Методика изучения понятия "Вектор" и его свойств в основной школе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Новгородова, Ольга Ивановна

• Новгородова, Ольга Ивановна
• кандидат педагогических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Новгородова, Ольга Ивановна

Введение.

Глава I. Анализ учебной и методической литературы по теме «Векторы».

§1.1. Определение понятия вектор.

§1.2. Свойства векторов.

1.2.1. Сумма и разность векторов.

1.2.2. Переместительный закон сложения векторов.

1.2.3. Сочетательный закон сложения векторов.

§1.3. Умножение вектора на число.

§1.4. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Глава II. Методика, обеспечивающая преодоление устойчивых трудностей в ходе усвоения учащимися понятия вектора и его свойств.

§ 2.1. Деятельностный подход как теоретическая основа повышения эффективности изучения темы «Векторы».

§ 2. 2. Способ введения понятия вектор.

§ 2. 3. Сумма и разность векторов.

2.3.1. Переместительный закон сложения векторов.

2.3.2. Сочетательный закон сложения векторов.

§ 2.4. Умножение вектора на число.

§ 2.5. Скалярное произведение векторов.

2.5.1. Скалярное произведение векторов и его свойства.

2.5.2. Скалярное произведение векторов в координатах.

§ 2.6. Апробация результатов исследования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика изучения понятия "Вектор" и его свойств в основной школе»

Тема «Векторы» появилась в курсе математики школ России сравнительно недавно - в 1963 году. Вопрос о том, должны ли изучаться векторы в школьном курсе, в настоящее время практически не обсуждается. Эта тема важна потому, что, во-первых, позволяет, используя векторы, упростить решение многих задач школьного курса математики, которые другими методами решаются гораздо труднее. Также векторы в школьном курсе геометрии позволяют сделать доказательства многих теорем не только более понятными ученикам, но и более естественными и наглядными, что способствует обучению поиску доказательств теорем и решения задач.

Во-вторых, понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким, на первый взгляд, далеким от математики предметам, как электротехника, радиотехника, теория антенн и др., очень широко используют векторы.

В-третьих, понятие вектора является важным понятием школьного курса физики и играет существенную роль в межпредметных связях математики и физики.

Несмотря на большое внимание, которое уделяется теме «Векторы» в методической литературе, она до сих пор остается одной из самых трудных для учеников тем школьного курса, о чем свидетельствуют исследования таких авторов, как А.Д. Александров, Л.С. Атанасян, Г.П. Бевз, В.Г. Болтянский, В.Ф.Бутузов, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, С.Б. Кадомцев, В.М. Клопский, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.А.Лурье, А.Ф.Пичурин, В.А. Погорелов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А.Ф. Семенович, А.Д. Семушин, З.А. Скопец, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, Ф.И. Фетисов, Р.С. Черкасов, И.Ф. Шарыгин, И.М. Яглом, М.И. Ягодовский и др., где весьма большое внимание уделяется выявлению трудностей, с которыми сталкиваются ученики при изучении темы «Векторы», и отысканию способов их преодоления.

Методике изучения темы «Векторы» в курсе геометрии средней школы посвящены диссертации С. В. Бабаджанян, С. Р. Джапарова, А.И. Иванова, А.К. Кагазбаевой, Н.Я. Милина, В.Г. Михеевой, Е. В. Старцевой, А. М. Суфиева, Д.И. Хана и др. В этих работах исследовались межпредметные связи физики и математики, вопросы систематизации и закрепления знаний при изучении векторов, использование векторов при решении геометрических задач.

Анализ работ вышеперечисленных исследователей, бессм~* учителями и со студентами математического факультета МГГГУ, констатирующий эксперимент позволили выделить в теме «Векторы» то, что вызывает у учащихся наибольшие затруднения:

- сам способ введения понятия вектор; определение вектора как направленного отрезка (наиболее распространенное в действующих учебниках) приводит к тому, что для учащихся вектор - это отрезок (геометрическая фигура), хотя и «с направлением»;

- свойства сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного умножения векторов даются в учебниках в готовом виде, и поэтому учащиеся часто их забывают и путают. Между тем знакомство с этими свойствами может быть организовано таким образом, А^оы ученики сознательно формулировали гипотезу о наличии этих свойств (по аналогии со свойствами, которые им известны по действиям с числами);

- трудности вызывают доказательства многих теорем темы (переместительный и сочетательный законы сложения векторов, свойства умножения вектора на число, теоремы о выражении скалярного произведения векторов через координаты векторов и т.д.)

