Модели прогнозирования и алгоритмы анализа временных рядов для поддержки принятия управленческих решений в социально-экономической сфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.10, кандидат наук Степанов Максим Анатольевич

• Степанов Максим Анатольевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Степанов Максим Анатольевич

Введение

1 ОБЗОР ПОДХОДОВ К АНАЛИЗУ И ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПОДДЕРЖКЕ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

1.1 Постановка задачи анализа и прогнозирования временных рядов социально-экономической сферы

1.2 Общие аспекты анализа и прогнозирования временных рядов

1.3 Принципы анализа и прогнозирования временных рядов

1.3.1 Исследование структуры стационарного временного ряда

1.3.2 Линейные модели временных рядов

1.4 Недостатки традиционных подходов к анализу и прогнозированию временных рядов

1.5 Анализ временных рядов на основе фазовых портретов

1.6 Прогнозирование временных рядов с привлечением инструментария теории нечетких множеств

1.7 Кластеризация временных рядов

1.7.1 Общие аспекты задачи кластеризации

1.7.2 Алгоритмы кластеризации

1.7.3 Показатели качества кластеризации

1.7.4 Специфика кластеризации временных рядов

Выводы по главе

2 АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ДЛЯ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

2.1. Алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах временных рядов с использованием инструментария нечеткой кластеризации

2.2. Алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах временных рядов с использованием инструментария иерархической

кластеризации

2.3 Предварительный анализ данных в задаче кластеризации с использованием алгоритмов нелинейного снижения размерности

2.4 Методики анализа временных рядов социально-экономической сферы, основанные на построении фазовых портретов

2.5 Анализ и прогнозирование временных рядов с использованием уравнения нечеткой регрессии

2.6 Примеры решения задачи выявления структурных трансформаций в группах временных рядов

2.6.1 Примеры анализа групп временных рядов с использованием алгоритма выявления структурных трансформаций на основе инструментария нечеткой кластеризации

2.6.2 Примеры анализа групп временных рядов с использованием алгоритма выявления структурных трансформаций на основе инструментария иерархической кластеризации

2.6.3 Пример предварительного анализа группы временных рядовс использованием алгоритмов нелинейного снижения размерности

2.6.4 Примеры анализа групп временных рядов с использованием методик

анализа временных рядов, основанных на построении фазовых портретов

2.6.5 Примеры анализа временных рядов и формирования прогнозов с

использованием уравнения нечеткой регрессии

Выводы по главе

3 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ВТОРОГО ТИПА

3.1 Базовая модель прогнозирования на основе интервальных дискретных

нечетких множеств второго типа

3.1.1 Аспекты реализации модели прогнозирования на основе интервальных дискретных нечетких множеств второго типа

3.1.2 Расчет центроида интервального дискретного нечеткого множества второго типа

3.2 Генетический алгоритм поиска оптимальных значений параметров FOU-модели прогнозирования

3.2.1 Аспекты реализации однокритериального генетического алгоритма

3.2.2 Аспекты реализации многокритериального генетического алгоритма

3.2.3 Адаптация диапазонов изменения значений параметров генетического алгоритма

3.2.4 Решение проблемы контроля за «нижним» и «верхним» значениями функции принадлежности интервального дискретного нечеткого множества второго типа

3.2.5 Реализация однокритериального генетического алгоритма

3.2.6 Реализация многокритериального генетического алгоритма

3.3 Двухэтапный анализ вариативности временного ряда с использованием FOU-модели прогнозирования

3.4 Примеры решения задач с использованием многокритериальных FOU-моделей прогнозирования

3.4.1 Примеры решения задачи краткосрочного прогнозирования

3.4.2 Примеры решения задачи анализа вариативности временного ряда

3.4.3 Сравнительный анализ классических и FOU-моделей прогнозирования

Выводы по главе

4 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ

4.1 Общие характеристики программного продукта

4.2 Описание средств разработки программного продукта

4.3 Описание данных, форматы чтения данных и записи результатов

4.4 Структура программного продукта

4.5 Интерфейс программного продукта

4.6 Выявление структурных трансформаций в группах временных рядов с использованием инструментария нечеткой кластеризации

4.7 Выявление структурных трансформаций в группах временных рядов с использованием инструментария иерархической кластеризации

4.8 Фазовый портрет временного ряда

4.9 Анализ и прогнозирование на основе нечеткой регрессии

4.10 ^Ои-анализ и прогнозирование

Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 Визуализация результатов иерархической кластеризации

показателей социально-экономического развития Рязанской области

Приложение 2 Характеристики регрессионных моделей прогнозирования

Приложение 3 Графические результаты решения задачи анализа вариативности временных рядов, характеризующих различные аспекты социально-экономического развития Рязанской области за 2002 - 2018 годы

Приложение 4 Характеристики классических и ^Ои-моделей прогнозирования для временных рядов, характеризующих различные аспекты социально-экономического развития Рязанской области

Приложение 5 Копии актов внедрения результатов диссертационной работы

Приложение 6 Копии свидетельств о регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели прогнозирования и алгоритмы анализа временных рядов для поддержки принятия управленческих решений в социально-экономической сфере»

Введение

Актуальность темы исследования. Адекватное и обоснованное решение задач прогнозирования и анализа временных рядов (ВР) в условиях формирования системы стратегического планирования и целеполагания в настоящее время приобретает особую актуальность. Реализация Указов Президента Российской Федерации от 07.05.2018 №204 «О национальных целях и стратегических задачах развития Российской Федерации на период до 2024 года» и от 21.07.2020 № 474 «О национальных целях развития Российской Федерации на период до 2030 года», определяющих конкретное параметрическое выражение целевого уровня социально-экономического развития России на среднесрочную и долгосрочную перспективы требует от исполнителей использования комплексного инструментария анализа и прогнозирования текущего состояния и динамики значений ключевых показателей развития. Прогнозирование, в том числе на региональном уровне начинает играть существенную роль при реализации проектов и принятии управленческих решений в социально-экономической сфере. Особое внимание должно уделяться не только прогнозированию значений отдельных значений показателей, представленных временными рядами, но и прогнозированию структурных трансформаций во временных рядах для этих показателей. Это связано с тем, что помимо внеэкономических факторов, которые могут серьезно влиять на состояние экономики и социальное благополучие (ярким примером стало распространение новой короновирусной инфекции COVID-19 и последствия, вызванные мерами, по эффективному преодолению пандемии) существует также ряд экономических факторов (в частности циклические колебания социально-экономического развития, смена технологических укладов, структурные диспропорции в экономике и другие), которые серьезно влияют на динамику временных рядов, количественно характеризующих уровень социально-экономического развития регионов и которые необходимо учитывать при разработке, принятии и реализации конкретных решений, проектов и программ.

В настоящее время, как показывает анализ, наблюдаются различные структурные трансформации ряда ключевых показателей социально-экономической сферы многих регионов страны, вызванные, прежде всего, макроэкономическими факторами, что негативно сказывается как на состоянии экономики в целом, так и на уровне жизни населения, в частности [1].

В связи с этим актуальной является задача разработки алгоритмов ранней диагностики и прогнозирования структурных трансформаций ВР показателей социально-экономической сферы регионов. Решение этой задачи должно обеспечить возможность согласованного целевого управления социально-экономическим развитием регионов, а также - возможность прогнозирования этого развития для ключевых показателей социально-экономической сферы посредством корректировки проводимой социальной и экономической политики.

Для оценки динамики социально-экономического развития региона в России используется более 100 показателей, представленных короткими ВР. Трудности, имеющие место при диагностике и прогнозировании структурных трансформаций ВР социально-экономической сферы вызваны, в первую очередь ограниченностью объема сопоставимой информации, что не позволяет применять многие методы и алгоритмы анализа и прогнозирования, предполагающие вовлечение в анализ данных ВР с большой длиной актуальной части [2, 3].

Ограниченность объема актуальной информации может быть вызвана как резкими изменениями в развитии уже давно наблюдаемых ВР, так и появлением сравнительно новых ВР, для которых накопление информации только начато. Кроме того, ограниченность объема актуальной информации может быть объяснена еще и введением новых методик расчета ключевых показателей социально -экономической сферы, в связи с чем более ранние оценки показателей могут быть несопоставимы. В результате аналитикам приходится иметь дело с короткими ВР, то есть временными рядами с короткой актуальной частью, длина которой не превышает 20 - 30 отсчетов времени. При этом важной задачей остается выявление совокупности факторов, влияющих на развитие тех или иных показателей социально-экономической сферы.

Классические принципы прогнозирования ВР изложены в работах таких отечественных и зарубежных авторов, как С.А. Айвазян, Т. Андерсен, Дж. Бен-дит, Дж. Бокс, Д. Бриллинджер, Е.З. Демиденко, Г. Дженкинс, М. Джонсон, М. Кендэл, Б. Монтгомери, В.С. Мхитарян, В.С. Степанов, А. Стьюарта, К.Чатфилд.

В число наиболее известных инструментальных средств для анализа ВР входят такие статистические пакеты, как: CART, Deductor, Forecast Expert, Predictor, SAS, SPSS, STATGRAPHICS, STATISTICA, Статистик-Консультант, ЭВРИСТА.

Однако все эти статистические пакеты не обеспечивают эффективное решение задач анализа и прогнозирования показателей социально-экономической сферы как по причине малого объема имеющегося в наличии статистического материала, так и в виду сложности самих задач, поскольку реализуют лишь классические подходы к анализу и прогнозированию ВР, требующие от аналитиков глубоких знаний в области статистики и эконометрики и обеспечивающие получение приемлемых результатов прогнозирования для ВР, длина которых, как правило, составляет не менее 50 отсчетов времени, не позволяют принимать решения в условиях неполноты и неопределенности (неточности) знаний и не отличаются гибкостью в смысле комбинирования различных подходов к обработке информации и принятию решений.

Нестационарность многих коротких ВР, сопоставленных социально-экономическим показателям, приводит к невозможности получения адекватных прогнозных решений с применением классических методов, моделей и алгоритмов прогнозирования. Кроме того, разработка классических моделей прогнозирования, адекватно описывающих динамику развития временных рядов социально-экономической сферы, требует тщательного анализа и учета всех влияющих факторов, что практически невозможно ввиду неполноты знаний о влиянии факторов и взаимозависимостях.

