Учет взаимодействия между целевыми функциями и их агрегирование в задачах оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Аристова, Екатерина Михайловна

• Аристова, Екатерина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аристова, Екатерина Михайловна

Введение.

Глава 1 Основные понятия и определения.

1.1 Основные понятия теории принятия решений.

1.2 Методы решения задач векторной оптимизации, основанные на свертывании (скаляризации) критериев.

1.3 Основные определения и характеристики нечетких множеств.

1.4 Цели и задачи исследования.

Глава 2 Модели и методы решения многоцелевых задач, учитывающие взаимодействие целевых функций.

2.1 Анализ взаимодействия целевых функций в четкой задаче.

2.2 Определение коэффициентов взаимодействия нечетких целевых функций.

Глава 3 Скаляризация векторного критерия.

3.1 Операции агрегирования для многоцелевых задач.

3.2 Алгоритмы агрегирования для разных типов целей.

3.3 Установление взаимосвязи между методами аддитивной свертки и метрики.

Глава 4 Прикладная задача и организация вычислительного эксперимента.

4.1 Многокритериальный выбор в сфере банковского кредитования.

4.2 Описание программных модулей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Учет взаимодействия между целевыми функциями и их агрегирование в задачах оптимизации»

При моделировании процессов принятия решений наиболее значимыми факторами, которые с необходимостью должны учитываться в моделях, являются неопределенность и многокритериальность, причем в некоторых исследованиях отмечается, что многокритериальность является следствием неопределенности (невозможно выбрать единый критерий (или цель) для характеристики оптимального решения). Неопределенность имеет разные интерпретации и обусловлена не только влиянием внешней среды, но и характеристиками исходной информации о ситуации принятия решений. И если первый из перечисленных источников неопределенности учитывается с помощью теории вероятностей и математической статистики, то второй — с помощью аппарата нечеткой математики.

Обобщения детерминированных моделей принятия решений в форме задач математического программирования в условиях неопределенности строятся путем представления коэффициентов целевых функций и/или ограничений нечеткими числами, что позволяет формализовать приближенные знания о той информации, которая необходима для принятия решений. Проявлением неопределенности является и наличие многих целей, которые характеризуют оптимальность решения с различных позиций. Это приводит к тому, что вместо скалярного критерия рассматривается векторный, компонентами которого являются нечеткие целевые функции. Разработка подходов к решению задач многокритериальной нечеткой оптимизации является актуальной проблемой моделирования сложных систем и процессов.

Модели оптимизационных задач в условиях неопределенности рассматривались в работах R. Fuller, С. Carlsson, Е. Canestrelli, D. Dubois, F. Herrera, H.J. Zimmermann, Jl. Заде, С. А. Орловского, Р. Штойера, В.В. Подиновского, A.B. Язенина и др. Однако, не в полной мере, в этих работах учитывались такие аспекты, как взаимодействие целевых функций, выбор стратегии агрегирования при переходе от векторного критерия к скалярному, взаимосвязь получаемых оптимальных решений с теми, которые могут быть получены на основе различных принципов выбора. В связи с этим диссертационная работа, посвященная разработке новых подходов к решению задач нечеткого математического программирования со многими целевыми функциями, является актуальной.

Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных научных направлений Воронежского государственного университета "Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках".

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в разработке моделей и методов для решения задач математического, в частности, линейного многоцелевого программирования с учетом типа взаимодействия между целевыми функциями (критериями), характеризующими оптимальность решения.

Для достижения цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к решению задач векторной оптимизации в детерминированном случае и в условиях неопределенности.

2. Разработка подходов к оценке взаимодействия нечетких целевых функций и способам учета этой оценки при решении задач нечеткого линейного программирования.

3. Разработка методов формирования обобщенного критерия (целевой функции) на основе операций агрегирования и исследование взаимосвязи получаемых оптимальных решений со свойством Парето-оптимальности.

