Методика моделирования процессов сложной физической природы в нефтегазовой отрасли с привлечением средств компьютерной алгебры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Арсеньев-Образцов, Сергей Сергеевич

• Арсеньев-Образцов, Сергей Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат технических наук Арсеньев-Образцов, Сергей Сергеевич

Введение

1 Компьютерная алгебра и разработка программных комплексов численного моделирования

1.1 Применение систем компьютерной алгебры в задачах МКЭ

1.2 Разработка интерфейс-преобразователя.

1.3 Метод взвешенных невязок и альтернативные интегральные формы.

1.4 Примеры постановки и решения сложно-сопряженных задач

2 Автоматическое порождение текстов программ

2.1 Основные определяющие соотношения, модели сред.

2.2 Функциональные зависимости теории пластичности.

2.3 Схема построения тангенциальной матрицы жесткости.

2.4 Стратегия символьных преобразований.

2.5 Замечания по процедурам символьной генерации программ.

3 Объектно-ориентированное структурирование МКЭ

3.1 Требования к программным комплексам МКЭ.

3.1.1 Вычислительные требования.

3.1.2 Требования к структуре программы.

3.1.3 Требования к виду шаблона системы МКЭ.

3.2 Представление структуры метода конечных элементов.

3.3 Объектно-ориентированное программирование МКЭ.

3.4 Классы в МКЭ.

3.4.1 Структура классов.

3.5 Требования, предъявляемые к OOFEM.

3.6 Классы метода конечных элементов.

3.6.1 Методы.

3.6.2 Класс Node и его основные методы.

3.6.3 Класс Element и его основные методы.

3.6.4 Класс Material и его основные методы.

3.6.5 Класс (свойств) Property и его основные методы.

3.7 Схема хранения модели.

3.7.1 Класс List (связанные списки).

3.7.2 Применение связанных списков.

3.8 Алгебраические классы.

3.9 Пример применения шаблона.

3.9.1 Ввод модели.

3.9.2 Генерация модели.

3.9.3 Формирование глобальной системы уравнений.

3.9.4 Решение глобальной системы уравнений.

3.9.5 Обработка результатов.

3.10 Линейные и нелинейные модели. Динамические задачи.

Основные результаты и рекомендации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика моделирования процессов сложной физической природы в нефтегазовой отрасли с привлечением средств компьютерной алгебры»

Объект исследования и актуальность темы. Развитие нефтяной и газовой промышленности на современном этапе характеризуется снижением эффективности разработки нефтяных месторождений. В первую очередь это связано с ухудшением структуры запасов нефти и вводом в разработку месторождений с осложненными коллекторами и физико-химическими свойствами нефтей. Особенностями этих месторождений является много-пластовость, зональная и послойная неоднородность, критические термобарические условия, высокое содержание парафино-смоло-асфальтеновых компонентов и другие.

Аномальные свойства нефтей и коллекторов усиливают неоднородность проницаемости пластов, ухудшают показатели эксплуатации скважин, уменьшают их продуктивность, влияют на выбор систем размещения и плотности сетки скважин.

В указанных условиях важнейшей задачей является повышение текущей и конечной нефтеотдачи. При этом для прогноза и изучения возможных осложнений в процессе разработки проектировщикам и разработчикам необходимо иметь достаточно общую и просто настраиваемую на конкретные характеристики залежи и насыщающих флюидов вычислительную модель /1/, позволяющую оценить результаты применения различных физико-химических способов повышения нефтеотдачи пластов, или набор инструментальных средств, дающих возможность быстро и эффективно разрабатывать новые вычислительные модели по заданным математическим.

Несмотря на значительное количество теоретических работ в области построения математических моделей процесса разработки нефтяных месторождений они имеют общий недостаток - отсутствие универсальности. Создано большое количество различных коммерческих программ, используемых для моделирования отдельных эффектов процесса разработки, но они не являются достаточно гибкими и их сложно, если вообще возможно, перестроить для учета влияния других физико-химических факторов.

К решению этой проблемы можно подойти на основе исследования всей технологической цепочки разработки программного продукта для моделирования конкретных предметных областей, начиная с построения математической модели и кончая сопровождением программного обеспечения. При этом узкие места, требующие большого объема аналитических преобразований, можно расшить средствами компьютерной алгебры, что позволит существенно сократить цикл разработки программных продуктов, повысить их эффективность, качество и адекватность моделируемому объекту.

