Моделирование динамики макросистем на основе концепции равновесия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гасникова, Евгения Владимировна

• Гасникова, Евгения Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гасникова, Евгения Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ ДИНАМИКИ В МАКРОСИСТЕМЫ. КОНЦЕПЦИЯ РАВНОВЕСИЯ МАКРОСИСТЕМЫ И ЕЁ ОКРЕСТНОСТИ.

1.1. Введение в теорию однородных дискретных марковских процессов и их приложения (PageRank, МСМС, алгоритм Григориадиса-Хачияна).

1.2. Парадокс Эренфестов.

1.3. Кинетика социального неравенства.

1.4. Энтропийная модель расчёта матрицы корреспонденции (обобщение).

1.5. Модель распределения WWW трафика (Дж.А. Томлин, IBM).

1.6. Общая схема.

ГЛАВА 2. ДВОЙСТВЕННЫЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ЭНТРОПИЙНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

2.1. Двойственная задача.

2.2. Мультипликативно-барьерные итерационные алгоритмы решения двойственной задачи.

2.3. Исследование одного мультипликативного итерационного алгоритма минимизации строго выпуклой функции на неотрицательном ортанте.

2.4. Задача энтропийно-линейного программирования (случай регулярных ограничений).

2.5. Задача энтропийно-линейного программирования (общий случай).

2.6. Численные примеры решения задач энтропийно-линейного программирования

ГЛАВА 3. О ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ КОНЦЕПЦИИ РАВНОВЕСИЯ МАКРОСИСТЕМЫ.

3.1. Модель равновесного распределения транспортных потоков Бэкмана, эволюционная динамика и стохастический зеркальный спуск.

3.2. Не единственность равновесия - макросистемный отбор.

3.3. Платные дороги и "цена анархии".

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики макросистем на основе концепции равновесия»

Актуальность темы. Работы Е.Т. Джейнса, А. Дж. Вильсона, И. Пригожина, Г. Ха-кена положили начало традиции использования термодинамического формализма для анализа различных макросистем, встречающихся в экономике, биологии, социальной области и т.д. В России систематические исследования в этом направлении велись Л.Н. Ро-зоноэром, а в последнее время В.П. Масловым, Ю.С. Попковым и другими исследователями. В большинстве работ рассматривались случаи стационарных макросистем, которые уже находятся в равновесии.

В диссертации предлагается в стационарных моделях учитывать динамику, с помощью которой можно оценивать скорость сходимости макросистемы к равновесию и исследовать зависимость равновесия от различных параметров. Вводимая динамика позволяет как более точно отразить специфику исследуемых задач, так и расширить множество моделируемых постановок.

Большой класс макросистем основывается на эволюционной динамике, приводящей к равновесию, которое может быть проинтерпретировано как равновесие Нэша. Возможность предложить и исследовать разумную динамику для той или иной стационарной макросистемы в ряде случаев позволяет также эффективно определить равновесие этой макросистемы.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование равновесия макросистем, обладающих марковской динамикой, в основе которой лежат принципы стохастической химической кинетики.

Для выполнения поставленной цели решаются следующие задачи:

• отыскание достаточных условий существования и единственности равновесия;

• разработка эффективных вычислительных алгоритмов поиска равновесий макросистем путем сведения их к задачам энтропийно-линейного программирования, разработка соответствующего комплекса программ;

• изучение наследования свойств динамической макросистемы при различных скей-лингах (изменениях масштаба), в частности, исследование перестановочности предельных переходов по времени и размерности макросистемы;

• изучение теоретико-игровых аспектов концепции равновесия динамических макросистем;

• оценки скорости сходимости к равновесию и плотности концентрации инвариантной меры в равновесии;

• анализ конкретных макросистем, рассматриваемых при математическом моделировании транспортных потоков; при ранжировании web-страниц; в экономических и социальных моделях.

Общая методика исследования. В первой главе диссертации при изучении равновесий макросистем широко используется классический вариант эргодической теории марковских процессов (фундаментальной монографии A.A. Боровкова (1999) здесь оказалось более чем достаточно), для получения стационарной (инвариантной) меры. Далее активно используется техника изучения явления концентрации этой меры: от формулы Стирлинга и метода Дарвина-Фаулера (базирующемся на аппарате производящих функций и асимптотическом оценивании интегралов методом Лапласа), до современных геометрических теорем о концентрации меры (базирующихся на таких понятиях как кривизна Риччи многообразия и изопериметрические неравенства). Для оценок скоростей сходимости в эргодической теореме среди прочего используются современные варианты неравенства Чигера (Фан Чанг, 2005) и дискретная кривизна Риччи (Жульен-Оливье, 2007). Во многом следуя Е.Т. Джейнсу, А.Дж. Вильсону и Ю.С. Попкову с помощью довольно стандартной техники гладко-выпуклой оптимизации (принципа Ферма и Лагранжа) мы сводим задачу поиска равновесия макросистемы (для важного класса макросистем) к задаче энтропийно-линейного программирования.

