Многопетлевой ренормгрупповой анализ критического поведения моделей с различными симметриями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кудлис Андрей

• Кудлис Андрей
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Кудлис Андрей

2.1 Исторический обзор

2.2 Шестипетлевой ^-анализ

2.2.1 Модель и процедура перенормировки

2.2.2 Шестипетлевые разложения РГ функций, координат кубической точки, критических индексов и пс

2.2.3 Процедура пересуммирования и численные оценки

2.2.4 Обсуждение

2.2.5 Подведение итогов вычислений в рамках ^-разложения

2.3 Вычисление величины критической анизотропии методом РГ в трехмерном пространстве

2.3.1 Константы связи, нелинейные восприимчивости, анизотропия

2.3.2 Псевдо-£-разложения координат кубической фиксированной точки и параметра анизотропии

2.3.3 Численные оценки в случае кубических ферромагнетиков

(п = 3)

2.3.4 Критическая анизотропия и граничная размерность параметра порядка пс

2.3.5 Подведение итогов вычислений параметра анизотропии в рамках псевдо-£-разложения

2.4 Заключение второй главы

Глава 3. Примесная (слабонеупорядоченная) модель Изинга

3.1 Исторический обзор

3.2 Модель и процедура перенормировки

3.3 Численные результаты

3.3.1 РГ разложения

3.3.2 Координаты примесной фиксированной точки

3.3.3 Критические индексы

3.4 Заключение третьей главы

Глава 4. О(т) х О(п)-симметричная модель

4.1 Исторический обзор

4.2 Модель и процедура перенормировки

4.2.1 Модель

4.2.2 Перенормировка

4.3 РГ функции, фиксированные точки, критические индексы и граничные размерности параметра порядка

4.4 Численные результаты

4.4.1 Граничные размерности параметра порядка п+(т, 4 — е), п-(т, 4 — е) и пн(т, 4 — е)

4.4.2 Критические индексы

4.5 Обсуждение

4.6 Заключение четвертой главы

Глава 5. Критические индексы для дробномерных моделей:

е-разложение против конформного бутстрапа

5.1 Исторический обзор

5.2 Критические индексы для дробных размерностей пространства

5.3 Обсуждение

5.4 Заключение пятой главы

Глава 6. Универсальные константы связи трехмерной п-векторной модели

6.1 Исторический обзор

6.2 3Э РГ анализ

6.2.1 РГ и псевдо-е-разложения

6.2.2 Вильсоновская фиксированная точка

6.2.3 Эффективная константа связи восьмого порядка

6.2.4 Эффективная константа связи десятого порядка в окрестности критической точки

6.2.5 Итоги вычислений высших констант связи обобщенной модели Гейзенберга в рамках трехмерной РГ

6.3 Псевдо-£-разложение для высших констант связи модели Изинга

6.3.1 Псевдо-£-разложения для высших констант связи

6.3.2 Эффективная константа связи шестого порядка в критической области

6.3.3 Константа связи восьмого порядка

6.3.4 Итоги вычисления универсальных отношений различных порядков в рамках псевдо-£-анализа

6.4 Заключение шестой главы

Заключение

Приложение А. п-векторная модель с кубической анизотропией

Приложение Б. О(п) х 0(ш)-симметричная модель

Приложение В. Универсальные отношения амплитуд

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многопетлевой ренормгрупповой анализ критического поведения моделей с различными симметриями»

Введение

Исследования в области теории критических явлений на протяжении многих десятилетий не теряют своей актуальности. Более того, экспоненциальный темп развития аналитических и численных методов, программных средств вкупе с немыслимыми ранее вычислительными мощностями открывают обширные перспективы для понимания физики критического поведения и ее описания на принципиально новом количественном уровне.

Где же берет свое начало современная теория? По всей видимости, отправным пунктом послужила работа Онзагера, которую он опубликовал в 1944 году [1]. Появление точного решения двумерной модели Изинга ознаменовало конец эпохи классического описания фазовых переходов, начало которой было заложено еще в работах Клаузиуса, Максвелла, Больцмана, а немногим позже и Гиббса. Теперь стало ясно, что в области фазового перехода второго рода статсумма не является аналитической функцией, что сделало, в принципе, неприменимым предложенный Ландау метод разложения термодинамических потенциалов по степеням параметра порядка [2, 3]. В течение последующих двух десятилетий критические свойства модельных систем устанавливались индивидуальным образом - каждая модель и каждая характеристика требовала отдельных вычислений, в то время как общей теории, способной описать весь массив накопленной информации, все еще не было предложено [4]. Стоит отметить, что с ростом объема экспериментальных данных были подмечены определенные закономерности; было обнаружено, например, что критические свойства сильно зависят от размерности пространства и слабо от вида кристаллической структуры [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11].

Переломным периодом стала середина 1960-х годов, когда была проведена, в частности, первая международная конференция по физике критических явлений в Вашингтоне [12]. Важное сообщение было сделано Уленбеком, в котором он заявил, что если и существует какая-нибудь универсальность критического поведения, не описываемая классическим образом, то должно существовать и универсальное объяснение, которое не зависело бы от природы действующих сил. Ответ был сформулирован в виде так называемой гипотезы универсальности, предложенной Кадановым, согласно которой существуют некие классы универсальности, определяющиеся лишь фундаментальными характеристиками системы, среди которых ее симметрия, пространственная раз-

мерность и число компонент изоспина (размерность параметра порядка) [13]. Каждому такому классу должен соответствовать универсальный набор величин, называемых критическими индексами. Аналогичные идеи были высказаны в 1964-1966 годах Покровским и Паташинским [14], аргументация которых базировалась на широком использовании методов квантовой теории поля применительно к тому, что сегодня называют флуктуационным гамильтонианом Ландау, Ландау-Вильсона или Гинзбурга-Ландау-Вильсона. В конце 1960-х годов этот подход получил дальнейшее развитие в работах Мигдала и Полякова [15, 16], Ларкина и Хмельницкого [17].

Идеи блочного построения Каданова стали фундаментом для следующего важнейшего шага в понимании физики критического поведения, сделанного в начале 1971-1972 годах Вильсоном, который исключительно эффективно применил идеологию и технику ренормализационной группы для решения проблемы фазовых переходов второго рода [18, 19, 20, 21]. Не являясь математически строгим, его подход оказался крайне плодотворным, объяснив огромный спектр наблюдаемых ранее экспериментальных фактов. Сам метод ренормали-зационной группы (РГ) был предложен в 1953 году Штюкельбергом и Петерма-ном [22] и разработан Гелл-Манном и Лоу [23], Боголюбовым и Ширковым [24] для нужд квантовой теории поля, где, однако, не показал на раннем этапе особой результативности. В теории же критических явлений при помощи метода ренормгруппы оказалось возможным объяснить масштабную инвариантность (скейлинг) и универсальность, а также дать численные оценки критических индексов реальных трехмерных систем, которые стали существенно ближе к экспериментальным значениям, нежели те, которые были предсказаны теорией Ландау. Очень эффективным здесь оказалось использование техники перенормированной (ренормгрупповой) теории возмущений, разработанной ранее в квантовой теории поля. В качестве формального малого параметра было предложено взять разность между верхней критической размерностью, выше которой работоспособной является теория Ландау, и физическим значением этой размерности [21]. Несмотря на асимптотический характер получаемых рядов, известных сегодня под названием е-разложений, учет двух-трех первых членов оказывается достаточным, чтобы дать адекватные численные оценки для основной массы физически интересных величин [25, 26]. Эти работы Вильсона, за которые он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году, спровоцировали целую волну новых идей. В последующие годы взрывное развитие теории пе-

решло в более спокойную фазу, когда уточнялись на количественном уровне полученные ранее результаты, рассматривались новые модели по мере их появления, открывались новые области применения техники РГ, такие, например, как физика развитой турбулентности и теория неупорядоченных систем (в качестве обзора см. [27, 28, 29, 30, 31]). В результате метод РГ стал одним из общепризнанных и весьма широко используемых подходов в современной теоретической физике конденсированного состояния.

Важно отметить, что существуют разные способы изложения теории РГ, однако все они идейно эквиваленты. Квантовополевая формулировка, пожалуй, является одной из наиболее строгих и формализованных. Ярким примером российских представителей данного подхода являлся профессор физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета Александр Николаевич Васильев, который совместно со своими учениками, впоследствии сформировавших "Школу Васильева", занимался разработкой функциональных методов в квантовой теории поля и статистической физики, чем внес существенный вклад в развитие теории критических явлений. Идеи ренормализационной группы в рамках квантовополевого формализма были изложены им в прекрасной монографии [31].

К двухтысячным годам ренормгрупповая теория критических явлений превратилась в канонический раздел теоретической физики. Для многих физически важных моделей РГ функции были найдены в весьма высоких порядках теории возмущений, а дальнейшие расчеты, которые в принципе могли бы привести к получению высокоточных результатов, были сопряжены, при учете тогдашнего уровня вычислительных ресурсов, с исключительными трудностями. Рекордными результатами на то время являлись пятипетлевые расчеты в рамках метода ^-разложения [32, 33, 34, 35, 36, 37] и шестипетлевой РГ анализ моделей в пространствах физической размерности Б = 3 [38, 39, 26, 40, 41, 25, 42]. Весьма примечательно, что такое положение оставалось неизменным на протяжении нескольких десятилетий.

Несмотря на высокую точность полученных результатов, существуют физические системы, для которых многопетлевой РГ анализ остается весьма актуальным. Речь идет не просто об уточнении значений критических индексов и других количественных характеристик, а о решении принципиальных вопросов, таких как установление рода фазового перехода и типа критического поведения, если переход оказывается непрерывным.

Многолетний застой в данной области был прерван благодаря появлению прорывных работ по вычислению следующих порядков теории возмущений в рамках техники ^-разложения [43, 44, 45, 46, 47], что стало возможным благодаря разработке новых численных и аналитических методов. Отметим некоторые из них. Техника Sector Decomposition [48] позволила осуществить независимую проверку пяти- [49] и шестипетлевых [45] результатов в рамках ^-разложения, а также найти критический индекс п в шестипетлевом приближении в пространстве физической размерности (D = 2) [50]. Огромную роль при вычислении критического индекса п в следующих порядках по £ [43] сыграли метод интегрирование по частям [51, 52, 53, 54] и Я*-операция [55, 56, 57, 58]. Помимо этого, для завершения полного шестипетлевого расчета критических индексов в рамках ^-разложения [44, 45] было необходимо вычислить ряд содержащих гиперлогарифмы параметрических интегралов [59, 60, 61]. Вычисление же так называемых графических функций [62] позволило осуществить семипетлевой расчет по е [46]. Нельзя не отметить также рекордный - восьмипетлевой - расчет критического индекса п в пространстве физической размерности (D = 2) [47].

Успехи, связанные с многопетлевыми расчетами, сделали крайне актуальным вопрос об РГ анализе моделей с нетривиальными симметриями в рекордно высоком - шестипетлевом - ^-приближении, реализация которого позволила бы поднять точность количественных оценок и надежность качественных предсказаний теории для целого ряда физических систем.

Таким образом, целью данной работы является дальнейшее развитие теории критического поведения при помощи методов теоретико-полевой ренорма-лизационной группы, очевидным образом доказавшей свою высокую численную эффективность за долгие годы их активного использования для описания критических свойств широкого спектра физических систем.