Это даст возможность быстро разрабатывать программные системы моделирования использования новых технологических процессов повышения нефтеотдачи пластов, проводить сравнительный анализ различных технологических решений и прогнозировать возможные экологические последствия, порожденные конкретными схемами разработки месторождений.

Современный этап внедрения информационных технологий в инженерную практику отличается тем, что математическое моделирование становится основным средством инженерной деятельности. В некоторых случаях возникает необходимость перебора большого количества моделей и тогда скорость модификации и создания новых моделей становится существенно важнее их оптимальности.

В конечном итоге, процесс разработки программного продукта, начиная с физико-математической модели, построения на ее основе вычислительной модели и далее программной реализации - это символьные преобразования, поэтому, естественно использовать для повышения эффективности работы средства и методы компьютерной алгебры и объектно-ориентированного программирования, что избавляет исследователя от рутинных процедур.

Таким образом построение инструментальных средств разработки программных продуктов моделирования сложных задач промысловой геомеханики является важной и актуальной задачей и представляет большой теоретический и прикладной интерес.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является разработка инструментальных средств компьютерной алгебры и структурного шаблона программного обеспечения для автоматизации процесса создания вычислительных моделей и их компьютерных реализаций на основе анализа технологического процесса построения программных продуктов, ориентированных на моделирование разработки нефтегазовых месторождений.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Изучить технологический процесс создания программных продуктов численного моделирования геомеханических и флюидодинамических процессов, сопровождающих разработку нефтегазовых месторождений, и исследовать возможность применения систем компьютерной алгебры (СКА) и метода объектно-ориентированного программирования (ООП) для автоматизации написания исходного текста программного обеспечения;

2. Разработать форму записи математической модели близкую к решаемой задаче, построить набор инструментальных средств преобразования входной системы уравнений в текст программ. Форма записи должна допускать эффективный синтаксический анализ, аналитические преобразования и дальнейшую генерацию кода программы;

3. С целью порождения элементов кода программ для определяющих соотношений моделируемого процесса разработать инструментальные средства компьютерной алгебры, позволяющие включение элементов аналитических преобразований в текст программного модуля. Выработать стратегию ограничения роста генерируемых выражений, что является основной проблемой применения СКА в области механики сплошной среды. Применить разработанные инструментальные средства для порождения текста подпрограммы вычисления тангенциальной матрицы жесткости упруго-пластических деформаций;

4. На основе изучения существующих подходов к построению объектно-ориентированных программ метода конечных элементов разработать шаблон, допускающий препроцессорную обработку системами компьютерной алгебры, для численного решения мультифизических задач к которым относится моделирование связанных геомеханических и флюидо-динамических процессов.

5. Для машинной независимости и эффективного распараллеливания результирующей программной системы обеспечить простоту замены модулей с наибольшими временными затратами.

Объектом исследования является технологический процесс построения эффективных программных продуктов, предназначенных для моделирования мультифизических явлений, описываемых уравнениями математической физики, начиная с определения математической модели, далее построения по ней вычислительной модели и заканчивая генерацией кода вычислительной программы. Предмет исследования сужает общую задачу технологии разработки программных комплексов моделирования до конкретного круга задач геомеханики и флюидодинамии, сопровождающих добычу природных углеводородов

К методам исследования, примененным в данной работе можно отнести методы: компьютерной алгебры, математической физики, вариационного исчисления, механики сплошной среды, конечных элементов, а также метод объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна:

1. Разработана методика автоматизированного построения программ моделирования сложных физических процессов, позволяющая по входу - математической модели, заданной в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных, и объектно-ориентированному шаблону программы, включающему отдельные части аналитических преобразований для генерации и модификации недостающих модулей, получить на выходе полную программную реализацию модели.

2. Разработан и реализован высокотехнологичный интерфейс-цреобразователь систем уравнений в частных производных, представленных в форме, близкой к стандартной, в программный код метода конечных элементов. Предложенная форма записи принимается в качестве языка спецификации исходной задачи.

