Метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных линейных симплектических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Елисеева, Юлия Витальевна

• Елисеева, Юлия Витальевна
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Елисеева, Юлия Витальевна

Введение

Глава 1. Дискретные симплектические модели и основные понятия дискретной осцилляционной теории

1.1. О симплектической структуре фазового потока в классической и дискретной гамильтоновой механике.

1.2. Дискретные симплектические системы как математические модели колебаний.

1.3. Основные этапы развития дискретной осцилляционной теории

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных линейных симплектических систем»

Актуальность работы. К изучению математических моделей колебаний дискретных систем с симплектической структурой приводят задачи из различных областей естествознания, науки и техники. Среди них ведущую роль играют задачи дискретной гамильтоновой и лагранжевой механики, задачи дискретного вариационного исчисления, задачи построения симплекти-ческих разностных схем для дифференциальных гамильтоновых систем уравнений, сохраняющих основные инварианты данных систем. Фундаментальная теорема классической гамильтоновой механики утверждает, что эволюция гамильтоновой системы во времени есть эволюция симплектической трансформации. С этой точки зрения любая гамильтонова система имеет симплекти-ческую структуру. В частности, к моделям, сохраняющим симплектическую структуру фазового потока, относятся дискретные линейные симплектиче-ские системы

Л Вг Сг Д где вещественная 2п х 2тг матрица системы является симплектической:

Шг = 3,3 =

О I -I О г = 0,., N.

Частным случаем симплектических систем являются следующие важные классы дискретных уравнений и систем: гамильтоновы системы разностных уравнений, дискретные уравнения Штурма-Лиувилля порядка 2тъ, п Е М, векторные дискретные уравнения Якоби и Штурма-Лиувилля.

Настоящая работа посвящена разработке новых математических методов в осцилляционной теории (или теории колебаний) дискретных симплектических и их приложениям в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных самосопряженных краевых задач. Осцилляционная теория, или теория Штурма, имеет фундаментальное значение для теории линейных самосопряженных краевых задач со времени доказательства знаменитых теорем Штурма [146] об осцилляционных свойствах собственных функций краевой задачи — = А:г(£), я(0) = х(1) = 0. Рассматриваемая теория является разностным аналогом осцилляционной теории для линейных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Щ = п(г)у, п{1) =

-С{1) Л(г)т Л(г) В{г) щ)т = Щ) с вещественным гамильтонианом при этом краевые задачи для гамильтоновых систем с общими самосопряженными граничными условиями являются предельно общей постановкой линейных самосопряженных граничных задач [20]. В то время как осцилляционная теория для дифференциальных систем (1.1.5) изучена достаточно глубоко в работах В. Б. Лидского [43], Ф. Р. Ганмахера, М.Г. Крейна, В.А. Якубовича, В.И. Арнольда, Ф. Аткинсона, В. Коппела, В. Рейда, В. Кратца и др., аналогичная теория для общего случая дискретных симплектических систем активно развивается лишь последние годы, и к настоящему моменту далека от завершения. Основной трудностью при построении математических моделей колебаний дискретных систем является формулировка концепции нуля решения. В то время как для дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля определение нуля решения в классическом случае является очевидным, для его дискретного аналога - уравнения г- = 0 существование «обобщенного» нуля на интервале (г, г + 1] связано с нарушением одного из двух условий Х{+\ Ф 0, Х{/{г^Хг+\) > 0 (при этом предполагается, что Х{ ф 0). Аналогичная ситуация имеет место в случае фокальных точек матричных решений дифференциальной гамильтоновой системы и ее разностного аналога - дискретной симплектической системы. Фокальная точка для сопряженного базиса -2 пхп матричного решения = [X (Ь)т II (1)т]т дифференциальной системы, удовлетворяющего гаг^У(г) = п, хг(г)*7(г) = ит(г)х(г), определяется условием с^ Х(Ь) = 0 и имеет кратность т(£) = с1е£Х(£) = п — rangX(í). В данной работе, при построении математической модели колебаний дискретных систем (1.2.1) в основе понятия «обобщенного» нуля матричного решения лежит определение фокальной точки сопряженного базиса У{ = [Х? и?]Т на (г, г + 1] [81]. Существование фокальной точки связано с нарушением хотя бы одного из двух условий условий

КегХш С КегХ{, ХгХ}+1Вг > О, где КегА - ядро А, А* означает псевдообратную для А и А > 0 означает, что А = Ат неотрицательно определенная. Количественной мерой нарушения данных условий является число фокальных точек тп(У{) [122] на интервале (г, г + 1] (с учетом их кратностей). Предлагаемый в работе новый математический аппарат, названный теорией сравнительного индекса, предназначен для разработки и исследования дискретной модели колебаний, основанной на современной концепции числа фокальных точек.

