной) значениями дифракционной добротности существует и является существенной.

В работе [21] было предложено обобщение этой формулы, однако расчёты конкретных систем показывают что новая формула даёт совершенно неверные результаты уже для систем с промежуточными значениями добротности [22], а для систем с высокой добротностью она приводит к тем же значениям, что и известная ранее формула. Возможность анализа влияния параметров сужающегося рупора на добротность при этом также отсутствует.

Можно отметить также, что до настоящего времени отсутствовали аналитические формулы, позволяющие рассчитывать не только добротности, но и частоты колебаний основной и высших продольных мод в резонаторе гиро-трона традиционной конфигурации.

Гиротрон относится к общему классу вакуумных электронных СВЧ приборов, в которых взаимодействие электромагнитного поля и электронного пучка происходит на частотах, близких к критической частоте рабочего типа волны. К другим приборам этого класса относятся ЛБВ с замедляющей системой в виде цепочки связанных резонаторов [23,24], [169], усилитель с открытым волноводом, релятивистский карсинотрон [25] (в случае, когда генерация происходит вблизи частоты ж -вида), релятивистский оротрон [26-28], многие устройства плазменной электроники [29]. При выполнении условия близости частотного спектра сигнала к критической частоте рабочей моды динамика электромагнитного поля во всех этих устройствах оказывается схожей. В результате их теории в электродинамической части, касающейся формулировки уравнений возбуждения, граничных условий, методов численного решения возникающих при этом краевых задач, исследования неустойчивостей и т. д., также оказываются очень близкими друг к другу. Интересно отметить, что, вопреки этому обстоятельству, развитие теории гироприборов (гиротрона, гиро-ЛБВ и гиро-ЛОВ), приборов типа О (ЛБВ ЦСР, карсинотрона, усилителя с открытым волноводом) а также плазменных генераторов, шло практических независимо друг от друга1. В рамках настоящей работы не ставится задача подробного анализа теории взаимодействия вблизи критической часто-

!Это замечание не касается нестационарной теории релятивистского оротрона [28], поскольку к моменту её появления общность физических процессов во всех устройствах, работающих вблизи границы полосы пропускания, стала очевидной.

ты, отметим только, что в развитие стационарного варианта теории гиротрона с нефиксированной структурой поля основной вклад внесли В. Л. Братман, М. И. Петелин, М. А. Моисеев, а в нестационарный вариант —Н. С. Гинзбург, Г. С. Нусинович, Н. А. Завольский, А. С. Сергеев.

Фундаментальной проблемой для построения теории всех перечисленных типов приборов является проблема адекватного описания процессов отражения и преобразования волн рабочего типа в пространстве взаимодействия в волны в присоединённых к нему входном и выходном трактах. Реализация методов, использованных в диссертации для описания колебаний в резонаторе гиротрона без электронного пучка, базируется на выводе ГУ нового типа для поля в сечениях, соединяющих однородный или слабонеоднородный центральный участок резонатора, в рупоры, расположенные его на пушечном и коллекторном концах. Оказывается, что эти ГУ могут быть также эффективно использованы при теоретическом и численном исследовании процессов взаимодействия в гиротроне, в рамках теории гиротрона с нефиксированной структурой поля.

Использование методов, основанных на уравнении неоднородной струны, имеет ограничения, связанные с невозможностью анализа резонаторов нестандартной или, по терминологии В. Е. Запевалова [30], «неканонической» конструкции, когда в них имеется существенная связь между различными поперечными типами волн в неоднородном волноводе, присутствуют резкие неоднородности, скачки сечения, диафрагмы, эшелеттные зеркала и т. п.

В связи с этим, начиная с конца 70-х годов прошлого века развивался второй способ моделирования электромагнитных волн в резонаторах гиротро-на, образованных нерегулярными отрезками волноводов, который базируется на уравнениях связанных TE - и TM - волн в неоднородных вдоль направления передачи энергии волноведущих структурах. Этот подход восходит к работам Г. В. Кисунько, Б. З. Каценеленбаума и G. Reiter. Поскольку он в диссертации не используется и не развивается, его подробная характеристика здесь не приводится, отметим только, что имеется ряд факторов, которые затрудняют его применение. Это происходит в случаях, когда для описания поля в системе требуется использовать большое число мод волновода сравнения, при том, что соответствующие ряды могут медленно сходиться. Вторая причи-

на, непосредственно вытекающая из первой, состоит в трудоемкой процедуре удовлетворения ГУ для всех мод, участвующих в разложении.

В случае, когда предыдущие методы оказываются неэффективными, возможно использование третьего подхода, который основан на непосредственном численном решении уравнений Максвелла, или вытекающих из них уравнений второго порядка для электрического или магнитного полей (так называемые векторные уравнения «ротор-ротора»). Для этого используются как универсальные программы численного моделирования электромагнитных полей («CST Microwave Studio», «HFSS», «Comsol Multiphysics», «Magic», «КАРАТ», «Cascade», «VSIM»), так и программы, разработанные в различных лабораториях и научных группах. В качестве численных алгоритмов, лежащих в основе этих программ, чаще всего выступают метод конечных разностей во временной области в различных вариантах («CST Microwave Studio», «Magic», «KAPAT», «VSIM»), метод конечных элементов («HFSS», «Comsol Multiphysics»), реже — другие подходы. Например в коде «Cascade» используется метод сшивания мод (mode-matching technique). Примеры использования этих программ можно найти в [31-35], [175]. В ряде этих работ моделируется не только «холодный» резонатор, то есть система без пучка, но и режимы взаимодействие электромагнитного поля с электронным потоком.

Использование универсальных методов численного моделирования электромагнитных полей обладает тем достоинством, что формально гарантирует получение решения с необходимой точностью без каких-либо упрощений в геометрии системы, свойствах материалов и т. д., если для этого имеются достаточные машинные ресурсы. К сожалению, на практике требования к этим ресурсам, прежде всего к объёму оперативной памяти, очень быстро растут при увеличении размерности решаемой задачи и электрических размеров моделируемой области. В современных гиротронах субтерагерцево-го и терагерцевого диапазонов в качестве рабочих используют моды очень высокого порядка, у которых азимутальные, а часто и радиальные индексы значительно больше единицы. Гиротроны с перестройкой частоты в терагер-цевом диапазоне работают на продольных модах высокого порядка (ПМВП) или, в английской терминологии на HOAM-модах (от Hight-Order Axial Mode). При необходимости расчёта параметров мод резонатора с высокой точностью, что как раз характерно для гиротронов с перестройкой частоты, требования

к памяти и к быстродействию процессоров оказываются запредельно высокими, поскольку обычно эти задачи решаются в трёхмерной постановке. В ряде программ имеется возможность учесть аксиальную симметрию резонатора гиротрона («Comsol Multiphysics», «КАРАТ», «CASCADE»), что снижает требования к ресурсам вычислительной системы, но и в этом случае особенности алгоритмов решения векторных задач электродинамики ограничивают точность полученных решений для мод высокого порядка.

Как было отмечено выше, одной из важных задач для использования гиротронов в терагерцевом диапазоне является разработка прибора, который мог бы обеспечить непрерывную или квазинепрерывную перестройку частоты в диапазоне 2-5 ГГц в приборах с рабочей частотой от 200 до 700 ГГц. Для этого предложено использовать работу гиротрона в режиме синхронизма циклотронной волны в электронном пучке и встречной электромагнитной волны, при магнитных полях, превышающих значение, соответствующее центру основной зоны генерации [15,36-38]. При увеличении магнитного поля в гиротроне последовательно возбуждаются ПМВП типа TEmpq со все большим значением продольного индекса q, благодаря чему происходит перестройка частоты. Для того, чтобы снизить требуемые значения магнитного поля в приборах с рабочими частотами порядка нескольких сотен гигагерц, в них работают на высших циклотронных гармониках. Однако при этом возникает проблема генерации паразитных колебаний на основной циклотронной гармонике.

Одним из перспективных электродинамических методов селекции мод в гироприборах является использование ступенчатых резонаторов с резким изменением или скачком диаметра резонатора в некотором сечении, расположенным в его средней части. Выбором величин радиусов волноводов обеих частей резонатора возможно реализовать эффективную связь мод типа TEm p q—TEm p+„ q с различными значениями радиального индекса p и p C n в двух частях резонатора. Открытый резонатор с преобразованием мод был запатентован В. Г. Павельевым и Ш. Е. Цимрингом в 1979 г. [39] и ранее неоднократно исследовался [40-44]. Однако эти исследования относились только к случаю связи основных продольных мод, изучение возможности использования ступенчатого резонатора с преобразованием мод (СРПМ) для перестройки частоты за счёт взаимодействия пучка со связанными высшими продольными модами ранее не проводилось.

