Модели распределения прибыли и налогообложения и их программная поддержка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Шидакова, Наталья Борисовна

• Шидакова, Наталья Борисовна
• кандидат экономических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Шидакова, Наталья Борисовна

ВВЕДЕНИЕ.

1. РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1. Многокритериальные задачи - основные понятия, этапы решения.

1.2. Аппарат линейного параметрического программирования, его программная реализация и возможности применения.

1.2.1. Параметр в целевой функции.

1.2.2. Параметр в ограничениях.

1.2.3. Л1111 на основе выпуклой комбинации векторов.

1.2.4. ЛПП на основе критериального конуса.

2. ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИБЫЛИ

2.1. Проблема оптимального распределения прибыли.

2.2. Постановка задачи и применение метода ЛПП к ее решению.

2.3. Программные расчеты, выводы.

3. ОПТИМИЗАЦИЯ ШКАЛЫ ПОДОХОДНОГО НАЛОГА.

3.1. Проблемы оптимизации системы налогообложения.

3.2. Постановка задачи.

3.3. Выбор «представителя».

3.4. Программные расчеты.

3.5. Получение различных шкал подоходного налога.

3.6. Гистограммное распределение.

3.7. Дополнительные условия на шкалу подоходного налога.

3.8. Другие подходы. Метод компромисса.

3.9. Расчет критериев без «представителей».

3.10. Показательное распределение доходов.

3.11. Двухступенчатая шкала и ее оптимизация.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели распределения прибыли и налогообложения и их программная поддержка»

На пороге третьего тысячелетия человечество, осознав возможности использования вычислительной техники и математики в решении как локальных, так и глобальных проблем во всех сферах жизнедеятельности, все больше и больше обращается к математическому исследованию и математическому моделированию различных процессов. Общепризнанно, что моделирование - один из наиболее эффективных методов познания. И справедливо утверждение, что «.развитие любой науки можно трактовать - в весьма общем, но вполне разумном смысле, - как «теоретическое моделирование»» [4].

Математическому моделированию экономических задач посвящено много работ, незначительная их часть приводится в приложенной к этой работе библиографии. Актуальность математического моделирования экономических задач подтверждается и тем фактом, что почти все нобелевские премии были присуждены работам, посвященным этой проблеме (например, в 1969 г. Я.Тинберген, Р.Фриш «Математические методы анализа экономики», в 1980 г. Л.Клейн «Экономические модели, политика и циклы», в 1994 г. Д.Неш, Д.Харсани, Р.Селтен «Теория игр в экономике»). Моделированию экономических задач посвящены книги Л.В.Канторовича [19], [20], М.Е.Салуквадзе [40], И.Бирмана [3], Э.М.Бравермана [5], К.Ланкастера [24], Дж.Бигеля [2], Н.И.Щедрина, А.Н.Кархова [48], А.А.Первозванского, Т.Н.Первозванской [39], и многие другие. В качестве учебных пособий по применению математического аппарата и использованию методов исследования качественных свойств решения оптимизационных задач экономической реальности можно назвать книги С.А.Ашманова [1], Е.С.Вентцель [6], Е.Г.Голыытейна, Д.Б.Юдина [9], С.Карлина [22], В.Г.Карманова [23], Р.Штойера [47], и ряд других авторов. В качестве популяризированных изданий по экономико-математическим методам можно назвать работы [43], [50].

И сегодня новые экономические отношения, финансовые операции в России, и создание эффективной системы налогообложения требуют тщательного математического анализа и исследования. Развивающееся частное предпринимательство, коммерческие банки, акционерные общества, которым необходимо уметь лавировать и эффективно работать в новых экономических отношениях, дают интереснейший материал для прикладного математического исследования. В частности, следует отметить вышедшую недавно книгу Жака С.В. «Математические модели менеджмента и маркетинга» [11], в которой изложены основные подходы к построению экономико-математических моделей, проведены вычислительные эксперименты, и имеется аннотация на комплекс прикладных программ, реализующих основные математические модели принятия решений предпринимателем, описанные в книге.