Интерес к изучению осцилляционных свойств дискретных симплектиче-ских систем вызван, как и в непрерывном случае, их приложениями, в частности, в дискретном вариационном исчислении и в теории граничных задач. В дискретном вариационном исчислении рассматривается задача минимизации N дискретного функционала Т(х) = ^2/(1,х(1 + 1),Ах(г)) —> ш£ для векторг=0 ной функции х(г) е Кп дискретного аргумента г = 0,., N + 1, удовлетворяющей заданным граничным условиям. Среди необходимых (достаточных) условий минимума дискретного функционала содержится условие неотрицательности (положительности) его второй вариации N

ВД = + !) +1) + 2*т(г +1) Д(*) Аг(г) + (Дг(г))тР(г) Дг(г)}. г=0

При исследовании знакоопределенности дискретного квадратичного функционала ведущую роль, как и в непрерывном случае [37], играет осцил-ляционная теория для векторного уравнения Якоби. К настоящему моменту дискретная осцилляционная теория позволяет исследовать знакоопределенность квадратичных функционалов более общего вида, чем это было принято рассматривать в классическом вариационном исчислении.

Второй важнейшей областью приложений дискретной осцилляционной теории, с которой непосредственно связаны основные результаты диссертационной работы, является теория граничных задач. Как частный случай данная теория включает классическую спектральную теорию для разностных скалярных и векторных уравнений Штурма-Лиувилля. Так, для дискретной краевой задачи Штурма - Лиувилля —Д(г|^Ахг) + \ = Ахг+х, хо =

1 = 0 осцилляционная теорема Штурма устанавливает равенство между числом собственных значений указанной краевой задачи, не превосходящих А, и числом фокальных точек на (О, N + 1] векторного решения сим

1 1/г,(1)

А 1 + (г<о)А)/г(.) численного для данного А. Одним из последних достижений в дискретной спектральной теории для симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра А является доказательство в 2007 г. обобщения осцилляционной теоремы Штурма [95]. Данный результат связывает число конечных собственных значений симплектической краевой задачи, не превосходящих заданное А, с числом фокальных точек некоторого сопряженного базиса симплектической системы.

Общим преимуществом приложений осцилляционных теорем Штурма плектическои системы у{+\ =

Уь уо = [0 1]т, выдля дискретного и непрерывного случаев в численных методах решения краевых задач является возможность вычислять число собственных значений краевой задачи на произвольном отрезке [а,Ь] С М, решать различные проблемы, связанные с локализацией спектра, в частности, определять число всех отрицательных или всех положительных собственных значений краевой задачи, а также вычислять только одно собственное значение с заданным номером, используя метод бисекции.

Хорошо известно, что метод бисекции для расчета собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы (Дж. Гивенс (1954), Дж. Уил-кинсон (1965)) основан на осцилляционной теореме Штурма для дискретного уравнения Штурма-Лиувилля второго порядка. Метод нахождения собственных векторов и собственных значений симметрических матриц с помощью приведения к трехдиагональной форме, основанный на вычислении обобщенных нулей последовательностей Штурма, активно развивался в работах С.К. Годунова и его учеников [17]. Хорошо известны также приложения осцилляционной теории в алгоритмах вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач для дифференциальных гамильтоновых систем и их частных случаев. Среди них ведущую роль занимают численные алгоритмы, основанные на различных модификациях метода прогонки, таких, как прогонка с унитарной матрицей-функцией (В. Б. Лидский, М.Г. Нейгауз (1962), А. Аткинсон (1964), В. Рейд (1980)), прогонка с тригонометрическими трансформациями (А. А. Абрамов, 1991), другие модификации метода дифференциальной прогонки (А. А. Абрамов, 2011). В алгоритмах, основанных на приложениях осцилляционной теории [115], [133], [3] устойчивый перенос краевых условий сочетается с параллельным вычислением функций от числа сопряженных точек на заданном интервале интегрирования при фиксированном значении спектрального параметра.

С момента доказательства осцилляционной теоремы для дискретных симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра Л, является актуальным вопрос о возможностях её приложений в алгоритмах решения дискретных самосопряженных краевых задач. Как показал проведенный анализ, соответствующие приложения осцилляционной теории для дифференциальных граничных задач потребовали наличия развитого математического аппарата, практически отсутствующего в дискретной осцилляционной теории для концепции кратностей фокальных точек. Существующий аппарат, основанный на дискретной вариационной технике, оказался недостаточным для доказательства многих открытых проблем, поставленных в данной теории в конце 90-х г. прошлого века. В частности, открытыми оставались вопросы о соотношениях между кратностями фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем при изменении начальных условий и коэффициентов систем; при произвольных симплектических трансформациях; при переходе от симплектической системы к ей обратной; другие открытые вопросы, важные для приложений. Построению такого аппарата, его приложениям в дискретной осцилляционной теории и в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач посвящена настоящая работа.

