Граничные задачи для бозе-газа в полупространстве и канале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Бедрикова Екатерина Алексеевна

• Бедрикова Екатерина Алексеевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Бедрикова Екатерина Алексеевна

Введение

Глава I. Задача Крамерса для газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения

молекул

1.1. Вывод основных уравнений

1.2. Формулировка граничных условий

1.3. Включение граничных условий в кинетическое уравнение

1.4. Построение кинетического уравнения во второй и четвертой четвертях фазовой плоскости

1.5. Система характеристических уравнений

1.6. Разложение в ряд Неймана

1.6.1. Характеристики газа в нулевом приближении

1.6.2. Характеристики газа в первом приближении

1.6.3. Характеристики газа во втором приближении

1.6.4. Характеристики газа в высшем приближении

1.7. Сравнение решения задачи в нулевом, первом и втором приближениях с точным решением. Скорость скольжения газа

1.8. Зависимость массовой скорости газа от координаты. Значение скорости газа у стенки

1.9. Приведение формул к виду с размерными параметрами

1.10. Анализ результатов

Глава II. Скачок химпотенциала при испарении газа Бозе в случае

постоянной частоты столкновения молекул

2.1. Вывод основных уравнений

2.2. Формулировка граничных условий

2.3. Решение задачи

2.4. Вычисление коэффициента диффузии и массовой скорости

газа

2.5. Скачок и профиль химпотенциала

2.6. Скачок и профиль концентрации

2.7. Анализ результатов

Глава III. Скачок химпотенциала при испарении газа Бозе в случае

переменной частоты столкновения молекул

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение задачи

3.3. Вычисление коэффициента диффузии и массовой скорости

газа

3.4. Скачок и профиль химпотенциала

3.5. Скачок и профиль концентрации

3.6. Анализ результатов

Глава IV. Решение задачи Куэтта для газа Бозе

4.1. Вывод основных уравнений и формулировка граничных условий

4.2. Решение задачи Куэтта

4.3. Макропараметры газа в канале

4.4. Анализ макропараметров газа в канале

Заключение

Список литературы

Введение

Объект исследования и актуальность работы. Кинетические явления в газах изучаются давно, еще со времен Больцмана и Максвелла. Много работ посвящено поведению классических газов. Однако, в последнее время, все больше появляется интерес к изучению поведения квантовых газов. Наиболее рассматриваемыми квантовыми газами является третий и четвертый изотопы гелия, то есть Не3 и Не4. Не3 является газом Ферми, а Не4 - газом Бозе.

В настоящей работе исследуется поведение газа Бозе в полупространстве над плоской поверхностью и в канале. Бозе-газ обладает уникальными квантовыми свойствами. Гелий-4 при температуре 2.17К (-271С0) обладает сверхтекучестью. Это необычное свойство гелия было открыто советским ученым П.Л. Капицей в 1938 году. Явление сверхтекучести широко применяется в технике, например, для создания более чувствительных гироскопов [106].

Физики из калифорнийского университета в Беркли Р.Паккард и Э.Хоскинсон обнаружили еще одно необычное свойство сверхтекучего гелия-4 -квантовый свист. При прохождении через крохотные отверстия, диаметром не больше нескольких десятков нанометров Не4 вибрирует. Это свойство в будущем позволит создать сенсоры вращения высокой чувствительности, которые необходимы в сейсмологии и навигации [102].

Смесь Не3 и Не4 используется для получения сверхнизких температур [75], [76] и применяется при проведении физических экспериментов [21].

Бозе газ подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, которая описывает распределение частиц с целым спином, так называемых бозонов. К бозонам

4

можно отнести не только Не , но и атомы Rb , № , Li , а также фотоны и фононы.

Предшествующие результаты. С середины XIX века начинает активно развиваться классическая кинетическая теория. Основоположниками этой теории являются выдающийся британский физик и математик Д.К. Максвелл и австрийский физик Л. Больцман.

В 1859 году Максвелл впервые использовал статистический подход к решению задач, тем самым положил начало развитию кинетической теории.

В 1860 году Максвелл опубликовал ряд работ [104], в которых был установлен закон распределения молекул по скоростям. В 1867 году в своей работе по динамической теории газов [105] Максвелл уточнил и улучшил результаты исследований, вывел уравнение переноса, которое определяет полную скорость изменения средней величины.

В 1872 году Людвигом Больцманом было выведено кинетическое уравнение [16], которое носит его имя. Уравнение Больцмана имеет огромное физическое содержание и является одним из фундаментальных уравнений современного естествознания.

В первой половине XX века был предложен ряд методов, позволяющих находить решение уравнения Больцмана. В 1912 году немецкий математик Давид Гилберт предложил решать уравнение Больцмана с помощью метода последовательных приближений. С помощью этого метода решение уравнения можно свести к решению системы неоднородных линейных интегральных уравнений. Гилберт показал, что в результате уравнение Больцмана сводится к уравнению Фредгольма 2-ого рода, для которого удалось разработать строгую теорию. Таким образом, Давид Гилберт доказал существование и единственность решения уравнения Больцмана.

В 1917 году Энског и независимо от него Чепмен [97; 98] предложили иной метод, позволяющий решить уравнение Больцмана. Метод Чепмена-Энского является модификацией метода Гилберта и позволяет получать более точное решение в отличие от метода Гилберта. Однако, имеются примеры уравнений [29], полученных методом Чепмена-Энского, которые не имеют решений, тогда как метод Гилберта позволяет всегда находить решения.

Основная проблема, возникающая при решении уравнения Больцмана, выражается в сложности стоящего в правой части интеграла столкновений. Поэтому, с середины XX века развивается новый подход к решению уравнения Больцмана [17]. Суть этого подхода состоит в том, что интеграл столкновений в

уравнении Больцмана заменяется более простым выражением. Упрощенный интеграл столкновений называется моделью. Уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений называется ([73; 77; 18-82]) модельным уравнением Больцмана.

Первую статистическую модель уравнения Больцмана независимо друг от друга предложили в своих работах [88; 109] П. Л. Бхатнагар, Е.М. Гросс, М. Крук и П. Веландер. Выводы, к которым они пришли, довольно просты [84]. Учитывая, что интеграл столкновений в уравнении Больцмана представляет собой скорость, с которой функция распределения стремится к равновесной максвелловской функции, его можно заменить на отношение разности действительной функции распределения и равновесной к среднему времени между двумя последовательными столкновениями частиц. В итоге они получили следующее модельное уравнение:

8± + (УУ) / = У^Л.

д1 т

Это уравнение называется БГК - уравнением (Бхатнагар-Гросс-Крук) или моделью БГК.

В 1960 году Кеннет Кейз впервые разработал метод аналитического решения уравнений переноса [89]. Таким образом, он положил начало в развитии точных решений кинетических уравнений. Кейз предложил искать решение уравнения в виде разложения по собственным функциям соответствующего оператора переноса. В результате чего задача свелась к решению сингулярных интегральных уравнений, решение которых позволяет находить коэффициенты этого разложения и строить функцию распределения в явном виде.

В 1962 году Карло Черчиньяни применил метод Кейза к задаче об изотермическом скольжении - задаче Крамерса [91; 92; 96].

Большой вклад в развитие метода Кейза внесли А.В. Латышев и А.А.Юшканов. В работе [35] они предложили новый подход, позволяющий находить точные решения БГК - уравнений с помощью сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки [18; 19; 71].

В работе [103] А.В. Латышев и А.А. Юшканов впервые для системы, состоящей из двух интегро-дифференциальных уравнений переноса, применили метод разложения решения по собственным функциям. За последнее время А.В.Латышевым и А.А. Юшкановым было опубликовано множество работ, в которых построены аналитические решения граничных задач с использованием разных модельных уравнений ([36-68]), а также разработаны методы решения задач с граничными условиями для квантовых газов ([50-55]). Эти методы в дальнейшем нашли применение в работах Н.Н. Любимовой ([69; 70]), А.А.Костикова ([31; 32]) и А.Ю. Квашнина ([22-28]).

