Методы качественного исследования гамильтоновых систем, близких к интегрируемым тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Трещев, Дмитрий Валерьевич

• Трещев, Дмитрий Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 1992

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Трещев, Дмитрий Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

С1ЖСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА I. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торичес-ким пространством положений,

§ I. Постановка задачи. Критерий интегрируемости.

§2. Вековое множество и его структура.

§ 3. Доказательство теорем о неинтегрируемости.

§ 4. Некоторые обобщения.

ГЛАВА II. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием.

§ I. Строение интегрируемых систем,

§ 2. Необходимые условия интегрируемости,

§ 3. Теория возмущений.

ГЛАВА III. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды.

§ I. Числа Ковалевской,

§ 2. Обобщенные цепочки Тоды.

§ 3. Основные результаты.

§ 4. Доказательство теоремы 3,1.

§ 5. Однозначные решения и полиномиальные интегралы.

ГЛАВА IV. О сохранении инвариантных многообразии гамильтоновых систем при возмущении.

§ I. Теорема о продолжаемости.

§ 2, Доказательство теоремы о продолжаемости.

§ 3, Некоторые приложения.

ГЛАВА V, Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем,

§ I. Резонансные торы и теория KAM.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы качественного исследования гамильтоновых систем, близких к интегрируемым»

Рад задач математики, механики и физики сводится к исследованию гамильтоновых систем - дифференциальных уравнений вида

Д "дН А Ц± п где > ^ = * ~ локальные координаты на фазовом пространстве, Н X)-гладкая функция - функция Гамильтона.

Вид уравнений (1) сохраняется только при некотором специальном классе замен переменных - при канонических (симплектических) заменах. В связи с этим полезно иметь в виду инвариантное (не апеллирующее к локальным координатам) представление уравнений (1) , А именно, гамильтоновой системой часто называют тройку

М,и>,Н), (2) где - четномерное гладкое многообразие - фазовое пространство; (л) - замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на М симплектическая структура; Н • М — гладкая функция Гамильтона, Уравнения движения имеют вид

2 = $$кх<Лн(2) > 2 ем , (3) где векторное поле $<рйс| Н удовлетворяет равенству в левой и правой частях которого стоят 1-формы.

В силу теоремы Дарбу в окрестности любой точки на М существуют локальные координаты >X) , в которых форма Ы равна А о!х , Такие координаты называются каноническими (симплекти-ческими). Несложно проверить, что в канонических координатах уравнения (3) принимают вид (1) .

Гамильтоновы уравнения часто определяют с помощью скобки Пуассона - структуры, в определенном смысле двойственной к симплекти-ческой. Напомним, что скобкой Пуассона называется билинейная ко-сосимметрическая опершая { , } ^ С0°°—С°° , удовлетворяющая правилу Лейбница, тождеству Якоби и некоторому свойству невырожденности [б] . Здесь С°° - пространство функций, гладких (дифференцируемых бесконечное число раз) на М. Всегда в дальнейшем мы будем считать первичной симплектическую структуру, а скобку Пуассона будем задавать формулой

Г, = О)Ь).

Б канонических координатах (у > ЭС) имеем:

Говорят, что функции р , (а находятся в инволюции, если

Среди всех гамильтоновых систем выделяются системы, обладающие свойством интегрируемости. Существует довольно много различных определений интегрируемости причем большинство систем удовлетворяют (или не удовлетворяют) одновременно всем определениям интегрируемости, которые для них имеют смысл. Мы в дальнейшем будем пользоваться различными вариантами определения: интегрируемости по Лиувиллю, которое требует наличия на М полного набора (в количестве почти всюду независимых инволютивных первых интегралов.