Все конкретные задачи, решаемые в данной диссертации, в конечном итоге связаны с поиском численных оценок рекордно высокой точности для универсальных характеристик критического поведения, среди которых критические индексы, универсальные отношения амплитуд, критические значения размерностей параметров порядка моделей с нетривиальными видами упорядочения, а также другие величины, которые могут быть измерены экспериментально или найдены с использованием численного моделирования. В качестве базовой теории в данной работе берется евклидова теория поля с самодействием типа Хф4. Главными объектами исследования являются обобщенная модель Гей-

зенберга, модели с кубической и киральной симметриями, а также примесная (слабонеупорядоченная) модель Изинга. Теория критического поведения перечисленных моделей позволяет описывать фазовые переходы в обширном классе магнитоупорядоченных, сегнетоэлектрических и сверхпроводящих материалов, а также в сверхтекучих жидкостях. В диссертации будут представлены результаты, полученные в рекордно высоких порядках теории возмущений, которые позволяют делать достоверные выводы относительно устойчивости различных режимов критического поведения, реализующихся в системах с нетривиальными симметриями, а также дать более точные численные оценки универсальных критических величин.

Первой проблемой, решение которой представлено в работе, является анализ критических свойств систем, описываемых (4 — е)-мерной евклидовой теорией поля с обобщенной кубической симметрией в шестипетлевом приближении в рамках схемы минимальных вычитаний. Для этого будут найдены РГ разложения в-функций и аномальных размерностей, а также ^-разложения универсальных характеристик системы. При построении количественной теории необходимо получить высокоточные численные оценки не только для критических индексов соответствующего класса универсальности, но и определить значение граничной (в англоязычной литературе - marginal) размерности параметра порядка. По сути данная величина является ключевым параметром модели, ибо ее значение разделяет два типа критического поведения, предсказываемых теорией. Один из них реализуется в реальных (трехмерных) кристаллах с магнитной подсистемой, обладающей кубической симметрией. Важно отметить, что РГ анализ кубической модели в трехмерном пространстве показал, что численные оценки nc ощутимо зависят от порядка теории возмущений и выходят на асимптотическое значение лишь в пяти- и шестипетлевом приближениях. Более того, в ходе эволюции nc с ростом порядка приближения его величина, меняясь от 4 до 2.85-2.90, проходит через физическое значение n = 3. Но случаям nc > 3 и nc < 3 отвечают разные виды критических асимптотик (гейзенберговская и анизотропная), а это значит, что многопетлевые вычисления оказываются необходимыми даже для выяснения качественных черт критического поведения. Для надежного вывода относительно характера критического режима, реализуемого в данных системах, а также демонстрации согласованности ренорм-групповых методов в целом, давно назрела необходимость вычисления nc при помощи альтернативного РГ способа в столь же высоком - шестипетлевом - по-

рядке теории возмущений. Эта задача решена в диссертации. Однако, помимо расчета значений граничной размерности параметра порядка, для определения типа критического поведения, реализуемого в реальных кубических ферромагнетиках, можно прибегнуть к вычислению величины анизотропии магнитной восприимчивости вблизи точки Кюри. Такой расчет также выполнен в данной работе.

С этой проблемой тесно связан другой вопрос, рассмотрение которого реализовано в данной работе. Речь идет о построении теории критического поведения в таком же высоком - шестипетлевом - приближении для не менее интересной примесной модели Изинга при помощи РГ метода в пространстве размерности О = 4 — е. В первых работах, где была рассмотрена данная модель, было обнаружено, что соответствующие эффективной полевой модели, выведенной при помощи метода реплик, ренормгрупповые уравнения в низшем приближении являются вырожденными. В результате в ходе решения данной проблемы вместо е-разложений оказалось необходимым строить так называемые у^-разложения. Предыдущий - пятипетлевой - расчет не позволил найти надежные численные оценки для критических индексов. Мотивация в поиске следующего порядка теории возмущений состояла в том, что данные вычисления могли бы улучшить сложившуюся ранее ситуацию, но неблагоприятная структура асимптотических рядов не позволила существенно продвинуться в данном направлении. Однако, автором данной диссертации была использована альтернативная процедура вычислений универсальных критических характеристик. Вместо анализа д/ё-разложений, численным образом были обработаны исходные РГ ряды для в-функций с целью поиска координат фиксированной точки, значения которых были использованы при вычислении критических индексов. Хотя правомерность применения данной процедуры является спорной, полученные численные оценки интересных с физической точки зрения величин, описывающих соответствующий класс универсальности, оказались в хорошем согласии с результатами, полученными альтернативными теоретическими способами и с данными физических экспериментов и компьютерного моделирования.

Третьей проблемой, решаемой в диссертации, стал анализ критического поведения киральной модели (О(т) х О(п)-симметричная модель), описывающей фазовые переходы в ряде магнитных, сверхпроводящих и сверхтекучих систем, в числе которых фрустрированные магнетики с неколлинеарным

и некомпланарным упорядочением. Как и в случае с кубической моделью, в теории присутствуют критические (маргинальные, они же граничные) размерности параметра порядка, которых здесь, однако, уже три. Они играют важную роль в понимании природы реализующихся здесь фазовых переходов. Например, в случае киральных магнетиков от того, как соотносится пс с физическими значениями п = 2 и п = 3, зависит, будет ли система испытывать фазовый переход первого рода или в ней будет происходить переход второго рода со специфическим набором критических индексов. Аналогично ситуации с кубической моделью, шестой порядок теории возмущений был известен лишь в рамках РГ в пространстве физической размерности, тогда как в Б = 4 — £ был реализован лишь пятипетлевой анализ. Нахождение следующего вклада по £ заметно улучшило точность численных оценок как для граничных размерностей параметра порядка, так и для критических индексов. Помимо этого, в рамках РГ подхода в пространстве размерности 4 — £ было сделано заключением о том, что для физически интересных значений параметров т и п фазовые переходы в киральную фазу должны быть переходами первого рода.

Еще одним вопросом, тесно связанным с циклом предыдущих проблем и включенным в данную диссертационную работу, стал анализ критических индексов изинговского класса универсальности для различных размерностей пространства (2 < 1 < 4) в шестипетлевом £-приближении. Стимулом для решения этой задачи стал недавний расчет, выполненный в рамках метода конформного бутстрапа. В свою очередь для получения численных оценок критических индексов автором диссертации совместно с другими исследователями к соответствующим РГ рядам был применен метод пересуммирования, основывающийся на преобразовании Бореля с последующим поиском аналитического продолжения при помощи специального конформного отображения. Систематическое отличие численных значений, полученных этими двумя способами, делают возможность продолжения £-рядов на случай Б = 2 весьма сомнительной. Набравшись смелости, можно заключить, что данные результаты открывают сложную проблему идентификации и понимания происхождения такого расхождения в поведении пертурбативных и непертурбативных подходов. Разрешение данной проблемы могло бы пролить свет на природу и пределы применимости методов теории возмущений.

Как уже отмечалось, особую актуальность всем вышеуказанным задачам придал тот факт, что относительно недавно были найдены шестипетлевые вкла-

ды в е-разложения ренормгрупповых функций модели с О(Ы)-симметричным параметром порядка [43, 44, 45]. Полученные в ходе этой работы результаты открыли дорогу к построению теории критических явлений в системах с нетривиальными видами упорядочения в рекордно высоком - шестипетлевом -е-приближении.

Последней задачей, вошедшей в состав диссертации, стал анализ высших эффективных констант связи, входящих в критические уравнения состояния обобщенной модели Гейзенберга, описывающей, как уже упоминалось ранее, обширный класс магнитоупорядоченных, сегнетоэлектрических и сверхпроводящих материалов, а также сверхтекучие жидкости. В работе представлены РГ разложения в трехмерном пространстве для констант связи д8 и дю в четырех-и трехпетлевом приближениях соответственно. Помимо этого, для данных величин были вычислены так называемые псевдо-е-разложения, обладающие более благоприятной структурой. Данный шаг был реализован в связи с тем, что применение альтернативных теоретико-полевых подходов позволяет убедиться в устойчивости количественных результатов относительно типа используемой итерационной процедуры. Мотивацией же для решения данной задачи стала низкая точность численных оценок, полученных ранее при физических значениях размерности параметра порядка. Более высокие приближения, найденные автором диссертационной работы, заметно сдвинули полученные ранее численные оценки. В качестве дополнительной задачи был реализован анализ универсальных отношений амплитуд для модели Изинга. Для этого на основе известных пятипетлевых ренормгрупповых рядов нами были вычислены псевдо-е-разложения упомянутых величин. При помощи различных методов пересуммирования были получены альтернативные теоретико-полевые оценки для соответствующих универсальных отношений.

Используемые подходы и методы

Основными инструментами при решении всех вышеуказанных проблем являются различные ренормгрупповые подходы, среди которых метод е-разло-жения, техника РГ в пространствах фиксированной размерности и метод псевдо-е-разложения. Все это подразумевает активное применение аппарата диаграмм Фейнмана, включающего в себя вычисление не только многомерных интегралов, но и расчет комбинаторных факторов соответствующих диаграмм, а также применение разнообразных методов пересуммирования асимптотических рядов,

без которых невозможно было бы получить надежные численные оценки для критических индексов, эффективных констант связи и других величин, интересных с физической точки зрения. Среди данных методов можно выделить технику аппроксимант Паде, преобразования Бореля и Бореля-Леруа, обращение к конформному отображению особого вида, учитывающему асимптотические свойства полученных рядов (асимптотики высоких порядков и сильной связи), конформное отображение с последующим гомографическим преобразованием. Данные методы доказали свою высокую эффективность в плане получения высокоточных численных оценок универсальных физических величин в теории критических явлений.

Выносимые на защиту положения

Итак, на защиту выносятся следующие тематически связанные научные положения и результаты:

1. Теория критического поведения систем с п-векторным параметром порядка и кубической анизотропией в шестипетлевом £-приближении, включающая в себя £-разложение граничной размерности параметра порядка рекордной длины и численные значения пс, полученные при помощи различных методов пересуммирования. Расчет анизотропии магнитной восприимчивости в точке Кюри при помощи метода псевдо-£-разложения и соответствующие численные оценки.

2. Результаты исследования критического поведения слабонеупорядоченной (4 — £)-мерной модели Изинга в шестипетлевом приближении, в том числе д/£-разложения критических индексов, анализ исходных ренормгрупповых рядов для в-функций, значения координат примесной фиксированной точки и численные оценки критических индексов.

3. Количественная теория критических явлений в О(п) х О(т)-симметричной (киральной) модели в шестипетлевом £-приближении, включающая в себя численные оценки граничных размерностей, которые разделяют различные типа критического поведения систем, описываемых данной моделью.

4. Ренормгрупповой анализ изинговского класса универсальности в случае дробных значений (2 < Б < 4) размерности пространства.

5. Многопетлевые ренормгрупповые разложения для высших эффективных констант связи трехмерной обобщенной модели Гейзенберга и численные оценки их универсальных критических значений, полученные с помощью пересуммирования РГ рядов и в рамках техники псевдо-е-разложения. Пя-типетлевые псевдо-е-разложения универсальных отношений Я6, Я8 и Яю для трехмерной модели Изинга и численные оценки, полученные их пересуммированием.