Во второй главе диссертации для построения эффективного итерационного алгоритма решения задачи энтропийно-линейного программирования активно используется второй метод Ляпунова (см., например, Б.Т. Поляк, 1983) и метод внутренних штрафных функций (барьеров), используемый в отделе Ю.Г. Евтушенко в ВЦ РАН уже более 20 лет. Также в случае огромных размеров макросистемы применяются идеи стохастического квазиградиентного спуска, восходящие к работам начала 70-х XX века Ю.М. Ермольева. Однако нами эти идеи применяются в более современных вариантах, встречающихся, например, в работах A.C. Немировского, Ю.Е. Нестерова.

В третьей главе (также как и во второй) используется второй метод Ляпунова и некоторая техника работы с равновесиями макросистем из главы 1. Также в этой главе мы существенным образом опираемся на недавно предложенную (например, Немировским-Юдицким-Шапиро и др.) технику доказательства сходимости итерационного метода зеркального спуска решения задачи стохастической выпуклой оптимизации с не асимптотической явной оценкой скорости сходимости.

Научная новизна выносимых на защиту результатов состоит в том, что впервые:

• получено достаточное условие, отличное от известного ранее условия унитарности, обеспечивающее существование и единственность равновесия макросистемы, порожденной марковской динамикой, в основе которой лежат принципы стохастической химической кинетики;

• выявлен характер связи функции Ляпунова макросистемы с инвариантной мерой этой макросистемы;

• показано, что при достаточно естественных условиях время сходимости к равновесию оказывается малым;

• приведена эволюционная интерпретация конструкции равновесия Нэша-Вардропа, отвечающая равновесному распределению потоков на графе транспортной сети, до этого использовавшаяся только стационарно. Это позволило, в том числе, усилить парадокс Браесса (1968), а также объяснить эвристический способ отбора Бар-Гира-Швецова (2010) единственного равновесия Нэша-Вардропа в случае, когда имеет место неединственность равновесий.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа, в основном, носит теоретический характер, хотя во многом мотивированна совершенно конкретными приложениями. Здесь хотелось бы отметить, что на наш взгляд, наиболее значимо.

В диссертации в рамках макросистемного подхода предложена модель, обобщающая известную на практике энтропийную модель расчета матриц корреспонденций А. Дж. Вильсона. Эта известная модель была использована для анализа данных по транспортным потокам г. Москвы, полученным в Лаборатории прикладного моделирования транспортных систем ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. Предложенная в диссертации модель позволила более адекватно описать имеющиеся данные. Сейчас предложенная модель тестируется в Научно-исследовательском и проектном институте Генерального плана города Москвы, как структурный блок общей четырехстадийной транспортной модели.

Другой пример необходимости введения динамики, дают макросистемы, имеющие игровую природу, т.е. равновесие в этих системах может быть проинтерпретировано, как равновесие Нэша. Введение динамики позволяет, в случае если таких равновесий много, выбрать единственное. Важно отметить, что процедура отбора как раз и включает в себя использование концепции равновесия макросистемы. Именно это обстоятельство и отличает предложенную процедуру от ряда других.

Важной идеей является возможность получения эффективных численных методов решения задач выпуклой оптимизации, пришедших из теории игр, с помощью изучения возможных разумных стохастических динамик нащупывания равновесия Нэша. Безусловно, это идея не нова, но в диссертации вскрываются некоторые содержательные аспекты очень популярного сейчас метода решения задач оптимизации огромной размерности -стохастического зеркального спуска.