В силу теоремы Лиувилля любой компактный некритический совместный уровень интегралов интегрируемой системы является несвязным объединением некоторого количества -мерных инвариантных торов, причем решения системы обматывают эти торы условно-периодическим образом[7], Следовательно, локально (в окрестности любого компактного некритического уровня первых интегралов) фазовое пространство интегрируемой системы расслаивается на лиувиллевы торы, на которых происходит условно-периодическое движение. Отметим, что глобальное исследование топологической структуры интегрируемых гамильтоновых систем является сложной, и содержательной задачей, более или менее решенной лишь в случае > >

В окрестности лиувиллева тора интегрируемой системы (2.) можно ввести координаты типа действие - угол такие, что ц; = с11лЛу и Н~Н(1)Лэтом переменные I являются первыми интегралами, "нумерующими" лиувиллевы торы, а углы у являются координатами на этих торах. Уравнения движения в координатах 1У легко решаются и решения имеют вид

Итак, интегрируемые системы устроены относительно просто. Однако, уже А.Пуанкаре было известно, что интегрируемость является редким исключением из общего правила, ] . Траектории неин-тегрируемых систем ведут себя довольно сложным образом. В частности, характерным свойством таких траекторий является, так называемая, стохастичность, то есть, нерегулярность поведения. В ряде случаев это приводит к необходимости использования в качестве наиболее адекватного аппарата исследования таких систем теории вероятности, [ЦБ935, 2].

Задача исследования произвольной неинтегрируемой системы без использования ЭВМ представляется необозримой. Тем не менее, есть класс систем, поддающихся довольно подробному анализу. Это - системы, близкие к интегрируемым.

Рассмотрим гамильтонову систему

1>*Тт, Цл<*х , Нц>х,£)) , (4) где J)dJJm - область значений переменных у ^Г — ГЛ.-мерный тор [ОС = и гамильтониан Н имеет вид

H = H.ty)+£HtC%,xA) . (5)

При нулевом значении малого параметра £ система интегрируема и переменные ^ , ОС являются для нее переменными типа действие-угол.

Гамильтоновы системы вида (4)¿(5) естественно назвать близкими к интегрируемым. При ненулевых значениях параметра £ интегрируемость, как правило, теряется, , однако системы(4^(5) поддаются исследованию различными методами теории возмущений. Этим обстоятельством и распространенностью таких систем в приложениях объясняется большой интерес, проявляемый к ним. Достаточно напомнить, что А.Пуанкаре назвал озадачу изучения систем (4)>(5) основной задачей динамики.

Настоящая диссертация непосредственно связана с решением этой задачи. Основное содержание диссертации условно можно разбить на две части. Первая часть (главы I - III) посвящена проблеме интегрируемости систем вида (5). При определенных ограничениях на вид функций Нв ) Н^ удается получить классификацию интегрируемых случаев. Результаты первой части получены автором совместно с В.В.Козловым [¿0-32] . Во второй части (главы IV - VI) исследуются задачи, связанные с существованием и свойствами инвариантных многообразий гамильтоновых систем, К таким многообразиям относятся, в частности, инвариантные торы, а также поверхности, асимптотические к ним. Результаты, содержащиеся в главах IV-VI получены автором в статьях [ 6i ь 62] ,

Перейдем к более подробному обсуждению содержания диссертации.

В первой главе рассматривается система (4) Д 5) упричем предполагается, что Н0 - положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами

- тригонометрический полином. При этом функция Нв играет роль кинетической энергии, а ¿Н^ - роль потенциала. Функция Н^ имеет вид

НЛХ)=^Н1еит'Х> (?)

1 г<аШ 1 > где скобками < > У обозначено стандартное скалярное произведение в ¡Цт* а множество Й(1с2 , очевидно, конечно и инвариантно относительно инволюции —— Т" .

Системы такого вида часто встречаются в приложениях. Например, , ) = < ,> (т.е. = получаем классический вариант системы Гросс-Невё, хорошо известной в теоретической физике.

Назовем рассматриваемую систему интегрируемой по Пуанкаре, если найдется 171 первых интегралов в виде степенных рядов коэффициенты которых - аналитические функции на К?**1 X * II ^ причем

Г-а) г-сиг) функции гв } у Ге почти всюду независимы.

Положим £ =: 1 и рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом Н0+ ¡-¡^ , Эта система называется интегрируемой по Биркгофу, если найдется полный набор (в количестве № ) полиномиальных интегралов по импульсам с аналитическими и 27Г-периодическими по ОС^ ОС коэффициентами, причем их старшие однородные формы почти всюду независимы.