Актуальность темы исследования обусловлена существенной ролью прогнозирования в механизме управления социально-экономическим развитием регионов

и при определении перспективных направлений реализации региональной политики.

Комплексность и системность показателей, характеризующих социально-экономическое развитие регионов, делает практически невозможным обоснованное формирование ключевых положений региональной стратегии и политики без использования современных алгоритмов и моделей, обеспечивающих обоснованный и адекватный анализ и прогнозирование ВР, характеризующих показатели социально-экономической сферы.

Таким образом, существует необходимость в разработке новых подходов к решению задач анализа и прогнозирования коротких ВР, сопоставленных показателям социально-экономического развития региона. При этом значительный интерес представляет комплексное развитие современных технологий интеллектуального анализа данных, предполагающего активное извлечение знаний из имеющейся в наличии информации. К таким технологиям в контексте работы с показателями социально-экономической сферы, представленными короткими временными рядами, в условиях неполноты (неточности, неопределенности) и ограниченности объемов данных и необходимости решения задач раннего выявления структурных трансформаций в группах ВР, а также - задач прогнозирования, следует отнести технологии, реализующие применение инструментария теории нечетких множеств, генетических алгоритмов, кластерного и фазового анализа [6, 20, 54, 55, 69, 76, 82, 100].

Степень разработанности темы.

Серьезные исследования в области кластерного анализа ведутся, начиная с середины XX века. Одним из первых алгоритмов кластеризации, активно применяемым и в настоящее время, принято считать алгоритм ^-средних, основные принципы которого были сформулированы Г. Штейнгаузом в 1956 году и С. Ллойдом в 1957 году.

Основные принципы современного кластерного анализа отражены в работах таких отечественных и зарубежных авторов, как Г. Болл, М. Брюинош, Д.А. Вятченин, Р. Дженсен, Д. Дюраа, М. Жамб, Н.Г. Загоруйко, Т. Кохонен,

Г. Ланс, С. МакНотон, Г. Миллиган, П. Оделл, Дж. Рубин, У. Уильямс, Х. Фридман.

Алгоритмы кластерного анализа, вовлекающие в принятие решений инструментарий теории нечетких множеств, предложены и исследованы такими учеными, как Дж.К. Беждек, Дж.К. Данн, Р.Н. Дейв, Р. Кришнапурам, Я. Охаши. При этом базовым алгоритмом нечеткой кластеризации принято считать алгоритм нечетких с-средних (fuzzy c-means algorithm, FCM-алгоритм).

Ряд работ таких авторов, как Я. Батистакис, Г. Бени, Х. Галда, И. Гаф, А. Гева, Т. Калински, Л. Кауфман, П. Дж. Руссеув, С. Се, М. Халкиди, Дж. Хара-баш, Ю. Фукуяма, посвящен разработке и исследованию показателей качества кластеризации.

Вопросам кластеризации ВР посвящены работы таких исследователей, как С. Агабозорги, Т.И. Вах, Д. Гада, Ж. Гама, Л. Гравано, С. Гуань, К. Калпакис, Дж. Папарризос, Ж.П. Педросо, В.Путтагунта, Ц. Пэн, П.П. Родригес, Л.Н. Фер-рейраа, Л. Чжаоб, Ч. Чжу, А.С. Ширхоршиди. Однако все эти работы оперируют с длинными ВР, для которых возможно применение классических статистических подходов, предполагающих вычисление различных статистик, а также выполнение операций сдвига, растяжения и сжатия, что принципиально не реализуемо для коротких ВР.

Аспекты фазового анализа ВР подробно отражены в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как В.С. Анищенко, А. Вольф, К.Г. Гилмор, А.В. Головко, В.Б. Занг, Д.П. Кратчфилд, В.А. Перепелица, Э. Петерс, Л.Н. Сергеев, Г. Шустер. При этом большинство работ связано с исследованием длинных ВР и практически не затрагивает вопросы комплексного использования полученных результатов в решении прикладных задач социально-экономической сферы.

В последние годы все большее применение при решении прикладных задач, многим из которым присуща некоторая степень неопределенности, обусловленная неполнотой (неточностью, неопределенностью) анализируемой информации, находит инструментарий теории нечетких множеств (ТНМ), базирующейся на идеях, предложенных в 1965 году Л.А. Заде.

Существенный вклад в развитие ТНМ внесли такие отечественные и зарубежные ученые, как А.Н. Аверкин, А.В. Алексеев, Р. Беллман, Л.С. Бернштейн, А.Н. Борисов, Л.А. Заде, Н.Н. Карник, А. Кофман, О.А. Крумберг, Н.Г. Малышев, Дж.М. Мендель, К. Негойце, С.А. Орловский, Р. Ягер. В настоящее время при решении задач оперируют как нечеткими множествами первого типа, так и нечеткими множествами второго типа, являющимися расширением первых. При этом с целью минимизации вычислительных затрат обычно работают с интервальными дискретными нечеткими множествами второго типа (ИДНМТ2) на основе отпечатков неопределенности FOU (Footprint Of Uncertainty).

Вопросам разработки моделей прогнозирования коротких ВР с использованием инструментария ТНМ посвящены работы таких исследователей, как С.Брэд, Л.Х. Ванг, Л.В. Ли, М. Стивенсон, Дж.Э. Портер, Н. Рамли, П. Саксен, П.К.Л. Си-лва, К. Сонг, С.М. Чен, Й.-Ч. Ченг, Б.С. Чиссом, К. Шарма, Х. Фэн, Х.-Х. Юй. При этом особое внимание уделяется разработке нечетких регрессионных моделей, что отражено в работах таких авторов, как М.А. Вила, Х. Ли, Н. Марон, Ш. Пе-дрич, Д.А. Савич, М. Сакава, Дж.К. Сонг, Х. Танака, Д.Х. Хонг, Х. Яно.

Отечественные основы управления социально-экономическими системами (СЭС) разработаны такими учеными, как: А.Г. Гранберг, Н.Н. Колосовский, С.М. Лавлинский, А.А. Мясников, Н.Н. Некрасов, Д.А. Новиков и др.

Как показывает анализ результатов прогнозирования с применением моделей, предполагающих привлечение инструментария ТНМ, довольно часто такие модели не обеспечивают получение адекватных результатов прогнозирования по причине недостаточно обоснованного выбора значений параметров моделей. При этом поиск эффективных решений приводит к существенным временным затратами из-за необходимости реализации переборных методов подбора значений параметров. Кроме того, неоднозначным является решение о выборе в качестве критерия качества модели какого-либо одного показателя (обычно - показателя, реализующего расчет средней относительной ошибки прогнозирования). Целесообразной была бы оценка качества модели прогнозирования с применением не-

скольких показателей. Одновременное решение выявленных проблем может быть получено с привлечением тех или иных эволюционных алгоритмов оптимизации.

Эволюционные алгоритмы оптимизации обеспечивают адекватное решение прикладных задач, трудноразрешимых классическими методами оптимизации (в том числе, - NP-полных задач оптимизации). Наиболее известными эволюционными алгоритмами оптимизации являются генетические алгоритмы (ГА), реализующие поиск оптимальных решений с привлечением принципов эволюционных вычислений, основанных на генетических процессах, происходящих в биологических организмах. При этом осуществляется поиск экстремума некоторой целевой функции - так называемой функции соответствия (fitness function). Базовые принципы ГА были сформулированы в 1975 году Дж.Х. Холландом и получили свое развитие в работах таких ученых, как Н.А. Барричелли, Д.И. Батищев, Л.А. Гладков, Д.И. Голдберг, В.В. Емельянов, А.П. Карпенко, В.В. Курейчик, В.М. Курей-чик, А.П. Ротштейн, Д. Рутковская, Е.С. Семенкин, Л.Дж. Фогель. В настоящее время предложено большое число различных эволюционных алгоритмов оптимизации, реализующих различные модели поведения, заимствованные из живой природы, и относящиеся к так называемым биоинспирированным алгоритмам оптимизации, среди которых можно назвать алгоритм роя частиц, пчелиный алгоритм, муравьиный алгоритм, алгоритм косяка рыб и др. Одним из важных достижений в области эволюционных алгоритмов оптимизации следует считать адаптацию этих алгоритмов к решению многокритериальных задач оптимизации, что позволяет выполнять поиск оптимального решения с учетом нескольких целевых функций. При этом одним из эффективных считается многокритериальный генетический алгоритм оптимизации, предложенный группой ученых во главе с К. Дебом в 2002 году и реализующий формирование фронта Парето-оптимальных решений.

Использование принципов многокритериальной оптимизации при реализации генетических алгоритмов должно обеспечить решение проблемы выбора оптимальных значений параметров моделей прогнозирования коротких ВР, предполагающих привлечение инструментария теории нечетких множеств, при приемлемых временных затратах.

Очевидно, что несмотря на наличие значительного числа работ, посвященных проблемам прогнозирования ВР, вопросам кластерного и фазового анализа, аспектам теории нечетких множеств и эволюционных вычислений, существует необходимость разработки новых подходов к анализу и прогнозированию ВР социально-экономической сферы, которые позволили бы в комплексе использовать инструментарий интеллектуального анализа данных с целью существенного повышения качества информации для разработки адекватной и обоснованной региональной политики.

Цель работы - повышение обоснованности и адекватности принимаемых управленческих решений посредством разработки моделей прогнозирования и алгоритмов анализа показателей социально-экономической сферы региона, актуальные значения которых представлены короткими временными рядами, и автоматизации указанных процессов прогнозирования и анализа.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Выполнить анализ применимости инструментария теории нечетких множеств и генетических алгоритмов для разработки регрессионных и многокритериальных моделей прогнозирования коротких временных рядов, исследовать возможности инструментария кластерного и фазового анализа в задаче выявления структурных трансформаций в группах временных рядов.

2. Разработать модели прогнозирования и анализа временных рядов с использованием инструментария теории нечетких множеств и генетических алгоритмов.

3. Разработать методику оценки вариативности коротких временных рядов социально-экономической сферы.

4. Разработать алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах коротких временных рядов социально-экономической сферы с применением инструментария кластерного и фазового анализа.

5. Разработать пакет прикладных программ (ППП) для автоматизации анализа и прогнозирования коротких ВР с применением предложенных алгоритмов и моделей.