4. Разработка и апробация программного обеспечения, реализующего предложенные алгоритмы и подходы к решению задач многокритериального выбора.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы исследования операций, теории принятия решений, теории нечетких множеств и нечеткой арифметики, теории графов. При написании программного обеспечения использовалась технология модульного программирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- коэффициент взаимодействия нечетких линейных целевых функций в форме нечеткого Ы1-числа, позволяющий структурировать множество целевых функций и на этой основе определить подходы к решению проблемы многокритериал ьности;

- комплекс методов для решения задач линейного программирования с четкими и нечеткими целевыми функциями, отличающийся альтернативными подходами к решению проблемы многокритериальное™ и включающий: методы, учитывающие коэффициенты взаимодействия целевых функций; методы с использованием коэффициентов важности целевых функций; метод, основанный на модифицированном принципе приближения по всем критериям к идеальному решению;

- теорема о Парето-оптимальности решения, максимизирующего обобщенный критерий, полученный на основе порядковых операций взвешенного агрегирования, которая обосновывает использование операций данного типа для решения задач векторной оптимизации или многокритериального выбора;

- теорема о взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов аддитивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето;

- структура программного комплекса, включающая модуль для определения типа взаимодействия целевых функций в многоцелевых задачах четкого и нечеткого линейного программирования, а также проблемно-ориентированную составляющую для решения задачи многокритериального выбора в сфере банковского кредитования.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации обоснованы корректным использованием выбранного математического аппарата, подтверждены результатами вычислительного эксперимента.

Практическая значимость исследования заключается в возможности формирования моделей и методов принятия решений в условиях неопределенности, которая проявляется в необходимости учитывать множество критериев, характеризующих оптимальность выбираемых решений, а также в использовании приближенной информации о параметрах модели. Подходы, предложенные в диссертации, позволяют повысить обоснованность принимаемых решений в прикладных задачах экономики, техники, проектирования и других областях.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертации в форме моделей, алгоритмов и программ используются в учебном процессе Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Воронежский государственный университет" при чтении спецкурсов, выполнении выпускных квалификационных работ. Банком ОАО "Альфа-Банк" (Воронеж) признана целесообразность использования предложенной в диссертации методики для оптимизации процедур кредитования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета и следующих конференциях различного уровня: Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (Воронеж, 2009-2011 гг.); Международная конференция (Ижевск, 2009 г.); Международная научная школа "Системное моделирование социально-экономических процессов" имени академика С. С. Шаталина (Вологда, 2009 г.); Всероссийская конференция "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 2009 г.); Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2009-2010 гг.); Воронежская математическая школа им. С. Г. Крейна (Воронеж, 2010 г.); Международная научно-практическая конференция "Повышение жизнеспособности нации: продуктивность интеллекта" (Хабаровск, 2010 г.); Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 18 научных работ ( [27,62-78]), в том числе 4 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, выполненных в соавторстве: в [27] предложен подход для анализа взаимодействия целевых функций в задаче линейного программирования; а в [65] — метод решения задачи о формировании инвестиционного портфеля при нечетких оценках.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Аристова, Екатерина Михайловна

Основные результаты диссертационного исследования:

1. Предложен комплекс методов для решения задач линейного программирования с четкими и нечеткими целевыми функциями, отличающийся альтернативными подходами к решению проблемы многокритериальности и включающий: методы, учитывающие коэффициенты взаимодействия целевых функций, методы с использованием коэффициентов важности целевых функций, метод, основанный на модифицированном принципе приближения по всем критериям к идеальному решению.

2. На основании подхода к определению взаимодействия целевых функций в многоцелевых (четких и нечетких) задачах, основанного на вычислении угла между соответствующими им градиентами, введен коэффициент взаимодействия, который позволяет определять тип взаимодействия конкретных целевых функций (кооперация, конфликт и независимость). Предложен метод решения задач линейной многоцелевой оптимизации, основанный на специальном преобразовании целевых функций с учетом коэффициента взаимодействия.