Можно показать, что система с гамильтонианом + интегрируема по Биркгофу тогда и только тогда, когда система с гамильтонианом Не + £ Н^ интегрируема по Пуанкаре. Основным результатом главы I является

Теорема 1.1. Гамильтонова система с гамильтонианом Н^^ёН^ (6) (.*?) интегрируема по Пуанкаре (по Биркгофу) тогда и только тогда, когда точки множества расположены на о( ^ Ш. прямых, ортогонально в метрике ( > ) пересекающихся в начале координат.

Следствие. При Щ > 2. система Гросс-Невё неинтегрируема по Пуанкаре (по Биркгофу),

Из теоремы 1.1 также следует, что рассматриваемая система интегрируема по Пуанкаре (Биркгофу) тогда и только тогда, когда в некоторых канонических координатах ОС КУ^ЙГ) ? получающихся из координат (^>Х М0б(<2.ТГ) с помощью линейной замены, гамильтониан /-/ имеет вид ^ то есть переменные разделяются.

Доказательство теоремы 1.1 опирается на классическую схему теории возмущений и является развитием идей А.Пуанкаре [ 51 гл.у] . При этом, в сущности, используются следующие соображения. I, Пусть функции ($) являются первыми интегралами нашей системы. ю переменных у , следуя Пуанкаре I т

Тогда функции не зависят от утловых переменных X )

2. В пространстве переменных Ц , следуя Пуанкаре [51] , можно о построить вековое множество первого порядка о^ к , соответствующее множеству инвариантных торов {(^Х); невозмущенной системы, разрушающихся в первом приближении по £ На множестве ¿у функции г0 (у), го (Ч) оказываются зависимыми.

3. Если бы множество ^ было устроено достаточно сложно, то вековое множество было бы так велико, что аналитические функции г-И) зависимые на . должны были бы быть зависимы

О 1 6 ' * ' ми всюду. В нашем случае )SfL - конечно и, следовательно, ß^ довольно тощее множество. Поэтому В.В.Козлов предложил рассмотреть вековые множества более высоких порядков ^Д,. соответствующие торам, разрушающимся во втором, третьем и т.д. порядках по г: ^ / малому параметру. На этих множествах функции г^ } также оказываются зависимыми.

4, Чтобы оценить величину векового множества ß=U ß» . пришлось к>Л * 5 проанализировать классическую схему теории возмущений до конца (во всех порядках по £ ) , что до сих пор, по-видимому, никому не удавалось сделать.Оказалось, что если множество ¡Oft устроено не так, как предписано в теореме I.I, то рассматриваемая система не может обладать первыми интегралами ($) , независимыми при L—0 , в силу свойств множества В> .

Объектом исследования второй главы являются гамильтоновы системы (1) с фазовым пространством ft^lljjv*)-- gefi"^«"1} и гамильтонианом вида

H--TW , {g)

V = Z. V^.x», где ХГ» - отличные от нуля вещественные числа, (X, - ненулевые векторы из

Такие системы называются обобщенными цепочками Тоды. В частности, в случае

5-1 имеем периодическую цепочку Тоды. Интегрируемость периодической цепочки Тоды в случае /72-3 была установлена М.Эно [79] в результате численных экспериментов. Затем Г.Флашка [7^] и О.В.Манаков [¿¿] получили соответствующий строгий результат, а также показали, что периодическая цепочка Тоды интегрируема по Лиувиллю для любого . Эти работы положили начало деятельности, связанной -с поиском среди обобщенных цепочек Тоды интегрируемых. Усилиями ряда авторов [69 60,№,67] было найдено большое количество интегрируемых случаев, но задача о полной классификации интегрируемых обобщенных цепочек Тоды была решена лишь в работе , которая составляет основу второй главы.

Назовем систему (£) > ( 9) интегрируемой по Биркгофу, если она имеет /71 полиномиальных по импульсам у интегралов, коэффициенты которых являются конечными суммами экспонент причем требуется, чтобы старшие, однородные по ^ формы этих интегралов были почти всюду независимыми (как функции на 1?2т) в

Отметим, что все известные интегрируемые цепочки Тоды являются интегрируемыми по Биркгофу. Множество ни.« К>-> назовем спектром системы (1)) (9). Вектор из $1 назовем максимальным, если он имеет наибольшую длину среди всех векторов одинаково направленных с ним.