Объектом исследования являются технологии анализа и прогнозирования временных рядов.

Предметом исследования являются показатели социально-экономической сферы региона, актуальные значения которых представлены короткими временными рядами.

Область исследования соответствует паспорту научной специальности 05.13.10 - Управление в социальных и экономических системах, пункту 6 «Разработка и совершенствование методов получения и обработки информации для задач управления социальными и экономическими системами», пункту 10 «Разработка методов и алгоритмов интеллектуальной поддержки принятия управленческих решений в экономических и социальных системах».

Научная новизна результатов диссертационного исследования.

1. Предложена модель прогнозирования и анализа коротких временных рядов на основе регрессионного анализа, отличающаяся использованием уравнения нечеткой регрессии с асимметричными параметрами и генетического алгоритма, позволяющая оценить уровень неопределенности поведения временного ряда в контексте выбранного уравнения нечеткой регрессии, а также сформировать на его основе сценарный прогноз показателей социально-экономической сферы региона на один шаг вперед.

2. Предложена универсальная многокритериальная FOU-модель прогнозирования, отличающаяся использованием двух минимизируемых критериев, позволяющая посредством реализации генетического алгоритма сделать сценарный прогноз на один шаг вперед и охватывающая частный случай, предполагающий представление временных рядов на основе дискретных нечетких множеств первого типа.

3. Предложена методика оценки вариативности коротких временных рядов социально-экономической сферы, отличающаяся выполнением двухэтапного анализа временного ряда с учетом значений элементов как исходного временного ряда, так и временного ряда, содержащего значения показателя Херста или фрактальной размерности, с применением универсальной многокритериальной FOU-

модели прогнозирования и позволяющая повысить обоснованность оценки вариативности временного ряда.

4. Разработан алгоритм выявления структурных трансформаций в группах коротких временных рядов социально-экономической сферы, отличающийся использованием нечетких с-средних и позволяющий, в случае хорошей отделимости кластеров, выполнить анализ поведения групп показателей социально-экономического развития и выявить структурные трансформации (изменения в их динамике) на ранних стадиях появления.

5. Разработаны алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах коротких временных рядов социально-экономической сферы, отличающиеся использованием иерархической агломеративной кластеризации, не накладывающей на группу временных рядов жесткие требования хорошей отделимости кластеров, и позволяющие выполнить анализ поведения групп показателей социально-экономического развития и выявить структурные трансформации на ранних стадиях появления в случаях, когда осуществляется анализ показателей социально-экономического развития, относящихся к разным подсистемам социально-экономической системы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Основные положения диссертационной работы вносят вклад в развитие методов обработки информации для поддержки принятия управленческих решений, в частности, в развитие средств прогнозирования и анализа показателей социально-экономической сферы, представленных короткими временными рядами, - предложены и исследованы новые модели прогнозирования и алгоритмы анализа указанных коротких временных рядов на основе инструментария теории нечетких множеств, генетических алгоритмов и кластерного анализа.

Выводы и результаты исследования ориентированы на практическое применение предложенных моделей и алгоритмов, использованы при анализе инвестиционных процессов и общего состояния экономического развития Рязанской области. Кроме того, результаты могут быть использованы региональными органами исполнительной власти при формировании краткосрочного сценарного про-

гноза социально-экономического развития и анализе тенденций регионального социально-экономического развития с целью повышения качества управленческих решений.

Самостоятельную практическую значимость имеет разработанный ППП, реализующий анализ и прогнозирование коротких ВР социально-экономической сферы с применением предложенных алгоритмов и моделей, подтверждающий их адекватность и эффективность.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы теории нечетких множеств, теории вероятностей, системного анализа, кластерного анализа, фазового анализа, математической статистики, интеллектуальной обработки информации, эволюционного моделирования, оптимизации, модульного и объектно-ориентированного программирования.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модель прогнозирования и анализа коротких временных рядов социально-экономической сферы с использованием регрессионной модели прогнозирования на основе уравнения нечеткой регрессии с асимметричными параметрами и генетического алгоритма, позволяющая оценить уровень неопределенности поведения временного в контексте выбранного уравнения нечеткой регрессии, а также сформировать сценарный прогноз на один шаг вперед, учитывающий возможные экстремальные отклонения значений показателей.

2. Универсальная многокритериальная ^ОЦ-модель прогнозирования, позволяющая посредством реализации генетического алгоритма обеспечить высокое качество результатов прогнозирования на один шаг вперед с формированием сценарный прогноза при приемлемых временных затратах, снижающая в ряде случаев ошибку прогнозирования показателей социально-экономической сферы региона на 0,9 - 2,1 процентных пункта.

3. Методика оценки вариативности временного ряда социально-экономической сферы, предполагающая выполнение двухэтапного анализа временного ряда с учетом значений элементов как исходного временного ряда, так и временного ряда, содержащего значения показателя Херста или фрактальной раз-

мерности, с применением универсальной многокритериальной ^ОЦ-модели прогнозирования, позволяющая повысить обоснованность оценки вариативности временного ряда.

4. Алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах коротких временных рядов социально-экономической сферы на основе алгоритмов нечеткой и иерархической агломеративной кластеризации, реализующие адекватное и обоснованное разбиение групп временных рядов на кластеры для различных длин временного ряда, получаемых при увеличении числа наблюдаемых отсчетов времени, и обеспечивающие раннее выявление структурных трансформаций в группах временных рядов при приемлемых временных затратах посредством сравнительного анализа результатов кластеризации для каждых двух последовательных отсчетов времени.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается корректным использованием методов теории нечетких множеств, теории вероятностей, системного анализа, математической статистики, интеллектуальной обработки информации, эволюционного моделирования, оптимизации, модульного и объектно-ориентированного программирования, тестированием разработанных алгоритмов и моделей, сравнением полученных результатов с результатами, полученными в специализированных пакетах прикладных программ, реализующих анализ временных рядов.

Исследования по тематике диссертационной работы проводились в рамках следующих научных проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований (РФФИ):

- проект № 18-410-623001 «Разработка механизмов и методов диагностики и прогнозирования структурных трансформаций экономики региона с учетом приоритетов устойчивого социально-экономического развития» (2018-2020 гг.) - руководитель проекта;

- проект № 20-010-00219 «Оценка влияния цифровизации на развитие промышленного производства» (2020 - 2021 гг.) - исполнитель проекта.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 6 Всероссийских и 7 Международных конференциях: XXII,

XXIII, XXIV Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании (НИТ-2018, НИТ-2019; НИТ-2020)» (г. Рязань, 2018, 2019, 2020); III Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы современной науки и производства» (г. Рязань, 2018); Всероссийской научно-технической конференции «Интеллектуальные и информационные системы (Интеллект-2019)» (г. Тула, 2019); Международной научно-технической и научно-методической конференции «Современные технологии в науке и образовании (СТН0-2017, СТН0-2019, СТН0-2020)» (г. Рязань, 2017, 2019, 2020); Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2019); 1 st, 2nd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA2019, SUMMA2020) (г. Липецк, 2019, 2020); 9th,10th Mediterranean Conference on Embedded Computing (Budva, Montenegro, 2019, 2020); 2020 IEEE International Conference on Information Technologies (InfoTech-2020 34th issue) (Varna, Bulgaria).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанов Максим Анатольевич, 2021 год

Источник данных

• Временной рад | Зафузитъ

Группа временных радоь

□ Настройка актуальности элементов временного рада

| Выполнить Стмена

Рисунок 4.6 - Окно программного модуля, реализующего алгоритм построения фазового портрета с целью выявления актуальной длины временного ряда

В зависимости от выбора того или иного переключателя в группе «Источник данных» становится активным одно из полей для выбора имени файла, содержащего один ВР или группу ВР (рисунок 4.6).

В случае работы с одним ВР реализуется построение его фазового портрета (рисунок 2.17), выявление аттракторов и их длины с целью определения актуальной длины ВР, приемлемой для разработки FOU-модели прогнозирования (обычно акая длина составляет от 20 до 30 отсчетов времени). В случае работы с группой ВР реализуется построение фазового портрета для каждого ВР группы, а также выявление аттракторов и их длины для каждого ВР с целью определения общей одинаковой актуальной длины для всех ВР группы. В дальнейшем к группе ВР с новой длиной возможно применение тех или иных алгоритмов кластерного анализа (например, с целью выявления структурных трансформаций в группе ВР).

4.9 Анализ и прогнозирование на основе нечеткой регрессии

При выборе опции «Анализ и прогнозирование на основе нечеткой регрессии» предполагается работа с программным модулем «Fuzzy regression model», реализующим построение уравнения нечеткой регрессии (п. 2.4, глава 2), которое может быть использована для формирования пессиместического, нейтрального и оптимистического прогнозов на один шаг вперед, а также для оценки уровня неопределенности поведения ВР (рисунок 4.7). При этом открывается окно, работая в котором, можно загрузить .xlxs-файл, содержащий информацию о ВР. Выбор имени файла осуществляется стандартным образом при нажатии кнопки «Загрузить». Результаты расчетов выводятся в .txt-файл и в командное окно.

При выборе только одного типа уравнения нечеткой регрессии для его построения решается задача квадратичного программирования вида (2.24), (2.25) -(2.27), модифицированная с учетом типа уравнения нечеткой регрессии. При выборе нескольких типов уравнений нечеткой регрессии реализуется возможность решения задачи одновременного поиска типа уравнения нечеткой регрессии и значений его параметров. При этом становятся доступными для модификации поля в группе «Параметры генетического алгоритма».

4к Анализ и п

рогнозирование на основе нечеткой регрессии

□ X

Временной ряд

Загрузить

Параметры генетического алгоритма

Число поколений 1000

Размер популяции 40

Коэфф и ци е нт скр е щи ва н ия 0.31

Коэффициент мутации 0.1

Уравнения нечёткой регрессии 0 Линейная П Квадратичная

□ Экспоненциальная

□ Логарифмическая

Вариант работы

0 Прогнозирование

□ Анализ

Рисунок 4.7 - Окно программного модуля, реализующего анализ и прогнозирование на основе уравнения нечеткой регрессии

При выборе варианта работы «Прогнозирование» осуществляется построение уравнения нечеткой регрессии некоторого типа (выбранного априори или выбираемого в качестве лучшего при реализации ГА) и его применение для прогнозирования на один шаг вперед. При этом реализуется построение графических зависимостей для реального ВР и ВР на основе нечеткой регрессии, в том числе -графических зависимостей для верхней и нижней границ коридора нечеткой ре-гресссии, а также - отображение реального и прогнозных значений элементов ВР на один шаг вперед, в том числе - пессимистического, нейтрального (классического) и оптимистического значений, формируемых на основе уравнения нечеткой регрессии (рисунок 2.42).

