Математические модели построения налоговых шкал тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Ишханова, Марина Владимировна

• Ишханова, Марина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ишханова, Марина Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ШКАЛЫ СРЕДНИХ СТАВОК НАЛОГА

§1.1. Класс допустимых налоговых шкал

§ 1.2. Функция распределения доходов и задача об определении суммы налога

§ 1.3. Теоретико-игровая модель выбора шкалы средних ставок налога

§ 1.4. Вспомогательная задача оптимального управления: условие допустимости

§1.5. Решение вспомогательной задачи оптимального управления

§ 1.6. Исследование теоретико-игровой модели

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ШКАЛЫ МАРГИНАЛЬНЫХ СТАВОК НАЛОГА ПО НАЙДЕННОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ШКАЛЕ

§ 2.1. Теорема о наилучшем приближении

§ 2.2. Основные ограничения на выбор шкалы маргинальных ставок налога

§ 2.3. Восстановление таблицы налогов по оптимальной модельной шкале

§ 2.4. Генератор оптимальных налоговых шкал

ГЛАВА 3. МОДИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ ВЫБОРА ШКАЛ ДЛЯ РЕГРЕССИВНЫХ И ДРУГИХ ВИДОВ НАЛОГОВ

§ 3.1. Шкала ставок регрессивного подоходного налога

§ 3.2. Прогрессивная шкала налога на прибыль, исчисляемого в зависимости от рентабельности

§ 3.3. Регрессивная шкала налога на прибыль, исчисляемого в зависимости от рентабельности

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

105

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели построения налоговых шкал»

ВВЕДЕНИЕ

Использование математических моделей и методов для изучения проблем налогообложения имеет вековую историю, восходящую к работам Эджворта, Саджвика, Хоттелинга. Хотя первые исследования по теории оптимального налогообложения появились в конце прошлого века, первую аналитическую формулировку и решение задачи оптимального налогообложения предложил Ф. Рамсей в 1927 году [65]. Эта работа и работы его последователей, А. Пигу [64], Р. Липсея и К. Ланкастера [60] послужили толчком к появлению в 70-е годы работ А. Лернера [59], А. Диксита [50], П. Даймонда и Дж. Миррлиза [49] и созданию так называемой теории оптимального налогообложения. Именно Джеймс Миррлиз считается основоположником современной теории оптимального налогообложения. В своей статье [61} он обобщил и расширил формулировку Ф. Рамсея и предложил математическую модель, которая стала основой дальнейших исследований в этой области.

Вопрос об оптимизации подоходного налога занимает особое место в теории налогообложения, т.к. именно подоходный налог составляет основу налоговой системы большинства стран Европы и США. Так, федеральное правительство Соединенных Штатов получает половину своих поступлений из этого источника [35], в Израиле на долю подоходного налога также приходится 50% [38], в ФРГ (1993 г.) — 39 % [10], в России в 1987 году поступления от подоходного налога составляли всего лишь 8,2 % [11].

В формулировке модели Миррлиза для подоходного налога целью правительства является максимизация некоторой меры социального благосостояния, которая является функцией уровня благосостояния каждого хозяйства. Задача правительства — выбрать налоговую шкалу (налоговые обязательства для каждого уровня дохода) так, чтобы собрать некоторое заданное количество общих поступлений.

Модель Миррлиза для оптимального подоходного налогообложения имеет следующий вид [62]:

Ж (?(•), ><-))->тах (1)

при ограничениях У/г е [0,+оо) (2)

+00 / +00 ^

о 4 0.

/+со N V О

(3)

(4)

где к — характеризующий индивидуумов непрерывный параметр, плотность распределения которого есть функция /(к),

<•) - функция налоговых обязательств (ф) — величина налоговых обязательств в денежном выражении при доходе г ),

Я') '— функция предложения труда (у{к) — объем труда в часах за год, предлагаемый потребителем к), м! — почасовая ставка заработной платы,

— функция общественного благосостояния, определяемая формулой

+00 о

и(х,у, к) — функция полезности потребителя к (х — его потребление в денежном выражении и х-м)у- фцу)). Множество Ш)) определяется, как

у^ЫХ

при этом

Необычность поставленной задачи состоит в том, что индивидуумы изменяют свое поведение в зависимости от налоговой системы, с которой они сталкиваются, в частности, они выбирают сколько предлагать труда или сколько лет потратить на образование (например, [69]).

В этой модели присутствуют три критических элемента: функция общественного благосостояния, распределение способностей и функция поведенческой реакции.

Функция общественного благосостояния заключает в себе общественную оценку результата равенства и справедливости, причем экономисты обычно используют две особые функции общественного благосостояния [1]. Первая из них — утилитаристская — полагает общественное благосостояние равным сумме полезностей всех индивидуумов, вторая — ролсианская функция общественного благосостояния — определяется полезностью наименее обеспеченного индивидуума.

Распределение способностей определяет распределение благосостояния при отсутствии системы налогообложения. Считая, что изначально распределение способностей является неравным, правительство может использовать налоговую систему для перераспределения имеющихся ресурсов от более способных к менее способным.

Функция поведенческой реакции предоставляет информацию о затратах перераспределяющей налоговой системы. Чем сильнее ответная реакция предложения труда на высокие налоговые ставки, тем больше затраты на доллар собранных поступлений.

Миррлиз первый исследовал наиболее общий вопрос: что характеризует оптимальную систему подоходного налога как некоторое множество предположений о функции общественного благосостояния, распределении способностей и функции поведенческой реакции? Он делает вывод, что только очень слабые условия характеризуют оптимальную налоговую структуру в общем случае:

маргинальная налоговая шкала для любого уровня дохода лежит между нулем и 100 процентами и что в большинстве интересных случаев некоторая часть населения предпочтет вообще не работать. Написанная вскоре после Миррлиза статья Е. Садка [66] предлагает наиболее поразительные и спорные общие результаты, которые затем логично объясняют Н. Стерн [72] и Дж. Сид [68]: маргинальная налоговая ставка в наивысшей точке шкалы дохода должна быть равна нулю.

Ясно, что эти требования представляют недостаточно конкретное руководство в построении налоговой шкалы. Понимая это, Миррлиз и его последователи в качестве подхода предлагают сделать особые предположения о функции общественного благосостояния, распределении способностей и функции поведенческой реакции, а также в некоторых случаях ограничить класс систем подоходного налога (обычно до линейных или пропорциональных шкал) и тогда численно рассчитать параметры оптимальных систем подоходного налога.

Сам Миррлиз постулировал простую утилитаристскую функцию общественного благосостояния, логнормальную функцию распределения способностей и равные функции полезности индивидуумов типа функции Кобба-Дугласа для товаров и свободного времени. При этих предположениях он вычислил, что оптимальная налоговая структура близка к линейной, т.е. характеризуется постоянной маргинальной налоговой ставкой. Более того, она характеризуется достаточно низкими маргинальными налоговыми ставками, обычно между двадцатью и тридцатью процентами. Заметим, что хотя маргинальная налоговая ставка примерно постоянна, средняя ставка налога (налоговое обязательство поделенное на доход) возрастает вместе с доходом.

Последующие работы исследовали чувствительность оптимальной налоговой системы к параметрам этой модели. Э. Аткинсон (1973) изучил эффект увеличения эгалитаризма в функции общественного благосостояния [47]. Ник Стерн из Лондонской экономической школы рассчитал оптимальную линейную налоговую ставку [72]. Согласно своей модели, он нашел, что при утилитарист-

ской функции благосостояния оптимальная линейная налоговая ставка — 19%, а при ролсианской функции благосостояния, когда беспокоятся только о беднейшем индивидууме, — 80%.

В дальнейшем исследования в области оптимального подоходного налогообложения шли по пути введения некоторых изменений в теоретическую структуру модели Миррлиза. Одним из естественных дополнений является введение неопределенности в эту модель [48, 71]. Другое важное дополнение — это введение эндогенных относительных ставок заработной платы, что исследовали М. Фельдстайн [52], Ф. Аллен [46], Дж. Стиглиц [73]. Важным направлением теории оптимального налогообложения является попытка ответить на вопрос, как принятие долгосрочной перспективы изменит результаты, полученные ранее, т.е. исходная задача рассматривается в долгосрочной перспективе.

Из основных положений теории оптимального налогообложения, касающихся подоходного налога и кратко описанных здесь, к сожалению, можно сделать лишь очень ограниченные выводы [70]. Главная, на наш взгляд, проблема, состоящая в определении величины ставок налога и диапазонов их действия, остается открытой в силу невозможности достоверного математического описания основных элементов модели, таких как, например, функция полезности или распределение возможностей. Только для простейших типов налоговых шкал, таких как линейные или пропорциональные шкалы, проводились численные расчеты. В то же время на практике обычно используются более сложные прогрессивные налоговые шкалы.

В России в современных условиях, когда вопрос о реформировании системы налогообложения стоит особенно остро, стали появляться теоретические работы о выборе оптимальной шкалы подоходного налога. Авторы многочисленных работ, посвященных отечественной налоговой системе, как правило, критикуют действующие нормативные акты и говорят о необходимости ее реформирования. Однако большинство этих работ либо следует уже ставшей классической теории Дж. Миррлиза, а значит, результаты этих работ имеют ка-

чественный, а не количественный характер, либо в рамках логики этой теории предлагают свои, подчас искусственные, критерии оптимизации. Например, в работе [12] предлагается в качестве критерия оптимизации использовать некоторую меру достатка населения, а кроме того, не учитывается тот факт, что функция распределения дохода, вообще говоря, зависит от налоговой шкалы. В работе [10] расчет оптимальной ставки налога строится на сомнительном предположении, что ежегодный прирост доходов предпринимателя постоянен.

В диссертационной работе предлагается новый подход к построению маргинальной налоговой шкалы, т.е. вычислению маргинальных ставок налога и диапазонов их действия.

Цель работы состоит в построении и исследовании математических моделей, позволяющих выбирать налоговые шкалы.

Первая из них представляет собой теоретико-игровую модель выбора идеальной шкалы средних ставок налога, которая является модификацией и развитием известной вариационной модели выбора налоговых шкал С. В. Чистякова и Р. О. Смирнова [32, 33, 34]. По сравнению с упомянутой вариационной моделью предлагаемая в диссертации теоретико-игровая модель более адекватно отражает сущность экономической задачи выбора налоговой шкалы, а кроме того, в рамках этой модели преодолено избыточное предположение о дифференцируемое™ функции распределения доходов, которая является одним из основных элементов обеих моделей.

В предложенных теоретико-игровых моделях первый игрок ("сборщик налогов") выбирает налоговую шкалу с целью максимизации поступлений в бюджет, а второй игрок ("агрегированный налогоплательщик") выбирает функцию распределения доходов и максимизирует свою функцию полезности. При этом рассматриваются несколько возможных способов определения этой функции. Поскольку конечной целью работы является разработка методов построения налоговых шкал, то решение соответствующих игр ищется только за первого игрока. Примечательным обстоятельством является то, что любая из рассматри-

ваемых моделей позволяет определить одну и ту же оптимальную налоговую шкалу.

Для прогрессивного подоходного налога оптимальная модельная шкала средних ставок налога строится в первой главе.

Поскольку не всякая модельная шкала средних ставок налога имеет табличное представление, то возникает задача о восстановлении таблицы налога по оптимальной модельной шкале средних ставок налога. Естественным методом восстановления таблицы налогов (т.е. маргинальных ставок налога) является решение задачи о наилучшем приближении оптимальной модельной шкалы средних ставок налога функциями, допускающими необходимое табличное представление (эти функции относятся к классу кусочно-дробно-линейных). Соответствующая задача о наилучшем приближении для прогрессивного подоходного налога описывается и исследуется во второй главе.

В третьей главе строятся модели выбора некоторых специальных налоговых шкал, в том числе модели выбора регрессивной шкалы подоходного налога, а также прогрессивной и регрессивной шкалы налога на прибыль, исчисляемые в зависимости от рентабельности.

На основе предложенной системы моделей разработана компьютерная программа расчета ставок налога по относительно небольшому числу экзогенно заданных параметров, таких как минимальная и максимальная ставки налога, минимальная и максимальная эластичность и другие.

Научная новизна. Предложен подход к построению шкалы ставок налога на основе системы, состоящей из двух математических моделей. Первая из них представляет собой теоретико-игровую модель построения идеальной шкалы средних ставок налога, а вторая — оптимизационную модель построения шкалы маргинальных ставок налога по найденной идеальной шкале. Данный подход исследуется впервые. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов состоит разработке научно-обоснованных методов выбора ставок налога и диапазонов их действия. Работа является законченным исследованием, на основе которого разработаны алгоритм и компьютерная программа для поддержки принятия решения по выбору или корректировке налоговых ставок.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в работе, докладывались на международной конференции «Game Theory and Economics» (Санкт-Петербург, 1996), на Международном научном конгрессе «Народы содружества независимых государств накануне третьего тысячелетия» (Санкт-Петербург, 1996), на XXV научной конференции факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 1999), на городском семинаре по теории игр под руководством проф. JI.A. Петросяна (Санкт-Петербург), на семинаре в отделе математического моделирования конфликтных ситуаций ВЦ РАН под руководством проф. А.Ф. Кононенко (Москва, 1999), а также на семинарах кафедры математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Диссертация выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и проводилась по проекту № 98-01-01056.

Публикации. Результаты диссертации нашли отражение в работах [15, 16, 17, 18, 44, 56, 57], приводимых в списке использованной литературы в конце диссертационной работы.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы, а также приложения.

Параграфы каждой из глав имеют свою нумерацию, при этом первая цифра означает номер главы, а вторая номер параграфа. Нумерация утверждений и формул состоит из трех чисел, первые две из которых совпадают с соответствующими номерами главы и параграфа.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Ишханова, Марина Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения, выносимые на защиту, состоят в следующем: построена и исследована теоретико-игровая модель выбора оптимальной модельной шкалы средних ставок прогрессивного подоходного налога; построена и исследована оптимизационная модель восстановления маргинальной шкалы ставок прогрессивного подоходного налога по оптимальной модельной шкале средних ставок налога; предложен алгоритм и разработана компьютерная программа "Генератор оптимальных налоговых шкал" (ГОНШ) для расчета налоговых шкал в интерактивном режиме; описаны и исследованы теоретико-игровые модели построения некоторых специальных налоговых шкал таких как регрессивный подоходный налог, а также прогрессивный и регрессивный налоги на прибыль в зависимости от рентабельности.

В связи с тем, что современная теория оптимального налогообложения не дает ответа на вопрос о том, какими должны быть маргинальные ставки и диапазоны их изменений, предложенный в диссертации подход имеет то преимущество, что позволяет вычислить эти величины в соответствии с шестью экзо-генно заданными экономическими параметрами. Эти параметры представляют собой минимальную и максимальную налоговые ставки, минимальное и максимальное значение эластичности шкалы, а также размеры дохода^ с которого начинается и которым заканчивается интервал прогрессивности (регрессивности).

В работе не предлагается рекомендаций по выбору указанных параметров, и в этом смысле предложенная система является незамкнутой, поэтому разработка методов, позволяющих связать эти параметры с экономикой страны, представляется одним из направлений развития описанного подхода.

Еще одним возможным расширением этого подхода является описание некоторых других интересов "сборщика налогов". В основу модели можно, например, положить не фискальную, а перераспределительную функцию налогов. При этом для описания функции выигрыша "сборщика налогов" можно использовать кривую Лоренса.

Кроме того, интересные математические проблемы (например, негладкая задача конечномерной оптимизации) возникают при решении задачи о наилучшем приближении с использованием других метрик.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ишханова, Марина Владимировна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аткинсон Э.Б., Стиглиц Дж.Э. Лекции по экономической теории государственного сектора: Учебник — М.: Аспект Пресс, 1995. — 832 с.

2. Ашманов С.А. Линейное программирование.—М.: Наука, 1981. — 340 с.

3. Ашманов С.А., Тимохов A.B. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. — М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1991. — 448 с.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 552 с.

5. Вопросы кибернетики — М. 1987. —Вып. 131 : Проблемы сокращения перебора. — 194 с.

6. Воробьев H.H., Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985, —272 с.

7. Гери М., Джонсон Д., Вычислительные машины и труднорешаемые задачи,—М.: Мир. 1982,— 416 с.

8. Гермеер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.: Наука, 1976.

9. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации. — М: Мир, 1977

10. Глухов В.В., Дольде И.В. Налоги : Теория и практика. — СПб.: Изд-во "Специальная Литература", 1996. — 284 с.

11. Грачев М.С., Погорлецкий А.И. Изменение системы прогрессивного индивидуального подоходного налога: опыт России и Германии// Вестник СПб ун-та, 1997, сер.5, вып. 2, N 12, с. 51-57

12. Жак C.B. Математические модели менеджмента и маркетинга. — Ростов-на-Дону: ЛаПО, 1997. — 320 с.

13. Зангвил У.И. Нелинейное программирование: Единый подход: Пер.с англ. — М.: Сов. радио, 1973. — 312 с.

14. Инструкция № 35 по применению закона Российской Федерации о подоходном налоге с физических лиц с изменениями и дополнениями. — М.: Изд-во "Ось-89", 1995, —96 с.

15. Ишханова М.В. Об одной задаче приближения в теории налогов// Вестн. ХГУ им. Н.Ф. Катанова, Сер.8. 1999. Вып. 1. Абакан, с. 9-12.

16. Ишханова М.В. Математическая модель построения маргинальной шкалы подоходного налога. СПб, 1998. Деп. в ВИНИТИ 24.04.98, № 1319 В 98.

17. Ишханова М.В., Чистяков C.B., О некоторых проблемах в теории налогов. // Тез. докл. Конгресс "Народы содружества независимых государств накануне третьего тысячелетия: реалии и перспективы". — СПб.,1996 — Том 2. — С. 55-56

18. Ишханова М.В., Чистяков C.B. Об одной математической модели выбора налоговой шкалы, СПб, 1997. Деп. в ВИНИТИ 11.08.97, № 2658 В 97

19. Киперман Г. Я. Тимофеева О.Ф., Налоги в рыночной экономике. — М.: Финансы и статистика, 1993. — 64 с.

20. Львов Ю.А. Основы экономики и организации бизнеса. — СПб.: ГМП "Формика", 1992. — 383 с.

21. Льюис Р.Д., Райфа X. Игры и решения. — М.: ИЛ , 1961. — 642 с.

22. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. — М.: Физматгиз, 1960. — 420 с.

23. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. — М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1990 — 488 с.

24. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М.: Мир, 1985. —200 с.

25. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. — 709 с.

26. Оуэн Г. Теория игр. — М.:Мир, 1971. — 232 с.

27. Пепеляев С.Г. Подоходный налог — принципы и структура. — М.: Аудиторская фирма "Контакт", 1993. — 88 с.

28. Петросян JI.A., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: высш. шк., 1998. — 304 с.

29. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.:Наука, 1969. — 392 с.

30. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М., Численные методы в экстремальных задачах. — М.: Наука., 1979.

31. Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 319 с.

32. Смирнов P.O., Чистяков C.B. К вопросу об определении налоговой политики при размещении государственных заказов // Вестн. ЛГУ, Сер.5. 1990. Вып. 3. С. 131-132.

33. Смирнов P.O., Чистяков C.B. О расчете ставок налога на прибыль при размещении госзаказов // Вестн. ЛГУ, Серия Экономика. — Л., 1991. 12 с. — Деп. в ИНИОН АН СССР 08.04.91, № 44301

34. Смирнов P.O., Чистяков C.B. О ставках налогообложения как инструменте государственного регулирования // Экономика и мат. методы. 1993. Т.29. Вып.2. С. 268-274.

35. Стиглиц Дж. Ю. Экономика государственного сектора. — М.: Изд-во МГУ: ИНФРА-М, 1997. — 720 с.

36. Супырин С.Ф. Погорлецкий А.И. Налоги и налоговое планирование в мировой экономике. — СПб: Изд-во Полиус, 1998. — 577 с.

37. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров. Курс методов оптимизации. — М.: Наука. 1986

38. Телятников Н.Б. Налогообложение в Израиле//Финансы № 4, 1998. — С. 29-30

39. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

40. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I — СПб: Изд-во "Лань", 1997. — 608 с.

41. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975.

42. Ху Т. Нелинейное программирование и потоки в сетях. — М.: Мир, 1974. — 519 с.

43. Черников С.Н. Линейные неравенства. — М.: Наука, 1968. — 488 с.

44. Чистяков С.В., Ишханова М.В. Математические модели выбора налоговых шкал: Учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. — 52 с.

45. Юткина Т.Ф. Налоги и налогообложение. — М: Инфра, 1998. — 429 с.

46. Allen F. Optimal Linear Income Taxation with General Equilibrium Effects on Wages // Journal of Public Economics. 17 (1982): 135-43.

47. Atkinson A.B., Stiglitz J.F. The Design of Tax Structures // Journal of Public Economics. 6 (1976): 55-75

48. Cremer H., Gahvari F. Uncertainty and optimal taxation: In defense of commodity taxes// Journal of Public Economics 56,291-310,1995

49. Diamond P., Mirrlees J. Optimal Taxation and Public Production, I: Production Efficiency and II: Tax Rules // American Economic Review. 61 (1971): 8-27 and 261-78

50. Dixit A., Welfare effects of tax and price changes// Journal of Public Economics 4, 1975, 103-124

51. Eichhorn W., H.Funke, W.F.Richter. Tax progression and inequality of income distribution //Journal of Mathematical Economics 13,127-131,1984

52. Feldstain M., On the Optimal Progressivity of the Income Tax// Journal of Public Economics 2, 357-376, 1973

53. Fellman J., The effects of transformations on Lorenz curves // Econometrica 44, 823-824,1976,

54. Helpman E. and Sadka E., The optimal income tax, some comparative statics results // Journal of Public Economics 9, 383-93, 1978

55. Hotelling H. Edgeworth's Taxation Paradox and the Nature of Demand and Supply Functions// The Journal of Political Economy Vol. 40. N 5. 577-616. 1932.

56. Ichkhanova M. Optimization Methods in Problem of Marginal Tax Schedule Building//TpyAbi XI Международной Байкальской школы-семинара, Иркутск, том 3, 87-90, 1998.

57. Ichkhanova M.,Chistyakov S., Game Theoretic Model of Income Tax Schedule// Труды XI Международной Байкальской школы-семинара, Иркутск, том 3, 188-191,1998.

58. Jakobsson U, On the measurement of degree of progression // Journal of Public Economics 5, 161-168, 1976

59. Lerner A., On optimal taxes with an untaxable sector// American Economic Review 60, 1970, 284-294

60. Lipsey R., Lancaster K., The general theory of second best// Review of Economic Studies 24, 11-32, 1953-57

61. Mirrlees J. A. An Exploration in the Theory of Optimum Income Taxation // Review of Ecomonic Studies. 38 (1971): 175-208

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

Mirrlees J. A. The Theory of Optimal Taxation. Handbook of Mathematical Economics, vol.in, edited by K.J.Arrow and M.D. Intriligator 1986, North-Holland.

Persson M., The distribution of abilities and the progressive income tax // Journal of Public Economics, 22, 73-88,1983

Pigou A., A Study in Public Finance, 3rd ed. London: Macmillan; 1st ed. (1928)

Ramsey F.A. Contribution to the Theory of Taxation // Economic Journal 37(1927) 47-61

Sadka E. On Income Distribution, Incentive Effects, and Optimal Income Taxation// Review of Ecomomic Studies 9, 261-268, 1976

Sandmo A. Optimal Taxation - An Introduction to the Literature // Journal of Public Economics 6, 37-54,1976

Seade J., On the Shape of Optimal Tax Schedules// Journal of Public Economics 7, 1977, 203-236

Sheshinski E.,The optimal linear income tax // Review of Ecomomic Studies 38, 179-208,1972

Slemrod J. Do we know how progressive the Income Tax System Should be? // National Tax Journal 36, 361-70,1983

Smith W. Taxes, uncertainty, and long-term growth// European Economic Review 40, 1647-1664, 1996

Stern N.H. On the Specification of Models of Optimum Income Taxation // Journal of Public Economics. 6 (1976): 123-62

Stiglitz J.E. Self-Selection and Pareto-Efficient Taxation // Journal of Public Economics. 17 (1982): 213-40

Young P., Equal sacrifice and progressive taxation // American Economic review 80, 253-266, 1990

Your Federal Income Tax. Publication 17.1RS, 1990.