Резюмируя изложенное выше, можно заключить, что тема диссертационной работы является актуальной для современной радиофизики и электроники сверхвысоких частот.

Цель работы состоит в исследовании несобственных (вытекающих) типов колебаний в открытых резонаторах гиротронов и физических процессов взаимодействия электронного потока с полями ступенчатого резонатора с преобразованием мод в гиротроне, предназначенном для перестройки частоты в терагерцевом диапазоне, а также в развитии аналитических, полуаналитических и численных методов различного уровня сложности для моделирования колебаний в резонаторах гиротронов субтерагерцевого и терагерцевого диапазонов частот.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

— Развитие нового подхода к постановке граничных условий, формулируемых непосредственно в плоскостях, соединяющих центральную часть резонатора с подсоединёнными к ней рупорами, для краевой задачи, описывающей процессы свободных колебаний и взаимодействия электронного потока с полями собственной мод открытого резонатора.

— Исследование влияния геометрии и параметров входного и выходного рупоров на свойства несобственных (вытекающих) мод колебаний открытого резонатора.

— Получение аналитических формул для расчёта частот и дифракционных добротностей основной и несколько высших продольных мод резонатора гиротрона.

— Разработка метода численного моделирования вытекающих мод, имеющих большие величины всех индексов (аксиального, радиального и азимутального), в открытых аксиально—симметричных резонаторах с произвольной формой границы.

— Изучение свободных колебаний и процессов взаимодействия электромагнитных волн с электронным потоком в гиротроне со ступенчатым резонатором и преобразованием мод, работающем на частоте диапазона 400 ГГц, с целью реализации перестройки частоты генерации за счёт возбуждения связанных продольных мод высокого порядка.

Научная новизна работы. Все результаты, включенные в диссертационную работу, являются новыми и получены впервые, в частности:

1. Сформулированы новые типы граничных условий в теории гиротронов с нефиксированной структурой поля в стационарной и нестационарной постановках, которые могут быть использованы для численного моделирования широкого круга задач, возникающих в теории гироприробов различного типа, включая гиротроны, гиро-ЛБВ, системы с отражениями и с запаздывающей обратной связью.

2. Предложен оригинальный метод расчёта характеристик резонаторов гиротронов с различной геометрией присоединённых рупоров, который сводит численное решение краевой задачи в дифференциальной форме к поиску корней нелинейного характеристичексого уравнения, записанного в аналитическом виде.

3. Получены новые аналитические формулы для расчёта параметров комплексных колебаний в открытом резонаторе гиротрона стандартной геометрии. В отличие от известных ранее формул, они позволяют вычислять как добротности, так и частоты продольных мод и учитывают влияние на них всех основных геометрических параметров, а также типа рабочей моды.

4. Развит новый подход к численному моделированию колебаний в открытых аксиально—симметричных резонаторах гиротрона, основанный на методе конечных элементов и предназначенный для расчёта резонаторов гиротронов субтерагерцевого и терагерцевого диапазонов с большими значениями поперечных индексов рабочих мод, в том числе, резонаторов «неканонического» типа.

5. Впервые проведено исследование гиротрона, работающего на второй циклотронной гармонике в терагерцевом диапазоне частот со ступенчатым резонатором и преобразованием мод, в котором реализована связь между продольными модами высшего порядка. Показано, что при выполнении необходимых критериев на точность изготовления такого резонатора, в приборе, работающем на частоте 391 ГГц, может быть обеспечена ступенчатая перестройка частоты в интервале 1.5 ГГц при изменении магнитного поля, за счёт взаимодействия электронного пучка с различными связанными продольными модами составного резонатора.

Достоверность научных выводов работы определяется совпадением полученных аналитических результатов с результатами прямого численного моделирования; выполнением требуемых предельных переходов в аналитиче-

ских формулах; совпадением полученных для ряда систем результатов с опубликованными в литературе данными численных и экспериментальных исследований; использованием математически обоснованных методов и алгоритмов численного моделирования уравнений электродинамики методом конечных элементов; совпадением между собой результатов расчётов тестовых систем, полученных с помощью нескольких различных методик, в тех случаях, когда параметры систем удовлетворяют условиям применимости этих методик.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Граничные условия, которым должно удовлетворять поле рабочей ТЕтрд— моды в гиротроне с нефиксированной структурой поля, могут быть сформулированы непосредственно в сечениях, соединяющих центральную часть резонатора с присоединёнными к ней рупорами. Предложенные граничные условия для различных геометрий рупоров (расширяющийся или сужающийся рупор, рупор с изломом образующей или с параболическим переходным участком) позволяют корректно сформулировать краевые задачи, описывающие свободные колебания в открытых резонаторах гиротрона, а также процессы взаимодействия этого поля с электронным потоком в линейной, нелинейной стационарной и нелинейной нестационарной постановках.

2. Для резонатора гиротрона с традиционной конфигурацией, имеющего центральную часть в виде однородного отрезка цилиндрического волновода, который переходит в сужающийся входной и расширяющийся выходной рупоры с изломами образующей во входных плоскостях, изменение угла раскрыва выходного рупора при фиксированных значениях остальных параметров резонатора позволяет достичь минимальной величины дифракционной добротности при малом, но конечном угле раскрыва, который определяется условием

/V

£г = 0.5 — 1, в зависимости от угла сужения входного рупора. При достаточно

/V

больших углах сужения, задаваемых соотношением > 30, значение минимальной добротности составляет Qd,mm ^ (0.85 — 1.1) х 4ж(£/А0)2, где Ь —

/V

длина однородной части резонатора, А0 — критическая длина волны, — параметры нерегулярности входного и выходного рупоров, известные в теории гиротрона.

3. Полученные в диссертации приближённые аналитические формулы для частот и дифракционных добротностей продольных мод резонатора гиротро-

на позволяют, в отличие от известных ранее формул, с высокой точностью учесть влияние на эти величины всех параметров резонатора и рабочего типа колебаний: длины однородной части, углов раскрыва сужающегося и расширяющегося рупоров, продольного и поперечных индексов рабочей ТЕтрд —моды. Для основной продольной моды относительная разница между результатами, получаемыми с помощью этих формул, и данными расчётов с использованием более общих численных методик, не превышают 0.1% при расчёте частоты колебаний и 3% при расчёте её дифракционной добротности, в случае, если геометрия резонатора удовлетворяет условиям их применимости. 4. Использование ступенчатого резонатора с преобразованием мод, в котором две его однородные части имеют разные радиусы, но совпадающие длины, позволяет реализовать связь между высшими продольными модами колебаний в этих частях, при этом условия возникновения связанных колебаний совпадают для основной и высших связанных мод. Взаимодействие электронного потоками с полями этих мод позволяет, при выполнении сформулированных требований на точность изготовления резонатора, обеспечить в гиротроне с частотой 391 ГГц, работающем на второй циклотронной гармонике, дискретную перестройку частоты в диапазоне 1.5 ГГц.

Научная и практическая значимость работы. Научная значимость работы заключается в том, что полученные в ней результаты развивают и дополняют теорию квазиоптических резонаторов, используемых в электронных СВЧ приборах и теорию взаимодействия электронных потоков с полями открытых электродинамических структур вблизи критических частот рабочих мод. Полученные граничные условия используются при анализе работы ги-ротрона в режимах генерации стационарных, хаотических и гиперхаотических колебаний, конкуренции мод, синхронизации частоты колебаний внешним сигналом, стабилизации частоты частично отраженным от внешней нагрузки сигналом.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что предложенные аналитические и численные методы расчёта свойств «холодных» резонаторов гиротронов а также методики моделирования нестационарных процессов в гиротронах с нефиксированной структурой поля, и созданные на их основе программы для ЭВМ, могут быть использованы при разработке новых гиротронов субтерагерцевого и терагерцевого диапазонов частот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рожнев Андрей Георгиевич, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Glyavin M. Y., Idehara T., Sabchevski S. P. Development of THz gyrotrons at IAP RAS and FIR UF and their applications in physical research and high-power THz technologies // IEEE transactions on terahertz science and technology. 2015. Vol. 5, no. 5. P. 788-797.

2. Siegel P. H. Terahertz Technology in Biology and Medicine // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2004. Vol. 52, no. 10. P. 2438-2447.

3. Weightman P. Prospects for the study of biological systems with high power sources of terahertz radiation // Physical biology. 2012. Vol. 9, no. 5. P. 053001.

4. Siegel P. H. Terahertz Technology // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2002. Vol. 50, no. 3. P. 910-928.

5. THz dynamic nuclear polarization NMR / E. A. Nanni, A. B. Barnes, R. G. Griffin, R. J. Temkin // IEEE transactions on terahertz science and technology. 2011. Vol. 1, no. 1. P. 145-163.