3. В рамках метода целевого программирования найдены условия взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов аддитивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето.

4. Предложены новые методы для решения многоцелевых задач оптимизации, учитывающие взаимосвязь критериев и особенности использования функций агрегирования при переходе к скалярному критерию.

5. Разработан программный комплекс, включающий модуль для определения типа взаимодействия между целевыми функциями в четких и нечетких линейных задачах, а также проблемно-ориентированную составляющую для решения задачи многокритериального выбора в сфере банковского кредитования.

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, профессору Леденевой Татьяне Михайловне за ценные замечания и поддержку.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аристова, Екатерина Михайловна, 2012 год

1. Baykasoglu A. A review and classification of fuzzy mathematical programs

2. A. Baykasoglu // Journal of Inteligent and Fuzzy Systems. -2008. -pp. 205-209.

3. Canestrelli E. Stability in possibilistic quadratic programming /

4. E. Canestrelli, S. Giove, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. 1996. -no. 82. - pp. 51 - 56.

5. Carlsson C. Multiple Criteria Decision Making: The Case for Interdependence/ C. Carlsson, R. Fuller // Computers and Operations Research. -no. 22. 1995. - pp. 251-260.

6. Carlsson C. On interactive fuzzy numbers / C. Carlsson, R. Fuller // Fuzzy

7. Sets and Systems. no. 143. - 2004. - pp. 355-369.

8. Carlsson C. Fuzzy reasoning in decision making and optimization / C. Carlsson, R. Fuller. Heidelberg: PhysicalNew York, 2002. - 338 p.

9. Delgado M. Fuzzy cardinality based evaluation of quantified sentences /

10. M. Delgado., M. Martin, D. Sanchez, M. A. Vila. Int. J. Approx. Reason., 2000. - vol. 23. - pp. 23-66.

11. Delgado M. Fuzzy Association Rules: General Model and Applications /

12. M. Delgado., M. Martin, D. Sanchez, M. A. Vila. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2003. - vol.11. - pp. 214-225.

13. Dubois D. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications / D. Dubois,

14. H. Prade. Academic Press : New York, 1980. - 283 p.

15. Fuller R. On product -sum of triangular fuzzy numbers // Fuzzy Sets and

16. Systems. № 41. - 1991. - pp. 83-87.

17. Fuller R. Fuzzy reasoning for solving fuzzy mathematical programming problems / R. Fuller, H. J. Zimmermann // Fuzzy sets and systems. no. 60. -pp. 121-133.

18. Kaliszewski I. Soft computing for complex multiple criteria decision making

19. I. Kaliszewski. Inc.: Springer Science+Business Media, 2006. - 164 p.

20. Lazarevic S. P. Hybrid Fuzzy linear Programming Approach for Multi Criteria Decision Making Problems / S. P. Lazarevic, A. Abraham // International Journal of Neural, Parallel and Scientific Computations. -2003. -vol.11. pp. 53-68.

21. Lin С. C. A weighted max min model for fuzzy goal programming / С. C. Lin

22. Fuzzy Sets and Systems, 2004. pp. 407-420.

23. Liu X. The solution equivalence of minimax disparity and minimum varianceproblems for OWA operators // International Journal of Approximate Reasoning 45, 2007. - pp. 68-81.

24. Rotach V. An expert estimate and optimization of control algorithms underconditions of incomplete information on the object model / V. Rotach, K. A. Grishin // Teploenergetica, 2003. no. 10. - pp. 2-8.

25. Torra V. Modeling Decisions: Information Fusion and Aggregation Operators

26. V. Torra, Y. Narukawa. Springer : Berlin, 2007. - 284 p.

27. Winterfeldt D., Fischer G.W. Multiattribute utility theory: Models andacsessment procedures. Utility, probability and human decision making // D. Winterfeldt, G.W. Fischer. Amsterdam : Reidel, 1975. - 152 p.

