Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики и микроэлектроники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Богданов, Юрий Иванович

• Богданов, Юрий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Богданов, Юрий Иванович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОРНЕВАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ

1.1. Восстановление статистических распределений (на правах литературного обзора)

1.1.1. Восстановление плотности распределения как обратная 23 задача теории вероятностей

1.1.2. Ядерные и проекционные методы восстановления 28 плотности распределения

1.1.3. Метод максимального правдоподобия и информационная 33 матрица Фишера

1.2. Корневой подход к оцениванию плотности

1.2.1. Пси - функция и уравнение правдоподобия

1.2.2. Гистограммная оценка плотности

1.2.3. Вычислительные аспекты решения уравнения 43 правдоподобия

1.3. Статистические свойства корневых оценок

1.3.1. Статистические свойства оценки вектора состояния

1.3.2. Критерий хи- квадрат. Проверка гипотезы о соответствии 59 выборочного вектора состояния генеральному. Оценка статистической значимости отличий между двумя выборками.

1.3.3. Корневая форма критерия хи- квадрат Пирсона. Корневая 63 аппроксимация биномиального распределения нормальным.

1.4. Численное моделирование

1.4.1. Оптимизация числа гармоник

1.4.2. Численное моделирование. Базис Чебышева - Эрмита.

1.4.3. Сравнение корневой оценки с ядерной и проекционной.

1.5. Матрица плотности

1.6. Выводы по результатам главы 1.

ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ 85 СОСТОЯНИЙ

2.1. Восстановление квантового состояния на основе взаимно- 86 дополнительных координатных и импульсных измерений

2.1.1. Принцип максимального правдоподобия и уравнение 86 правдоподобия

2.1.2. Учет ограничения на энергию

2.2. Восстановление спиновых состояний

2.3. Восстановление квантовых состояний бифотонных полей 121 2.3.1. Амплитуды квантовых процессов и интенсивность

2.3.3. Методы восстановления квантовых состояний по 132 совокупности взаимно- дополнительных квантовых процессов

2.3.4. Анализ экспериментальных данных по томографии 136 кутритов

2.4. Статистические флуктуации оценки вектора состояния

2.5. Разделение смеси

2.6. Квантовая механика и корневое статистическое квантование

2.7. Информация Фишера и вариационный принцип в квантовой генерации событий .2.3.2. Протоколы измерений механике

2.8. Обсуждение

2.9. Выводы по результатам главы

ГЛАВА 3. МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ 177 МОДЕЛИ В МИКРОЭЛЕКТРОНИКЕ

3.1. Выявление скрытых технологических факторов на основе минимизации энтропии факторной модели

3.1.1. Факторный анализ

3.1.2. Анализ электрофизических данных

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики и микроэлектроники»

3.3.2. Компаунд- распределение Пуассона 212

3.3.3. Биномиальное компаунд- распределение и схема Пойа 218

3.3.4. Многоуровневые иерархические цепочки компаунд- 225 распределений

3.3.5. Анализ выхода годных 232

3.3.6. Обобщение схемы Пойа 236

3.3.7. Включение байесовского подхода 240

3.4. Анализ вариаций и построение контрольных карт в 242 микроэлектронике на основе иерархической статистической модели

3.4.1. Статистические характеристики иерархических систем 242

3.4.2. Статистическая значимость априорной классификации 245

3.4.3. Иерархическое разложение дисперсии 246

3.4.4. Статистические распределения контролируемых 248 параметров

3.4.5. Рекомендуемый перечень контролируемых статистических 250 характеристик технологического процесса в иерархической модели

3.4.6. Построение и анализ контрольных карт 251

3.4.7. Бутстреп, структура данных и управление 255 технологическими процессами в микроэлектронике. Бутстреп как пример инженерного подхода к анализу данных

3.4.8. Бутстреп- алгоритм формирования аналогов иерархических 258 выборок

3.5. Выводы по результатам главы 3. 264

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ 267

ЛИТЕРАТУРА 271

Введение

Квантовая информатика представляет собой новую, быстро развивающуюся область науки и технологии, основанную на использовании квантовых систем для реализации принципиально новых методов передачи сообщений и вычислений (квантовые каналы связи, квантовая криптография, квантовый компьютер) [1,2].

Теория квантовых систем (квантовая механика) была заложена В. Гейзенбергом [3-5] в форме так называемой матричной механики. Другая форма квантовой механики (волновая механика) была развита Э. Шредингером [6] (он же доказал эквивалентность своей теории матричной механике В. Гейзенберга). Историю создания квантовой механики см. в [7,8].

В качестве основного объекта, характеризующего квантовое состояние, Шредингер ввел понятие пси- функции (другое название- волновая функция). Пси-функцию можно рассматривать как величину, определяющую координаты (в общем случае бесконечномерного) вектора состояния. Вектор состояния, представляющий собой комплексный вектор в абстрактном гильбертовом пространстве, описывает амплитуды вероятностей наблюдения соответствующих базисных состояний.

Вектор состояния является носителем информации принципиально отличным от соответствующих классических аналогов. Важная отличительная черта квантовых систем по сравнению с классическими - это принципиальная необходимость статистического описания их поведения. Измерение, проводимое над индивидуальным квантовым объектом, связано с разрушением его квантового состояния (редукция волновой функции). Это обстоятельство приводит к необходимости статистического (ансамблевого) подхода: каждый акт измерения сопровождается разрушением квантового состояния микрообъекта, однако у экспериментатора в распоряжении имеется не единичный объект, а ансамбль. В силу «хрупкости» и «неуловимости» квантового состояния, правильнее будет говорить, что вектор состояния описывает не отдельный объект, а квантовый статистический ансамбль [9,10].

Статистическая интерпретация пси- функции была дана М. Борном. Термин редукция волновой функции введен фон Нейманом в рамках развитой им последовательной теории квантовых измерений [11]. Физические аспекты квантовых измерений изложены в [12,13].

Своеобразие квантовой механики проявилось в трудностях, с которыми встретилась теория в попытках непротиворечивого описания квантовых явлений. На заре развития квантовой механики казалось, что различные квантовые процессы (например, корпускулярные и волновые), в которых могут участвовать частицы вещества и свет, не допускают единого непротиворечивого описания.

Правильный подход к решению проблемы был найден Н. Бором в рамках выдвинутой им концепции дополнительности [14]. Согласно принципу дополнительности Н. Бора «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [15].

Со статистической точки зрения, согласно принципу дополнительности, для того, чтобы экспериментальное изучение квантового ансамбля было полным, необходимо, чтобы данные, полученные при изучении ансамбля, например, в координатном пространстве, были дополнены изучением того же квантового ансамбля в канонически сопряженном (импульсном) пространстве. Важно, что измерения параметров квантового ансамбля в канонически сопряженных пространствах не могут быть реализованы одновременно в одной и той же экспериментальной установке (т.е. являются взаимно-дополнительными). Подробно, статистические аспекты взаимно-дополнительных измерений рассматриваются в главе 2.

Благодаря усилиям П. Дирака, квантовая механика приобрела, в определенном смысле, вид совершенной физической теории [16].

Математически строгая формулировка новой теории была дана впервые фон Нейманом [11]. Книга фон Неймана [11] задумывалась им как определенная математическая альтернатива физической формулировке квантовой механики, данной П. Дираком в [16]. Фон Неймана, в частности, не устраивало введение и широкое использование П. Дираком понятия дельта-функции (получившего впоследствии широкое распространение в физических и инженерных исследованиях и нашедшего отражение в математической теории обобщенных функций [17]). В противовес теории Дирака, фон Нейманом был разработан формализм спектрального разложения, являющийся обобщением разложения по базису собственных векторов в гильбертовом пространстве. Эта теория, однако, не получила широкого распространения среди физиков, которые продолжали пользоваться формализмом Дирака. В формализме Дирака собственные векторы наблюдаемой, задаваемой самосопряженным оператором, трактуются как базис в гильбертовом пространстве. Это достигается введением неограниченных по норме векторов (имеющих формально бесконечную длину). Неограниченными векторами, в частности, описываются собственные функции операторов координаты и импульса. Нормировка неограниченных векторов осуществляется, как раз, посредством введения дельта- функции Дирака (в теории фон Неймана допустимы только ограниченные по норме векторы).