Структура диссертации

Диссертация построена следующим образом. Работа содержит 213 страниц, 23 рисунка и 44 таблицы. Сразу же после Введения идет глава, посвященная основным аспектам ренормгруппового подхода в теории критических явлений. Затем идут пять глав, каждая из которых соответствует одной из задач, решаемых в диссертации. Содержимое каждой из глав несет в себе всю необходимую информацию, включая исторический обзор соответствующей проблемы и детальное описание используемых методов, что позволяет читателю не придерживаться последовательного изучения диссертации. В конце работы представлено заключение, где резюмированы основные результаты диссертации. Затем идут приложения с некоторыми результатами численных расчетов, которые в силу своей громоздкости не попали в основную часть работы. Завершается диссертация списком литературы, который содержит 327 наименования.

Личный вклад автора

Все основные результаты были получены лично автором или при совместной работе с другими исследователями.

Апробация результатов исследования

Результаты исследований были представлены в рамках следующих мероприятий:

• V международная конференция "Модели квантовой теории поля", 21-25 сентября, 2015, Петергоф, Санкт-Петербург, Россия.

• 19-ый международный семинар по физике высоких энергий '^иАКК8-2016", 29 Мая - 4 Июня, 2016, Пушкин, Санкт-Петербург, Россия.

• 20-ый международный семинар по физике высоких энергий "QUARKS-2018", 27 Мая - 2 Июня, 2018, Валдай, Россия.

• VI международная конференция "Модели квантовой теории поля", 27-31 августа, 2018, Петергоф, Санкт-Петербург, Россия.

• 20-ая международная конференция по теоретической физике "The Small Triangle Meeting", 7-10 октября, 2018, Кошице, Словакия.

• XV зимняя школа по теоретической физике "Complex Systems and Advanced Materials", 28 января - 1 февраля, 2019, Дубна, Россия.

• 12-ая международная конференция "CHAOS 2019", 18 - 21 июня, 2019, Ха-нья, Крит, Греция.

Полученные результаты опубликованы в российских и зарубежных изданиях в виде семи статей:

• A. Kudlis, A. I. Sokolov, Anisotropy of a cubic ferromagnet at criticality, Phys. Rev. E 94 (2016) 042107.

• А. Кудлис, А. И. Соколов, Теория поля и анизотропия кубического ферромагнетика вблизи точки Кюри, ТМФ, 190 (2017), 344.

• A. I. Sokolov, M. A. Nikitina, A. Kudlis, Universal effective coupling constant ratios of 3D scalar ф4 field theory and pseudo-e expansion, Eur. Phys. J. WoC 125 (2016) 05001.

• A. I. Sokolov, A. Kudlis, M. A. Nikitina, Effective potential of the three-dimensional Ising model: The pseudo-e expansion study, Nucl. Phys. B 921 (2017) 225.

• L. Ts. Adzhemyan, E. V. Ivanova, M. V. Kompaniets, A. Kudlis, A. I. Sokolov, Six-loop e expansion study of three-dimensional n-vector model with cubic anisotropy., Nucl. Phys. B 940 (2019) 332.

• M. V. Kompaniets, A. Kudlis, A. I. Sokolov, Six-loop e expansion study of three-dimensional O(n) x O(m) spin models, Nucl. Phys. B 950 (2020) 114874.

• A. Kudlis, A. I. Sokolov, Universal effective couplings of the three-dimensional n-vector model and field theory, Nucl. Phys. B 950 (2020) 114881.

Благодарность

Автору данной диссертации хотелось бы выразить свою безграничную благодарность своему научному руководителю профессору Александру Ивановичу Соколову за его постоянную поддержку, терпение и огромнейший опыт на протяжении почти восьми лет.

Автор глубоко признателен профессору Михаилу Владимировичу Компа-нийцу за его огромнейший опыт в вопросах аналитических и численных расчетов, без которого, вне всяких сомнений, было бы крайне трудно обойтись при выполнении данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кудлис Андрей, 2020 год

Список литературы

[1] Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an orderdisorder transition // Phys. Rev. — 1944.—Vol. 65. — P. 117.

[2] Ландау Л. К теории фазовых переходов, часть I // ЖЭТФ. — 1937. — Т. 7. —С. 19.

[3] Ландау Л. К теории фазовых переходов, часть II // ЖЭТФ. — 1937. — Т. 7. —С. 627.

[4] Domb C. The Critical Point. — Routledge, 2019.

[5] Guggenheim E. The principle of corresponding states //J. Chem. Phys. — 1945. —Vol. 13. —P. 253.

[6] Heller P., Benedek G. Nuclear magnetic resonance in MnF2 near the critical point // Phys. Rev. Lett. — 1962.— Vol. 8. —P. 428.

[7] Heller P., Benedek G. Nuclear resonance in eus from 4.2°k to the critical temperature region // Phys. Rev. Lett. — 1965.—Vol. 14. — P. 71.

[8] Domb C. On the theory of cooperative phenomena in crystals // Adv. Phys. — 1960. —Vol. 9. —P. 149.

[9] Domb C., Sykes M. Effect of change of spin on the critical properties of the Ising and Heisenberg models // Phys. Rev. — 1962. — Vol. 128. — P. 168.

[10] Jasnow D., Wortis M. High-temperature critical indices for the classical anisotropic Heisenberg model // Phys. Rev. — 1968. — Vol. 176. — P. 739.

[11] Kac M., Uhlenbeck G., Hemmer P. On the van der Waals Theory of the Vapor-Liquid equilibrium. I. Discussion of a One-Dimensional Model //J. Math. Phys. —1963.—Vol. 4. —P. 216.

[12] Green M., Sengers J. Critical Phenomena: Proceedings of a Conference Held in Washington, D. C., April 1965. — Forgotten Books, 2017.

[13] Green M. Critical phenomena: International School of Physics "Enrico Fermi" (51st : 1970 : Varenna, Italy). — Academic Press New York, 1971.

[14] Паташинский А., Покровский В. Поведение упорядоченных систем вблизи точки перехода // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50.— С. 439.

[15] Мигдал А. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. — 1968. — Т. 55. — С. 1964.

[16] Поляков А. Микроскопическое описание критических явлений // ЖЭТФ. —1968. —Т. 55. —С. 1026.

[17] Ларкин А., Хмельницкий Д. Фазовый переход в одноосных сегнетоэлек-триках // ЖЭТФ. —1969. —Т. 56. —С. 2087.

[18] Wilson K. Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture // Phys. Rev. B. — 1971. — Vol. 4. — P. 3174.

[19] Wilson K. Renormalization group and critical phenomena. II. Phase-space cell analysis of critical behavior // Phys. Rev. B. — 1971. — Vol. 4. — P. 3184.

[20] Wilson K. Critical phenomena in 3.99 dimensions // Physica. — 1974. — Vol. 73. —P. 119.

[21] Wilson K., Fisher M. Critical exponents in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. —1972. —Vol. 28. —P. 240.

[22] Stueckelberg E., Petermann A. La normalisation des constantes dans la théorie des quantanormalization of constants in the quanta theory // Helv. Phys. Acta. —1953. —Vol. 26. —P. 499.

[23] Gell-Mann M., Low F. Quantum electrodynamics at small distances // Phys. Rev. —1954.—Vol. 95. —P. 1300.

[24] Боголюбов Н., Ширков Д. Мультипликативная ренормализационная группа в квантовой теории полей // ЖЭТФ. — 1956. — Т. 30. — С. 77.

[25] Le Guillou J., Zinn-Justin J. Critical exponents for the n-vector model in three dimensions from field theory // Phys. Rev. Lett. — 1977. — Vol. 39. — P. 95.

[26] Le Guillou J., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. —1980. —Vol. 21. —P. 3976.

[27] Amit D. Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena, N.Y. —McGraw-Hill, 1978.

[28] Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. — Clarendon Press, Oxford, 1989, 1993, 2002.

[29] Паташинский А., Покровский В. Флуктуационная теория фазовых переходов.—М., Наука, 1982.

[30] Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М., Наука, 1983.

[31] Васильев А. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — ПИЯФ, Санкт-Петербург, 1998.

[32] Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Accurate critical exponents from the £ expansion //J. Phys. Lett.-Paris. —1985.—Vol. 46. —P. 137.

[33] Five-loop renormalization group calculations in the дф4 theory / K. Chetyrkin, S. Gorishny, S. Larin, F. Tkachov // Phys. Lett. B. — 1983.— Vol. 132.— P. 351.

[34] Chetyrkin K., Kataev A., Tkachov F. Five-loop calculations in the дф4 model and the critical index n // Phys. Lett. B. — 1981.—Vol. 99. —P. 147.

[35] Chetyrkin K. G., Kataev A. L., Tkachov F. V. Errata // Phys. Lett. B. — 1981. —Vol. 101. —P. 457.

[36] Kazakov D. I. The method of uniqueness, a new powerful technique for multiloop calculations // Phys. Lett. B. — 1983.— Vol. 133. —P. 406.

[37] Five-loop renormalization group functions of O(N)-symmetric ф4-theory and £ expansions of critical exponents up to £5 / H. Kleinert, J. Neu, N. Schulte-Frohlinde et al. // Phys. Lett. B. — 1991.— Vol. 272. —P. 39.

[38] Nickel B. G., Meiron D. I., Baker G. A. Compilation of 2-pt. and 4-pt. graphs for continuous spin. — 1977. — unpublished University of Guelph report, available on http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/nickel/.

[39] Baker G. A., Nickel B. G., Meiron D. I. Critical indices from perturbation analysis of the Callan-Symanzik equation // Phys. Rev. B. — 1978. — Vol. 17.— P. 1365.

[40] Guida R., Zinn-Justin J. Critical exponents of the n-vector model //J. Phys. A. —1998. —Vol. 31. —P. 8103.

[41] Орлов Е., Соколов А. Критическая термодинамика двумерных систем в пятипетлевом ренорм-групповом приближении // ФТТ. — 2000. — Т. 42. —

C. 2087.

[42] Antonenko S. A., Sokolov A. I. Critical exponents for a three-dimensional O(N)-symmetric model with n > 3 // Phys. Rev. E. — 1995. — Vol. 51.— P. 1894.

[43] Batkovich D. V., Chetyrkin K. G., Kompaniets M. V. Six loop analytical calculation of the field anomalous dimension and the critical exponent n in O(n)-symmetric ф4 model // Nucl. Phys. B.— 2016.— Vol. 906. —P. 147.

[44] Kompaniets M. V., Panzer E. Loops and legs in quantum field theory. — Proceedings of Science, 2016. — PoS(LL2016)038. 1606.09210.

[45] Kompaniets M. V., Panzer E. Minimally subtracted six-loop renormalization of O(N)-symmetric 04 theory and critical exponents // Phys. Rev. D.— 2017. —Vol. 96. —P. 036016.

[46] Schnetz O. Numbers and functions in quantum field theory // Phys. Rev.

D. —2018. —Vol. 97. —P. 085018.

[47] Serone M., Spada G., Villadoro G. A04 theory — part I. The symmetric phase beyond NNNNNNNNLO //J. High Energy Phys.— 2018.— Vol. 2018.