В настоящей работе исследуется изотермическое скольжение для газа Бозе в случае постоянной частоты столкновения молекул, испарение газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул и течение газа Бозе в канале.

Первая глава работы является продолжением работ А.Ю. Квашнина, А.В.Латышева и А.А. Юшканова [22-28]. В этих работах рассматривается задача Крамерса в случае переменной частоты столкновения молекул. В диссертации исследуется задача Крамерса в случае постоянной частоты столкновения молекул, которая решается с помощью сведения к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-ого рода и последующему разложению его в ряды Неймана.

Вторая и третья главы диссертации опираются на исследования А.А.Костикова, А.В. Латышева, А.А. Юшканова, где изучается испарение газа Ферми с плоской поверхности [31]. В настоящей работе рассматривается испарение газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул.

В четвертой главе рассматривается задача о движении газа в канале, стенки которого образованы бесконечными параллельными плоскостями. Эта задача в последние годы привлекает к себе повышенный интерес. Течение Куэтта достаточно подробно исследовано при помощи численных методов [83; 100; 101;

107; 108]. Работы [58; 74] посвящены решению задачи Куэтта с почти зеркальными граничными условиями для классических газов.

Четвертая глава диссертации является продолжением этих работ [58; 74] и посвящена исследованию течения газа Бозе в канале. При этом рассматриваются почти зеркальные граничные условия, которые более адекватны, нежели зеркальные.

Цели и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение математических моделей, которые позволяют исследовать поведение газа Бозе над плоской поверхностью и в канале. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- вывод кинетического уравнения и формулировка граничных условий,

- нахождение функции распределения газа,

- с помощью полученного аналитического решения нахождение макропараметров газа (массовой скорости газа, скачка химпотенциала при испарении газа, потока массы, тепла и силы вязкого трения газа в канале),

- анализ результатов и сравнение с ранее известными результатами исследований.

Предметом исследования является решение задач с граничными условиями, которые описывают поведение газа в полупространстве и в канале. Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Найдено аналитическое решение задачи об изотермическом скольжении квантового газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения молекул.

Выведена формула скорости изотермического скольжения и построен профиль скорости газа Бозе.

Найдено аналитическое решение задачи об испарении с плоской поверхности газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул.

Получены формулы для скачка и профиля химпотенциала газа Бозе, а также формулы для скачка и профиля концентрации газа.

Найдено решение задачи Куэтта для газа Бозе с почти зеркальными граничными условиями. На основе полученной функции распределения, рассчитаны макропараметры газа Бозе в канале и дан их полный анализ.

Достоверность результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации полностью достоверны, так как построенные математические модели соответствуют классическим представлениям в теоретической физике, используются апробированные методы теории краевых задач и теории функций комплексного переменного, а также полученные результаты в предельном переходе сравниваются с ранее полученными результатами для классических газов и с экспериментальными данными.

Практическая значимость результатов исследования. Можно рассмотреть два аспекта применения результатов исследования - это практический и методологический.

Полученные результаты находят применение в криогенной технике [75], [76], в навигации [102], в авиации и космических исследованиях.

Результаты исследований, проводимые в настоящей работе, могут быть применены для вычисления так называемого сопротивления Капицы [65; 66], а также для постановки граничных условий на стенке для уравнения Навье-Стокса. Скорость скольжения, определяемая в первой главе настоящей работы, необходима для постановки граничных условий уравнения Навье-Стокса.

Методологическая значимость работы заключается в переносе методики решения задач с граничными условиями для классических газов на квантовые газы, в частности на газ Бозе. Таким образом, расширяется область применения методики решения и показывается, что ранее полученные методы решения применимы не только для классических газов, но и для квантовых.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничные задачи для бозе-газа в полупространстве и канале»

Апробация работы.

Результаты настоящей работы докладывались на следующих конференциях: 1. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2013. Москва, 30 января - 4 февраля 2013 г.

2. Конференция МГОУ посвященная профессору Юрию Ивановичу Яламову «Физика конденсированных сред и дисперсных систем». Москва 2013 г,

2014 г.

3. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2014. Москва, 30 января - 4 февраля 2014г.

4. VII Международной научно-практической конференции, «Наука и образование - 2014». Мюнхен, Германия, 27-28 июня 2014 г.

5. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2015. Москва, 16 февраля - 21 февраля

2015 г.

6. Международная конференция МГОУ «Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, наноэлектронных приборов и экологичных технологий». Москва, 12-24 апреля 2015 г. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах [3-14; 85-87]. Список

этих работ приведен в конце диссертации. Из них 6 статей [3; 6; 7; 9; 10; 12] опубликованы в журналах, входящих в перечень высшей аттестационной комиссии.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи и взаимное обсуждение принадлежит авторам в равных долях. В диссертацию включены результаты, которые получены соискателем самостоятельно.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 107 страниц, в том числе 13 рисунков и 3 таблицы. Список литературы состоит из 109 наименований, включая работы диссертанта по теме исследования.

Глава I. Задача Крамерса для газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения молекул

1.1. Вывод основных уравнений

Рассматривается плоская твердая неподвижная стенка, над которой в полупространстве х > 0 находится газ Бозе. Задана декартова система координат с осью х, которая перпендикулярна плоскости 0у2. Плоскость 0у2 совпадает со стенкой, поэтому начало координат находится на стенке.

Газ Бозе с массовой скоростью иу (х) движется вдоль оси Оу. Вдали от

поверхности дан постоянный градиент массовой скорости газа ^:

йыу(х)

Г Л.. /,л\ у_

\ ^х I

V / х=+<ю

Следовательно, профиль массовой скорости вдали от стенки может быть представлен следующим образом (рисунок 1.1) [58]:

иу (х) = ия1 + х, х .

Наличие градиента массовой скорости вызывает движение газа Бозе вдоль поверхности, которое называется изотермическим. Величина и5/ называется

скоростью изотермического скольжения а, иу (0) - скорость газа непосредственно

у стенки.

Рисунок 1.1 - Зависимость массовой скорости от координаты.

При малых значениях градиента ^ скорость изотермического скольжения задается формулой:

= КV1ёV ,

то есть скорость скольжения пропорциональна градиенту. Здесь I является средней длиной свободного пробега молекул, К - коэффициентом изотермического скольжения.

Величина К определяется кинетическими процессами вблизи поверхности. Для нахождения Ку надо решить кинетическое уравнение в слое Кнудсена. Слой Кнудсена - это слой газа толщиной порядка длины свободного пробега молекул, то есть слой, который находится у поверхности.

Решение уравнения Навье-Стокса требует задания граничных условий на стенке. В качестве такого условия берется величина и , определяемая формулой:

иё (Х = и*1 + ё V1.

Рассмотрим БГК-уравнение, обобщенное на квантовый случай, которое имеет следующий вид [89; 90; 99]:

£+(ут=*г.,-/), (1Л)

где У - эффективная частота столкновений молекул газа, которая является постоянной, V - скорость молекул, / - функция распределения молекул газа по

скоростям, /щ - локально - равновесная функция распределения Бозе:

ъ=-• е*=т^- и)2 • -с°<л<0.

-1 + ехр

V кТ

Здесь л - химпотенциал молекул [95], Т - температура газа - постоянная величина, к - постоянная Больцмана, т - масса молекулы, и - массовая скорость газа.