Интерес к работам фон Неймана пробудился в 60-70 - ые годы XX века в связи с важными с физической точки зрения понятиями и концепциями, введению которых способствовал фон Нейман, такими как: квантовое состояние, описываемое в общем случае матрицей (оператором) плотности; общая теория квантовых измерений, проекторы фон Неймана, получившие впоследствии обобщение в виде положительной операторно- значной меры — Positive Operator Valued Measure - POVM), энтропия фон Неймана и др.

На базе работ фон Неймана по квантовой теории и Шеннона по теории информации [18,19], благодаря усилиям P.JL Стратоновича [20], А.С. Холево [21,22], К. Хелстрома [23], К. Крауза [24] и других исследователей в 70-80- ые годы, возникает и развивается новое научное направление, связанное с квантовой теорией информации и квантовой передачей сообщений (в том числе секретных).

В 1984 Ч. Беннет и Ж. Брассар предложили первый практический протокол распределения криптографического ключа (ВВ84), основанный на использовании неортогональных состояний фотонов [25,26]. Первая практическая реализация этого протокола (передача по оптическому световоду на расстояние около 1 км.) была осуществлена в университете Женевы [27].

Квантовая криптография на основе использования перепутанных состояний (таких как состояния Эйнштейна- Подольского- Розена (ЭПР)) была предложена А. Экертом и др. [28]. В настоящее время квантовая криптография представляет собой бурно развивающуюся отрасль теоретических и экспериментальных исследований (а также, первых инженерных приложений). Область действия разрабатываемых в настоящее время квантовых криптографических систем уже превышает расстояние 100 км [29]. Прогресс в этой области, однако, ограничен из-за неизбежного затухания сигналов в оптических световодах и невозможности их усиления в силу так называемой теоремы о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния.

Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [30]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер, основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [31].

Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и плотного кодирования (dense coding), алгоритм Гровера (поиска в базе данных), квантовое дискретное преобразование Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [32-35]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе кубитов) [36,37], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [38].

Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как «квантовый ластик» (quantum eraser- квантовое измерение, направленное на восстановление квантового состояния измеряемой системы) [39,40], квантовая телепортация и плотное кодирование [41-43], приготовление белловских состояний [44,45].

Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [46,47], линейные ионные ловушки [48-50] и ядерный магнитный резонанс - ЯМР (жидкостной и твердотельный) [51-53].

На пути создания эффективных систем обработки квантовой информации стоит ряд трудных проблем, среди которых, одна из основных - это умение оценивать и воспроизводить квантовые состояния. Так, квантовый регистр, включающий п квантовых битов (кубитов) описывается вектором состояния, гуп содержащим ^ комплексных чисел. Со статистической точки зрения это означает, что контроль квантовой системы сводится к многопараметрической задаче восстановления состояния квантового статистического ансамбля по измерениям, проводимым на отдельных его представителях.

Методы восстановления квантовых состояний подробно рассматриваются в главе 2. Сейчас же отметим только, что наибольшее значение имеют алгоритмы, позволяющие получить точность оценивания, близкую к принципиально достижимой в задачах высокой размерности. Построение таких оценок на базе традиционных методов математической статистики наталкивается на трудности вычислительного характера, которые быстро становятся непреодолимыми по мере роста размерности задачи. Выделенной универсальной статистической моделью, допускающей устойчивое асимптотически эффективное восстановление параметров по наблюдениям, оказывается новая так называемая корневая модель, в которой структура статистической теории оказывается согласованной изначально со структурой вероятности в квантовой механике [54,55].

С практической точки зрения многопараметрическая задача восстановления квантовых состояний играет важную роль при реализации всех трех основных взаимосвязанных задач, с которыми сталкивается разработчик квантовых информационных систем: генерация квантовых систем в определенных квантовых состояниях; их преобразование в процессе передачи по квантовому каналу связи или в процессе квантовых вычислений; считывание (измерение) выходного состояния системы. Умение восстанавливать квантовые состояния обеспечивает базу для решения таких задач как юстировка квантовых информационных систем, контроль точности и стабильности их работы, обнаружение постороннего вмешательства в систему и др.

Многопараметрическое статистическое оценивание квантовых состояний, безусловно, представляет интерес также и с фундаментальной точки зрения, поскольку дает инструмент для анализа таких базовых понятий квантовой теории как принципиально статистический характер ее предсказаний, принцип суперпозиции, принцип дополнительности Н. Бора и др.

Системы квантовой обработки информации рассматриваются как естественные приемники современных устройств, выполненных на базе микроэлектроники. Так, согласно известной эмпирической закономерности (так называемый закон Мура [56]), степень интеграции микроэлектронных устройств удваивается каждые 18 месяцев (за тот же период критический размер элементов И С уменьшается вдвое, а тактовая частота микропроцессоров удваивается). Если отмеченная тенденция сохранится, то приблизительно к 2020 году размер характерных элементов электронных устройств будет сравним с размером атома. Квантовые эффекты станут определяющими в работе таких приборов. Понятно, что создание и эффективное использование новых устройств потребует развития теоретических основ и практических приложений для системы управления качеством квантовых информационных технологий на основе симбиоза представлений квантовой физики и прикладной математической статистики.

Таким образом, многопараметрический статистический анализ имеет важное значение в задачах контроля качества, стабильности и надежности нарождающихся систем обработки квантовой информации.

В то же время, статистические методы продолжают играть важную роль и в задачах традиционной микроэлектроники [57-60]. Здесь многопараметрические статистические модели служат следующим основным целям: статистический контроль качества технологического процесса производства интегральных микросхем, оценка уровня технологии на основе статистических данных, сравнительная оценка различных конструктивно-технологических решений; прогнозирование характеристик вновь разрабатываемых изделий; оптимизация экономической деятельности полупроводникового производства. Во всех случаях многопараметрические статистические модели позволяют либо рассмотреть с единых позиций имеющиеся в производстве данные по изделиям, отличающимся степенью интеграции, правилами проектирования и технологическим маршрутом изготовления, либо позволяют сделать прогноз на будущее: как изменения в технологии или номенклатуре изделий повлияют на технико-экономические показатели полупроводникового производства.

Роль статистических методов в системе качества в микроэлектронике выросла в связи с развитием компьютерно- интегрированных систем разработки и производства электронных изделий.

Целью диссертационной работы было развитие многопараметрических статистических моделей в приложении к задачам квантовой информатики и микроэлектроники. Для достижения указанной цели были решены следующие основные задачи:

- Построение многопараметрических статистических моделей, допускающих устойчивое восстановление параметров по наблюдениям (обратная задача статистики). Развитие метода корневой оценки плотности как базовой модели такого рода. Изучение статистических свойств получаемых оценок. Разработка и исследование итерационного алгоритма решения многопараметрического уравнения правдоподобия.

- Развитие методологии статистического анализа взаимно-дополнительных квантовых измерений (в смысле принципа дополнительности Н. Бора). Развитие метода решения уравнения правдоподобия и исследование точности получаемых статистических оценок.

- Развитие корневого метода восстановления квантовых состояний на основе анализа амплитуд взаимно- дополнительных квантовых процессов (квадраты модулей амплитуд взаимно- дополнительных квантовых процессов задают интенсивности генерации событий, непосредственно регистрирующихся в физическом эксперименте). Обоснование приложения корневого амплитудного подхода к задачам восстановления квантовых состояний бифотонного поля- кутритов. Разработка формализма аппаратных матриц, позволяющих связать амплитуды квантовых процессов с компонентами восстанавливаемого вектора состояния в рамках определенного протокола измерений. Проведение статистического анализа экспериментов с бифотонным полем, выполненных в Московском государственном университете на кафедре квантовой электроники.

- Развитие теории статистических флуктуаций оценки вектора состояния квантовой системы, позволяющей выявлять инструментальные погрешности на фоне фундаментальных статистических флуктуаций.

