Двухуровневое моделирование дискретных эволюционных процессов в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Темирова, Лилия Гумаровна

• Темирова, Лилия Гумаровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Темирова, Лилия Гумаровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ИССЛЕДУЕМЫХ ЗАДАЧ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ В КОНТЕКСТЕ 2-УРОВНЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

1.1. Актуальность 2-уровневого моделирования.

1.1.1. Фундаментальная научная проблема.

1.1.2. Предлагаемые методы и подходы.

1.1.3. Современное состояние науки в данной области исследования.

1.2. Содержательное описание проблемы моделирования задач землепользования.

1.3. Необходимость многокритериального подхода.

ГЛАВА 2. КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНАЯ ПРОГНОЗНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ НИЖНЕГО УРОВНЯ.

2.1. Необходимость разработки новых методов прогнозирования.

2.2. Алгоритм R/S- анализа.

2.3. Содержательная и качественная интерпретация результатов работы алгоритма R/S- анализа.

2.4. Фрактальный анализ временного ряда озимой пшеницы по КБР за период с 1952 по 2002 г.

2.5. Инструментарий фазовых портретов для выявления циклов временного ряда и уточнения прогноза.

2.6. Математический инструментарий линейных клеточных автоматов.

2.7. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств, на примере анализа и прогнозирования урожайности озимой пшеницы по КБР на 2003 год.

2.7.1. Преобразование числового временного ряда в лингвистаческий временной ряд.

2.7.2. Частотный анализ памяти лингвистического временного ряда.

2.7.3. Получение лингвистических прогнозных значений урожайности, верификация и валидация прогнозной модели.

2.7.4. Получение числового прогноза, и оценка его точности.

ГЛАВА 3. ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ДАННЫМИ.

3.1. Общая постановка дискретной многокритериальной задачи в условиях неопределенности.

3.2. Математическая постановка векторной задачи покрытия графа 4-циклами (паросочетаниями, звездами).

3.3. Анализ арифметических операций и отношения предпочтения для задач с нечеткими данными.

3.4. Новые определения операции суммирования и сравнения, адекватные математической модели задачи землепользования с нечеткими данными.

3.4.1. Математическая постановка задачи.

3.4.2. Новая операция суммирования (+) нечетких весов.

3.4.3. Операция сравнения нечетких весов.

ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ ВЕРХНЕГО УРОВНЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫЧИСИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ, РАЗРЕШИМОСТИ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМОВ ЛИНЕЙНОЙ СВЕРТКИ И АЛГОРТИМ С ОЦЕНКАМИ ДЛЯ ЗАДАЧ ПОКРЫТИЯ ГРАФА 4-ЦИКЛАМИ.

4.1. Формулировка интервальной экстремальной задачи.

4.2. Аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4-циклами векторной задачей.

4.3. Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев задачи с интервальными данными и Критесвертки критериев задачи с интервальными данными и критериями вида MAXSUM.

4.4. Обоснование свойства полноты задачи покрытия графа 4-циклами.ИЗ

4.5. Исследование вычислительной сложности.

4.6. Оценки точности приближенных алгоритмов.

4.7. Приближенный алгоритм покрытия графа 4-циклами.

4.8. Обоснование достаточных условий статистической эффективности алгоритма а.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухуровневое моделирование дискретных эволюционных процессов в условиях неопределенности»

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена разработке методов математического моделирования дискретных слабо структурированных процессов, для которых характерны множественность критериев, стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных. Дальнейшее развитие каждого такого процесса существенным образом зависит от его состояния на предыдущих этапах эволюционирования.

Как часть этой проблемы в настоящей работе рассматриваются различ- ' ные постановки задачи землепользования и предлагается двухуровневый подход к их моделированию. Классический подход к моделированию таких задач оказывается недостаточным по той причине, что представление параметров этих задач четкими числовыми значениями оказывается в принципе неадекватным в силу их слабой структурированности, изменчивости во времени и неопределенности. Например, для выращиваемой в зоне рискового земледелия конкретной культуры можно отнести к неадекватному такое представление ее урожайности, как усреднение ее значения за определенный отрезок времени.