Создание адекватных экономико-математических моделей позволяет прогнозировать деятельность различных экономических структур, и тем самым эффективней планировать, принимать оптимальные решения. Опытная апробация модельных примеров может сэкономить время, трудовые и материальные ресурсы. Здесь нельзя не согласиться с Бирманом И., что "итог работы в этой области - в осознании возможности и абсолютной необходимости все большего расширения сферы использования в экономике количественных, математических методов, в осознании того, что экономические задачи надо решать не рассуждениями, а расчетом"[3]. Подтверждением тому является Постановление Правительства Российской Федерации «О финансировании прикладных экономических исследований»^], [38].

Развитие математического моделирования экономических задач, несомненно, вызвано и развитием компьютерной техники. Задачи оптимизации, как правило, имеют большую размерность (несмотря на то, что математическая модель всегда «беднее» реальной экономической системы), и поэтому требуют проведения огромного объема вычислений. Это сильно затрудняет вычисления вручную, и практически делает невозможным апробацию с различными данными. Решение многомерных задач на современных быстродействующих компьютерах не вызывает трудностей, и позволяет, не затрачивая дополнительного времени и трудовых затрат, проводить неограниченное число экспериментов с различными данными, и тем самым дает возможность проанализировать различные решения, сделать прогноз, и так далее. Следует отметить, что программирование различных прикладных задач, в свою очередь способствует развитию отдельных компонент компьютера, требуя то одно, то другое усовершенствование. Принцип открытой архитектуры современных компьютеров позволяет дополнять их различными устройствами.

С другой стороны расчет экономических задач на компьютере способствовал психологическим изменениям в сознании экономистов и хозяйственных руководителей, оценивших по достоинству возможности этих методов. Научная обоснованность и эффективность управления во многом зависит от степени использования экономико-математических моделей и методов их решений, и от степени использования в исследованиях вычислительной техники. Поэтому все последние публикации, посвященные проблемам экономико-математического моделирования, дополняются аннотациями на соответствующие комплексы программ (книга С.В.Жака [11],), или включают в себя тексты программ. Так книга японских авторов М.Кубонива, М.Табата, С.Табата, Ю.Хасэбэ [27] включает в себя не только описание математических моделей рыночной экономики, но и содержит пакет из 54 программ на Бейсике, реализующим эти модели. Недавно выпущен учебник «Экономическая информатика» [49], где рассматриваются основы компьютерных технологий, построения информационных систем, методы автоматизации экономических задач.

В существующем многообразии экономических процессов трудно подобрать даже два каких-либо экономических процесса, которые можно было бы полностью описать одной моделью, каждый процесс неповторим. И для того, чтобы компенсировать возникающую неполноту описания, и классифицировать задачи, в науке «исследование операций» в разделе «математическое программирование» разработано несколько типов моделей, каждый из которых отражает какую-то одну определенную сторону экономической действительности, с тем чтобы при решении конкретной задачи можно было бы подобрать лучшую для нее модель. По характеру используемых математических соотношений модели делятся на линейные, нелинейные, динамические, стохастические. Соответственно каждый класс моделей имеет свой метод решения.

Наиболее популярным (в силу большой размерности экономических задач) и широко проверенным на практике является линейное программирование. Практическое использование методов линейного программирования дало не плохие результаты в решении многих задач экономики. Следует отметить, что методы линейного программирования начали широко развиваться и применяться после опубликования работы Л.В.Канторовича [19]. В его работе [20] была сформулирована общая задача производственного планирования, которая была фактически первой линейной моделью экономического процесса. В качестве целевой функции рассматривалось составление оптимального производственного плана, при ограничениях - учет требуемого ассортимента продукции при определенной интенсивности применения соответствующих технологических способов. Эта задача и по сей день вызывает интерес исследователей. Также может рассматривается общая задача производственного планирования, где в качестве целевой функции рассматривается прибыль, которую дает совокупность некоторых технологических процессов, ограничения вводятся по ресурсам и по выпуску продукции. В работе [29] приводится ряд задач, к которым применяется линейное программирование и его модификации.