Необходимость преодоления выявленных затруднений и устойчивых недостатков, связанных с изучением темы «Векторы» в курсе основной школы, свидетельствует об актуальности темы исследования.

Преодоление противоречий между большой теоретической значимостью темы «Векторы» и ее практической реализацией, которая Bbi3i>.-i„A у учащихся существенные затруднения при изучении, составляет проблему исследования.

Целью работы является разработка методики, которая позволила бы избежать устойчивых затруднений, возникающих у учеников при введении понятия вектора и изучении его свойств. Это позволит сделать изучение темы «Векторы» понятной и доступной для большинства учащихся.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования — разработка методов и средств обучения, направленных на преодоление устойчивых недостатков в ходе усвоения определений и теорем на примере изучения темы «Векторы» в основной школе.

Гипотеза исследования заключается в том, что приложенный в

7 4 исследовании способ введения понятия вектора и разработанные на основе деятельностного подхода JI.C. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина методика и средства обучения позволят устранить выявленные устойчивые затруднения, возникающие у учеников, и тем самым повысят эффективность изучения темы «Векторы» в курсе основной школы.

Цель, проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования.

Поскольку, несмотря на накопленный на сегодняшний момент опыт организации усвоения материала темы «Векторы», она остается наиболее сложной для учеников, необходимо выявить те устойчивые трудности, с которыми они сталкиваются при изучении этой темы. Это первая задача исследования.

Процесс обучения в большой мере определяется тем, какая психологическая теория лежит в основе организации усвоения. Поэтому второй задачей исследования является рассмотрение существующих психологических теорий, для того чтобы определить, какие из них целесообразно использовать, организуя усвоение темы «Векторы».

Поскольку, как уже отмечалось, определение вектора как направленного отрезка приводит к появлению устойчивых недостатков, возникла необходимость найти такой способ введения понятия вектор, который позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников данное понятие. Это третья задача исследования.

Четвертая задача исследования - разработать такие подходы к усвоению темы «Векторы», которые позволят не только устранить затруднения, возникающие при традиционных доказательствах теорем, вводящих свойства векторов, но и сделают доказательства этих теорем доступными для учащихся и вместе с тем математически корректными.

Нужно было проверить: 1) устраняют ли разработанный способ введения понятия вектора и предложенные способы доказательства некоторых «векторных теорем» выявленные устойчивые ошибки; 2) доступны ли ученикам разработанные средства обучения. Отсюда следует пятая задача исследования: в ходе педагогического эксперимента убедиться, что разработанная в исследовании методика способствует лучшему усвоению темы «Векторы». *

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: теоретические методы: анализ психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы, работ по истории математики, программ по математике средней школы; изучение опыта отечественной школы по проблеме введения определения вектора; эмпирические методы: наблюдение, беседы со студентами и учителями, педагогический эксперимент.

Методологической основой исследования явились:

- теория учебной деятельности, разработанная в трудах психологов школы JI.C. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина; *

- исследования педагогов по реализации оптимизации учебного процесса;

- разработки в области педагогики и методики обучения математике по формированию приемов учебной деятельности и дидактических средств управления этой деятельностью.

Научная новизна исследования заключается в совершенствовании методики изучения темы «Векторы»:

1. Преодолены недостатки введения понятия вектора; дано описание, позволяющее сделать так, чтобы вводимое понятие было математически корректно и, вместе с тем, оказалось в зоне актуального развития ученика. *

2. Предложены более простые для восприятия и оперирования учащимися доказательства основных теорем темы «Векторы» (переместительного и сочетательного законов сложения векторов, теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и т.д.). В частности, удалось найти доказательства, которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи.

3. В соответствии с рекомендациями психологов формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования.

4. Разработаны средства обучения, позволяющие организовать собственную работу учеников, обеспечивают,^.* адекватное оперирование с новыми знаниями.

Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что разработаны методические подходы, позволяющие не только дать доступное ученикам, математически корректное описание понятия вектора и более естественные и простые для учеников доказательства векторных теорем, но и способствующие обучению поиску доказательств.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные теоретические положения, связанные с введением понятия вектор и доказательствами наиболее важных теорем темы, позволят любому учителю сделать усвоение темы «Векторы» доступной практически для всех учащихся основной школы. ■*

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается:

- использованием достижений психолого-педагогической науки;

- осмыслением педагогического опыта, в том числе опубликованного в методической литературе.