Теорема 2.1. Предположим, что гамильтонова система (4)Д9) интегрируема по Биркгофу. Пусть максимальный вектор из и вектор (X. £ линейно независим с СХ^ . Тогда

Уб-гМо,-!,-^-}.

Следствие. Если система интегрируема по Биркгофу, то угол между любыми двумя векторами из ХЩ равен одному из следующих'. О,Т/2,

27Г/3 > УК/Ч > 5ТГ/6 , Т .

Используя теорему 2,1, молено получить классификацию интегрируемых по Биркгофу обобщенных цепочек Тоды. Оказывается, что любой интегрируемой цепочке Тоды можно сопоставить схему Дынкина. Схема Дынкина представляет собой оснащенный граф - набор вершин, некоторые пары которых соединены одним, двумя, тремя или четырьмя ребрами, причем каждой вершине приписано положительное число. Вершины в схеме Дынкина обозначают векторы множества ш ; количество ребер, соединяющих две вершины, равно Ц , где (р - угол между соответствующими векторами; числа над вершинами обозначают квадраты длин векторов. В частности, если пара вершин не соединена ребром, то угол у = > если пара вершин соединена четырьмя ребрами, то в дальнейшем будем считать, что . Примем во внимание следующие обстоятельства, а. Свойство интегрируемости обобщенной цепочки Тоды сохраняется при домножении всех векторов спектра на одно и то же положительное число, так что схемы Дынкина интегрируемых цепочек определены с точностью до пропорциональности чисел, приписанных вершинам, б. Если множество ЮЯ расположено на прямой, проходящей через начало координат, то соответствующая: система (1) , ) интегрируема по Биркгофу. в. Если множество ж разбивается на два подмножества таких, что любой вектор множества ¿3(1 перпендикулярен (в метрике < > >) любому вектору множества » то интегрируемость системы (1) >(9) со спектром: равносильна интегрируемости двух систем со спектрами и

Ид соответственно. г. Если система со спектром интегрируема, то любая система со спектром XI СГ Ж1 также оказывается интегрируемой, йнтегрируемая по Биркгофу обобщенная цепочка Тоды, теряющая свойство интегрируемости при добавлении к ее спектру любого вектора, не ортогонального спектру, называется полной.

Из пункта в. следует, что достаточно рассматривать множества , не распадающиеся на два ортогональные друг другу подмножества. Соответствующие обобщенные цепочки Тоды назовем неприводимыми.

Теорема 2.2. Спектр интегрируемой по Биркгофу полной неприводимой обобщенной цепочки Тоды либо расположен на одной прямой, проходящей через начало координат, либо задается схемой Дынкина типа а) - л). о—о----о—о а) 1 и

17

Л * -О-

-о I о к

У)

11111 о— о—о—о—о и о—о —о—о—о—о—о к г)

11112. о—о=го—о —о ж)

X / к)

I {{ I I I I I

О—О—о —о—о— о—о—о 1

8)

2 А

V и г /У,

О -- О—О^ чу!

Л)

11111 о—о—о=о—о в) 1 рис.4.

Теорема 2,2 дает лишь необходимое условие интегрируемости. Однако об интегрируемости цепочек, отвечающих схемам а) - л) известно довольно много. В случаях а) - ж) интегрируемость установлена в работах [69, «б]. Система со схемой Дынкина и) проинтегрирована Скляниным [¿6], Цепочка, соответствующая графу к) является новой. Ее интегрируемость установлена в статье [3{] (ем. также главу П)ф Функция Гамильтона цепочки со схемой Дынкина з) в подходящих канонических переменных имеет вид т , т-1 и н = I г. <£ + £ ехр(хг х5+1) + ехр (- Х2) +

Если или ^ То полная интегрируемость этой системы установлена в работах [69,66]. В общем случае, когда Ы^ФО вопрос о ее интегрируемости остается открытым. Ответ на него, по-видимому, положительный. Цепочка, отвечающая схеме л), по-видимому, неинтегрируема. В работах [6^,66] проинтегрированы "усеченные"варианты этой системы, отвечающие схемам

I * ь ъ 3 1 о-о о о--О -О

Эти схемы получаются из л) отбрасыванием двух вершин.

