Метод решения граничных задач кинетической теории для квантовых ферми-газов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Костиков, Александр Артурович

• Костиков, Александр Артурович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Костиков, Александр Артурович

Введение

1 Уравнение Больцмана, его модели и граничные задачи

1.1 Обзор методов и подходов в исследовании граничных задач кинетической теории.

1.2 Уравнение Больцмана и его модели.

1.3 Основные характеристики газа. Виды граничных условий

1.4 Скольжение простого (одноатомного) газа вдоль плоской поверхности

1.5 Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического уравнения.

1.6 Кинетические коэффициенты и число Прандтля

2 Функция распределения, химический потенциал и концентрация при испарении ферми-газа

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи и основные уравнения.

2.3 Формулировка граничных условий.

2.4 Кинетические коэффициенты.

2.4.1 Коэффициент диффузии

2.4.2 Массовая скорость.

2.5 Аналитическое решение задачи.

2.5.1 Разделение переменных.

2.5.2 Дискретный спектр характеристического уравнения

2.5.3 Разложение решения по собственным функциям

2.5.4 Однородная краевая задача Римана.

2.5.5 Профиль концентрации в полупространстве

2.5.6 Функция распределения

2.6 Явный конечно-разностный метод.

2.7 Профиль химического потенциала.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод решения граничных задач кинетической теории для квантовых ферми-газов»

3.2 Постановка задачи и основные уравнения .90

3.3 Аналитическое решение задачи Крамерса.93

3.3.1 Сведение к сингулярному интегральному уравнению .93

3.3.2 Решение сингулярного уравнения.95

3.4 Функция распределения.97

3.5 Вязкость квантового газа.99

3.6 Массовая скорость ферми -газа .101

3.7 Явный конечно-разностный метод.102

3.8 Заключение и обсуждение результата.105

Заключение по диссертации

109

Приложения 111

Приложение I. Интегральное представление функции

X(z).Ill

Приложение 2. Интегральное представление функции

X~\z).116

Приложение 3. Факторизация дисперсионной функции . . 117

Список литературы 121

Введение

Общая характеристика работы

Работа посвящена разработке новых математических моделей для изучения кинетических явлений разреженных квантовых ферми-газов при достаточно общих граничных условиях. Рассматриваются: задача об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и задача об изотермическом скольжении одноатомпого квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности. Исследована зависимость коэффициента скачка химического потенциала от коэффициента испарения. Проведены численные эксперименты и построены зависимости коэффициента скачка безразмерного химического потенциала от величины коэффициента аккомодации в широком диапазоне значений коэффициента аккомодации. Коэффициент изотермического скольжения найден как функция коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул и безразмерного химического потенциала. Выполнено сравнение модельных результатов с известными результатами, когда квантовый ферми-газ переходит в классический.

Актуальность темы

В последнее время наблюдается растущий интерес к задачам, связанным с поведением газов в режимах, когда их квантовыми свойствами пренебречь нельзя. Большой интерес вызывает также вопрос о поведении смесей этих газов. Наиболее часто рассматриваемыми «квантовыми» газами являются 3Не и 4Не. Отметим, что 3Не — это ферми-газ, а 4Не —бозе-газ. Такое сочетание различных квантовых статистик вызывает особый интерес к их смесям. Много работ посвящено свойствам растворов этих газов. В то же время граничные задачи для таких смесей остаются малоисследованными. К таким задачам относится задача о поведении смеси квантовых газов вблизи границы испарения. Другой актуальной задачей является задача об изотермическом скольжении одноатомного ферми-газа вдоль плоской поверхности. Эти задачи являются привлекательными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают в различных областях науки и техники, связанных с авиацией, космическими исследованиями, с получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдосжиженном слое, и т. п.

С теоретической точки зрения, данные задачи интересны, прежде всего, тем, что они относятся к сложным задачам физической механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы.

В данной работе продемонстрирован один из таких подходов, позволяющий получить определенные результаты путем линеаризации исходных уравнений.