- данными педагогического эксперимента, который доказал доступность разработанных материалов для учеников и их эффективность.

На защиту выносится:

Разработанная методика усвоения темы «Векторы», включающая:

1. принципиально новый способ введения понятия вектор, исключающий понимание вектора как фигуры (бесконечного множества точек);

2. структурированные формулировки определений и теорем, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования;

3. более доступные ученикам доказательства теорем темы «Векторы», позволяющие организовать обучение поиску доказательств теорем и решения задач;

4. методическое обеспечение активного участия учеников в доказательстве векторных теорем, включающее рабочие тетради, элементы мультимедийного обеспечения, дидактические материалы.

Апробация и внедрение результатов исследования проходило в ГОУ СОШ № 1254 В АО г. Москвы в ходе преподавания автором исследования геометрии (темы «Векторы») учащимся 8-9 классов и в МОУ СОШ jx^Jb села Чуево-Алабушки Уваровского района Тамбовской области.

Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы (МПГУ, апрель 2003г.; март 2005 г.); в академии повышения квалификации и переподготовки работников образования на курсах по МПМ «Технология преподавания математики, реализующая теорию JI.C. Выготского - А.Н. Леонтьева - П.Я. Гальперина (февраль 2004 г.); на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МПГУ (июнь 2005г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Новгородова, Ольга Ивановна

Заключение.

Первая задача нашего исследования решена в первой главе работы: выявлены устойчивые трудности, с которыми сталкиваются учащиеся при изучении темы «Векторы». Установлено, что практически во всех учебно-методических пособиях вектор рассматривается как «Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой - концом» [6, с. 186]. Между тем, как следует из работ А.Н. Колмогорова, В.Г. Болтянского, И.М. Яглома и др., такое определение неизбежно приводит к устойчивым недостаткам.

Было установлено, что делались многочисленные попытки дать корректное определение понятия вектора. Все эти попытки оказались неудачными.

Выявлены причины того, что тема «Векторы» остается одной из самых трудных тем школьного курса геометрии: недостаточно структурированы формулировки определений и теорем; доказательства многих теорем трудны для понимания учащихся, в частности, требуют рассмотрения частных случаев; введение свойств умножения вектора на число, скалярного произведения векторов и т.д. не связывается с аналогичными свойствами чисел.

Решению второй задачи, рассмотрению существующих психологических теорий, для того, чтобы определить, какие их них целесообразно использовать, организуя усвоение темы «Векторы», посвящен §2.1 второй главы. Установлено, что повсеместно используется ассоциативная теория усвоения. Анализ литературы показал, что более эффективной теорией усвоения является деятельностный подход J1.C. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина. Сделан вывод о целесообразности построения изучения темы «Векторы» с опорой на эту психологическую теорию.

Третья задача решена в §2.2: разработан способ введения понятия вектор, который позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников это понятие, а именно обеспечить интуитивное восприятие вектора как класса равных направленных отрезков, не используя при этом недоступное ученикам понятие «класса».

Четвертая задача исследования решена в §§2.3 - 2.5: разработаны такие подходы к усвоению темы «Векторы», которые позволяют не только устранить затруднения, возникающие при традиционных доказательствах теорем, вводящих свойства векторов, но и делают доказательства этих теорем, во-первых, доступными для учеников, во-вторых, математически корректными. В частности, были найдены более простые, чем описанные в литературе, доказательства некоторых векторных теорем: удалоеi «::шти такие доказательства переместительного и сочетательного законов сложения векторов, теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и др., которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи. Разработаны средства обучения (рабочие тетради, элементы мультимедийного обеспечения, дидактические материалы), позволяющие организовать с материалом темы «Векторы» адекватную этому материалу собственную работу учеников. Это позволяет обеспечить активное участие учеников в работе с определениями и теоремами темы. В частности, активное участие учеников в поиске доказательств практически всех теорем темы «Векторы».

Решению пятой задачи исследования посвящен §6 «~?рой главы. Установлено, что предложенный в исследовании способ введения понятия вектора и доказательства «векторных теорем» позволяет устранить выявленные недостатки. Тем самым в ходе педагогического эксперимента было доказано, что разработанная в исследовании методика способствует лучшему усвоению темы «Векторы».