Доказательство теоремы 2.1 опирается на анализ векового множества и аналогично доказательству теоремы 1.1. Доказательство теоремы 2.2 использует сведения из теории корневых систем

Перейдем к обеувдению результатов третьей главы.

Для отыскания новых интегрируемых задач механики и теоретической физики широко используется метод Ковалевской [2^], Он состоит в поиске полнопараметрических семейств мероморфных решений и опирается на следующий экспериментальный факт: системы, обладающие большим количеством таких семейств, как правило, оказываются интегрируемыми [67? 70) & 2,1],

С этой точки зрения в третьей главе исследуются гамильтоновы системы (i), (9) . Систему назовем обобщенной цепочкой

Тоды, если выполнены следующие условия: векторы Ötj>.>таковы, что любая их подсистема из YK векторов линейно независима и ^ = ^ > г,13;е все Р$ > ^ *

1)векторы ötj,,., группируются в семейства (S-i, .^ttl+i) такие, что каждый вектор Ötj из F^ имеет одинаковое направление с а, и 1а.к/а$|;

Iii) Vs^O для всех 5 =

Отметим, что обобщенные цепочки Тоды в главе III понимаются в более узком смысле, чем в главе II.

Рассмотрим задачу об условиях существования у обобщенной цепочки Тоды fc различных семейств формально мероморфных решений вида Alse€ , lM*o, М >о, коэффициенты которых зависят от 2.W.-1 "свободных" параметров. Константа fc называется числом Ковалевской рассматриваемой системы,

Числа Ковалевской можно определить для широкого класса систем дифференциальных уравнений. В частности, для системы из /1 полиномиальных автономных обыкновенных дифференциальных уравнений

2 = -fU) , г € €п числом Ковалевской называется количество различных (/I - i) -параметрических формально мероморфных решений nb-fic^, с,е€\ t сн*о.

5 -~fn

В третьей главе получены следующие результаты. Теорема 3.1. Нерезво ЬЛ „ То ТоГда и Только тогда, когда существует множество I С [i)2.> . Ш-+1J % состоящее из элементов такое, что:

1) для любого индекса множество либо пусто, либо содержит единственный вектор && /£ ^

2) для любых 5^1 и 4 < 1 £ выполняются соотношения а5.а5>

Следствие, к $ + .

Рассмотрим более подробно обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным числом Ковалевской (& - №.+ 1). В этом случае условия (I) и (2) теоремы 3.1 принимают следующий вид:

1) для любого £ 4171+1 множество \ либо пусто, либо состоит из одного вектора <2¿/2. .

2) для любых двух линейно независимых векторов и <Х, { $ $ ^ 171+ 1 ? выполняется соотношение ( Ю) .

Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с числом Ковалевской ¡71+1 . Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (9) нельзя добавить экспоненциальное слагаемое цехр<?>х>, Уо, и^лО, не нарушая условий ¿) - Ш) > а также условий (Г) , (2) теоремы ЗД при & = Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой {(-/71+1. получается из некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида ? 1 £ Ь 4 №■ +1 .

Пусть 171=1. Тогда, согласно теореме 3.1, набор векторов [би} полной одномерной цепочки Тоды с максимальным числом Ковалевской к- 2. совпадает с одним из трех множеств

1}-2/и,2/1 ; 2) -уи.у" ,2/. • ЗМ/.,-Д/( ; ум>0.

Случаи 2) и 3) можно не различать, так как после канонической замены ОС —» - ЭС > ^ *" у соответствующие гамильтонианы переходят друг в друга.

Теорема 3.2. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом Ковалевской & = + Если , то схема Дынкина системы векторов изоморфна одной из следующих схем: 1

11 1 о—о-¿1

О I

О-О1 1

Л * / с1 с1 о—о—о—о—о

17

I/ о! а)

1111(1 о— о— о—<|>—о—о

1) I I

О--О— г а

-о—-О-о о2 , 12 2 о— ои

I г N

3> г-)

I I ч о ч

111111

-о-о-С-о—о—о

11 I сI

-о2 о

2 2 -о—о ъс г 2 2/| и) ж

Чг *> I оI о-Л) Ь 3

05

Ж) рмс. 1 .