- Разработка алгоритма восстановления матрицы плотности состояния (разделение смеси). Апробация алгоритма посредством статистического моделирования и анализа реальных данных.

- Разработка метода корневого статистического квантования, позволяющего обосновать со статистической точки зрения естественность базиса, задаваемого собственными функциями гамильтониана системы.

- Развитие новой модели факторного анализа многомерных статистических данных. Модель направлена на выявление скрытых технологических факторов на основе минимизации новой введенной характеристики — энтропии факторной модели (являющейся аналогом меры запутанности (entanglement) в квантовой информатике). Приложение разработанной модели к анализу многомерных данных электрофизического тестового контроля ОАО «Ангстрем».

- Разработка многопараметрического обобщения распределения Вейбулла с целью решения задачи восстановления функции надежности по результатам испытаний.

- Развитие формализма многоуровневых иерархических цепочек компаунд- распределений как основы для наиболее общих статистических моделей для управления дефектностью и выходом годных в микроэлектронике. Разработка новых методик построения контрольных карт для задач микроэлектроники на основе методов дисперсионного анализа и метода бутстреп.

В первой главе развивается метод корневой оценки плотности распределения.

Рассматриваемая пси-функция трактуется как математический объект статистического анализа данных, вводимый по аналогии с квантовой механикой и служащий для радикального упрощения статистических оценок плотности, получаемых методом максимального правдоподобия. Корневая оценка плотности представляет собой новый, обладающий оптимальными асимптотическими свойствами, метод восстановление плотности распределения по экспериментальным данным.

Описывается итерационный алгоритм решения уравнения правдоподобия для корневой оценки плотности, исследуется устойчивость получаемого решения и скорость сходимости к нему, вводится специальный итерационный параметр, оптимальное значение которого выбирается на основе максиминной стратегии.

Исследуются статистические свойства корневых оценок плотности. Рассмотрены соответствующие матрица информации Фишера и матрица ковариаций оценок, предложен критерий типа хи - квадрат для проверки гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному, а также для проверки однородности двух выборок. Введена новая статистическая характеристика - доверительный конус, позволяющий давать гарантированную оценку для направления неизвестного вектора состояния.

Во второй главе описываются разработанные методы статистического восстановления квантовых состояний по совокупности взаимно дополнительных измерений.

Предлагается и развивается метод корневой оценки квантовых состояний, основанный на статистическом анализе взаимно- дополнительных измерений (в смысле принципа дополнительности Н. Бора). Проведено обобщение принципа максимального правдоподобия и уравнения правдоподобия с целью анализа экспериментов в квантовой механике. Рассмотрена оценка квантовых состояний по результатам координатных, импульсных и поляризационных (спиновых) измерений.

Развивается корневой метод восстановления квантовых состояния на основе анализа амплитуд взаимно- дополнительных квантовых процессов. Рассмотрен способ компактного представления квантовых процессов, фигурирующих в протоколах измерений, посредством введения аппаратных матриц, позволяющих связать амплитуды квантовых процессов с компонентами восстанавливаемого вектора состояния. Предложены процедуры восстановления вектора состояния квантовой системы в рамках метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия.

Развивается процедура приложения корневого амплитудного подхода к задачам восстановления квантовых состояний бифотонного поля- кутритов. На основе проведенного статистического анализа экспериментов с бифотонным полем, доказана возможность восстановления квантового состояния кутритов с высокой точностью.

Развивается теория статистических флуктуаций оценки вектора состояния квантовой системы. Сформулировано конструктивное условие полноты совокупности взаимно- дополнительных измерений и получен конструктивный критерий типа хи- квадрат для оценки возможного уровня статистических флуктуаций оцениваемого вектора состояния квантовой системы. Введена новая статистическая характеристика - мера информационного согласия оцениваемого вектора состояния с его теоретическим значением.

Третья глава посвящена развитию многопараметрических статистических моделей в приложении к задачам микроэлектроники.

Старый подход к анализу данных основан на том, что каждый измеряемый параметр контролируется отдельно от других. Такой подход игнорирует существенные связи между параметрами, поэтому часто приводит к неудовлетворительным результатам. В условиях, когда параметры коррелируют между собой, нецелесообразно контролировать каждый из них в отдельности. Целесообразнее на основе большого числа измеряемых параметров выработать небольшое число скрытых от непосредственного наблюдения обобщенных показателей (факторов), характеризующих рассматриваемую технологическую систему или процесс.

С этой целью на примере задач микроэлектроники разрабатывается новая модель факторного анализа многомерных статистических данных. Вводится новая характеристика — энтропия факторной модели, являющаяся мерой неопределенности (запутанности) скрытых технологических факторов по отношению к наблюдаемым параметрам. Предлагается способ выявления оптимальной структуры технологической модели на основе минимизации ее факторной энтропии.

Описывается многопараметрическое обобщение распределения Вейбулла, направленное на решение задачи восстановления функции надежности по результатам испытаний.

Развиваются многопараметрические иерархические статистические модели контроля качественных и количественных параметров в микроэлектронике с учетом естественной для полупроводникового производства иерархии невоспроизводимости контролируемых параметров: от одной области к другой внутри полупроводниковой пластины, от пластины к пластине в партии, от партии к партии и т.п.

На защиту выносятся следующие положения. 1. Корневая оценка плотности, основанная на представлении плотности вероятности как квадрата модуля некоторой функции (называемой псифункцией по аналогии с квантовой механикой) представляет собой новый, обладающий оптимальными асимптотическими свойствами, метод восстановления плотности распределения по экспериментальным данным. Пси-функция представляется в виде разложения по ортонормированному базису с оценкой коэффициентов разложения методом максимального правдоподобия. Корневой подход приводит к радикальному упрощению структуры информационной матрицы Фишера и матрицы ковариации оценок, делая их независимыми от базиса, позволяет обеспечить заведомую положительную определенность плотности и представить результаты в наиболее простом и универсальном виде. Являясь асимптотически эффективным, метод позволяет восстановить состояния с точностью близкой к принципиально достижимой. Основные конструкции теории (векторы состояния, матрицы информации, матрицы ковариаций и пр.) оказываются инвариантными геометрическими объектами в гильбертовом пространстве.

2. Уравнение правдоподобия в методе корневой оценки плотности имеет простую квазилинейную структуру и допускает построение эффективной, быстросходящейся итерационной процедуры в случае многопараметрических задач. Оптимальное значение итерационного параметра целесообразно выбирать на основе максиминной стратегии.

3. В рамках корневой оценки плотности развит критерий типа хи — квадрат для проверки гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному, а также аналогичный критерий для проверки однородности двух выборок. Введение новой статистической характеристики -доверительного конуса обеспечивает гарантированную оценку для направления неизвестного вектора состояния.

4. Корневой подход к анализу результатов экспериментов над микрообъектами дает естественное средство для решения обратной задачи квантовой механики, связанной с восстановлением пси- функции по результатам взаимно дополнительных (по Н. Бору) экспериментов. На основе соответствующего обобщения принципа максимального правдоподобия получены уравнения правдоподобия для оценки векторов состояний различных квантовых систем по совокупности взаимно дополнительных экспериментов. Глобальная калибровочная инвариантность и инвариантность относительно сдвига во времени приводят соответственно к ограничениям на норму и энергию квантовых систем. Учет ограничения на энергию ведет к подавлению высокочастотных шумов в восстанавливаемом векторе состояния.

5. Интенсивности генерации событий, непосредственно регистрируемых в физическом эксперименте, представлены как квадраты модулей амплитуд взаимно дополнительных квантовых процессов. Совокупность квантовых процессов, образующих протокол измерений, компактно представлена посредством развитого в работе формализма аппаратных матриц, позволяющих связать амплитуды квантовых процессов с компонентами восстанавливаемого вектора состояния. Метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия обеспечивают эффективные средства для формулировки процедур восстановления вектора состояния квантовой системы.