6. Federici J., Moeller L. Review of terahertz and subterahertz wireless communications // Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 107, no. 11. P. 6.

7. THz imaging and sensing for security applications—explosives, weapons and drugs / J. F. Federici, B. Schulkin, F. Huang et al. // Semiconductor Science and Technology. 2005. Vol. 20, no. 7. P. S266.

8. Терагерцевые гиротроны: состояние и перспективы / М. Ю. Глявин, Г. Г. Денисов, В. Е. Запевалов и др. // Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59, № 8. С. 745-745.

9. Design considerations for future DEMO gyrotrons: A review on related gyrotron activities within EUROfusion / J. Jelonnek, G. Aiello, S. Alberti et al. // Fusion Engineering and Design. 2017. Vol. 123. P. 241-246.

10. Conceptual design of the EU DEMO EC-system: main developments and R&D achievements / G. Granucci, G. Aiello, S. Alberti et al. // Nuclear Fusion. 2017. Vol. 57, no. 11. P. 116009.

11. Millimeter wave irradiation and invasion into living bodies using a gyrotron as a radiation source / T. Tatsukawa, A. Doi, M. Teranaka et al. // Proc. Int. Workshop on Strong Microwaves in Plasma. Vol. 2. 2006. P. 727-731.

12. Pilossof M., Einat M. Note: A 95 GHz mid-power gyrotron for medical applications measurements // Review of Scientific Instruments. 2015. Vol. 86, no. 1. P. 016113.

13. Electron cyclotron heating for W7-X: Physics and technology / V. Erckmann, P. Brand, H. Braune et al. // Fusion Science and Technology. 2007. Vol. 52, no. 2. P. 291-312.

14. Gyrotron development for high power THz technologies at IAP RAS / V. L. Bratman, A. A. Bogdashov, G. G. Denisov et al. // Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves. 2012. Vol. 33, no. 7. P. 715-723.

15. Idehara T., Sabchevski S. P. Development and applications of high—Frequency gyrotrons in FIR FU covering the sub-THz to THz range // Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves. 2012. Vol. 33, no. 7. P. 667-694.

16. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М. : Сов. Радио, 1966.

17. Открытые резонаторы в виде волноводов переменного сечения / С. Н. Власов, Г. М. Жислин, И. М. Орлова и др. // Изв. вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12, № 8. С. 1236-1244.

18. Thumm M. Effective cavity length of gyrotrons // Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves. 2014. Vol. 35, no. 12. P. 1011-1017.

19. Nusinovich G. S., Dumbrajs O. Field formation in the interaction space of gyrotrons // Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves. 2016. Vol. 37, no. 1. P. 111-122.

20. Nusinovich G. S., Luo L., Liu P. K. Linear theory of frequency pulling in gyrotrons // Physics of Plasmas. 2016. Vol. 23, no. 5. P. 053111.

21. Huang Y. J., Yeh L. H., Chu K. R. An analytical study on the diffraction quality factor of open cavities // Physics of Plasmas. 2014. Vol. 21, no. 10. P. 103112.

22. Dumbrajs O., Khutoryan E. M., Idehara T. Hysteresis and frequency tun-ability of gyrotrons // Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves. 2016. Vol. 37, no. 6. P. 551-560.

23. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи

границы зоны Бриллюэна // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, № 12. С. 1575-1583.

24. Кузнецов А. П. Граничные условия в волновой теории ЛБВ вблизи частоты отсечки замедляющей системы // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1984. № 7 (367). С. 3-7.

25. Приборы типа „О", основанные на индуцированных черенковском и переходном излучениях релятивистских электронов / Н. Ф. Ковалев, М. И. Петелин, М. Д. Райзер, А. В. Сморгонский // Релятивистская высокочастотная электроника Сб. научных трудов. Горький : ИПФ АН СССР, 1979. С. 76-113.

26. Релятивистские генераторы диапазона миллиметровых волн / В. Л. Брат-ман, Г. Г. Денисов, С. Д. Коровин и др. // Релятивистская высокочастотная электроника. Горький: ИПФ АН ССР. 1984. № 4. С. 119.

27. Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы / С. П. Бугаев, В. И. Ка-навец, В. И. Кошелев, В. А. Черепенин. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 296 с.

28. Нестационарные процессы в оротроне с дифракционным выводом излучения / Н. С. Гинзбург, Н. А. Завольский, В. Е. Запевалов и др. // Журнал технической физики. 2000. Т. 70, № 4. С. 99-105.

29. Кузелев М. В., Рухадзе А. А., Стрелков П. С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. M. : Изд-во МГТУ им. Н.Э Баумана, 2002. 544 с. ISBN: 5-7038-2004-9.

30. Запевалов В. Е. Неканонические гиротроны // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, №4. С. 305-314.

31. Photonic-band-gap resonator gyrotron / J. R. Sirigiri, K. E. Kreischer, J. Machuzak et al. // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86, no. 24. P. 5628.

32. Study of cavity and output window for high power gyrotron / M. Alaria, P. Mukherjee, S. Das, A. K. Sinha // Journal of Fusion Energy. 2011. 02. Vol. 30. P. 89-93.

33. Frequency Stabilization in a Sub-Terahertz Gyrotron With Delayed Reflections of Output Radiation / M. Yu. Glyavin, I. Ogawa, I. V. Zotova и др. // IEEE Transactions on Plasma Science. 2018.

34. Генерация широкополосного хаотического излучения в гиротронах в режиме перекрытия высокочастотного и низкочастотного резонансов / Р. М. Розенталь, Н. С. Гинзбург, А. С. Сергеев и др. // Журнал технической физики. 2017. Т. 87, № 10. С. 1555-1561.

35. Validation of 3-D Time Domain Particle-in-Cell Simulations for Cold Testing a W-Band Gyrotron Cavity / A. Sawant, S. G. Kim, M.-Ch. Lin et al. // IEEE Transactions on Plasma Science. 2014. Vol. 42, no. 12. P. 3989-3995.

36. Frequency tunable gyrotron using backward-wave components / T. H. Chang, T. Idehara, I. Ogawa et al. // Journal of Applied Physics. 2009. Vol. 105, no. 6. P. 063304.

37. Continuous-wave operation of a frequency-tunable 460-GHz second-harmonic gyrotron for enhanced nuclear magnetic resonance / Antonio C Tor-rezan, Seong-Tae Han, Ivan Mastovsky et al. // IEEE Transactions on Plasma Science. 2010. Vol. 38, no. 6. P. 1150-1159.

38. Dynamic nuclear polarization at 9 T using a novel 250 GHz gyrotron microwave source / V. S. Bajaj, C. T. Farrar, M. K. Hornstein et al. // Journal of Magnetic Resonance. 2011. Vol. 213, no. 2. 404-409 p.

39. Открытый резонатор : А.С. 661664 СССР / В. Г. Павельев, Ш. E. Цимринг (СССР) ; Институт прикладной физики Ан СССР, г. Горький ; опубл. 05.05.1979, Бюл. №17. 2 с. : ил.

40. Powerful millimetre-wave gyrotrons / A. V. Gaponov, V. A. Flyagin, A. L. Gol'Denberg et al. // International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1981. Vol. 51, no. 4. P. 277-302.

41. Design considerations for a megawatt cw gyrotron / K. J. Kim, M. E. Read, J. M. Baird et al. // International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1981. Vol. 51, no. 4. P. 427-445.

42. Coupled-resonator gyrotrons with mode conversion / V. E. Zapevalov, S. A. Malygin, V. G. Pavel'ev, Sh. E. Tsimring // Radiophysics and Quantum Electronics. 1984. Vol. 27, no. 9. P. 846-852.

43. Pavel'ev V. G., Tsimring S. E., Zapevalov V. E. Coupled cavities with mode conversion in gyrotrons // International journal of electronics. 1987. Vol. 63, no. 3. P. 379-391.

44. Dumbrajs O., Borie E. A complex cavity with mode conversion for gy-rotrons // International Journal of Electronics. 1988. Vol. 65, no. 3. P. 285295.

45. Experimental verification of a self-consistent calculation for continuous frequency-tune with a 400 GHz band second harmonic Gyro-BWO / Y. Ya-maguchi, Y. Tatematsu, T. Saito et al. // Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves (IRMMW-THz), 2013 38th International Conference on / IEEE. 2013. P. 1-2.

46. Исследование гиротрона с эшелеттным резонатором / В. И. Белоусов, С. Н. Власов, Н. А. Завольский и др. // Изв. вузов. Радиофизика. 2014. Т. 57, № 6. С. 497-506.