3. Разработанная в преобразователе списочная структура уравнений, методов их решения и конечно-элементных разбиений позволяет генерировать машинно-независимые программы, поскольку единственной частью программы, зависящей от архитектуры компьютера, является реализация численного метода решения системы алгебраических уравнений. Это позволяет осуществлять генерацию, как однопроцессорной, так и многопроцессорной версий программы.

4. С целью увеличения гибкости интерфейса и для преобразования исходной системы уравнений в форму, наиболее удобную для построения вычислительной модели, в интерфейс включен разработанный модуль эквивалентных преобразований вариационного представления модели по схеме метода множителей Лагранжа.

5. Для системы компьютерной алгебры Maple разработан пакет процедур синтаксического преобразования входных файлов, записанных на языке программирования Фортран 95, с включением в текст программы элементов символьных преобразований с целью порождения необходимых для вычислений аналитических зависимостей. Пакет позволяет включать в программу последовательности операторов и процедуры, представленные на языке системы Maple. После обработки исходный файл превращается в соответствующий программный модуль, в котором выполнены все необходимые для его построения аналитические операции.

6. Представленный пакет процедур, расширенный разработанной стратегией ограничения роста результирующих выражений, был использован для создания универсального модуля вычисления тангенциальной матрицы жесткости упругопластической составляющей модели, используемой для описания процесса фильтрации в деформируемых пористых средах. Модуль содержит процедуры автоматической генерации текста программы, как для классических моделей пластических деформаций при различных формах представления критерия текучести и пластического потенциала, так и для обобщенной пластичности, введенной О. Зенкевичем.

7. Для быстрого прототипирования новых элементов, моделей и методов решения сложно-сопряженных задач методом конечных элементов был определен открытый расширяемый шаблон программы. С целью использования схемы ООП были разработаны классы, используемых в МКЭ и линейной алгебре методов и объектов, т.е. другими словами создан соответствующий макроязык.

8. На основе метода объектно-ориентированного программирования было проведено структурирование конечных элементов. В результате проведенного анализа оказалось, что, во-первых, МКЭ анализ проводится на трех уровнях: методах линейной алгебры, МКЭ представлении задачи и стратегиях решения. В терминах ООП это позволяет строить распределенную структуру задачи, где отдельные элементы могут разрабатываться и модифицироваться независимо друг от друга. Во-вторых, показано, что для описания МКЭ достаточно ввести три базисных класса Node, Element и Material и один класс прагматики - Property, тогда вся остальная часть текста программы может быть легко достроена путем применения механизма наследования.

Теоретическая и практическая ценность данной работы состоит в том, что на основе предлагаемой методики построения вычислительных и программных моделей разработаны алгоритмы и программы, позволяющие исследователю и проектировщику более осознанно учитывать особенности физических и химических процессов, представляющих основу моделируемых явлений.

Разработанный интерфейс-преобразователь систем уравнений в частных производных позволяет исследователям быстро и эффективно строить новые программные комплексы для моделирования физических процессов. В настоящее время интерфейс реализован только для систем уравнений в частных производных, но это не является ограничением, поскольку, аналогичные интерфейсы можно построить для интегральных, интегро-дифференциальных и других систем уравнений с целью преобразования их в исходный текст программ соответствующих вычислительных моделей.

Включение в существующий интерфейс процедуры учета ограничений по схеме метода множителей Лагранжа позволяет проводить генерацию программного кода не только для фиксированной схемы представления модели, заключающейся в непосредственной подстановке экспериментальных зависимостей (ограничений) типа законов Фурье или Дарси в законы сохранения, но расширяет возможности модификации вычислительных моделей путем использования функциональных соотношений типа Ху-Васидзу, Хеллингера-Рейснера и других /12, 36/.

В работе в качестве вычислительной модели была использована классическая версия МКЭ в форме метода Галеркина, но можно использовать и другие вычислительные схемы получающиеся из общего организующего подхода - метода взвешенных невязок: метод граничных элементов, метод коллокаций, метод конечных разностей.

Разработанный пакет процедур предварительной символьной обработки входных файлов, написанных на алгоритмическом языке Фортран 95 и расширенных включением символьно-аналитических преобразований, может быть реализован и для других языков программирования. Данный подход не представляется оправданным для хорошо проработанных моделей механики сплошной среды, типа линейной теории упругости, но при наличии разного рода нелинейностей, а, следовательно, и различных, но равноправных моделей сред, т.е. при отсутствии универсальной модели и невозможности их обоснованной дискриминации он дает большие преимущества в процессе разработки вычислительной модели.

