Моделирование систем с опережением и запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Короткий, Дмитрий Александрович

• Короткий, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Короткий, Дмитрий Александрович

Обозначения и соглашения.

Введение

Глава I. Линейные системы

1.1. Постановка задачи

1.2. Теоремы существования и единственности решения

1.3. Примеры с неединственностью решения

1.4. Примеры несуществования решения

1.5. Непрерывная зависимость решения от параметров

1.6. Формула Коши

1.7. Расщепляющиеся и связанные по состоянию задачи.

1.8. Численные методы и сходимость к точному решению

1.9. Численное моделирование.

Глава II. Нелинейные системы

2.1. Постановка задачи

2.2. Теорема существования и единственности решения.

2.3. Непрерывная зависимость решения от параметров

2.4. Расщепляющиеся и связанные по состоянию задачи.

2.5. Численные методы и сходимость к точному решению

2.6. Численное моделирование.

Глава III. Задачи оптимального управления

3.1. Постановка задачи

3.2. Линейный случай

3.3. Квазилинейный случай

3.4. Численное моделирование.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование систем с опережением и запаздыванием»

Математическая теория дифференциальных уравнений с запаздыванием, бурно развивавшаяся в последние десятилетия [1-14], во многом приобрела законченный вид и сейчас активно применяется при моделировании различных объектов и процессов [14-29]. Разработаны также различные численные алгоритмы решения уравнений с запаздыванием различных видов (см., например, [30, 31], а также обзорные работы [20, 32-36] и ссылки в них).

В то же время уравнения с опережением времени практически не изучены, хотя упоминания о них встречаются давно, в основном, в связи с классификацией уравнений с отклоняющимся аргументом [2, 6]. Причинами такого «невнимания» можно назвать отсутствие «физической осуществимости» в математическом моделировании таких систем, а также сложность и, зачастую, некорректность математических постановок задач. Из общих результатов можно упомянуть результаты работ пермской школы [5], в которые, в частности, можно вложить и многие постановки задач с опережением. Линейным уравнениям второго порядка с опережением и запаздыванием посвящена третья глава в книге [6].

Между тем, интерес к задачам с одновременным наличием опережения и запаздывания обусловлен рядом задач, в которых такие системы появляются как необходимый объект изучения. Упомянем некоторые из таких задач.

В некоторых прикладных задачах, например, из области электротехники (передача электрических сигналов в высоковольтных линиях электропередачи), биологии (исследование динамики популяций), математические модели приводят к дифференциальным уравнениям с опережением и запаздыванием или к уравнениям с опережением (см. упоминания об этом в работах [3, 37-47], см. также библиографию в них). Во многих таких работах исследуются в основном вопросы качественной теории таких уравнений [24, 48-55]. В прикладных исследованиях часто рассматриваются уравнения [37, 38, 44, 48, 51] y(t) = а • y(r{t)) + b • y{t) , t G [¿о, oo) , где r(t) может принимать следующие значения a) r(i) = t + т , т = const > 0 , b) r(t) — А • t , A = const > 1 , с) r(t) =ta, a = const > 1 в случаях (b) и (с) подходящей заменой переменной и искомой функции уравнение может быть приведено к случаю (а)); y{t) = y(t) • [ а - Ь • lg y(t) - с ■ lg у(Х • t) ] ; y(t) + w-y(t)=a-y(t-T)+f3-y(t + cr) + <p(t) .

В численных методах решения краевых задач [56-63] одним из основных алгоритмов является метод прогонки [61], сводящий краевую задачу к начальной путем обращения времени. Если система имела запаздывание, то при обращении времени возникнет опережение. Другие алгоритмы решения краевых задач для систем с запаздыванием изучались в [63].

В теории управления движением, если система имеет запаздывание, то при применении необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума, соответствующая сопряженная система будет иметь опережение [15, 70, 71]. Совместное рассмотрение исходной системы с запаздыванием и сопряженной системы с опережением приводит к системе с одновременным наличием опережения и запаздывания.

Отметим также, что вопросы разрешимости отдельных уравнений или некоторых узких классов уравнений с опережением и запаздыванием рассматривались, например, в работах [4, 64-69].