6. На основе развитого подхода предложена процедура восстановления квантовых состояний трехуровневых оптических систем, реализованных на частотно и пространственно вырожденном бифотонном поле. Корневой подход к оценке квантового состояния и измерения моментов четвертого порядка по полю обеспечивают возможность восстановления исходной волновой функции бифотонов (кутритов). Статистический анализ экспериментальных данных позволил доказать, что квантовые состояния кутритов могут быть восстановлены с высокой точностью.

7. Развитая в работе теория статистических флуктуаций оценки вектора состояния квантовой системы позволяет получить конструктивный критерий хи- квадрат для оценки возможного уровня статистических флуктуаций оцениваемого вектора состояния квантовой системы и ввести новую статистическую характеристику, описывающую меру информационного согласия оцениваемого вектора состояния с его теоретическим значением.

8. Точность восстановления квантовых состояний определяется конкуренцией между статистическими флуктуациями и инструментальными погрешностями в реализации протокола измерения. Для малых объемов выборок превалируют статистические флуктуации, в то время как для больших объемов выборок — инструментальные погрешности. Инструментальные погрешности приводят к насыщению меры точности восстановления квантового состояния (fidelity) на уровне ниже, чем единица (для проведенных экспериментов с бифотонами этот уровень оказался равен 0.995-0.9998). Сравнение результатов восстановления квантовых состояний с фундаментальным статистическим уровнем точности служит основой для решения таких задач как математическое моделирование работы установки на этапе ее проектирования, юстировка установки, контроль стабильности работы, обнаружение постороннего вмешательства в квантовую систему и т.д.

9. Выявлена связь между корневым разложением плотности вероятности и квантовой теорией. Предложена процедура корневого статистического квантования, позволяющая из всех статистических моделей, обеспечивающих выполнение в среднем законов классической механики, выделить системы, описываемые квантовой механикой.

10. Введение новой характеристики - энтропии факторной модели, являющейся мерой неопределенности (запутанности) скрытых технологических факторов по отношению к наблюдаемым параметрам, обеспечивает основу для разработки новой модели факторного анализа многомерных статистических данных и ее приложений к задачам микроэлектроники. Ортогональное вращение факторов позволяет выявить наиболее простую структуру многомерных данных, отвечающую скрытым от непосредственного измерения технологическим факторам и соответствующую минимуму энтропии факторной модели. Приложение разработанной модели к анализу многомерных электрофизических данных тестового контроля ОАО «Ангстрем» позволило дать физико-технологическую интерпретацию факторов исследуемого полупроводникового производства.

11. Разработанная модель многопараметрического обобщения распределения Вейбулла является эффективным средством решения задачи восстановления функции надежности по результатам испытаний в микроэлектронике, обеспечивающим большую полноту и точность анализа по сравнению с одно- и двухпараметрическими моделями.

12. Развитые в работе многопараметрические иерархические статистические модели обеспечивают эффективные средства контроля качественных и количественных параметров в микроэлектронике с учетом естественной для полупроводникового производства структуры данных. Формализм многоуровневых иерархических компаунд- распределений позволяет сформулировать наиболее общие статистические модели для управления дефектностью и выходом годных в микроэлектронике. Благодаря использованию метода производящих функций, основные результаты удается представить в компактном аналитическом виде. В качестве частных (одноуровневых) случаев выступают известные в литературе обобщенное отрицательное биномиальное распределение и распределение Пойа. Основанное на интенсивном использовании компьютерного моделирования иерархическое обобщение метода бутстреп расширяет перечень доступных для контроля параметров полупроводникового производства по сравнению с возможностями аналитических моделей.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Богданов, Юрий Иванович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Разработан новый метод — корневой подход к восстановлению плотности распределения по экспериментальным данным. Корневая оценка плотности основана на представлении плотности вероятности как квадрата модуля некоторой функции (называемой пси-функцией по аналогии с квантовой механикой). Пси-функция представляется в виде разложения по ортонормированному базису с оценкой коэффициентов разложения методом максимального правдоподобия. Будучи асимптотически эффективным, метод обеспечивает высокую точность оценивания параметров, близкую к принципиально достижимой. Показано, что уравнение правдоподобия в методе корневой оценки плотности допускает построение удобной в вычислительном отношении быстросходящейся итерационной процедуры. Преимущества нового подхода раскрываются при решении многопараметрических задач. Устойчивость и наилучшая сходимость предложенной процедуры обеспечиваются путем введения специального итерационного параметра, оптимальное значение которого выбирается на основе максиминной стратегии.

В рамках корневого подхода оцениваемые параметры имеют простые и универсальные статистические свойства, обусловленные независимостью матрицы информации Фишера и матрицы ковариаций оценок от базисных функций разложения. Универсальные статистические свойства корневых оценок выражаются в виде критериев хи — квадрат для проверки гипотез о соответствии выборочного вектора состояния генеральному, а также для проверки однородности выборок. Традиционный критерий хи- квадрат представляет собой частный предельный случай корневого критерия. Новая статистическая характеристика - доверительный конус дает гарантированную оценку для направления неизвестного вектора состояния. Справедливость развитой теории подтверждается результатами численного моделирования.

4. Корневой подход дает естественное средство для решения обратной статистической задачи квантовой механики, связанной с восстановлением пси-функции по результатам взаимно дополнительных (в смысле принципа дополнительности Н. Бора) экспериментов. На основе соответствующего обобщения принципа максимального правдоподобия получены уравнения правдоподобия для оценивания векторов состояний широкого класса квантовых систем по совокупности взаимно дополнительных экспериментов, связанных с координатными, импульсными и поляризационными (спиновыми) измерениями.

5. Корневой подход к анализу взаимно- дополнительных квантовых процессов основан на представлении интенсивностей генерации событий, непосредственно регистрируемых в физическом эксперименте, как квадратов модулей их амплитуд. Формализм аппаратных матриц обеспечивает компактную запись для совокупности квантовых процессов, образующих протокол измерений, и эффективный способ для формулировки процедур восстановления вектора состояния квантовой системы.

6. Предложен и реализован метод статистического восстановления квантовых состояний трехуровневых оптических систем (кутритов), основанных на частотно и пространственно вырожденном бифотонном поле. Статистический анализ экспериментальных данных позволяет доказать, что квантовые состояния кутритов могут быть восстановлены с высокой точностью.

7. Сформулирован конструктивный критерий хи- квадрат для количественной оценки возможного уровня статистических флуктуаций неизвестного вектора состояния квантовой системы. Введена новая статистическая характеристика — мера информационного согласия оцениваемого вектора состояния с его теоретическим значением.

8. Показано, что погрешности, возникающие при восстановлении квантовых состояний могут быть двух видов: статистические и инструментальные. Статистические флуктуации ограничивают точность восстановления квантовых состояний при объемах наблюдений, малых по сравнению с объемом когерентности. Напротив, при больших объемах наблюдений, точность восстановления квантовых состояний ограничивается инструментальными погрешностями. Инструментальные погрешности приводят к насыщению меры точности восстановления квантового состояния (fidelity) на уровне ниже, чем единица.

9. Разложение пси- функции по стационарным решением уравнения Шредингера есть естественное следствие процедуры корневого статистического квантования. Показано, что предложенное в работе корневое статистическое квантование позволяет из всех статистических моделей, обеспечивающих выполнение в среднем законов классической механики, выделить системы, описываемые квантовой механикой.

10. Предложена новая модель факторного анализа многомерных статистических данных и развито ее применение к задачам микроэлектроники. Новый подход основан на введение энтропии факторной модели, являющейся мерой неопределенности (запутанности) скрытых технологических факторов по отношению к наблюдаемым параметрам. Поиск минимума энтропии факторной модели посредством ортогонального вращения факторов позволяет выявить наиболее естественную физико- технологическую структуру многомерных данных.

11. Разработана новая многопараметрическая модель анализа результатов испытаний электронных изделий, основанная на восстановлении характеристик надежности путем построения регрессионных зависимостей в координатах Вейбулла. Развитый подход обеспечивает большую гибкость и полноту анализа по сравнению с одно- и двухпараметрическими моделями.