Цель диссертационной работы. Введение и разработка математического аппарата, позволяющего получить новые количественные характеристики осцилляционных свойств решений дискретных симплектических систем, установить основные законы их изменения, а также разработать численные алгоритмы решения дискретных краевых задач, основанные на приложениях новых результатов дискретной осцилляционной теории.

Научная новизна.

1. Предложен новый математический аппарат в исследовании и разработке математических моделей колебаний дискретных симплектических систем - метод сравнительного индекса.

2. С использованием метода сравнительного индекса впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек двух сопряженных базисов одной симплектической системы (обобщение теорем отделимости) или двух сопряженных базисов различных симплектических систем (обобщение теорем сравнения).

3. Разработана концепция числа фокальных точек сопряженного базиса обратной симплектической системы (числа фокальных точек на полуинтервале [г, г +1)). Решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (О, N + 1] и [О, N + 1).

4. Впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической трансформации. Решена проблема об обобщении принципа взаимности для дискретной симплектической системы при произвольной симплектической трансформации сопряженного базиса.

5. Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра и различными самосопряженными (в том числе связанными) граничными условиями на конечном отрезке изменения дискретной переменной. Впервые доказаны теоремы, представляющие число собственных значений дискретной краевой задачи на произвольном интервале (а, &]; впервые получены результаты, связывающие число собственных значений двух спектральных задач с различными симплектическими матрицами коэффициентов на интервалах (—оо, а] и (—оо, Ь] при произвольно заданных а, Ъ Е М. Получены неравенства для собственных значений двух дискретных симплектических краевых задач с различными самосопряженными граничными условиями, в частности, обобщенные свойства перемежаемости спектров двух задач с разделенными и связанными граничными условиями.

6. Впервые предложены и доведены до программной реализации алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов дискретных сим-плектических систем, основанные на разработанных в диссертации вариантах ортогональной прогонки, сохраняющих симплектическую структуру задачи.

7. Разработаны и доведены до программной реализации численные методы определения собственных значений дискретных линейных симплекти-ческих краевых задач с самосопряженными граничными условиями, основанные на новых результатах дискретной осцилляционной теории.

Практическая значимость Разработанный метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных симплекти-ческих систем может быть использован:

• в новых численных методах и комплексах программ для решения дискретных линейных самосопряженных краевых задач, в том числе полученных при конечноразностных и конечноэлементных аппроксимациях самосопряженных дифференциальных операторов;

• при решении проблемы минимизации дискретных функционалов в задачах дискретного вариационного исчисления, задачах дискретной лагранжевой и гамильтоновой механики;

• в алгоритмах решения проблемы собственных значений для разреженных Л - матриц специальной структуры, в частности, симметрических ленточных и блочно-трехдиагональных матриц;

• в алгоритмах исследования устойчивости численных методов, связанных с проблемами локализации спектра соответствующих вспомогательных самосопряженных разностных операторов.

Построенная в работе относительная осцилляционная теория для пары самосопряженных дискретных краевых задач может найти приложения в задачах исследования устойчивости колебаний и параметрического резонанса в линейных гамильтоновых системах, а предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений, основанные на методе прогонки, могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры Общей Математики факультета ВМиК МГУ (руководители академик РАН В.А.Ильин, академик РАН Е. И. Моисеев); на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительных Методов факультета ВМиК МГУ под руководством проф. A.M. Гулина; на следующих 14 научных конференциях и конгрессах:

III, IV международная научная конференция "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах"(Тверь, 1998; Москва, 2000); 6th International Conference on Difference Equations (Augsburg, Germany, 2001); V International congress on mathematical modelling (Dubna, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» ( Москва, 2003); 8th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2003 (Brno, Czech Republic, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N. Novgorod, 2004); 10th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2005 (Munich, Germany, 2005); European Advanced Studies Conference, EASC7 (Homburg, Germany, 2006); 12th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2007, (Lisbon, 2007); Progress on difference equations, International conference PODE 2008 (Laufen/Salzach and Salzburg, Germany, 2008); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем"(Москва, 2008); 14th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2009 (Estoril,

Portugal, 2009); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем "(Москва, 2011);

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка теоретических основ метода сравнительного индекса в построении и исследовании математических моделей колебаний дискретных симплектических систем.

2. Теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих число фокальных точек сопряженных базисов данных систем.