Таким образом, решена проблема исследования.

Проведенное исследование позволяет предположить, что использование таких средств обучения, как рабочие тетради, мультимедийное обеспечение, позволят реализовать деятельностный подход при изучении практически всех тем школьного курса математики. В перспективе считаем целесообразным реализовать разработанную в исследовании методику организации усвоения основных тем курса геометрии основной школы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Новгородова, Ольга Ивановна, 2006 год

1. Актуальные проблемы преподавания математики в школе и ВУЗе. Тверь. Тверской государственный университет, 1995. - 45 с.4

2. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Координаты. Векторы. Углы: Учебные материалы для учащихся X класса. М.: АПН СССР НИИ содержания и методов обучения, 1981. - 77 с.

3. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1996. - 415 с.

4. Александрова Г.А., Беляева И.С. Применение векторов к решению геометрических задач. Методические рекомендации в помощь учителю общеобразовательной школы. Орел. 1982.-42 с.

5. Атанасян J1.C. , Бутузов В.Ф., Глазков Ю. А., и др. Изучение геометрии в 7-9 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1997 .- 255 с.

6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1998 . -с.335.

7. Бабаджанян С. В. Система изучения векторов на факультативных занятиях как пример осуществления межпредметных связей дисциплин естественно-математического цикла: Дис. .канд. пед. наук: М.:1970. -218 с.

8. Баум И. В. Об элементах векторной алгебры в средней школе// Математика в школе. 1963. № 2. с.56-59.

9. Бевз Г.П. Об определении понятия «вектор».// Математика в школе 1980. -№2.-С. 58-59

10. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия. Учебник для 7-114классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1996 — 351 с.

11. Болтянский В. Г. Анализ поиск решения задач// Математика в школе — 1974. -С.34-42.

12. Болтянский В. Г. Как устроена теорема?// Математика в школе— 1973— №1- С.41—49

13. Болтянский В. Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие. -М.: Пайдейя, 1998. 239 с.

14. Болтянский В. Г., Глейзер Г.Д. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных учреждений. М.: Пайдейя, 1998. - 239 с.

15. Болтянский В.Г., Волович М.Б. Учебные материалы по геометрии для экспериментальных классов. (8 класс) -М.: НИИШОТСО, 1984. 64 с.

16. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д., Геометрия: Пробный учебник для 6-8 классов. -М.: Просвещение, 1979. 272 с.

17. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторы в курсе геометрии средней школы: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1962. - 96 с.

18. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторы в школьном курсе геометрии. // Математика в школе. 1962. № 2. с. 14-21

19. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Геометрия. Учебное пособие для 9 класса средней школы. М.: Просвещение, 1964. -127 с.

20. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1964. 304 с.

21. Боцу А.А. Векторы в курсе геометрии средней школы. В кн. Вопросы введения современных идей математики в школу. В помощь учителю математики. Картя молдовеняскэ. 1966г., с. 3-21.

22. Вайсман В. С. Векторы / Изучение в школьном курсе геометрии/ //Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1993. № 21—22. с.8.

23. Василенко Е.А. Систематизация и закрепление знаний учащихся в процессе решения задач при изучении векторов в курсе планиметрии средней школы : Дис. .канд. пед. наук: М.:1987. -157с.

24. Бахтин Б.М. Элементы векторного исчисления на занятиях в средней школе. //Вопросы преподавания математики в средней школе. Воронеж. 1962.-с. 123-139.

25. Вейц Б.Е. Векторы в школьном курсе математики.// Математика в школе.1979. -№4.-C.19-27. *

26. Векторное решение геометрических задач. Материал в помощь слушателям курсов. Минск, 1981. 28 с.

27. Векторы и их пропедевтика в VII классе. В кн. Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе. М.: 1981. 4.1. с.68-78.

28. Вершинина Е.Г., Плюсина З.Б., Самарина Э.Ф., и др. Наши предложения по проектам программ. // Математика в школе. 1979 - №5 - с. 20 -29.

29. Волович М. Б. Не мучить, а учить / О пользе педагогической психологии. -М.: изд. Российского открытого университета, 1992. 232 с.