Законы сохранения числа частиц, импульса и энергии порождают следующее соотношение:

\ гщ^=\ /^п, а2)

где

¿п= (2* +1)т3 а3У,

(2лй)3

5 - спин частицы газа Бозе, Ь - постоянная Планка, Щ = 1, Я2 = ^, Я3 = Vу, Я4 = V2, Щ = е - инварианты.

При малых градиентах ^ задача допускает линеаризацию. При этом температура и концентрация газа постоянны. Кроме того, предполагается, что движение газа стационарно.

Проведем линеаризацию задачи относительно равновесной функции распределения Бозе-Эйнштейна (бозеан) /в:

- 1 т V2 /В =--7л , е = ^Т~ , -^<Л< 0.

-1 + ехр

е-л

~кТ

Для этого линеаризуем локально - равновесную функцию распределения /ед относительно функции /в по массовой скорости и :

/ = /

^ ед ^ ед

ед

и=0

ди

и

и=0

что приводит к выражению:

/ед = /Б (У) + ёв (V)

т V у

- иу,

кТ у'

(1.3)

в котором /в (V) - абсолютный бозеан, ёв (V) - функция Эйнштейна:

ехр

г т V2

/в (^

1 + ехр

V2

2кТ кТ

ёв 0):

__—

2кТ кТ

1 + ехр

' т V2 — К2кТ кТ

у.

Введем безразмерную скорость С = # у, Р=

т

2кТ

безразмерный

химпотенциал а = — и безразмерную координату х1 = . В этих переменных

кТ

выражение (1.3) записывается так:

/ед = /Б (С + 2ёв (С)Суиу (X) ,

при этом в (1.4) и (х) = 4риу (х) - безразмерная массовая скорость,

(1.4)

/в (С) =

-1 + ехр(с2 - а)

, ёв (С) =

ехр

(С2 -а)

-1 + ехр(С2 -а)]2

Согласно формуле (1.4) функцию распределения будем искать в виде:

/ = /(х, С) = /в (С) + ёв (С)Сук(х, Сх ). (1.5)

Подставляя формулы (1.4) и (1.5) в кинетическое уравнение (1.1), имеем:

Сх ^ = ^Р(2иу (х) - Н( х, Сх)). дх

Далее, переходя к безразмерной координате, получаем следующее уравнение:

1

2

Сх ^ = 2Пу (хО - к( х1, Сх). (1'6)

При этом размерный градиент ^ можно преобразовать следующим образом:

C =

dUy (x^ ^ ,—f duy (л)

y

у dxi j

,—( duy (x) \ dx i—l

X1 ^+J V dx j X^+J dX1

dx1 v vjp

Таким образом,

Gv = ^ v

Массовую скорость газа можно найти из соотношения (1.2):

JCyf - f )dQ = 0. (1.7) В безразмерных параметрах закон сохранения импульса (1.7) имеет вид:

J C2y gB (C)[2Uy (X1) - h(x1, Cx )]d 3C = 0,

отсюда получаем:

fc2gB(£)h(x1;£x)£3£ (1.8)

Uy(X1) = 2jC>2gB(C)diC •

Вычислим интеграл, стоящий в знаменателе дроби (1.8). Для этого воспользуемся сферической системой координат:

£x = £cosd, Cy = Csin^cosp, Cz = Csintfsinp,

d3C = C2 sin OdpdOdC. Следовательно, знаменатель (1.8) равен:

2ж ж j

2J Cy;gB (C)d3C = 2 J cos2 pdpJ sin3 Шв\C4 gB (C)dC =

000

8 J^pfci^C=* a

3 J0 [-1 + exp(C2 -af 3

После интегрирования по частям получаем

J- 4—ai

g4 (a) = J C4exp(e2 ^ = -3 Jln(l - exp(a - C2))dC. 0 [-1 + exp(C -ajj2 4 0

Заметим, что

ё4(а) = 2 /2в (а),

1 Ж

где /2в (а) = — Г 1п(1 - ехр(а - С2)УС - полупространственный момент второго

2

2 о

порядка.

Таким образом, знаменатель из (1.8) равен:

8 3

2|Су2ёв (СУ3С = -л3/в (а) = 4/ (а).

В числителе (1.8) перейдем к цилиндрическим координатам: С2 = С2+С|, Су = с± бШф, йъС=с^С^С^ф. Следовательно, числитель (1.8) равен:

2ж ж ж

|Су2ёв (С)^,схуЗс = Гвт2 с!ёв (С)С ГН{х,9Сх)йСх =

0 0 -ж

=л к х„ с, ус Ж с!ехр(с! +с-а)

-Ж 0 [-1 + ехр(С! + С2 -а)]

Вычисляя внутренний интеграл по частям, получаем:

Ж Ж

Г С2у ёв (ЮКх, Сх ^3С = -1 Г И(х, Сх ^Сх Г 1п(1 - ехр(а - Сх2 )ИС

-Ж -Ж

Ж

= -\\ 1п(1 - ехр(а - Сх ))И( х1' Сх )С •

-Ж

Таким образом, массовая скорость вычисляется по формуле:

Ж

и у (х1) = 77^ / 1п(1 - ехр(а - Сх2 ))Н( х1, Сх )йСх,

0 (а) -Ж

Ж

где 1в (а) =1 Г 1п(1 - ехр(а - С2 ))йС.

Кв(—,а) =

2/0в (а) Ж

11п(1 - ехр(а-г2))^г

(1.9)

2

-Ж

Введем функцию

1п(1 - ехр(а-—2)) 1п(1 - ехр(а-—2)) (110)

-Ж

где — = Сх.

Эта функция обладает свойством:

Ж

Г Кв (—,а)<— = 1, при любых а е (-ж,0].

-в

-Ж

Семейство функций Кв (—,а) называется ядром кинетического уравнения. Массовая скорость согласно (1.9) и (1.10) равна:

^ Ж

иу (х1) = 1 | Кв — ,а)К( х1, —)—

(111)

2

-Ж

Таким образом, исходя из (1.11), уравнение (1.6) запишем в виде:

дН ж

—--+ К( х1, —) = Г Кв — ,а)К( х1, — )<—

дх1

-Ж

или в явном виде:

дК 1 Ж (1-12) —— + К х1, —) = Г1п(1 - ехр(а - —2 ))К( х1,—.

дх1 2/0 (а) -Ж

Рассмотрим предельный случай уравнения (1.12) при а^-ж. В этом

случае имеем:

йш К, (—,а) = йш 10(1 - ехр(а-— » -

Цш

Г 1п(1 - ехр(а - т2))<Лт

-Ж

1п(1 - ехр(а)ехр(-—2)) ехр(-—2) ехр(-—2)

ехр(а)^° Ж 2 Ж 2 '

11п(1 - ехр(а)ехр(-г ))<т I ехр(-г )<т

-Ж -Ж

и получаем уравнение:

дН 1 ж

—--+ К(х1,—) = Г ехр(-—2 )К(х1, — )<—,

дх, у/ж

1 -Ж

которое является БГК-уравнением для одноатомных газов [89; 90; 99], имеющих постоянную частоту столкновения молекул.

1.2. Формулировка граничных условий

Диффузно-зеркальное отражение бозе-частиц от поверхности задается следующим бозевским распределением:

/(х = 0, V) = / (V) + (1 - д)/(х = 0,- Vх, Vу, V,), Vх > 0, (2.1)

где 0 < д < 1, д - коэффициент диффузности.

В уравнении (2.1) параметр д означает, что часть молекул рассеивается границей диффузно, а (1 - д) - часть молекул, которая рассеивается зеркально.

Из условия (2.1), учитывая (1.5), получаем граничное условие на поверхности:

Л(0,л) = (1 - дЖ0,-л), л > 0. (2.2)

Вдали от плоской поверхности распределение массовой скорости имеет

вид:

иу (х) = и51 (а) + ^ х, х , где и/ (а) - скорость скольжения.