2. Доказательство основных формул относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спектрального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, &]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями.

3. Доказательство обобщений дискретного принципа взаимности при произвольных трансформациях сопряженных базисов симплектических систем. Формулы связи между числом фокальных точек при произвольных симплектических трансформациях.

4. Варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:

-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании симплектических перестановок строк сопряженного базиса;

-модификация варианта дифференциальной прогонки A.A. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.

5. Алгоритмы расчета собственных значений дискретных краевых задач, основанные на вычислении фокальных точек сопряженных базисов симплек-тических систем с параметром. Алгоритмы вычисления числа фокальных точек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода прогонки и новых результатах осцилляционной теории:

- алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;

- алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Елисеева, Юлия Витальевна

Основные результаты данной главы опубликованы в работах [25], [26], [30], [98], [107], [24], [36], [28], [27], [29], [12], [100], [23], [106],[34], а также в принятой к опубликованию работе: Ю.В. Елисеева Об одном подходе к вычислению собственных значений дискретных симплектических краевых задач. Известия Вузов. Математика.

Заключение

1. В диссертации на основе выполненных автором исследований в дискретной осцилляционной теории разработаны теоретические положения, совокупность которых можно классифицировать как научное достижение в области разработки метода математического моделирования колебаний дискретных линейных симплектических систем.

2. Разработан метод сравнительного индекса, позволяющий с единой точки зрения рассматривать определения кратностей фокальных точек, лежащие в основе изучаемой дискретной модели колебаний; проблемы сравнения решений; проблемы сравнения матриц-коэффициентов дискретных симплектических систем.

3. Доказаны теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих числа фокальных точек сопряженных базисов данных систем.

4. Введена и разработана концепция числа фокальных точек для сопряженного базиса обратной симплектической системы (число фокальных точек на [г, г + 1)), решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (О, +1] и [О, Ы +1), позволяющая свести изучение осцилляционных свойств решений исходной системы к изучению осцилляционных свойств обратной симплектической системы.

5. Впервые получены результаты о связи между числом фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической трансформации. Исследовано взаимное осцилляционное поведение решений симплектической системы и трансформированной системы при г —> оо в зависимости от симплектической матрицы системы и выбранной трансформации, доказаны обобщения принципа взаимности для дискретной симплектической системы.

6. Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спектрального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, Ь]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями и матрицами коэффициентов.

7. Разработаны варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:

-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании симплектических перестановок строк сопряженного базиса;

-модификация варианта дифференциальной прогонки A.A. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.

8. Разработаны новые алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода прогонки и новых результатах осцилляционной теории:

- алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;

- алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.

9. Разработан комплекс программ для вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями, основанный на использовании основных алгоритмов вычисления фокальных точек, предложенных в работе. Результатами тестирования ряда модельных задач программами комплекса подтверждена правильность основных теоретических результатов работы, эффективность метода сравнительного индекса в разработке устойчивых алгоритмов вычисления фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем. Предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Елисеева, Юлия Витальевна, 2012 год

1. Абрамов А. А., Асланян A.A. Обобщение одного метода решения задачи на собственные значения для гамильтоновых систем // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34, № 12. С. 1896-1901.

2. Абрамов А. А. Об отыскании собственных значений и собственных функций самосопряженной дифференциальной задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 41. С. 819-831.

3. Абрамов А. А. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. С. 29-38.

4. Абрамов А. А. О численной устойчивости одного метода переноса граничных условий // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. С. 401-406.

5. Абрамов А. А. Модификация одного метода решения нелинейной самосопряженной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. С. 39-43.

6. Абрамов А. А., Юхно JI. Ф. Об определении числа собственных значений спектральной задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34. С. 776-783.

7. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Колебания взаимодействующих систем снеоднородными распределенными параметрами // Механика твердого тела. 1999. Т. 2. С. 15-25.

8. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, № 4. С. 588-602.

9. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. Москва: Мир, 1968. 752 с.

10. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. Москва: Наука, 1975. 631 с.

12. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. Москва: Наука, 1973. 343 с.

13. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Москва: Издательство иностранной литературы, 1959. 457 с.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Москва: Физматлит, 1998. 552 с.

15. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод прогонки для решений разностных уравнений // Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. Москва: Физматгиз, 1962. 352 с.

16. Годунов С. К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1992. 360 с.

17. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1987. 416 с.

18. Голуб Дж., Лоун Ч. Ван. Матричные вычисления. Москва: Мир, 1999. 548 с.

19. Гохберг И. Ц., Крейн М.Г. Теория волтерровых операторов в гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1967. 508 с.