30. Волович М. Б. Наука обучать./ Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с. «

31. Волович М.Б. Как сделать геометрию понятной и интересной. //Математика: Еженедельное учебно-методическое прил. К газ. «Первое сентября». 2001. - №15. С.13-16.

32. Волович М.Б. Ключ к пониманию геометрии. Пособие для учителя, ученика и его родителей. М.: Аквариум. 1997. - 271 с.

33. Волович М.Б. О новой эффективной технологии обучения математике, разработанной в России.// Проблемы теории и методики обучения. 2002. -№ 6. -с.9-13.

34. Волович М.Б. Планиметрия на геометрических преобразованиях и векторах. — М.: Вузовская книга. 2001.- 456 с.

35. Выготский JI.C. Избранные психологические исследоваь.^? М.: МГУ, 1950.-393 с.

36. Выготский JI.C. Собрание сочинений. Т.2. М.: Педагогика, 1952. - 352 с.

37. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М.: Издательство МГУ, 1985. - 259 с.

38. Гальперин П.Я., Талызина Р.Ф. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий.- М.: МГУ. 1968. 197 с.

39. Глазков Ю.А. Об углубленном изучении геометрии в VIII классе. //

40. Математика в школе. 1994. -№2. -с. 26-33.

41. Глейзер Г.Д. Геометрия: Учебное пособие для 7-11 классов вечерней (сменной) школы и самообразования- 12е издание. -М.: Просвещение, 1992.-351 с. 4

42. Глейзер Г.Д., Кеян Г.И. К истории вопроса об изучении вектора. // Математика в школе. -1986. -№ 5. -с. 54-57.

43. Гнеденко Б.В. Мнение кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В. Ломоносова об учебниках для средней школы по математике. //Математика в школе. -1978. -№5. -с. 26-30.

44. Григорьева Т.П. К изучению скалярного произведения векторов// Математика в школе. -1979 №6. - с.43-44.

45. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981.-320 с.

46. Гусев В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе Ъ Математика в школе. 1990. - № 4.- С. 27-31.

47. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. — М.: Вербум-М: Академия, 2003. -432 с.

48. Гусев В. А. Сборник задач по геометрии. 5-9 кл.: Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. М.ЮОО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2005. —480 с.

49. Гусев В.А. Геометрия 8. Экспериментальный учебник. Часть 5. М.: Авангард, 1997.-153 с.

50. Гусев В.А. Геометрия 8. Экспериментальный учебник. Часть 6. М.: Авангард, 1997. - 137 с.

51. Гусев В.А. Геометрия 9. Экспериментальный учебник. 4асть 7— М.: Авангард, 1998. 172 с.

52. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. 1990. -№4. - С. 27-31.

53. Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии? // Математика в школе. -2002-№ 3. с. 8-13.

54. Гусев В.А., Иванов А.И, Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. (Из опыта работы в школе). М.: Просвещение, 1981.-79 с.

55. Гусев В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976. .

56. Гусев В.А., Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2004. 96 с.

57. Гусев В.А., Орлов В.Д., Панчищина В.А. и др. Методика обучения геометрии: Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. /Под ред. В.А. Гусева. М.: Academia, 2004. - 368 с.

58. Даданян А.А. Об определении вектора в курсе математики средней школы.// Педагогика. Вып. 20. Вопросы методики преподавания математики. Минск, 1982.-с. 31-35.

59. Джапаров С. Р. Векторный метод как средство систематизации геометрических знаний и умений учащихся: Дис. .канд. пед. наук : М.: 1987.- 171 с. «

60. Дырченко И.И., Мусурманов А.Л. Сравнительный анализ изложения темы «Векторы» в различных учебных пособиях. В кн. Повышение эффективности обучения физике и математике в средней школе. Ташкент, 1981.-с. 25-34.

61. Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003- 223с.

62. Захарова А.Е. Векторы и их пропедевтика в VII классе. В кн. Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе. М.: 1981.-с.69-76.

63. Искакова Н.М. Векторы в курсе математики восьмилетней школы // Актуальные вопросы преемственности в обучении матема-"*?" Алма-Ата. 1980. -С.70-76.

64. Кабанова — Меллер Е.И. психология формирования знаний и навыков у школьников. АПН СССР. М.: 1962. 251 с.

65. Кагазбаева А. К .Методика использования идей векторно-координатного метода при изучении геометрии в 6-8 классах : Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. пед. наук: Минск, 1987. -192 с.