28. Yager R. R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18, 1988. pp. 183-190.

29. Yazenin A. V. Fuzzy and stochastic programming / A. V. Yazenin // Fuzzy

30. Sets and Systems. 1987. - no. 22. - pp. 171-180.

31. Zadeh L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility / L. A. Zadeh

32. Fuzzy Sets and Systems. 1978. no. 1. - pp. 3-28.

33. Zimmermann H. J. Fuzzy mathematical programming / H.-J. Zimmermann

34. Comput. Oper. Res. 1983. no. 10. - pp. 291-298.

35. Zimmermann H.-J. Applications of fuzzy set theory to mathematical programming / H. J. Zimmermann // Information Sciences. 1985. - no. 36. -pp. 29-58.

36. Аббакумов В. JI. Бизнес анализ информации. Статистические методы

37. В. JI. Аббакумов. М. : Экономика, 2009. - 194 с.

38. Азарнова Т. В. Линейное программирование: элементы теории,алгоритмы и примеры. Учебное пособие / Т. В. Азарнова, И. Л. Каширина, Г. Д. Чернышова. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 2001. - 62 с.

39. Азарнова T.B. Методы оптимизации: элементы теории, алгоритмыи примеры. Учебное пособие / Т. В. Азарнова, И.Л. Каширина, Г. Д. Чернышова. Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 2001. - 101 с.

40. Андрейчиков А. В. Анализ, синтез, планирование решений в экономике /

41. А. В. Андрейчиков, О. Н. Андрейчикова. М. : Финансы и статистика, 2000. - 368 с.

42. Аристова Е. М. Об одном подходе к анализу задач многокритериальнойоптимизации / Е. М. Аристова, Т. М. Леденева // Журнал "Системы управления и информационные технологии" Воронеж, гос. технич. ун-та. Воронеж : ВГТУ, 2012. - №1(47). - С. 11-14.

43. Афонин А. Ю. Оперативный и интеллектуальный анализ данных /

44. А. Ю. Афонин, П. П. Макарычев. Пенза : ПГУ, 2010. - 142 с.

45. Ашманов С. А. Линейное программирование / С. А. Ашманов. М. :1. Наука, 1981. 304 с.

46. Баева Н. Б. Основы теории и вычислительные схемы векторнойоптимизации. Учебное пособие / Н. Б. Баева, Ю.В. Бондаренко. -Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 2003. 86 с.

47. Бабинцев B.C. Выбор решений по многим критериям, упорядоченнымпо важности / В. С. Бабинцев, В. В. Подиновский, В. Г. Шорин. М. : 1977. - 44 с.

48. Батищев Д. И. Задачи и методы векторной оптимизации. Учебноепособие / Д. И. Батищев. Горький : ГГУ, 1979. - 92 с.

49. Башмаков А. И. Интеллектуальные информационные технологии /

50. А. И. Башмаков, И. А. Башмаков. М. : МГТУ им. Баумана, 2005. -304 с.

51. Белкин А. Р. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимацииинформации / А. Р. Белкин, М. Ш. Левин. М. : Наука, 1990. - 157 с.

52. Борисов А. Н. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примерыиспользования / А. Н. Борисов, О. А. Крумберг, И.П. Федоров. Рига : Зинатне, 1990. - 184 с.

53. Борисов А. Н. Обработка нечеткой информации в системах принятиярешений / А.Н. Борисов, A.B. Алексеев, Г.В. Меркурьева. М. : Радио и связь, 1989. - 304 с.

54. Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике /

55. Т. Р. Брахман. М. : Радио и связь, 1984. - 288 с.

56. Вальд А. Последовательный анализ / А. Вальд. М. : Физмат-гиз, 1960.162 с.

57. Величко С. В. Синтез функций выбора на итерациях поиска в численныхмоделях многокритериальной оптимизации / С. В. Величко, С. В. Белокуров, Д. Е. Соловей. Воронеж : 2004. - 125 с.

58. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. Сборник переводов.1. М. : Мир, 1976. 228 с.