Эти и другие модельные задачи дифференциальных систем с одновременным запаздыванием и опережением делают актуальным разработку методов исследования подобных задач, причем в силу сложности задач, основным инструментом решения должны стать численные методы.

Приведем постановки основных краевых задач, которые встречаются в приложениях и будут рассматриваться в данной работе. Будет рассматриваться система дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием следующего вида x(t) = f(t,x(t),x(t-T),x(t + T)), a^t^b, (0.0.1) где х 6 Rn, п Е N, а 6 R, 6 € R, а < 6, Ш+ Э т — величина запаздывания и опережения (величины запаздывания и опережения для простоты считаются одинаковыми), / — некоторая заданная п-мерная вектор-функция, определенная на множестве [a,b] х Mn х Mn х IRn. Пусть заданы также какой-нибудь элемент xq б Мп и какие-нибудь тг-мерные вектор-функции <р{-) и ф(-), определенные на промежутках [о — г, а) и (6, Ъ + г] соответственно. Пусть далее для простоты b — а ^ т.

Требуется найти решение дифференциального уравнения (0.0.1), удовлетворяющее следующим краевым условиям x{t) = ip(t), а-т ^ t < а; х{а) = х0\ x(t) = if)(t), b <t ^ 6 + т. (0.0.2)

Под решением краевой задачи (0.0.1)-(0.0.2) обычно будет пониматься кусочно-непрерывная n-мерная вектор-функция х = x(t), а—т ^ t ^ Ь+т, которая непрерывна на отрезке [а, Ъ], почти во всех точках этого отрезка дифференцируема и почти во всех точках этого отрезка удовлетворяет системе (0.0.1), в точке t = а принимает значение xq, на промежутке [а — т, а) совпадает с функцией </?(•)> а на промежутке (6,6 + т] совпадает с функцией -г^(-).

Другая краевая задача, подлежащая рассмотрению, имеет вид i(i) = Л(£, rri(£), a:i(£ - г), x2(t)), а < t ^ Ъ , J ®i(a) = ж? , i(i) = (^i(^)) а — т ^ t < а :

0.0.3)

2 (£) = ^2(0» ^(i + 7"), a^t <b , x2(b) = x\ ,

V V где хг G Rni, щ G N, X2 G R7*2, n2 в N, a G R, 6 G R, a < b, R+ Э r — величина запаздывания и опережения, /i и /2 — некоторые заданные вектор-функции соответствующих размерностей, определенные на множествах [а, Ь] х Rni х Rni х R™2 и [a, b] x Rn2 x R™2 x Rni соответственно. Заданы также элементы xf G R™1, xb2 G Rn2, ni-мерная вектор-функция <^i(-), определенная на промежутке [а—т, а), и 77.2-мерная вектор-функция тр2(•), определенная на промежутке (6, b -f т].

Требуется найти пару вектор-функций х\ = х\(¿), = x2(t), а — т ^ t ^ & + т, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и краевым условиям из (0.0.3). При этом под решением краевой задачи (0.0.3) будет пониматься пара кусочно-непрерывных вектор-функций х\ = xi(t), = x2{t), а — т ^ t ^ b + г, которые непрерывны на отрезке [а, 6], почти во всех точках этого отрезка дифференцируемы и почти во всех точках этого отрезка удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям из (0.0.3), вектор-функция х\ = xi(-) в точке t = а принимает значение ж" и на промежутке [а — т, а) совпадает с функцией

•), вектор-функция Х2 = %2(') в точке Ь = 6 принимает значение а^ и на промежутке (Ь,Ь + т] совпадает с функцией ^(О- Краевую задачу (0.0.3) будем называть задачей, связанной по состоянию, имея в виду, что дифференциальные уравнения из (0.0.3) зависят от состояния другой компоненты решения только в момент времени

Возможны и другие постановки краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, но они во введении рассматриваться не будут.

Цель работы состоит в исследовании вопросов корректной разрешимости краевых задач типа (0.0.1)-(0.0.2) и (0.0.3), исследовании свойств решений, разработке конструктивных методов приближенного нахождения этих решений, разработке комплекса программных средств для численного моделирования систем с опережением и запаздыванием, а также применении разработанных средств для решения некоторых классов задач управления для систем с запаздыванием.