12. Учет естественной для полупроводникового производства иерархии невоспроизводимости контролируемых параметров от одной области к другой внутри полупроводниковой пластины, от пластины к пластине в партии, от партии к партии и т.п. дает основу для разработки многопараметрических иерархических статистических моделей контроля качественных и количественных параметров в микроэлектронике. Метод бутстреп с учетом иерархической структуры данных позволяет сделать контроль параметров полупроводникового производства более адекватным и точным по сравнению с возможностями аналитических моделей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Богданов, Юрий Иванович, 2004 год

1. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления //Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с.

2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск. РХД. 2001. 352с.

3. Heisenberg W. Uber die quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift f Physik . 1925. Bd 33. S.879-893.

4. MeccuaA. Квантовая механика. M. Наука. T.l. 1978. 480с., Т.2. 1979. 584с.

5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М. Наука. 1976. 664с.

6. Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М. Наука. 1976. 424с.

7. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. М. Наука. 1990. 400с.

8. Ансельм А.И. Очерки развития физической теории в первой трети XX века. М. Наука. 1986.244с.

9. Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики. М. Наука. 1987. 152с.

10. Braginsky V.B., Khalili F.Ya. Quantum Measurement. Cambridge University Press. 1992. 200p.

11. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М. Физматлит. 2001. 232с.

12. Бор Н. Избранные научные труды в двух томах. Т.2. М. Наука. 1971. 675 с.

13. Bohr N. Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics // in Schilp P.A. (editor), Albert Einstein, Philosopher-Scientist (Library of Living271

14. Philosophers, Evanston, Illinois, 1949), Р.2ТЛ)-241. Перевод на русский язык: Бор Н. Дискуссия с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике. Избранные научные труды в 2-х томах. Т.2. С. 399-433. М. Наука. 1971.

15. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. // Пер. с англ. под ред. В.А. Фока. М. Наука. 1979. 480с.

16. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М. Наука. 1979. 320с.

17. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М. ИЛ. 1963. 829с.

18. Шеннон К. Статистическая теория передачи электрических сигналов // в кн. Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. М. ИЛ. 1953. с. 7-87.

19. Стратонович P.JI. Теория информации. М. Советское радио. 1975. 424с.

20. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с.

21. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Издание 2-е, дополненное. Москва- Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003.410 с.

22. Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. М. Мир. 1979. 344с.

23. Kraus К. States, effects, and operations: fundamental notions of quantum theory; Lecture Notes in Physics 190. Berlin. Springer-Verlag. 1983. 151 p.

24. Muller A., Breguet J., Gisin N. Experimental Demonstration of Quantum Cryptography Using Polarized Photons in Optical Fiber over more than 1km // Europhys. Lett. 1993. V.23. №6. P.383-388.

25. Ekert A.K., Rarity J.G., Tapster P.R., and Palma G.M. Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry //Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.1293- 1295.

26. Kosaka H., Tomita A., Nambu Y., Kimura Т., Nakamura K. Single-photon interference experiment over 100 km for quantum cryptography system using a balanced gated-mode photon detector // Electron. Lett. 2003. V. 39. № 16. P. 1199- 1201.

27. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М. Советское Радио. 1980. 128с.

28. Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления М. МЦНМО. ЧеРо. 1999. 192 с.

29. Ожигов Ю.И. Квантовый компьютер и его возможности. М. МГТУ «Станкин». 1999. 57с.

30. Shor P. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. LANL Report quant-ph/ 9508027.1995. 28p.

31. Barenco A., Bennett С.Н., Cleve С., DiVincenzo D.P., Margolus N., Shor P., Sleater Т., Smolin J.A., Weinfurter H. Elementary Gates for Quantum Computation // Phys. Rev. A. 1995. V.52. №5. P.3457-3467.

32. Preskill J. Fault-tolerant quantum computation. LANL Report quant-ph/ 9712048.1997. 58p.

33. Scully M, Driihl K. Quantum eraser: A proposed correlation experiment concerning observation and "delayed choice" in quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1982.V.25. P.2208-2213.

34. Kim Y.H., YuR.} KulikS.P., Shih Y.H. and Scully M. Delayed "Choice" Quantum Eraser. //Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P. 1-5.

35. Kim Y.H., KulikS.P., Shih Y.H. Quantum teleportation of a polarization state with a complete Bell state measurement // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P. 1370-1373

36. Bartlett S.D., Munro W.J. Quantum Teleportation of Optical Quantum Gates // Phys. Rev. Lett. 2003. V.90. 117901.

37. Mattle K, Weinfurter H., Kwiat P.G., and Zeilinger Dense Coding in Experimental Quantum Communication // Phys. Rev. Lett. 1996. V76. P.4656-4659.

38. Kim Y.H, Kulik S.P., Shih Y.H. Bell state preparation using pulsed nondegenerate two-photon entanglement//Phys. Rev.A. 2001. V.63. 060301. 4p.

39. Kim Y.H., Chekhova M.V., KulikS.P., Rubin M., Shih Y.H. Interferometric Bell state preparation using femtosecond pulse pumped spontaneous parametric down-conversion. 2001. //Phys. Rev. A. V.63. 062301. 1 lp.

40. Cavity Quantum Electrodynamics. Advances in atomic, molecular and optical physics // Berman P. (editor). Academic Press. San Diego. 1994. 497 p.

41. Munstermann P., Fischer Т., Maunz P., Pinkse P.W.H., and Rempe G. Observation of cavity-mediated long-range light forces between strongly coupled atoms //Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.4068-4071.

42. Beige A. Ion-trap quantum computing in the presence of cooling // Phys. Rev. A. 2004. V.69. 012303. lip.

43. Pachos J., Walther H. Quantum computation with trapped ions in an optical cavity // Phys. Rev. Lett. 2002. V.89. 187903. 4p.

44. Childs A., Chuang I.L. Universal quantum computation with two-level trapped ions // Phys. Rev. A. 2001. V.63. 012306. 4p.

45. Gershenfeld N. A., Chuang I.L. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science. 1997. V. 275. №1. P.350-356.

46. Vandersypen L.M.K., Steffen M., Breyta G., Yannoni C.S., Sherwood M.H., Chuang I.L. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance //Nature. Dec. 2001. V.414. P. 883-887.

47. ЪЪ.Валиев К.А., Кокин А.А. Полупроводниковые ЯМР квантовые компьютеры с индивидуальным и ансамблевым обращением к кубитам // Микроэлектроника. 1999. Т.28. №5. С.326-337.

48. Bogdanov Yu. I. Quantum Mechanical View of Mathematical Statistics // LANL Report quant-ph/0303013. 2003. 26 p.

49. Bogdanov Yu. I. Root Estimator of Quantum States // LANL Report quant-ph/0303014. 2003.26 р.

50. Валиев K.A. Актуальные проблемы гигабитной микроэлектроники// Всероссийская научно-техническая конференция "Микро- и наноэлектроника 98". Звенигород. Тезисы докладов. Т.1. Доклад JI1-1.

51. Власов В.Е., Захаров В.П., Коробов А.И. Системы технологического обеспечения качества компонентов микроэлектронной аппаратуры. М. Радио и связь. 1987. 160с.

52. EIA-557-A. "EIA Standard. Statistical Process Control System. (Revision of EIA-557 concurrent with JESD19)". Electronic Industries Association (EIA), July 1995. 35p.

53. OCT 1114.1011-99 Стандарт отрасли. Микросхемы интегральные. Система и методы статистического контроля и регулирования технологического процесса // Богданов Ю.И., Дорошевич К.К., Иванов А.В. и др. М. ЦНИИ 22. 1999. 78 с.

54. Богданов Ю.И., Богданова Н.А. Статистическое управление технологическим процессом (методическое пособие) //Серия «Все о качестве. Отечественные разработки». Выпуск 6. 2001. М. НТК «Трек». 60с.

55. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

56. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М. Наука. 1987. 240 с.

57. Крянев А.В. Статистическая форма регуляризованного метода наименьших квадратов А.Н. Тихонова // Доклады Академии наук. 1986. Т. 219. №4. с. 780-785.

58. Арсенин В.Я., Крянев А.В. Обобщенный метод максимального правдоподобия решения конечномерных некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т.31. №5. с.643-653.