59. Горюнов Ю. Ю. Теория и методы принятия решений / Ю. Ю. Горюнов,

60. Т. Ю. Горюнова, Д. В. Дружинин. Пенза : РГУИТП, 2010. - 50 с.

61. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложение к представлению знанийв информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. М. : Радио и Связь, 1990. -288 с.

62. Екатеринославский Ю. Ю. Управленческие ситуации: анализ и решения

63. Ю. Ю. Екатеринославский. М. : Экономика, 1988. - 191 с.

64. Елтаренко Е.А. Оценка и выбор решений по многим критериям /

65. Е. А. Елтаренко. М. : МИФИ, 1995. - 112 с.

66. Елтаренко Е.А. Технология оценки объектов по многим критериям срасчетом ошибок результатов / Е.А. Елтаренко, Г.В. Антюфеев // Информационные технологии, 2002. №3.- С. 49-55.

67. Емеличев В. А. Лекции по теории графов / В. А. Емеличев,

68. О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. М. : Наука, 1990. -383 с.

69. Емельянов C.B. Многокритериальные методы принятия решений /

70. С. В. Емельянов, О. И. Ларичев. М. : Знание, 1985. - 32 с.

71. Еремин И. И. Теория линейной оптимизации / И. И. Еремин.

72. Екатеринбург, 1999. 312 с.

73. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение кпринятию приближенных решений / Л. Заде. М. : Мир, 1976. - 165 с.

74. Зайченко Ю. П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация /

75. Ю. П. Зайченко. Киев : Выща Школа, 1991. - 191 с.

76. Иванилов Ю. П. Математические модели в экономике / Ю. П. Иванилов,

77. А. В. Лотов. М. : Наука, 1979. - 303 с.

78. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов.

79. М. : Физматлит, 2000. 263 с.

80. Катулев А.Н. Современный синтез критериев в задачах принятиярешений / А.Н. Катулев, В.Н. Михно, Л.С. Виленчик. М. : Радио и связь, 1992. - 120 с.

81. Кини Р. Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения изамещения / Р. Л. Кини, X. Райфа. М. : Радио и связь, 1981. - 559 с.

82. Конышева Л.К. Основы теории нечетких множеств / Л. К. Конышева,

83. Д.М. Назаров. Спб : Питер, 2011. - 188 с.

84. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. М. :

85. Радио и связь, 1982. 432 с.

86. Кочетков В. В. Индивидуально психологические проблемы принятиярешения / В. В. Кочетков, И. Г. Скотникова. М. : Наука, 1993. - 294 с.

87. Леденева Т. М. Модели и методы принятия решений / Т. М. Леденева.

88. Воронеж : ВГТУ, 2004. 189 с.

89. Леденева Т. М. Обработка нечеткой информации / Т. М. Леденева.

90. Воронеж : ВГУ, 2006. 233 с.

91. Леденева Т. М. Основы нечеткого моделирования в среде MatLab: учеб.пособие / Т. М. Леденева, Д. С. Татаркин, А. С. Тарасова. Воронеж : ЛОП ВГУ, 2006. - 51 с.

92. Липсиц И. В. Экономика без тайн / И. В. Липсиц. М. : Дело ЛТД, Вита1. Пресс, 2008. 352 с.

93. Мелькумова Е. М. Управление риском портфельных инвестиций // Сб.тр. Междунар. конф. (31 августа 5 сентября 2009 г., г. Ижевск) / Е. М. Мелькумова. - Ижевск : ИГУ, 2009. - том №2. - С. 313-318.

94. Мелькумова Е. М. О нечетком подходе к формированию фондовогопортфеля / Е. М. Мелькумова, Б. А. Семенов // Тр. Всеросс. конф. "Интеллектуальные информационные системы" (18 19 июня 2009 г., г. Воронеж). - Воронеж : ВГТУ, 2009. - С. 42-44.