Эти задачи актуальны в астрофизике, космофизике и физике верхней атмосферы земли, в химической технологии, при получении сверхчистых веществ в космосе и т. п. Так, вопрос о профиле температуры вблизи металлических образцов малых размеров представляет большой интерес для микроэлектроники, где учет влияния поверхности на распределение температуры становится принципиальным. Таким образом, рассматриваемые в работе вопросы имеют несомненное прикладное значение.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка нового эффективного метода решения граничных задач кинетической теории, в основе которого лежит метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. На пути к поставленной цели основными задачами исследования были следующие:

1. Создание математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ — конденсированная фаза, для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. Для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений.

2. Разработка численного метода, который вычисляет функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантового ферми-газа.

3. Создание комплекса программ для проведения исследований решений кинетических уравнений в задачах испарения и скольжения квантовых ферми-газов.

Научная новизна

Новизна проведенного исследования состоит в том, что в диссертации впервые получены точные аналитические решения полупространственных задач об испарении бинарной газовой смеси, когда испаряющейся компонентой является квантовый ферми-газ, и об изотермическом скольжении одноатомного квантового феми-газа вдоль плоской поверхности при аккомодационных условиях отражения частиц.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается линеаризованное относительно абсолютного максвеллиана кинетическое уравнение Больцмана. Методом разделения переменных это уравнение сводится к задаче на собственные значения (в данной работе это решение дисперсионного уравнения). При исследовании моделей кинетических уравнений применяется техника методов теории функций комплексного переменного, в частности, метод краевых задач Римана-Гильберта. В работе используются методы теории обобщенных функций, методы теории возмущений, асимптотические методы. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad.

Практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения разработанного метода. Представленная методика решения задач испарения бинарных квантовых ферми-газов и скольжения одноатомных квантовых ферми-газов позволяет оценить влияние различных параметров (размер частиц, концентрации частиц, вязкости) на распределение поглощенной энергии внутри частиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменять распределение температуры в газовой среде, что создает определенные возможности для управления различными физико-химическими процессами (фазовые переходы, химические превращения, изменения агрегатных состояний и др.).

Использованные методы решения кинетических уравнений могут найти применение в различных областях техники для задач, связанных с авиацией и космическими исследованиями, получением сверхчистых веществ в космосе, в химической технологии, в частности, при математическом описании и моделировании процессов, происходящих в псевдосжиженном слое и т. п.

Апробация работы

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы исследований докладывались и обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

• Международная конференция молодых ученых MAKS 2007, г. Жуковский, М. О.

• IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Краснодар, 2007 г.).

• Международная молодежная научная конференция «Гагарин-ские чтения» (г. Москва, 2006-2009 гг.).

• Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН им. А. А. Дороницина (2006-2009 гг.).

• Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ» — РГТУ им. К.Э. Циолковского (2004-2008 г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах ([12]-[15], [21] [22]):

1. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшканов А. А. Скорость квантового ферми-газа в задаче Крамерса с аккомодационными граничными условиями // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(1). С. 45-53.

2. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшкаиов А. А. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(3). С. 80-89.

3. Гурченков А. А., Костиков А. А. Математические модели кинетических уравнений // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах». Анапа. 2007. Т. 3. С. 92-93.

4. Гурченков А. А., Костиков А. А. Интегральные уравнения в линеаризованных уравнениях Больцмана // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и рентсние задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Абрау-Дюрсо. 2008. Т. 3. С. 243.

5. Костиков А. АЛатышев А. В., Юшканов А. А. Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов // Физика низких температур. 2008. Т. 34. № 9. С. 914-920.

6. Костиков А. А., Латышев А. В., Юшканов А. А. Скачок химического потенциала при испарении ферми-газа // Журнал технической физики. 2008. Т. 79. Вып. 4. С. 1-8.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 133 страницы. Диссертация содержит 16 рисунков, список литературы из 98 наименований. Текст работы разделен на главы, парагра

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Костиков, Александр Артурович, 2010 год

1. Арсенъев А. А. Лекции по кинетической теории. — М.: Наука. 1992.

2. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. — М.: Наука. 1975.