Переходя к безразмерным величинам получаем:

иу (х1) = и51 (а) + Gv х1, х1 ^ . (2.3)

Соотношение (2.3) является вторым граничным условием и означает, что массовая скорость газа Бозе вдали от стенки переходит в свое асимптотическое распределение:

и а5 (хО = и51 (а) + Gv х1. Выражение (1.9) означает, что функция И(х, л) вдали от стенки переходит в свое асимптотическое распределение:

К*(х1, Л) = 2и51(а) + (х1 - Л), которое называется распределением Чепмена-Энскога [1; 2; 15]. Следовательно, второе граничное условие будет иметь вид:

Н(х1, л) = 2и*1 (а) + 2GV (х1 - л), х1 ^ . (2.4)

Таким образом, задача Крамерса задана полностью и заключается в решении уравнения (1.12) с граничными условиями (2.2) и (2.4).

1.3. Включение граничных условий в кинетическое уравнение

Функцию распределения продолжим симметричным образом на сопряженное полупространство:

/(¿, х, у) = /(Г ,-х,- Ух ,Уу ,у ,). (3.1)

Продолжение (3.1) функции распределения позволяет включить граничные условия в кинетическое уравнение задачи и разбить задачу на две. Одну задачу будем рассматривать в «положительном» полупространстве х > 0, вторую - в «отрицательном» х < 0.

В «положительном» и «отрицательном» полупространствах для функции распределения сформулируем диффузно-зеркальные граничные условия: /(г,+0, V) = д/в (V) + (1 - д)/(Г,+0,- vx,vy,vz), Vх > 0,

/(г,-0, V) = д/в (V) + (1 - д)/(¿,-0,- Vx,Vy,Vz), Vх < 0.

Для удобства координату х везде будем обозначать через х .

Учитывая формулы (1.5) и (3.1) получаем:

К( х, —) = К(-х,-—), — > 0.

Таким образом, для функции К(х, —) имеем одно и то же кинетическое уравнение как в «положительном», так и «отрицательном» полупространствах:

дК Ж (3.2)

—--+ К(х, —) = ! Кв ,а)К(х, ?)<,

дх

-Ж

и, соответственно, граничные условия:

К(+0, —) = (1 - д)К(+0,-—) = (1 - д)К(-0, —), — > 0, К(-0, —) = (1 - д)К(-0,-—) = (1 - д)К(+0, —), — < 0.

Причем правая часть уравнения (3.2) представляет собой удвоенную массовую скорость газа:

да

2и (х) =| Кв (г, а)Н( х, г )йг.

-да

Представим функцию К( х,л) в виде:

К( х, л) = (х, л) + К (х, л), если ± х > 0,

где

(х, л) = 2и*1 (д,а) ± 2GV( х -л), если ± х > 0 (3.3)

является решением уравнения (3.2). Здесь из1 (д,а) - искомая безразмерная скорость изотермического скольжения.

Следовательно, функция Кс(х,л) также удовлетворяет уравнению (3.2):

дн да

л—с + Кс (х,л) = [ Кв (г,а)Кс (х, г . дх J

-да

Поскольку функция распределения К(х,л) вдали от стенки (х ^±да) переходит в функцию (х, л), то для функции К (х, л), которая соответствует непрерывному спектру, будем иметь граничное условие:

Кс (±да,л) = 0.

Таким образом, легко видеть, что массовая скорость газа, отвечающая непрерывному спектру, равна нулю при х ^ ±да, то есть:

ис (±да) = 0. (3.4)

Заметим, что знак градиента массовой скорости в формуле (3.3) в «отрицательном» полупространстве меняется на противоположный, тогда условие (3.4) будет справедливо и для функций (х, л).

Следовательно, граничные условия перейдут в следующие:

Кс (+0, л) = -К+ (+0, л) + (1 - д)К+ (+0,-л) + (1 - д)Кс (+0,-л), л > 0,

Кс (-0, л) = -К- (-0, л) + (1 - д)К- (-0,-л) + (1 - д)К (-0,-л), л < 0. Обозначим

К± (л) = (0, л) + (1 - д)К± (0,-л) = -2ди^ (д, а) + 2(2 - д\л\, тогда предыдущие граничные условия можно переписать в виде:

Кс (+0, — ) = (—) + (1 - д)Кс (+0,-—), — > 0, К (-0, — ) = К- (—) + (1 - д)Кс (-0,-—), — < 0. Исходя из того, что функция распределения имеет симметричное продолжение, получаем:

К (-0,-—) = К (+0,+—), К (+0,-—) = К (-0,+—). Следовательно, граничные условия будут иметь вид:

кс (+0,—) = К+(—) + (1 - д)кс (-0, —), — > 0, (3.5)

Кс(-0, —) = К- —) + (1 - д)Кс(+0,—), — < 0. (3.6)

Включим в кинетическое уравнение граничные условия (3.5) и (3.6) следующим образом:

—+ Кс (х, — ) = 2Пс (х) +1—| [к± (—) - дКс (±0, —)>( х), (17) дх

где функция ис (х) является частью массовой скорости, которая отвечает непрерывному спектру,

Ж (3.8)

2ис (х) = ] Кв (г, а)Кс (х, г )йг,

-Ж Ж

3(х) - дельта функция, причем 13(х^х = 1.

-Ж

Уравнение (3.7) включает в себя два уравнения. При х > 0, то есть в «положительном» полупространстве берется знак «плюс» в правой части уравнения (3.7), а в «отрицательном» полупространстве, то есть при х < 0 -берется знак «минус».

Действительно, возьмем, например, — > 0. Проинтегрировав уравнение (3.7) от - £ до + £ по х, получаем:

Кс —) - Кс (-£, — ) = К0+(—) - дК (-£, — ). Отсюда, переходя к пределу при е^ 0, получаем в точности граничное условие (3.5). Из определения массовой скорости газа (3.8) следует справедливость условия (3.4): ис(+ж) = 0. Таким образом, в «положительном»

полупространстве распределение массовой скорости газа находится по следующей формуле:

^ да

и(х) = иая (х) + ^ | Кв (г,а)кс (х, г)Л,

а вдали от стенки имеет место линейное распределение:

и'ш(х) = Usl (q,+^х , х ^ +да.

1.4. Построение кинетического уравнения во второй и четвертой четвертях

фазовой плоскости

Считая, что массовая скорость задана, решаем уравнение (3.7) при х > 0, \< 0. В результате получаем следующее решение, которое удовлетворяет граничным условиям (3.6):

Н+ (х, ¡л) = —1 ехр М

г х V? Г гЛ +

V ¡¡К Ч л)

| ехр + — 2ис (г)Л

(4.1)

Аналогично при х < 0, ¡> 0 находим:

Н— (х, л) = —1 ехр М

г х\да Г

+

V ¡¡К Ч л)

| ехр + — 2и с (г.

(4.2)

Учитывая формулы (4.1) и (4.2), уравнения (3.7) и (3.8) можно записать в

виде:

ОН

М-Н- + Нс(х М) = 2ис(х) + \л\ Ы (М) — Фс (0, х), ох

2и с (х) = | Кв (г ,а)Нс (х, г )йг.

(4.3)

(4.4)

В уравнениях (4.3) граничные значения Н+(0,\) можно выразить через массовую скорость непрерывного спектра следующем образом:

1

Н+ (0, М) =--ехР

М

/ \ +да

' х 4

/ * \

I ехр — 2ис (г= Нс (+0, м) . V \) 0 Vм)

Решение уравнений (4.4) и (4.3) будем искать в виде интегралов Фурье:

—да

—да

-1 ю ю

2ис (х) = — | вгкхЕ (к )йк, 8{ х) = — | в1кхс1к,

— ю —ю

(4.5)

1 ю (4.6)

кс (х, л) = — | в Ф(к, л^к.