[48] Binoth T., Heinrich G. An automatized algorithm to compute infrared divergent multiloop integrals // Nucl. Phys. B. — 2000.—Vol. 585. —P. 741.

[49] Adzhemyan L. T., Kompaniets M. V. Five-loop numerical evaluation of critical exponents of the ф4theory //J. Phys. Conf. Ser. — 2014. — Vol. 523.— P. 012049.

[50] Adzhemyan L. T., Kirienko Y. V., Kompaniets M. V. Critical exponent n in 2D O(N) - symmetric ф'^-model up to 6 loops // arXiv:1602.02324. — 2016.

[51] Васильев А., Письмак Ю., Хонконен Ю. l/n-разложение: расчет индексов П и v в порядке 1/n2 для произвольной размерности // ТМФ. — 1981.— Т. 47. —С. 291.

[52] Chetyrkin K. G., Tkachov F. V. Integration by parts: The algorithm to calculate ^-functions in 4 loops // Nucl. Phys. B. — 1981.—Vol. 192. —P. 159.

[53] Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Four loop massless propagators: An algebraic evaluation of all master integrals // Nucl. Phys. B. — 2010. — Vol. 837.— P. 186.

[54] Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Master integrals for four-loop massless propagators up to weight twelve // Nucl. Phys. B. — 2012. — Vol. 856.— P. 95.

[55] Chetyrkin K. G., Tkachov F. V. Infrared R-operation and ultraviolet coun-terterms in the MS-scheme // Phys. Lett. B. — 1982.— Vol. 114. —P. 340.

[56] Chetyrkin K. G., Smirnov V. A. R*-operation corrected // Phys. Lett. B.— 1984. —Vol. 144. —P. 419.

[57] Chetyrkin K. G. Combinatorics of R-, R-1-, and R*-operations and asymptotic expansions of Feynman integrals in the limit of large momenta and masses // arXiv:1701.08627. — 2017.

[58] Batkovich D. V., Kompaniets M. V. Toolbox for multiloop Feynman diagrams calculations using R * operation //J. Phys. Conf. Ser. — 2015.—Vol. 608.— P. 012068.

[59] Brown F. C. S. The massless higher-loop two-point function // Commun. Math. Phys. —2009. —Vol. 287. —P. 925.

[60] Panzer E. Algorithms for the symbolic integration of hyperlogarithms with applications to Feynman integrals // Comput. Phys. Commun. — 2015.— Vol. 188. —P. 148.

[61] Brown F. C. S., Kreimer D. Angles, scales and parametric renormalization // Lett. Math. Phys.— 2013.— Vol. 103. —P. 933.

[62] Schnetz O. Graphical functions and single-valued multiple polylogarithms // arXiv:1302.6445. — 2013.

[63] Aharony A. Critical behavior of anisotropic cubic systems // Phys. Rev. B. — 1973. —Vol. 8. —P. 4270.

[64] Wallace D. Critical behaviour of anisotropic cubic systems //J. Phys. C. — 1973. —Vol. 6. —P. 1390.

[65] Ketley I. J., Wallace D. J. A modified e expansion for a Hamiltonian with cubic point-group symmetry //J. Phys. A. — 1973. — Vol. 6. — P. 1667.

[66] Nelson D. R., Kosterlitz J. M., Fisher M. E. Renormalization-group analysis of bicritical and tetracritical points // Phys. Rev. Lett. — 1974. — Vol. 33.— P. 813.

[67] Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Discussion of critical phenomena for general n-vector models // Phys. Rev. B. — 1974. — Vol. 10. — P. 892.

[68] Люксютов И., Покровский В. Фазовые переходы первого рода в системах с кубической анизотропией // Письма в ЖЭТФ. — 1975. — Т. 21. — С. 22.

[69] Nattermann T., Trimper S. Critical behaviour and cubic anisotropy //J. Phys. A. —1975. —Vol. 8. —P. 2000.

[70] Nattermann T., Trimper S. Critical behaviour of a compressible n-component model with cubic anisotropy //J. Phys. A. — 1976. — Vol. 9. — P. 3337.

[71] Корженевский А. Связь свойств системы уравнений ренормгруппы с симметрией гамильтониана в задаче о фазовом переходе // ЖЭТФ. — 1976. — Т. 71. —С. 1434.

[72] Yalabik M. C., Houghton A. Approximate renormalization group calculation of cubic crossover // Phys. Lett. A. — 1977. — Vol. 61. — P. 1.

[73] Соколов А. О фазовом переходе в трехмерной модели. Влияние кубической анизотропии // ФТТ. — 1977. — Т. 19.— С. 747.

[74] Ferer M., Van Dyke J., Camp W. Effect of a cubic crystal field on the critical behavior of a 3D model with Heisenberg exchange coupling: A high-temperature series investigation // Phys. Rev. B. — 1981. — Vol. 23.— P. 2367.

[75] Newman K. E., Riedel E. K. Cubic n-vector model and randomly dilute Ising model in general dimensions // Phys. Rev. B. — 1982. — Vol. 25. — P. 264.

[76] Майер И., Соколов А. О критическом поведении кубических кристаллов при структурных фазовых переходах // Изв. Акад. Наук СССР, сер. физ. — 1987. —Т. 51. —С. 2103.

[77] Maier I. O., Sokolov A. I. Is a cubic crystal "isotropic" in the critical point? // Ferroelectrics Lett. Sect. — 1988.— Vol. 9. —P. 95.

[78] Mayer I. O., Sokolov A. I., Shalayev B. N. Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: most accurate (?) theoretical values // Ferroelectrics. —1989.—Vol. 95. —P. 93.

[79] Shpot N. A. Critical behavior of the mn-component field model in three dimensions II. Three-loop results // Phys. Lett. A. — 1989. — Vol. 142.— P. 474.

[80] Kleinert H., Thoms S. Large-order behavior of a two-coupling-constant 04 theory with cubic anisotropy // Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52. — P. 5926.

[81] Kleinert H., Schulte-Frohlinde V. Exact five-loop renormalization group functions of ф4-theory with O(N)-symmetric and cubic interactions. Critical exponents up to e5 // Phys. Lett. B. —1995. —Vol. 342. —P. 284.

[82] Shalaev B. N., Antonenko S. A., Sokolov A. I. Five-loop ^/e-expansions for random Ising model and marginal spin dimensionality for cubic systems // Phys. Lett. A. —1997.—Vol. 230. —P. 105.

[83] Kleinert H., Thoms S., Schulte-Frohlinde V. Stability of a three-dimensional cubic fixed point in the two-coupling-constant ф4 theory // Phys. Rev. B. — 1997. —Vol. 56. —P. 14428.

[84] Caselle M., Hasenbusch M. The stability of the O(N)-invariant fixed point in three dimensions // J. Phys. A. — 1998.— Vol. 31. —P. 4603.

[85] Pakhnin D. V., Sokolov A. I. Five-loop renormalization-group expansions for the three-dimensional n-vector cubic model and critical exponents for impure Ising systems // Phys. Rev. B. — 2000.— Vol. 61. —P. 15130.

[86] Varnashev K. B. Stability of a cubic fixed point in three dimensions: Critical exponents for generic n // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 61. — P. 14660.

[87] Carmona J. M., Pelissetto A., Vicari E. n-component Ginzburg-Landau Hamil-tonian with cubic anisotropy: A six-loop study // Phys. Rev. B. — 2000.— Vol. 61. —P. 15136.

[88] Folk R., Holovatch Y., Yavors'kii T. Effective and asymptotic critical exponents of a weakly diluted quenched Ising model: three-dimensional approach versus Ve expansion // Phys. Rev. B. — 2000.—Vol. 61. —P. 15114.

[89] Folk R., Holovatch Y., Yavors'kii T. Pseudo-e expansion of six-loop renormalization-group functions of an anisotropic cubic model // Phys. Rev. B. —2000. —Vol. 62. —P. 12195.

[90] Pakhnin D. V., Sokolov A. I. Renormalization group and nonlinear susceptibilities of cubic ferromagnets at criticality // Phys. Rev. B. — 2001. — Vol. 64. — P. 094407.

[91] Randomly dilute Ising model: a nonperturbative approach / M. Tissier, D. Mouhanna, J. Vidal, B. Delamotte // Phys. Rev. B. — 2002.—Vol. 65.

[92] Hasenbusch M., Vicary E. Anisotropic perturbations in three-dimensional O(N)-symmetric vector models // Phys. Rev. B. — 2011. — Vol. 84.— P. 125136.

[93] Kudlis A., Sokolov A. I. Anisotropy of a cubic ferromagnet at criticality // Phys. Rev. E. —2016. —Vol. 94. —P. 042107.

[94] von Ferber C., Holovatch Y. Copolymer networks and stars: Scaling exponents // Phys. Rev. E. —1997. —Vol. 56. —P. 6370.

[95] von Ferber C., Holovatch Y. Multifractality of brownian motion near absorbing polymers // Phys. Rev. E. — 1999.— Vol. 59. —P. 6914.

[96] Holovatch Y., Dudka M., Yavorskii T. A marginal dimension of a weakly diluted quenched m-vector model //J. Phys. Stud. — 2001. — Vol. 5. — P. 233.

[97] Dudka M., Holovatch Y., Yavorskii T. Stability of the mixed fixed point of the mn-vector model // Acta Phys. Slov. — 2002.—Vol. 52. —P. 323.

[98] Calabrese P., Parruccini P. Five-loop epsilon expansion for U(n) x U(m) models: finite-temperature phase transition in light QCD //J. High Energy Phys. —2004.—Vol. 2004. —P. 018.

[99] Holovatch Y., Ivaneyko D., Delamotte B. On the criticality of frustrated spin systems with noncollinear order //J. Phys. A. — 2004. — Vol. 37. — P. 3569.

[100] Dudka M., Holovatch Y., Yavors'kii T. Universality classes of the three-dimensional mn-vector model //J. Phys. A. — 2004. — Vol. 37. — P. 10727.

[101] Sokolov A. I., Nikitina M. A. Pseudo-e expansion and renormalized coupling constants at criticality // Phys. Rev. E.— 2014.— Vol. 89. —P. 052127.

[102] Sokolov A. I., Nikitina M. A. Fisher exponent from pseudo-e expansion // Phys. Rev. E. —2014. —Vol. 90. —P. 012102.

[103] Никитина М., Соколов А. Критические индексы и псевдо-£-разложение // ТМФ. —2016. —Т. 186. —С. 230.

[104] Sokolov A. I., Nikitina M. A. Pseudo-£ expansion and critical exponents of superfluid helium // Physica A. — 2016. — Vol. 444. —P. 177.

[105] Critical behavior of two-dimensional cubic and mn models in the five-loop renormalization group approximation / P. Calabrese, E. V. Orlov, D. V. Pakhnin, A. I. Sokolov //Phys. Rev. B.— 2004.— Vol. 70. —P. 094425.

[106] Calabrese P., Parruccini P. Harmonic crossover exponents in O(N) models with the pseudo-£ expansion approach // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 71.— P. 064416.

[107] Соколов А. Псевдо-£-разложение и двумерная модель Изинга // ФТТ. — 2005. —Т. 47. —С. 2056.

[108] Соколов А. Фазовые переходы в двумерных системах и многопетлевые ре-нормгрупповые разложения // ТМФ. — 2013. — Т. 176. —С. 140.