Более того, можно отметить, что содержащиеся в диссертации результаты с определенного ракурса показывают ограниченность возможности описания окружающей действительности с помощью детерминированных дифференциальных уравнений. Приведем характерный пример. В известной детерминированной биологической модели В. Вольтер-ра наблюдаются колебания хищников и жертв, в то время как в стохастическом варианте этой макросистемы, из которого, собственно, и получается детерминированный, возможен, например, исход, когда все хищники погибают от голода. С другой стороны знание ограничений позволяет лучше использовать и интерпретировать результаты, полученные из анализа систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) и уравнений в частных производных, описывающих какое-то явление.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 35 печатных работ [1-35],, в том числе, четыре - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, приложение к монографии и один электронный препринт, выложенный на arxiv.org.

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на 16 конференциях (в том числе, пяти международных), научных семинарах по экспериментальной экономике Вычислительного центра РАН (20092012), семинаре-конференции РАН под рук. акад. В.В. Козлова (2010), на семинарах кафедр математических основ управления и анализа систем и решений ФУПМ МФТИ (2009-2011), на семинарах по транспортным потокам в Независимом Московском Университете (2011-2012).

Личный вклад соискателя в работы с соавторами состоит в доказательстве теорем о сходимости динамических макросистем к равновесию; исследовании ряда свойств равновесий макросистем (скорость сходимости, плотность концентрации инвариантной меры); исследовании макросистем, имеющих практическую ценность; систематизации ранее известных алгоритмов; разработке численных алгоритмов; разработке соответствующего комплекса программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения и списка использованных источников, включающего 135 наименований. Общий объём работы составляет 90 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гасникова, Евгения Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследуется концепция равновесия макросистемы. Как правило, рассматриваются макросистемы, эволюция которых задается однородным дискретным эрго-дическим марковским процессом, в основе которого лежат уравнения стохастической химической кинетики (равноправие агентов - приближение среднего поля), причем число химических реакций и размерность пространства макросостояний системы могут расти с ростом числа агентов в системе. Поскольку в основе макросистемы лежит эргодический марковский процесс, то на больших временах макросистема будет распределена согласно стационарной мере этого процесса. Если размерность макросистемы увеличивается, то, при определенных условиях (известны достаточные условия), стационарное распределение сосредотачивается в окрестности наиболее вероятного макросостояния, которое и принимается за равновесие макросистемы. Таким образом, с ростом времени наблюдения и размерности макросистемы следует ожидать нахождения макросистемы с большой вероятностью в окрестности равновесия. Задача нахождения наиболее вероятного состояния часто сводится (асимптотически по размерности системы) к задаче максимизации энтропийно-подобного функционала при ограничениях (в термодинамике таким образом можно получить статистики Больцмана, Ферми-Дирака, Бозе-Эйнштейна). В диссертации получены следующие результаты:

1. Обнаружена двоякость энтропийно-подобного функционала. Этот функционал выступает как функция Ляпунова детерминированной кинетической динамики, полученной в результате скейлинга из исходно стохастической динамики макросистемы, а также как функция, характеризующая концентрацию инвариантной меры той же самой стохастической динамики.

2. Рассмотрены два примера введения динамики в макросистему (модель равновесного распределения потоков Бэкмана), имеющую игровую природу, т.е. равновесие в этой макросистеме может быть проинтерпретировано, как равновесие Нэша. Одна из введенных динамик позволяет, в случае если таких равновесий много, выбрать единственное. Важно отметить, что процедура отбора как раз и включает в себя использование концепции равновесия макросистемы.

3. Предложено обобщение и новая интерпретация известной энтропийной модели расчета матрицы корреспонденций и модели ранжирования web-страниц PageRank. Также была обобщена модель миграции населения.

4. Единообразно представлены многие известные алгоритмы решения задач энтропийно-линейного программирования (Брэгмана-Шелейховского, MART, GISM, Ю.С. Попкова и др.), возникающие при поиске равновесий макросистем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гасникова, Евгения Владимировна, 2012 год

1. Гасникова Е.В. Поиск равновесий макросистем с помощью мультипликативно-барьерных модификаций итерационных алгоритмов Коши и Ньютона // Международная конференция «Математическая теория систем» МТС-2009» 6-30 января 2009 года, Москва. С. 150-154.

2. Гасникова Е.В. Двойственные мультипликативные алгоритмы для задач энтропийно-линейного программирования // ЖВМ и МФ Т.49 № 3. Изд-во МАИК «Наука/Интерпериодика», 2009 г. С. 453-464.http://www.mathnet.ru/links/477d9abf29f4617e2884d66705be0b39/zvmmf22.pdf

3. Гасников А В, Гасникова Е.В, Дорн Ю В О некоторых примерах конечных однородных эргодических марковских процессов с огромным числом состояний // Труды 52-ой научной конференции МФТИ — М., Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 2009. Ч. 7. Т. 1. С.19-22.