2ж

—ю

где Ф(к, л ) - спектральная плотность функции распределения, Е(к) -спектральная плотность массовой скорости.

Функцию распределения к+ (х, л) выразим через спектральную плотность массовой скорости Е(к) :

1 ( X ( ^ ^ 1 ^ю 1 +ю £ г-

кс + (х,л) =--ехр--I I ехр ч— Ж— I вшЕ(к^к = — I —

л V л У V л У 2^ J 1

+;x, л ) = -

м

х

V л,

г

+ — V л У

вгкхЕ (к )

&к.

+ гкл

Аналогично вычисляется:

1 ю вгкхЕ(к)

1 (* в

к— (х,л) = — I —

2я ^ 1

—ю

^к.

+ гкл

Таким образом,

к± (х, л ) = ^ ю dk.

2^ 1 + гкл

—ю '

Используя четность функции Е(к) получим:

я(о,л)=± ю к=± ю т^ = IТЕк^. (4.7)

с 2^ 1 + гкл 2^ 1 + к2 л 2 1 + к2 л 2

Теперь с помощью равенства (4.7) уравнение (4.3) можно записать так:

1 ю Е(к^к

дк

л -тс+кс(x, л ) = 2ис(х)+1 л \

дх

Ч (л)—я - Г^^ 0^ 1+к2 л 2

д{х).

1.5. Система характеристических уравнений

х

—ю

—ю

Подставляя в уравнения (4.3) и (4.4) формулу (4.7), а также интегралы Фурье (4.6) и (4.5), получаем характеристическую систему уравнений:

ч Е (к) М

Ф(к ,\) = —+ -

1 + ¡к\ 1 + ¡к\

— 2^ (я,а) + 2(2 — \\ — Я да ЕЩ^

+ к'л2

да

Е (к) = | Кв (г,а)Ф(к, г )Сг.

(5.1)

(5.2)

Далее подставляя в (5.2) выражение для функции Ф(к, ¡л), определенное равенством (5.1), получаем:

Е(к) =да тыъ^ — 2и(я,а) да ^^

(1 + гкг) (1 + гкг)

2(2 — ¿V да 'Ц^ — ЯIЕ(к1)Сда11:3^:

+

(1 + к) 1 —'да (1 + к12г2)(1 + ¡кг)

Обозначим

(к) = 2| —ПКВ (г а)Сг, п = 0,1,2,3,4,,

п ( ) | 1 + к2г2 ,, , , ,

причем для четных п:

(к) = 1 '—^КВШ^ • п = 0,2,4,-

—да

кроме того,

да Кв (га)Сг

Щ)=1 — I ^

—да

+ ¡кг

Следовательно,

Е(к)Цк) = —2ди51 (я,а)Т1(к) + 2(2 — д^Г2(к) — (5.3)

Я да да |:|кв (г,а)Сг

— Я | Е(кх)Скх 1 11 В (, )-.

Ч —'да (1 + к,1 г 2)(1 + ¡кг)

Нетрудно увидеть, что

Кв (г,а)Сг да Кв (г,а)Сг

= 1 — г квуЪ02СС— = 1 — 2 Г Кв

1 1 + к 2г2 1 1 + к 2г2

—да 0

_2£2даКв(г,а)г2с— 2 да Кв(г,а)г2с = 1 1 + к 2г2 " 1 1 + к 2г2 ;

или

—да

—да

Щ) = к %(к).

Внутренний интеграл в (5.3) преобразуем следующим образом:

ю = 2? КЛиа)Лгг = ^ (к, к,). (5.4)

—ю(1+к[2г )(1 + ¡кг) ¿(1 + к2г )(1 + Л2) 1

Заметим, что

J(к,0) = Т1(к) , J(0,кх) = Г1(к1). Перепишем уравнение (5.3) с учетом равенства (5.4) следующим образом:

(5.5)

Уравнение (5.5) является интегральным уравнением Фредгольма 2-ого рода.

Е (к) Ь(к) = —2яи,1 (я, а)Т1 (к) + 2(2 — яОТ (к) — Я | J (к, к1) Е (к1 )dk1

ж о

1.6. Разложение в ряд Неймана

Решения системы (5.1) и (5.5) разложим в ряд по степеням я, полагая, что градиент массовой скорости задан:

Е(к) = 0У 2(2 — я)[Ео (к) + яЕ1 (к) + я 2 Е2 (к) +...], (6.1)

Ф(к, л) = 0^2(2 — я)[ф о (к, л ) + яФх(к, л ) + я 2Ф 2 (к, л ) + 4 (62)

При этом скорость скольжения и^ (я, а) будем искать в виде:

(я, а) = 0У —я [ио + яи1 + я 2и2 +...+япип +...]. (0)

я

Подставляя ряды (6.1) - (6.3) в уравнения (5.1) и (5.5), получаем систему уравнений:

(1 + ¡кл )[Ф о (к, л) + яФ1 (к, л) + я 2Ф 2 (к, л) +... = = Ео(к) + яЕх(к) + я2 Ег(к) +...]—[и о + я^ + я 2и2 +... + япип + ...]л| +

+ л2 _ л 1ю Ео(к1) + яЕ1(к1) + я2 Е2 (к1 ) + ... ак ж1 1 + к12 л2 1 ,

[Ео (к) + яЕх (к) + я 2 Е2 (к) + ...]Дк) = —[ио + яих + я 2иг +... + япи п + ...Т (к) +

ю

+ Т2 (к) — я IJ (к, к!) [Ео (к!) + яЕу (ку) + я 2 Е2 (к!) + ..К. ж о

Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях уравнений при одинаковых степенях я, получаем бесконечную систему уравнений. В нулевом приближении имеем:

Ео(к)Цк) = Т> (к) — иоТ1(к), (6.4)

(1 + ¡кл)Фо(к, л) = Ео(к) — ио | л + л1. (65)

В первом приближении:

ю

Е1 (к) Цк) = —и1Т1 (к) — -1J (к, к1) Ео (к1 )dk1

ж о

Во втором приближении:

ю

Е2(к )Цк ) = —игТх(к )--1J (к, к2) El(k2)dk2

ж о

(1 + гкл)Ф 2 (к, л) = Ег(к) — и21 л — л | -

ж * 1

В и-ом приближении:

ж 1 1 + к22л2

ю

Еп (к )Цк) = —ипТх{к) — -1J (к, кп) Еп—1(кп )dkn

ж о

(6.6)

(1 + гкл)Ф1(к, л) = Е1(к) — и1 л — И | Е^(к1Ж. (6.7)

ж % 1 + к12 л

(6.8)

|л|ю E1(k2)dk2 (69)

(6.10)

(1 + гкл)Ф п (к ,л) = Еп (к) — ип , п = 1,2,3,.... (6.11)

ж ^ 1 + к2 л

1.6.1. Характеристики газа в нулевом приближении

Рассмотрим нулевое приближение. Исходя из формулы (6.4), имеем:

,, дл-Т2(к) — ир'/.а-) (6.12)

0( ) ¿(к) .

Учитывая (6.12) массовую скорость в нулевом приближении, запишем в виде:

ис«»(х) = О,.2—Я ?е>кхЕй(к)Ск = О^ да в'кх Т2(к) - и0Т'(к) Ск. (6.13) ^ v 1 v 2ж 1 ¿(к)

—гш —да ^ ^

Наложим на формулу (6.13) следующее требование: Uc (+œ) = 0. Вследствие этого, подынтегральное выражение из интеграла Фурье (6.13) в точке к = 0 будет конечно. Таким образом, у функции Е0 (к) надо устранить в точке к = 0 полюс второго порядка.