Но все эти задачи являются однокритериальными (нахождение экстремума функции на множестве допустимых решений) задачами линейного программирования. Выбор стратегий деятельности экономических систем (фирм, отраслей, акционерных обществ и т.п.), как правило, сводится к решению задач линейного программирования. Однако, очевидно, что в этих задачах нельзя ограничиться одним критерием (целевой функцией), а необходимо учитывать несколько критериев, требования которых - противоположны или, по крайней мере - разнонаправлены. Проблема оптимизации нескольких критериев возникла в связи с решением задач из сферы планирования и организации производства. Впервые это также было связано с работами Л.В.Канторовича, где выяснилось, что в общей задаче производственного планирования наряду с максимизацией прибыли (или минимизацией издержек) за счет выбора интенсивности используемых технологий (или способов производства) необходимо рассматривать максимизацию количества согласованных ассортиментных наборов производимых изделий.

С середины 50-х годов нынешнего столетия получила развитие теория оптимального управления (история развития этой теории подробно освещается у М.Е. Салуквадзе [40]). Одним из важнейших направлений в теории управления является развитие методов анализа качества процессов управления. Чтобы учесть все требования, необходимо исследовать некоторый вектор критериев качества. И здесь возникает проблема одновременной оптимизации совокупности критериев, каждый из которых оценивает определенное качество системы. Такие задачи называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Первоначально исследовались такие многокритериальные задачи, как оптимальное управление реактивным движением летательных аппаратов, например, исследован режим расходования реактивной массы, при котором те или иные характеристики движения становятся экстремальными. Естественно, что и в экономике возникают подобные многокритериальные задачи, которые заслуживают не менее пристального внимания.

В работе [40] рассматривается задача планирования в металлургическом производстве. Это двухкритериальная задача. Первый критерий -максимизация прибыли от продажи сплава, второй - минимизация пробега транспортных средств при доставке руды из расположенных в разных местах рудников. При ограничениях: 1) выплавка запланированного количества сплава; 2) заданная возможность завода в переработке руды; 3) расход электроэнергии в допустимых пределах; 4) требуемое процентное содержание необходимого компонента в сплаве.

Решение задачи заключалось в расчете каждого критерия отдельно на области допустимых решений. Затем составляется некоторая функция, связывающая значения обоих критериев в оптимальных для каждого критерия точках. Находились значения переменных минимизирующих эту функцию, что по сути и являлось оптимальным решением. Этот способ, конечно, недостаточно эффективен, не всегда составленная линейная связка критериев может отвечать искомому оптимальному решению.

В данной диссертационной работе предлагается более эффективный метод решения многокритериальных задач - это метод линейного параметрического программирования (ЛПП). Обоснование возможности его применения при решении многокритериальных задач приводится в первой главе. Также в первой главе кратко приводятся основные вычислительные процедуры аппарата ЛПП, доказывается связь множества Парето с решением задач линейного параметрического программирования, рассматриваются различные модификации метода ЛПП.

Во второй главе рассматривается многокритериальная задача из области менеджмента. Это двухкритериальная задача распределения прибыли на нескольких последовательных временных этапах между фондами накопления и фондами потребления. В качестве критериев м» тут рассматриваться приведенные суммы дивидендных выплат и ctoi хти акций (или фонды потребления и накопления). Задача с помощью с ильного преобразования приведена к линейному виду, что позволяв гнить структуру множества Парето и полностью описать его благодар вменению процедур линейного параметрического программирования. \

В третьей главе рассматривается многокритериальная задача формирования системы налогообложения - оптимизация шкалы подоходного налога. Это двухкритериальная задача: один критерий - налоговый сбор, второй - некоторая мера достатка населения. Критерии и ограничения имеют линейный вид, и поэтому здесь не требуется дополнительная линеаризация задачи. Решение этой задачи также осуществляется методом линейного параметрического программирования, что позволяет без перебора всех вершин находить вершины множества Парето и диапазоны изменения весов критериев, при которых эти вершины оптимальны.