47. К теории гиротронов с нефиксированной структурой высокочастотного поля / В. Л. Братман, М. А. Моисеев, М. И. Петелин, Р. Э. Эрм // Изв. Вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16, № 4. С. 622-630.

48. Власов С. Н., Орлова И. М., Петелин М. И. Резонаторы гиротронов и электродинамическая селекция мод // Гиротрон. Сб. научных трудов / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький : Институт прикладной физики АН СССР, 1981. С. 62-76.

49. Nusinovich G. S. Introduction to the Physics of Gyrotron. Baltinore and London : Johns Hopkins University Press, 2004. 335 p.

50. Каценеленбаум Б. З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М. : Издательство АН СССР, 1961. 216 с.

51. Братман В. Л., Петелин М. И. К вопросу об оптимизация параметров мощных гиромонотрона с нефиксированной структурой высокочастотного поля // Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18, № 10. С. 1538-1543.

52. Братман В. Л., Моисеев М. А. Условия самовозбуждения мцр с нерезонансной электродинамической системой // Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18, №7. С. 1045-1055.

53. Братман В. Л., Моисеев М. А., Петелин М. И. Теория гиротронов с низкодобротными электродинимическими системами // Гиротрон. Сб. научных трудов / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький : Институт прикладной физики АН СССР, 1981. С. 122-145.

54. A self-consistent field theory for gyrotron oscillators: Application to a low Q gyromonotron / A. W. Fliflet, M. E. Read, K. R. Chu, R. Seeley //

International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1982. Vol. 53, no. 6. P. 505-521.

55. Установление колебаний в электронных СВЧ генераторах с дифракционным выводом излучения / Н. С. Гинзбург, Н. А. Завольский, Г. С. Ну-синович, A. С. Сергеев // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29, № 1. С. 106-114.

56. Ginzburg N. S., Nusinovich G. S., Zavolsky N. A. Theory of non-stationary processes in gyrotrons with low Q resonators // International Journal of Electronics. 1986. Vol. 61, no. 6. P. 881-894.

57. Нестационарная теория релятивистского гиротрона с нефиксированной продольной структурой ВЧ поля / В. В. Богданов, М. В. Кузелев, П. С. Стрелков, А. Г. Шкварунец // ЖТФ. 1986. Т. 56, № 12. С. 90.

58. Режимы захвата и стабилизации частоты генерации в мощных гиротро-нах с низкодобротными резонаторами / И. В. Зотова, Н. С. Гинзбург, Г. Г. Денисов и др. // Изв. вузов. Радиофизика. 2015. Т. 58, № 9. С. 759769.

59. Ginzburg N., Sergeev A., Zotova I. Time-domain self-consistent theory of frequency-locking regimes in gyrotrons with low-Q resonators // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, no. 3. P. 033101.

60. Effect of power reflection on the operation of a low-Q 8 GHz gyrotron / P Muggli, M. Q. Tran, T. M. Tran et al. // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1990. Vol. 38, no. 9. P. 1345-1351.

61. Borie E. Effect of reflection on gyrotron operation // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2001. Vol. 49, no. 7. P. 1342-1345.

62. Airila M. I., Kall P. Effect of Reflections on Nonstationary Gyrotron Oscillations // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2004. Vol. 52, no. 2. P. 522-528.

63. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамови-ца и И. Стиган. М. : Наука, 1979. 832 с.

64. Influence of reflections on mode competition in gyrotrons / O. Dumbrajs, M. Yu. Glyavin, V. E. Zapevalov, N. A. Zavolsky // IEEE transactions on plasma science. 2000. Vol. 28, no. 3. P. 588-596.

65. Influence of reflections on the operation of the 2 MW, CW 170 GHz coaxial cavity gyrotron for ITER / M. I. Airila, O. Dumbrajs, P. Kall, B. Piosczyk // Nuclear fusion. 2003. Vol. 43, no. 11. P. 1454.

66. Reflections in Gyrotrons with Axial Output / O. Dumbrajs, T. Idehara, S. Watanabe et al. // IEEE transactions on plasma science. 2004. Vol. 32, no. 3. P. 899-902.

67. Новожилова Ю. В., Рыскин Н. М., Мельникова М. М. Влияние отражения от удаленной нагрузки на конкуренцию мод в гиротроне с квазиоптическим выходным преобразователем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, № 6. С. 136-147.

68. Denisov G. G. Development of gyrotron for fusion. new results and new trends // 9th International Workshop on „Strong microwaves and terahertz waves: Sources and applications" / Istitute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences. N. Novgorod : IAP of RAS, 2014. July 24-30. P. 7-8.

69. Chirkov A. V., Denisov G. G., Kuftin A. N. Perspective gyrotron with mode converter for co-and counter-rotation operating modes // Applied Physics Letters. 2015. Vol. 106, no. 26. P. 263501.

70. Альтман Д. Л. Устройства сверхвысоких частот. М. : Мир, 1968. 488 с.

71. Блохина Е. В. Режимы сложной динамики в распределенных системах типа электронный поток — электромагнитная волна с нефиксированной структурой поля : Диссертация на соисканий ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.04.03, 01.04.04 / Елена Владимировна Блохина ; Саратовский госуниверситет имени Н.Г. Чернышевского. Саратов, 2005. 200 с.

72. Моисеев М. А., Нусинович Г. С. Некоторые результаты численных исследований уравнений гиротрона // Гиротрон. Сб. научных трудов / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький : Институт прикладной физики АН СССР, 1981. С. 41-52.

73. Development of 394.6 GHz CW gyrotron (gyrotron FU CW II) for DNP/proton-NMR at 600 MHz / T. Idehara, I. Ogawa, L. Agusu et al. // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 2007. Vol. 28, no. 6. P. 433-442.

74. Influence of Reflections on Frequency Tunability and Mode Competition in the Second-Harmonic THz Gyrotron / E. M. Khutoryan, T. Idehara,

M. M. Melnikova et al. // Journal of Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves. 2017. Vol. 38, no. 7. P. 824-837.

75. Мигдал А. Б., Крайнов В. П. Приближенные методы квантовой механики. М. : Наука, 1966. 152 с.

76. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Справочная математическая библиотека. М. : Наука, 1983. 352 с.

77. The gyrotron / V. A. Flyagin, A. V. Gaponov, M. I. Petelin, V. K. Yulpatov // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1977. Vol. 25, no. 6. P. 514-521.

78. A Gyrotron with a Minimum Q Cavity / H. Saito, K. Kreischer, B. G. Danly et al. // International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1986. Vol. 61, no. 6. P. 757-770.

79. Заруднева Г. И., Калынов Ю. К., Малыгин С. А. Модовый состав излучения открытых резонаторов в виде аксиально—симметричных слабонерегулярных волноводов // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 3. С. 343-346.

80. Low-Q Cavities for High-power Gyrotrons / V. E. Zapevalov, Yu. K. Ka-lynov, A. N. Kuftin et al. // Radiophysics and Quantum Electronics. 1994. Vol. 37, no. 3. P. 233-236.

81. Numerical simulation of a processes in the cavity of 170 GHz/CW/1 MW gyrotron for ITER / N. A. Zavol'skii, V. E. Zapevalov, M. A. Moiseev, L. L. Nemirovskaya // Radiophysics and quantum electronics. 1997. Vol. 40, no. 6. P. 523-529.

82. Grudiev A., Jelonnek J., Schunemann K. Time-domain analysis of reflections influence on gyrotron operation // Physics of Plasmas. 2001. Vol. 8, no. 6. P. 2963-2973.

83. Borie E. Effect of resonator parameters on frequency and quality factor of gyrotron resonators // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 2008. Vol. 29, no. 2. P. 113-130.

84. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трасцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М. : Наука, 1966. Т. 2 из Справочная математическая библиотека. 296 с.

85. Гинзбург Н. С., Завольский Н. А., Нусинович Г. С. Динамика гиротронов с нефиксированной продольной структурой высокочастотного поля // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 5. С. 1031-1039.

86. Завольский Н. А., Нусинович Г. С., Павельев А. Б. Устойчивость одномо-довых колебаний и нестационарные процессы в гиротронах со сверхразмерными низкодобротными резонаторами // Гиротрон. Сборник научных трудов. Горький. ИПФ АН СССР. Горький : ИПФ АН СССР, 1989. С. 84112.

87. Nonstationary oscillations in gyrotrons / M. I. Airila, O. Dumbrajs, A. Reinfelds, Strautins // Physics of Plasmas. 2001. Vol. 8, no. 10. P. 4608-4612.

88. An improved broadband boundary condition for the RF field in gyrotron interaction modeling / C. Wu, K. A. Avramidis, M. Thumm, J. Jelonnek // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2015. Vol. 63, no. 8. P. 2459-2467.