59. Вапник В.Н., Стефанюк А.Р. Непараметрические методы восстановления плотности распределения // Автоматика и телемеханика. 1978. -№8. -С. 3852.

60. Стефанюк А.Р. Восстановление плотности вероятности // в книге: Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. Под ред. В.Н. Вапника. М.: Наука, 1984. -С. 688-706.

61. Вапник В.Н. Принципы оценивания плотности распределения вероятностей// в книге: JI. Деврой, Л. Дьерфи Непараметрическое оценивание плотности.

62. А- подход. -М.: Мир, 1988. -С.362-396.

63. Богданов Ю.И., Богданова Н.А., Земцовский С.И. и др. Статистическое исследование времени до пробоя подзатворного диэлектрика в условиях электрического стресса. // Микроэлектроника. 1994. Т.23. №1. С. 75-85.

64. Богданов Ю.И., Богданова Н.А., Земцовский С.И. Статистическое моделирование и анализ данных по времязависимому пробою тонких диэлектрических слоев.// Радиотехника и электроника. 1995. Т. №12. С. 1874-1882.

65. Rosenblatt М. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // Ann. Math. Statist. 1956. V.27. N3. P.832-837.

66. Parzen E. On the estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. 1962. V.33. N3. P.1065-1076.

67. Надарая Э.А. О непараметрических оценках плотности вероятности и регрессии. // Теория вероятностей и ее применения. 1965. Т. 10. Вып.1. С. 199-203.

68. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси. Изд-во Тбилисского Университета. 1983. 194с.

69. Деврой Л., Дъерфи Я. Непараметрическое оценивание плотности. А-подход: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988. 408 с.

70. Marron J.S. An asymptotically efficient solution to the bandwidth problem of kernel density estimation. //Ann. Statist. 1985. V.13. №3. P.1011-1023.

71. Marron J.S. A Comparison of cross-validation techniques in density estimation I I Ann. Statist. 1987. V.15. №1. P.152-162.

72. Park B. JJ., Marron J.S. Comparison of data-driven bandwidth selectors // J. Amer. Statist. Assoc. 1990. V.85. №409. P.66-72.

73. Sheather S.J., Jones M.C. A reliable data-based bandwidth selection method for kernel density estimation // J. Roy. Statist. Soc. B. 1991. V.53. №3. P.683-690.

74. Орлов A.M. Ядерные оценки плотности в пространствах произвольной природы. // в кн.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь. 1996. С. 68 75.

75. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы. // Заводская лаборатория. 1990. Т. 56. №3. С.76-83.

76. Ченцов Н.Н. Оценка неизвестной плотности распределения по наблюдениям. Доклады АН СССР, 1962, т. 147, N1, с.45-48.

77. Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М. Наука. 1972.520 с.

78. Watson G.S. Density estimation by orthogonal series, Ann. Math. Statist., 1969, V.40, P.1496-1498.

79. Walter G. Properties of hermite series estimation of probability density. Ann. Statist., 1977, V.5,N6, P.1258-1264.

80. Walter G., Blum J. Probability density estimation using delta sequences // Ann. Statist. 1979. V.7. №2. P. 328-340.

81. Крамер Г. Математические методы статистики. М. Мир. 1975. 648 с.

82. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М. Физматлит. 2003. 216 с.

83. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Физматгиз. 2002.496 с.

84. Дремин ИМ., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т. 171. № 5. с. 465-501.

85. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб. СПбГТУ. 1999. 132 с.

86. Чуй К. Введение в вейвлеты. Пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 с.

87. Donoho D.L., Johnstone I.M., Kerkyacharian G. and Picard D. Density Estimation by Wavelet Thresholding // The Annals of Statistics. 1996. V.24. №2. P. 508-539.

88. Good I.J., Gaskins R.A. Nonparametric roughness penalties for probability densities // Biometrica. 1971. V.58. №2. P. 255-277.

89. Gu С., Qiu C. Smoothing spline density estimation: Theory. // Ann. Statist. 1993. V. 21. №1. P. 217-234.

90. Green P. Penalized likelihood // in Encyclopedia of Statistical Sciences. John Wiley. 1999. V.3. P. 578-586.

91. Fisher R.A. On an absolute criterion for fitting frequency curves // Massager of Mathematics. 1912. V.41.P.155-160.

92. Fisher R.A. On mathematical foundation of theoretical statistics // Phil. Trans. Roy. Soc. (London). Ser. A. 1922. V.222. P. 309 369.

93. Кендалл M, Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М. Наука. 1973. 900 с.

94. Ибрагимов И.А., Хасъминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М. Наука. 1979,528 с.

95. Айвазян С.А., Енюков КС., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание. М. Финансы и статистика. 1983. 471 с.

96. Богданов Ю.И, Корневая оценка плотности// Тезисы доклада на IV международной научно-технической конференции «Электроника и информатика-2002». Т.1. С.23-24.

97. Богданов Ю.И. Метод максимального правдоподобия и корневая оценка плотности распределения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2004. №3. С.51-60.

98. Bogdanov Yu. I. Root Estimator of States // 2003 International Conference "Physics and Control" Proceedings, p. 808-813. Edited by A.L. Fradkov, A.N. Churilov. August 20-22.2003. Saint Petersburg. Russia.

99. Bogdanov Yu. I. Quantum States Estimation: Root Approach // The International Conference "Micro- and nanoelectronics 2003" (ICMNE-2003). Abstracts. Moscow - Zvenigorod. October 6th-10th, 2003. P2-127.279

100. Bogdanov Yu. I. Statistical Inverse Problem: Root Approach // 2nd Asia-Pacific Workshop on Quantum Information Science, Singapore, National University of Singapore, 15-19 December 2003; LANL Report quant-ph/0312042. 2003. 17 p.

101. Богданов Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: корневой подход// Оптика и спектроскопия 2004. Т.96. №5. С.735-746.

102. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория М. Наука. 1974. 752 с.

103. Балашов В.В., Долинов В.К. Курс квантовой механики. М. Издательство Московского университета. 1982. 280 с.

104. Давыдов А. С. Квантовая механика. Учебное пособие. М. Физматгиз. 1973. 748 с.

105. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976, 376 с.

106. Елютин П.В., Кривченков В. Д. Квантовая механика. М. 1976. 336с.

107. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М. Наука. Физматлит. 1998. 232 с.

108. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. Наука. 1987. 600 с.

109. Ермаков С.М. Метод Монте- Карло и смежные вопросы. М. Наука. 1971. 328 с.

110. Соболь И.М. Численные методы Монте- Карло. М. Наука. 1973. 312с.

111. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. УРСС. 2001. 320 с.

112. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М. Наука. 1989. 320с.

113. Калиткин Н. Н. Численные методы. М. Наука. 1978. 512 с.

114. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М. Наука, 1984. 344 с.

115. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. // Под ред. Ю.В. Прохорова. М:. Большая Российская энциклопедия, 1999. 911 с.

116. Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. М. Мир. 1983. 247с.

117. Landau L.D. Das Dampfungsproblem in der Wellenmechanik // Zeit. f. Physik. 1927. Bd.45. S.430-441. См. перевод: Ландау ЛД Собрание трудов. T.l. М. Наука. 1969. 512с.

118. Клышко Д.Н. Основные понятия квантовой физики с операциональной точки зрения //Успехи физических наук. 1998. Т. 168. №9. С. 975-1015.

119. Gerchberg R.W., Saxton W.O. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures // Optik. 1972. V. 35. P.237 -246.

120. Кузнецова Т.И. О фазовой проблеме в оптике // УФН. 1998. Т. 154. вып.4. с.677-690.

121. Bauschke Н. Н., Combettes P. L., and Luke D. R. Phase retrieval, error reduction algorithm, and Fienup variants: A view from convex optimization. J. Opt. Soc. Amer. A, 2002. V.19. Ж7.Р.1334-1345.

122. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М. Наука. 1973.416 с.

123. Тейлор Дж. Теория рассеяния. М. Мир. 1975. 565с.