20. Дмитриев В.И., Аккуратов Г.В., Мерщикова H.A., др. Численные методы в геофизике. Москва: Издательство Московского университета, 1979. 122 с.

21. Елисеева Ю.В., Казаков O.A., Уварова JI.A. и др. Математическое моделирование процессов, явлений и структур в сложных системах. // Вестник МГТУ "Станкин". 2008. № 1. С. 44 59.

22. Елисеева Ю.В., Бондаренко A.A. Один метод вычисления собственных значений дискретных задач Штурма-Лиувилля высших порядков // Вестник МГТУ "Станкин". 2011. Т. 1, ДО 13. С. 95-101.

23. Елисеева Ю.В. Равномерные асимптотические разложения решений системы уравнений теории упругости // Вестник Московского Университета. Серия 15: Вычислительная Математика и Кибернетика. 1987. № 3. С. 23-30.

24. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения симплектического матричного уравнения Риккати // Вестник Московского Университета. Серия 15: Вычислительная Математика и Кибернетика. 1990. № 2. С. 14-19.

25. Елисеева Ю.В. Об одном методе решения канонической системы разностных уравнений // Динамика технологических систем". Труды V Международной научно-технической конференции / Под ред. А. В. Пуш. Т. 1. Ростов на Дону: ДГТУ, 1997. С. 25-27.

26. Елисеева Ю.В. Обобщенный алгоритм инверсии для дискретного матричного уравнения Риккати // Проектирование технологических машин: Сборник научных трудов / Под ред. А. В. Пуш. М.: МГТУ " Станкин ", 1997. Т. 6. С. 8-11.

27. Елисеева Ю.В. Об одном алгоритме решения матричного разностного уравнения Риккати // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39, № 2. С. 187-194.

28. Елисеева Ю.В. Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 431-444.

29. Елисеева Ю.В. Теоремы сравнения для симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 9. С. 1329-1342.

30. Елисеева Ю.В. Сравнительный индекс в математическом моделировании колебаний дискретных симплектических систем. Москва: ФГБОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2011. 354 с. ISBN: 978-5-7028-07492.

31. Елисеева Ю.В. О спектрах дискретных симплектических краевых задач с разделенными граничными условиями // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. № 11. С. 84-88.

32. Елисеева Ю.В. Дополнение Шура и число фокальных точек симплектической системы разностных уравнений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011. № 3. С. 18-23.

33. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. Москва: Факториал, 1998. 351 с.

34. Ильин В.П. Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. Москва: Наука, 1985. 208 с.

35. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. Москва: Наука, 1975.162с.

36. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. Москва: Наука, 1968. 504 с.

37. Кублановская В. Н. Методы и алгоритмы решения спектральных задач для полиномиальных и рациональных матриц // Зап. научн. сем. ПО-МИ. 1997. Т. 238. С. 7-328.

38. Лидский В. В., Нейгауз М.Г. К методу прогонки в случае самосопряженной системы второго порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2, 1. С. 161-165.

39. Лидский В.Б. Осцилляционные теоремы для канонической системы дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 102, № 3. С. 877-880.

40. Милнор Дж. Теория Морса. Москва: Издательство ЛКИ, 2011. 184 с.

41. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Москва: Наука, 1984. 204 с.

42. Монастырный П. И. Об одном аналоге метода A.A. Абрамова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5, № 2. С. 342-345.

43. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. Москва: КомКнига, 2007. 192 с.

44. Набоко С. Н., Яковлев С. И. Дискретный оператор Шрёдингера. Точечный спектр, лежащий на непрерывном // Алгебра и анализ. 1992. № 4. С. 183-195.

45. Нейгауз М.Г., Шкадинская Г.В. Метод расчета поверхностных волн Ре-лея в вертикально-неоднородном полупространстве // Машинная интерпретация сейсмических волн. Москва: Наука, 1966. С. 121-129.

46. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Москва: Мир, 1983. 382 с.

47. Самарский A.A. Теория разностных схем. Москва: "Наука 1977. 656 с.

48. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1966. 736 с.

49. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Москва: Машиностроение, 1985. 472 с.

50. Уилкинсон Д. Алгебраическая проблема собственных значений. Москва: Наука, 1970. 564 с.

51. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Москва: Мир, 1999. 685 с.

52. Юхно JI. Ф. Алгоритм вычисления ранга и сигнатуры эрмитовой блочно-трехдиагональной матрицы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36. С. 42-51.

53. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Москва: Наука, 1972. 720 с.

54. Якубович В.А. Условия колебательности и неколебательности для линейных канонических систем дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 5. С. 994-997.

55. Якубович В.А. Аргументы на группе симплектических матриц // Математический сборник. 1961. Т. 55, № 3. С. 255-279.