Авторская концепция двухуровневого моделирования задач землепользования состоит в том, что исходные данные для многокритериальных задач верхнего уровня должны базироваться на прогнозных данных, получаемых на нижнем уровне моделирования. В свою очередь исходными данными для нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рассматриваемых процессов. Однако к настоящему времени математическое моделирование на нижнем уровне исходных данных (т.е. численных значений параметров, коэффициентов и т.п.) для классических оптимизационных моделей верхнего уровня находится еще в зачаточном состоянии. Вместе с тем уже появилась ясность того, что наиболее подходящим математическим аппаратом для моделирования задач верхнего уровня является инструментарий теории графов. При этом заслуживает внимания тот факт, что к настоящему времени отсутствуют достаточно эффективные, имеющие полиномиальную трудоемкость, алгоритмы практически для всех дискретных экстремальных задач. Поэтому актуальной является разработка малотрудоемких приближенных алгоритмов, которые всегда или почти всегда гарантируют нахождение приемлемых решений.

Цель и задачи диссертационного исследования. Основной целью настоящей работы является разработка (на содержательном примере задач землепользования) двухуровневого подхода к математическому моделированию дискретных эволюционных процессов, числовые параметры которых являются слабо структурированными. Поставленная цель требует решения следующих задач:

- разработка общей структурной схемы двухуровневого моделирования и численных методов его реализации;

- разработка в качестве основной составляющей модели нижнего уровня новых методов прогнозирования эволюционных процессов на базе линейных клеточных автоматов, математического аппарата теории нечетких множеств и инструментария теории детерминированного хаоса;

- осуществление анализа известных теоретико-множественных определений операции суммирования нечетких множеств и вместе с тем представление нового обоснованного определения операций суммирования и сравнения нечетких весов для исследуемой задачи землепользования;

- исследование вычислительной сложности рассматриваемых задач на графах с нечеткими или интервально заданными весами ребер, представляющими урожайность;

- исследование разрешимости с помощью классических подходов (в частности, алгоритмов линейной свертки критериев) рассматриваемых экстремальных задач на графах с интервальными весами;

- разработка малотрудоемких алгоритмов для экстремальных задач покрытия графа типовыми подграфами (паросочетаниями, звездами, 4-циклами) и обоснование достаточных условий статистической эффективности предлагаемых алгоритмов.

Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы теории алгоритмов с оценками, теории графов, многокритериальной оптимизации, теории вероятностей и математической статистики, теории нечетких множеств и интервального исчисления, методы прогнозирования временных рядов.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулировок обеспечивается корректным применением аппарата теории графов, математического программирования и теории вычислительной сложности алгоритмов, математической статистики, математического аппарата нечеткой и интервальной математики, методов теории детерминированного хаоса. Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстата России, в частности по Ставропольскому краю и Кабардино-Балкарской республике (КБР). Эффективность предложенных методов подтверждается верификацией и валидацией результатов, полученных путем проведения численных расчетов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Концепция двухуровневого моделирования эволюционных дискретных процессов в условиях многокритериальности и неопределенности данных.

2. Конкретный алгоритм реализации фрактального анализа временных рядов урожайности с целью выявления в них наличия долговременной памяти как предпосылки для построения прогнозной модели.

3. Построенная для нижнего уровня на базе инструментария клеточных автоматов и теории нечетких множеств математическая модель и метод прогнозирования урожайности основных культур, выращиваемых в зонах рискового земледелия.

4. Разработанные для верхнего уровня специальные подходы к моделированию задач землепользования с нечеткими весами, включая обоснование операций суммирования и сравнения, адекватных реальному содержанию задач землепользования.

5. Результаты анализа применимости классических подходов, в частности, алгоритмов линейной свертки критериев к конкретной задаче землепользования, сформулированной как задача покрытия графа 4-циклами с интервальными весами.

6. Разработанный для верхнего уровня моделирования задачи землепользования алгоритм отыскания оптимального покрытия графа 4-циклами, включая обоснование достаточных условий его статистической эффективности.

Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования содержат следующие положения:

1. Предложен двухуровневый подход к моделированию эволюционных задач землепользования в условиях многокритериальности и неопределенности данных.

2. На базе R/S-анализа разработан и реализован метод фрактального анализа временных рядов с целью выявления в них долговременной памяти и оценки степени применимости инструментария клеточных автоматов и нечетких множеств для построения прогнозной модели.

3. В качестве реализации модели нижнего уровня построена прогнозная модель на базе клеточных автоматов, а также разработаны алгоритмы прогнозирования, валидации и вычисления оценки погрешности результатов.

4. С учетом принципиальной нечеткости исходных данных, получаемых на нижнем уровне, оценена степень пригодности известных теоретико-множественных определений арифметических операций для нечетких множеств и предложены новые способы операций сложения и сравнения, отвечающие содержательному смыслу рассматриваемых задач землепользования.

5. В качестве математической модели для верхнего уровня сформулирована и исследована векторная задача покрытия графа 4-циклами и па-росочетаниями. Первая из этих задач исследована для случая интервальных данных: осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и установлена ее неразрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (AJTCK).