66. Канторович J1.B. Соболев C.JI. Математика в современной школе.// Математика в школе. 1979. - №4. - с.10-13.

67. Карнацевич J1.C. Изучение геометрии в 8 классе. Из опыта работы: Пособие для учителя/ Под ред. И.Ф. Тесленко. М.: Просвещение, 1984. -143 с. *

68. Киселев А.П. Элементарная геометрия: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1996. - 302с.

69. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия. Планиметрия. 7-9 класс. Учебник и задачник. М.: Дрофа, 1995.-352 с.

70. Клейн Л.Б. Прикладные аспекты изучения векторов в курсе математики средней школы: Дис. .канд. пед. наук: М.:1985. -171с.

71. Клопский В.М., Ягодовский М.И, Скопец З.Я. Об изучении темы «Векторы» в IV классе// Математика в школе.- 1981. №1- С. 22-28. №2. -С.35-41.

72. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.-201с. *

73. Колмогоров А.Н. О понятии вектора в курсе средней школы. // Математика в школе. 1981- №3 . - с.7-8.

74. Колмогоров А.Н. Об обучении геометрии по новой программе. //Математика в школе.- 1972. -№2. с. 21-26.

75. Колмогоров А.Н., Абрамов A.M. К вопросу о проведении первых уроков по теме «Векторы» //Математика в школе. 1981. - №3- с. 8-11.

76. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Нагибин Ф.Ф, Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 7 класса средней школы. Изд. 6-е. М.:1. Просвещение, 1977. 160 с.

77. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. Издание 4-е. —М.: просвещение, 1982.-384 с.

78. Колмогоров А.Н., Черкасов Р.С., Семенович А.Ф. Об учебном пособии «Геометрия 6-8».// Математика в школе 1979. -№3. - С.23-29.

79. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики. // Математика в школе. -1965. № 4. -с. 53-62.

80. Колягин Ю. М. Отечественное образование: наша гордость и наша боль.// Математика в школе. 2002. -№1. - с. 7-14.

81. Корикова Т.М. Обучение основам векторной алгебры в решения геометрических задач в средней школе: Дис. . канд. пед. наук: Ярославль. 1978. -191с.

82. Краткий психологический словарь./ Сост. J1.A. Карпенко. 110Д общ. ред. А.В.Петровского и М.Г. Ярошевского. М.: Издательство политической литературы. 1985. 400с.

83. Крысин К.Я. О понятии вектора в науке и школьном курсе математики. //Актуальные вопросы совершенствования школьного математического образования.-М.: 1988. с. 51-57.

84. Левитас Г.Г. Геометрия без доказательств. Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995. 80 с.

85. Левитас Г.Г. Лекции по методике преподавания математики: Общая методика. М.: МГУ, 1996. - 88 с.

86. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Прогресс, 1975. -248 с. ♦

87. Лобеева А.А. К вопросу о векторах в школьном курсе математики // Математика в школе. 1963 - №2. - с.64-68.

88. Лурье И.А., Тхамафокова С.И. Об одном из вариантов изложения темы «Векторы» в курсе геометрии 7 класса: Сб. науч. тр./Основные направления математического образования. Вып.1/-М.: НИИ содержания и методовобучения, 1975.-48 с.

89. Лурье И.А., Тхамафокова С.И. Векторы и параллельные переносы. Проект учебника для VII класса. М.: НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, 1975.-39 с.

90. Мельникова Н.Б., Лудина Г.Б., Лепихова Н.М. Геометрия: Дидактические материалы для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений . % : издание. -М.: Мнемозина, 1999. 272 с.

91. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. -М.: Педагогика, 1989. 163 с.

92. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/ А.Я. Блох, Е.С. Канин; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение. - 1985. - 548с.

93. Милин Н.Я. Преподавание курса геометрии IX класса на основе векторной аксиоматики: Дис. .канд. пед. наук: Баку. 1973. -194с.

94. Михеева В.Г. О введении понятия «вектор» в курсе геометрии VI класса.// Перспективы развития математики в средней школе 90х гг. М. 1979. С.35-46. *

95. Мищенко А.С. О некоторых проблемах школьного математического образования. // Методологические проблемы преподавания математики. -М.: 1987. — с.82-104.