89. Time-domain theory of low-Q gyrotrons with frequency-dependent reflections of output radiation / I. V. Zotova, G. G. Denisov, N. S. Ginzburg et al. // Physics of Plasmas. 2018. Vol. 25, no. 1. P. 013104.

90. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М. : Мир, 1980. 618 с.

91. Богданов В. В., Кузелев М. В. Нестационарная теория сильточного релятивистского гиротрона // Кратк. сообщ. по физике. 1986. № 6. С. 3-5.

92. Dumbrajs О., Nusinovich G. S., Piosczyk B. Reflections in gyrotrons with radial output: Consequences for the iter coaxial gyrotron // Physics of plasmas. 2004. Т. 11, № 12. С. 5423-5429.

93. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е, дополненное изд. М. : Наука, 1967. 500 с.

94. Finite-difference time-domain implementation of surface impedance boundary conditions / J. H. Beggs, R. J. Luebbers, K. S. Yee, K. S. Kunz // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1992. Vol. 40, no. 1. P. 49-56.

95. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. 2 edition. Norwood, MA : Artech House, 2000.

96. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3-е изд. М. : Наука, 1974. 752 с.

97. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М. : Наука, 1971. 544 с.

98. Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов. М. : Радио и связь, 1987. 656 с.

99. Адамс М. Ввведение в теорию оптических волноводов. М. : Мир, 1984. 512 с.

100. Кураев А. А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ. Минск : Наука и техника, 1979. 336 с.

101. Цимринг Ш. Е., Павельев В. Г. К теории неоднородных электромагнитных волноводов, содержащих критические сечения // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, № 6. С. 1099-1102.

102. Малыгин С. А., Павельев В. Г., Цимринг Ш. Е. Резонансная трансформация мод в сверхразмерных электродинамических системах // Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26, № 9. С. 1126-1133.

103. Borie E., Dumbrajs O. Calculation of eigenmodes of tapered gyrotron resonators // International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1986. Vol. 60, no. 2. P. 143-154.

104. Review of gyrotron theory. Kernforschungszentrum Karlsruhe (KFK) scientific report 4898 : Rep. / Institut fur Technische Physik ; Executor: E. Borie. Karlsruhe : 1991.

105. Manuilov V. N., Starov V. G., Pavel'ev V. G. Method of plane cross-section in the theory of axisymmetrical structures, containing the pieces of irregular coaxial and circular waveguides // International journal of infrared and millimeter waves. 1997. Vol. 18, no. 12. P. 2323-2333.

106. MAGY: A time-dependent code for simulation of slow and fast microwave sources / M. Botton, T. M. Antonsen, B. Levush et al. // IEEE Transactions on plasma science. 1998. Vol. 26, no. 3. P. 882-892.

107. Jelonnek J., Grudiev A., Schunemann K. Rigorous computation of time-dependent electromagnetic fields in gyrotron cavities excited by internal sources // IEEE transactions on plasma science. 1999. Vol. 27, no. 2. P. 374-383.

108. Fliflet A. W., Read M. E. Use of weakly irregular waveguide theory to calculate eigenfrequencies, Q values, and RF field functions for gyrotron os-

cillators // International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1981. Vol. 51, no. 4. P. 475-484.

109. Bernstein I. B., Divringi L. K., Smith T. M. The theory of irregular waveguides and open resonators // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 1983. Vol. 4, no. 1. P. 57-117.

110. Barroso J. J., Montes A., Ludwig G. O. RF field profiles in weakly irregular open resonators // International Journal of Electronics Theoretical and Experimental. 1986. Vol. 61, no. 6. P. 771-794.

111. Finite-bandwidth resonances of high-order axial modes (HOAM) in a gy-rotron cavity : Rep. : FIR UF-126 / University of Fukui. Research Center for Development of Far-Infrared Region ; Executor: S. P. Sabchevski, T. Ide-hara. Fukui, Japan : 2014. October.

112. Temkin R. J. Analytic theory of a tapered gyrotron resonator // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 1981. Vol. 2, no. 4. P. 629-650.

113. Li Q. F., Chu K. R. Analysis of open resonators // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 1982. Vol. 3, no. 5. P. 705-723.

114. Zhou L., Xu C., Gong Z. General theory and design of microwave open resonators // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 1982. Vol. 3, no. 1. P. 117-136.

115. Xu C., Zhou L., Xu A. An improved theory of microwave open resonators // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. 1989. Vol. 10, no. 1. P. 55-62.

116. Characteristics of chaotic regimes in a space-distributed gyroklystron model with delayed feedback / R. M. Rosental, O. B. Isaeva, N. S. Ginzburg et al. // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2018. Vol. 14, no. 2. P. 155-168.

117. ZEAL: A mathematical software package for computing zeros of analytic functions / P. Kravanja, M. Van Barel, O. Ragos et al. // Comput. Phys. Commun. 2000. Vol. 124, no. 2-3. P. 212-232.

118. Operation of a continuously frequency-tunable second-harmonic CW 330GHz gyrotron for dynamic nuclear polarization / A. C. Torrezan, M. A. Shapiro, J. R. Sirigiri et al. // IEEE Transactions on Electron Devices. 2011. Vol. 58, no. 8. P. 2777-2783.

119. Singh A., Ravi Ch. B., Jain P. K. Multimode behavior of a 42 GHz, 200 kW gyrotron // Progress In Electromagnetics Research. 2012. Vol. 42. P. 75-91.

120. Second harmonic operation at 460 GHz and broadband continuous frequency tuning of a gyrotron oscillator / M. K. Hornstein, V. S. Bajaj, R. G. Griffin et al. // IEEE Transactions on Electron Devices. 2005. Vol. 52, no. 5. P. 798-807.

121. From Series Production of Gyrotrons for W7-X Toward EU-1 MW Gyrotrons for ITER / J. Jelonnek, F. Albajar, S. Alberti et al. // IEEE Transactions on Plasma Science. 2014. Vol. 42, no. 5. P. 1135-1144.

122. Barroso J. J., Kostov K. G., Corrêa R. A. Electromagnetic simulation of a 32-GHz, TE02i gyrotron // IEEE Transactions on Plasma Science. 1999. Vol. 27, no. 2. P. 384-390.

123. Reddy D. M., Sinha A. K., Jain P. K. Eigenmode and beam-wave interaction simulation for small orbit gyrotron using MAGIC // International Conference on Microwaves, Antenna, Propagation. 2008.

124. Comparative study on PIC simulations of the gyrotron cavity / A. Sawant, J. H. Kim, Y. Hong et al. // Infrared, Millimeter, and Terahertz waves (IRMMW-THz), 2014 39th International Conference on / IEEE. 2014. P. 1-2.

125. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров -электриков. М. : Мир, 1986. 229 с.

126. Lee J.-F., Wilkins G. M., Mitra R. Finite-element analysis of axisymmetric cavity resonator using a hybrid edge element technique // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1993. Vol. 41, no. 11. P. 1981-1987.

127. Nelson E. M. High accuracy electromagnetic field solvers for cylindrical waveguides and axisymmetric structures using the finite element method : Ph. D. Thesis / E. M. Nelson ; Stanford Linear Asselerator Center. Stanford University. Stanford, CA, 1993. December.

128. Wong M. F., Prak M., Hanna V. F. Axisymmetric edge-based finite element formulation for bodies of revolution: Application to dielectric resonators // Microwave Symposium Digest, 1995., IEEE MTT-S International / IEEE. 1995. P. 285-288.

129. Comsol Multiphysics. COMSOL AB, 2018. Access mode: https://www.comsol.com/products (online; accessed: 15.11.2018).

130. Computation of optical modes in axisymmetric open cavity resonators / O. Chinellato, P. Arbenz, M. Streiff, A. Witzig // Future Generation Computer Systems. 2005. Vol. 21, no. 8. P. 1263-1274.

131. Venkatarayalu N. V. Efficient computation of Maxwell eigenmodes in ax-isymmetric cavities using hierarchical vector finite elements // International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. 2010. Vol. 23, no. 3. P. 231-261.

132. Rahman B. M. A., Davies J. B. Penalty function improvement of waveguide solution by finite elements // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1984. Vol. 42, no. 8. P. 922-928.

133. Koshiba M., Hayata K., Suzuki M. Improved finite-element formulation in terms of the magnetic field vector for dielectric waveguides // IEEE transactions on microwave theory and techniques. 1985. Vol. 33, no. 3. P. 227-233.

134. Oxborrow M. Traceable 2-D Finite-Element Simulation of the Whispering-Gallery Modes of Axisymmetric Electromagnetic Resonators // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2007. Vol. 55, no. 6. P. 12091218.

135. Oxborrow M. How to simulate the whispering-gallery modes of dielectric microresonators in femlab/comsol // Proc.SPIE. Vol. 6452. 2007. P. 64520J.