4. Буслаев А П, Гасников А В, Гасникова Е В, Холодов Я А , Яшина MB. Возможная динамика в модели Дж. Вардропа. Труды VI международной конференции по исследованию операций. М.: МАКС Пресс. 19-23 октября 2010. С. 22-23.

5. Гасникова ЕВ О равновесиях макросистем. Труды VI международной конференции по исследованию операций. М.: МАКС Пресс. 19-23 октября 2010. С. 139-140.

6. Гасников А В, Гасникова Е.В О возможной динамике в модели расчета матрицы корреспонденции (А.Дж. Вильсона) // Труды МФТИ, Т. 2. № 4(8). Изд-во МФТИ 2010. С. 45-54.http://mipt.ru/nauka/trudv/N+4+%288%29/Pages 45-54 from Trud-8-7-arpgtk3kdie.pdf

7. Гасникова ЕВ О стохастической марковской динамике наилучших ответов, приводящей к равновесию Нэша-Вардропа // Труды 53-й научной конференции МФТИ. -М., Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 2010. 4.7. Т. 1.С. 106-107.

8. Gasnikov A.V., Gasnikova E.V., Nagapetyan Т.А. On the convergence to one of the Nash-Wardrop's equilibriums // Traffic and granular flow' 11. International conference. Moscow, 28 September 1 October 2011. Изд-во МТУСИ P. 296-298.

9. Гасникова Е.В. Достаточные условия существования равновесия макросистем // Труды 54-й научной конференции МФТИ, М., Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 2011. Ч. 7. Т. 1.С. 64-65.

10. Гасникова Е.В. Концепция равновесия макросистемы в модели распределения потоков // Труды 54-й научной конференции МФТИ, М., Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 2011. Ч. 7. Т. 1. С. 88-89.

11. Gasnikov A. V., Gasnikova E. V. Stochastic subgradient barrier-multiplicative descent for entropy optimization // International conference OPTIMA-2012. September 23 30, 2012. Costa da Caparica, Portugal: Из-во ВЦ РАН P. 91-92.

12. Гасникова Е.В. О платных дорогах и метаигровом синтезе // Труды 55-й научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. -М., Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 2012 г. Ч. 7. Т. 1. С. 55-56.

13. Гасникова Е.В. Оценка mixing time для макросистем с единственным равновесием // Труды 55-й научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. М., Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 2007 г. Ч. 7. Т. 1. С. 87-89.

14. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: УРСС, 1999.

15. Бупинский А.В., Ширяев A.H. Теория случайных процессов. М.: Физматлит; Лаборатория базовых знаний, 2003.

16. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 2. М.гМЦНМО, 2010.

17. Ширяев А.Н. Вероятность 1,2. М.: МЦНМО, 2007.

18. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

19. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.

20. Motwani R., Raghavan P. Randomized algorithms. Cambridge Univ. Press, 1995.

21. Красносельский M.A., Лифшиц E.A., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.

22. Brin S., Page L. The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine // Comput. Network ISDN Syst. 1998. V. 30(1-7). P. 107-117.

23. Langville A.N., Meyer C.D. Google's PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings. Princeton University Press, 2006.

24. Baldi P., Frasconi P., Smyth P. Modeling the Internet and the Web: Probabilistic methods and algorithms. Published by John Wiley & Sons, 2003. http://ibook.ics.uci.edu/

25. Назин А.В., Поляк Б.Т. Рандомизированный алгоритм нахождения собственного вектора стохастической матрицы с применением к задаче PageRank // Автоматика и телемеханика, № 2, 2011. С. 131-141.

26. Nesterov Y.E. Subgradient methods for huge-scale optimization problems // CORE Discussion Paper; 2012/2, 2012. http://wvvw.uclouvain.be/32349.html

27. Ермаков C.M. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. М.: Бином, 2009.

28. Кнут Д., Яо Э. Сложность моделирования неравномерных распределений // Кибернетический сборник. Новая серия. Вып. 19. М.: Мир, 1983. С. 97-158.

29. Sinclair A., Jerrum М. Approximate counting, uniform generation and rapidly mixing Markov chains//Information and Computation. 1989. V. 82. № l.P. 93-133.

30. Dyer M., Frieze A., Kannan R. A random polynomial-time algorithm for approximating of the volume of convex bodies // Journal of ACM. 1991. V. 38. № 1. P. 1-17.