56. Agarwal R., Ahlbrandt С., Bohner М., Peterson A. Discrete Linear Hamilto-nian Systems: A Survay // Dynamic systems and Applications. 1999. Vol. 8. Pp. 307-333.

57. Ahlbrandt C. D. Variational inequalities // Lecture notes in Pure and Applied mathematics. 1991. no. 129. Pp. 1-19.

58. Ahlbrandt C. D. Discrete variational inequalities // "General inequalities 6 6th international conference on general inequalities, Oberwolfach, 1990 / Ed. by W. Walter. Basel: Birkhauser-Verlag, 1992. Pp. 93-107.

59. Ahlbrandt C. D. Equivalence of discrete Euler equations and discrete Hamil-tonian systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993. no. 180. Pp. 498-517.

60. Akulenko L.D., Nesterov S.V. A frequency-parametric analysis of natural oscillations of non-uniform rods // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2003. Vol. 67. Pp. 525-537.

61. Akulenko L.D., Nesterov S.V. Flexural vibrations of a moving rod // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2008. Vol. 72. Pp. 550-560.

62. Akulenko L. D., Nesterov S. V. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications. Boca Raton London New York Washington, D.C.: Chapman and Hall/Crc, 2005. 235 p.

63. Amrein W. O., Hinz A. M., Pearson D. B. Sturm-Liouville theory past and present. Basel: Springer, 2005. 348 p.

64. Auckenthalera T., Blumb V., Bungartza H.-J. et al. Parallel solution of partial symmetric eigenvalue problems from electronic structure calculations // Parallel Computing. 2011. Vol. 37. Pp. 783-794.

65. Bailey P.B., Everitt W.N., Zettl A. The SLEIGN2 Sturm-Liouville Code // ACM Trans. Math. Software. 2001. Vol. 21. Pp. 143-192.

66. Bandyrskii B., Gavrilyuk I., Lazurchak I.,Makarov V. Functional-discrete method (fd-method) for matrix Sturm-Liouville problems // Comput. Methods in Appl. Math. 2005. Vol. 5. Pp. 362-386.

67. Ben-Israel A., Greville E.N. Generalized Inverses, Theory and Applications, Springer-Verlag. New York: Springer-Verlag, 2003.

68. Benner P. Symplectic balancing of Hamiltonian matrices / / SI AM Journal on Scientific Computing. 2000. no. 22. Pp. 1885-1904.

69. Bohner M. Linear Hamiltonian difference systems: Disconjugacy and Jaco-bi-type conditions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1996. no. 199. Pp. 804-826.

70. Bohner M. On disconjugacy for Sturm-Liouville difference equation // Journal of Difference Equations and Applications. 1996. Vol. 2. Pp. 227-237.

71. Bohner M. Riccati matrix difference equations and linear Hamiltonian difference systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1996. Vol. 2, no. 2. Pp. 147-159.

72. Bohner M. Discrete Sturmian Theory // Mathematical Inequalities and Applications. 1998. Vol. 1. Pp. 375-383.

73. Bohner M., Dosly 0. Disconjugacy and transformations for symplectic systems // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1997. no. 3. Pp. 707-743.

74. Bohner M., Dosly 0. Trigonometric transformations of symplectic difference systems // J. Differential Equations. 2000. no. 163. Pp. 113-129.

75. Bohner M., Dosly O., Kratz W. A Sturmian theorem for recessive solutions of linear Hamiltonian difference systems // Appl.Math. Lett. 1999. no. 12. Pp. 101-106.

76. Bohner M., Dosly O., Kratz W. An oscillation theorem for discrete eigenvalue problems // Rocky Mountain J. Math. 2003. Vol. 33. Pp. 1233-1260.

77. Bohner M., 0. Dosly, Kratz W. Inequalities and asymptotics for Riccati matrix difference operators // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998. Vol. 221, no. 1. Pp. 262-286.

78. Bohner M., 0. Dosly, Kratz W. Sturmian and spectral theory for discrete symplectic systems // Transactions of the American Mathematical Society. 2009. Vol. 361. Pp. 3109-3123.

79. Coppel W.A. Disconjugacy. Berlin: Springer, 1971.

80. Demmel J., McKenney A. A test matrix generation suite: LAPACK Working Note 9. New York: Courant Institute,Computer science dept. technical report, 1989.

81. Demmel J. W., Dhillon I. S., Ren H. On the Correctness of Some Bisectionlike Parallel Algorithms in Floating Point Arithmetic // Electronic Transactions of Numerical Analysis. 1995. Vol. 3. Pp. 116-140.

82. Dopico F. M., Johnson C. R. Complementary bases in symplectic matrices and a proof that their determinant is one // Linear Algebra and it's Applications. 2006. Vol. 419. Pp. 772-778.