124. Богданов Ю.И., Кривицкий Л.А., Кулик С.П. Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 78. вып.6. С.804-809.

125. Laiho R, Molotkov S.N., Nazin S.S. Teleportation of the Relativistic Quantum Field // Phys. Lett. A. 2000. V.275. P.36-47

126. Молотков С. H. Простая схема квантовой криптографии на задержках на базе оптоволоконного интерферометра Маха- Цандера // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т.78. Вып.З. С. 194-200.

127. Bogdanov Yu.I., Kulik S.P., Tey M.K. et al Statistical Reconstruction of Qutrits// 2nd Asia-Pacific Workshop on Quantum Information Science, Singapore, National University of Singapore, 15-19 December 2003; LANL Report quant-ph/0312054. 2003. 22 p.

128. КлышкоД.Н. Фотоны и нелинейная оптика. М. Наука. 1980. 256 с.

129. Burlakov A.V., Klyshko D.N., Chekhova M.V., Karabutova O.A., and Kulik S.P. Polarization State of a Biphoton: Quantum Ternary Logic // Phys.Rev A. 1999. V.60. P.4209-4212.

130. Бурлаков A.B., Кривицкий JI.А., Кулик С.П., Масленников Г.А., Чехова М.В. Измерение кутритов // Оптика и спектроскопия. 2003. Т.94. №5. С.744.

131. Кривицкий JI.A., Кулик С.П., Ленин А.Н., Чехова М.В. Бифотоны как трехуровневые системы: преобразование и измерение // ЖЭТФ. 2003. Т. 124. Вып.4(10)

132. Бурлаков А.В., Чехова М.В. Поляризационная оптика бифотонов // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т.75. Вып.8. С. 505-507.

133. Bechmann-Pasquinucci Н., Peres A. Quantum Cryptography with 3-State Systems//Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. №15. P.3313-3316

134. Bechmann- Pascuinucci H., Peres A. Quantum Cryptography with 3-State Systems //Phys. Rev. Lett. 2000. 85. P. 3313-3316.

135. Клышко Д.Н. Поляризация света: эффекты четвертого порядка и поляризационно-сжатые состояния // ЖЭТФ. 1997. Т.111. Вып.6. С. 19551983.

136. James D.F., KwiatP.G., Munro W.J., and White A.G. Measurement of qubits // Phys. Rev. A. 2001. V.64. 052312. 15p.

137. Langford N. K., Dalton R. В., Harvey M. D., O'Brien J\ L., Pryde G. J„ Gilchrist A., Bartlett S.D., and White A. G. Entangled qutrits: production and characterization//LANL Report quant-ph/0312072. 2003. 5 p.

138. Molina-Terriza G., Vaziri A., Rehacek J., Hradil Z. and Zeilinger A. Triggered qutrits for Quantum Communication protocols // LANL Report quant-ph/0401183. 2004. 5 p.

139. Hradil Z. Quantum state estimation // Phys. Rev. A. 1997. V. 55. P. 15611564.

140. Banaszek K. Maximum-likelihood estimation of photon-number distribution from homodyne statistics // Phys. Rev. A 1998. V.57. P.5013-5015

141. Banaszek K., D'Ariano G. M., Paris M. G. A., and Sacchi M. F. Maximum-likelihood estimation of the density matrix // Phys. Rev. A. 2000. V. 61. 010304. 4p.

142. D'Ariano G. M., Paris M. G. A. and Sacchi M. F. Parameters estimation in quantum optics// Phys. Rev. A. 2000. V.62. 023815. 7p.

143. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука. 1984. 590с.

144. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М. Наука. 1982. 608 с.

145. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М. Ред. журнала УФН. 1997. 400 с.

146. Uhlmann A. Fidelity and Concurrence of conjugated states // Phys. Rev. A. 2000. V.62. 032307; LANL Report quant-ph/990-9060. 1999. 10 p.

147. Raginsky M. A fidelity measure for quantum channels // LANL Report quant-ph/0107108. 2001. 14 p.

148. Фейнман Р., Хибс. А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Пер. с англ. Н. ИО НФМИ. 1998. 380 с.

149. Ициксон К., ЗюберЖ.Б. Квантовая теория поля Т. 1,2. М. Мир. 1984.

150. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей. М. Наука. 1972. с.82- 84.

151. Хъюбер 77. Робастность в статистике. М. Мир. 1984. 304 с.

152. Богданов Ю.И. Информация Фишера и непараметрическая аппроксимация плотности распределения // Заводская лаборатория. 1998. Т. 64. №7. С.54 60

153. Frieden B.R. Physics from Fisher Information: A Unification. Cambridge University Press. 1998. 328p.

154. Fano U. Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques// Rev. Mod. Phys. 1957. V. 29. №1. P.74-93.

155. Newton R. G. und Young B. Measurability of the Spin Density Matrix //Ann. Phys. 1968. V.49. №3. P.393-402.

156. Royer A. Measurement of the Wigner Function //Phys. Rev. Lett. 1985. V.55. P.2745-2748.

157. D'Ariano G. M, Paris M. G. A. and Sacchi M. F. Quantum tomography // LANL Report quant-ph/0302028. 2003. 102p

158. Vogel K., Risken H. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase// Phys. Rev. A. 1989. V.40. P.2847-2849.

159. Opatrny Т., Welsch D.-G., and Vogel W. Least-squares inversion for density-matrix reconstruction//LANL Report quant-ph/9703026. 1997. 16p.

160. Айвазян С.А., Бухштабер B.M., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика. 1988. 607с.

161. Благуш П. Факторный анализ с обобщениями. М.: Финансы и статистика. 1989. 248с.

162. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. // Ким Дж.-О., Мъюллер И. У, Клекка У.Р. и др. Пер. с англ. под ред. Енюкова И.С. М.: Финансы и статистика. 1989.215с.

163. Богданов Ю.И., Романов А.А. О выявлении скрытых технологических факторов на основе минимизации энтропии. // Микроэлектроника. 1997. Т.26. №3. С. 176-182.

164. Bennett С.Н., Bernstein H.J., Popescu S., Schumacher В. Concentrating partial entanglement by local operations // Phys. Rev.A. 1996. V.53. P.2046 2052.

165. Collins D., Popescu S. A classical analogue of entanglement // LANL Report quant-ph/0107082. 2001.13p.

166. Weibull W. A statistical theory of the strength of materials // Ingeniors Vetenskaps Akademiens Handlingar. Royal Swedish Institute for Engineering Research. Stockholm. Sweden. № 153. 1939. 45p.

167. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев АД. Математические методы в теории надежности. М. Наука. 1965. 524 с.

168. Барлоу Р., Прошан Ф Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. М. Наука. 1984. 328 с.

169. Yamabe К., Taniguchi К. Time- Dependent Dielectric Breakdown of Thin Thermally Grown Si02 Films // IEEE Transactions on Electron Devices. 1985. V. ED-32. № 2. P. 423-428.

170. Горлов М.И., Строгонов A.B. Геронтология интегральных схем: долговечность оксидных плёнок // Петербургский журнал электроники. 1997. №2. С. 24-36.

171. Lee J.C., Chen I.C., and Ни С. Modeling and Characterization of Gate Oxide Reliability // IEEE Transactions on Electron Devices. 1988. V. 35. № 12. P. 22682278.

172. Богданов Ю.И., Богданова Н.А., Дшхунян B.JI. Статистические модели управления дефектностью и выходом годных в микроэлектронике // Микроэлектроника. 2003. Т.32. №1. С.62-76.

173. Murphy В. Т. Cost Size Optima of Monolithic Integrated Circuits // Proc. IEEE. Dec. 1964. Vol. 52. P. 1537-1545.

174. Seeds R.B. Yield, Economic, and Logistic Models for Complex Digital Arrays // IEEE Int. Conv. Rec. 1967. Pt.6. P. 61 66.

175. Ocabe Т., Nagata M, Shimada S. Analysis of Yield of Integrated Circuits and a New Expression for the Yield // Elec. Eng. Japan. Dec. 1972. Vol. 92. P. 135141.