96. Моиз Э., Дауне Ф. Геометрия. Перевод с англ. Вайнштейн И.А. Под ред. Яглома И.М. М.: Просвещение, 1972. - 622 с.

97. Новгородова О.И. Векторы в школьных учебниках геометрии. //Проблемы школьного учебника. Сборник научных трудов. Под ред. А.А. Кузнецова, М.В. Рыжакова, Т.Б. Захаровой и др. М.: 2005.

98. Новгородова О.И. Использование векторов при доказательстве теорем.// Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 10.-М.: Прометей, МПГУ. 2005. -с.45-48. «

99. Новгородова О.И. Трудности, связанные с введением определения вектора,и возможные пути их решения.// Научные труды Mill У. Серия: Естественные науки. Сборник статей. — М.: ГНО издательство «Прометей» МПГУ, 2005.-с. 101-105.

100. Новгородова О.И. Что называют вектором?// Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 9. -М.: Прометей, МПГУ. -2004. -с. 128-131.

101. Новгородова О.И. Об определениях вектора.// информационные технологии в образовательном процессе школы. Сборник статей. Под ред. В.П. Симонова. Выпуск 4. Международная педагогическая академия. М.: 2005.-с. 47-51.

102. Петрова Р.Г. Зависимость между векторным выражением и и его геометрическим толкованием.// Математика в школе.- 1985. №3.- С.40-42.

103. Пичурин А.Ф., Сазанова Т.А. О значении темы: «Скалярное произведение векторов» // Воспитание учащихся при обучении математике. М.: 1987. -с. 144-149.

104. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение, 1998 .-384 с.

105. Юб.Понарин Я.П. Геометрия 7-10 класс: Учебное пособие для учащихся школ, лицеев, колледжей. Ростов н/Д.: Феникс, 1997. 508 с.

106. Попов Ю.И. Векторы в школьном курсе геометрии: Методическое пособие. Калининград. Янтарный сказ, 1998. - 63с.

107. Розов Н.И. Вечные вопросы о школьном курсе математики: чему учить? Как учить? //Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1999. -№11.-с. 1-2,5.

108. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия: Пробный Учебник для 7-9 классов средней школы. /Под ред. А.Я. Цукаря. М.: Просвещение, 1992. - 382 с.

109. Ю.Рыбакова Т. В. Интенсификация методической подготовки будущего учителя математики при изучении темы "векторы" и приложений векторов в школьном математическом образовании: Дис. . канд. пед. наук: М.: 2003. -222 с.

110. Рыжик В. И. 30 ООО уроков математики: Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003. - 288 с.

111. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов М.: Просвещение, 2002. - 224с.

112. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. М.: Просвещение, 2000. - 231 с.

113. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях. // Математика в школе.- 1999. №6.- С.36-41.

114. Сергеева А.С. Методика изучения и применения векторов в курсе 7-го класса средней школы.// Пути повышения качества знаний учащихся по математике. Вып. 11. Калинин. 1970. - С.70-104.

115. Смирнова И.М. Координаты и векторы в пространстве: Завершая тема в изучении стереометрии.// Математика в школе. -1995.-№2 с.35-40.

116. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение, 2001. -271 с.

117. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Дидактические материалы по геометрии для 7-9 классов. М.: Просвещение, 2004. 205 с.

118. Старцева Е. В. Реализация межпредметных связей физики и математики в средней школе: На примере факультативного курса "Вектор в физике и математике": Дис. канд. пед. наук М.: 2000. 154 с.

119. Суфиев А. А. Методика использования вектора для решения прикладных задач на уроках математики в неполной средней школе: Дис. канд. пед. наук : М.: 1989.-174 с.

120. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Знание, 1975. с.58-59,68

121. Финкелыптейн В.М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы // Математика в школе. 1996. - № 6. - с.21-25

122. Халиков А.В. Примеры применения скалярного произведения векторов.// Математика в школе. -1991. -№ 2. -с.59-60.

123. Хан Д.И. Обучение решению задач с помощью векторов в курсе планиметрии: Дис. .канд. пед. наук: М.:1975. -180 с.

124. Черкасов Р.С. Очерк истории отечественного математического образования // Вестник Московского университета. Серия 20. Педагогическое образование. -2002. -№1. с. 43-84

125. Шарыгин И. Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 1999. 304 с.

126. Яглом И.М. Элементарная геометрия прежде и теперь. М.: «Знание». 1972.-47 с.