Для решения задач методом линейного параметрического программирования разработана программа - Lpp.exe ( Приложение 7.1). Для разработки алгоритма некоторых вычислительных процедур программы использовались материалы [9], [13], [23], [28], [41], [42], [47], [51], [54]. Программа состоит из двух основных частей, которые при необходимости могут быть отделены друг от друга и функционировать самостоятельно. Первая часть программы Lpp.exe решает задачи линейного параметрического программирования, включая несколько модификаций метода (основные процедуры которых кратко изложены в 1-ой главе) : при параметре в целевой функции; при параметре в ограничениях; при параметре в целевой функции и в ограничениях (в столбце свободных членов В); при нескольких параметрах в целевой функции на основе критериального конуса. Вторая часть программы посвящена решению конкретных многокритериальных задач экономики на основе метода линейного параметрического программирования, она включает задачу динамического распределения прибыли и задачу оптимизации шкалы подоходного налога. Эта часть программного обеспечения может быть использована любым экономическим объектом (банком, фирмой, акционерным обществом, отдельным предпринимателем) и государственной налоговой службой. Программа выдает несколько альтернативных вариантов с конкретными значениями оптимизируемых критериев, и выбор какого-либо варианта остается за лицом, принимающим решения (ЛПР). О возможностях применения программы для решения многокритериальных задач докладывалось на II Всероссийском симпозиуме проводившемся в Кисловодском институте экономики и права [45].

Во второй и в третьей главе в экспериментальной части для программного расчета использовались статистические данные индексов потребительских цен (коэффициентов инфляции) за различные периоды времени предоставленные Государственным комитетом Карачаево-Черкесской республики по статистике, отчетные данные сбора подоходного налога с физических лиц (без грифа ДСП) предоставленные Государственной налоговой службой по Карачаево-Черкесской республике, а также некоторые данные бухгалтерской отчетности ряда предприятий и фирм, действующих на территории Карачаево-Черкесской республики, с личного разрешения руководителей.

Описание работы с программой Lpp.exe прилагается к диссертации (Приложение 7.1).

Данная диссертационная работа посвящена изложению основных вычислительных процедур линейного параметрического программирования, его связи с экономико-математическими моделями и с множеством Парето, моделированию многокритериальных задач экономики и их решению методом линейного параметрического программирования, разработке программного обеспечения, реализующего решение многокритериальных задач экономики, и широкого класса задач параметрического программирования.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Шидакова, Наталья Борисовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перед исследователями, как правило, встает проблема создания моделей, результаты которых можно использовать в реальной экономической жизни, что зачастую не всегда удается в силу многофакторности реальной действительности. Зачастую, несмотря на то, что с точки зрения математической постановки и выбранного метода решения модель верна и дает точные результаты, такие результаты не всегда можно использовать, в силу их противоречия с реальностью. И несмотря на редакции Постановления Правительства Российской Федерации «О финансировании прикладных экономических исследований» [37] (с момента принятия от 20.02.1995 и последней редакцией от 06.01.97 [38] процент ассигнований на выполнение прикладных экономических исследований вырос с 0.2 до 0.5) о рентабельности использования математических методов в экономике говорить рано.

В этой работе реализованы такие модели экономических процессов, результаты которых могут быть использованы непосредственно на практике отдельным экономическим объектом или государственной налоговой службой. Это модель динамического распределения прибыли и модель оптимизации подоходного налога, являющимися линейными многокритериальными задачами экономики. Проведенный анализ связи между линейным параметрическим программированием и решением линейных многокритериальных задач, позволили разработать эффективный алгоритм для решения линейных многокритериальных задач экономики. Согласно этому алгоритму создано программное обеспечение, что делает расчет быстрым и позволяет анализировать различные возможные ситуации. Следует заметить, что один из решающих факторов успешного исследования экономико-математических моделей - это использование программирования. Программные расчеты занимают одно из центральных мест в работе.

Возможно применение созданного программного обеспечения Lpp.exe и к другим процессам, которые могут быть описаны в виде (1.2). То есть создан удобный, экономичный аппарат, для решения линейных многокритериальных задач.