95. Мелькумова Е.М. Один из подходов к решению задачимногокритериальной оптимизации // Вестн. Воронеж, гос. унта. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е.М. Мелькумова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. -№2. - С. 39-42.

96. Мелькумова Е.М. Методы построения функции принадлежности/ Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е. М. Мелькумова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. - №2. - С. 13-18.

97. Мелькумова Е.М. О решении некоторых задач нечеткогоматематического программирования / / Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е. М. Мелькумова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. -№2. - С. 19-24.

98. Мелькумова Е.М. Лингвистическая модель оценочной системы // Тез.докл. Воронеж, матем. школы им. С.Г. Крейна / Е. М. Мелькумова. -Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 2010. С. 101-102.

99. Мелькумова Е.М. Метод выбора лучшей альтернативы при отсутствииинформации о предпочтениях на множестве критериев // Матер.

100. Междунар. научно-практич. конф. "Повышение жизнеспособности нации: продуктивность интеллекта" (15 мая 2010 г., г. Хабаровск) / Е. М. Мелькумова. Хабаровск : ТОГУ, 2010. - С. 70-74.

101. Мелькумова Е. М. Принятие решений на основе нечеткого описаниясостояния системы и исходов // Вестн. факульт. Прикладной матем., информ. и механики / Е. М. Мелькумова. № 8. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. - №8. - С. 258-263.

102. Мелькумова Е. М. Многокритериальная оптимизация на основе мерызависимости целевых функций // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки / Е. М. Мелькумова. Тула : ТулГУ, 2011. -выпуск №1. - С. 177-187.

103. Мелькумова Е. М. О некоторых подходах к решениюмногокритериальных задач // Вестн. Воронеж, гос. технич. унта / Е.М. Мелькумова. Воронеж : ВГТУ, 2011. - том 7, №7. -С. 122-127.

104. Миркин Б. Г. Графы и гены / Б. Г. Миркин, С. Н. Родин. М. : Наука,1. Физматлит, 1977. 237 с.

105. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа /

106. H.H. Моисеев. М. : Наука, 1981. - 488 с.

107. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик,

108. П. Мюллер. М. : Мир, 1990. - 206 с.

109. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта

110. Под ред. Д. А. Поспелова. М. : Наука, Физматлит, 1986. - 311 с.

111. Нит А. Линейное программирование / А. Нит. М. : МГУ, 1978. - 199 с.

112. Ногин В. Д. Основы теории оптимизации / В. Д. Ногин,

113. И.О. Протодьяконов, И.И. Евлампиев. М. : Высшая школа, 1986. - 383 с.

114. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде /

115. В. Д. Ногин. М. : Физматлит, 2002. - 175 с.

116. Носова С. С. Экономическая теория / С. С. Носова. М. : Владос, 1999.187 с.

117. Ope О. Теория графов / О. Ope. M. : Наука, 1968. - 336 с.

118. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные / А. И. Орлов.1. М. : Знание, 1980. 63 с.

119. Орлов А. И. Теория принятия решений / А. И. Орлов. М. : Экзамен,2006. 573 с.

120. Орлов А. И. Принятие решений. Теория и методы разработкиуправленческих решений / А. И. Орлов. М. : Март, 2005. - 496 с.

121. Орлов А. И. Прикладная статистика / А. И. Орлов. М. : Экзамен, 2004.656 с.

122. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходнойинформации / С. А. Орловский. М. : Наука, 1981. - 206 с.

123. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. М. :

124. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 798 с.

125. Петровский A.B. Теория принятия решений / A.B. Петровский. М. :1. Академия, 2009. 399 с.

126. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев /

127. B. В. Подиновский. М. : Физматлит, 2007. - 64 с.

128. Подиновский В. В. Оптимизация по последовательно применяемымкритериям / В. В. Подиновский, В.М. Гаврилов. М. : Советское радио, 1975. - 192 с.

129. Подиновский В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальныхзадач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М. : Наука, 1982. - 250 с.