Результатами работы программного модуля при выборе варианта работы «Прогнозирование» являются:

- тип уравнения нечеткой регрессии (если он априори не задан);

- значения параметров уравнения нечеткой регрессии;

- табличные результаты, позволяющие оценить соответствие модельных значений элементов ВР реальным на обучающей последовательности элементов ВР;

- значения нечетких мер подобия (2.34) и (2.35);

- пессимистическое, классическое (нейтральное) и оптимистическое значение прогнозов на один шаг вперед;

- время разработки уравнения нечеткой регрессии.

Анализ результатов разработки уравнения нечеткой регрессии позволяет сделать вывод о величине размаха между оптимистическим и пессимистическим значениями элементов ВР как на ретроспективных (исторических) данных, так и спрогнозировать величину этого размаха на один шаг вперед.

При выборе варианта работы «Анализ» реализуется оценка уровня неопределенности поведения ВР относительно выбранного типа уравнения нечеткой регрессии с расчетом группы показателей (п. 2.5.4, таблица 2.7, глава 2).

Следует отметить, что возможна одновременная реализация обоих вариантов работы программного модуля «Fuzzy regression model».

При необходимости возможно предварительно осуществить работу программного модуля «Phase portrait» с целью подбора обучающей последовательности данных актуальной длины (а именно - с целью определения актуальной длины ВР).

4.10 FOU-анализ и прогнозирование

При выборе опции «FOU-анализ и прогнозирование» предполагается работа с программным модулем «Fuzzy forecasting model», реализующим разработку многокритериальной FOU-модели прогнозирования (п. 3.2.6, глава 3), которая может быть использована для выполнения FOU-анализа и прогнозирования на один шаг вперед (рисунок 4.8). При этом открывается окно, работая в котором, можно загрузить .xlxs-файл, содержащий информацию о ВР.

При разработке многокритериальной FOU-модели прогнозирования можно использовать значения параметров ГА, заданные по умолчанию (рисунок 4.8), или установить другие значения тех или иных параметров.

Кроме того, можно выбрать один из двух способов формирования Парето -фронта решений (п. 3.2.1, глава 3):

- способ, предполагающий поиск Парето-решений в каждом поколении ГА с формированием пула этих решений (без повторов) и перенос Парето-решений в популяции в начало списка в произвольном порядке при упорядочении всех решений в текущей популяции по убыванию значений функции соответствия (3.10) (чем ближе решение к началу списка, тем больше вероятность того, что оно будет выбрано для выполнения дальнейших модификаций, направленных на улучшение уже найденных решений);

- способ, предполагающий поиск Парето-решений в каждом поколении ГА с формированием пула этих решений (без повторов) и упорядочение всех решений в текущей популяции на основе аддитивной свертки по критериям (3.10) и (3.12) (при этом в начало списка сначала помещаются упорядоченные Парето-решения, а потом - остальные упорядоченные решения).

^J FOU-а нал из и прогнозирование — □ X

Временной род Загрузить |

Параметры генетического алгоритма Вариант работы

Число поколений [ 1000 0 Прогнозирование

□ FOU-анализ Вспомогательный ряд

Размер популяции ^ 40 (•) Показатель Херста

Коэффи ци е нт скр е щи ва н ия Ц 0.3 О Фрактальная размерность

Коэффициент мутации Г 0.1

Способы формирования Парето-фронта решений

• Поиск Парето-решений в каждом поколении с формированием пула (с переносом Парето-решений в начало списка в произвольном порядке при упорядочении}

О Парето-фронт решений в каждом поколении с формированием пула [с переносом Парето-решений в начало списка на основе аддитивной свёртки при упорядочении)

| Выполнить | | Отмена

Рисунок 4.8 - Окно программного модуля, реализующего FOU-анализ и прогнозирование

Forecasting,tit +

56

57 53 5S 60 61 Í2 Í3 64 с 5 ft 67

Результаты разработки FOU-модели прогнозирования

Интервал изменения фактора = [-18382.503 , 57577.543]

Числи подинтервалов = alfa (нижнее} = alfa alfa (верхнее) = 0.25014 Порядок модели = 3

D1 = -21475.002 53 D2 = 9715.542 ь7

Рисунок 4.9 - Фрагмент текстового файла с информацией о значениях параметров FOU-модели прогнозирования

При выборе варианта работы «Прогнозирование» осуществляется разработка многокритериальной FOU-модели прогнозирования и ее применение для прогнози-ровния на один шаг вперед. При этом реализуется построение графических зависимостей для реального и модельного ВР, в том числе - графических зависимостей для верхней и нижней границ, формируемых на основе «отпечатка неопределенности» FOU, а также - отображение реального и прогнозных значений элементов ВР на один шаг вперед, в том числе - пессимистического, нейтрального (классического) и оптимистического значений, формируемых на основе «отпечатка неопределенности» FOU (рисунок 3.7, а).

Кроме того, реализуется графическое представление Парето-фронта решений (рисунок 3.7, б).

Результатами работы программного модуля при выборе варианта работы «Прогнозирование» являются:

- значения параметров FOU-модели прогнозирования;

- сформированные группы НЛЗ того или иного порядка к, оптимальное значение которого найдено при реализации ГА;

- табличные результаты, позволяющие оценить соответствие модельных значений элементов ВР реальным на обучающей последовательности элементов ВР;

- значения оценок по критерию (3.18) на основе средней относительной ошибки прогнозирования AFER (3.10) и по критерию на основе показателя несовпадения тенденций Tendency (3.12);

- число несовпадения тенденций из общего числа тенденций;

- пессимистическое, классическое (нейтральное) и оптимистическое значение прогнозов на один шаг вперед;

- время разработки FOU-модели прогнозирования.

Анализ результатов разработки FOU-модели позволяет сделать вывод о величине размаха между оптимистическим и пессимистическим значениями элементов ВР как на ретроспективных (исторических) данных, так и спрогнозировать величину этого размаха на один шаг вперед.

При выборе варианта работы «FOU-анализ» осуществляется разработка двух многокритериальных FOU-моделей прогнозирования для исходного ВР и вспомогательного ВР, построенного на основе значений показателя Херста или фрактальной размерности для анализируемого ВР (п. 3.3, глава 3).

Выбор типа вспомогательного ВР становится возможным при выборе переключателя «FOU-анализ». При этом реализуется построение графических зависимостей для реальных и модельных ВР, в том числе - графических зависимостей для верхней и нижней границ, формируемых на основе «отпечатка неопределенности» FOU.

Кроме того, реализуется графическое представление Парето-фронта решений.

Результатами работы программного модуля при выборе варианта работы «FOU-анализ» являются:

- значения параметров двух FOU-моделей прогнозирования, в том числе -aioWer и ccupper - числа, позволяющие оценить размах «отпечатков неопределенности» FOU для обеих FOU-моделей прогнозирования;

- сформированные группы НЛЗ того или иного порядка к, оптимальные значения которых для двух FOU-моделей прогнозирования найдены при реализации ГА;

- табличные результаты, позволяющие оценить соответствие модельных значений элементов обоих ВР реальным на обучающих последовательностях элементов соответствующих ВР;

- значения оценок по критерию (3.18) на основе средней относительной ошибки прогнозирования AFER (3.10) и по критерию на основе показателя несовпадения тенденций Tendency (3.12) для обоих ВР;

- число несовпадения тенденций из общего числа тенденций для обоих ВР;

- время разработки двух FOU-моделей прогнозирования.

Следует отметить, что возможна одновременная реализация обоих вариантов работы программного модуля «Fuzzy forecasting model».

При необходимости возможно предварительно осуществить работу программного модуля «Phase portrait» с целью подбора обучающей последовательности данных актуальной длины (а именно - с целью определения актуальной длины ВР), что позволит повысить качество принимаемых решений по разработке многокритериальной FOU-модели прогнозирования и прогнозированию на один шаг вперед.

На программный модуль, реализующий FOU-анализ и прогнозирование, получено свидетельство ФГБУ «Федеральный институт промышленной собственности» Федеральной службы по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ) о государственной регистрации программ для ЭВМ [111].

Выводы по главе 4

1. Представлена структура ППП «Intellectual Time Series Analysis», предназначенного для решения задач анализа и прогнозирования показателей социально-экономической сферы, характеризуемых короткими ВР с преобладанием детерминированной компоненты при отсутствии априорной информации об их вероятностных характеристиках, в том числе, для решения задач выявления структурных трансформаций в группах ВР и разработки уравнений нечеткой регрессии и многокритериальных моделей прогнозирования, применяемых как для оценки уровня неопределенности поведения ВР, так и для прогнозирования на один шаг вперед с получением пессимистического, нейтрального (классического) и оптимистического прогнозных решений. При этом повышение качества принимаемых решений может быть обеспечено посредством построения фазовых портретов ВР с выявлением содержащихся в них аттракторов и оценкой их длин для последующего формирования актуальных обучающих последовательностей. Рассмотрены общие принципы работы с ППП «Intellectual Time Series Analysis».

2. Рассмотрены программные реализации программных модулей ППП «Intellectual Time Series Analysis», реализующих принятие решений с примением алгоритмов и моделей, предложенных в главах 2 и 3. Показано, что реализация алгоритмов выявления структурных трансформаций в группах ВР выполнена на языке Python 3.7 с использованием стандартных библиотек, обеспечивающих решение задач кластерного анализа, в частности, с применением библиотек, реализующих алгоритмы нечеткой и иерархической кластеризации. Показано, что реализация алгоритмов построения фазовых портретов, а также алгоритмов разработки уравнений нечеткой регрессии и многокритериальных моделей прогнозирования выполнена в ППП для выполнения технических вычислений MATLAB R2017a. При этом из пользовательского интерфейса в MATLAB R2017a обеспечен вызов программных модулей, реализующих алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах ВР.