Кропотливая работа при практической апробации моделей достаточно сложных экономических процессов с использованием достоверных сведений, дала неплохие результаты, характеризующие высокую степень адекватности математических моделей. Теоретической и методологической базой исследования явились не только методы математического моделирования, но и нормативные, законодательные акты РФ (закон о Подоходном налоге [7] - изменения и дополнения [32], закон об акционерных обществах [31] ), труды отечественных и зарубежных авторов по исследованию аппарата линейного параметрического программирования [9], [47], [54], [55], статистические данные Государственного комитета статистики (приложение 7.3), периодические экономические издания, газеты, отчетность налоговых служб (без грифа ДСП), новый план счетов бухгалтерского учета по состоянию на 5 ноября 1996 г[30].

Предложенные методологические подходы могут быть применены при исследованиях различных линейных многокритериальных задач экономики. Программные результаты модели динамического распределения прибыли могут быть применены в практической деятельности предприятий и фирм, акционерных обществ. Программные результаты модели оптимизации шкалы подоходного налога могут быть использованы Государственной налоговой службой для расчета различных шкал подоходного налога, а также статистическими службами для анализа среднего достатка различных слоев населения.

Представляется также возможным использование созданного программного обеспечения в качестве учебного пособия при изучении линейного параметрического программирования. Тем более, что в наиболее распространенных оптимизационных пакетах прикладных программ до сих пор не встречались подобные программные разработки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Шидакова, Наталья Борисовна, 1998 год

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984. -294с.

2. Бигель Дж. Управление производством. Количественный подход. М.: Мир, 1973. -304с.

3. Бирман И. Оптимальное программирование. М.:Экономика, 1968. -232 с.

4. Бирюков Б.В., Гастев Ю.А., Геллер Е.С. Моделирование. В кн. : БЭС. 3-е изд., 1974, т. 16, с. 395.

5. Браверман Э.М. Математические модели планирования и управления в экономических системах. М.: Наука, 1976. - 366 с.

6. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972 . -552 с.

7. Все о подоходном налоге // приложение к журналу «Налоговый вестник». -1997.-352 с.

8. Гражданский кодекс Российской Федерации. М.: Спарк, 1996. - 424 с.

9. Голыитейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. М.: Советское радио, 1966. - 524с.

10. Гусаков С.В., Жак С.В. Оптимальные равновесные цены и точка Лаффе ра. Экономика и математические методы. М.,том 31, вып. 4, 1995, с. 131138.

11. Жак С.В. Математические модели менеджмента и маркетинга. Ростов-на-Дону: ЛаПО, 1997. - 320 с.

12. Жак С.В. Стоимость акций и дивиденды // Экономика и математические методы. Т.32, в.2, с. 176-179.

13. Жак С.В., Литвер Е.Л. О некоторых вопросах параметрического линейного программирования //В книге: Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. Ростов-на-Дону: издательство Ростовского госуниверситета, 1965, с.8-22.

14. Жак С.В., Шидакова Н.Б. Оптимизация шкалы подоходного налога / РГУ. Ростов-на-Дону, 1997. - 10 с. -Деп. в ВИНИТИ 28.11.97, № 3479-В97.

15. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы.-М.: Просвещение, 1990. 174с.

16. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997. - 366 с.

17. Исследование операций и принятие решений / Перепелица В.А., Касаев А.Д., Попова Е.В., Салпагарова А.А., Темирбулатов П.И. Метод, пособие. -Черкесск, 1996. 36 с. - (Карачаево-Черкесский технологический институт: ч.2.).

18. Канторович Л.В. Математические методы в организации и планировании производства. Ленинград: ЛГУ, 1939.

19. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: АН СССР, 1960. - 344 с.

20. Карабегов В-К.И. Об одной параметрической задаче линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - №4.

21. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. - 840 с.

22. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980. -256 с.

23. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио. 1972. -464 с.

24. Лившиц З.А.,Рабинович В.И.,Савенков М.В. Численные методы решения задачи оптимального квантования // Автометрия. 1970, - № 3, - с.3-13.