Учитывая, что

œ 1 œ lB (—) T2(0) = Jt2Kb(t-)dt = ^^ J12ln(1 -exp(a-12))dt = ^^,

œ 1 œ lB (a)

Ti(0) = 2 J Kb (t-)dt = ~— J t ln(1 - exp(a -12))dt = ,

0 l0B (a)0 l0B (a)

находим U0:

Причем

œ

J t2 ln(1 - exp(a -12))dt

v =ТЖ = -œ_= lB (-)

0 T1(0) œ lB (a)

2 J t ln(1 - exp(a -12))dt 1

U0(-œ) = ^ = 0.8862, U0(0) = 0.7227.

Рассмотрим числитель выражения (6.12):

T2 (к ) - U0T1 (к ) = T2 (к ) - ^ Ti (к ) = -L- Ti (0)T2 (к ) - T2 (0)Ti (к )].

T1(0) T1(0)

Учитывая, что

1 к2?2 = 1 -

1 + к 2t2 1 + к 2t2'

получаем

0

Т2 (к) = Т2 (о) — к Т (к), Т (к) = Т1 (о) — к 2Тз (к).

Отсюда

Т1 (о)Т2 (к) — Т2 (о)Т1 (к) = Т1 (о)[Т2 (о) — к 2Та (к)] — Т2 (о)[Т1 (о) — к 2Тз (к)]:

= к 2 [Т2(о)Тз(к) — Т1(о)Т4(к)]

Таким образом, получаем:

Т2 (к) — и оТ (к) = [Т2 (о)Тз (к) — Т (о)Т4 (к)]. Т1(о)

С учетом Ь(к) = к 2Т2(к) равенство (6.12) можно записать короче,

Е дл-Т2(к) — иоП(к)_ к2 Т2(о)Тз(к) — ^^(к)_ ^(к) о( ) Ь(к) Т1(о) к2Т2(к) Т2(к)

где

^о(к )

Т2(о)Тз(к) — Т1(о)Т4(к)

Т1(о)

Из уравнения (6.5) получаем:

Ео(к) — ио | л + л

Ф о (к,л) = ^ о

о 1 + гкл

и, следовательно,

2 | вikxdk + гкл

к«» (х, л) = ю [Ео (к) — и о | л + л21\—~1.

2ж * 1 + г,

1.6.2. Характеристики газа в первом приближении

ю

и1Т1 (к) + -1J (к, к1) Ео (к1 ^

ж о

ис(1)(х) = 0У-я | в'кхЕ1 (к^к.

(6.14)

Рассмотрим первое приближение. Из уравнения (6.6) находим:

Е1(к) =--—

1( ) Ь(к)

Первое приближение массовой скорости будет иметь вид:

2_—я ю^.п^, (6.15)

2ж

—ю

Требование Uc (+ю) = 0 приводит к требованию конечности подынтегрального выражения в (6.15). Устраняя в точке k = 0 полюс второго порядка, получаем:

U =-— Ю J(0, к,) ^ dkx =--L- Ю Ж> ^0(k,)dk, = (6.16)

1 kT,(0)f ( ' 1) T2(k,) 1 Я-7К0)J ВД)W ]) 1

^ ю

= i T,(ki) ^o(k,)dk,.

KTi(o)0

Причем,

и,(-ю) « 0.1405, U,(0) = 0.1775. Выражение в скобках в формуле (6.14) преобразуем с помощью (6.16). В результате получим:

идо) +1J J(k, k1)^0^) dk1 = (6.17)

k 0 T2(k1)

= I Ю J(k,k1)^0(k1) dk1 - .Ш. ЮВД&Шdk1 = kJ ( 1) T2(k1) 1 ^(0)J 1( 1)T2(k1) 1

.. ю

=1J

тг •>

k 0

J(k,k1) T1(k)T1(k1>

- •

E0(k1)dk1 .

/1(0)

Заметим, что J (0, к1) = Т1(к1). Найдем выражение:

J (к, к1)—ТМъ).

1 Т1(0)

Для этого преобразуем формулу (5.4), учитывая следующее разложение:

_1__ [(1 + к2г2) — к2г2 ][(1 + к2г2) — к2г2 ] _

(1 + к2г2 )(1 + к2 г2) = (1 + к2г2 )(1 + к2 г2) =

к{г1 к1г1 к1 кг

= 1 1

1 + k\t2 1 + k 2t2 (1 + k\t 2)(1 + k 2t2)' В результате получаем:

2 ю гз (г ,а)dt 2 ю гз ^ (г ,а)dt

J(к,к1) = Т1(о) — 2к1211 — 2к21^

о 1 + к1г о 1

ю

2к2к2|

+ к 2г

22

+

Л1Л ю г5 Кв (г ,а)л

0(1 + к\г 2)(1 + к2 г2)

или

где

J (к, к1) = Т1(о) — к2Тз (к1) — к 2Тз (к) + к 2 к2 J5 (к, к1):

ю ,п

Jn(к,к1) = 2 Г-Л о о , п = з, 5.

I (1 + к2г2)(1 + к г2)

Таким образом,

J (к, к1) — Т1(к )Т1(к1) = к 2 к 2 и Т1(о) 1

Запишем это выражение в виде:

J 5 (к, к1) —

Тз(к )Тз(к1)'

Т1(о) .

J (к, к1) — Т1(к )Т1(к1) = к 2 5 (к, к1),

где

5 (к, к1) = к 2

Т1(о)

J 5 (к, к1) —

Тз(к )Тз(к1)'

Т1(о) .

Вернемся к формуле (6.14). Учитывая (6.17) получаем:

Е№) =

1 ю

Г

'-ПтЛ1

5 (кь к2) жТ2(к1) 1 Т2(к2)

^0(k2)dk2

или

^1(к1) Т2(к1)

где

(6.18)

^(кО = — -15(к1;к2Ло(к2)dk2 = —115(к1,k2)Eо(k2)dk2 . ж 0 Т2 (к2 ) ж 0

Подставляя (6.18) в уравнение (6.7), находим спектральную плотность

функции распределения в первом приближении:

Ф1(к ,л) =

1 + гкл

Е1(к) - Щ л-Ц

2 . ,2

ж • 1 + к1 л

1.6.3. Характеристики газа во втором приближении

Рассмотрим второе приближение задачи. Из уравнения (6.8) имеем:

Е2(к) = —

1

Ь(к)

00

и2Т1 (к) + - Г J(к, к1)Е1 (к1 )dk1

ж {

(6.19)

Массовая скорость во втором приближении будет иметь вид:

СО

и®(х) = 0у2—я Г-

2ж

| вгкхЕ2 (к ^к.

Условие ис (+ю) = 0 приводит к требованию ограниченности функции Е2 (к) в точке к = 0. Устраняя в точке к = 0 полюс второго порядка в правой части

равенства (6.19), находим:

-.00 -.00

и 2 = —^71J (0, к1) ЗД)^ = —-—-1 Т1(к1) Е^)^. жТ1(о)0 жТ1(о)0

(6.20)

Причем,

и2(—ю) «—0.0116, и2(0) = —0.0214

Преобразуем формулу (6.20). Получим

1 ю юТх(к1)5 (к„ к2)

7

и2 =■

(Р0(к 2 )dkldk 2.

ж2Т1(0)0 0 Т2(к1)Т2(к2) С помощью равенства (6.20) преобразуем выражение (6.19). Имеем:

^ 00

Е2(к) =--1— Г

) ж- Цк)1

J (к, к1)

Т1(к )Т1 (к1) Т1(0)

Е (к .