Классификация обобщенных цепочек Тоды с максимальным числом Ковалевской оказывается почти совпадающей с классификацией цепочек, удовлетворяющих необходимым условиям интегрируемости по Биркгофу главы II. Действительно, отличие состоит лишь в том, что схема л) главы II заменена в главе III на две схемы л) и м), соответствующие, между прочим, интегрируемым цепочкам. Таким образом, все цепочки, удовлетворяющие теореме 3.2, интегрируемы по Биркгофу за исключением случая з) , в котором вопрос об интегрируемости пока остается открытым.

В третьей главе рассмотрен также вопрос об условиях однозначности решений системы ({) ^ (9) в плоскости комплексного времени. При этом используется метод Ляпунова, основанный на рассмотрении уравнений в вариациях,[37]. Оказалось, что необходимое условие однозначности общего решения при комплексных имеет вид

ЧжЧпг ^ •

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Трещев, Дмитрий Валерьевич, 1992 год

1. Абловиц M. , Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М. : Мир, 1987.

2. Алексеев В. М. Квазислучайные динамические системы I, II, III // Матем. сб. 1968. Т. 76. Вып. 1, С. 72-134; 1968. Т. 77. Вып. 4. С. 545-601; 1969. Т. 78. Вып. 1. С. 3-50.

3. Арнольд R iL Доказательство теоремы А. й Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УЖ 1963. Т. 18. Вып. 5. С. 13-40.

4. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УЖ 1963. Т. 18. Вып. 6. С. 91-192,

5. Арнольд В. И. 0 неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т. 156. Вып.1. С. 9-12.

6. Арнольд В. й. , Козлов В. В. , Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)". М. , 1985.

7. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1989.

8. Бибиков Ю. Н. Усиление одной теоремы Мозера /./ ДАН СССР. 1973. Т. 213. Вып. 4. С. 766-769.

9. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.-Л. : Гостехиздат. 1941.

10. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М, : Наука. 1980.

11. Болотин C.B. Условие интегрируемости по Лиувиллю гамильтоно-вых систем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. , мех. 1986. Вып. 3. С. 58-64.

12. Болотин С. В. Двоякоасимптотические к инвариантным торам движения в теории возмущений гамильтоновых систем // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 497-501.

13. Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УЖ 1990. Т. 45. Вып. 2.С. 49-78.

14. Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев: Науч. -техн. изд. Украины. 1934.

15. Бурбаки Е Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука. 1966.

16. Бурбаки Е Группы и алгебры Ли. М.: Мир. 1972.

17. Гальперин Г. А. , Земляков А. Е Математические бильярды. М.: Наука. 1990.

18. Гийемин В. , Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир. 1981.

19. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки: Сб. , посвященный памяти С. В. Ковалевской. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1940.

20. Дубровин Б. А. 5 Новиков С. П. , Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979.

21. Дубровин Б, А. , Новиков С, Е , Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. М.: Наука. 1984.

22. Журавлев В. Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями /./ БММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 781-788.

23. Иванов А. Е , Маркеев А. Е О динамике систем с односторонними связями /./ ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 632-636.

24. Ковалевская с. В. Научные работы. М.: Изд-во АН СССР. 1948.

25. Козлов В. В. О несуществовании аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. , мех. 1974. Вып. 2. С. 77-82.

26. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМЕ 1983. Т. 38. Вып. 1. С. 3-67.

27. Козлов В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // УМЕ 1986. Т. 41. Вып. 5. С. 177-178.

28. Козлов В. В. К теории возмущений гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными поверхностями // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1988. Вып. 2. С. 55-61.

29. Козлов В. В. О группах симметрий динамических систем // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 4. С. 531-541.

30. Козлов В. В. , Трещев Д. В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений // Матем. сб. 1988. Т. 135(177). Вып. 1. С. 119-138.

31. Козлов RR, Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоно-вых систем с экспоненциальным взаимодействием // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1989. Т. 53. Вып. 3. С. 537-556.

32. Козлов В. В. , Трещев Д. В. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды // Матем. заметки. 1989. Т. 46. Вып. 5. С. 17-28.

33. Козлов В. В. , Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ. 1991.