[109] Nikitina M. A., Sokolov A. I. Critical exponents in two dimensions and pseudo-e expansion // Phys. Rev. E.— 2014.— Vol. 89. —P. 042146.

[110] Боголюбов Н., Ширков Д. Введение в теорию квантованных полей. — М., Наука, 1976.

[111] Antonov N. V., Kompaniets M. V., Lebedev N. M. Critical behaviour of the O(N) — 04 model with an antisymmetric tensor order parameter //J. Phys. A. —2013. —Vol. 46. —P. 405002.

[112] Антонов Н., Компаниец М., Лебедев Н. Критическое поведение O(N) — модели с антисимметричным тензорным параметром порядка: трехпетле-вое приближение // ТМФ. — 2017. — Т. 190. —С. 239.

[113] Kalagov G. A., Kompaniets M. V., Nalimov M. Y. Renormalization-group investigation of a superconducting U(r)-phase transition using five loops calculations // Nucl. Phys. B. —2016. —Vol. 905. —P. 16.

[114] Vermaseren J. A. M. New features of FORM. — 2000. — Oct. — Website: https://www.nikhef.nl/~form/. math-ph/0010025.

[115] GraphState - a tool for graph identification and labelling / D. Batkovich, Y. Kirienko, M. Kompaniets, S. Novikov. — 2014. — preprint, program repository: https://bitbucket.org/mkompan/graph_state/downloads. 1409.8227.

[116] Antonenko S. A., Sokolov A. I. Phase transitions in anisotropic superconducting and magnetic systems with vector order parameters: Three-loop renormalization-group analysis // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 49.— P. 15901.

[117] Jug G. Critical behavior of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. —1983. —Vol. 27. —P. 609.

[118] Майер И., Соколов А. Критические индексы примесной модели Изинга // ФТТ. — 1984. — Т. 26. — С. 3454.

[119] Mudrov A. I., Varnashev K. B. Modified Borel summation of divergent series and critical-exponent estimates for an n-vector cubic model in three dimensions from five-loop e expansions // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58. — P. 5371.

[120] Harris A. B., Lubensky T. C. Renormalization-group approach to the critical behavior of random-spin models // Phys. Rev. Lett. — 1974. — Vol. 33.— P. 1540.

[121] Lubensky T. C. Critical properties of random-spin models from the e expansion // Phys. Rev. B. —1975. —Vol. 11. —P. 3573.

[122] Хмельницкий Д. Фазовые переходы второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. —1975. —Т. 68. —С. 1960.

[123] Grinstein G., Luther A. Application of the renormalization group to phase transitions in disordered systems // Phys. Rev. B. — 1976. — Vol. 13. — P. 1329.

[124] Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. —1974. —Vol. 7. —P. 1671.

[125] Jayaprakash C., Katz H. J. Higher-order corrections to the e2 expansion of the critical behavior of the random Ising system // Phys. Rev. B. — 1977. — Vol. 16. —P. 3987.

[126] Шалаев Б. Фазовый переход в слабонеупорядоченном одноосном ферромагнетике // ЖЭТФ. —1977. —Т. 73. —С. 2301.

[127] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Индекс поправки к скейлингу для примесных систем // Письма в ЖЭТФ. — 1999. — Т. 69. — С. 747.

[128] Janssen H. K., Oerding K., Sengespeick E. On the crossover to universal crit-icality in dilute Ising systems //J. Phys. A. — 1995. — Vol. 28. — P. 6073.

[129] Blavats'ka V., Holovatch Y. On the critical properties of the three-dimensional random Ising model //J. Mol. Liq. — 2003.—Vol. 105. —P. 221.

[130] Schloms R., Dohm V. Renormalization-group functions and nonuniversal critical behaviour // EPL. — 1987.— Vol. 3. —P. 413.

[131] Schloms R., Dohm V. Minimal renormalization without £ expansion: Critical behavior in three dimensions // Nucl. Phys. B. — 1989. — Vol. 328. — P. 639.

[132] Holovatch Y., Shpot M. Critical exponents of random Ising-like systems in general dimensions //J. Stat. Phys. — 1992. — Vol. 66. — P. 867.

[133] Соколов А., Шалаев Б. О критическом поведении модели Изинга с примесями // ФТТ. —1981. —Т. 23. —С. 2058.

[134] Mayer I. O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansions // J. Phys. A. —1989. —Vol. 22. —P. 2815.

[135] Pelissetto A., Vicari E. Randomly dilute spin models: A six-loop field-theoretic study // Phys. Rev. B.— 2000.— Vol. 62. —P. 6393.

[136] Summability of perturbation expansions in disordered systems: Results for a toy model / A. J. Bray, T. McCarthy, M. A. Moore et al. // Phys. Rev. B.— 1987. —Vol. 36. —P. 2212.

[137] McKane A. J. Structure of the perturbation expansion in a simple quenched system // Phys. Rev. B. — 1994.— Vol. 49. —P. 12003.

[138] Alvarez G., Martin-Mayor V., Ruiz-Lorenzo J. J. Summability of the perturba-tive expansion for a zero-dimensional disordered spin model //J. Phys. A. — 2000. —Vol. 33. —P. 841.

[139] Critical exponents of the three-dimensional diluted Ising model / H. G. Ballesteros, L. A. Fernandez, V. Martin-Mayor et al. // Phys. Rev. B. —1998.— Vol. 58. —P. 2740.

[140] Three-dimensional randomly dilute Ising model: Monte Carlo results / P. Cal-abrese, V. Martin-Mayor, A. Pelissetto, E. Vicari // Phys. Rev. E. —2003.— Vol. 68. —P. 036136.

[141] Bond dilution in the 3D Ising model: a Monte Carlo study / P. E. Berche, C. Chatelain, B. Berche, W. Janke // Eur. Phys. J. B.— 2004.— Vol. 38.— P. 463.

[142] The universality class of 3D site-diluted and bond-diluted Ising systems / M. Hasenbusch, F. P. Toldin, A. Pelissetto, E. Vicari // J. Stat. Mech. — 2007. —Vol. 2007. —P. P02016.

[143] Critical behavior of the three-dimensional ± J Ising model at the paramagnetic-ferromagnetic transition line / M. Hasenbusch, F. P. Toldin, A. Pelissetto, E. Vicari // Phys. Rev. B. — 2007.— Vol. 76. —P. 094402.

[144] Fytas N. G., Theodorakis P. E. Universality in disordered systems: The case of the three-dimensional random-bond Ising model // Phys. Rev. E. — 2010.— Vol. 82. —P. 062101.

[145] Theodorakis P. E., Fytas N. G. Wang-Landau study of the 3D Ising model with bond disorder // Eur. Phys. J. B.— 2011.— Vol. 81. —P. 245.

[146] Papakonstantinou T., Malakis A. Critical behavior of the three-dimensional Ising model with anisotropic bond randomness at the ferromagnetic-paramagnetic transition line // Phys. Rev. E. — 2013. — Vol. 87. — P. 012132.

[147] Belanger D. P. Experimental characterization of the Ising model in disordered antiferromagnets // Braz. J. Phys. — 2000. — Vol. 30. — P. 682.

[148] Six-loop £ expansion study of three-dimensional n-vector model with cubic anisotropy / L. Ts. Adzhemyan, E. V. Ivanova, M. V. Kompaniets et al. // Nucl. Phys. B. —2019. —Vol. 940. —P. 332.

[149] Simmons-Duffin D. The lightcone bootstrap and the spectrum of the 3D Ising CFT //J. High Energy Phys.— 2017.— Vol. 2017. —P. 86.

[150] Guida R., Zinn-Justin J. 3D Ising model: the scaling equation of state // Nucl. Phys. B. —1997. —Vol. 489. —P. 626.

[151] Zinn-Justin J. Precise determination of critical exponents and equation of state by field theory methods // Phys. Reports.— 2001.— Vol. 344. —P. 159.

[152] Magnetic structure of hexagonal manganites RMnO3 (R=Sc, Y, Ho, Er, Tm, Yb, Lu) / Th. Lottermoser, M. Fiebig, D. Fröhlich et al. // J. Magn. Magn. Mater. —2001.—Vol. 226. —P. 1131.

[153] Magnetisation process in the rare earth tetraborides, NdB4 and HoB4 / D. Brunt, G. Balakrishnan, D. A. Mayoh et al. // Sci. Rep. — 2018. — Vol. 8. —P. 232.

[154] H-t magnetic phase diagram of a frustrated triangular lattice antiferromagnet CuFeÜ2 / S. Mitsuda, M. Mase, T. Uno et al. // J. Phys. Soc. Jpn. —2000.— Vol. 69. —P. 33.

[155] Field-induced two-step phase transitions in the singlet ground state triangular antiferromagnet CsFeBr3 / Y. Tanaka, H. Tanaka, T. Ono et al. // J. Phys. Soc. Jpn. —2001. —Vol. 70. —P. 3068.

[156] Magnetization plateau in the frustrated quantum spin system Cs2CuBr4 / T. Ono, H. Tanaka, H. Aruga Katori et al. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. —P. 104431.

[157] Second low-temperature phase transition in frustrated UNi4B / R. Movshovich, M. Jaime, S. Mentink et al. // Phys. Rev. Lett. — 1999.— Vol. 83. —P. 2065.

[158] Neutron diffraction study of triangular lattice antiferromagnet CuFeÜ2 under high magnetic field / S. Mitsuda, T. Uno, M. Mase et al. //J. Phys. Chem. Solids. —1999. —Vol. 60. —P. 1249.

[159] High-magnetic-field behavior of the triangular-lattice antiferromagnet CuFeO2 / O. A. Petrenko, G. Balakrishnan, M. R. Lees et al. // Phys. Rev. B. —2000. —Vol. 62. —P. 8983.

[160] Tricritical behavior in a stacked triangular lattice Ising antiferromagnet CsCoBra / M. Mao, B. D. Gaulin, R. B. Rogge, Z. Tun // Phys. Rev. B.— 2002. —Vol. 66. —P. 184432.

[161] Li R. K., Chen C. T., Greaves C. Magnetic order of LiMnBO3 : a new type of chiral magnetic ground state // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 66. — P. 052405.

[162] "Spin-Driven" crystal lattice distortion in frustrated magnet CuFeO2: Synchrotron X-ray diffraction study / N. Terada, S. Mitsuda, H. Ohsumi, K. Tajima // J. Phys. Soc. Jpn.— 2006.— Vol. 75. —P. 023602.

[163] Magnetically ordered phases in triangular-lattice antiferromagnets CsNi2FexCl3 and Csi-yKyNiCl3 / J. Takeuchi, M. Tsukamoto, K. Miyoshi et al. // Physica B. — 2000.—Vol. 284. —P. 1527.

[164] Eckert J., Shirane G. A neutron diffraction determination of the critical exponent ß for the n = 4 system holmium // Solid State Commun. —1976. — Vol. 19. —P. 911.

[165] Dietrich O. W., Als-Nielsen J. Neutron diffraction study of the magnetic longrange order in Tb // Phys. Rev. — 1967. — Vol. 162. — P. 315.

[166] Lederman F. L., Salamon M. B. Critical behavior of the specific heat of dysprosium near the Neel temperature // Solid State Commun. — 1974. — Vol. 15. — P. 1373.