176. Stapper C.H. Defect Density Distribution for LSI Yield Calculations. // IEEE Trans. Electron Devices. July 1973. Vol. ED-20. P. 655-657.

177. Stapper C.H. LSI Yield Modeling and Process Monitoring // IBM J. Res. Develop. January/March 2000. Vol. 44. № 1/2. P. 112-118. Reprinting from IBM J. Res. Develop. 1976. Vol. 20. № 3.

178. Cunningham J. A. The Use and Evaluation of Yield Models in Integrated Circuit Manufacturing// IEEE Trans, on Semiconductor Manufacturing. May 1990. Vol.3. №2.P. 60-71.

179. Stapper C.H. Statistics Associated with Spatial Fault Simulation Used for Evaluating Integrated Circuit Yield Enhancement // IEEE Trans. Computer-Aided Design. March 1991. Vol. 10. № 3. P. 399-406.

180. Stapper C.H., Rosner R.J. Integrated circuit yield management and yield analysis: Development and implementation // IEEE Trans. Semiconduct. Manufact. May 1995. V.8. P. 95-102.

181. Kuo W., Kim T. An Overview of Manufacturing Yield and Reliability Modeling for Semiconductor Products // Proceedings of the IEEE. Aug. 1999. Vol. 87. №8. P.1329-1345

182. Богданов Ю.И. Влияние кластеризации дефектов на выход годных в рамках модели биномиального компаунд распределения. Всероссийская научно-техническая конференция «Микро- и наноэлектроника-98». Тезисы докладов. Том 2. Звенигород, 1998. Доклад P3-53.

183. Koren /., Singh A.D. Fault Tolerance in VLSI Circuits // Computer, Special Issue on Fault-Tolerant Systems. July 1990. Vol.23. P. 73-83.

184. Koren I., Koren Z. Defect Tolerance in VLSI Circuits: Techniques and Yield Analysis // Proceedings of the IEEE. Sept 1998. Vol. 86. P. 1817-1836.

185. Venkataraman A., Koren /. Determination of yield bounds prior to routing // Proc. of the 1999 IEEE International Symposium on Defect and Fault Tolerance in VLSI Systems. Nov. 1999. P. 4-13.

186. Koren /., Koren Z. Incorporating Yield Enhancement into the Floorplanning Process // IEEE Transactions on Computers. June 2000. Vol. 49. № 6. P. 532-541.

187. Koren I. Should Yield be a Design Objective? // Proc. of the International Symposium on Quality of Electronic Design. March 2000. P. 115-120.

188. Koren I. Tutorial "Yield: Statistical Modeling and Enhancement Techniques" // presented at the Yield Optimization and Test (YOT'Ol) Workshop. Nov. 2001. http://www.ecs.umass.edu/ece/koren/yield/. 05.05.2004.288

189. Богданов Ю.И., Богданова Н.А. Влияние кластеризации дефектов на эффективность кода Хемминга. // Всероссийская научно-техническая конференция "Микро- и наноэлектроника 98". Тезисы докладов. Том 2. Звенигород, 1998. Доклад РЗ-52.

190. Богданов Ю.И., Романов А.А. Контроль дефектности и управление выходом годных в полупроводниковом производстве. // Всероссийская научно-техническая конференция "Микро- и наноэлектроника 98". Тезисы докладов. Том 2. Звенигород, 1998. Доклад РЗ-51.

191. Богданов Ю.И., Минаев В.В., Руднев А.В. Прогнозирование выхода годных и контроль технологических потерь в полупроводниковом производстве. //Известия вузов. Сер. электроника. 2001. №3. с.52-57.

192. Bogdanov Yu.I., Bogdanova N.A., Rudnev A.V. Multilevel Clustering Fault Model for 1С Manufacture. //Proceedings of SPIE. 2004. V.5401. P.683-692. The International Conference "Micro- and nanoelectronics 2003" (ICMNE-2003).

193. Edited by К.A. Valiev, A.A. Orlikovsky; LANL Report physics/0310012. 2003. 10 p.

194. Bogdanov Yu.I., Bogdanova N.A. Statistical Modeling for 1С Manufacture: Hierarchical Approach // The International Conference "Micro- and nanoelectronics 2003" (ICMNE-2003). Abstracts. Moscow - Zvenigorod. October 6Л-10Л, 2003. P2-114.

195. Stapper C.H. Small Area Fault Clusters and Fault - Tolerance in VLSI Circuits// IBM J. Res. Develop. March 1989. Vol. 33. P.174 - 177.

196. Koren I., Koren Z., Stapper C.H. A Unified Negative Binomial Distribution for Yield Analysis of Defect - Tolerant Circuits // IEEE Transactions on Computers. June 1993. Vol. 42. № 6. P.724-734.

197. Koren I., Koren Z., Stapper C.H. A Statistical Study of Defect Maps of Large Area VLSI IC's // IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. June 1994. Vol. 2. № 2. P.249-256.

198. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Пер. с англ. М.: Наука, 1984. т. 1,2.

199. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля. М.: Наука, 1975.408 с.

200. Градштейн КС., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

201. Богданов Ю.И. Анализ вариаций и построение контрольных карт в микроэлектронике // Микроэлектроника. 1995. Т.24. № 6. С. 435-446

202. Руднев А.В. Статистические модели контроля выхода годных и технологических потерь в производстве СБИС. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М. ОАО «Ангстрем». 2003. 120с.

203. Хей Дж. Введение в методы байесовского статистического вывода. М. Финансы и статистика. 1987. 335с.

204. Савчук В.П. Байесовские методы статистического оценивания. Надежность технических объектов. М. Наука. 1989. 328 с.

205. Богданов Ю.И., Дшхунян B.JI. Роль статистических методов в системе качества полупроводникового производства // Тезисы докладов на всероссийской научно технической дистанционной конференции "Электроника". Зеленоград, 19-30 ноября 2001 г., с. 144 - 145.

206. Богданов Ю.И., Дшхунян B.JI., Руднев А.В. Приемочный контроль качества в полупроводниковом производстве // Тезисы докладов на всероссийской научно технической дистанционной конференции "Электроника". Зеленоград, 19-30 ноября 2001 г., с. 146 - 147.

207. Богданов Ю.И., Руднев А.В. Методика статистического приемочного контроля качества в полупроводниковом производстве. // Надежность. 2003. № 3. с. 38-42.

208. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М. Наука. 1980. 512 с.291

209. Айвазян СЛ., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. Справочное издание. М. Финансы и статистика. 1985.487 с.

210. Богданов Ю.И., Богданова НА. Бутстреп, структура данных и управление технологическими процессами в микроэлектронике. // Микроэлектроника. 1997. Т.26. №3. С. 183-187.

211. Efron В. Bootstrap methods: another look at the jackknife. // The Annals of Statistics. 1979. V.7. №1. P.l-26.

212. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. Пер. с англ. под ред. Адлера Ю.П. М. Финансы и статистика. 1988. 264 с.

213. Efron В., Tibshirani R. Statistical Data Analysis in the Computer Age. // Science. 1991. V.253. P. 390-395.

214. Efron В., Tibshirani R. Introduction to the bootstrap. Chapman & Hall. 1993. 436p.1. УТВЕРЖДАЮ

215. Заместитель начальника 22 ЦНИИ1. Актоб использовании результатов диссертационной работы

216. Богданова Юрия Ивановича "Многопараметрические статистические модели в

217. Главный научный сотрудник, .доктор технических наук, профес^^^^^^^^^^^ К.К. Дорошевич Ведущий научный сотрудник,задачах квантовой информатики и микроэлектроникикандидат технических наук1. П.А. Кондратенко

218. УТВЕРЖДАЮ ьного директора ОАО «Ангстрем» В.Д. Мещанов 2004 г.1. Актоб использовании результатов диссертационной работы Богданова Юрия Ивановича "Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики и микроэлектроники "

219. Зам. директора завода «Ангстрем»по техническим вопросам^^^^^и^^ Л.В. Лысак

220. Начальник отдела №546 'sf Н.А. Куварзин