3. Разработан дружественный интерфейс пользователя с ППП «Intellectual Time Series Analysis» с использованием средств дизайнера приложений App Designer MATLAB R2017a.

4. Даны рекомендации по совместному использованию программных модулей с целью повышения качества принимаемых решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решена актуальная научно-техническая задача, связанная с развитием методов обработки информации для поддержки принятия управленческих решений в социально-экономической сфере, а именно - c развитием средств прогнозирования и анализа показателей социально-экономической сферы, представленных короткими временными рядами, посредством разработки и исследования новых моделей и алгоритмов с использованием инструментария теории нечетких множеств, генетических алгоритмов, кластерного и фазового анализа.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Выполнен анализ применимости инструментария теории нечетких множеств и генетических алгоритмов для разработки регрессионных и многокритериальных моделей прогнозирования коротких временных рядов, а также исследование возможностей инструментария кластерного и фазового анализа в задаче выявления структурных трансформаций в группах временных рядов.

2. Предложена модель прогнозирования и анализа коротких временных рядов на основе регрессионного анализа, отличающаяся использованием уравнения нечеткой регрессии с асимметричными параметрами и генетического алгоритма, позволяющая оценить уровень неопределенности поведения временного ряда в контексте выбранного уравнения нечеткой регрессии, а также сформировать на его основе сценарный прогноз показателей социально-экономической сферы региона на один шаг вперед.

3. Предложена универсальная многокритериальная ^0Ц-модель прогнозирования, отличающаяся использованием двух минимизируемых критериев, позволяющая посредством реализации генетического алгоритма сделать сценарный прогноз на один шаг вперед и охватывающая частный случай, предполагающий представление временных рядов на основе дискретных нечетких множеств первого типа.

4. Предложена методика оценки вариативности коротких временных рядов социально-экономической сферы, отличающаяся выполнением двухэтапного ана-

лиза временного ряда с учетом значений элементов как исходного временного ряда, так и временного ряда, содержащего значения показателя Херста или фрактальной размерности, с применением универсальной многокритериальной ЕОи-модели прогнозирования и позволяющая повысить обоснованность оценки вариативности временного ряда.

5. Разработан алгоритм выявления структурных трансформаций в группах коротких временных рядов социально-экономической сферы, отличающийся использованием нечетких с-средних и позволяющий, в случае хорошей отделимости кластеров, выполнить анализ поведения групп показателей социально-экономического развития и выявить структурные трансформации (изменения в их динамике) на ранних стадиях появления.

6. Разработаны алгоритмы выявления структурных трансформаций в группах коротких временных рядов социально-экономической сферы, отличающиеся использованием иерархической агломеративной кластеризации, не накладывающей на группу временных рядов жесткие требования хорошей отделимости кластеров, и позволяющие выполнить анализ поведения групп показателей социально-экономического развития и выявить структурные трансформации на ранних стадиях появления в случаях, когда осуществляется анализ показателей социально-экономического развития, относящихся к разным подсистемам социально-экономической системы.

7. Разработан пакет прикладных программ, реализующий анализ и прогнозирование коротких ВР с применением предложенных алгоритмов и моделей, подтверждающий их адекватность и эффективность.

Результаты прогнозирования и анализа показателей социально-экономической сферы, представленных короткими временными рядами, с применением разработанных моделей и алгоритмов могут являться основой для повышения адекватности и обоснованности принимаемых управленческих решений на основе получаемой информации при приемлемых временных затратах.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВР временной ряд

ГА генетический алгоритм

ГНЛЗ группа нечетких логических зависимостей

ДНМТ1 дискретное нечеткое множество первого типа

ЗКП задача квадратичного программирования

ИДНМТ2 интервальное дискретное нечеткое множество второго типа

КЛР классическая линейная регрессия

НЛЗ нечеткая логическая зависимость

НЛР нечеткая линейная регрессия

НМ нечеткое множество

ППП пакет прикладных программ

СКО среднеквадратичное отклонение

СЭС социально-экономическая система

ТНМ теория нечетких множеств

ФП функция принадлежности

AFER средняя относительная ошибка прогнозирования

(average forecasting error)

FCM fuzzy с -means, FCM-алгоритм; алгоритм нечетких с-средних

FOU отпечаток неопределенности (footprint of uncertainty)

TFN треугольное нечеткое число (ТНЧ, triangle fuzzy Number)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аверкин, А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун, В.Б. Силов, В.Б. Тарасов; под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности: Справ. изд. / С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин; под ред. С.А. Айвазяна. - М.: Финансы и статистика, 1989. -607 с.

3. Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Учебник для вузов: В 2 т. 2-е изд., испр. / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - Т.1. - 656 с.

4. Андерсен, Т. Статистический анализ временных рядов / Т. Андерсен. -М.: Мир. 1976. - 756 с.

5. Андрейчиков, А.В. Анализ, синтез, планирование решений в экономике / Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 368 с.

6. Антикризисное управление: Учеб. пособие: в 2 т. Т. 2.: Экономические основы / Отв. ред. Г.К. Таль. - М.: ИНФРА-М, 2004. - 1027 с.

7. Арнольд, В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. - 3-е изд. доп. - М.: Наука, 1990. - 128 с.

8. Астахова, Н.Н. Использование почти полных строго бинарных деревьев и модифицированного алгоритма клонального отбора при разработке моделей прогнозирования временных рядов с короткой актуальной частью / Астахова, Н.Н., Демидова Л.А. // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета, 2013. - № 46-2. - С. 89-96.

9. Астахова, Н.Н. Метод прогнозирования групп временных рядов с применением алгоритмов кластерного анализа / Астахова, Н.Н., Демидова Л.А. // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии, 2015. - № 2 (30). - С. 59-79.

10. Батищев, Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач / Д.И. Батищев. - Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1995. - 217 c.

11. Белов, В.В. Автоматический выбор наилучшего порядка авторегрессии и нечеткая оценка надежности прогноза скалярных процессов в процедуре, реализующей метод Бурга / В.В. Белов, В.В. Ермаков, В.И. Чистякова // Математическое и программное обеспечение вычислительных систем: межвузовский сборник научных трудов. / под ред. Л.П. Коричнева. М.: Минобразования России; Рязань, РГРТА, 2004. - C. 13-18.

12. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. - М.: Мир, 1974. - Вып. 1 - 288 с.; Вып. 2 - 197 с.

13. Бриллинждер, Д. Временные ряды / Д. Бриллинждер. - М.: Мир, 1980. -

536 с.

14. Бурков, В.Н. Теория активных систем: состояние и перспективы / В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. - М.: Синтег, 1999. - 128 с.

15. Венцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Венцель. - М.: Наука, 1969. -

576 с.

16. Викулов, В.Е., Гурман В.И., Данилина Е.В. Эколого-экономическая стратегия развития региона: Математическое моделирование и системный анализ на примере Байкальского региона / В.Е. Викулов, В.И. Гурман, Е.В. Данилина. -Новосибирск: Наука,1990. - 184с.

17. Винтизенко, И.Г., Яковенко, В.С. Экономическая цикломатика / И.Г. Винтизенко, В.С. Яковенко. - Ставрополь: Аргус, 2008. - 425 с.

18. Воронцов, К.В. Алгоритмы кластеризации и многомерного шкалирования. Курс лекций [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан. - Режим доступа: http://www.ccas.ru/voron/download/ Clustering.pdf свободный (дата обращения 01.02.2020).

19. Вьюгин, В.В. Математические методы теории машинного обучения и прогнозирования (учебное пособие) / В.В. Вьюгин. - М.: МФТИ, 2013. - 379 с.

20. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / P. Гилмор; пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - Том 1. - 350 с. - Том 2. - 285 с.

21. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / P. Гилмор; пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - Том 2. - 285 с.

22. Гладков, Л.А. Биоинспирированные методы в оптимизации / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик, П.В. Сороколетов. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2009. - 381 с.

23. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. Изд. 9-е, перераб. и доп. / В.Е. Гмурман.- М.: Высш. школа, 2003. - 479 с.: ил.

24. Гранберг, А.Г. Основы региональной экономики: Учебник для вузов / А.Г. Гранберг. - 3-е изд. - М.: ГУ ВШЭ, 2003. - 495 с.

25. Гранберг, А.Г. Оптимизация территориальных пропорций народного хозяйства / А.Г. Гранберг. - М.: Экономика, 1973. - 248 c.

26. Гранберг, А.Г. Проект СИРЕНА: методология и инструментарий / А.Г. Гранберг. - Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1991. - 255 с.

27. Дегтярев, Ю.И. Методы оптимизации / Ю.И. Дегтярев. - М.: Советское радио, 1980. - 218 с.

28. Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия / Е.З. Демиденко. -М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

29. Демидова, Л.А. Прогнозирование тенденций рынка труда на основе од-нофакторных нечетких временных рядов и генетического алгоритма / Л.А. Демидова // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - Рязань, 2008. - № 2 (выпуск 24). - С. 75-82.

30. Демидова, Л.А. Прогнозирование тенденций временных рядов на основе однофакторной нечеткой модели с использованием дискретных нечетких множеств второго типа и генетического алгоритма / Л.А. Демидова // Бизнес-информатика, 2008. - № 4 (6). - С. 46-53.

31. Демидова, Л.А. Принятие решений в условиях неопределенности / Л.А. Демидова, В.В. Кираковский, А.Н. Пылькин. - М.: Горячая линия - Телеком, 2012. - 288 с.

32. Демидова, Л.А. Развитие методов теории нечетких множеств и генетических алгоритмов для задач поддержки принятия решений в условиях неопределенности: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.01 / Демидова Лилия Анатольевна. - Рязань, 2009. - 988 с.

33. Демидова, Л.А. Гибридные модели прогнозирования коротких временных рядов / Л.А. Демидова, А.Н. Пылькин, С.В. Скворцов, Т.С. Скворцова. - М.: Горячая линия - Телеком, 2012. - 208 с.

34. Джессен, Р. Методы статистических обследований / Р. Джессен; пер. с англ.; под ред. и с предисл. Е.М. Четыркина. - М.: Финансы и статистика, 1985. -478 с.