25. Математическая статистика / Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А., Решетникова И.О. М.: Высшая школа, 1981. - 368 с.

26. Математическая экономика на персональном компьютере / Кубонива М., Табата М., Табата С., Хасэбэ Ю. М.: Финансы и статистика, 1991.-304 с.

27. Мермельштейн Г.Г. Недетерминированные модели I. Метод, указания. -Ростов-на-Дону, 1985. 24 с. - (Ростовский государственный университет).

28. Методы оптимизации в организации и нормировании труда // Научно-исследовательский институт труда Государственного комитета Совета Министров СССР по вопросам труда и заработной платы. М. НИИ труда, 1971.

29. Новый план счетов бухгалтерского учета по состоянию на 5 ноября 1996 г. М.: ИНФА-М, 1996. - 190 с.

30. Об акционерных обществах. Федеральный закон от 26.12.95 № 208-ФЗ // в ред. Федерального закона от 13.06.96 № 65-ФЗ.

31. О внесении изменений и дополнений в закон Российской Федерации «О подоходном налоге с физических лиц». Федеральный закон от 31.12.97 № 159-ФЗ.

32. О мерах по совершенствованию структуры администрации Президента Российской Федерации. Указ Президента РФ от 12.02.98 №162.

33. О мерах по обеспечению экономии государственных расходов. Указ Президента РФ от 26.05.98 № 579.

34. О порядке исчисления и увеличения государственных пенсий. Федеральный закон от 21.07.97 № 113 ФЗ.

35. О финансировании прикладных экономических исследований. Постановление Правительства РФ от 20.02.95 № 153.

36. О финансировании прикладных экономических исследований. Постановление Правительства РФ от 20.02.95 № 153 // ред. от 06.01.97.

37. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок. Расчет и риск. М., 1994. 268 с.

38. Салуквадзе М.Е. Задачи векторной оптимизации в теории управления. Тбилиси: Мецниереба, 1975 г. 202 с.

39. Сантылова Л.И. Оптимальное квантование шкал измерительных приборов. // Труды У зимней школы по математическому программированию и смежным вопросам. М.,1973, вып.2, с. 166-177.

40. Сантылова Л.И., Землянухина JI.H. Методы оптимизации для студентов механико-математического факультета дневного и вечернего отделения. Метод, указания. Ростов-на-Дону: РГУ, 1998. - 36 с.

41. Трофимов В.П. Логическая структура статистических моделей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 192 с.

42. Шидакова Н.Б. Решение многокритериальных задач экономики // Экономика и право стратегии 3000: Тез. докл. Международного научного симпозиума. - Кисловодск: КИЭП, 1996. - с. 62-63.

43. Шидакова Н.Б. Решение некоторых многокритериальных задач менеджмента / КЧГПУ. Карачаевск, 1995. - 14 с. - Деп. В ВИНИТИ 18.09.95, № 2605-В95.

44. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

45. Щедрин Н.И., Кархов А.Н. Математические методы программирования в экономике. М.: Статистика, 1974. - 142с.

46. Экономическая информатика / Под. ред. В.В.Евдокимова. Санкт-Петербург, СПб.: Питер, 1997. - 592 с.

47. Экономико-математические методы и модели для руководителя / Авду-лов П.В., Гойзман Э.И., Кутузов В.А. М.: Экономика, 1984. - 232 с.

48. Юдин Д.Б., Голыитейн Е.Г. Линейное программирование . Теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969. - 420с.

49. Gass S.I., Saaty T.L. Parametric Objective Function, Part II, Generalization. Journal of the Operation Reseach Sosiety of America, 1956, v.3.

50. Gass S.I., Saaty T.L. The Computational algorithm for the parametric objective function. Nav. Res. Logist. Quart., v.2, 1955.

51. Kausman U., Lommatseh K., Nozicka F. Lineare parametrischen Optimier-rung. Akademie-Verlag. Berlin 1976

52. Theorie der linearen parametrischen Optimierung / Nozicka F., Guddat J., Hollatz H., Bank В. Akademie-Verlag. Berlin 1974. 301.