Разработанная и примененная в преобразователе списочная структура уравнений и методов их решения позволяет одновременную генерацию текстов программ, как однопроцессорных так и многопроцессорных вычислительных комплексов.

Дальнейшее развитие построенного открытого, расширяемого МКЭ шаблона для быстрого прототипирования новых элементов, моделей и методов решения мультифизических задач методом конечных элементов, в направлении эффективного использования многопроцессорых комплексов или вычислительных кластеров, будет состоять в его расширении классами и методами обмена информацией, например, по стандартам типа MPI интерфейса обмена сообщениями) или PVM (виртуальной параллельной машины). Естественно, что в этом случае должны быть переработаны соответствующие методы и стратегии.

Полное, целенаправленно применение метода обектно-аналитическо-го программирования, т.е. разработки программ с использованием метода ООП и методов и объектов компьютерной алгебра позволит существенно освободить исследователя от рутинных работ по построению и модификации вычислительных моделей и больше сосредоточится на физике изучаемых процессов. Это, в конечном счете, приведет к более экономной и эффективной разработке природных ресурсов страны.

Апробация работы. Основные положения и результаты диисертаци-онной работы докладывались и обсуждались на: общемосковском семинаре "Математические проблемы в нефтегазовой промышленности"(Москва, 1989), Всесоюзном семинаре "Современные проблемы теории фильтрации" (Москва, 1989); научном семинаре кафедры разработки нефтяных месторождений ГАНГ им. Губкина (Москва, 1990); Workshop on Computer Application in reservoir modelling (Norway, 1991); научном семинаре кафедры подземной гидродинамики ГАНГ им. Губкина (Москва, 1995); научном семинаре лаборатории ПРМУ института проблем нефти и газа РАН (Москва, 1995); семинаре по прикладной механике сплошных сред ИПМех РАН (Москва 1995); научном семинаре лаборатории прикладных проблем оптимизации Вычислительного центра АН РФ (Москва 2001); научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина (Москва 2001).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 работ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Арсеньев-Образцов, Сергей Сергеевич

Основные выводы и рекомендации

В целях уменьшения объема рутинной аналитической работы, которую необходимо провести исследователю в процессе создания, модификации и сопровождения сложных вычислительных программных комплексов для сильно математизированных областей науки таких, как механика сплошной среды, представляющая собой основу построения моделей разработки нефтегазовых месторождений, предложена методика автоматизированной генерации текста программ.

Разработан и реализован интерфейс-преобразователь, позволяющий по входу - математической модели, представленной в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных, записанных в форме, близкой к стандартной и объектно-ориентированному шаблону программы, расширенному встроенными аналитическими преобразованиями для модификации и генерации недостающих модулей, получать на выходе полную программную реализацию модели на основе метода конечных элементов. Запись математической модели в форме метода взвешенных невязок, примененная в качестве языка спецификации исходной задачи, позволяет использовать разные вычислительные модели: метод граничных элементов, методы коллокаций, разностные схемы, что существенно упрощает создание неоднородных вычислительных моделей, т.е. схем, реализованных на основе различных численных методов.

Реализованная в преобразователе списочная структура уравнений, методов их решения и дискретизации, основанная на расщеплении по процессам, позволяет получать машинно-независимые программы, поскольку единственной, связанной с архитектурой, частью программы является реализация численного метода решения систем алгебраических уравнений, что позволяет проводить одновременную генерацию одно и многопроцессорной версий программы.

С целью увеличения аналитических возможностей интерфейса для преобразования исходной системы уравнений в наиболее удобную для построения вычислительной модели форму, вид которой определяется исследователем, разработана процедура связи определяющих соотношений (ограничений) и уравнений сохранения по схеме метода множителей Jla-гранжа. В интерфейсе реализована процедура анализа размерностей для оценки влияния на решение отдельных членов уравнений. Аналогичные процедуры можно построить для преобразования координат, учета сим-метрий и других алгоритмизируемых аналитических методов предварительных преобразований систем уравнений в частных производных.