34. Колмогоров А, Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98. Вып. 4. С. 527-530.

35. Корнфельд И. IL , Синай Я. Г. , Фомин С. В. Эргодическая теория. М, : Наука. 1980.

36. Лазуткин В. Ф, Расщепление сепаратрис стандартного отображения Чирикова / Деп. ВИНИТИ 6372-84 от 24. IX. 1984.

37. Ляпунов А. М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Собр. соч. М. : Изд-во АН СССР. 1954. Т. 1. С. 402-417.

38. Манаков С. В. О полной интегрируемости и стохаетивации в дискретных динамических системах // ЖЗТФ. 1974. Т. 67. Вып. 2. С. 543-555.

39. Марке ев А. П. О качественном анализе систем с идеальной неу-держивающей связью // ПММ, 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 867-872.

40. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. моек. мат. о-ва. 1963. Т. 12. С. 3-52.

41. Мельников В. К. о некоторых случаях сохранения условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1965, Т. 165. Вып. 6. С. 1245-1248.

42. Мельников В. К. Об одном семействе условно-периодических решений системы Гамильтона // ДАН СССР. 1968. Т. 181. Вып. 3. С. 546-549.

43. Мозер Ю. Лемма о гиперболических неподвижных точках диффеоморфизмов // УМН. 1974. Т. 29. Вып. 2. 228-232.

44. Мозер Ю. О разложении условно-периодических решений в сходящиеся степенные ряды // УЖ 1969. Т. 24. Вып. 2. С. 165-211.

45. Нейштадт А. И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой .// ПММ. 1984. Т. 48. ВЫП. 2. С. 197-204.

46. Нейштадт А. И. Скачки адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису и происхождение люка Кирквуда 3:1 // ДАН СССР.1987. Т. 295. Вып. 1. С. 47-50.

47. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

48. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Цепочка Тоды. / Препринт 111. М.: ИТЭФ. 1983.

49. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука. 1990.

50. Пидкуйко С. И. , Отепин А. М. Полиномиальные интегралы Гамильто-новых систем // ДАН СССР. 1978. Т. 239. Вып. 1. С. 50-51.

51. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. 1-3. В кн.: Избр. труды. Т. 1-2. М.: Наука. 1971-1972.

52. Пуанкаре А. О задаче трех тел и об уравнениях динамики // Избранные труды. Т. 2. М.: Наука. 1972.

53. Рашевский IL К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М. ,* Наука. 1967.

54. Рыбникова Т. А. , Булатская Т. Ф. , Родников L В. О стабилизации вращения гелиоцентрического спутника с солнечным парусом // Космич. исслед. 1988. Т. 26. С. 625.

55. Рыбникова Т. А. , Трещев Д. В. Существование инвариантных торов в задаче о движении спутника с солнечным парусом // Космич. исслед. 1990. Т. 28. С. 309-312.

56. Степин А. М. Интегрируемые гамильтоновы системы // Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. Киев; Ин-т математики АН УССР. 1981. С. 116-143.

57. Серр Ж. -П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир. 1969.

58. Суслов Г. К. Теоретическая механика. Гостехиздат. 1944.

59. Тода М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир. 1984.

60. Трещев Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. М.: Изд-во МГУ. 1986. С. 121-127.

61. Трещев Д. В. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоно-вых систем // Матем. сб. 1989. Т. 180. Вып. 10. С. 1325-1346. ,

62. Трещев Д. В. О сохранении инвариантных многообразий гамильто-новых систем при возмущении // Матем. заметки. 1991. Т. 50. Вып. 3. С. 123-131.- 20-7

63. Трофимов ЕЕ,. Фоменко А. Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // УЖ 1984. Т. 39. Вып. 2. С. 3-56.

64. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. Е , Л.: Гостехиздат. 1941.

65. Уиттекер Е. Т. , Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 1. М.: Физматгиз. 1963.

66. Adler М. , van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves // Adv. Math. 1980. V. 38. P.267.317.

67. Adler M. , van Moerbeke P. Kowalewski's asymptotic method, Kac-Moody Lie algebras and regularization /./ Comrnun. Math. Phys. 1982. V. 83. P. 83-106.