[167] Quasi-two-dimensional antiferromagnet on a triangular lattice RbFe(MoO4)2 / L. E. Svistov, A. I. Smirnov, L. A. Prozorova et al. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. —P. 094434.

[168] Nakatsuji S., Nambu Y., Onoda S. Novel geometrical frustration effects in the two-dimensional triangular-lattice antiferromagnet NiGa2S4 and related compounds // J. Phys. Soc. Jpn.— 2010.— Vol. 79. —P. 011003.

[169] Magnetoelastic coupling and the magnetization plateau in Ba3CoSb2O9 / M. Li, A. Zelenskiy, J. A. Quilliam et al. // Phys. Rev. B. — 2019. — Vol. 99. —P. 094408.

[170] Double phase transition in the triangular antiferromagnet Ba3CoTa2O9 / K. M. Ranjith, K. Brinda, U. Arjun et al. //J. Phys. Condens. Matter.— 2017. —Vol. 29. —P. 115804.

[171] Frustrated antiferromagnetic honeycomb-tunnel-like lattice CuR2Ge2O8 (R=Pr, Nd, Sm, and Eu) / H. Cho, M. Kratochvilova, N. Lee et al. // Phys. Rev. B. —2017. —Vol. 96. —P. 224427.

[172] Magnetic ordering of the buckled honeycomb lattice antiferromagnet Ba2NiTeO6 / S. Asai, M. Soda, K. Kasatani et al. // Phys. Rev. B. — 2016. —Vol. 93. —P. 024412.

[173] Loh E., Chien C. L., Walker J. C. Sublattice magnetization of dysprosium near the Néel point // Phys. Lett. A. — 1974.— Vol. 49. —P. 357.

[174] The magnetic phase transition and universality class of h — YMnO3 and h — (Y0 98Eu)002MnO3 under zero and applied pressure / S. Holm-Dahlin, S. Janas, A. Kreisel et al. // Quantum Beam Sci. — 2018. — Vol. 2. — P. 16.

[175] Diep H. T. Magnetic Systems with Competing Interactions. — WORLD SCIENTIFIC, 1994.

[176] Collins M. F., Petrenko O. A. Review/synthése: Triangular antiferromag-nets // Can. J. Phys. — 1997.— Vol. 75. —P. 605.

[177] Kawamura H. Universality of phase transitions of frustrated antiferromag-nets //J. Phys. Condens. Matter. — 1998.— Vol. 10. —P. 4707.

[178] Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Phys. Rep. —2002. —Vol. 368. —P. 549.

[179] Diep H. T. Frustrated spin systems. — World Scientific, 2004.

[180] Delamotte B., Mouhanna D., Tissier M. Nonperturbative renormalization-group approach to frustrated magnets // Phys. Rev. B. — 2004. — Vol. 69.— P. 134413.

[181] Bak P., Mukamel D. Physical realizations of n > 4-component vector models. III. phase transitions in Cr, Eu, MnS2, Ho, Dy, and Tb // Phys. Rev. B.— 1976. —Vol. 13. —P. 5086.

[182] Garel T., Pfeuty P. Commensurability effects on the critical behaviour of systems with helical ordering //J. Phys. C: Solid State Phys. — 1976. — Vol. 9. — P. 245.

[183] Barak Z., Walker M. B. First-order phase transitions in Tb, Dy, and Ho // Phys. Rev. B. —1982. —Vol. 25. —P. 1969.

[184] Kawamura H. Phase transitions in Heisenberg antiferromagnets on triangular and layered-triangular lattices (invited) //J. Appl. Phys. — 1987. — Vol. 61. —P. 3590.

[185] Kawamura H. Phase transition of the three-dimensional Heisenberg antifer-romagnet on the layered-triangular lattice //J. Phys. Soc. Jpn. — 1985. — Vol. 54. —P. 3220.

[186] Kawamura H. Phase transition of the three-dimensional XY antiferromagnet on the layered-triangular lattice //J. Phys. Soc. Jpn. — 1986. — Vol. 55.— P. 2095.

[187] Kawamura H. Generalized chiral universality //J. Phys. Soc. Jpn. — 1990.— Vol. 59. —P. 2305.

[188] Pelissetto A., Rossi P., Vicari E. Large-n critical behavior of O(n) x O(m) spin models // Nucl. Phys. B.— 2001.— Vol. 607. —P. 605.

[189] Calabrese P., Parruccini P. Five-loop e expansion for O(N) x O(M) spin models // Nucl. Phys. B. —2004. —Vol. 679. —P. 568.

[190] Gracey J. A. Critical exponent u at O(1/N) in O(N) x O(m) spin models // Nucl. Phys. B. —2002. —Vol. 644. —P. 433.

[191] Parruccini P. Critical behavior of frustrated spin systems with nonplanar or-derings // Phys. Rev. B.— 2003.— Vol. 68. —P. 104415.

[192] Azaria P., Delamotte B., Jolicoeur T. Nonuniversality in helical and canted-spin systems // Phys. Rev. Lett. — 1990.— Vol. 64. —P. 3175.

[193] A renormalization-group study of helimagnets in d = 2 + e dimensions / P. Azaria, B. Delamotte, F. Delduc, T. Jolicoeur // Nucl. Phys. B. —1993.— Vol. 408. —P. 485.

[194] Tissier M., Mouhanna D., Delamotte B. Nonperturbative approach of the principal chiral model between two and four dimensions // Phys. Rev. B. — 2000. —Vol. 61. —P. 15327.

[195] Antonenko S. A., Sokolov A. I., Varnashev K. B. Chiral transitions in three-dimensional magnets and higher order e expansion // Phys. Lett. A. — 1995. —Vol. 208. —P. 161.

[196] Antonenko S. A., Sokolov A. I. Phase transitions in anisotropic superconducting and magnetic systems with vector order parameters: Three-loop renormalization-group analysis // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 49.— P. 15901.

[197] Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renor-malization group / D. Loison, A. I. Sokolov, B. Delamotte et al. // Pis'ma v Zh.E.T.F. —2000. —Vol. 72. —P. 487. —[JETP Lett. 72 (2000) 337].

[198] Pelissetto A., Rossi P., Vicari E. Critical behavior of frustrated spin models with noncollinear order // Phys. Rev. B. — 2001.— Vol. 63. —P. 140414.

[199] Calabrese P., Parruccini P., Sokolov A. I. Chiral phase transitions: Focus driven critical behavior in systems with planar and vector ordering // Phys. Rev. B. —2002. —Vol. 66. —P. 180403.

[200] Calabrese P., Parruccini P., Sokolov A. I. Critical thermodynamics of a three-dimensional chiral model for n > 3 // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68.— P. 094415.

[201] CsMn(BrJi—x) 3 : crossover from an XY to an Ising chiral antiferromagnet / R. Bügel, J. Wosnitza, H. v. Löhneysen et al. // Phys. Rev. B. — 2001.— Vol. 64. —P. 094406.

[202] Magnetic structure and critical behaviour of the Heisenberg limit triangular antiferromagnet CsMn(Br019y081)3 / T. Ono, H. Tanaka, T. Kato et al. //J. Phys. Condens. Matter. — 1999.— Vol. 11. —P. 4427.

[203] Phase transitions and critical phenomena of triangular antiferromagnetic system: CsMn(BrxI1—x)3 / T. Ono, H. Tanaka, T. Kato et al. //J. Magn. Mater. —1998.—Vol. 177. —P. 735.

[204] Critical behavior of O(2) x O(n) symmetric models / P. Calabrese, P. Parruc-cini, A. Pelissetto, E. Vicari // Phys. Rev. B.— 2004.— Vol. 70. —P. 174439.

[205] Calabrese P., Pelissetto A., Vicari E. Multicritical behavior in frustrated spin systems with non-collinear order // Nucl. Phys. B. — 2005. — Vol. 709.— P. 550.

[206] Tissier M., Delamotte B., Mouhanna D. Frustrated Heisenberg magnets: A nonperturbative approach // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 84. — P. 5208.

[207] Tissier M., Delamotte B., Mouhanna D. XY frustrated systems: Continuous exponents in discontinuous phase transitions // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. —P. 134422.

[208] Tissier M., Delamotte B., Mouhanna D. An exact renormalization group approach to frustrated magnets // Int. J. Mod. Phys. A. — 2001.—Vol. 16.— P. 2131.

[209] Specific heat and ^+SR measurements in Gd(hfac)3NITiPr molecular magnetic chains: Indications for a chiral phase without long-range helical order / A. Lascialfari, R. Ullu, M. Affronte et al. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. —P. 224408.

[210] Fiebig M., Degenhardt C., Pisarev R. V. Interaction of frustrated magnetic sublattices in ErMnO3 // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol. 88. —P. 027203.

[211] Chiral criticality in helimagnet ho studied by polarized neutron scattering / V. P. Plakhty, W. Schweika, Th. Bruckel et al. // Phys. Rev. B. — 2001. — Vol. 64. —P. 100402.

[212] Chiral critical exponents of the triangular-lattice antiferromagnet CsMnBr3 as determined by polarized neutron scattering / V. P. Plakhty, J. Kulda, D. Visser et al. // Phys. Rev. Lett.— 2000.— Vol. 85. —P. 3942.

[213] DeFotis G. C., Laccheo M. L., Aruga Katori H. Critical behavior in the heat capacity of Fe[S2CN(C2H5)2]2Cl : Evidence for chiral universality // Phys. Rev. B. —2002. —Vol. 65. —P. 094403.

[214] Pelissetto A., Rossi P., Vicari E. Chiral exponents in frustrated spin models with noncollinear order // Phys. Rev. B. — 2001.— Vol. 65. —P. 020403.

[215] Peles A., Southern B. W. Spin stiffness of stacked triangular antiferromag-nets // Phys. Rev. B. — 2003.—Vol. 67. —P. 184407.

[216] Boubcheur E. H., Loison D., Diep H. T. Phase diagram of XY antiferro-magnetic stacked triangular lattices // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 54.— P. 4165.

[217] Mailhot A., Plumer M. L., Caillé A. Finite-size scaling of the frustrated Heisenberg model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50.— P. 6854.

[218] Loison D., Diep H. T. Antiferromagnetic stacked triangular lattices with Heisenberg spins: Phase transition and effect of next-nearest-neighbor interaction // Phys. Rev. B. —1994. —Vol. 50. —P. 16453.

[219] Nagano Y., Uematsu K., Kawamura H. Monte Carlo study of the critical properties of noncollinear Heisenberg magnets: O(3) x O(2) universality class.— 2019. —Phys. Rev. B 100, 224430 (2019). 1910.13112.

[220] Loison D., Schotte K. D. First and second order transition in frustrated XY systems // Eur. Phys. J. B. — 1998.—Vol. 5. —P. 735.

[221] Loison D., Schotte K. D. First and second order transition of frustrated Heisenberg spin systems // Eur. Phys. J. B. — 2000.— Vol. 14. —P. 125.

[222] Ngo V. T., Diep H. T. Phase transition in Heisenberg stacked triangular an-tiferromagnets: End of a controversy // Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 78.— P. 031119.

[223] Ngo V. T., Diep H. T. Stacked triangular XY antiferromagnets: End of a controversial issue on the phase transition // J. App. Phys. — 2008. — Vol. 103. —P. 07C712.