136. Jin J.-M. The finite element method in electromagnetics. Second edition. NY : John Wiley & Sons, 2004.

137. Monk P. Finite Element Methods for Maxwell's equations. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford : Claredon Preee, 2003. 450 p.

138. Zhu Y., Cangellaris A. C. Multigrid Finite Element Method for Elecrtomag-netic Field Modeling. Hoboken, NJ : Wiley & Sons, Inc. - IEEE Press, 2006.

139. Volakis J. L., Chatterjee A., Kempel L. C. Finite Element Method for Ele-crtomagnetics: Antennas, Microwave Circuits and Scattering Applications. Piscataway, NJ : Wiley & Sons, Inc. - IEEE Press, 1998.

140. Volakis J. L., Sertel K., Usner B. C. Frequency domain hybrid finite element methods for electromagnetics // Synthesis Lectures On Computational Electromagnetics. 2006. Vol. 1, no. 1. 1-156 p.

141. Greenwood A. D., Jin J.-M. A Novel Efficient Algorithm for Scattering From a Complex BOR Using Mixed Finite Elements and Cylindrical PML // IEEE transactions on antennas and propagation. 1999. Vol. 47, no. 4. P. 620-629.

142. Berenger J. P. A Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves // Journal of Computational Physics. 1994. Vol. 112, no. 2. P. 185-200.

143. A Perfectly Matched Anisotropic Absorber for Use as an Absorbing Boundary Condition / Z. S. Sacks, D. M. Kingsland, R. Lee, J.-F. Lee // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1995. Vol. 43, no. 12. P. 14601463.

144. Maloney J., Kesler M., Smith G. Generalization of PML to cylindrical geometries // Proc.13 th Ann. Rev. Prog. Appl. Comp. Electromag. Vol. 2. Monterey, CA, 1997. March, 17-21. P. 900-908.

145. Teixeira F. L., Chew W. C. Systematic derivation of anisotropic PML absorbing media in cylindrical and spherical coordinates // IEEE Microwave and Guided Wave Letters. 1997. Vol. 7, no. 11. P. 371-373.

146. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М. : Радио и связь, 1988. 440 с.

147. Гиротрон с эшелеттным резонатором, работающий на второй гармонике гирочастоты / С. Н. Власов, Е. В. Копосова, А. Б. Павельев и др. // Письма вЖТФ. 1991. Т. 17. С. 10-12.

148. Гиротроны с эшелеттными резонаторами / С. Н. Власов, Е. В. Копосова, А. Б. Павельев, В. И. Хижняк // Изв. вузов. Радиофизика. 1996. Т. 39, № 6. С. 691-698.

149. Электронная перестройка рабочей частоты гиротрона с эшелетной структурой / Л. Н. Агапов, С. Д. Богданов, Н. П. Венедиктов и др. // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2013. Т. 56, № 7. С. 489-493.

150. Vlasov S. N., Koposova E. V. Diffraction Theory of Two-Mirror Echelette Resonators // Radiophysics and Quantum Electronics. 2016. Vol. 59, no. 4. P. 310-316.

151. Павельев А. Б., Цимринг Ш. Е. Метод плоских поперечных сечений в теории сильно нерегулярных сверхразмерных электромагнитных волноводов // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 6. С. 1121-1124.

152. Аксиально—симметричные ступенчатые резонаторы / С. Н. Власов, Н. А. Завольский, В. Е. Запевалов и др. // Изв. вузов. Радиофизика. 2009. Т. 52, № 5-6. С. 716-729.

153. The potential of the gyrotrons for development of the sub-terahertz and the terahertz frequency range—A review of novel and prospective applications / T. Idehara, T. Saito, I. Ogawa et al. // Thin Solid Films. 2008. Vol. 517, no. 4. P. 1503-1506.

154. Nusinovich G. S. Review of the theory of mode interaction in gyrodevices // IEEE Transactions on Plasma Science. 1999. Vol. 27, no. 2. P. 313-326.

155. Zapevalov V. E., Zarnitsyna I. G., Nusinovich G. S. Excitation of parasitic modes that resonate with the first harmonic of the cyclotron frequency in a gyrotron operating on a mode that resonates with the second harmonic // Radiophysics and Quantum Electronics. 1979. Vol. 22, no. 3. P. 254-258.

156. Observation of dynamic interactions between fundamental and second-harmonic modes in a high-power sub-terahertz gyrotron operating in regimes of soft and hard self-excitation / T. Saito, Y. Tatematsu, Y. Yamaguchi et al. // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 109. P. 155001.

157. Fliflet A. W., Lee R. C., Read M. E. Self-consistent field model for the complex cavity gyrotron // International Journal of Electronics. 1988. Vol. 65, no. 3. P. 273-283.

158. Study of a 35-GHz third-harmonic low-voltage complex cavity gyrotron / Y. Huang, H. Li, Sh. Yang, Sh. Liu // IEEE Transactions on Plasma Science. 1999. Vol. 27, no. 2. P. 368-373.

159. Theoretical study on mode competition between fundamental and second harmonic modes in a 0.42 THz gyrotron with gradually tapered complex cavity / Q. Zhao, Sh. Yu, X. Li, T. Zhang // Physics of Plasmas. 2015. Vol. 22, no. 10. P. 103114.

160. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва-Ижевск : НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 560 с.

161. Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны. Современная теория колебаний и волн. М. : Физматлит, 2001. 416 с.

162. Петелин М. И. Самовозбуждение колебаний в гиротроне // Гиротрон. Сб. научных трудов / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький : Институт прикладной физики АН СССР, 1981. С. 5-25.

163. Bratman V. L., Savilov A. V., Chang T. H. Possibilities for continuous frequency tuning in terahertz gyrotrons with nontunable electrodynamic sys-

tems // Radiophysics and Quantum Electronics. 2016. Vol. 58, no. 9. P. 660-672.

164. Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М. : Сов. Радио, 1973. 400 с.

165. Цимринг Ш. Е. Мазеры на циклотронном резонансе. Учебное пособие. Горький : ГГУ им. Н. И. Лобачевского, 1968. 92 с.

166. Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2-х т. М. : Физматлит, 2004. Т. 2. 648 с.

167. Rozhnev A. G. Boundary Conditions in the Theory of Microwave Electron Devices with a Diffraction Energy Output // Journal of Communications Technology and Electronics. 2000. Vol. 45, no. Suppl. 1. P. 95-101.

168. Блохина Е. В., Рожнев А. Г. Влияние отражений от выходного рупора на динамику гиротрона // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 11. С. 1390-1396.

169. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рожнев А. Г., Блохина Е. В., Булгакова Л. В. Волновая теория ЛБВ вблизи границы полосы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 5-6. С. 399-418.

170. Блохина Е. В., Кузнецов С. П., Рожнев А. Г. Высокая размерность хаотических аттракторов в гиротроне с нефиксированной структурой поля // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 326, № 8. С. 83-94.

171. Блохина Е. В., Рожнев А. Г. Хаос и гиперхаос в гиротроне // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 10. С. 887-899.

172. Blokhina E. V., Kuznetsov S. P., Rozhnev A. G. High-dimensional chaos in a gyrotron // IEEE Transactions on Electron Devices. 2007. Vol. 54, no. 2. P. 188-193.

173. Melnikova M. M., Rozhnev A. G., Ryskin N. M., Tyshkun A. V., Glyavin M. Y., Novozhilova Y. V. Frequency stabilization of a 0.67-THz gyrotron by self-injection locking // IEEE Transactions on Electron Devices. 2016. Vol. 63, no. 3. P. 1288-1293.

174. Melnikova M. M., Rozhnev A. G., Ryskin N. M., Tatematsu Y., Fukunari M., Yamaguchi Y., Saito T. Electromagnetic modeling of a complex-cavity resonator for the 0.4-THz second-harmonic frequency-tunable gyrotron // IEEE Transactions on Electron Devices. 2017. Vol. 64, no. 12. P. 5141-5146.

175. Розенталь Р. М., Исаева О. Б., Гинзбург Н. С., Зотова И. В., Сергеев А. С., Рожнев А. Г., Тараканов В. П. Автомодуляционные и хаотические режимы генерации в двухрезонаторном гироклистроне с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26, № 3. С. 78-98.

176. Adilova A. B., Gerasimova S. A., Melnikova M. M., Tyshkun A. V., Rozh-nev A. G., Ryskin N. M. Using phase locking for improving frequency stability and tunability of THz-band gyrotrons // Proc. SPIE. 2018. Vol. 10717. P. 107170A.