6. В качестве базы для использования AJICK разработан малотрудоемкий оптимизационный алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказаны достаточные условия, при которых он является статистически эффективным.

Практическая ценность полученных результатов и их реализация. Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что предложенные подходы, математические модели и алгоритмы универсальны и позволяют решать широкий круг агроэкономических задач. Построенные на базе клеточных автоматов модель и метод прогнозирования временных рядов урожайности могут быть использованы всюду, где поведение рассматриваемого эволюционного процесса с памятью не подчиняется нормальному закону.

Предложенные методы, методики и алгоритмы моделирования на нижнем уровне были погружены в модельные и реальные экономические процессы и оправдали себя. Их корректность подтверждается расчетами на конкретных материалах прогнозирования; оценки точности прогнозирования вычислены в процессе валидации по заказу Министерства сельского хозяйства Ставропольского края; прогнозное значение урожайности озимой пшеницы за период с 1952 г. по 2002 год уклонялось от реального временного ряда в среднем не более, чем на 10%.

Разработанная модель и математический аппарат их количественного анализа и прогнозирования включены в лекционные курсы следующих дисциплин: «Теория рисков», «Дискретное программирование с нечеткими данными», читаемых на факультете прикладной математики и информатики КЧГТА, а также использованы при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Апробация работы. Результаты исследования и основные его положения докладывались и обсуждались на заседаниях научно-методического семинара кафедры прикладной математики (КЧГТА, г. Черкесск, 2001-2003 гг.) и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России:

- на IV Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2001);

- на Северо-Кавказской региональной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива-2001» (Нальчик, 2001);

- на II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001);

- на IV научно-практической конференции аспирантов и студентов «Региональная экономика управления и права» (Черкесск, 2002);

- на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета «Ли-манчик», 2002);

- на X Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (Пенза, Приволжский Дом знаний, 2002);

- на III Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003г.);

- на VIII Международной конференции серии «Нелинейный мир» (Астрахань, 2003).

Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 00-01-00652 «Математическое моделирование структуры слабо формализованных систем в условиях неопределенности».

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 научных статьях (из них 2 - в рецензируемых журналах) и в 11 тезисах докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырехглав, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 92 наименования. Содержание работы изложено на 142 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Темирова, Лилия Гумаровна

2. Основные результаты исследований главы 4 относятся к алгоритмическим вопросам решения рассматриваемых задач землепользования в условиях неопределенности.

3. Основное внимание уделено исследованию вычислительной сложности и разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев задачи покрытия графа 4-циклами.

4. Получена аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4-циклами соответствующей векторной задачей, доказана неразрешимость этой задачи; доказана неразрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев.

5. В качестве основного результата исследования вычислительной сложности рассматриваемых векторных задач на графах осуществлено строгое обоснование достаточных условий наличия в них свойства полноты и, как следствие принадлежности этих задач к классу труднорешаемых.

6. Основным результатом также является построение малотрудоемкого алгоритма для оптимизационной задачи покрытия графа 4-циклами и обоснование достаточных условий, при которых этот алгоритм является статистически эффективным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована авторская концепция 2-уровневого моделирования задач землепользования: математическая модель верхнего уровня — это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное управление рассматриваемой системой или процессом; на нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня; исходными данными для нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рассматриваемых эволюционных процессов и систем; изложена необходимость многокритериального подхода и суть его реализации.

2. На базе инструментария фрактального анализа выявлены такие свойства временных рядов, как долговременная память с оценкой ее глубины, трендоустойчивость, квазицикличность; для обновления этих свойств разработан метод фазового анализа временных рядов; на базе инструментария линейных клеточных автоматов и нечетких множеств разработана новая прогнозная модель, включая ее верификацию, а также алгоритмы валидации и вычисления оценок точности прогнозирования.

3. В качестве конкретной реализации 2-уровневого моделирования представлена математическая постановка экстремальных задач покрытия графа 4-циклами (паросочетаниями, звездами); показана неприменимость известных в научной литературе определений операции сложения и сравнения нечетких весов; представлено новое определение операции суммирования и сравнения нечетких весов, которые адекватны рассматриваемым задачам землепользования.

4. Исследована разрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (AJICK) векторная задача покрытия графа 4-циклами с интервальными весами; осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и установлена ее неразрешимость.

5. Разработан малотрудоемкий алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказано достаточное условие, при которых он является статистически эффективным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Темирова, Лилия Гумаровна, 2004 год

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М.: Мир, 1987.- 360 с.