[224] Kompaniets M. V., Kudlis A., Sokolov A. I. Six-loop £ expansion study of three-dimensional O(n) x O(m) spin models // Nucl. Phys. B. — 2020.— Vol. 950. —P. 114874.

[225] Jones D. R. T., Love A., Moore M. A. Phase transitions in superfluid 3He // J. Phys. C. —1976. —Vol. 9. —P. 743.

[226] Bailin D., Love A., Moore M. A. Phase transitions not controlled by stable fixed points //J. Phys. C. — 1977.— Vol. 10. —P. 1159.

[227] Kawamura H. Renormalization-group approach to the frustrated Heisenberg antiferromagnet on the layered-triangular lattice //J. Phys. Soc. Jpn. — 1986. —Vol. 55. —P. 2157.

[228] Kawamura H. Renormalization-group analysis of chiral transitions // Phys. Rev. B. —1988. —Vol. 38. —P. 4916.

[229] Kawamura H. Erratum: Renormalization-group analysis of chiral transitions // Phys. Rev. B. —1990.—Vol. 42. —P. 2610.

[230] Brézin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. I. The interaction // Phys. Rev. D. — 1977.—Vol. 15. —P. 1544.

[231] Липатов Л. Расходимость рядов теории возмущений и квазиклассика // ЖЭТФ. — 1977. — Т. 72. — С. 411.

[232] Carmona J. M., Pelissetto A., Vicari E. n-component Ginzburg-Landau Hamil-tonian with cubic anisotropy: A six-loop study // Phys. Rev. B. — 2000.— Vol. 61. —P. 15136.

[233] Reimers J. N., Greedan J. E., Bjorgvinsson M. Critical properties of highly frustrated pyrochlore antiferromagnets // Phys. Rev. B. — 1992. — Vol. 45. — P. 7295.

[234] Mailhot A., Plumer M. L. Comment on "Critical properties of highly frustrated pyrochlore antiferromagnets" // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 48. — P. 9881.

[235] Seki K., Okunishi K. Phase transitions for cuboc orders in stacked Kagome Heisenberg systems // J. Phys. Soc. Jpn. — 2018.—Vol. 87. —P. 023001.

[236] 3D-electron Heisenberg pyrochlore Mn2Sb2O7 / D. C. Peets, H. Sim, M. Avdeev, J.-G. Park // Phys. Rev. B. — 2016.—Vol. 94. —P. 174431.

[237] Spin Hamiltonian, order out of a coulomb phase, and pseudocriticality in the frustrated pyrochlore Heisenberg antiferromagnet FeF3 / A. Sadeghi, M. Alaei, F. Shahbazi, M. J. P. Gingras // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 91.— P. 140407.

[238] NaSrMn2F7, NaCaFe2F7, and NaSrFe2F7: novel single crystal pyrochlore antiferromagnets / M. B. Sanders, J. W. Krizan, K. W. Plumb et al. //J. Phys. Condens. Matter. —2016. —Vol. 29. —P. 045801.

[239] Krizan J. W., Cava R. J. NaCaNi2f7: A frustrated high-temperature pyrochlore antiferromagnet with s = 1Ni2+ // Phys. Rev. B. — 2015. — Vol. 92.— P. 014406.

[240] Zumbach G. Phase transitions with O(N) symmetry broken to O(N — P) // Nucl. Phys. B. —1994. —Vol. 413.

[241] Kleinert H., Schulte-Frohlinde V. Critical properties of 04-theories. — (World Scientific, Singapore), 2001.

[242] Mermin N. D., Stare C. Ginzburg-Landau approach to I = 0 pairing // Phys. Rev. Lett. —1973. —Vol. 30. —P. 1135.

[243] Соколов А. О диаграмме состояний сверхтекучего He3 // ЖЭТФ. — 1980.— Т. 78. —С. 1985.

[244] Sauls J. A., Serene J. W. 3p2 pairing near the transition temperature in neutron-star matter // Phys. Rev. D. — 1978.— Vol. 17. —P. 1524.

[245] Wilczek F. Application of the renormalization group to a second-order QCD phase transition // Int. J. Mod. Phys. A. — 1992.— Vol. 07. —P. 3911.

[246] Rajagopal K., Wilczek F. Static and dynamic critical phenomena at a second order QCD phase transition // Nucl. Phys. B. — 1993.— Vol. 399. —P. 395.

[247] Campostrini M. Linked-cluster expansion of the Ising model //J. Stat. Phys. —2001.—Vol. 103. —P. 369.

[248] 25th-order high-temperature expansion results for three-dimensional Ising-like systems on the simple-cubic lattice / M. Campostrini, A. Pelissetto, P. Rossi, E. Vicari // Phys. Rev. E.— 2002.— Vol. 65. —P. 066127.

[249] Butera P., Comi M. lattice field theory viewed from the high-temperature side // Phys. Rev. B.— 2005.— Vol. 72. —P. 014442.

[250] Butera P., Comi M. Critical universality and hyperscaling revisited for Ising models of general spin using extended high-temperature series // Phys. Rev. B. —2002. —Vol. 65. —P. 144431.

[251] Scaling corrections: site percolation and Ising model in three dimensions / H. G. Ballesteros, L. A. Fernandez, V. Martin-Mayor et al. //J. Phys. A.— 1999. —Vol. 32. —P. 1.

[252] Hasenbusch M., Pinn K., Vinti S. Critical exponents of the three-dimensional Ising universality class from finite-size scaling with standard and improved actions // Phys. Rev. B. — 1999.— Vol. 59. —P. 11471.

[253] Hasenbusch M. A Monte Carlo study of leading order scaling corrections of

theory on a three-dimensional lattice //J. Phys. A. — 1999. — Vol. 32.— P. 4851.

[254] Blöte H. W. J., Shchur L. N., Talapov A. L. The cluster processor: new results // Int. J. Mod. Phys. C. —1999. —Vol. 10. —P. 1137.

[255] Deng Y., Blöte H. W. J. Simultaneous analysis of several models in the three-dimensional Ising universality class // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 68.— P. 036125.

[256] Hasenbusch M. Finite size scaling study of lattice models in the three-dimensional Ising universality class // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82.— P. 174433.

[257] Solving the 3D Ising model with the conformal bootstrap / S. El-Showk, M. F. Paulos, D. Poland et al. // Phys. Rev. D. — 2012. — Vol. 86.— P. 025022.

[258] Solving the 3D Ising model with the conformal bootstrap II. $$c$$c-minimization and precise critical exponents / S. El-Showk, M. F. Paulos, D. Poland et al. // J. Stat. Phys.— 2014.— Vol. 157. —P. 869.

[259] Cappelli A., Maffi L., Okuda S. Critical Ising model in varying dimension by conformal bootstrap //J. High Energy Phys. — 2019.—Vol. 2019. — P. 161.

[260] Kos F., Poland D., Simmons-Duffin D. Bootstrapping mixed correlators in the 3D Ising model //J. High Energy Phys. — 2014.— Vol. 2014. —P. 109.

[261] Precision islands in the Ising and O(N) models / F. Kos, D. Poland, D. Simmons-Duffin, A. Vichi //J. High Energy Phys.— 2016.— Vol. 2016.— P. 36.

[262] Poland D., Rychkov S., Vichi A. The conformal bootstrap: Theory, numerical techniques, and applications // Rev. Mod. Phys. — 2019. — Vol. 91.— P. 015002.

[263] Поляков А. Конформная симметрия критических флуктуаций // Письма в ЖЭТФ. — 1970. — Т. 12. — С. 538.

[264] Nakayama Y. Scale invariance vs conformal invariance // Phys. Rep. — 2015. —Vol. 569. —P. 1.

[265] Polchinski J. Scale and conformal invariance in quantum field theory // Nucl. Phys. B. —1988. —Vol. 303. —P. 226.

[266] Riva V., Cardy J. Scale and conformal invariance in field theory: a physical counterexample // Phys. Lett. B.— 2005.— Vol. 622. —P. 339.

[267] Mack G., Salam A. Finite-component field representations of the conformal group // Ann. Phys. —1969. —Vol. 53. —P. 174.

[268] Ferrara S., Grillo A. F., Gatto R. Manifestly conformal covariant operator-product expansion // Il Nuovo Cimento. — 1971. — Vol. 2. — P. 1363.

[269] Migdal A. A. Conformal invariance and bootstrap // Phys. Lett. B. — 1971. — Vol. 37. —P. 386.

[270] Parisi G. On self-consistency conditions in conformal covariant field theory // Il Nuovo Cimento. —1972. —Vol. 4. —P. 777.

[271] Covariant expansion of the conformal four -point function / S. Ferrara, A. F. Grillo, G. Parisi, R. Gatto // Nucl. Phys. B. — 1972. — Vol. 49.— P. 77.

[272] Ferrara S., Grillo A. F., Gatto R. Tensor representations of conformal algebra and conformally covariant operator product expansion // Ann. Phys. — 1973. —Vol. 76. —P. 161.

[273] Поляков А. Негамильтонов подход в конформной теории поля // ЖЭТФ. — 1974. — Т. 66. — С. 23.

[274] Analyticity properties and asymptotic expansions of conformal covariant green's functions / S. Ferrara, A. F. Grillo, R. Gatto, G. Parisi //Il Nuovo Cimento. —1974.—Vol. 19. —P. 667.

[275] Ferrara S., Gatto R., Grillo A. Positivity restriction on anomalous dimensions // Phys. Rev. D. —1974. —Vol. 9. —P. 3564.

[276] Mack G. Duality in quantum field theory // Nucl. Phys. B. — 1977.— Vol. 118. —P. 445.

[277] Harmonic analysis on the n-dimensional Lorentz group and its application to conformal quantum field theory / V. K. Dobrev, G. Mack, V. B. Petkova et al. —Springer, 1977. —Lect. Notes Phys. 63, 1-280.

[278] Belavin A. A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. B. — 1984.— Vol. 241. —P. 333.

[279] Bounding scalar operator dimensions in 4DCFT / R. Rattazzi, V. Rychkov, E. Tonni, A. Vichi // J. High Energy Phys.— 2008.— Vol. 2008. —P. 031.

[280] Nickel B. G. Confluent singularities in 3D continuum ф4 theory: resolving critical point discrepancies // Physica A. — 1991. — Vol. 177. — P. 189.

[281] Kleinert H. Critical exponents from seven-loop strong-coupling ф4 theory in three dimensions // Phys. Rev. D. — 1999.— Vol. 60. —P. 085001.

[282] Jasch F., Kleinert H. Fast-convergent resummation algorithm and critical exponents of ф4-theory in three dimensions //J. Math. Phys. — 2001.— Vol. 42. —P. 52.

[283] Погорелов А., Суслов И. Оценка критических индексов из теоретико-полевой ренормгруппы: математический смысл "стандартных значений" // ЖЭТФ. —2008. —Т. 133. —С. 1277.

[284] Improved high-temperature expansion and critical equation of state of three-dimensional Ising-like systems / M. Campostrini, A. Pelissetto, P. Rossi, E. Vi-cari // Phys. Rev. E. — 1999.— Vol. 60. —P. 3526.

[285] Capelli A.— частное сообщение.

[286] Padé approximants / G. A. Baker, G. A. Baker Jr, P. Graves-Morris, S. S. Baker. — Cambridge University Press, 1996. — Vol. 59.