31. David Aldous and Jim Fill Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs, 2002. h tip: //sta t -u w vv. be r k с 1 e \ .edu/users/aldous/R WG/book.html

32. Fan Chung Laplacians and the Cheeger inequality for directed graphs // Annals of Combinatorics. 2005. no. 9. P. 1-19. http://math.ucsd.edu/~fan/

33. Diaconis P The Markov chain Monte Carlo revolution // Bulletin (New Series) of the AMS.2009. V. 49. № 2. P. 179-205.http://math uchicago.edu/~shmuel/Network-course-readings/MCMCRev.pdf

34. Spielman D. Lecture, 2009 http://www.cse.cuhk.edu.hk/~chi/csc5160/notes/L02.pdf

35. Jouhn A , Ollivier Y Curvature, concentration and error estimates for Markov chain Monte Carlo //Ann. Prob. 2010. V. 38. № 6. P. 2418-2442. http://www.vann-ollivier.org/rech/publs/survevcurvmarkov.pdf

36. Ledoux M. Concentration of measure phenomenon. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2001 (Math. Surveys Monogr. V. 89).

37. ХачиянЛГ Избранные труды / сост. С. П. Тарасов. М.: МЦНМО, 2009. С. 38-48.

38. Въюгин В.В Элементы математической теории машинного обучения. М.: МФТИ,2010. http://4\\w\ ■iitp.n.i/iipload/publieations/5759<vyu»inl .pdf62. http://www2.isve.gatech.edu/~nemirovs/63. http://www.core.ucl.ac.be/~nesterov/

39. Juditsky A , Lan G., Nemirovski A., Shapiro A Stochastic approximation approach to stochastic programming // SIAM Journal on Optimization. 2009. V. 19. № 4. P. 1574-1609.

40. Nesterov Y Primal-dual subgradient methods for convex problems // Math. Program. Ser. B.2009. V. 120. P. 221-259.

41. Кац M. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.

42. Dragulescu А , Yakovenko V. М. Statistical mechanics of money // The European Physical

43. Journal B. 2000. V. 17. P. 723-729. arXiv:cond-mat/0001432v4

44. Маслов В П Квантовая экономика. M.: Наука, 2006

45. Вильсон А Дж Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978.

46. Попков Ю С Теория макросистем: равновесные модели. М.: УРСС, 1999.

47. Швецов В И Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2003. № 11. С. 3^16.

48. Gongalves MB , Ulyssea-Neto I Equilibrium values and dynamics of attractiveness terms in production-constrained spatial-interaction models // Envir. & Plan. A. 1993. V. 25. P. 817-826.

49. Шредингер Э Статистическая термодинамика. M.: ИЛ, 1948.

50. Хуанг К Статистическая механика М Мир, 1966

51. Веденяпин В В , Орлов ЮНО законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана // ТМФ 1999 Т 121, №2 С 307-315

52. Веденяпин В В Кинетическая уравнения Больцмана и Власова М Физматлит, 2001

53. Батищева Я Г, Веденяпин В В И-й закон термодинамики для химической кинетики // Мат мод 2005 Т 17, №8 С 106-110

54. Malyshev VA , Pirogov S А , Rybko А N Random walks and chemical networks // Mosc Math J 2004 V 42 P 441-453

55. Малышев В А , Пирогов С А Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике//УМН 2008 Т 63 № 1 С 3-36

56. Калинкин А В Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // УМН 2002 Т 57, №2 (344) С 23-84

57. Гардинер К В Стохастические методы в естественных науках М Мир, 1986

58. Занг В -Б Синергетическая экономика время и перемены в нелинейной экономической теории М Мир, 1999

59. Castellano С, Fortunato S, Loreto V Statistical physics of social behavior // Review of modern physics 2009 V 81 P 591-646 arXiv 0710 3256v2

60. Николис Г, Пригожин И Самоорганизация в неравновесных системах М Мир, 1979

61. Хакен Г Информация и самоорганизация Макроскопический подход к сложным системам М УРСС, 2005

62. МарриДж Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии М Мир, 1983

63. Свирежев Ю М Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии М Наука, 1987

64. Вайдпих В Социодинамика системный подход к математическому моделированию в социальных науках М УРСС, 2010

65. Jaynes Е Т Probability theory The logic of science Cambridge Cambridge University Press, 2003

66. Розоноэр ЛИ Обмен и распределение ресурсов (обобщенный термодинамический подход) I, II, III // Автоматика и Телемеханика. № 5, № 6, № 8, 1973

67. Опойцев В И Нелинейная системостатика М Наука, 1986, Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения М Наука 1977

68. Сергеев В М Пределы рациональности М Фазис, 1999

69. Rybko А , Shlosman S. Poisson hypothesis for information networks I, II// e-prints http://arxiv.org/abs/math/04061 lOvl; http://arxiv.org/abs/math-ph/0410053v 1, 2004.