35. Джонс, М.Т. Программирование искусственного интеллекта в приложениях. / М.Т. Джонс; пер. с англ. Осипов А.И. - М.: ДМК Пресс, 2004. - 312 c.

36. Дьяконов, В.П. MATLAB. Полный самоучитель. - М.: ДМК Пресс, 2012. - 768 с.

37. Емельянов, В.В. Теория и практика эволюционного моделирования / В.В. Емельянов, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -432 с.

38. Ермаков, В.В. Разработка алгоритмов и процедур повышения надежности и точности прогнозирования процессов, представленных короткими временными рядами / В.В. Ермаков // Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. - Рязань, 2005. - 154 с.

39. Жамбю, М. Иерархический кластер-анализ и соответствия. / М. Жам-бо. - М.: Финансы и статистика, 1988. - 345 с.

40. Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л.А. Заде. - М.: Мир, 1976. - 165 с.

41. Занг, В.-Б. Синергетическая экономика: время и перемены в нелинейной экономической теории / В.-Б. Занг; пер. с англ. Н. В. Островской. - М.: Мир, 1999. - 335 с.

42. Карпенко, А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой: учебное пособие / А.П. Карпенко. -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. - 446 с.

43. Кендэл, М. Временные ряды / М. Кендэл. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 199 с.

44. Кендэл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендэл, А. Стюарт. - М.: Наука, 1976. - 736 с.

45. Колосовский, Н.Н. Теория экономического районирования / Н.Н. Коло-совский. - М.: Мысль, 1969. - 336 с.

46. Кондратьев, Н.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения: избр. тр. / Н.Д. Кондратьев; сост. Ю.В. Яковец; редкол.: Л.И. Абалкин и др. - М.: Экономика. - 2002. - 765 с.

47. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

48. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

49. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Учебное пособие / Р.М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

50. Кудинов, А.Н. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе / А.Н. Кудинов, О.И. Сажина, В.П. Цветков, И.В. Цветков // Финансы и кредит, 2009. - № 28 (364). - С. 12 - 15.

51. Кудинов, А.Н. Фрактальная модель роста народонаселения / А.Н. Кудинов, О.И. Сажина, В.П. Цветков, И.В. Цветков // Вестник РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика, 2010. - № 2 (2). - С. 132 - 137.

52. Курейчик, В.В. Эволюционные, синергетические и гомеостатические методы принятия решений. Монография / В.В. Курейчик. -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. - 221 с.

53. Лавлинский С.М. Модели индикативного планирования социально-экономического развития ресурсного региона / С.М. Лавлинский. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2008. - 246 с.

54. Леоненков, А. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH / А. Леоненков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.: ил.

55. Лукашин, Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования / Ю.П. Лукашин. - М.: Статистика, 1979. - 254 с.

56. Мандель, И.Д. Кластерный анализ / И.Д. Мандель. - М.: Финансы и Статистика, 1988. - 176 с.

57. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 654 с.

58. Мандельброт, Б. (Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах / Б. Мандельброт, Р.Л. Хадсон. - М.: Вильямс, 2006. - 408 с.

59. Медоуз, Д.Х. Пределы роста. 30 лет спустя / Д.Х. Медоуз, Й. Райдерс, Д.Л. Медоуз. - М.: Академкнига, 2007. - 342 с.

60. Мясников, А. А. Синергетические эффекты в современной экономике: введение в проблематику / А. А. Мясников. М.: URSS: ЛЕНАНД, 2011. - 155 с.

61. Некрасов, Н.Н. Региональная экономика: теория, проблемы, методы / Н.Н. Некрасов. - 2-е изд. - М.: Экономика, 1978. - 344 с.

62. Новиков, Д.А. Теория управления организационными системами / Д.А. Новиков. - 2-е изд. - М: Физматлит, 2007. - 584 с.

63. Ногин, В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход / В.Д. Ногин. - М.: Физматлит, 2002. - 176 c.

64. Олдендерфер, М. С. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ / М.С. Олдендерфер, Р.К. Блэшфилд. Пер. с англ.; под. ред. И.С. Енюкова. -М.: Финансы и статистика, 1989. - 215 с.

65. Паклин, Н. Бизнес-аналитика: от данных к знаниям: Учебное пособие / Н. Паклин, В. Орешков. - 2-е изд., испр. - СПб.: Питер, 2013. - 704 с.

66. Петерс, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петерс. - М.: Мир, 2000. - 333 с.

67. Рой О.М. Исследование социально-экономических и политических процессов: Учебник для вузов / О.М. Рой. - СПб.: Питер, 2004. - 364 с.

68. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский; пер. с польск. И.Д. Рудинского. - М.: Горячая линия - Телеком, 2006. - 452 с.

69. Себер, Дж. Линейный регрессионный анализ: Пер с англ. / Дж. Себер -М.: Мир, 1980. - 456 с.

70. Сегаран, Т. Программируем коллективный разум / Т. Сегаран. - СПб: Символ-Плюс, 2008. - 368 с.

71. Степанов, М.А. Диагностика состояния и определение тенденций развития промышленной системы региона / М.А. Степанов // Современные технологии в науке и образовании - СТНО-2017. Рязань: РГРТУ, 2017. - C.145-149.

72. Степанов, М.А. Управление развитием кластерных структур на основе их жизненных циклов / Евдокимова Е.Н., Степанов М.А. // Теория и практика общественного развития, 2015. - №12. - С.95-99.

73. Степанов, М.А. Оценка структурных сдвигов промышленной системы региона / Евдокимова Е.Н., Степанов М.А. // Вестник факультета управления СПбГЭУ, 2016. - Выпуск 1 (Ч. 2). - С. 126-131.

74. Stepanov, М.А. Approach to the Analysis of the Multidimensional Time Series Based on the UMAP Algorithm in the Problems of the Complex Systems Proactive Maintenance / L.A.Demidova, M.A.Stepanov // 2020 International Conference on Information Technologies (InfoTech), Varna, Bulgaria, 2020, pp. 1-4, doi: 10.1109/InfoTech49733.2020.9211008.

75. Stepanov, М.А. Multiobjective Forecasting Model Based on the Interval Discrete Type-2 Fuzzy Sets and Genetic Algorithm / L.A.Demidova, M.A.Stepanov // 2020 International Conference on Information Technologies (InfoTech), Varna, Bulgaria, 2020, pp. 1-4, doi: 10.1109/InfoTech49733.2020.9211063.

76. Степанов, М.А. Методы прогнозирования временных рядов в динамических социально-экономических системах / М.А. Степанов, Н.Н. Астахова // Новые информационные технологии в научных исследованиях: Материалы XXIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов: в 2 томах, 2018. - С. 60 - 62.

77. Степанов, М.А. Анализ проблемы диагностики структурных трансформаций временных рядов в социально-экономической сфере / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Актуальные проблемы современной науки и производства: материалы III Всероссийской научно-технической конференции, 2018. - С. 177-182.

78. Степанов, М.А. Подход к прогнозированию структурных трансформаций временных рядов / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Современные технологии в науке и образовании - СТНО-2019: Сборник трудов II международного научно-технического форума. Том 4, 2019. - С. 75 - 79.

79. Степанов, М.А. Алгоритмы нечеткой кластеризации в задаче выявления структурных трансформаций временных рядов / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Современные технологии в науке и образовании - СТНО-2019: Сборник трудов II международного научно-технического форума. Том 4, 2019. - С. 79 - 84.

80. Stepanov, М.А. Algorithms of Identifying of the Structural Transformations in Time Series Groups / L.A.Demidova, M.A.Stepanov // 8th Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO 2019, 2019. - С. 234 - 237.

81. Степанов, М.А. Подход к решению задачи выявления структурных трансформаций в группах временных рядов / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Cloud of Science, 2019. - Т. 6 - № 2. - С. 201-226.

82. Степанов, М.А. Методика выявления структурных трансформаций временных рядов с использованием принципов нечеткой кластеризации / М.А.Степанов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета, 2019. - № 69. - С. 149 - 159.

83. Степанов, М.А. Многокритериальная оптимизация в моделях прогнозирования на основе интервальных дискретных нечетких множеств второго типа/ Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Cloud of Science, 2019. - Т. 6 - № 3. - С. 401-414.

84. Степанов, М.А. Программный модуль для выявления структурных трансформаций в группах временных рядов (TimesSeriesTransformation) / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019660333 (регистрация в Реестре программ для ЭВМ -05.08.2019).

85. Степанов, М.А. Многокритериальная модель прогнозирования коротких временных рядов на основе интервальных нечетких множеств второго типа (MultiobjectiveTimesSeriesType2FuzzySetsForecasting) / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019667588 (регистрация в Реестре программ для ЭВМ - 25.12.2019).

86. Степанов, М.А. Аспекты расширения набора характеристик в решении задачи кластеризации временных рядов / М.А.Степанов // Новые информационные технологии в научных исследованиях: Материалы XXIV Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов: в 2 томах, 2019. - С 45 - 46.

87. Stepanov, М.А. Time Series and Its Characteristics Variability Analysis Using the Forecasting Model Based on the Basis of Interval Discrete Fuzzy Sets of the Second Type / L.A. Demidova, M.A. Stepanov // 2019 1st International Conference on Control Systems, Mathematical Modelling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA), 2019. - P. 241 - 246. DOI: 10.1109/SUMMA48161.2019.8947584.

88. Stepanov, М.А. Identification of the Structural Transformations of Time Series Using Fuzzy Clustering Algorithms / M.A.Stepanov // 2019 1st International Conference on Control Systems, Mathematical Modelling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA), 2019. - P. 373 - 376. DOI: 10.1109/SUMMA48161.2019.8947596.

89. Степанов, М.А. Оценка уровня неопределенности поведения короткого временного ряда / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 11-13 ноября 2019 г. - Воронеж : Издательство «Научно-исследовательские публикации», 2020. - C. 1825-1833.

90. Stepanov, М.А. Assessment of the behavior uncertainty level of the short time series / L.A. Demidova, M.A. Stepanov // 2020 Journal of Physics: Conference Series Vol. 1479, Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems, 11-13 November 2019, Voronezh, Russian Federation, 2020. - P. 012012. DOI:10.1088/1742-6596/1479/1/012012.