(6.21)

Учитывая, что

J (к, к1) — Т1(к )Т1(к1) = к 2 5 (к, к1):

Т1(0)

равенство (6.21) будет иметь вид:

1

—ю

1 ю

E2 (k) = -—— J S (k, k1) E1 (k )dk1 = kT2 (k)J0

"2^77 Я ^^0(k2)dk1dk2.

к Tj(k)00 Tj(k1 )TJ(k2) Перепишем это равенство в виде:

(P2(k )

Ej(k)

Tj(k )

где

^2(k) = -1ЮS(k,k1)E1(k1)dk1 = -1 ЮЮS(k»k1)S(kbk2)^0(k2)dk1dk2 . ^2( ) kJ ( ' 1) 1( 1)d 1 к2 J J T1(kx)T1(k1) m 2) 1 2

Спектральную плотность функции распределения во втором приближении получаем из уравнения (6.9):

Ф 2(k н)

1

1 + /k^

Ню Ex(kx)dkx

Ej(k)- U2|H-HJ^ 211 kJ 1 + k{

+ k12H2

1.6.4. Характеристики газа в высшем приближении

Рассмотрим третье приближение. Здесь имеем:

1

E3(k) = -„„

L(k)

ю

U3T1 (k) + - J J (k, k1) E2 (k1 )dk1

к 0

Устраняя в точке k = 0 полюс второго порядка, получаем:

ю ю

U 3 = —^7 J J (0, k1) Ej(k1)dk1 = --— J ЗД) Ej(k1)dk1 kT1(0) 0 kT1(0V

или

U з J T1^ ^2(k1)dk1. kT1(0)0 T2 (k1)

Заметим, что

U3(-w) = 0.0008, U3(0) = 0.0018.

0

Кроме того, в третьем приближении имеем:

т )Т1(к1)

1 1Л;

Ез(к) =--Г

з( ) жЬ(к)1

J (к, к1)

Т1(0)

Е2(к1^

или

^ 00

—-15 (к, к1) Е2(к^кх жТ2(к)0

Ез(к) = (з(к)

т у

где

-л

(ръ(к) =--15 (к, к1) Е2 (к1 )dk1 =

ж о

1 ююю 5 (к, к1)5 (к1, к2) 5 (к2, кз)

!!! т^кМ) (о(kз)dkldk'Лз-

и

из 1 Г ' ' Т (к1)5 (к1, к 2)5 (к2, кз) (^^к, dk3 .

з ж3111 71(0)Т2(к1)Т2(к2)Т2(кз)(0( з) 1 2 з Проводя подобные рассуждения, для и-го приближения, учитывая уравнения (6.10) и (6.11), находим:

со

ип = —-I Тх(к)Еп_х(Щк, п = 1,2,..., жТ1(о)0

00

Еп (к) = — ■-^Т15(к, к1)Еп—1 (к1 ^, п = 1,2,... жТ2 (к )0

или

где

Еп (к) = (п(к), п = 0,1,2,..., п ( ) Т2(к)

| 00

(п (к) = — 15 (к, к1) Еп—1 (к1 )dkl, п = 1,2,...,

ж о

Ф п (к ,/)

1 +1ки

е„ (к)—и„\ /—/да

п ^ 1 + к{ и

Выписывая п-ые приближения ип, Еп (к) и <рп (к), выраженные через

Е0(к) = (0(к)/Т2(к), получим:

ип =

(—1)п да дат(к1)5(к1,к2)..^(кп—1,кп)

я

Еп (к) =

(—1)п

И

0 0 Т1(0)Т2(к1)..Т2(кп)

5 (к, к1)5 (к1,к (кп—1, К) ^ )ск1ск 2..с&п

(Р0(кп )Ск1Ск2...Скп ,

ппТ # )0 0 Т2 (к1).. Т2 (кп)

п = 1,2,3,...,

(—1) п да да

(п (к) = — 1 ...1

5 (к, к1) 5 (к1, к 2).. 5 (кп—1, кп)

п'

00

Т (к1).. Т (кп) п = 1,2,....

(0 (кп )Ск1Ск 2...Скп ,

1.7. Сравнение решения задачи в нулевом, первом и втором приближении с точным решением. Скорость скольжения газа

Сравним скорость скольжения газа в нулевом, первом и втором приближениях при д = 1 с точным значением. Рассмотрим случай квантового газа Бозе, близкого к классическому газу (то есть при а^—да), и случай диффузного отражения частиц газа от плоской поверхности.

Точное значение скорости скольжения для диффузного отражения частиц газа Бозе в случае постоянной частоты столкновения от плоской поверхности таково [3]:

и51 (а, Ч = 1) = ^(а)°.

Здесь

^ да

У1(а) =--1^(т,а)Ст,

п 0

где

£(т,а) = в(г,а)-л, в(г,а) = (г,а) = агс^ё

Л(г,а) лгК (г, а)

Д(_-,а) = 1 + г I

t - Г

или

в(г, а) = аге&ё

1 ^ л 1п(1 - еа-х2) сХ

I

л*1 г1п(1 -еа-г2) X-г

Следовательно, точное значение скорости скольжения, выраженное в безразмерных величинах, в случае диффузного отражения частиц газа Бозе, близкое к классическим газам (то есть при а = -да) таково:

и з1 (а = -да, ц = 1) = 1.0162 . Второе приближение безразмерной скорости скольжения равно:

Ц<2)(а, ц) = GI2-q ц

и0 (а) + и (а)ц + и2 (а)ц

Построим относительную ошибку приближения:

(а) =

Ух(а) - и(п)(а,ц = 1)

Ух(а)

здесь

к=п

и^а, ц = 1) = ^ик (а)цк

к=0

Результаты численных расчетов приведем в таблицах 1-3.

-да

Таблица 1 - Значения основных параметров безразмерной скорости скольжения в нулевом

приближении

Химпотенциал а Коэффициент Ио(а) Относительная ошибка в нулевом приближении, %

0 0.7227 18.01

-1 0.8580 13.33

-2 0.8769 12.96

-3 0.8829 12.85

-4 0.8850 12.81

-5 0.8858 12.80

-6 0.8861 12.79

-7 0.8862 12.79

-8 0.8862 12.79

Таблица 2 - Значение основных параметров безразмерной скорости скольжения в первом

приближении

Химпотенциал а Коэффициент Ща) Относительная ошибка в первом приближении, %

0 0.1775 2.12

-1 0.1431 1.12

-2 0.1413 1.06

-3 0.1408 1.05

-4 0.1406 1.04

-5 0.1406 1.04

-6 0.1405 1.04

-7 0.1405 1.04

-8 0.1405 1.04

Таблица 3 - Значение основных параметров безразмерной скорости скольжения во втором

приближении

Химпотенциал а Коэффициент Ща) Относительная ошибка во втором приближении, %

0 -0.0214 0.30

-1 -0.0121 0.11

-2 -0.0117 0.10

-3 -0.0116 0.10

-4 -0.0116 0.10

-5 -0.0116 0.10

-6 -0.0116 0.10

-7 -0.0116 0.10

-8 -0.0116 0.10

Сравнение безразмерной скорости скольжения газа в нулевом, первом и во втором приближениях с точным результатом, показывает высокую эффективность данного метода решения.

1.8. Зависимость массовой скорости газа от координаты. Значение

скорости газа у стенки

Зависимость массовой скорости газа от координаты можно построить по формуле:

и( х) = и51 (да) + х + ис (х), (8.1)

где ис (х) - массовая скорость газа, которая отвечает непрерывному спектру.

Массовую скорость ис (х) разложим в ряд по степеням коэффициента диффузности:

ис (х) = иС0) (х) + диС11 (х) + д 2иС2 (х) +.... (8.2)

Коэффициенты ряда (8.2) вычисляются по формулам:

2 - ц да

иСп) (х) = Gv-ц | е1хкБп (к)Ск, п = 0,1,2,..