70. Stewart N. Ethier and Thomas G Kurtz Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1986.

71. ФедорюкМВ Метод перевала. M.: Наука, 1977.

72. Вентцель АД, Фрейдлин МИ Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

73. International workshops on Bayesian inference and maximum entropy methods in science and engineering. AIP Conf. Proceedings (holds every year from 1980).

74. Kapur J.N. Maximum entropy models in science and engineering. John Wiley & Sons, Inc., 1989.

75. Маслов ВП, Черный AC О минимизации и максимизации энтропии в различных дисциплинах // ТВП. 2003. Т. 48. № 3. С. 466-486.

76. Golan А , Judge G., Miller D Maximum entropy econometrics: Robust estimation with limited data. Chichester, Wiley, 1996.

77. Fang S.-C., Rajasekera J R, Tsao H.-SJ. Entropy optimization and mathematical programming. Kluwer's International Series, 1997.

78. Евтушенко ЮГ Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.105Жадан В Г Численные методы линейного и нелинейного программирования: вспомогательные функции в условной оптимизации. М.: ВЦ РАН, 2002.

79. Nesterov Y.E, Nemirovsky A.S. Interior-point polynomial algorithms in convex programming: Theory and algorithm. SIAM Publications, Philadelphia, 1994.

80. Магарил-Илъяев Г Г, Тихомиров В М Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2011.

81. Поляк Б Т Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983

82. Никайдо X Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972; Агима-нов С А Введение в математическую экономику. М.: Наука. 1984.

83. Ермольев Ю М Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.

84. Wl.Shejfi Y Urban transportation networks: Equilibrium analysis with mathematical programming methods. N.J.: Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1985.

85. S.Foster D., Young P Stochastic evolutionary game dynamics // Theoretical population biology. 1990. V. 38. № 2.

86. Cressman R Evolutionary game theory and extensive form games. Cambridge, Mass.: MIT Press, 2003.

87. Hojbauer J, Sigmund К Evolutionary game dynamics // Bulletin of the AMS. 2003. V. 40. №4. P. 479-519.121 .Васин A A , Краснощекое ПС, Морозов В В Исследование операций. М.: Издательский центр «Академия», 2008.

88. Easley D, Kleinberg J Networks, Crowds, and Markets: Reasoning About a Highly Connected World. Cambridge University Press, 2010 http://wvvw.cs.cornell.edu/home/kleinber/networks-book/

89. McKelvey R D, Palfrey TR Quantal response equilibria for extensive form games // Experimental economics. 1998. V. 1. P. 9-41.

90. Marsili M Toy models of markets with heterogeneous interacting agents // e-print www.unifr.ch/econophysics/. 2001.

91. Fogel D В Evolutionary Computation: Towards a New Philosophy of Machine Intelligence. New York: IEEE Press, 2000.

92. СтенбринкП А Оптимизация транспортных сетей. M.: Транспорт, 1981.

93. Patriksson М The traffic assignment problem. Models and methods. Utrecht, Netherlands: VSP, 1994.

94. Nesterov Y, de Palma A Static equilibrium in congested transportation networks // Networks Spatial Econ. 2003 № 3(3). P. 371-395.

95. Amnon Rapoport, Tamar Kugler, Subhasish Dugar, Eyran J. Gisches Choice of routes in congested traffic networks: Experimental tests of the Braess Paradox // Games and Economic Behavior. 2009. V. 65 P. 538-571.

96. Andersen S.P., de Palma A., Thisse J.-F. Discrete choice theory of product differentiation. MIT Press, Cambridge, 1992.

97. Bar-Gera H. Origin-based algorithms for transportation network modeling. Univ. of Illinois at Chicago, 1999.

98. Sandholm W. Evolutionary Implementation and Congestion Pricing // Review of Economic Studies. 2002. V. 69. P. 667-689.

99. Roughgarden Т., Tardos E. How bad is selfish routing? // Journal of the ACM. 2002. V. 49. №2. P. 236-259.