Работа содержит список обозначений, введение, три главы, список литературы, три приложения. В работе принята тройная нумерация объектов: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа, вторая — на номер объекта в данном параграфе.

Опишем кратко содержание диссертации по главам.

В первой главе изучаются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием. Для таких систем формулируется краевая задача на конечном промежутке времени. Она состоит в нахождении непрерывной на заданном отрезке функции, которая почти всюду дифференцируема на этом отрезке и удовлетворяет соответствующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием на рассматриваемом отрезке, с левой стороны отрезка искомая функция должна совпадать с известной функцией, на левом конце отрезка искомая функция должна принимать заданное начальное состояние, с правой стороны отрезка искомая функция должна совпадать с известной функцией (аналогично (0.0.1)-(0.0.2)). Для сформулированной краевой задачи исследуется вопрос о существовании и единственности решения, исследуются свойства решения, разрабатываются методы приближенного нахождения этого решения и проводится численное моделирование.

Вопросы о существовании и единственности решения исследуются с помощью принципа сжимающих отображений. При решении этих вопросов будем следовать подходам работы [64]. Отметим, что условие, состоящее в том, что соответствующий показатель сжатия строго меньше единицы, выступает достаточным условием как для существования, так и для единственности решения рассматриваемой краевой задачи. Далее приводятся примеры, показывающие, что это достаточное условие является существенным условием, без него краевая задача может иметь несколько (и даже бесконечное число) решений, а может и вообще не иметь решений. Далее также приводятся примеры, показывающие, что это достаточное условие не является необходимым условием как для существования, так и для единственности решения.

Показано, что решение сформулированной краевой задачи при соответствующих условиях непрерывно зависит как от исходных данных (начальной функции, начального состояния системы, финальной функции), так и от матричных коэффициентов системы, при варьировании всех этих параметров в их естественных пространствах.

Далее рассматривается один подкласс рассматриваемого класса краевых задач, задачи из которого допускают расщепление на запаздывающую составляющую и составляющую с опережением. Запаздывающая составляющая при соответствующих ограничениях всегда имеет единственное решение при любых допустимых исходных данных. Составляющая с опережением имеет единственное решение при любых допустимых исходных данных, если соответствующая система с опережением обладает некоторым свойством достижимости (для любого заданного состояния системы на левом конце отрезка изменения независимой переменной существует хотя бы одно состояние системы на правом конце этого отрезка, такое, что решение соответствующей системы с опережением, совпадающее на правом конце с существующим состоянием, на левом конце совпадает с заданным состоянием). Конструктивность нахождения решения опережающей составляющей во многом зависит от конструктивности нахождения подходящего состояния системы на правом конце. В этом отношении могла бы оказаться полезной формула, аналогичная формуле Коши для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений или систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наличие такой формулы удалось установить и для систем с опережением, ее вывод приведен в шестом параграфе первой главы. Анализ этой формулы показывает, что при достаточной конструктивности нахождения соответствующей фундаментальной матрицы Коши и при невырожденности этой матрицы, задача для опережающей составляющей может быть решена достаточно конструктивно.

Затем разрабатывался численный метод решения краевых задач, основанный на явном разностном методе Эйлера (из-за наличия опережения схема в целом является неявной). Предложено несколько вариантов итерационных методов решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации. Доказана теорема о сходимости приближенных решений, найденных по схеме Эйлера, к точному решению исходной дифференциальной задачи при стремлении шага разностной сетки к нулю. Приводится также оценка скорости сходимости.

В последнем параграфе главы проводится описание численного моделирования рассматриваемых краевых задач. Исходная дифференциальная задача аппроксимируется по явной разностной схеме Эйлера. Затем получившаяся в результате аппроксимации система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решается тремя различными итерационными методами : методом Гаусса-Зейделя, методом сопряженных градиентов и методом минимальных невязок. Результаты расчетов сравниваются между собой и сравниваются с точным решением исходной дифференциальной задачи. Для каждого из методов решения СЛАУ указаны условия их сходимости. Проведены вычислительные эксперименты и приведены сравнительные характеристики результатов вычислений. В одном из примеров, в котором решение дифференциальной задачи существует и единственно, итерации каждого из рассматриваемых методов решения СЛАУ достаточно быстро сходятся к точному решению СЛАУ и при соответствующем измельчении разностной сетки приближенные решения достаточно быстро сходятся к точному решению исходной дифференциальной задачи. В другом примере, в котором не выполняются соответствующие условия существования и единственности решения дифференциальной задачи, итерации рассматриваемых методов решения СЛАУ дают некоторые приближения решения СЛАУ, причем каждый метод дает некоторое свое приближение и, вообще говоря, не наблюдается сходимости к какому-нибудь одному приближению при увеличении числа итераций; при измельчении разностной сетки приближенные решения не сходятся к предъявленному точному решению исходной дифференциальной задачи. В третьем примере, в котором заведомо существует несколько решений дифференциальной задачи, итерации каждого из рассматриваемых методов решения СЛАУ достаточно быстро сходятся к точному решению СЛАУ и при измельчении разностной сетки приближенные решения достаточно быстро сходятся к одному из точных решений исходной дифференциальной задачи. Программные средства, предназначенные для численного моделирования, описаны в Приложении-1. Там же приводятся несколько иллюстраций пользовательского интерфейса.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для некоторых классов нелинейных систем с опережением и запаздыванием. В этой главе результаты, полученные в первой главе для линейных систем, обобщаются на нелинейные краевые задачи. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы о разрешимости краевых задач, указаны условия непрерывной зависимости решения от параметров (исходных данных краевой задачи и правой части системы). Исследуются также некоторые специфические краевые задачи, которые возникают при рассмотрении задач оптимального управления для систем с запаздыванием и квадратичным критерием качества. Указаны условия разрешимости таких задач. Разработаны численные методы нахождения приближенных решений нелинейных задач, основанные на подходе Эйлера. Указаны методы приближенного решения нелинейных систем алгебраических уравнений, появляющихся при дискретизации дифференциальной задачи. В частности, приведены некоторые условия сходимости метода простых итераций, который оказывается весьма удобным и нетрудоемким при численном моделировании. Сформулированы также условия сходимости решения дискретизированной задачи к точному решению дифференциальной задачи. Указаны оценки точности приближений. Проведены вычислительные эксперименты, результаты которых приведены в заключительном параграфе. Описание программного комплекса, с помощью которого можно проводить численное моделирование решений нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, помещено в Приложении-2. Там же имеется несколько вкладок пользовательского интерфейса.

В третьей главе рассматриваются задачи оптимального управления для систем с запаздыванием и квадратичным критерием качества. Хорошо известно [15, 21, 72-74], что принцип максимума в таких задачах приводит к сопряженным системам, которые являются системами с опережением. Совместное использование исходной и сопряженной систем дает систему опережающе-запаздывающего типа (систему оптимальности). Как сами системы такого типа, так и содержательные задачи для таких систем изучены в литературе достаточно слабо. Для исследования и численного моделирования таких систем могут применяться подходы, алгоритмы и методы, разработанные в первых двух главах. В некоторых случаях оптимальное управление может быть выражено через решение системы оптимальности и эффективно вычислено. Среди таких случаев выделяются задачи с линейной и квазилинейной системами. В заключительном параграфе главы приводятся результаты численного моделирования. Описание программного комплекса для численного моделирования решения системы оптимальности приведено в Приложении-3.

Относительно методов исследования можно отметить следующее. В основе исследований лежат понятия и методы теории функций и функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, численных методов анализа, теории оптимального управления. Для исследования разрешимости краевых задач использовались теоремы функционального анализа о неподвижных точках. Для исследования непрерывной зависимости решения от параметров использовались общие методы и подходы, аналогичные тем, которые используются в теории дифференциальных уравнений при оценивании решений. Для разработки численных методов применяются общие подходы вычислительной математики, в частности, разностные методы и вычислительные методы линейной и нелинейной алгебры. При исследовании задач оптимального управления используется принцип максимума Понтрягина. Для разработки программных средств применялись современные технологии программирования, языки программирования С++, Pascal, Delphi.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем: получены теоремы о корректной разрешимости некоторых классов линейных и нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием; найдены условия непрерывной зависимости решения краевых задач от параметров этих задач; разработаны конструктивные методы приближенного решения линейных и нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, указаны условия сходимости разработанных методов и получены некоторые оценки их скорости сходимости; для некоторых классов задачи оптимального управления с запаздыванием и квадратичным функционалом качества получены системы оптимальности, представляющие собой системы с опережением и запаздыванием, указаны условия их корректной разрешимости, описаны методы численного интегрирования и проведено численное моделирование; — разработан комплекс программных средств для численного моделирования решений соответствующих краевых задач, в котором реализованы разработанные в работе численные методы и алгоритмы, а также выполнена визуализация результатов расчетов.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами, соответствием полученных теоретических результатов надежным результатам компьютерного моделирования, использованием общепризнанных апробированных математических методов вычислений и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Работа имеет теоретическую и практическую значимость. Системы с опережением и запаздыванием играют важную роль при описании различных процессов и явлений в науке и технике. С одной стороны, в работе получен ряд новых теоретических результатов по методам исследования свойств таких систем (разрешимость, устойчивость, численные методы, сходимость, оценки скорости сходимости). Эти результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы для дальнейшего развития теории функционально-дифференциальных уравнений и ее приложений. С другой стороны, полученные в работе результаты, могут иметь и практическую ценность. Они могут использоваться при решении прикладных задач, моделировании рассматриваемых систем в различных ситуациях. Для этих целей может оказаться полезным разработанный программный комплекс, в котором реализованы разработанные в работе численные методы и алгоритмы. Полученные результаты применены для исследования и моделирования важного с теоретической и прикладной точек зрения класса задач оптимального управления для систем с запаздыванием.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2-6 февраля 2004); конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной 50-летию Ижевского математического семинара и 30-летию кафедры "Прикладная математика и информатика" Ижевского государственного технического университета (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006); конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 3 июля -8 июля 2006), посвященной 75-летию Удмуртского государственного университета; конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 4-9 мая 2008), посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева; научных семинарах кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета; научном семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики и механики УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, 3 из них опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Пименов В.Г., Короткий Д.А. О решении систем дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием // Известия Уральского госуниверситета. 2006. № 44. (Серия: Математика и механика. Выпуск 9.). С. 113-139.

2. Короткий Д.А. Численное моделирование задачи оптимального управления для системы с запаздыванием // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 291-295.

3. Короткий Д.А. Решение задачи оптимального управления для системы с запаздыванием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Выпуск 2. С. 61-62.

4. Короткий Д.А., Пименов В.Г. Численное моделирование решений уравнений с опережением и запаздыванием // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.). Екатеринбург: Изд-во Урал, унта. 2004. С. 119-120.

5. Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием: численное решение // Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. Выпуск 2 (36). С. 185-188.

6. Короткий Д.А. Нелинейная краевая задача с опережением и запаздыванием // Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. Выпуск 3 (37). С. 71-72.

7. Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием // Тезисы студенческих научных работ: Направление "Естественные науки". Екатеринбург: Издательство Уральского госуниверситета. 2006. С. 18-20.

8. Короткий Д.А. Моделирование оптимальных процессов для систем с запаздыванием // Информационные технологии моделирования и управления. 2008. № 3 (46). С. 304-310.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Германовичу Пименову за постановку задачи и помощь в работе; коллективу кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета за ценные советы и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Короткий, Дмитрий Александрович, 2008 год

1. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

2. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференцальиых уравнений. М.: Наука, 1991.

6. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Издательство МАИ, 1992.

7. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1959.

8. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

9. Шиманов С.И. Уравнения с запаздывающим аргументом // История отечественной математики. Т. 4. Кн. 1. Киев: Наукова думка. 1970. С.438-488.

10. Burton Т.A. Stability and periodic solutions of ordinary and functional differential equations. New York: Academic Press, 1985.

11. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.

12. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time-lags. New York: Academic Press, 1966.

13. Hale J.K., Lunel S.M. V. Introduction to functional differential equations. New York Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1993.

14. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Applied theory of functional differential equations. Dordrecht Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 1992.

15. Андреева E.A., Колмановский В.Б., Шайхет JI.E. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

16. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия //В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983. С.383-394.

17. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

18. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974.

19. Марчук Т.Н. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980.

20. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Т. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие системы. М.: Мир, 1990.

21. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978.

22. Chukwu E.N. Stability and time-optimal control of hereditary systems. London: Academic Press, 1992.

23. Corduneanu C. Integral equations and stability of feedback systems. New York London: Academic Press, 1973.

24. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1992.

25. Gorecki M., Fuksa S., Grabowski P., Korytowski A. Analysis and synthesis of time-delay systems. Warszawa: PWN, 1989.

26. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. New York London: Academic Press, 1986.

27. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics // Mathematics in Science and Engineering. 191. Boston: Academic Press, 1993.

28. Malek-Zavarei M., Jamshidi M. Time-delay systems. Analysis, optimization and applications. Amsterdam: Noth-Holland, 1987.

29. Oguztoreli M.N. Time-lag control systems. New York London: Academic Press, 1972.

30. Пименов В.Г. Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы // (учебное пособие). Екатеринбург: УрГУ, 1998.

31. Ким А.В., Пименов В.Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнения. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.

32. Холл Д., Уатт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

33. Baker С.Т.Н., Paul С.А.Н., Wille D.R. Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations // Advanced in Comput. Math. 1995. Vol. 3. P.171-196.

34. Baker C.T.H., Paul C.A.H., Wille D.R. A bibliography on the numerical solution of delay differential equations // MCCM tech. rep. №269, University of Manchester. 1995. 52 p.

35. Bellen A. Constrained mesh methods for functional differential equations // International Series of Numerical Mathematics. Basel: Verlag. 1985.

36. Cryer C. W. Numerical methods for functional differential equations //In Delay and functional differential equations and their application. Schmitt K. ed. 1972. New York: Academic Press. P.17-101.

37. Kato Т., McLeod J.B. The functional-differential equation y{x) = ay(Xx) + by(x) // Bulletin of the American Mathematical society. 1971. Vol. 77. № 6. P. 891-937.

38. Fox L., Mayers D.F., Ockendon J.R., Tayler A.B. On a functional differential equation // J. Inst. Math. Appl. 1971. Vol. 8. P. 271-307.

39. Mahler K. On a special functional equation // J. London Math. Soc. 1940. Vol. 15. P. 115-123.

40. Zhang Z., Li Q. Oscillation theorems for second-order advanced functional difference equations // Computers and Mathematics with Applications. 1998. Vol. 36. № 1. P. 11-18.

41. Yan J. Oscillation of first-order impulsiv differential equations with advanced argument // Computers and Mathematics with Applications. 2001. Vol. 42. № 6. P. 1353-1363.

42. Gyori I., Ladas G. Oscillation theory of delay differential equations with application. Oxford: Clarendon, 1991-.

43. Erbe L.H., Kong Q., Zang B.G. Oscillation theory for functional differential equation. New York: Marcel Dekker Inc., 1995.

44. Zheng Z.X. Theory of functional differential equations. Anhui: Education Press, 1994.

45. Agarwal R.P. Difference equations and inequalities: theory, methods, and applications. New York: Marcel Dekker Inc., 2000.

46. Schulman L.S. Some differential-difference equations containing both advance and retardation //J. Math. Phys. 1974. Vol. 15. №3. P.295-298.

47. Wheeler J.A., Feynman R.P. Interaction with the absorber as the mechanism of radiation // Reviews of Moden Physics. 1945. Vol. 17. №2. P.157-179.

48. Chermak J. Asymptotic properties of differential equations with advanced argument // Czechoslovak Mathematical Jornal. 2000. Vol. 50 (125). P. 825-837.

49. Hale J.K., Lunel S.M.V. Functional differential equations. New York: Springer-Verlag, 1993.

50. Ladde G.S., Lakshmikanthan V., Zhang B.G. Oscillation theory of differential equations with deviating argument. New York: Marcel Dekker, Inc., 1987.

51. Heard M.L. Asymptotic behavior of solutions of the functional differential equation x(t) = ax(t) + bx(ta),a > 1 // Journal Math. Anal. Appl. 1973. Vol. 44. P. 745-757.

52. Diblik J. Asymptotic representation of solutions of equation y(t) = РЩуФ V(t ~ II Journal Math. Anal. Appl. 1998. Vol. 217. P. 200-215.