130. Райфа Г. Анализ решений: Введение в проблему выбора в условияхнеопределенности / Г. Райфа. М. : Наука, 1977. - 406 с.

131. Рабинович Я. И. Принцип гарантированного результата в задачах поискаэкстремума / Я. И. Рабинович. М. : ВЦ АН СССР, 1989. - 20 с.

132. Роберте Ф.С. Дискретные математические модели с приложениямик социальным биологическим и экологическим задачам / Ф. С. Роберте. М. : Наука, 1986. - 494 с.

133. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерениянечеткости / А. П. Рыжов. М. : Диалог-МГУ, 1998. - 81 с.

134. Рыков А. С. Системный анализ: модели и методы принятия решений ипоисковой оптимизации / А. С. Рыков. М. : МИСиС, 2009. - 607 с.

135. Саати Т. J1. Принятие решений при зависимостях и обратных связях /

136. Т. JI. Саати. М. : Либроком, 2009. - 357 с.

137. Семенов Б.А. О взаимодействии целей в многокритериальных задачах

138. Б. А. Семенов, Т. М. Леденева // Управление большими системами: сб. тр. VI Всерос. шк. сем. молодых ученых, Ижевск, 31 авг. - 5 сент. 2009 г. - Ижевск : Информ. издат. центр "Бон Анца", 2009. - Т.2.1. C. 12-14.

139. Сергиенко И. В. Математические модели и методы решения задачдискретной оптимизации / И. В. Сергиенко. Киев : Наукова думка, 1988. - 471 с.

140. Сергиенко И. В. Приближенные методы решения дискретных задачоптимизации / И. В. Сергиенко, Т. Т. Лебедева, В. А. Рощин. Киев : Наукова думка, 1980. - 272 с.

141. Соболь И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многимикритериями / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. М. : Наука, 1981. -106 с.

142. Стрекаловский А. С. Биматричные игры и билинейное программирование / А. С. Стрекаловский, А. В. Орлов. М. : Физматлит, 2007. -223 с.

143. Теория выбора принятия решений. Учебное пособие / Под ред.

144. И. М. Макарова и др.. М. : Наука, Физмалит, 1982. - 327 с.

145. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности

146. Р. И. Трухаев. М. : Наука, 1981. - 257 с.

147. Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие /

148. Л. П. Турунтаев. Томск, 2007. - 197 с.

149. Уткин Л. В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации / Л. В. Уткин. Спб : Наука, 2007. - 400 с.

150. Фатхутдинов P.A. Управленческие решения / P.A. Фатхутдинов. М. :1. Инфра-М, 2005. 298 с.

151. Фатхутдинов P.A. Разработка управленческих решений /

152. Р. А. Фатхутдинов. М. : Интел-Синтез, 1998. - 271 с.

153. Фишберн П. Теория полезности для принятия решения / П. Фишберн.1. М. : Наука, 1978. 352 с.

154. Хемди А. Теория игр и принятие решений / А. Хемди. М. : Вильяме,2007. 549 с.

155. Хоменюк В. В. Элементы теории многоцелевой оптимизации /

156. В. В. Хоменюк. М. : Наука, 1983. - 124 с.

157. Черноруцкий В. В. Методы принятия решений / В. В. Черноруцкий.

158. Спб : БХВ-Петербург, 2005. 408 с.

159. Черноруцкий В. В. Методы оптимизации и принятия решений/

160. В. В. Черноруцкий. Спб : Лань, 2001. - 384 с.

161. Шевченко В. Н. Линейное и целочисленное программирование /

162. В.Н. Шевченко. Горький : ГГУ, 1976. - 69 с.

163. Шмойлова P.A. Теория статистики / P.A. Шмойлова. М. : Финансы истатистика, 2006. 416 с.

164. Штовба С. Д. Проектирование нечетких систем средствами Marlab /

165. С. Д. Штовба. М. : Горячая линия-Телеком, 2007. - 288 с.

166. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления,