Модификация алгоритма бокса и специфика его применения в нелинейных задачах оптимизации экономических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Чернигина, Елена Аркадьевна

• Чернигина, Елена Аркадьевна
• кандидат экономических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Чернигина, Елена Аркадьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1 Экономико-математические модели на службе АПК

1.2 Экономические предпосылки задач оптимизации и методы их решения

1.3 Применение методов многокритериальной оптимизации для решения агроэкономических задач

1.4 Нелинейная динамика в экономике сельского хозяйства

2 РАЗРАБОТКА МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА БОКСА И АСПЕКТЫ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ

2.1 Симплексный алгоритм и методы прямого поиска

2.2 Комплексный метод Бокса и его модификация

2.3 Программный модуль «Устойчивое решение»

2.3.1 Функциональное назначение программы, область применения и ее

ограничения

2.3.2 Техническое описание программы

2.4 Алгоритм работы модифицированного метода Бокса

2.4.1 Типы ограничений

2.4.2 Принудительный ввод точек в допустимую зону

2.4.3 Процедура отражения

3 ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА БОКСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРЕДПРИЯТИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА

3.1 Анализ результатов решения при линейном и нелинейном функционале

3.2 Решение задачи многокритериальной оптимизации на основе разработанного метода

3.3 Анализ чувствительности целевой функции

3.4 Нивелирование проблемы зацикливания и отказа от продолжения поиска у MS Excel

ВЫВОДЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЯ

144

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модификация алгоритма бокса и специфика его применения в нелинейных задачах оптимизации экономических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования.

Современное развитие экономики выявило неадекватность построения экономико-математических моделей, основанных исключительно на линейных зависимостях между производственно-экономическими показателями. Признание нелинейности в экономике потребовало от разработчиков применения новых принципов построения моделей, отвечающих насущным потребностям экономических субъектов. Актуальной стала потребность в моделях, способных одинаково эффективно работать с критериями оптимальности различной природы - линейными, нелинейными, совокупностями критериев, что существенно расширило бы возможности решения реальных экономических задач, особенно в аграрном секторе экономики. Примеров подобного рода особенно много в аграрной отрасли, для которой характерно наличие стохастичности в исходных данных (урожайность, цены на факторы производства и производимую продукцию) и, следовательно, актуальна потребность в инструментах быстрого реагирования на изменение условий хозяйствования. Возможность решения экономико-математической модели относительно различных альтернативных критериев оптимальности — максимум прибыли, минимум производственных затрат, максимум рентабельности и т.д., представляется эффективным механизмом адаптации предприятия к нестабильной экономической среде.

Наличие широкого набора факторов производства и вариантов их взаимодействия позволяет предприятиям при планировании своей производственно-экономической деятельности активно использовать и методы многокритериальной оптимизации.

На заключительном этапе принятия решения о реализации конкретной экономической программы предприятия особая роль отводится анализу количественного распределения изменений между различными источниками вариации входных параметров. Поэтому в процессе решения актуален анализ чувствительности каждой целевой функции к возможным изменениям

условий производства и реализации, позволяющий оценить влияние природно-климатических, производственно-хозяйственных или

экономических факторов на результаты деятельности.

Перечисленные задачи экономико-математического моделирования формируют вектор специфических исследований по совершенствованию и модификации аппарата оптимальных решений.

Степень изученности проблемы:

Существенный вклад в развитие теории решения оптимизационных задач внесли Б. Банди, Р. Беллман, М. Бокс, Дж. Данциг, Л. Канторович, Г. Кун, Дж. Нелдер, А. Таккер, Р. Штойер и др.

Изучению проблем развития линейного и нелинейного программирования посвящены исследования Б. Бахшияна, И. Дикина, Г. Зойтендейка, Н. Кармаркара, Дж. Розена, Д. Химмельблау и др.

Решению ряда проблем оптимального планирования развития предприятий на основе методов математического моделирования посвящены работы В. Бережного, А. Курносова, М. Матвеева, Л. Растригина, Б.Смагина, X. Тахи, А. Улезько, Е. Шикина, Л. Яновского и др.

Однако на данный момент остаются малоизученными аспекты применения методов нелинейного программирования к решению задач экономико-математического моделирования. Недостаточно внимания уделено развитию методов, позволяющих эффективно получать приближенное к оптимальному решение при нелинейном критерии оптимальности. Несмотря на наличие множественной системы целей в процессе принятия решений в экономике, возможности поиска компромиссного решения на практике экономистами используются незаслуженно редко. Данная диссертационная работа посвящена разработке универсального инструмента решения экономико-математических задач для удовлетворения практических потребностей планово-экономических служб предприятий.

Объект исследования - экономические системы, моделирование которых осуществляется с помощью аппарата нелинейной оптимизации.

Предмет исследования — алгоритм Бокса и возможность его модификации для решения нелинейных экономических задач.

Цель исследования - совершенствование математического аппарата для решения экономико-математических задач оптимизации с функционалами различной природы.

В процессе работы над достижением поставленной цели была решена следующая совокупность задач, определившая логику диссертационного исследования:

о рассмотреть обоснованность и имеющиеся методики использования принципа нелинейности для решения задач экономико-математического программирования;

о модифицировать метод М.Бокса для его применения к решению экономико-математических задач с критериями оптимальности различной природы;

о сформулировать основные положения применения комплексного метода Бокса для приближенного решения экономической задачи нелинейного программирования;

о разработать методику формирования специальной структуры исходной матрицы для применения метода случайного поиска при решении оптимизационных экономических задач в аграрной отрасли;

о создать программный модуль на языке Visual Basic for Application для решения прикладной экономической задачи с линейным, нелинейным и многокритериальным целевым функционалом;

о исследовать практические аспекты применения разработанной модифицированной версии на основе метода Бокса для определения оптимальных параметров производства на примере сельскохозяйственных предприятий.

Область исследования. Предметная область исследования находится в рамках п. 1.4 «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного

хозяйства фирм и предприятий...» и п. 2.3 «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретико-методологической основой исследования послужили современные достижения ученых отечественной и зарубежной школы в области экономико-математического моделирования. При разработке концепции алгоритма решения задач на основе трансформированного метода Бокса были использованы методы теорий производственных функций, системного анализа и экономико-математического моделирования с привлечением методов теории множеств, нелинейных функций, теории алгоритмов и случайного поиска.

Эмпирическая база исследования представлена производственно-финансовыми планами сельскохозяйственных предприятий Воронежской области. Экспериментальная часть работы выполнена с использованием языка программирования Visual Basic for Application в среде табличного процессора MS Excel.

Научная новизна исследования состоит в создании универсального алгоритма приближенного решения экономико-математических задач с линейной, нелинейной и многокритериальной целевой функцией на основе модификации метода Бокса со встроенным алгоритмом случайного поиска.

Научная новизна реализована в результатах, полученных лично автором:

• Модифицирован метод Бокса для решения экономико-математических задач оптимизации отраслевой структуры с нелинейным функционалом, отличием которого является встроенный алгоритм метода случайного поиска, позволяющий избежать попадания оптимального решения в локальный экстремум.

• Предложен метод построения матрицы ограничений экономико-математической задачи, отвечающий требованиям метода Бокса и отличный от общепринятой матрицы ограничений для стандартного симплекс-метода.

• Определены оптимальные параметры производства исследуемых сельскохозяйственных предприятий при приближенной оптимизации с нелинейной (максимум рентабельности) и линейной (максимум прибыли) целевыми функциями.

• Разработана методика решения многокритериальной задачи на основе модификации метода Бокса.

• Создан программный комплекс «Устойчивое решение», позволяющий пользователю решать экономико-математические задачи многокритериальной оптимизации с функционалами различной природы и с модулем оценки чувствительности искомой целевой функции к изменениям условий внешней среды.

Теоретическая значимость исследования заключается в разработке метода решения оптимизационных задач на основе метода Бокса и создании для его реализации экономико-математического инструментария, который дополняет совокупность методов теории моделирования экономических процессов в целом, и определения оптимальных параметров производственных систем в изменяющихся условиях хозяйствования в частности.

Практическая значимость исследования состоит в возможности использования основных положений и научных выводов предприятиями агропромышленного комплекса, а также предприятиями других отраслей для определения оптимальных параметров развития производства и необходимых структурных изменений. Наиболее значимым для практического использования является разработанный метод решения экономико-математической задачи на основе комплексного метода Бокса,

обеспечивающий получение устойчивого квазиоптимального решения при оптимизации линейных, нелинейных и многоцелевых критериев оптимальности и предоставляющий лицу, принимающему решение, возможность выбора соответствующей производственной программы из набора альтернативных оптимальных вариантов с учетом ожидаемых изменений условий хозяйствования.

Апробация и реализация результатов исследования. Разработанный программный модуль «Устойчивое решение» зарегистрирован в Государственном информационном фонде неопубликованных документов ФГНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти», регистрационный номер № 50201000573.

Основные результаты исследования прошли апробацию и получили положительную оценку на международных, всероссийских, вузовских научно-практических конференциях: на X международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», секция «Математические модели в научных исследованиях» (ВГУ, г. Воронеж, 2010г.); Международном молодежном научном форуме «Ломоносов-2010», Подсекция «Прикладные экономико-математические методы» (МГУ, Москва, 2010г.), Международной научной конференции «Теоретические и прикладные аспекты кибернетики» (КНУ, Киев, Украина, 2011г.).

Отдельные положения диссертационного исследования выполнены в рамках внутреннего гранта Автономной Образовательной Некоммерческой Организации Высшего Профессионального Образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов» №16 «Разработка программного обеспечения для решения задач линейного программирования методом Бокса».

Основные результаты исследования внедрены в учебный процесс Автономной Образовательной Некоммерческой Организации Высшего

Профессионального Образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов».

Результаты исследования используются в практической деятельности ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» Рамонского района Воронежской области.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования изложены в 11 опубликованных работах, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ и 1 зарегистрированный программный модуль.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 169 источников, приложения. Результаты работы изложены на 154 страницах машинописного текста, включают 15 таблиц, 21 рисунок, 10 приложений.

1 РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.1 Экономико-математические модели на службе АПК

Математическое моделирование на сегодняшний день является одним из наиболее важных и широко распространенных инструментов экономического анализа в сельском хозяйстве. В значительной мере этому способствовало развитие вычислительной техники и методов трансформации экономических реалий в математические модели. Согласно Hazell and Norton [124], такие модели могут предложить уникальные возможности по сравнению с остальными методами анализа в аграрном секторе. Модели математического программирования способны работать с мультивариантной и в высокой степени взаимосвязанной сущностью аграрного сектора. Более того, модели могут предоставить подробные данные на микроуровне, которые используются для анализа политики ценообразования, занятости, решений об инвестициях, конкурентных преимуществ и рисков.

Последние годы ознаменовались рядом заметных методологических достижений в этой области исследования. Улучшения связаны главным образом с большим вовлечением экономической теории и наблюдаемой институциональной и экономической реальности в используемые модели. Более заметные достижения произошли в областях моделирования потребительского спроса, рыночного равновесия на рынке товаров и факторов производства, риска и путей его избегания, а так же роли инструментов экономической политики. Улучшились также способности обслуживающих отрасль специалистов в построении моделей для принятия оптимальных решений.

С исторической точки зрения применение методов математического моделирования в сельском хозяйстве восходит к первым попыткам смоделировать экономику сельскохозяйственного производства с учетом ее пространственного измерения. Формат математического моделирования, известный как анализ процесса или анализ деятельности, особенным образом

соответствует сельскому хозяйству. Фермеры, руководители аграрного производства, агрономы и другие специалисты по сельскому хозяйству нуждаются в правильных решениях относительно вложений и их результатов в зависимости диверсификации направлений деятельности, от периодичности урожаев, различных показателях внесения (удобрений) и выхода на гектар (центнеры продукции). Сезонность работ, растянутый во времени график работ на различных полях и по разным культурам, пространственные логистические ограничения сводятся во многих производственных задачах к ограничениям в виде неравенств.

Работа в данной отрасли приучает специалистов к сезонным колебаниям наличия производственных ресурсов и необходимости создания резервных запасов до их полного использования. Данный тип осмысления экономических задач в сельском хозяйстве естественным образом вписывается в анализ посредством математических моделей. По этой же причине, как показывает опыт, стоит рассматривать производственные коэффициенты модели вместе с отраслевыми экспертами, сверять их и даже пересматривать. Так как модель имеет математическое выражение, то большая часть ее эмпирического содержания доступна специалистам других профессий.

Модели программирования обеспечивают в достаточной мере естественную среду для организации количественной информации об аспектах предложения в сельском хозяйстве, будь то уровень предприятия или сектора в целом. В действительности один из аспектов использования модели - согласование изначально несогласованных данных.

Другая сфера применения модели часто подразумевает различные способы анализа чувствительности результатов деятельности от факторов производства. На уровне предприятия модель может быть полезна в расчете влияния обеспеченности различными экономическими ресурсами, маркетинговых условий, модернизации действующих или приобретения новых технологий и т.д. Информация данного типа генерируется в модели

через вариацию значений параметров при получении нового решения для каждого набора численных значений исходных данных.

На уровне аграрного сектора в целом изменения параметров могут использоваться для генерации функций отклика, которые подразумеваются структурой модели. В качестве примеров можно привести поверхности взаимозаменяемости факторов производства, функции ответной реакции со стороны предложения, а так же функции отдачи, связанные с конкретным инструментом экономической политики и так далее. Используемая таким образом модель становится инструментом перевода информации микроуровня (уровень сельскохозяйственного предприятия) на функции макроуровня (уровень аграрного комплекса), с которыми экономисты знакомы в большей степени.

При осуществлении перехода от модели для сельхозпредприятия к модели на уровне агропромышленного комплекса, происходит важная смена роли модели, которые разработчик модели не всегда может распознать. На уровне аграрного формирования математическая модель выступает исключительно в качестве нормативного инструмента. Лицо, принимающее решение, определяет свое правило принятия решения (максимизация прибыли, улучшение движения наличных средств, максимизация прибыли в условиях избегания риска и т.д.), а модель лишь помогает симулировать последствия этого правила принятия решения и связанные с ним ограничения на приоритеты ответственного лица. С другой стороны в децентрализованной экономике единое на уровне сектора лицо, принимающее решение, отсутствует. В основном существует два уровня лиц, ответственных за принятие решения, - представители плановых органов и главы аграрных предприятий, интересы которых не всегда совпадают. Решение модели, которая, допустим, ориентирована на максимизацию доходов от экспорта, выдаст экспорт-ориентированную структуру посевных площадей, но не отразит законодательные меры (если таковые имеется), которые подвигнут производителей действовать в соответствии с полученным решением. Чтобы

соответствующим образом взаимодействовать с политическими целями, модель должна содержать перечень мер реализации избранной политики, а так же набор взаимосвязей, описывающих реакцию производителей на возможные изменения правил игры. Такие модели, как правило, являются многокритериальными, учитывающими иерархию критериев как макроэкономических, так и критерии микроуровня, ориентированные на интересы отдельного производителя.

Для агропромышленного комплекса, помимо отраслевых и моделей для отдельных предприятий, существуют наднациональные, национальные и региональные экономико-математические модели [54].

Математические модели наднационального уровня ориентированы на глобальный продовольственный рынок и моделирование потоков движения продукции сельского хозяйства между странами. В разработку и использование подобных моделей активно вовлечены ФАО (Продовольственная и сельскохозяйственная организация Объединенных Наций) и OECD (Organization for Economic Cooperation and Development или Организация Экономического Сотрудничества и Развития). Одна из наиболее масштабных моделей данного уровня - модель BLS1 (Basic Linked System или Базовая Объединенная Система)- была разработана Международным Институтом Прикладного Системного Анализа. Модель BLS состоит из 34 национальных и/или региональных географических компонентов. Индивидуальные модели связаны посредством мирового рынка, то есть межгосударственным механизмом связи. Каждая отдельная составляющая модель покрывает целиком экономику соответствующей географической территории. Для обеспечения международной связи, производство, потребление и торговля агрегированы в 9 аграрных и 1 не аграрный секторы. Все физические и финансовые счета уравновешены и взаимно состоятельны: производства, потребление и финансы на национальном уровне, а торговля и финансовые потоки на глобальном уровне.

1 http://vvwwjiasa.ac.at/Research/LUC/Research-WorId-food-poIicy/bIs-model.html

Симуляции посредством BLS генерируют ряд результатов для переменных и индикаторов модели. На глобальном уровне это мировые рыночные цены, население планеты, глобальное производство и потребление, а так же совокупный доход. На уровне государства информация изменяется в зависимости от типа модели, включая такие переменные как — розничные цены и цены производителей, уровень производства, использование основных факторов производства (труд, земля и капитал), наличие промежуточных затрат (корма, удобрения и прочие химикаты), личное потребление, уровни запасов и торговля товарами, валовой внутренний продукт и инвестиции по секторам, уровни налогов и тарифов, а так же доходы по группе и/или сектору. По данным Кутенкова Р.Щ54], при составлении модели BLS использовалось сочетание методов линейного (максимизация прибыли посредством оптимального сочетания производственных факторов) и нелинейного программирования (максимизация прибыли в результате варьирования распределения основных и оборотных средств, процессов ценообразования, внедрения новых технологий и уровня доходов).

На национальном уровне моделирование осуществляется для выработки государственной политики в сфере сельского хозяйства и повышения эффективности регулирования продовольственных рынков. Большой опыт разработки моделей этого уровня есть у ERS USDA (Службы Экономических Исследования Министерства Сельского Хозяйства США). Одна из разработанных моделей данного направления - Модель Математического Программирования Регионального Аграрного Сектора (USMP) была создана в 1985 году с целью усиления возможностей анализа политики в области экономики и окружающей среды административными подразделениями Министерства Сельского Хозяйства. Аналитикам был необходим способ отображения взаимосвязей между ценами на продукцию, выбором способов производства, спросом на продукцию растениеводства и

2 www.ers.usda.gov/publications/TB 1916

животноводства при анализе потенциального влияния мер, призванных воздействовать на проблемы окружающей среды в сельском хозяйстве.

На сегодняшний день используется очередная доработанная версия модели USMP - модель REAP (Régional Environment and Agriculture Programming Model или Модель Программирования Регионального Сельского Хозяйства и Окружающей среды). REAP создана для целей общего анализа политики в области экономики, окружающей среды и технологии в аграрном секторе США. Данная модель работает по принципу сценария «что, если», показывая как изменения в технологии, спросе и предложении товара, а так же политики в отношении аграрных формирований, ресурсов, окружающей среды и торговли может повлиять на ряд показателей экономики, важных для управленцев и предпринимателей. Индикаторы результатов включают в себя региональные значения использования земли и освоения инвестиционных ресурсов, производство и цены на продукцию растениеводства и животноводства, доход от сельского хозяйства, бюджетные ассигнования, участие в программах государственной поддержки, а так же вред, наносимый окружающей среде - эрозия, внесение питательных веществ и пестицидов, выброс парниковых газов. Анализируемые сценарии не предсказывают развития событий, но дают представление о вероятных результатах внедрения предлагаемых изменений отраслевой политики, мер регулирования и условий рынка сельскохозяйственной продукции, принимая за постоянные все остальные факторы, воздействующие на сектор.

Модели развития национальных отраслей сельского хозяйства в странах Европейского Союза лежат в основе аграрной политики многих государств-членов (Рис. 1).

В Австрии применяется модель PASMA (Positive Agricultural Sector Model Austria или Конструктивная Модель Аграрного Сектора Австрии), разработанная Австрийским Институтом Экономических Исследований для анализа цен на рынках сельскохозяйственных товаров, технологического

прогресса и изменения в общеевропейской аграрной политике. Преимуществами модели является возможность определения региональных ответных реакций со стороны предложения на агроэкологические программы, получение отдельных результатов для 40 региональных и структурных производственных единиц страны, отдельное моделирование для земледелия с применением только органических удобрений. По желанию разработчика модель учитывает технический прогресс, внутреннее потребление, будущие надои молока и систему управления отходами животноводства.

используют модели

используют другие источники

Рис. 1. Использование математических моделей национального уровня АПК в странах ЕС (по данным института Прикладной Экологии, Германия, Берлин)

Институт Исследования Аграрной Экономики Венгрии разработал для своей страны модель HUSIM (Hungarian Simulation Model или Венгерскую Модель имитационного моделирования). В модели учитывается макроэкономическое развитие; изменение цен на продукцию, топливо и энергоносители; политика в области прямых субсидий, агроэкологических программ и план развития сельских территорий.

Свои математические модели для агропромышленного комплекса имеют Финляндия (модель DREMFIA), Франция (модель MAGALI), Ирландия (модель FAPRI), Португалия (модель CAPSIM), Швеция (модель CAPRI), Великобритания использует несколько моделей (в том числе модель FAPRI).

В странах с переходной экономикой модели ориентированы на учет особенностей командно-административной системы — неразвитость рыночных структур, слабые связи с внешними рынками. Перед разработчиками стоит задача оценки последствий возможных структурных изменений, последствия прихода иностранных инвесторов в отрасль, применение механизмов регулирования продовольственных рынков [54].

В Советском Союзе переход от разработки к непосредственному использованию экономико-математических моделей в агропромышленном секторе относится ко второй половине двадцатого века. Модели были ориентированы на плановую экономику, а в основе своей имели систему линейных уравнений, описывающую межотраслевой баланс. Впоследствии из составленных межотраслевых балансов составлялись более сложные модельные комплексы, которые использовались для народнохозяйственного планирования. Однако сильная степень оторванности постоянно укрупняемой и усложняемой модели от экономических реалий подтолкнула переход к моделям, предназначенным для описания конкретного отдельного процесса. После распада СССР анализ экономической политики в агропромышленном секторе стран СНГ строился на использовании модели EPACIS (Economie Policy for Agriculture of the CIS или Модель

Экономической Политики в Сельском Хозяйстве стран СНГ), которая была разработана в в Институте аграрного развития стран Центральной и Восточной Европы (IAMO, Германия) при участии российских ученых [163]. Сама EPACIS представляет собой модель частичного равновесия, нацеленную на анализ сельскохозяйственной торговли и политики. В основе модели лежат неоклассические подходы, согласно которым производители максимизируют прибыль, а потребители стремятся к максимизации полезности в соответствии со своими бюджетными ограничениями. Модель игнорирует транзакционные издержки, информацию о технологиях и рынке считает общедоступной для экономических агентов, а игроки на рынке лишены возможности влиять на цены [67].

Для анализа экономической политики в сельском хозяйстве, Прокофьев М.Г. [71] создал модель общего равновесия АПК. В модели участниками экономической деятельности являются объединенное в группы население и предприятия-производители различных форм собственности. Выраженные в уравнениях процессы создания и движения дохода формируют спрос на товары, а анализ возможных сценариев макроэкономической политики базируется на результатах построения баланса государственного дефицита, внешней торговли и инвестиций [54, 79].

На сегодняшний день в основе моделирования экономических процессов на всех уровнях агропромышленного комплекса РФ лежит система моделей АПК, созданная в 90-х гг. прошлого века во Всероссийском Институте Аграрных Проблем и Информатики им. A.A. Никонова. Данная система моделей разработана для всех уровней АПК страны, а так же определены цели работы по каждому направлению [54].

Модели регионального уровня обычно нацелены на поиск оптимального с экономической точки зрения сочетания отраслей региона, на разработку и оценку эффективности реализации системы ведения

сельскохозяйственного производства, удовлетворение потребностей региона в продовольственных и иных видах ресурсов.

Разработка модели ну уровне отдельного сельскохозяйственного предприятия подразумевает составление комплексной программы производственной деятельности при обязательном учете системы управления, используемых технологий, взаимозависимости элементов внутри структуры и потенциального воздействия внешних факторов. Актуальность разработок моделей для этого уровня обусловлена насущной потребностью каждого производителя сельскохозяйственной продукции многократно выбирать, какую продукцию производить, каким конкретно способом и в какой сезонный период. Окончательные решения ограничены физическим и финансовым состоянием сельскохозяйственного предприятия, а так же сомнениями относительно предстоящего производственного периода по поводу прогнозируемой урожайности, суммы производственных издержек, цен реализации, а так же требований к основным ресурсам.

Традиционно сельхоз товаропроизводители полагались на собственный опыт, рекомендации профессиональных ассоциаций и сравнение с соседствующими производителями. И только достижения последних десятилетий в области развития персональных ЭВМ и разработки соответствующего программного обеспечения значительно продвинули возможности составления комплексной программы производственной деятельности для аграрных формирований.

Разработка экономико-математической модели для предприятия помогает управленцам более эффективно адаптировать производство к меняющимся экономическим и технологическим условиям ведения производства. В литературе есть много примеров такого нормативного использования линейного программирования, однако первые упоминания о применении методов линейного программирования для планирования на сельскохозяйственных предприятиях встречаются в работах Heady [125,126] и King [129] 50-х гг. XX века. Удивляет, однако, тот факт, что модели

оптимизации, которые четко формулируют часто типичные цели и ограничения, так же могут давать достаточно четкие рекомендации фермерам о необходимости осуществления определенных организационно-экономических мероприятий. Особенно это относится к более стабильным условиям ведения производственной деятельности, где у предпринимателей есть время адаптироваться к изменившейся экономической среде. Данная способность к прогнозу типичных экономико-математических моделей в сельском хозяйстве делает их полезными для приобщения их к отраслевым моделям АПК, предназначенных для агрегированного анализа в целях выбора экономической политики.

В своем простейшем виде линейное программирование в агропромышленном комплексе рассматривается как метод определения комбинаций максимизации прибыли сельскохозяйственного предприятия, который реально осуществим при учете существующего набора фиксированных ограничений. Первые опыты применения линейного программирования для планирования сельскохозяйственного производства допускали стремление к максимизации прибыли, горизонт планирования в один период (отсутствие роста) и определенную среду (отсутствие неясности относительно цен, урожаев и т.д.). Сегодня же мы имеем в своем арсенале многие методы, являющиеся результатом непрерывного развития аппарата математического моделирования как универсального, так и специфичного для конкретных задач, которые позволяют строить более гибкие и реалистичные модели.

Методы линейного программирования доказали свою эффективность при анализе вариантов распределения ресурсов как на уровне отдельного предприятия, так и на уровне отрасли в целом. Принятие на вооружение методов нелинейного программирования, учет нескольких критериев оптимальности, использование систем с множественными временными шкалами и структур, которые позволяют учитывать риск при выборе

комбинации мероприятий, представляются главными достижениями в анализе с использованием методов программирования.

1.2 Экономические предпосылки задач оптимизации и методы их

решения

Нехватка ресурсов является основополагающей проблемой, с которой сталкиваются все экономики. Задача распределения ограниченных ресурсов среди конкурирующих направлений деятельности является центральной в экономическом анализе. Ресурсов, необходимых для производства всех товаров и оказания всех услуг для удовлетворения человеческих потребностей, всегда не хватает. Согласно часто цитируемому определению экономики, данного ЯоЬЫпб: «Экономика - это наука, которая изучает человеческое поведение с точки зрения взаимоотношения между целями и ограниченными средствами, которые могут быть использованы рядом альтернативных способов».[151] В Краткой Энциклопедии по Экономике это определение экономической науки до сих пор используется для описания данной дисциплины. Хотя само определение упрощено и «не может рассматриваться как полный список областей, относящихся к экономической науке, принцип нехватки ресурсов однозначно играет некую роль во всех экономических исследованиях» [150] Дефицитными товарами являются именно те, которые одновременно и желаемы, и отсутствуют в свободном доступе. Ограниченность ресурсов не может пренебрегаться, так же как и необходимость выбора по способу использования данных ресурсов. Ответ экономистов основывается на представлении об эффективности. Золотое правило экономики говорит о том, что желаемая эффективность достигается при минимизированном расходе ресурсов или же при имеющемся объеме ресурсов производственные показатели должна быть максимизированы. Эффективность подразумевает как принятие дефицита, так и одновременно лучший из возможных вариантов использования, имеющихся в наличии

3 http://www.econlib.org/libraiy/CEE.html.

ресурсов. Задача оптимального распределения ограниченных ресурсов представляет собой особый интерес для микроэкономики: неоклассическая теория домохозяйств и неоклассическая теория фирмы являются двумя главными областями исследования. Количественная экономическая политика, теория оптимального экономического роста, международная экономика и экономика окружающей среды так же являются областями приложения идеи о наилучшем распределении недостаточных ресурсов и, следовательно, оптимизационных моделей, которые «пришли, чтобы занять особое место в современной экономической теории» [143]. Оптимизационные модели необходимы экономистам не только для понимания поведения экономических агентов, но и для подготовки системы поддержки принятия решений для политиков и бизнесменов.

Упоминание о методах оптимизации можно найти еще в работах Ньютона, Лагранжа и Коши. Развитие методов дифференциального исчисления для оптимизации стало возможно благодаря вкладу в численные методы Ньютона и Лейбница. Основные принципы вариационного исчисления, напрямую связанные с минимизацией функции, были заложены Бернулли, Эйлером, Лагранжем и Вейерштрассом. Метод оптимизации для задачи с ограничениями, который использует добавление неизвестных множителей, известен под именем своего создателя Лагранжа. Коши первым применил метод скорейшего спуска к решению задач безусловной оптимизации. К середине двадцатого столетия высокоскоростные вычислительные машины сделали возможной разработку комплексных методов оптимизации и стимулировали дальнейшие исследования новых методов. Последовали выдающиеся исследования, давшие массивный объем научных работ по методам условной оптимизации. Подобное продвижение проявилось так же в появлении новых направлений в теории оптимизации.

Основными вехами в области развития численных методов условной оптимизации, по нашему мнению, являются следующие:

Конец 1930-х гг. — Л.В. Канторович вводит понятие «линейное программирование» в математику и экономику [49];

1947г. - Дж. Данциг разработал симплекс метод для решения задач линейного программирования;

1951г. - работа Г. Куна и А. Таккера о необходимом и достаточном условиях для нахождения оптимального решения задачи программирования заложила основу последующих исследований в области нелинейного программирования;

1957г - Р. Беллман сформулировал принцип оптимальности для задач динамического программирования;

Значительный вклад в нелинейное программирование в начале 60-х годов прошлого века внесли Г. Зойтендейк и Дж. Розен;

В 1960-х Р. Даффин, Э. Питерсон и К. Зенер разработали метод геометрического программирования для полиномиальной

мультипликативной целевой функции;

1978 г. - Л.Г. Хачиян доказал, что для решения любой задачи линейного программирования посредством алгоритма эллипсоидного типа требуется полиноминальное время;

Новаторская работа Р. Гомори в области целочисленного программирования - одной из наиболее интересных и быстро развивающихся областей оптимизации;

1984 г. - Н. Кармаркар создал проективный алгоритм оптимизации;

Дж. Данциг, А. Чарнс и У. Купер разработали методы стохастического программирования и смогли решать задачи при условии принятия расчетных параметров за независимые и нормально распределенные случайные величины.

1990 г - спектр независимых работ по методам использования внутренних точек допустимого множества решений в качестве квазиоптимального решения;

с 1990-х по сегодняшний день - эффективная программная

реализация.

Необходимость оптимизировать более одного критерия при удовлетворении ограничений различного характера привела к созданию методов многокритериального программирования. Целевое программирование, представляющее собой известную технику решения задач многокритериальной оптимизации особого типа, было изначально предложено в 1961г. А. Чарнсом и У. Купером для решения линейных задач. Основные принципы теории игр были изложены фон Нейманом в 1961г. и с того момента ее приемы стали применять для решения целого ряда математических, экономических и военных задач, а сравнительно недавно они стали важными инструментами решения и инженерных задач.

Предназначение экономико-математических моделей можно охарактеризовать как обеспечение связи между, с одной стороны, экономической теорией и набором данных, а с другой - между практическим восприятием проблем и избранной инвестиционной политикой. Это несовершенные абстракции, которые, однако, в силу непротиворечивости своей логической структуры, могут дать аналитикам и разработчикам отраслевой политики ценное экономическое представление об отрасли, а так же предоставить «виртуальную лабораторию» для тестирования идей и возможных административных мер.

Однако, как показывает опыт, разработка модели требует не только охвата соответствующего раздела экономики и понимания поставленной задачи, но и владения соответствующими техниками создания и применения моделей. Безусловную популярность и эффективность среди математических моделей в сельском хозяйстве сохраняют оптимизационные задачи линейного программирования. В то же время бесспорным является тот факт, что многие задачи на поверку оказываются более сложными конструкциями, требуя соответствующих подходов к технике их построения и применения.

Все известные оптимизационные задачи можно классифицировать согласно типу ограничений, природы расчетных параметров, физической структуры проблемы, типа задействованных уравнений, детерминистической природы переменных, разрешающих величин расчетных параметров, сепарабельности функций и числу целевых функций. Далее рассмотрим суть упомянутых классификаций.

1. По наличию ограничений:

■ Задачи условной оптимизации, когда имеется одно и более ограничение;

■ Задачи безусловной оптимизации, у которых ограничения отсутствуют.

Ограничениями здесь являются ограничения, наложенные на переменные х^ х2,.... хп.

Каждый из указанных выше типов оптимизации состоит из методов прямого поиска и градиентных методов. Прямой поиск использует только значения функции (метод Хука-Дживса, комплексный метод Нелдера-Мида). Градиентные методы для нахождения экстремума используют, помимо значения самой целевой функции, еще и ее градиент, потому что наискорейшее возрастание функции происходит в направлении возрастания ее градиента. Логично, что наискорейшее убывание функции происходит в противоположном направлении (метод наискорейшего спуска, сопряженных градиентов, метод Флетчера-Ривса, квазиньютоновский метод и т.д.).

2. По природе расчетных параметров:

■ Цель состоит в нахождении целого ряда расчетных параметров, который приводит заданную по ним целевую функцию к минимуму или максимуму конкретных ограничений.

■ Цель состоит в нахождении ряда расчетных параметров, все из которых являются непрерывными функциями некоего другого параметра, который минимизирует целевую функцию для набора ограничений.

3. По физической структуре проблемы:

■ Задачи оптимального управления - задачи математического программирования, состоящие из ряда шагов, каждый из которых развивается из предыдущего в предписанном порядке. Задача описывается двумя типами переменных: управляющие или расчетные переменные и статусные переменные. Управляющие переменные определяют систему и контролируют переход в следующую стадию. Статусные переменные описывают поведение или статус системы на каждом этапе. Задача в общем виде формулируется следующим образом:

I

Найти вектор X, который минимизирует у(Х) = ^/,{х„у,)

1=1

При условии ограничений:

9,(.х„у,) + у,=у,+, /=1,2, ....,/ gJ(xJ)<0, у=1,2, ....,/

Ик(ук)<0, к= 1, 2, ...., /

Где XI -/-тая управляющая переменная, у1 — /-тая статусная переменная, а У/ является вкладом ьтой стадии в совокупную целевую функцию. Ьк, и qi представляют собой функции х^у^ и х, иу^ соответственно, а / является общим числом стадий. В некоторых случаях управляющие и статусные переменные х1и .у, могут быть векторами.

■ Задачи, которые не являются задачами оптимального управления, называются задачами неоптимального управления.

4. По типу задействованных уравнений

■ Задачи линейного программирования (ЛП), когда целевая функция и все ограничения являются «линейными» функциями. Стандартная форма задачи линейного программирования может быть представлена следующим образом:

Г *ч

X ^

Найти X =

X.

и

Который максимизирует ДХ) = ^

/=1

При условии ограничений

п

I

/=1

я = 6.

*/ >0,

у = 1,2,..., т

у =1,2,...,/и

где ау, и ¿у являются ограничениями.

■ Задача нелинейного программирования (НЛП), когда хотя бы одна из целевых или функций ограничений является нелинейной. Это наиболее общая задача программирования, а все остальные можно считать особыми случаями задач НЛП.

■ Задача геометрического программирования (ГМП), где целевая функция и ограничения являются полиномами в X. Функция Ь(Х) называется полиноминальной (с т переменными) если Ь можно выразить как

ЫХ\ = с хЩ1ха2{ '"ХапХ +с ха]2ха22 •••Xа"2 +---+С ХЩтХа2т "'Хапт

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Чернигина, Елена Аркадьевна

ВЫВОДЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области решения оптимизационных задач экономико-математического моделирования сформулированы следующие выводы:

1. Распространенная на данный момент в экономике практика принудительного сведения нелинейных зависимостей к линейным с целью применения популярных способов решения линейных задач, лишает лицо, принимающее решение, неискаженных результатов экономико-математического моделирования при формировании производственной программы предприятия. Рост нестабильности условий предпринимательской деятельности и специфические особенности рыночной экономики, для которого характерен принципиально нелинейный характер многих взаимосвязей между факторами производства, объективно требуют применения нелинейных методов программирования при производственно-финансовом планировании на уровне предприятия.

2. Выбор созданного М.Боксом комплексного метода для решения задачи оптимизации производственных параметров предприятий обусловлен его способностью решать задачи нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами. Важной характеристикой метода Бокса является расположение промежуточных значений внутри зоны допустимых решений, что повышает устойчивость результатов решения. Однако классический вариант данного метода предполагает наличие ограничений для каждой переменной, тогда как в случае решения экономико-математической задачи имеют место ограничения на группы переменных, т.е. функциональные ограничения и ограничения на переменные совмещены. Поэтому применение данного метода для решения подобных задач требует определенных модификаций. Модифицированная версия метода Бокса, разработанная и представленная в диссертации, позволяет решать задачи с линейным функционалом, не уступая в эффективности симплекс-методу. Результаты решения оптимизационной задачи линейного программирования, полученные при решении симплекс-методом и разработанной модификацией, абсолютно совпали как по величине суммы прибыли (для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» 56 636 тыс. руб., для ЗАО «Дон» 36 925 тыс. руб.), которая использовалась в качестве линейного критерия оптимальности, так и по значениям всех переменных.

3. В условиях нестабильной внешней среды деятельность предприятия можно оценить с помощью критериев, отличных от линейного показателя прибыли - например, рентабельности, которая представляет собой отношение прибыли к производственным издержкам и является нелинейным показателем. Решение задачи на определение максимального значения рентабельности продаж ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский», полученное при использовании модификации метода Бокса (37,16%) лучше полученного с использованием «Поиска решения» нелинейной модели (37,11%). Аналогично для ЗАО «Дон» - 40,45% против 40,35% соответственно. Таким же образом был осуществлен поиск максимального значения рентабельности производства. Результатом использования модификации метода Бокса стала величина 59,12% против полученного «Поиском решения» в MS Excel 59,00% для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский»; для ЗАО «Дон» 67,92% против 67,66% соответственно. Очевидна неспособность «Поиска решения» самостоятельно выбираться из локального экстремума, тогда как разработанный метод более успешен в обходе локальных экстремальных значений, эффективно определяя глобальный оптимум.

4. Адаптированный нами метод Бокса позволяет решать оптимизационные задачи при линейном, нелинейном и многокритериальном функционале, используя исходную матрицу ограничений. Применение созданной модификации метода сопряжено с необходимостью проведения перестановки строк и столбцов матрицы по определённым правилам, что приводит матрицу системы ограничений к виду, близкому к нижней треугольной. Другими словами, метод требует расположения значений по диагонали матрицы для их соответственного последовательного определения (т.е. назначения случайным образом в случае неравенства в требуемом интервале или определенных из уравнений). Такое построение облегчает применение данного метода и повышает наглядность системы ограничений.

5. В разработанном методе для решения задачи многокритериальной оптимизации прописана соответствующая процедура, осуществляющая поиск идеальной точки в условиях нескольких критериев. Результаты поиска компромиссного решения в условиях многокритериальной целевой функции (максимизация прибыли и рентабельности) дали искомую точку, уступки по которой с обеих сторон минимальны. Одновременно в процессе поиска были определены границы, в которых лицо, принимающее решение, сможет выбрать наиболее подходящий для внедрения результат, проведя анализ представленных основных показателей оптимального развития производства при различном сочетании значений искомых критериев оптимальности.

6. Разработанный программный модуль «Устойчивое решение» обеспечивает получение оптимального решения экономико-математической задачи с линейным, нелинейным и многокритериальным функционалом с повышенной степенью устойчивости. Основу разработанного модуля составляет комплексный метод (метод Бокса), адаптированный для решения экономико-математической задачи. В отличие от широко распространенного симплекс-метода, когда решение получается движением по границе допустимого множества и перебором вершин в поисках наилучшей (в смысле минимума или максимума линейной целевой функции), метод Бокса работает с точками внутри допустимого множества, определяемого системой ограничений. Способность разработанной модификации не только к вычислению, но и к агрегации данных по отзывчивости целевой функции на изменение входных параметров в сводную таблицу, предоставляет лицу, принимающему решение, более полную картину о возможности внесения оперативных изменений в производственную программу для нивелирования негативного влияния изменения условий производства. Сформированная при этом выходная таблица позволяет отследить наиболее и наименее чувствительные к колебаниям отдельных факторов решения, проанализировать варианты экономии производственных ресурсов для достижения максимально возможной, в сложившихся условиях, прибыли или рентабельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Чернигина, Елена Аркадьевна, 2011 год

Список литературы

1. Абалкин Л.И., Аксенов В.В., Алтухов Ю.П. и др. Новая парадигма устойчивого развития России (комплексные исследования проблем устойчивого развития). Монография. - М.: Academia, 2000. - 458 с.

2. Алексашенко С., Набиуллина Э. Предприятия в переходный период: новые модели поведения // ЭКО - 1993. — №11.

3. Альсевич В. В. и др. Оптимизация линейных экономических моделей: Статические задачи: Учеб. пособие/Альсевич В.В, Габасов Р., Глушенков B.C.— Мн.: БГУ, 2000. — 210 с.

4. Амелькин С.А. Предельные возможности активной подсистемы (фирмы) в открытой микроэкономической системе // Программные системы: теория и приложения : электрон, научн. журн. 2010. № 1(1), с. 75-84. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2010_l_75-84.pdf

5. Амосов А.А, Дубинский Ю.Л., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк, 1994. - 544 с: ил. ISBN 5-064)00625-5

6. Артеменко В.Г., Беллендир М.В. Финансовый анализ. - М.: Изд-во "ДИС", 1997.-203 с.

7. Бадевитц 3., Безверхая Е.А., Алексанов Д.С, Водолазский СВ., Григорович И.И., Голованов A.A., Князев М.А., Коротаев B.C., Леонгарт Т.Я., Мосина Л.И., Пецевич B.C., Подоляк Д.И., Рябов И.И. Финансирование и инвестиции на предприятиях АПК: Учеб. пособие // Изд-во ОмГАУ. -Омск, 1999.-340 с.

8. Балабанов И. Т. Риск-менеджмент. Москва: Финансы и статистика, 1996. 338с.

9. Балабанов И.Т. Финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика. 1994. - 224 с.

10. Балдин К.В., Воробьева С.Н. Управление рисками - М., 2005

11. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер с англ. — М.: Радио и связь, 1988. - 128с.

12. Банди Б., Основы линейного программирования: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1989. - 176 с: ил.

13. Бахшиян Б.Ц. Алгоритм для многопараметрических задач линейного программирования, возникающих при решении оптимальных задач коррекции и планирования эксперимента//Устойчивость, управление и моделирование динамических систем: Сб. науч. трудов/Под науч. ред. Г. А. Тимофеевой, д.ф.м.н.; Материалы Международн. науч. конференц., поев. 75-летию со дня рождения И.Я. Каца. 2006. Изд-во УрГУПС. С. 28-29.

14. Бахшиян Б.Ц. Критерии оптимальности и алгоритмы решения вырожденной и обобщенной задач линейного программирования//Экономика и мат. методы. 1989. Т. 28. № 2.

15. Бахшиян Б.Ц., Войсковский М.И. О возможности эффективного решения задачи робастного оценивания при линейных ограничениях на оцениваемый вектор//Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 4.

16. Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И., Федяев К.С. О решении вырожденных задач линейного программирования//Автоматика и телемеханика. 2000. № 1. С. 105-117.

17. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

18. Бахшиян Б.Ц., Соловьев В.Н. Теория и алгоритмы решения задач L-и MV-оптимального планирования эксперимента//Автоматика и телемеханика. 1998. №8. С.80-96.

19. Бахшиян Б.Ц., Федяев К.С. Об эффективном решении почти вырожденных и плохо обусловленных задач линейного программирования, возникающих при управлении системой//Изв.РАН. ТиСУ. 2005. №4. С.77-88.

20. Белов П., Гражданкин К.Менеджмент техногенного риска. /Стандарты и качество. 2004. № 7

21. Белоусов В.И., Белоусов A.B. Финансовая и инвестиционная стратегия. Под редакцией проф. Белоусова. Учебное пособие для вузов. — Воронеж: Истоки, 2005. — 304 с.

22. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 368с.:ил.

23. Бережной Л.И. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие. -СПб.: ИВЭСЭП, Знание,2002. 64 с.

24. Березовский Б. А., Барышников Ю. М., Борзенко В. И., Кемпнер JI. М Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты / М.: Наука, 1989.- 128 с- ISBN 5-02-006543-9

25. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов: Пер. с англ./Под ред. Л.П. Белых.-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. -631с.

26. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. Сложные инвестиции и потоки платежей//Рынок ценных бумаг. -1997, №3.

27. Ван Хорн Дж. Основы управления финансами: пер. с англ. (под редакцией И.И. Елисеевой - М., Финансы и статистика 1997 - 800 с.

28. Ванько В.П., Ермошина О.В., Кувыркин Т.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов. 2-е изд./Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001.488 с.

29. Войсковский М.И. Симплексный алгоритм поиска Е-оптимальных планов//Изв. РАН. ТиСУ. 2001. №2.

30. Воронов К. Основные понятий теории инвестиционного анализа. http://www.cfin.ru/finanalysis/inv_anal_basics.shtml

31. Вяткин В., Хэмптон Дж., Казак А. Принятие финансовых решений в управлении бизнесом. Москва, 2002

32. Гиляровская JI.T., Ендовицкий Д.А. Финансово-инвестиционный анализ и аудит коммерческих организаций.-Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.

33. Голубева О.Н. Риск как экономическая категория. /Вестник СПбГУ, сер.5 .Экономика, вып.1. 1993. № 5

34. Гукасьян Г.М.,. Маховикова Г.А., .Амосова В.В. Экономическая теория - СПб, 2006

35. Давыдова Р.Т. Понятия, признаки, критерии, виды и особенности экологических рисков./ Управление риском. 2002. № 3

36. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и техника оценки любых активов./Пер. с англ. -М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. -1342 с.

37. Данилов A.A. Анализ устойчивости экономических систем на примере государственных организаций// Проблемы современной экономики, N2(26)

38. Данциг Дж., Линейное программирование, его применения и обобщения, Пер. с англ. М.: Прогресс, 1966.- 602.

39. Дикин И.И. Итеративное решение задач линейного и квадратичного программирования // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 174, N 4.— С. 747-748.

40. Дикин И.И., Метод внутренних точек в линейном и нелинейном программировании. — М.: КРАСАНД, 2010. — 120 с: ил.

41. Ермаков С.М, Жиглявский А.А.//0 случайном поиске глобального экстремума, ТВП, 28:1 (1983), 129-134

42. Жуковский В.И., Жуковская JI.B. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. М., 2004, 272 с.

43. Загайтов И.Б. Экономические проблемы повышения устойчивости сельскохозяйственного производства /И.Б. Загайтов, П.Д. Половинкин. - М.: Экономика, 1984. - 240 с.

44. Замков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.— М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. — 368 с.

45. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. — М.: Мир 1999. —335 е., ил.

46. Измаилов А.Ф., Солодов M.B. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.

47. Камаев В.Д. Экономика и бизнес (теория и практика предпринимательства). — М.: Экономика, 1993. — 237 с.

48. Камалян А.К. Управление рисками в аграрной сфере: теория, методология, практика/ Камалян А.К., Яновский Л.П., Курносов А.П. и др.; Под ред. проф. Камаляна А.К. - Воронеж: ВГАУ, 2002. - 253с.

49. Канторович JI.B., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. - М.: Наука, 1972. - 233с.

50. Киян, Л.П. Институциональная компонента в механизме развития социально-экономических систем / Л. П. Киян // Механизмы развития социально-экономических систем региона: материалы международной научно-практической конференции - Воронеж, 2003. - С. 115-118.

51. Комарова Н.В., Гаврилова Л.В. Фирма: стратегия и тактика управления рисками. /Вестник СПбГУ, сер.5.Экономика. вып.2. 1993. № 12

52. Курносов А.П. Моделирование производственной структуры АПК: Учебное пособие. / А.П. Курносов, H.A. Звягин - Воронеж: В СХИД 988.-160с.

53. Курносов А.П. Оптимизация параметров функционирования сельскохозяйственных предприятий при изменяющихся условиях хозяйствования /А.П. Курносов, A.B. Улезько, А.К. Камалян, Н.М. Бухонова. - М.: МГСУ "Союз", 2000.-163 с.

54. Кутенков Р.П. Математическое моделирование АПК: основные подходы и результаты// Ежегодник «Региональные агросистемы: экономика и социология» - №2, 2008 [Электронный научный журнал Код НЭБ 99993474], Учредитель: Учреждение Российской академии наук Институт аграрных проблем РАН. Саратов.

55. Лернер А .Я. Начала кибернетики. - М.: Наука, 1967. - 400 с.

56. Лидов М.Л. Математическая аналогия между некоторыми оптимальными задачами коррекции траекторий и выбора состава измерений и алгоритмы их решения//Космич. исслед. 1971. Т. 9. №5.

57. Луссе A.B. Макроэкономическое равновесие и устойчивость экономического развития // Равновесие и неравновесие экономических систем // Под ред. А.И.Добрынина, Д.Ю. Миропольского. - СПб. Изд-во СПбГУЭФ, 1998.-342 с.

58. Макконнелл Кэмпбелл Р. Экономикс: Принципы, проблемы и политика/ Р. Макконнелл Кэмпбелл, Л. Брю Стэнли. В 2 т.: Пер. с англ. 11-го изд. Т. 1. - М.: Республика, 1992. - 400 с.

59. Малков У.Х. Об эффективности реализации метода внутренней точки для решения больших задач линейного программирования. / Тез. докладов 12-й всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения". Информационный бюллетень №12. -Екатеринбург, ИЭ УрО РАН, 2003.

60. Мамута М.В. Развитие инфраструктуры поддержки малого предпринимательства в Воронежской области / М. В. Мамута, А. А. Нехаев, В. В. Новиков // Механизмы развития малого предпринимательства в России: аналитический сборник. - М., 2002. - С. 141-150.

61. Мелкумов Я. С. Организация и финансирование инвестиций: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2000.

62. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1989. j

63. Миронова В. А., Амелькин С. А., Цирлин А. М. Математические методы термодинамики при конечном времени. Москва : Химия, 2000.

64. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир,

1984.

65. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.

66. Нешитой A.C. Инвестиции: Учебник. — 5-е изд., перераб. с испр. -М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2007. - 372с.

67. Огницев С.Б., Сиптиц С.О. Моделирование АПК: теория, методология, практика. М.: Энциклопедия российских деревень, 2002. с. 1516.

68. Первозванский A.A. Поиск. М.: Наука, 1970. 264 с.

69. Пергамент М.Д. Исследование методов экономической устойчивости предприятий, http://www.sportlaiv.ru/90.html

70. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. -64 с.

71. Прокопьев М.Г. Моделирование экономической политики в сфере АПК: внешнеторговый аспект (научное издание) - М. ГНУ ВНИЭСХ, 2006. - 51 с.

72. Просвиров А.Э. Копылов A.B., Динамическая модель конкуренции двух фирм на однородном рынке//Успехи современного естествознания, №8, 2003. стр. 29-33.

73. Пушкин В.Г. Кибернетические принципы самоорганизации. - Л.: ЛГПИ, 1974.-182 с.

74. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. — М.: Мир, 1984

75. Растригин Л. А. Адаптация сложных систем. Методы и приложения. Рига: Зинатне, 1981. 375 с.

76. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. - М.: Наука, 1974.

77. Ример М. И., Касатов А. Д., Матиенко Н. Н. Экономическая оценка инвестиций / Под общ. ред. М. Римера — СПб.: Питер, 2005. — 480 с: ил. - (Серия «Учебное пособие»).

78. Рогов М. Консалтинг как бизнес. Системный подход к проблеме управления экономическим риском. /Риск. 1995. № 1.

79. Романенко И.А. Теоретические основы анализа национальных агропродовольственных систем с применением методов математического моделирования. М.: ВИАПИ: ЭРД, 2006.

80. Рудашевский В.Д. Риск, конфликт и неопределенность в процессе принятия решений и их моделирование. - М.:Экономика, 1990. - 255 с.

81. Семенов В.М., Набиев P.A., Асейнов P.C. Финансы предприятий -М., 2005

82. Сеславина Е.А. Математическое моделирование экономических процессов на транспорте. Уч. пособие-М.: РГОТУПС, 2006.- 105 с.

83. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование, перев. с англ. М., Наука, 1975. 280 с.

84. Taxa X. Введение в исследование операций: В 2-х кн. - М.: Мир,

1985.

85. Taxa Х.А., Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2005. - 912 с: ил.

86. Терехов JI.JI. Кибернетика для экономистов. - М.: Финансы и статистика, 1983.- 191 с.

87. Тихомиров Н.П., Потравный И.М.,.Тихомирова Т.М. Методы анализа и управления эколого - экономическими рисками - М., 2003

88. Трифонов Ю.В., Плеханова А.Ф., Юрлов Ф.Ф. Выбор эффективных решений в экономике в условиях неопределённости. Монография. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 1998г. 140с.

89. Турусова H.H. Оптимизация параметров устойчивого развития производства в сельскохозяйственных предприятиях: Дис. канд. экон. наук. Воронеж: ВГАУ, 2003. - 159 с.

90. Уайльд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967,

268с.

91. Улезько A.B. Стратегия формирования и тактика использования ресурсного потенциала сельскохозяйственных предприятий / A.B. Улезько. — Воронеж: ГП «ИПФ «Воронеж», 2004. - 224с.

92. Управление рисками в аграрной сфере: теория, методология, практика. Под ред. А.К. Камаляна. Воронеж: ВГАУ, 2002. - 253с.

93. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных: Справочное изд. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1983.

94. Франс Дж., Торнли Дж. Х.М. Математические модели в сельском хозяйстве / Пер. с англ. A.C. Каменского; под ред. Ф.И. Ерешко. Предисл. Ф.И. Ерешко и A.C. Каменского.-М.:Агропромиздат, 1987. - 400с.

95. Халзанова Л.Э. Математические методы в экономике: уч. пособие. -М.: Волтерс Клувер, 2005.

96. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975.

97. Цирлин А. М. Оптимальные процессы в необратимой термодинамике и микроэкономике. Москва : Физматлит, 2003.

98. Шапкин А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. М.:ИТК «Дашков и Ко», 2006. 544 с.

99. Шикин Е. В., Шикина Г. Е. Исследование операций : учеб. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. - 280 с.

100. Шохин Е.И. Финансовый менеджмент. Москва, ИД ФБК-Пресс,2003

101. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

102. Экономико-математическое моделирование. Учебник для ВУЗов под редакцией А.Д.Дрогобыцкого. М.: Экзамен — 2006.- 832с.

103. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. Под ред. А.А.Лобанова и А.Е.Чугунова. Альпина паблишер. Москва 2003.

104. Яковлев В.В. Риск, его критерии и его оценка. /Материалы научно- практической конференции 25- 27 мая 1994 г.- СПб., 1994

105. Яновский Л.П. Детерминированные методы в экономике и финансах /Л.П. Яновский. - Воронеж: ВГАУ, 1995. - 143с.

106. .Akerlof G.A., Shiller R.J. Animal Spirits: How Human Psychology Drives the Economy, and Why It Matters for Global Capitalism. Princeton, NJ: Princeton university Press, 2009.

107. Ansoff, H.I. Corporate Strategy. New York: McGraw-Hill, 1965.

108. Bondi, Herman (1985), "Risk in perspective", pp. 8-17 in MG Cooper (ed.), Risk.

109. Box M.J., A new method of constrained optimization and a comparison with other methods. // The Comp. Journal, 8, 42-52, 1965.

110. Chang YY, Cottle RW. Least-index resolution of degeneracy in quadratic programming. Mathematical Programming 1980;18:27-137.

111. Cunningham WH, Klincewicz JG. On cycling in the network simplex method. Mathematical Programming 1983;26: 182-9.

112. Dantzig GB. Making progress during a stall in the simplex algorithm. Linear Algebra and its Applications 1989; 114/115:251-9.

113. Deb K., Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms, First Edition, John Wiley & Sons Pte Ltd, 2002.

114. Feldman, Allan M. Welfare Economics and Social Choice Theory. Kluwer, Boston, 1980.

115. Fourer R.A simplex algorithm for piecewise-linear programming, II. Finiteness, feasibility and degeneracy. Mathematical Programming Series A 1988;41(3):281-315.

116. Gal T, Geue F. A new pivoting rule for solving various degeneracy problems. Operations Research Letters 1992;11(1): 23-32.

117. Gal T, Kruse H-J, Zornig P. Survey of solved and open problems in the degeneracy phenomenon. Mathematical Programming Series B 1988;42( 1): 125—33.

118. Gassner BJ. Cycling in the transportation problem. Naval Research Logistics Quarterly 1964;11:43-58.

119. Gill P.E, Murray W, Saunders MA, Wright MH. A practical anti-cycling procedure for linearly constrained optimization. Mathematical Programming 1989;45:437-74.

120. Goldberg D.E. Genetic Algorithms in Search Optimizations and Machine Learning.-Addison.Wesly, 1989.

121. Gondzio J., Grothey A.. Massively parallel implementation of interior point methods for very large scale optimization. In R.Wyrzykowski, J. Dongarra, N.Meyer, and J.Wasniewski, editors, Parallel Processing and Applied Mathematics, Lecture Notes in Computer Science, 3911, Berlin, September 2006. Springer-Verlag.

122. Gould NIM. An algorithm for large-scale quadratic programming. Journal ofNumerical Analysis 1991; 11 (3):299-324.

123. Hall JAJ, McKinnon KIM. The simplest examples where the simplex method cycles and conditions where EXPAND fails to prevent cycling. Mathematical Programming 2004; 100(1): 133-50.

124. Hazell P., Norton R., Mathematical Programming for Economic Analysis in Agriculture. MacMillan Publishing Company, New York, 1986, p.404

125. Heady E.O.// Economics of Agricultural Production and Resourse Use/ Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1952

126. Heady E.O.//Simplified presentation and logical aspects of linear programming technique/ Journal of Farm Economics 24: 1035-48, 1954

127. Hwang Ching-Lai and Abu Syed Md. Masud (1979). Multiple Objective Decision Making Methods and Applications. Springer Verlag.

128. Karmarkar N.K. A new polynomial-time algorithm for linear programming // Combinatorica. - 1984. - No 4. - P. 373-395.

129. King R.A. Some applications of activity analysis in agricultural economics/ Journal of Farm Economics 25: 823-33

130. Knight ([1921] 1935) pp.19-20

131. Knight F. Risk, Uncertainty and Profits. L., 1921.

132. Kobrin SJ. Managing political risk assessment: Strategic response to environmental change. California, 1982,

133. Kostreva MM. Cycling in linear complementarity problems. Mathematical Programming 1979;16:127-30.

134. Learner, Edward E. Sensitivity Analysis would help// The American Economic Review//1985 - 75(3) p.308-313.

135. Lucke W. Investionslexikonm, 2.Aufl. Miinchen, 1991

136. Magnanti TL, Orlin JB. Parametric linear programming and anti-cycling pivoting rules.Mathematical Programming Series A 1988; 41(3):317-25.

137. Mathews J.H., Fink K.K. Numerical Methods Using Matlab, 4th, Edition, 2004 ISBN: 0-13-065248-2

138. Mintzberg H., Raisinghani D., Theoret A. The structure of unstructured decision process. Administrative Science Quarterly, 1976, 21, 246275.

139. Mohan SR. Degeneracy subgraph of the Lemke complementary pivot algorithm and anticycling rule. Journal of Optimization Theory and Applications 1997;94(2):409-23.

140. Morton W. "Risk and Return: Instability of Earnings as a Measure of Risk", Vol.45, No.2. (May, 1969), pp. 229-261.

141. Myers S. C. Interactions of Corporate Financing and Investment Decisions Implications//!. Finance, V. 29, № 1, 1974.

142. Nelder J.A., Mead R. A simplex Method for Function Minimization, Computer J., No. 7,1964 pp. 308-313.

143. Nicholson W., Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 5th ed., Dryden Press/Harcourt-Brace-Jovanovich, NewYork, 1992.

144. Pan PQ. Practical finite pivoting rules for the simplex method. Operations Research Spectrum 1990; 12 (4):219-25.

145. Pareto, Vilfredo. Cours D'Economie Politique, volume I and II. F. Rouge, Lausanne, 1886

146. Raghunathan, A., Biegler L.T. An interior point method for mathematical programs with complementarity constraints (MPCCs). SIAM J. Optim. 15(3) 720-750, 2005.

147. Rao S.S., Engineering Optimization - Theory and Practice, Third Edition, New Age International Limited, New Delhi, 2000

148. Ravindran A., D.T. Phillips and J.J. Solberg, Operations Research -Principles and Practice, John Wiley & Sons, New York, 2001.

149. Rice G., Mahmoud E. A managerial procedure for political risk forecasting // Management International Review, 1988, Vol.26

150. Richter R., Schlieper U., and Friedmann W., MakroÖkonomik, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1975

151. Robbins L., An Essay on the Nature and Significance of Economic Science, 2nd ed., MacMillan, London, 1935.

152. Rothschild, M. and J. Stiglitz (1970) "Increasing risk: 1. A definition", Journal of Economic Theory 2:225-243.

153. Ryan D.M., Osborne M.R. On the solution of highly degenerate linear programs//Mathematical Programming. 1988. V. 41.

154. Samuelson P., Nordhaus W.D. Economics: An Introductory Analysis. Oxford :Oxford University Press, 2005.

155. Saxena A. Avoiding cycling in integral simplex methods. First Summer Paper, Graduate School of Industrial Administration, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, USA, 2003, t http://econ.gsia.cmu.edu/gsiadoc/WP/2003-E75.pdf.

156. Seshan CR, Achary KK. On the bottleneck linear programming problem. European Journal of Operational Research 1982;9:347-52.

157. Statman M., "How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?" Journal of Financial and Quantitative Analysis 22 (September 1987), pp. 353-363.

158. Taha H.A., Operations Research - An Introduction, Prentice-Hall of India Pvt. Ltd., New Delhi, 2005.

159. Thompson GL. An integral simplex algorithm for solving combinatorial optimization problems. Computational Optimization and Applications 2002;22:351-67.

160. Van Kampen N. G. (1981). Stochastic processes in physics and chemistry. North Holland. 1981

161. Van Veldhuizen D.A. Multiobjective Evolutionary Algorithms: Classifications, Analyses, and New Innovations. PhD thesis, Department of Electrical and Computer Engineering. Graduate School of Engineering. Air Force Institute of Technology, Wright-Patterson AFB, Ohio, May 1999.

162. Webster's Encyclopedic Unabridged Dictionary of the English Language. - N.Y., 1989, p.1236

163. Weingarten P. (2001). Comments on the Plausibility of the 1997 Data Base of the EPACIS Model, TACIS Project "Support to Improving Agricultural and Food Trade among the NIS".

164. William H. Jean. On Multiple Rates of Return. Journal of Finance, March 1968. 12.

165. Zangwill W.I. The convex simplex method. Management Sciences 1967;14:221-38.

166. Zeleny M. Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill, 1982.

167. Zhang S. On anti-cycling pivoting rules for the simplex method. Operations Research Letters 1991; 10(4): 189-92.

168. Zornig P. Degeneracy graphs and simplex cycling. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 357.Berlin: Springer; 1991

169. Samuelson, P. A., & Nordhaus, W. D. (1998). Economics, 16th ed., Irwin/McGraw-Hill.