53. Bainov D.D., Dimitrova M.B. Sufficient conditions for oscillations of all solutions of a class of impulsive differential equations with deviating argument // J. Appl. Math. Stoch. Anal. 1996. Vol. 9. P. 33-42.

54. Bainov D.D., Dimitrova M.B., Simeonov P.S. Sufficient conditions for oscillations of the solutions of a class of impulsive differential equations with advanced argument // Publications de Linstitut Mathématique. 1996. Vol. 59. P. 39-48.

55. Agarwal R.P., Grace S.R. Oscillations of forced functional differential equations generated by advanced arguments / / Aequationes Mathematicae. 2002. Vol. 63. P. 26-45.

56. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. M.: Наука, 1977.

57. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

58. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностнные схемы. М.: Наука, 1977.

59. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

60. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейная алгебры. М.: Наука, 1977.

61. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т. 2. Минск: Вышайшая школа, 1975.

62. Верснсбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2005.

63. Онегова О.В. Некоторые методы численного решения краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений // Известия Уральского госуниверситета (Серия: Математика и механика. Выпуск 4). 2002. № 22. С. 114-128.

64. Baotong С. Functional differential equations mixed type in Banach spaces // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1995. Vol. 94. P. 47-54.

65. Sugiyama S. On some problems of functional-differential equations with advanced argument // Proc. U.S.-Japan seminar on differential and functional equations. Benjamin, New York. 1967. P. 367-382.

66. Anderson C.H. Asymptotic oscillation results for solutions to first-order nonlinear differential-difference equations of advanced type // J. Math. Anal. Appl. 1968. Vol. 24. P. 430-439.

67. Anderson D.R. An existence theorem for a solution of f'(x) = F(x, f(g(x))) // SIAM Rev. 1966. Vol. 8. P. 359-362.

68. Oberg R.J. On the local existence of solutions of certain functional-differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 20. P. 295302.

69. Frederickson P.L. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1971. Vol. 33. P. 355-358.

70. Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

71. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974.

72. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. №4. С.716-724.

73. Ким А.В., Лооюников А.Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнения Риккати // Автоматика и телемеханика. 2000. №7. С.15-31.

74. Пименов В.Г. К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск: УрО РАН. 1987. С.107-121.

75. Ким А. В., Волканин Л. С. К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах // Известия Уральского государственного университета. 2003. №26. С. 81-86.

76. Kim A. V., Volkanin L. S. Generalized Riccati equations in linear-quadratic control problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. 2002. Pp. S98-S119

77. Волкапин JI. С. Моделирование систем с последействием // Вестник Уральского государственного технического университета У ПИ. Серия радиотехническая. 2005. №17 (69). С. 248-255

78. Ким А. В., Ложников А. Б. Математическое моделирование систем с последействием: теория, алгоритмы, программное обеспечение // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2002. №2. С. 55-58.

79. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

80. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

81. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1952.

82. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

83. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.Публикации автора

84. Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием // Тезисы студенческих научных работ: Направление "Естественные науки". Екатеринбург: Издательство Уральского госуниверситета. 2006. С. 18-20.

85. Короткий Д.А. Системы с опережением и запаздыванием: численное решение // Известия Института математики и информатики. УдГУ. Ижевск. 2006. Выпуск 2 (36). С. 185-188.

86. Пименов В.Г., Короткий Д.А. О решении систем дифференциальных уравнений с опережением и запаздыванием // Известия Уральского госуниверситета (Серия: Математика и механика. Выпуск 9). 2006. № 44. С. 113-139.

87. Короткий Д.А. Нелинейная краевая задача с опережением и запаздыванием // Известия Института математики и информатики. УдГУ. Ижевск. 2006. Выпуск 3 (37). С. 71-72.

88. Короткий Д.А. Численное моделирование задачи оптимального управления для системы с запаздыванием // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 291-295.

89. Короткий Д.А. Решение задачи оптимального управления для системы с запаздыванием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Выпуск 2. С. 61-62.

90. Короткий Д.А. Моделирование оптимальных процессов для систем с запаздыванием // Информационные технологии моделирования и управления. 2008. № 3 (46). С. 304-310.