[287] Казаков Д., Тарасов О., Ширков Д. Аналитическое продолжение результатов теории возмущений модели g04 в область g > 1 // ТМФ. — 1979. — Т. 38. —С. 15.

[288] Mera H., Pedersen T. G., Nikolic B. K. Fast summation of divergent series and resurgent transseries from meijer-g approximants // Phys. Rev. D. — 2018. — Vol. 97. —P. 105027.

[289] McKane A. J., Wallace D. J., de Alcantara Bonfim O. F. Non-perturbative renormalisation using dimensional regularisation: applications to the e expansion //J. Phys. A. —1984. —Vol. 17. —P. 1861-1876.

[290] Barouch E., McCoy B. M., Wu T. T. Zero-field susceptibility of the two-dimensional Ising model near Tc // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Vol. 31.— P. 1409.

[291] Nienhuis B. Analytical calculation of two leading exponents of the dilute potts model //J. Phys. A. — 1982.— Vol. 15. —P. 199.

[292] Barma M., Fisher M. E. Corrections to scaling and crossover in two-dimensional Ising and Scalar-spin systems // Phys. Rev. Lett. — 1984.— Vol. 53. —P. 1935.

[293] Kaupuzs J., Melnik R., Rimsans J. Corrections to finite-size scaling in the ф 4 model on square lattices // Int. J. Mod. Phys. C. — 2016. — Vol. 27.— P. 1650108.

[294] Baker G. A. Analysis of hyperscaling in the Ising model by the high-temperature series method // Phys. Rev. B. — 1977. — Vol. 15. — P. 1552.

[295] Bagnuls C., Bervillier C. Field-theoretical approach to critical phenomena // Phys. Rev. B. —1990. —Vol. 41. —P. 402.

[296] Bender C. M., Boettcher S., Lipatov L. N. Dimensional expansions // Phys. Rev. Lett. —1992. —Vol. 68. —P. 3674.

[297] Bender C. M., Boettcher S. Dimensional expansion for the Ising limit of quantum field theory // Phys. Rev. D. —1993. —Vol. 48. —P. 4919.

[298] Tetradis N., Wetterich C. Critical exponents from the effective average action // Nucl. Phys. B. —1994. —Vol. 422. —P. 541.

[299] Bender C. M., Boettcher S. Eleventh-order calculation of Ising-limit green's functions for scalar quantum field theory in arbitrary space-time dimension D // Phys. Rev. D. — 1995.— Vol. 51. —P. 1875.

[300] Reisz T. High temperature critical O(N) field models by LCE series // Phys. Lett. B. —1995. —Vol. 360. —P. 77.

[301] Four-point renormalized coupling constant in O(N) models / M. Campostrini, A. Pelissetto, P. Rossi, E. Vicari // Nucl. Phys. B. — 1996.— Vol. 459.— P. 207.

[302] Соколов А. Ренормализационная группа и трехчастичное взаимодействие в критической области // ФТТ. — 1996. — Т. 38. — С. 640.

[303] Zinn S.-Y., Lai S.-N., Fisher M. E. Renormalized coupling constants and related amplitude ratios for Ising systems // Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 54. — P. 1176.

[304] Sokolov A. I., Orlov E. V., Ul'kov V. A. Universal sextic effective interaction at criticality // Phys. Lett. A. — 1997.— Vol. 227. —P. 255.

[305] Morris T. R. Three-dimensional massive scalar field theory and the derivative expansion of the renormalization group // Nucl. Phys. B. — 1997. — Vol. 495. —P. 477.

[306] Butera P., Comi M. 2n-point renormalized coupling constants in the three-dimensional Ising model: estimates by high temperature series to order B17 // Phys. Rev. E. —1997. —Vol. 55. —P. 6391.

[307] Sokolov A. I., Orlov E. V. Renormalized sextic coupling constant for the two-dimensional Ising model from field theory // Phys. Rev. B. — 1998. — Vol. 58. —P. 2395.

[308] Butera P., Comi M. Renormalized couplings and scaling correction amplitudes in the n-vector spin models on the sc and the bcc lattices // Phys. Rev. B. — 1998. —Vol. 58. —P. 11552.

[309] Pelissetto A., Vicari E. Four-point renormalized coupling constant and callan-symanzik в-function in O(N) models // Nucl. Phys. B. — 1998. — Vol. 519. —P. 626.

[310] Pelissetto A., Vicari E. The effective potential in three-dimensional O(N) models // Nucl. Phys. B. —1998. —Vol. 522. —P. 605.

[311] Соколов А. Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга // ФТТ. — 1998. — Т. 40.— С. 1284.

[312] Universal critical coupling constants for the three-dimensional n-vector model from field theory / A. I. Sokolov, E. V. Orlov, V. A. Ul'kov, S. S. Kashtanov // Phys. Rev. E. —1999. —Vol. 60. —P. 1344.

[313] Pelissetto A., Vicari E. The effective potential of n-vector models: a field-theoretic study to O(e3) // Nucl. Phys. B. — 2000.— Vol. 575. —P. 579.

[314] The critical equation of state of the two-dimensional Ising model / M. Caselle, M. Hasenbusch, A. Pelissetto, E. Vicari // J. Phys. A. — 2001.— Vol. 34.— P. 2923.

[315] Critical behavior of the three-dimensional XY universality class / M. Cam-postrini, M. Hasenbusch, A. Pelissetto et al. // Phys. Rev. B. — 2001.— Vol. 63. —P. 214503.

[316] Critical exponents and equation of state of the three-dimensional Heisenberg universality class / M. Campostrini, M. Hasenbusch, A. Pelissetto et al. // Phys. Rev. B. —2002. —Vol. 65. —P. 144520.

[317] Toldin F. P., Pelissetto A., Vicari E. The scaling equation of state of the 3 — D O(4) universality class //J. High Energy Phys. — 2003. — Vol. 2003. — P. 029.

[318] Butti A., Toldin F. P. The critical equation of state of the three-dimensional O(N) universality class: N > 4 // Nucl. Phys. B. — 2005.—Vol. 704.— P. 527.

[319] O'Connor D., Santiago J. A., Stephens C. R. An analytic equation of state for Ising-like models // J. Phys. A.— 2007.— Vol. 40. —P. 901.

[320] Butera P., Pernici M. Free energy in a magnetic field and the universal scaling equation of state for the three-dimensional Ising model // Phys. Rev. B.— 2011. —Vol. 83. —P. 054433.

[321] Kompaniets M. Prediction of the higher-order terms based on Borel resumma-tion with conformal mapping //J. Phys. Conf. Series. — 2016. — Vol. 762.— P. 012075.

[322] Кудлис А., Соколов А. Теория поля и анизотропия кубического ферромагнетика вблизи точки Кюри // ТМФ. —2017. —Т. 190. —С. 344.

[323] Sokolov A. I., Kudlis A., Nikitina M. A. Effective potential of the three-dimensional Ising model: The pseudo-e expansion study // Nucl. Phys. B. — 2017. —Vol. 921. —P. 225.

[324] Лебедев Н., Компаниец М. Критическое поведение 0^)-симметричной модели с антисимметричным тензорным параметром порядка: ренорм-группа в реальном пространстве // Вестник СПбГУ. Физика.Химия. — 2017. —Т. 4. —С. 417.

[325] Kudlis A., Sokolov A. I. Universal effective couplings of the three-dimensional n-vector model and field theory // Nucl. Phys. B. — 2020. — Vol. 950.— P. 114881.

[326] Соколов А. Фазовые переходы в сверхтекучей нейтронной жидкости // ЖЭТФ. — 1980. — Т. 49.— С. 1137.

[327] Sokolov A. I., Nikitina M. A., Kudlis A. Universal effective coupling constant ratios of 3D scalar field theory and pseudo-£ expansion // Eur. Phys. J. WoC. —2016.—Vol. 125. —P. 05001.

SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY

Manuscript copyright

Kudlis Andrey

Multiloop renormalization group analysis of critical behaviour of models with different symmetries

Specialisation 01.04.02 - theoretical physics

Dissertation is submitted for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences

Translation from Russian

Thesis supervisor: Aleksandr I. Sokolov Dr. Sci. (Phys.-Math), Prof.

Saint Petersburg - 2020

Contents

Introduction 218

Chapter 1. The general aspects of renormalization-group approach in the critical phenomena theory 229

1.1 Field-theoretical approach in the critical phenomena theory.....229

1.2 The multiplicative renormalizability of the theory...........230

Chapter 2. The n-vector model with cubic anisotropy 231

2.1 Historical review.............................232

2.2 Six-loop £ expansion analysis......................235

2.2.1 Model and renormalization...................236

2.2.2 Six-loop expansions for RG functions, cubic fixed point coordinates, critical exponents and nc................238

2.2.3 Resummation and numerical estimates.............244

2.2.4 Discussion............................251

2.2.5 Summarizing results of £ expansion analysis..........254

2.3 Calculation of Anisotropy within 3D RG ...............255

2.3.1 Quartic coupling constants, nonlinear susceptibility, anisotropy 255

2.3.2 Pseudo-£ expansions for quartic couplings and anisotropy . . 256

2.3.3 Numerical estimates for cubic ferromagnets (n = 3)......260

2.3.4 Critical anisotropy versus nc..................263

2.3.5 Summarizing results of pseudo-£ expansion analysis of Anisotropy268

2.4 Summary.................................268

Chapter 3. The weakly disordered Ising model 270

3.1 Historical review.............................270

3.2 The model and the renormalization procedure.............272

3.3 Numerical results ........................................................274

3.3.1 RG expansions..........................275

3.3.2 Fixed-point coordinates.....................276

3.3.3 Critical exponents........................281

3.4 Summary ..................................................................289

Chapter 4. The O(m) x O(n)-symmetric model 290

4.1 Historical review.............................290

4.2 Model and renormalization.......................293

4.2.1 Model ..............................293

4.2.2 Renormalization.........................294

4.3 RG functions, fixed points, critical exponents and marginal dimensionalities ................................297

4.4 Numerical results............................300

4.4.1 Marginal dimensionalities n+(m, 4 — e), n-(m, 4 — e) and

nH(m, 4 — e)...........................300

4.4.2 Critical exponents........................310

4.5 Discussion................................313

4.6 Summary.................................314

Chapter 5. Critical exponents in diverse dimensions: e expansion vs

conformal bootstrap 316

5.1 Historical review.............................316

5.2 Critical exponents in diverse dimensions................319

5.3 Discussion................................323

5.4 Summary.................................324

Chapter 6. Universal effective couplings of the three-dimensional n-

vector model 325

6.1 Historical review.............................326

6.2 3D RG calculations...........................327

6.2.1 Perturbative, RG and pseudo-e expansions ..........328

6.2.2 Wilson fixed point coordinate..................332

6.2.3 Octic effective interaction at criticality.............338

6.2.4 Tenth-order coupling in the critical region...........342

6.2.5 Summarizing results of 3D RG analysis of effective couplings

for generalized Heisenberg model ................................344

6.3 Pseudo-e expansion for higher-order couplings for Ising model .... 345

6.3.1 Pseudo-e expansions for higher-order coupling constants . . . 346

6.3.2 Sextic effective interaction at criticality............347

6.3.3 Octic coupling: resummation and numerical estimates .... 351