91. Степанов, М.А. Способы учета уровня неопределенности в поведении временного ряда / М.А. Степанов // Интеллектуальные и информационные системы: труды Всероссийской научно-технической конференции. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2019. - С. 338 - 343.

92. Степанов, М.А. Подход к выбору модели нечеткой регрессии в задаче анализа показателей социально-экономической сферы, представленных временными рядами / Л.А. Демидова, М.А. Степанов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета, 2020. - № 71. - С. 83 - 97.

93. Тебуева, Ф.Б. Два подхода к реализации фрактального анализа временных рядов / Ф.Б. Тебуева // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, 2007. - Т2. - №4. - С. 105-112.

94. Тебуева, Ф. Б. Адаптированный метод прогнозирования для коротких временных рядов природных процессов / Ф.Б. Тебуева, Н.В. Стреблянская // Современная наука: Актуальные проблемы теории и практики». Сер. Естественные и технические науки, 2016. - № 6. - С. 83-87.

95. Тебуева, Ф.Б. Разработка методики количественной оценки долговременной памяти эволюционных дискретных процессов / Ф.Б. Тебуева, В.А. Перепелица // Вестник Ставропольского государственного университета, 2011. - Vol. 75. - C. 21 - 25.

96. Теория статистики: Учебник / Под. ред. Р.А. Шмойловой. 2-е изд., доп. и перераб. М.: Финансы и статистика, 1998. - 576 с.: ил.

97. Тюрин, Ю.Н. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2003. -544 с.

98. Уиллиамс, У.Т. Методы иерархической классификации / У.Т. Уилли-амс, Д.Н. Ланс // Статистические методы для ЭВМ. М.: Наука, 1986. - С. 269-301.

99. Цветков, И.В. Фрактальная размерность временного ряда как флаг катастроф в социально-экономических процессах / И.В. Цветков // Моделирование сложных систем. Тверь: ТвГУ, 2000. - Вып. 3.- С. 170 - 175.

100. Цветков, И.В. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социально-экономических процессов / И.В. Цветков // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика, 2010. - № 12. - С. 71 - 79.

101. Цветков, И.В. Классификация социально-экономических процессов в рамках мультифрактальной динамики / И.В. Цветков // Вестник Тверского государственного университета Сер. Экономика и управление, 2012. - № 15. - С. 241 - 246.

102. Чубукова, И. А. Data Mining. Учебное пособие /И.А. Чубукова. -М.: Интернет-Университет Информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 382 с.

103. Штовба, С.Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику / С.Д. Штовба. - Винница: Континент-Прим, 2003. - 198 с.

104. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, расчет и приложения / Р. Штойер. Пер. с англ. Е.М. Столяровой. - М.: Радио и связь, 1992. - 504 c.

105. Ярушкина, Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. пособие / Н.Г. Ярушкина. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 с.: ил.

106. Anh, D.T. Compression rate distance measure for time series / D.T. Anh, V.T. Vinh // 2015 IEEE International Conference on Data Science and Advanced Analytics (DSAA), Paris, 2015. - P. 1 - 10.

107. Arcos, J.L. A Competitive Measure to Assess the Similarity between Two Time Series / J.L. Arcos, J. Serra // In: Agudo B.D., Watson I. (eds) Case-Based Reasoning Research and Development. ICCBR 2012. Lecture Notes in Computer Science, vol 7466. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-32986-9_31.

108. Bezdek, J.C. FCM: The fuzzy c-means clustering algorithm / J.C. Bezdek, R. Ehrlich, W. Full // Computers & Geosciences, 1984. - Vol. 10 (2-3). - P. 191-203.

109. Bezdek, J.C. Numerical Taxonomy with Fuzzy Sets / J.C. Bezdek // Journal of Mathematical Biology, 1974. - Vol. 1. - P. 57-71.

110. Bezdek, J.C. Cluster Validity with Fuzzy Sets / J.C. Bezdek // Journal of Cybernetics, 1974. - Vol. 3. - P. 5-72.

111. Bezdek, J.C. On cluster validity for the fuzy c-means model / J.C .Bezdek, N.R. Pal // IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 1995. - Vol. 3. - № 3. - P. 370-379.

112. Bhargavi, M.S. An hybrid validity index for dynamic cut-off in hierarchical agglomerative clustering / M.S. Bhargavi, D. Gowda Sahana // 2014 International Conference on Advances in Computing, Communications and Informatics (ICACCI), 2014. - P. 2205.

113. Campello, R.J.G.B. A Fuzzy Extension of the Silhouette Width Criterion for Cluster Analysis / R.J.G.B. Campello, E.R. Hruschka // Fuzzy Sets and Systems, 2006.

- Vol. 157 (21). - P. 2858-2875.

114. Castillo, O. Type-2 fuzzy logic: theory and applications / O. Castillo, P. Melin // Studies in fuzziness and soft computing. - Vol. 223. - 2008. - 243 p.

115. Chen, Y.-P., Li S.-T. Natural partition-based forecasting model for fuzzy time series / Y.-P. Chen, S.-T. Li // IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 2004. - P. 25-29.

116. Chen, D., Li X., Cui D-W. An adaptive validity index for the fuzzy C-means / D. Chen, X. Li, D-W. Cui // International journal of computer science and network security, 2007. - Vol. 7. - № 2 - P. 146-156.

117. Chen, S.M. Forecasting Enrollments Based on Fuzzy Time Series / S.M. Chen // Fuzzy Sets and Systems, 1996. - V. 81. - P. 311-319.

118. Chen, S.M. Forecasting enrollments based on high-order fuzzy time series / S.M. Chen // Cybernetic Systems, 2002. - V. 33. - № 1. - P. 1-16.

119. Chen, S.-M. Temperature Prediction using Fuzzy Time Series / S.-M. Chen, J.-R. Hwang // IEEE Transactions Systems, Man, and Cybernetics, 2000. - V. 30. - № 2. - P. 263-275.

120. Coupland, S. Type-2 fuzzy logic: a historical view / S. Coupland, R. John // IEEE Computational intellegence, 2007. - Vol. 2. - № 1. - P. 57-62.

121. Das M. A Measure of Similarity of Time Series Containing Missing Data Using the Mahalanobis Distance / M. Das, D. Sitaram, A. Dalwani, A. Narang, P. Au-radkar // 2015 Second International Conference on Advances in Computing and Communication Engineering, Dehradun, 2015. - P. 622 - 627.

122. Dave, R.N. Validating fuzzy partitions obtained through c-shells clustering / R.N. Dave // Pattern Recognition Letters, 1996. - Vol. 17. - P. 613-623.

123. Davies, D.L. A Cluster Separation Measure / D.L. Davies, D.W. Bouldin // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1979. - Vol. 1. - № 2. - P. 224-227.

124. Deb, K. A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA II / K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, T. Meyarivan // KanGAL Report No. 200001. Indian Institute of Technology. Kanpur. India, 2000. - P. 182-197.

125. Deb, K. An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point based non-dominated sorting approach, Part I: Solving problems with box constraints / K. Deb, H. Jain // IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2014.

- Vol. 18(4). - P. 577-601.

126. Dunn, J.C. A fuzzy relative of the ISODATA process and its use in detecting compact well-separated clusters / J.C. Dunn // Journal of Cybernetics, 1973. - Vol. 3. -P. 32-57.

127. Ester M. A density-based algorithm for discovering clusters a density-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise / M. Ester, H.-P. Kriegel, J.Sander, X. Xu // KDD'96: Proceedings of the Second International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, 1996. - P. 226-231.

128. Fukuyama, Y. A New Method of Choosing the Number of Clusters for the Fuzzy C-means Method / Y. Fukuyama, M. Sugeno // Proceedings of the Fifth Fuzzy Systems Symposium, 1989. - P. 247-250.

129. Gath, I. Unsupervised optimal fuzzy clustering / I. Gath, A.B. Geva // IEEE Transaction Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1989. - Vol. 11. - № 7. - P. 773781.

130. Goldberg, D.E. Messy Genetic Algorithms: Motivation, Analysis, and First Results / D.E. Goldberg, B. Korb, K. Deb // Complex Systems. - 1989. - Vol. 3, no. 5. - P. 493-530.

131. Hachouf, F. Genetic optimization for unsupervised fuzzy classification / F. Hachouf, A. Zeggari // 17 Congres Mondial IMACS, 2005. - P. 27-32.

132. Halkidi, M. Cluster validity methods: part I / M. Halkidi, I. Batistakis, M. Vazirgiannis. - SIGMOD Record, 2002. - Vol. 31. - № 2. - P. 40-45.

133. Halkidi, M. Cluster validity methods: part II / M. Halkidi, I. Batistakis, M. Vazirgiannis. - SIGMOD Record, 2002. - Vol. 31, № 3. - P. 19-27.

134. Hastie, T. 8.5 The EM algorithm / T. Hastie, R. Tibshirani, and J. Friedman // The Elements of Statistical Learning, New York: Springer, 2001. - P. 236-243.

135. Huarng, K. Effective lengths of intervals to improve forecasting in fuzzy time series / K. Huarng // Fuzzy Sets Systems, 2001. - Vol. 123. - № 3. - P. 387-394.

136. Huarng, K. Heuristic Models of Fuzzy Time Series for Forecasting series / K. Huarng // Fuzzy Sets and Systems, 2001. - Vol. 123. - P. 369-386.

137. Hwang, J.-R. Handling forecasting problems using fuzzy time series / J.-R. Hwang, S.-M. Chen, C.-H. Lee // Fuzzy Sets and Systems, 1998. - Vol. 100. - P. 217-228.

138. Hwang, C., Uncertain fuzzy clustering: interval type-2 fuzzy approach to C-means / C. Hwang, F.C.-H. Rhee // IEEE Transactions on fuzzy systems, 2007. - Vol. 15. - № 1. - P. 107-120.

139. Jain, A.K. Algorithms for Clustering Data / Anil K. Jain, Richard C. Dubes. - Prentice Hall, 1988. - 334 p.

140. Jung, Yunjae. A Decision Criterion for the Optimal Number of Clusters in Hierarchical Clustering / Yunjae Jung, Haesun Park, Ding-Zhu Du, Barry L. Drake // Journal of Global Optimization, 2003. - Vol. 25. - P. 91-111.