68. Birkgoff G. D. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Aoad. Sci, USA. 1931. V. 17. P. 656-660.

69. Bogoyavlensky 0. I. On perturbations of the periodic Toda lattices // Commun. Math. Phys. 1976. V. 51. P. 201-209.

70. Bountis T. , Segur H. , Vivaldi F. Integrable Hami1tonian systems .and the Painleve property ././ Phys. Rev. A. General Physics. 1982. V. 25. no. 3. P. 1257-1264.

71. Calogero F. Exactly solvable one-dimensional many body problems // Letters al Nuovo Cimento. 1975. V. 13. no. 11. P. 411-416.

72. Chang Y. F. , Greene J. M. , Tabor M. , Weiss J. The analitic structure of dynamical systems and self-similar- natural boundaries // Phys. D. 1983. V. 8. no. 1. P. 183-207.

73. Dieudonne J. Treatise of analysis. New York: Academic Press. 1969.

74. Douady R. Une demonstration directe de Гecvivalence des theorernes de tores invariants pour diffeomorphismes et champs de vecteures // c. r. Acad. sci. Paris A. 1982. no. 295. P. 201.

75. Flashka H. The Toda lattice. 1. Existence of integrals // Phys. Rev. 1974. V. 9. P. 1924-1925.

76. Graff S. M. On the conservation of hyperbolic tory for Hami 1 tonian systems // J. Differ. Equat. 1974. V. 15. no. 1. P. 1-69.

77. Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. New York- Academic Press. 1978.

78. Holmes P. J. , Marsden J. E. Melnikov's method and Arnold diffusion for perturbations of integrable Hamiltonian systems //J. Math. Phys. V. 23. 1982. no. 4. P. 669-675.

79. Henon M. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. 1974. V. 9. P. 1921-1923.

80. Kostant B. The solution of a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. 1979, V. 34. P. 195-338,

81. Kozlov V. V. s Treshchev D. V,' Billiards. A genetio introduction to the dynamics of systems with impacts, Arner. Kfoth. Soc. Translations of Mathematical Monographs V.89. 1991.

82. Lazutkin V, F, , Schachmanski LG, , Tabanov M. B. Splitting of separatrices for standard and semistandard mappings // Phys, D. 1989, V. 40, P, 235-248.

83. Moser j. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Adv. Math, 1975. V. 16, P. 197-220.

84. Olshanetsky M, , Perelomov A. Explicit solutions of classical generalized Toda models // Invent. Math. 1979, V. 54. no. 3. P, 261-269.

85. Salamon D, , Zehnder E. KAM theory in configuration space // Comment, Math. Helv. 1989, V. 64. no. 1. P, 84-132,

86. Sklyanin E, K. Boundary conditions for integrable quantum systems. Preprints / LOMI, L. 1986.

87. Takens F. A C1counterexample to Moser's twist theorem // Indag. Math. V. 33, no, 4, 1971. P. 379-386,

88. Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. 1,11 // Cel. Mech. 1983, V. 31. no. 4, P. 363-379;, P. 381-399.

89. Wiggins S. Global bifurcations and chaos. Analitical methods Applied Mathematical Sciences. N. Y. -Berlin. Springer-Verlag. 1988.

90. Zehnder E. An implicit function theorem for small divisor problems // Bull. Amer, Math. Soc. 1974, V, 80, no. 1. P. 174-179,

91. Zehnder F. Generalised implicit function theorems with ■implications to some small divisor problems 1,11 /7 Coinm. Pure AppL Math. 1975. V. 28. no. 1. P. 91-140. ; 1976. V. 29. no. 1. P. 49-111.Основные результаты диссертации.

92. Найден критерий полной интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений,, биинвариантной кинетической" энергией и малым потенциалом в виде тригонометрического полинома". •

93. Получена полная классификация "интегрируемых систем с экспоненциальным взаимодействием обобщенных цепочек Тоды.;

94. Для аналитической системы" .дифференциальных уравнений введен новый инвариант число Ковалевской. Показано, что числа Ковалевской .интегрируемых обобщенных цепочек Тоды максимальны.

95. Найдены условия сохранения инвариантных многообразий гамиль-тоновой системы при возмущении системы.