177. Рожнев А. Г. Расчет собственных колебаний резонатора, образованного волноводом переменного сечения // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, 7-я зимняя школа-семинар инженеров. Кн. 2. Саратов : Изд-во Саратовского университета, 1986. С. 198-205.

178. Блохина Е., Рожнев А. Нестационарные граничные условия для теории гиротрона // В кн. Тезисы докладов. XI Международная зимняя школа по СВЧ электронике и радиофизике. Россия, Саратов, 2-6 марта. 1999 г. Саратов : ГосУНЦ „Колледж", 1999. С. 53-55.

179. Блохина Е. В., Рожнев А. Г. Нестационарные граничные условия для машинного моделирования приборов вакуумной и плазменной электроники с дифракционным выводом энергии // Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике: Сб. научн. трудов 5-го рабочего семинара IEEE Saratov-Penza Chaper. Саратов : ГосУНЦ „Колледж", 2001. С. 16-20.

180. Мельникова М. М., Рожнев А. Г. Расчет свойств мод шепчущей галереи резонаторов гиротронов методом конечных элементов // 12-я Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП 2016), Саратов, 27-28 сентября 2016г. Т. 1. 2016. С. 438-444.

181. Розенталь Р. М., Гинзбург Н. С., Зотова И. В., Исаева О. Б., Рожнев А. Г., Сергеев А. С. Режимы развитого хаоса в гиротронах и гироусилителях с запаздывающей обратной связью // Ученые записки физического факультета Московского университета. 2017. № 6. С. 1760102-1760102.

182. Жбанов А. И., Рожнев А. Г. Расчет собственных колебаний в нерегулярном участке волновода методом конечных элементов // Тезисы докладов

X Всесоюзного семинара "Волновые и колебательные явления в электронных приборах О-типа. 28-30 ноября 1990 г., Ленинград. Ленинград, 1990. С. ЛЭТИ им. В. И. Ульянова-Ленина.

183. Бессуднова Н. О., Рожнев А. Г. Исследование нелинейных нестационарных процессов в гиротроне с низкодобротными резонаторами // LII научная сессия, посвященная дню радио. Тезисы докл., ч. 2. М. : РНТОРЭС им. А.С.Попова, 1997. С. 20.

184. Блохина Е. В., Рожнев А. Г. Сложные режимы динамики в гиротроне с нефиксированной структурой поля // VIII Всеросийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах". (26-31 мая 2002 г. Красно-видово, Моск. обл.) Труды. Часть. 1. М. : МГУ, 1997. С. 14-15.

185. Blokhina E. V., Rozhnev A. G. Nonstationary Boundary Conditions for Computer Simulation of the Vacuum and Plasma Devices with Diffraction Energy Output // Proceedings of the Fourth IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC2003). May 28-30. 2003. Seoul. Korea : IEEE, 2003. P. 116-117.

186. Блохина Е. В., Рожнев А. Г. Влияние отражений от выходного рупора на динамику гиротрона // Труды IX Всеросийской школы-семинара „Физика и применение микроволн". Часть 1. М. : МГУ, 2003. 26-30 мая. С. 15-16.

187. Blokhina E. V., Rozhnev A. G. Complex dynamics of gyrotrons with non-fixed field structure // Proc. of the Fourth IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC2003). May 28-30, 2003. Seoul, Korea. 2003. P. 168-169.

188. Brovko A. V., Manenkov A. B., Rozhnev A. G. Finite Element Method and FDTD Method for Open Electromagnetic Structures // Progress in Electromagnetics Research Symposium 2005 (PIERS 2005), Hangzhou, China, August 22-26. Abstracts. 2005. August 22-26 2005. P. 306.

189. Blokhina E. V., Rozhnev A. G., Kuznetsov S. P. High dimension chaotic at-tractors in gyrotron with non-fixed field structure // Proc. IEEE International Vacuum Electronics Conference held Jointly with 2006 IEEE International Vacuum Electron Sources. 2006. P. 529-530.

190. Блохина Е. В., Рожнев А. Г. Хаос и гиперхаос в гиротроне: новые результаты // Материалы XIII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и

радиофизике (Саратов, 31 января- 5 февраля 2006 г.). Саратов : ГосУНЦ „Колледж", 2006. С. 118-119.

191. Guznov Y. M., Danilov Y. Y., Kuzikov S. V., Novozhilova Y. V., Shevchenko A. S., Zaitsev N. I., Rozhnev A. G., Ryskin N. M. High-power Ka-band gyroklystron oscillator with time-delayed feedback // 2013 IEEE 14th International Vacuum Electronics Conference (IVEC), 21-23 May 2013, Paris, France / IEEE. 2013. P. 1-2.

192. Melnikova M. M., Tyshkun A. V., Rozhnev A. G., Ryskin N. M., Novozhilova Y. V., Glyavin M. Y. Improving frequency stability of a 0.67 THz gyrotron by delayed reflection // 2015 40th International Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz waves (IRMMW-THz), 23-28 Aug. 2015, Hong Kong, China / IEEE. 2015. P. 1-2.

193. Melnikova M. M., Rozhnev A. G., Ryskin N. M., Tyshkun A. V., Glyavin M. Y., Novozhilova Y. V. Frequency stabilization of a 0.67 THz gyrotron by delayed reflection // 2015 IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC), 27-29 April 2015, Beijing, China. 2015. P. 1-2.

194. Мельникова М. М., Рыскин Н. М., Рожнев А. Г. Численное моделирование влияния отражений на динамику многомодового гиротрона // Материалы XVI Международной зимней школы-семинара по радиофизике и электронике сверхвысоких частот, 2-7 февраля 2015, Саратов. Саратов : ООО Издательский центр „Наука", 2015. С. 57.

195. Рожнев А. Г. Простой способ расчета резонаторов гиротрона // Материалы XVI Международной зимней школы-семинара по радиофизике и электронике сверхвысоких частот, 2-7 февраля 2015, Саратов. Саратов : ООО Издательский центр „Наука", 2015. С. 71.

196. Melnikova M. M., Rozhnev A. G., Ryskin N. M., Saito T., Tatematsu Y., Ya-maguchi Y. Modeling of a complex-cavity resonator for the 0.4 THz second-harmonic frequency-tunable gyrotron // 2016 41st International Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz waves (IRMMW-THz), 25-30 September 2016, Copenhagen, Denmark. 2016. P. 1-2.

197. Khutoryan E. M., Idehara T., Melnikova M. M., Rozhnev A. G., Ryskin N. M. Influence of reflections on frequency stability, tunability and mode competition in the second-harmonic THz gyrotron // 2016 41st Inter-

national Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz waves (IRMMW-THz), 25-30 September 2016, Copenhagen, Denmark. 2016. P. 1-2.

198. Fukunari M., Ryskin N. M., Rozhnev A. G., Takayama K., Mayeda Y., Ya-maguchi Y., Tatematsu Y., Saito T. Study on starting current and oscillation frequency of a multi-frequency-band frequency tunable gyrotron // Strong Microwaves and Terahertz Waves: Sources and Applications. 10 th International Workshop July 17-22, 2017. Nizhny Novgorod "— Moscow, Russia. Proceedings. 2017. P. 315-316.

199. Melnikova M. M., Tyshkun A. V., Rozhnev A. G., Ryskin N. M. Theoretical analysis of gyrotron self-injection locking by delayed reflection // 2018 43rd International Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves (IRMMW-THz 2018), 9-14 September 2018? Nagoya, Japan. 2018. P. 1-2.

200. Рожнев А. Г., Мельникова М. М., Рыскин Н. M. Моделирование колебаний в гиротроне со связанными резонаторами и преобразованием мод, работающем на частоте 390 ГГц // Материалы XVII Международной зимней школы-семинара по радиофизике и электронике сверхвысоких частот, 5-10 февраля 2018, Саратов. Саратов : ООО Издательский центр „Наука", 2018. С. 33-34.

201. Мельникова М. М., Рожнев А. Г. Программа расчета электродинамических параметров собственных мод в гиротроне с нефиксированной структурой поля. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015615762 от 22 мая 2015 г.

202. Мельникова М. М., Рыскин Н. М., Рожнев А. Г. Программа расчета стартовых токов в гиротроне по теории с нефиксированной структурой поля. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2016619116 от 15 августа 2016 г.

203. Мельникова М. М., Рыскин Н. М., Рожнев А. Г. Программа расчета стартовых токов в гиротроне по теории с фиксированной структурой поля. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2016619621 от 24 августа 2016 г.

204. Рожнев А. Г., Мельникова М. М. Программа моделирования нестационарных процессов в гиротроне с нефиксированной структурой поля. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2018664449 от 16 ноября 2018 г.