2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. - 352 с.

3. Ахо А., Хопкрофт Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. -М.: Мир, 1979.-536 с.

4. Баккет М. Фермерское производство: организация, управление, анализ,-М.: Агропромиздат, 1989.-464 с.

5. Батищев А.Ф., Перепелица В.А. Об одном алгоритме нахождения оптимального севооборота//Оптимизация планирования. 1970 16. С. 16-20.

6. Беляева И.П. Практические приложения интервального анализа // ВЦ СО АН СССР. Переславль - Залесский, 1988.- 156 с.

7. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2001.-368 с.

8. Береснев В.Л., Гимади Э.Х., Дементьев В.Т. Экстремальные задачи стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978.-333 с.

9. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989.- 304 с.

10. Ю.Буров Д.И., Чуданов И.А. Некоторые вопросы плодородия черноземных почв в связи с освоением пропашных севооборотов. В сб. Гидрофизика и структура почвы. Вып. 11. Л.: Гидрометеорологическое изд-во, 1965. -С.196-204.

11. П.Векленко В.И. Экономическая проблема устойчивости и повышения эффективности земледелия.- Курск: Изд-во Курской сельскохозяйственной академии, 1999.- 216 с.

12. Винтизенко И.Г. Детерминированное прогнозирование в экономическихсистемах // Труды III международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», Невинномысск: Издательство ИУБП, 2003. С.163-167

13. Возбуцкая А.Е. Химия почвы.- 3-е изд., исправленное и дополненное. Под ред.проф. Д.Л. Аскинази.- М.: Высшая школа, 1968.- 427 с.

14. Н.Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. М., 1989.

15. Гирлих Э., Ковалев М.М., Кравцов М.К., Янушкевич О.А. Условия разрешимости векторных задач с помощью линейной свертки критериев //Кибернетика и системный анализ. 1999. № 1. С. 81 -95.

16. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.- М.: Мир, 1982.-416 с.

17. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M., Шамардин Ю.В. Задачи оптимизации иерархических структур. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1996.- 167 с.

18. Долятовский В.А. Переход от хаоса к порядку в экономике: роль хаотических процессов в формировании организации. В сб. российский менеджмент на пороге 21 в. - Краснодар: ЮРИМ, 1997. - 33-46.

19. Долятовский В.А., Касаков А.И., Коханенко И.К. Методы эволюционной и синергетической экономики в управлении. Отрадная: Изд-во РГЭУ -ИУБиП - ОГИ, 2001. - 577 с.

20. Емеличев В.А. , Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 384 с.

21. Емеличев В.А., Перепелица В.А. О некоторых алгоритмических проблемах многокритериальной оптимизации на графах//Журн. Выч. Математики и мат. физики.- 1989.-Т.29, №2.- С.171-183.

22. Емеличев В.А., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач//Дискретная математика 1994.- Т.6, №1.- С.3-33.

23. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений // Соровский образовательный журнал. 2001.- Том 7, №2. - С. 109-115.

24. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М: Мир, 1976, 165 с.26.3анг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999.-335 с.

25. Калмыков С.А., Шокин Ю.А., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986.-224 с.

26. Ким-Гю-Пхир. Оптимальное распределение ресурсов в условиях интервальной неопределенности. М.: Наука, 1992. - 256 с.

27. Козина Г.Л., Рябовол Л.Д., Захарова А.В. основы интервального исчисле-ния.-Запорожье: Изд-во ЗГУ, 1996. 47 с.

28. Коршунов А.Д. Об одном алгоритме нахождения паросочетаний в конечных графах // Кибернетика. 1975. - №1. - С. 1-8.

29. Коршунов А.Д. Основные свойства случайных графов с большим числом вершин и ребер//Успехи матем. наук. 1985. -Т.40, №1 (241).-С.107-173.

30. Кравцов М.К. Неразрешимость задач векторной дискретной оптимизации в классе алгоритмов линейной свертки критериев //Дискретная математика.- 1996.- 8, №2.- С. 89-96.

31. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000. - 543 с.

32. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы. В сб. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996. - С. 95-164.

33. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения М.: Наука, 1979.- 200 с.

34. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: Наука, 1987.

35. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учебное руководство. М.: Наука, 1990. - 240 с.

36. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейность. Новые проблемы, новые возможности. В кн. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. -М.: Наука, 1996. -С. 165-190.

37. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория Иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 344 с.

38. Михалевич B.C., Трубин В.А., Шор Н.З. Оптимизационные задачи производственно транспортного планирования.- М.: Наука, 1986.- 264 с.