83. Dopico F. M., Johnson C. R. Parametrization of matrix symplectic group and applications // SIAM Journal of Matrix Analysis. 2009. Vol. 419. Pp. 1-24.

84. Dosly O. Transformations of linear Hamiltonian systems preserving oscillatory behaviour // Arch. Math. (Brno). 1991. Vol. 27b. Pp. 211-219.

85. Dosly O. Transformations of linear Hamiltonian difference systems and some of their applications //J. Math. Anal. Appl. 1995. no. 191. Pp. 250-265.

86. Dosly O., Hilscher R. Linear Hamiltonian difference systems: Transformations, recessive solutions, generalized reciprocity // Dynamic Systems and Applications. 1999. Vol. 8, no. 2. Pp. 401-419.

87. Dosly O., Kratz W. Oscillation theorems for symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2007. no. 13. Pp. 585-605.

88. Dosly O., Kratz W. A Sturmian separation theorem for symplectic difference systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. Vol. 325. Pp. 333-341.

89. Dosly O., Kratz W. Oscillation and spectral theory for symplectic difference systems with separated boundary conditions // Journal of Difference Equations and Applications. 2010. Vol. 16. Pp. 831-846.

90. Elyseeva J.V. A transformation for symplectic systems and the definition of a focal point // Computers & Mathematics with Applications. 2004. Vol. 47, no. 1. Pp. 123-134.

91. Elyseeva J. A transformation for the Riccati difference operator // Proceedings of the Sixth International Conference on Difference Equations, 2001 / Ed. by Elaydi S., Aulbach B., Ladas G. Boca Raton: Chartman Hall/CRC, 2005. Pp. 417-424.

92. Elyseeva J.V. Transformations and the number of focal points for conjoined bases of symplectic difference systems // Journal of Difference Equations and Applications. 2009. Vol. 15, no. 11. Pp. 1055-1066.

93. Elyseeva J.V. On relative oscillation theory for symplectic eigenvalue problems // Applied Mathematics Letters. 2010. Vol. 23, no. 10. Pp. 1231-1237.

94. Elyseeva J.V., Bondarenko A.A. The Schur complement in an algorithm for calculation of focal points of conjoined bases of symplectic differencesystems // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2011. Vol. 67, no. 4. Pp. 455-474.

95. Erbe L., Yan P. Disconjugacy for linear Hamiltonian difference systems // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 167. Pp. 355-367.

96. Fassbender H. Symplectic Methods for the Symplectic Eigenproblem. New York: Kluwer, 2000.

97. Feng K., Qin M.-Z. The symplectic methods for the computation of Hamiltonian equations // Lecture Notes in Mathematics. 1987. Vol. 1297. Pp. 1-37.

98. Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers — Advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. Vol. 467. Pp. 1-116.

99. Greenberg L. An oscillation method for fourth order, self-adjoint two-point boundary value problems with nonlinear eigenvalues // Siam J. Math. Analysis. 1991. no. 22. Pp. 1021-1042.

100. Greenberg L. A Priifer method for calculating eigenvalues of self-adjoint systems of ordinary differential equations: Tr91-24. Maryland: University of Maryland technical report, 1991.

101. Greenberg L., Marietta M. Algorithm 775: The code SLEUTH for solving fourth-order Sturm-Liouville problems // ACM Trans. Math. Software. 1997. Vol. 23. Pp. 453-493.

102. Greenberg L., Marietta M. Numerical methods for higher order Sturm-Liouville problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 125. Pp. 367-383.

103. Greenspan D. Discrete models. London: Addison-Wesley, 1973.

104. Hairer E., Norsett S, P., Wanner G. Ordinary Differential equations I, Non-stiff Problems. New York: Springer, 2008.

105. Hilscher R.S., Zeidan V. Symmetric Three-Term Reccurence Equations and Their Symplectic Structure // Advances in Difference Equations. 2010. Vol. 2010.

106. Huanga Y., Denga Z., Yaoa L. An improved symplectic precise integration method for analysis of the rotating rigid-flexible coupled system // Journal of Sound and Vibration. 2007. Vol. 299. Pp. 229-246.

107. Kratz W. Quadratic Functionals in Variational Analysis and Control Theory. Berlin: Akademie Verlag, 1995.

108. Kratz W. Banded matrices and difference equations // Linear Algebra and its Applications. 2001. no. 337. Pp. 1-20.

109. Kratz W. Discrete Oscillation // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. Vol. 9. Pp. 127-135.

110. Kratz W., Tentler M. Recursion formulae for the characteristic polynomial of symmetric banded matrices // Linear Algebra and its Applications. 2008. no. 428. Pp. 2482-2500.