Приложение А. Алгоритм вычисления интеграла свертки в граничных условиях для нестационарного уравнения возбуждения

ГУ для нестационарной теории гиротрона в случае рупора с малым углом раскрыва в безразмерных переменных имеют вид

в

п

Г% - х')

п

дГ^, х')

йх = О,

(А.1)

I = 1а

где х = - безразмерное время, | = {шн2/с) безразмер-

ная координата, К0 = {ск0/шн) безразмерный параметр граничных

условий.

Алгоритм численного расчёта интеграла свертки в (А.1) состоит в следующем. Пусть безразмерный шаг интегрирования по времени при численном решении уравнений нестационарной теории гиротрона равен Ах, и пусть , I = 0,1,... массив, содержащий значения производной поля в сечении 2оШ в дискретные моменты времени х/ = I Ах. После завершения к — 1-го шага про времени известны значения для I = 0,1,..., к — 1. Так как в процессе численного решения системы дифференциальных уравнений используется неявная схема по времени, то для совершения следующего шага необходимо рассчитать интеграл в формуле (А.1) при изменении х в пределах от 0 до хк = к Ах. Для этого интеграл разбивается на два слагаемых:

хк

1

в

— х')

п

х0)

йх0 = 11 С 12,

I = 1а

(А.2)

где

¡1{к)

хк—Ко Ах

I

в

О

кАх кАх

в

Кп

п

{х — х')

хо

I = 1а

К

О , 0

п

Ко Ах

дЕ{!,кАх — х0)

щ

йх'

йх'

I = 1а

(А.3)

2

/2(к) =

г*

I

в

^(т - г')

п

9Е(£, г0)

Тк-К2ЛТ КЛг

/

в

-

О _/

п

9£

9Е(£,кЛг - г0)

¿г0 =

(А.4)

9£

¿г0

Целое число К2 выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие 1 ^ -2Лг К2/п ^ 2, в зависимости от необходимой точности вычислений. Интервал интегрирования для /2, в свою очередь, разбивается на два подинтервала: О < г < К1Лг и К1Лг ^ г ^ К2Лг. На первом из этих отрезков для численного интегрирования используется квадратурная формула, учитывающая сингулярное поведение подинтегральной функции на левом конце отрезка интегрирования [93]. На втором отрезке для вычисления интеграла используется метод прямоугольников. В целом квадратурная формула для вычисления интеграла /2 имеет вид

К -2

/2 (к) = ЛгУ^^в.-0 ЛгО^ЛгЫ^ - С

п

г=0

К

2

С Лг У" в(-°Лг/)^-. (А.5)

п

I = К1 + 1

Здесь м(К1), I = 0,1,.., К весовые коэффициенты квадратурной формулы, учитывающей сингулярность на конце отрезка интегрирования [93]. Их значения для 1 ^ К1 ^ 5 приведены в таблице А.1. Для больших значений параметра К1 среди интерполяционных коэффициентов появляются отрицательные величины, что негативно сказывается на точности вычисления интеграла. В практических вычислениях использовалось значение К1 = 3.

В случае, если -ОЛг^/п ^ 2, то полагается К1 = К2 и вторая сумма в формуле (В.4) считается равной нулю. Число необходимых арифметических операций для вычисления /2(к) в целом пропорционально К2 и не зависит от длины временной реализации.

Для вычисления интеграла /1(к) используется метод прямоугольников. При этом

/1 (к) = Лг ]Г в (^-ЛгЛ ¿Ек-ь к > К

п

(А.6)

I =К2+1

2

Таблица А.1 - Весовые коэффициенты интерполяционной формулы, предназначенной для вычисления интеграла с корневой особенностью

К .К) Щ '

1 = 0 1 = 1 1 = 2 1 = 3 1 = 4 1 = 5

1 4/3 2/3

2 12/15 6/15 2/15

3 68/15 90/105 36/105 16/105

4 500/945 832/945 48/945 448/945 62/945

5 972/2079 1685/2079 40/2079 840/2079 460/2079 161/2079

Используем для функции в{х) в этой формуле представление в виде конечного числа М членов ряда (1.88), обозначив, для краткости,

ст = ехр{]п/3)/а' ти

Ьт = ехр [— ехр{уж/6) а'т к^Ах/п^.

Тогда

¡1.к) = Ах XX в (К°Ах Л йГк—г =

(= Кг+1 '

М к М

= X Ах Ст X Ь1пйГк—1 = X Ахст1{т\к), (А.7)

т=1 I = К2+1 т = 1

где

к

1хт\к) = X ь1шйГк—1- (А.8)

I = Кг+1

Легко видеть, что для ряда 1{т\к) при к ^ К2 С 1 справедливо рекуррентное соотношение

1<Г\к) = ^Гь'.пйРк-. =

- =Ко

к—1

= X ьтт—1)+1йЕк—1—о-—1) С ЬКй¥к—Кг =

I=К2+1

= Ьт1{т\к — 1) С ЬК2йГк—К2. (А.9)

Стартовое значение для вычислений по этой формуле определяется условием /т(К2) = 0. Число арифметических операций, необходимых на очередном временном шаге для вычисления интеграла /1 равно 4М — 1, то есть пренебрежимо мало по сравнению с числом операций, необходимых для вычислений на любом другом шаге численного алгоритма решения нестационарных уравнений гиротрона в целом.

Приложение Б. Формулы для расчёта стартовых условий в гиротроне в приближении фиксированной структуры поля

В данном приложении приведены формулы, используемые для расчёта стартовых условий в гиротроне в приближении теории с фиксированной структурой поля.

Уравнения стационарных колебаний в резонансных автогенераторах можно найти в большом числе источников (см, например, [162,164-166]. Здесь изложение следует [20,49].

Приближение фиксированной структуры поля в резонаторе означает, что поле представляется в виде ?) = А(?)/(£), где А(?) —комплексная амплитуда колебаний, функция /(£) описывает продольное распределение поля в резонаторе, £ = (^2/2^ц)-0^/с — безразмерная продольная координата, = и?/с, ^ц = Vц/с, —0 — частота колебаний резонатора в резонаторе без пучка. Стартовый ток получается из уравнения баланса активных мощностей

-Ор = Р, (Б.1)

где

2 М

Ж = | 1/(£)!2^£; (Б2)

0

- средняя по периоду колебаний запасённая в резонаторе энергия,

N = - т2) (Б.3)

- норма рабочей — моды,

^ = (^/2£ц)-оЕ/с

- безразмерная длина резонатора, Ь — размерная длина, и Р — комплексная мощность взаимодействия электронного потока с полем резонатора, которая задаётся выражением

Р = -о/о^Ф |А|2. (Б.4)

В уравнении (Б.4) используются следующие обозначения:

/о=8 (е1Ло )((Б.5)

— безразмерный параметр тока, я — номер резонансной циклотронной гармоники, 1Ъ — размерный ток пучка, у0 — релятивистский гамма-фактор электронов в начале пространства взаимодействия, е, т0 — заряд и масса покоя электрона, д0 — магнитная постоянная, G — параметр связи пучка с полем, определяемый формулой

^ _ ^тТя.ктрКъ) (Б 6)

^(Утр)(у1р — Ш2) ' '

(знак минус или плюс выбирается в случае, соответственно, однонаправленного и разнонаправленного вращения электронов и поля циркулярно поляризованной моды), Яъ — радиус полого поливинтового электронного пучка и

Ф _- А/ (Р*) / (Б.7)

0

- электронная восприимчивость. В формуле (Б.7) величина р обозначает безразмерный поперечный импульс электронов, угловые скобки (...) — усреднение по фазам влёта электронов в резонатор.

Для расчёта стартовых условия в приближении фиксированной структуры поля достаточно вычислить электронную восприимчивость Ф в линейном приближении. Если это сделать (соответствующие выкладки можно найти в [20,49]), то из формулы (Б.7) можно получить

Ф _- (* С £) (Б.8)

0

где А _ (2/^>21)(\ — *юн/ш0) — параметр расстройки гармоники циклотронной частоты от резонанса, и

М&А) _ I (Б.9)

- коэффициент модуляции.

Подставляя формулы (Б.2)-(Б.9) в (Б.1), получаем выражение для стартового тока в виде

2 м /ь=(^)(" ) ¡1 (б.10)

г± о

Отметим, что действительная часть электронной восприимчивости Яе Ф выражается через функцию Л) с помощью простой формулы

Яе Ф = - 2 ^ С Л)|2 . (Б.11)

Знание мнимой части частоты позволяет вычислить также электронную перестройку частоты, то есть сдвиг частоты колебаний относительно частоты „холодного" резонатора:

О(- - -о) = ^. (Б.12)

-о Яе Ф

Формулы (Б.10) и (Б.12) являются основными для вычисления стартового тока и стартовой частоты гиротрона в приближении фиксированной структуры поля.