3. Бобылев А. В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша. 1987. 253 с.

4. Болъцман Л. Лекции по теории газов. — М.: Гостехиздат. 1956.

5. Ван Кампен. Дисперсионное уравнение для волн в плазме. — Сб. статей под ред. Бернашевского Г. А. и Чернова 3. С. 1961. М.: ИИЛ. 360 с. (С. 57-70).

6. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Ландау. — М.: Физматлит. 2001. 111 с.

7. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. —М.: Физматлит. 2000. 399 с.

8. Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ. 1938. Т. 8 (3). С. 291.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. —М.: Наука. 1977. 640 с.

10. Гахов Ф.Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. — М.: Наука. 1978. 296 с.

11. Гермогеиова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса // ИПМатем. АН СССР. Препринт № 103. 1976. 55 с.

12. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшка-нов А. А. Скорость квантового ферми-газа в задаче Крамер-са с аккомодационными граничными условиями // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (1). С. 45-53.

13. Гурченков А. А., Костиков А. А., Латышев А. В., Юшка-нов А. А. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (3). С. 80-89.

14. Елизарова Т. Г., Четверушкин Б. Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений // В сб.:Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. — М.: Наука. 1985.

15. Карлеман Т. Математические вопросы теории газов. —М.: ИЛ. 1960.

16. Кейз К. М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. — М.: Мир. 1972. 384 с.

17. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. — М.: Наука. 1967. 40 с.

18. Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // УФН. 2001. Т. 171. № 7. С. 765-774.

19. Костиков А. А., Лат,ышев А. В., Юшканов А. А. Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми-газов // Физика низких температур. 2008. Т. 34. № 9. С. 914-920.

20. Костиков А. А., Латышев А. В., Юшканов А. А. Скачок химического потенциала при испарении ферми-газа // Журнал технической физики. 2008. Т. 79. Вып. 4. С. 1-8.

21. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы // ЖЭТФ 16, 374 (1946).

22. Латышев А. В., Любимова Н.Н., Юшканов А. А. Тепловое скольжение ферми-газа // Известия вузов. Серия «Физика». 2006. № 7. С. 11-17.

23. Латышев А. В., Попов В.Н., Юшканов А. А. К вопросу о вычислении скорости скольжения разреженного газа вдоль твердой цилиндрической поверхности // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 5. С. 70-74.

24. Латышев А. В., Попов В.Н., Юшканов А. А. Применение метода Кейза в задаче о тепловом скольжении разреженного газа вдоль твердой сферической поверхности // Сиб. журнал ин-дустр. матем. 2002. Т. 5. № 3 (11). С. 103-114.

25. Латышев А. В., Попов В.Н., Юшканов А. А. Расчет скорости изотермического скольжения разреженного газа вдоль слабо искривленной поверхности // Теплофизика и аэродинамика. 2004. № 2. С. 203-208.

26. Латышев А. В., Попов В. Н., Юшканов А. А. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. Монография.— Архангельск. 2004. 263 с.

27. Латышев А. В., Попов В. П., Юшканов А. А. Влияние кривизны поверхности па значение коэффициента изотермического скольжения //Ж. физ. химии. 2003. Т. 78. № 4. С. 655-658.

28. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений // Теор. и матем. физика. 1990. Т.85. № 3 (декабрь). С. 428-442.

29. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задач скольжения бинарного газа //Теор. и матем. физика. 1991. Т. 86. № 3 (март). С. 402-419.

30. Латышев А. В., Юшканов А. А. Теория и точные решения задач скольжения бинарного газа вдоль плоской поверхности // Ж. выч. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. № 8. С. 1201-1210.

31. Латышев А. В., Юшканов А. А. Уравнения свертки в задаче о диффузионном скольжении бинарного газа с аккомодацией // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1991. № 1. С. 31-37.

32. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных кинетических уравнений // Теор. и матем. физика. 1992. Т. 92. № 1 (июль). С. 127-138.

33. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение одномерной задачи об умеренно сильном испарении (конденсации) в полупространстве // Ж. прикл. мех. и техн. физики. 1993. Т. 34. № 1. С. 102-106.

34. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации) // Известия РАН. Сер. МЖГ. 1993. № 6. С. 143-155.

35. Латышев А. В., Юшканов А. А. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу // Письма в журнал техн. физики. 1997. Т. 23. № 14. С. 13-16.

36. Латышев А. В., Юшканов А. А. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул // Инженерно-физический журнал. 1998. Т. 71. № 2. Март-Апрель. С. 353-359.

37. Латышев А. В., Юшканов А. А. Слабое испарение (конденсация) с произвольным коэффициентом испарения в газах с постоянной частотой столкновений молекул // Инженерно-физический ж. 2000, март-апрель. Т. 73. № 3. С. 542-549.

38. Латышев А. В., Юшкаиов А. А. Аналитическое решение задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 23. С. 16-23.

39. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аккомодационные двухмомент-ные граничные условия в задачах о тепловом и изотермическом скольжениях // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 3. С. 63-69.

40. Латышев А. В., Юшканов А. А. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2001. № 7. С. 79-87.

41. Латышев А. В., Юшканов А. А. Граничные задачи для квантового ферми-газа // Теор. и матем. физика. 2001. Т. 129. № 3. С. 491-502.

42. Латышев А. В., Юшканов А. А. Граничные задачи для квантового бозе-газа // Известия вузов. Сер. Физика. 2002. № 6. С. 5156.

43. Латышев А. В., Юшканов А. А. Моделирование кинетических процессов в квантовых бозе-газах и аналитическое решение граничных задач // Матем. моделирование. 2003. № 5. С. 80-94.

44. Латышев А. В., Юшканов А. А. Кинетическое уравнение для квантовых ферми-газов и аналитическое решение граничных задач // Теор. м матем. физика. Т. 134. № 2, февраль, 2003. С. 310— 324.

45. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле // Ж. техн. физики. 2003. Т. 73. Вып. 7. С. 37-45.

46. Латышев А. В., Юшканов А. А. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа // Изв. РАН. Сер. МЖГ. 2004. № 2. С. 193-208.

47. Латышев А. В., Юшканов А. А. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений // Ж. выч. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. № 6. С. 1107-1118.

48. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. — М.: Изд-во МГОУ. 2004. 286 с.

49. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о скачке концентрации при испарении бинарной газовой смеси // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. Вып. 24. С. 12-19.

50. Латышев А. В., Юшканов А. А. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения. Монография. — М.: Изд-во МГОУ. 2004. 271 с.

51. Латышев А. В., Юшканов А. А. Задача Смолуховского для электронов в металле // Теор. и матем. физика. 2005, январь, Т. 142. № 1. С. 92-111.

52. Латышев А. В., Юшканов А. А. Метод сингулярных интегральных уравнений в граничных задачах кинетической теории // Теор. и матем. физика. 2005. Т. 143 (4). № 3. 855-870. (437-454).

53. Латышев А. В., Юшканов А. А. Влияние коэффициента испарения на параметры газа вблизи поверхности // Инженерно-физический журнал. 2007. Т. 80. № 1. С. 121-126.

54. Латышев А. В., Юшканов А. А. Задача Смолуховского для вырожденных Бозе-газов // Теор. и матем. физика. 2008. Т. 154. № 7. С. 1-14.

55. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). — М.: ТОО «Янус». 1995. 520 с.

56. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.

57. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. 497 с.

58. Макашев Н. К. Кнудсеновский слой на телах с химическими реакциями на поверхности при наличии компонентов газовой смеси, не участвующих в реакции // Уч. записки ЦАГИ. 1972. Т. III. С. 56-67.

59. Марущенко Н. Б. Решение граничной задачи для кинетического уравнения БГК с несимметричными потоками // Ж. техн. физики. Т. 57. № 10. С. 1887-1892.

60. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.

61. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию. — М.: Наука, 1971.

62. Ферцигер ж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976.

63. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М.: ИЛ, 1960.

64. Черчинъяии К. Математические методы в кинетической теории газов, —М.: Мир, 1973.

65. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. — М. Мир. 1986. С. 132-204.

66. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978.

67. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа.—М.: Наука, 1974.

68. Халатников И. М. Введение в теорию сверхтекучести. — М.: Наука, 1965. 160 с.

69. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966. 196 С.

70. Bardos С., Caflish R., Nikolaenko В. The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equation of a hard sphere gas // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. 323-352.

71. Bhatnagar P.L., Gross E.M., Krook M. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems // Phys. Rev. 1954. V. 94. P. 511— 525.

72. Case К. M. Elementary solutions of the transport equations and their applications // Ann. Phys. V. 9. № 1. 1960. P. 1-23.

73. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas-dynamics Boltzmann equation and their applications to the slip-flow problem // Ann. Phys. (USA) 1962. V. 20. № 2. P. 219-233.

74. Cercignani С. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency // Ann. Phys. 1966. V. 40. P. 469-481.

75. Cercignani C. The Kramers problem for a not completely diffusing wall //J. Math. Phys. Appl. 1965. V. 10. P. 568-586.

76. Cercignani C., Foresti P., Sernagiotto F. Dependence of the slip coefficient on the form of the collision frequency // Part 2. Nuovo Cimento. 1968. V. LV11. B. No.2. P. 297-306.

77. Cercignani C., Lampis M. Kinetic model for gas-surface interaction // Transport Theory and Statist. Physics. 1971. V. 1. P. 101-109.

78. Diallo S. O. Condensate fraction and atomic kinetic energy of liquid 3Hc-4He mixtures // Archiv: cond-mat/0609529.

79. Frisch H. Analytic solution of the velocity-slip and diffusion-slip problems by a Cauchy integral method // Transport Theory and Statist. Physics. 1988. V. 11. № 2. P. 615-633.

80. Greenberg W., Zweifel P. F. The Case eigenfunction expansion for a conservative medium //J. Math. Phys. 1976. V. 17. № 2. 163-167.

81. Kuscer I., McCormick N. J., Summerfield G. C. Orthogonality of Case's eigenfunctions in one-speed transport theory // Ann. Phys. V. 30. № 4. 1964. 411-421.

82. Levin K., Qijin Chen. Finite Temperature Effects in Ultracold Fermi Gases // Archiv: cond-mat/0610006.

83. Loyalka S. K. Slip in the thermal creep flow // Phys. Fluids. 1971. V. 14. No. 1. P. 21-24.

84. Loyalka S. K. Approximative method in the kinetic theory // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 11. P. 2291-2294.

85. Loyalka S. K., Cipolla! J. W., Jr. Thermal creep sleep with arbitrary accomodation at the surface // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 8. P. 1656-1661.

86. Maxwell J. C. The scientific papers: In 2 Vol. —N.-Y. Dover, 1965. V. 1.-607 pp., V. 2.-608 pp.

87. Pao Y.-P. Some boundary value problems in the kinetic theory of gases // Phys. Fluids. V. 14. № 11. 1971. P. 2285-2290.

88. Siewert С. E. Kramers' problem for a variable collision frequency model // Eur. J. Appl. Math. 2000. V. 12. C. 179-189.

89. Siewert С. E., Sha,ripov F. Model equations in rarefied gas dynamics: Viscous-slip and thermal-slip coefficiens // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 12. P. 4123-4129.

90. Slawny J., Zweifel P. F. A note on the singular eigenfunction method in transport theory // Transport Theory and Statist. Physics. 1988. V. 17 (2&3). P. 283-294.

91. Sone Y. Thermal creep in rarefied gas //J. Phys. Soc. Japan. 1966. V. 21. № 9 P. 1836-1837.Fysik. 1954. Bd. 7. № 44. P. 507-564.

92. Williams M. M. R. Boundary-value problems in the kinetic theory of gases. Part 1. Slip flows // J. Fluid. Mech. 1969. V. 36. Pt. 1. P. 145-159.

93. Zweifel P. F. Completeness theorems in transport theory // Transport Theory and Statist. Physics. 1984. V. 13 (1& 2). 57-67.