39. Назаренко Т.И., Марченко Л.В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1987. -107 с.

40. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971. -378 с.43.0ре О. Графы и их применение.- М.: Мир, 1965 173 с.

41. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 203 с.

42. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность.- М.: Мир, 1985.- 512 с.

43. Пасов В.М. Синоптико-статистический метод прогнозирования зерновых культур// Методология и гидрология. 1992. - №10. - С.77-84.

44. Перепелица В.А., Сергиенко И.В, Исследование одного класса целочисленных многокритериальных задач //Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1988. - 28, № 3. - С. 400-419.

45. Перепелица В.А., Касаева М.Д, Темирова Л.Г. Прогнозная модель урожайности на базе линейного клеточного автомата // Современные аспекты экономики 2003. - №4(32). - С. 190-206.

46. Перепелица В.А., Мамедов А.А. Исследование сложности и разрешимости векторных задач на графах: Уч. пособие. Черкесск, 1995.- 68 с.

47. Перепелица В.А., Сергеева JI.H. Исследование неразрешимости с помощью алгоритма линейной свертки 3-невырожденных дискретных многокритериальных задач //Кибернетика и системный анализ. — 1996. — № 2. -С. 71-77.

48. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б. Агроэкономическая задача покрытия графа звездами // Тезисы докладов Седьмой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2002. -163 с.

49. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Математическая модель землепользования на базе нечетких множеств и клеточных автоматов// Электронный журнал «Исследовано в России».- 2003.- С. 2429-2438, http:// zhurnal.ape.relarn.ru/articles/003/207.pdf

50. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. - 333 с.

51. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.Наука, 1982.- 256 с.

52. Пригожин И., Стингере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. -М.: Прогресс, 1986.

53. Прикладные нечеткие системы. Под редакцией Т.Тэрано, К.Асаи, М.Сугэно. М.: Мир, 1993. - 368 с.

54. Рощин В.А., Семенова Н.В., Сергиенко Н.В. Декомпозиционный подход к решению некоторых задач целочисленного программирования с неточными данными //Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1990. - 29, № 5.- С. 789-791.

55. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности// Странные аттракторы. -М.; 1991, С.117-151.

56. Сакович В.А. Исследование операций: Справочное пособие.- Минск, 1985.- 256 с.

57. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-455 с.

58. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). Запорожье: ЗГУ, 2002. - 227 с.

59. Сигел, Эндрю. Практическая бизнес-статистика.: Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2002. - 1056 с.

60. Суслов О.П., Кудина Т.М. Моделирование формирования иерархической структуры систем управления // Машинная обработка информации . Киев: Ин-т нар.хоз-ва, 1988.- № 46. - С. 116-126.

61. Темирова Л.Г. Статистически эффективный алгоритм для одной задачи формирования целевых групп. Материалы Северо-Кавказской региональной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Пер-спектива-2001».-Нальчик, 2001.- С. 191-198.

62. Темирова Л.Г. Статистически эффективный алгоритм для одной задачи землепользования // Современные аспекты экономики. Санкт-Петербург. -2002 г.- №15(28).-С.47-56.

63. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. - 260 с.

64. Шокин Ю.И. Интервальный анализ // ВЦ СО АН СССР.- Новосибирск, 1988.- 137 с.

65. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988. - 240 с.

66. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование урожая по технологии «Зонт». Воронеж: ВГАУ, 2000.-379 с.

67. Cootner P. "Comments on the Variation of Certain Speculative Prices", in P. Cootner ed. The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge: MIT Press, 1964 a.

68. Holden К., Peel D.A. and Thompson J.L. Press Syndicate of the University of Cambridge, 1990.-P. 231.

69. Kuchert W.Y.M. and oth. Application of Fuzzy Controller in a Warm Water Plant. "Automatica", v. 12, №4, 1976, P.301-308.

70. Lodwick A.W. Special Issue on the Linkages Between Interval Mathematics and Fuzzy Set Theory // Reliable Computing. 2002. - Volume 8 - P. 93-95.

71. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H.Freeman, 1982.

72. Packard N., Cruthfield I., Forman D., Shaw R. "Geometry from a Time Series", Phisical Review Letters 45, 1980.

73. Perepelitsa V.A. and Kozina G.L. Interval Discrete Models and Multiobjectiv-ity. // Interval computations. 1993. - №1. - P. 51-59.

74. Scheikman J.A., LeBaron B. "Nonlinear Dynamics and Stock Returns". Journal of Business 62, 1989.-P. 311-337/

75. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Inf. Contr., 1965, 8, P.338-353.