111. Kriiger H., Teschl G. Relative Oscillation Theory, weighted zeros of the Wronskian, and Spectral Shift Function // Communications in Mathematical Physics. 2009. Vol. 287. Pp. 613-640.

112. Ladas G., Grove E.A., Kulenovic M.R.S. Progress Report on Rational Difference Equations // Journal of Difference Equations and Applications. 2004. Vol. 10. Pp. 1313-1327.

113. Laub A. J. Matrix Analysis for Scientists and Engineers. Philadelphia: SIAM, 2005.

114. Ledoux V., Van Daele M.,Vanden Berghe G. Efficient computation of high index Sturm-Liouville eigenvalues for problems in physics // Computer Physics Communications. 2009. Vol. 180. Pp. 241-250.

115. Lill J.V., Schmalz T.G., Light J.C. Imbedded matrix Green's functions in atomic and molecular scattering theory //J. Chem. Phys. 1983. Vol. 78. Pp. 4456-4463.

116. Xue-Shen L., Yue-Ying Q., Jian-Feng H., Pei-Zhu D. Recent Progress in Symplectic Algorithms for Use in Quantum Systems // Communications in computational physics. 2007. Vol. 2, no. 1. Pp. 1-53.

117. Loan V. A Symplectic method for approximating all the eigenvalues of a Hamiltonian matrix // Linear Algebra and it's Applications. 1984. Vol. 61. Pp. 233-251.

118. Mackey D.S., Mackey N., Tisseur F. Structured tools for structured matrices // Electron. J. Linear Algebra. 2003. Vol. 10. Pp. 106—145.

119. Marietta M. Automatic solution of regular and singular vector Sturm-Liou-ville problems // Numer. Algorithms. 1993. Vol. 4. Pp. 65-99.

120. Marietta M. Numerical solution of eigenvalue problems for Hamiltonian systems // Advances in Computational Mathematics. 1994. Vol. 2, no. 2.

121. Marsden J., West M. Discrete Mechanics and Variational Integrators // Acta Numerica. 2001. Pp. 1-158.

122. McMahona J., Grayb S., Schatza G. A discrete action principle for electrodynamics and the construction of explicit symplectic integrators for linear,non-dispersive media // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228. Pp. 3421-3432.

123. Mehrmann V. A symplectic orthogonal method for single input or single output discrete time optimal quadratic control problems / / SI AM J. Matrix Anal. Appl. 1988. Vol. 9. Pp. 221-247.

124. Morse M. Variational analysis: Critical extremals and Sturmian extensions. New York: Willey, 1973.

125. Nelson P. On the effectiveness of the inverse Riccati transformation in the matrix case // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1978. no. 67. Pp. 201-210.

126. Rasmussen C. H. Oscillation and asymptotic behaviour of systems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. no. 256. Pp. 1-49.

127. Reid W.T. Riccati differential equations. New York and London: Academic Press, 1972.

128. Reid W.T. Sturmian Theory for Ordinary Differential Equations. New York Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1980.

129. Ruth R.D. A Canonical integration technique // IEE T. Nucl.Sci. 1983. Vol. 30. Pp. 2669—2671.

130. Sanz-Serna J. M., Portillo A. Classical numerical integrators for wave-packet dynamics // J. Chem. Phys. 1996. Vol. 104, no. 6. Pp. 2349-2355.

131. Shi Y. Symplectic Structure of Discrete Hamiltonian Systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2002. Vol. 266. Pp. 472-478.

132. Stephen N. G. Transfer matrix analysis of the elastostatics of one-dimensional repetitive structures // Proc. R. Soc. A. 2006. Vol. 462. Pp. 2245—2270.

133. Sturm C. Mémoire sur une classe d'Équations á differences partielles //J. Math. Purés Appl. 1836. Vol. 1. P. 373-444.

134. Swanson C.A. Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equa- tions. New York: Academic Press, 1968.

135. Teschl G. Oscillation theory and renormalized oscillation theory for Jacobi operators // Journal of Differential Equations. 1996. Vol. 129. Pp. 532-558.

136. Teschl G. Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. Providence: AMS Mathematical Surveys and Monographs, 1999.

137. Tian Y. Equalities and inequalities for inertias of Hermitian matrices with applications // Linear Algebra and it's Applications. 2010. Vol. 433. Pp. 263-296.

138. Huang X., Jiang A., Zhang Z., Hua H. Design and optimization of periodic structure mechanical filter in suppression of foundation resonances // Journal of Sound and Vibration. 2011. Vol. 330. Pp. 4689-4712.

139. Zettl A. Sturm-Liouville Theory. Providence: AMS Mathematical Surveys and Monographs, 2005.