141. Junkui, L. LB HUST: A Symmetrical Boundary Distance for Clustering Time Series / L. Junkui, W. Yuanzhen, L. Xinping // 9th International Conference on Information Technology (ICIT'06), Bhubaneswar, 2006. - P. 203-208.

142. Karnik, N.N. Type-2 fuzzy logic systems / N.N. Karnik, J.M. Mendel // IEEE Transactions on fuzzy systems, 1999. - Vol. 7. - № 6. - P. 643-658.

143. Karnik, N.N. Centroid of a type-2 fuzzy set systems / N.N. Karnik, J.M. Mendel // Information sciences, 2001. - Vol. 132. - P. 195-220.

144. Kitchin, J. Cycles and Trends in Economic Factors [Электронный ресурс] / J. Kitchin // Review of Economics and Statistics. 1923. - Vol 5 (1). - P. 10-16. Режим доступа: http://www.jstor.org/discover/10.2307/19270317sid=21105404561201& uid= 4&uid=2&uid=3738936.

145. Lee, L.W. A new method for handling forecasting problems based on two-factors high-order fuzzy time series / L.W. Lee, L.H. Wang, S.M. Chen, Y.H. Leu // Proceedings of 9-th conference on artificial intelligence and applications, 2004. - Vol. 1. - P. 115-122.

146. Lee, L.W. Handling forecasting problems based on two-factors high-order fuzzy time series / L.W. Lee, L.H. Wang, S.M. Chen, Y.H. Leu // IEEE Transactions on fuzzy systems, 2006. - Vol. 14. - № 3. - P. 468-477.

147. Li, L. Type-2 fuzzy logic approach for short-term traffic forecasting / L. Li, W.-H. Lin, H. Liu // IEE Proceedings Intelligent Transport Systems, 2006. - Vol. 153. -№ 1. - P. 33--40.

148. Lee, H. Fuzzy approximations with non-symmetric fuzzy parameters in fuzzy regression analysis / H. Lee, H. Tanaka // Journal of the Operations Research Society of Japan, 1999. - Vol. 42. - №. 1.

149. Van der Maaten L.J.P. Visualizing Data Using t-SNE / L.J.P. van der Maaten, G.E. Hinton // Journal of Machine Learning Research, 2008. - Vol. 9. - P. 2579 - 2605.

150. McInnes L. UMAP: Uniform Manifold Approximation and Projection for Dimension Reduction / L. McInnes, J. Healy // ArXiv e-prints 1802.03426, 2018.

151. Mendel, J.M. Type-2 fuzzy sets and systems: an overview / J.M. Mendel // IEEE Computational intellegence magazine, 2007. - Vol. 2. - № 1. - P. 20-29.

152. Mendel, J.M. Advances in type-2 fuzzy sets and systems / J.M. Mendel // Information Sciences, 2007. - Vol. 177. - P. 84-110.

153. Mendel, J.M. Super-exponential convergence of the Karnik-Mendel algorithms for computing the centroid of an interval type-2 fuzzy set / J.M. Mendel, F. Liu // IEEE Trans. on Fuzzy Systems, 2007. - Vol. 15. - No. 2. - P. 309-320.

154. Milligan, Glenn W. Ultrametric hierarchical clustering algorithms / Glenn W. Milligan // Psychometrika, 1979. - Vol. 44. - Issue 3. - P. 343-346.

155. Milligan G.W., Cooper M.C. An Examination of Procedures for Determining the Number of Clusters in a Data Set / Milligan G.W. // Psychometrika, 1985. - Vol. 50. - P. 159-179.

156. Peter, H.A. Numerical Taxonomy. The principles and practice of numerical classification / Peter H.A., Sneath R.S. // Francisco: W.H. Freeman and Co., 1973. - 573 p.

157. Poli, R. Particle Swarm Optimization / R. Poli, J. Kennedy, T. Blackwell // Swarm Intelligence. - 2007. - Vol. 1, no. 1. - P. 33-57.

158. Rhee, F.C.-H. Uncertain fuzzy clustering: insights and recommendations / F.C.-H. Rhee // IEEE Computational intellegence magazine, 2007. - Vol. 2. - № 1. - P. 44-56.

159. Rousseeuw, P. Silhouettes: a graphical aid to the interpretation and validation of cluster analysis / P. Rousseeuw // Journal of Computational and Applied Mathematics, 1987. - Vol. 20(1). - P. 53-65.

160. Sakawa, M. Multiobjective fuzzy linear regression analysis for fuzzy input-output data / M. Sakawa, H. Yano // Fuzzy Sets and Systems, 1992. - Vol. 47. - P. 173 -181.

161. Song, Q. Fuzzy time series and its models / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems, 1993. - Vol. 54. - P. 269-277.

162. Song Q., Chissom B.S. Forecasting enrollments with fuzzy time series - part

1 / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems, 1993. - Vol. 54. - P. 1-9.

163. Song Q., Chissom B.S. Forecasting enrollments with fuzzy time series - part

2 / Q. Song, B.S. Chissom // Fuzzy Sets and Systems, 1994. - Vol. 62. - P. 1-8.

164. Su, S.F. Neural network based fusion of global and local information in prediction time series / S.F. Su, S.H. Li // Proceedings of the 2003 IEEE International joint conference on systems, man and cybernetics, 2003. - Vol. 5. - P. 4445-4450.

165. Tahseen, A.J. Multivariate high order fuzzy time series forecasting for car road accidents / A.J. Tahseen, S.M. Aqil Burney, C. Ardil // International journal of computational intellegence, 2007. - Vol. 4. - № 1. - P. 15-20.

166. Tanaka, H. A linear regression model with fuzzy function / H. Tanaka, S. Uejima, K. Asai // Journal of the Operations Research Society of Japan, 1982. - Vol. 25. - P. 162-173.

167. Ulu, C. A closed form type reduction method for piecewise linear interval type-2 fuzzy sets / C. Ulu, M. Guzelkaya, I. Eksin // International Journal of Approximate Reasoning, 2013. - Vol. 54. - No. 9. - P. 1421-1433.

168. Van der Weken, D. An overview of similarity measures for images / D. Van der Weken, M. Nachtegael, E.E. Kerre // Proceedings of ICASSP 2002 (IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech and Signal Processing). Orlando, USA, 2002. - P. 3317-3320.

169. Ward, J.H. Hierarchical grouping to optimize an objective function / J.H. Ward // Journal of the American Statistical Association, 1963. - Vol. 58. - No. 301. - P. 236-244.

170. Wu, D. Enhanced Karnik-Mendel Algorithms for Interval Type-2 Fuzzy Sets and Systems / D. Wu, J.M. Mendel // 2007 Annual Meeting of the North American Fuzzy Information Processing Society, 2007. - P. 184-189.

171. Wang, X. A Complexity-Invariant Distance Measure for Time Series / G.E.A.P.A. Batista, X. Wang, E.J. Keogh // SDM, 2011. - P. 699-710.

172. Xei, X.L. Validity Measure for Fuzzy Clustering / X.L. Xei, G.A. Beni // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intellegence, 1991. - № 3(8). - P. 841-846.

173. Yang, Yi-Ling. CLOPE: a fast and effective clustering algorithm for transactional data / Yi-Ling Yang, X. Guan, J. You // KDD '02, 2002. - P. 682 - 687.

174. Zadeh, L.A. Fuzzy logic, neutral networks and soft computing / L.A. Zadeh // Communications of the ACM, 1997. - Vol. 37. - P. 77-84.

175. Zhang J., Leung Y. Improved possibilistic c-means clustering algorithms / J. Zhang, Y. Leung // IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2004. - Vol. 12. - P. 209217.

176. Zhong, D. A multilevel heterogeneous clustering algorithm based on distance partition for wireless sensor networks / D. Zhong, J. Xue, F. He, Y. Tang, S. Zhao. Gaojishu Tongxin/Chinese High Technology Letters, 2017. - Vol. 27. - P. 530 -536.

177. Основные экономические и социальные показатели развития Рязанской области [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://mineconom.ryazangov.ru/ direction/ economy/analiz/ свободный (дата обращения 21.01.2020).

178. Сравнение прогнозных значений показателей социально-экономического развития Рязанской области с фактическими результатами за 2018 год [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://mineconom.ryazangov.ru/upload/iblock/0fa/ sravn_prognoz_2018.pdf свободный (дата обращения 21.01.2020).

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 Визуализация результатов иерархической кластеризации показателей социально-экономического развития Рязанской области

а

в

д

3-5 5

Отсчёт времен»

Дендрограмма (метод: маг<1. метрика: сисЫелп)

Номер временного ряда

дендро! рлчлн рк. Iпнп|, ме|||нкн; eLicjjin.nnг

I 2

Номер временного ряди

б

3 4 5 Отсчёт времени

Дендро! рамма (метод: пап1, метрика: еиеШкии)

Г

Номер временного ряда Дендрограмма (метод: пап], метрика: еисНскап)

1.0

0.8

Е

§ 0.6

ь

£ (1.4

о.: 0.0

].и

2 3

Номер временного ряда

Рисунок П. 1.1 - Информация по подкатегории «Валовой региональный продукт» категории «Производство товаров и услуг»: а - исходные временные ряды; б - нормированные временные ряды; в, г, д, е, ж - дендрограммы нормированных групп ВР при г = 7, г = 6, г = 5, г = 4 и г = 3 соответственно

ж

е

e звоож«

s.

s 30000 0 =

I 250Ш

§■ 21)0(1110

Я

1 1501)00

N тоюо

л

Ё 500110

u

2 0

а

в

д

2.0(1 1.75 1.50

(и

S 1.25

ре

с LOO I 0.75 0.50 0.25 О.ОО

3 4 S

Отсчёт времени

Дендро! рямма (метод: ward, метрика: euclideanl

2.00 1.75 1.50

К

I L2S

5 ].оо

6 0.75 0.50 0.25 0.00

2.0Й

0.857

0.708

0.5

UI8

МЛ

0.99Й

J.392

1 9 6 4 7 3 10 S 2 5 Номер временного рн.ча

Дендро!рямма (метод: ward, метрики: euelidean)

2.05

| —I

-УЭ—Liu

0.985

0.(1

ал

0.24

тег-

6 714 10 235

Номер временного ряда

£ 1.0

5?

S „ «

4. г*

в S

р о 0.0

х =

2 I °'4