Для СКА Maple разработан и реализован пакет процедур обработки файлов, написанных на алгоритмическом языке Фортран 95, с включением в текст элементов символьных преобразований для генерации, необходимых при вычислениях, аналитических зависимостей. Пакет позволяет включать в текст файла последовательности операторов и процедуры на языке системы Maple. После обработки исходный файл превращается в соответствующий программный модуль на языке Фортран 95, в котором выполнены все необходимые для его построения аналитические операции.

Для автоматической генерации модуля программы, вычисляющего тангенциальную матрицу жесткости инкрементальной модели пластических деформаций, была разработана стратегия, существенно сокращающая рост текста программы. Общая схема построения тангенциальной матрицы жесткости может быть применена не только для классической теории пластичности, но и для обобщенной пластичности, введенной О. Зенкевичем, в которой предполагается наличие пластических деформаций при любых значениях напряжений.

Построен расширяемый шаблон быстрого создания новых моделей для решения мультифизических задач с помощью МКЭ. На основе метода ООП разработаны базисные классы используемых в МКЭ методов и объектов, в форме наиболее близкой к задачам геомеханики и флюидодинамики, что позолило существенно упростить модификацию алгоритмической части шаблона программы. Были введены необходимые методы и объекты линейной алгебры.

Дальнейшее развитие построенного открытого, расширяемого МКЭ шаблона будет состоять в его дополнении классами и методами обмена информацией для реализации параллелизма по протоколам MPI или PVM. Естественно, что в этом случае должны быть переработаны соответствующие методы и стратегии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Арсеньев-Образцов, Сергей Сергеевич, 2001 год

1. Арсеньев-Образцов С.С., Гливенко Е.В., Жукова Т.М. Имитационная модель обустройства промысла. - Межвузовский сборник "Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ". М.: МИРЭА, 1982, с. 1-16.

2. Arseniev-Obraztsov S.S. Computational modelling, multy criteria design and analysis of oil and gas field definition. Pros, of the workshop on Computer Application in reservoir modelling, Jun. 11-13, 1991, prep. 19 pp.

3. Арсеньев-Образцов С.С., Гливенко Е.В. Имитационное моделирование в задачах оценки эффективности геологоразведочных работ. Труды МИНГ вып. 203, Автоматика и вычислительная техника в нефтяной и газовой промышленности. М.: МИНГ, 1987, с. 95-103.

4. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М. Поглощающие граничные условия для численного решения задач теории вязкоупругости. Журнал вычислительной математики и математической физики АН СССР, 1987, Т. 27, №2, с. 301-306.

5. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М., Введение в систему компьютерной алгебры Maple V версия 5. Часть 1: Учебное пособие. М.: Нефть и Газ, РГУ нефти и газа, 2000.

6. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М., Введение в систему компьютерной алгебры Maple V версия 5. Часть 2: Учебное пособие. М.: Нефть и Газ, РГУ нефти и газа, 2001.

7. Арсеньев-Образцов С.С. Генерация элементов исходного текста программ метода конечных элементов с использованием систем компьютерной алгебры. -М.: Издательство, Нефть и газ, 2001 г.

8. Арсеньев-Образцов С.С. Объектно-ориентированное структурирование метода конечных элементов в задачах фильтрации флюидов в деформируемых средах. -М.: Издательство, Нефть и газ, 2001 г.

9. Буч Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование и примерами приложений на С++. Второе издание. -М.: Издательство Бином, 1998 г.

10. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

11. Воробъев Е.М., Введение в систему "Математика". М.: Финансы и статистика, 1998.

12. Галин J1.A. Упругопластические задачи. М.: Наука, 1984.

13. Гудьер Дж., Ходж Ф. Упругость и пластичность. М.: ИЛ, 1960.

14. Друкер Д. Вариационные принципы в математической теории пластичности. Сб. переводов "Механика". М.: ИЛ, 1959, №6, с. 63-79.

15. Дэвенпорт Дж., Сире И., Турнье Э., Компьютерная алгебра, системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991.

16. Ендерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я., Язык аналитических вычислений REDUCE. М.: Изд-во МГУ, 1988.

17. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992.

18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

19. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: МГУ, 1979.

20. Кнут Д.Е. Все про ТЕХ. Протвино: АО RDTEX, 1993.

21. Олыпак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир, 1964.

22. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab 5.x, в 2-х т. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

23. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Механика деформирования и разрушения горных пород. М.: Недра, 1992.

24. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.: Госстройиздат, 1961.

25. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.

26. ABAQUS Vers. 5.2 manuals, Hibbitt, Karlsson & Sorensen Inc. 1992.

27. ANSYS-PC/Linear 4.3 reference manual. Swanson Analysis Systems Inc.1988.

28. Beltzer I.A. Variational and Finite Element Methods: SMC-Approach. -Berlin: Springer Verlag, 1990, 187. p.

29. CALFEM: Computer Aided Learning of the Finite Element Method Vers. 3 manual. -Lund: Technical University of Lund, Sweden, 1993.

30. Cecchi M.M., Lami C. Automatic generation of stiffness matrices for finite element analysis, Int. J. Num. Meth. Engng., 1977, V. 11, p. 396-400.

31. Chen, W.F. Limit Analysis and Soil Plasticity. Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing, 1975.

32. Crisfield M.A. A fast incremental/iterative solution procedure that handles 'Snapthrough'. Computers к Structures, 1981, V. 13, №1 p. 55-62.

33. Dubois-Pelerin Y., Zimmermann Т., Bomme P, Object-Oriented Finite Element Programming: II A Prototype Program in Smalltalk. Computer Methods in Applyed Mechanics and Engineering, 1992, V. 98, p. 391-397.

34. Finlayson В.A., The Method of Weighted Residuals and Variational Principles. N.Y.: Academic Press, 1972.

35. Forde B.W.R., Foschi R.Q., Stiemer S.F. Object-Oriented Finite Element Analysis. Computers к Structures, 1990, V. 34, №3, p. 355-374.

36. B.L.Gates, A Numerical Code Generation Facility for REDUCE, inproceedings of the ACM SYMSAC 86, Waterloo Ontario, July 1986, p. 94-99.

37. B.L.Gomez, Macrofort: a FORTRAN code generator in Maple. INREA report №. 119, May 1990.

38. Gunderson R.H., Cetiner A., Element stiffness matrix generator. J. Struct. Div., 1971, ASCE, V. 97, p. 363-375.

39. Hededal O., Krenk S. A Profile Solver in С for Finite Element Equations, Engineering Mechanical Papers. №13, Dept. Building Technology and Structural Engineering, Aalborg University, Aalborg, Denmark, p. 5.

40. Komcoff A.R., Fenves S.J. Symbolic generation of finite element stiffness matrices, Comput. Structures, 1979, V. 10, p. 119-124.

41. Luft W., Roessert J.M., Conners J.J., Autumatic generation of finite element matrices. J. Struct. Div., 1971, ASCE, V. 97, p. 349-363.

42. Noor A.K., Andersen C.M. Computerized symbolic manipulation in Nonlinear Finite Element Analysis, Comput. Structures, 1981, V. 12, p. 9-40.

43. Pande G.N.,Zienkiewicz О.С., Eds. Soil Mechanics Transient and Cycle Loads. - N.Y., Wiley, 1982.

44. Partial Differential Toolbox User's Guide. The MathWorks, Inc., 1997.

45. C. di Prisco, R. Nova and J. Lanier A mixed isotropic-kinematic hardening constitutive law for sand, in Modern Approaches to Plasticity, Ed. Kolymbas, N.Y., Wiley, 1993, p. 83-124.

46. Ross T.J., Wagner L.R., Luger G.F. Object-Oriented Programming for Scientific Codes. I: Thoughts and Concepts. Journal of Computing in Civil Engineering, 1992, V. 6, №4, p. 480-496.

47. Ross T.J., Wagner L.R., Luger G.F. Object-Oriented Programming for Scientific Codes. II: Examples in C-H-. Journal of Computing in Civil Engineering, 1992, V. 6, №4, p. 497-514.

48. Sholtz S.P. Elements of Object-Oriented FEM++ Program in С++. -Computers к Structures, 1992, V. 43, №3, p. 517-529.

49. Schwarz H.R. Finite Element Methods. -London, Academic Press, U.K., 1988.

50. Stroustrup B. The С++ Programming Language, 2nd Edn. Massachusetts, USA, 1991.

51. Wood, D.M. Soil behaviour and critical state soil mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

52. Yu G., Adeli H. Object-Oriented Finite Element Analysis using EER Model. Journal of Structural Engineering, 1993, V. 119, №9, p. 2763-2781.