2л

-да

Учитывая формулу (8.1), вычислим скорость газа непосредственно у плоской неподвижной стенки:

и(0) = иа1 (ц,а) + и<0) (0) + цие(1) (0) + ц 2и(2 (0) +.... (8-3)

В случае диффузного отражения молекул газа от стенки (ц = 1), согласно (8.3), имеем:

и (0) = и 1 (1, а) + и(0) (0) + иС1 (0) + и(2) (0) +....

Таким образом, в нулевом приближении получаем:

и(0) = ия1 (1,а) + и(0) (0).

Следовательно,

и (0)(0)| а=-да = и51 (1,-да) + ис(°)(01 = 0.674?ау.

а=-да

В первом приближении имеем:

Следовательно,

и(1) (0) = и 1 (1, а) + ис(0) (0) + и® (0).

и(1) (0)1 а=-да = и51 (1,-да) + и(° (0)^ + и® (0) Во втором приближении получаем

= 0.710эау.

а=-да

и(2) (0) = ия/ (1, а) + ис(0) (0) + ис(1) (0) + ис(2) (0).

Отсюда видно, что

и (2)(0) = и51 (1,-да) + и(0) (0) + и(1}(0) + и(2)(0)

с

а=-да

с

а=-да

= 0.7068а,

V •

а=-да

Полученные результаты сравним с точным значением скорости у плоской стенки [51; 3]:

и (0,а) = Из формулы (8.4) следует, что

¡В (а)^ (84)

а

1В (а) v

а=-да

и (0)1 а=—да=^ = 0.7071^

Введем относительную ошибку:

и (0) — и (п)(0)

а

и (0)

• 100%, п = 0,1,2,....

В результате имеем в нулевом приближении относительную ошибку равную 4.6%, в первом приближении 0.45%, во втором приближении 0.044%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бедрикова Екатерина Алексеевна, 2015 год

Список литературы

1. Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях / А.А.Арсеньев - М.: Наука, 1992.-216 с.

2. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями / Р.Г. Баранцев - М.: Наука, 1975.-343 с.

3. Бедрикова Е.А. Массовая скорость квантового Бозе-газа в задаче об изотермическом скольжении / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета (Электронный журнал) 2012. - № 4 - C. 227-240.

4. Бедрикова Е.А. Распределение массовой скорости квантового Бозе-газа / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2013. -Аннотация докладов. В 3 томах. - Т.3. Тематические конференции НИЯУ МИФИ. - М.: НИЯУ МИФИ. - 2013. - C.160.

5. Бедрикова Е.А. Задача Крамерса для квантового Бозе-газа с постоянной частотой столкновений молекул и зеркально-диффузными граничными условиями / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ -2013. - Аннотация докладов. В 3 томах. - Т.3. Тематические конференции НИЯУ МИФИ. - М.: НИЯУ МИФИ - 2013. - C.160.

6. Бедрикова Е.А. Задача Крамерса для квантового Бозе-газа с постоянной частотой столкновений молекул и зеркально-диффузными граничными условиями / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета (Электронный журнал) - 2013. -№ 3. - C. 33.

7. Бедрикова Е.А. Скачок химического потенциала при испарении бозе-газа / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Low Temperature Physics/Физика низких температур - 2014. - Т.40 - № 3 - С. 296-302.

8. Бедрикова Е.А. Аналитическое решение задачи о скачке химического потенциала Бозе-газа при испарении с переменной частотой столкновения молекул / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ -

2014. - Аннотация докладов. В 3 томах.- Т.2. Тематические конференции НИЯУ МИФИ - М.: НИЯУ МИФИ - 2014. - С. 117.

9. Бедрикова Е.А. Скачок химического потенциала при испарении Бозе-газа с переменной частотой столкновений молекул / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Известия высших учебных заведений, Серия Физика - № 5 - Май 2014 -С. 89-95.

10. Бедрикова Е.А. Задача о скачке химического потенциала при испарении ферми-газа с переменной частотой столкновения молекул. / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика и математика. - 2014. - №2 - С.30-45

11. Бедрикова Е.А. Аналитическое решение задачи Куэтта для бозе-газа / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // VII Международная научная - практическая конференция, Наука и образование - 2014. - Мюнхен, Германия. - 27-28 июня 2014 г - С. 399-405.

12. Бедрикова Е.А. Задача Куэтта для бозе-газа / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика и математика. - 2014. - №4 - С. 29-43.

13. Бедрикова Е.А. Решение задачи Куэтта для ферми-газа / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2015. - Аннотация докладов. В 3 томах.- Т.2. Тематические конференции НИЯУ МИФИ.- М.: НИЯУ МИФИ.- 2015. - С. 264.

14. Бедрикова Е.А. Течение Куэтта для квантовых газов / Е.А. Бедрикова, А.В. Латышев // Сборник материалов Международной конференции «Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, наноэлектронных приборов и экологичных технологий».- Москва. -12-24 апреля 2015 г. С. 7.

15. Бобылев А.В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау / А.В. Бобылев - М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1987.- 253 с.

16. Больцман Л. Избранные труды / Л. Больцман - М.: Наука, 1984.- 590 с.

17. Галкин В.С. О пределах применимости релаксационной модели уравнения Больцмана / В.С. Галкин // Инж. журнал. - 1961. - Т.1. - вып. 3.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов - М.: Наука, 1977.- 640 с.

19. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский - М.: Наука, 1978. - 296 с.

20. Григорьев И.С. Физические величины. Справочник / И.С. Григорьев, Е.З. Мейлихов - М.: Энергоатоиздат, 1991.-1232 с.

21. Исихара А. Статистическая физика / Исихара А. - М.: Мир, 1973.- 471 с.

22. Квашнин А.Ю. Задача Крамерса в квантовых ферми - газах с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул/ А.Ю.Квашнин, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Труды института Системного анализа РАН «Динамика линейных и нелинейных систем». - 2006. - Том 25 (2). -С. 69 - 73.

23. Квашнин А.Ю. Задача Крамерса в квантовых бозе - газах с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул / А.Ю.Квашнин, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Сб. тр. «Фундаментальные физико -математические проблемы». Изд-во МГТУ «Станкин» - 2008. - Вып. 11. -С. 74 - 79.

24. Квашнин А.Ю. Задача Крамерса для ферми - газа с зеркально-диффузным граничным условием / А.Ю. Квашнин, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Труды ин-та Системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». -

2008. - Том 32(3). - С. 101- 105.

25. Квашнин А.Ю. Изотермическое скольжение ферми-газа с зеркально-диффузным отражением от границы / А.Ю. Квашнин, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2009. - Т. 52. -№ 12. - С. 3-7.

26. Квашнин А.Ю. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с диффузным отражением от границы / А.Ю. Квашнин // Вестник Московского государственного областного университета Серия «Физика-математика». -

2009. - №3. - С. 14-25.

27. Квашнин А.Ю. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы / А.Ю. Квашнин, А.В.Латышев, А.А. Юшканов // Физика низких температур. - 2010. -Т.36 - N 4. - C. 413-417.

28. Квашнин А.Ю., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса для бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы / А.Ю. Квашнин, А.В.Латышев, А.А. Юшканов // Материалы международной научно-практической конференции Поморский государственный университет им. М.В. Ломоносова - Коряжма, 21-22 октября 2010г - С. 431-437.

29. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. / М.Н. Коган - М.: Наука. - 1967. - 440 с.

30. Козырев А.В. Испарение сферической капли в газе среднего давления / А.В. Козырев, А.Г. Ситников // УФН. 2001.- Т.171. -№ 7. - С. 765-774.

31. Костиков А.А. Скачок химического потенциала при испарении ферми-газа / А.А. Костиков, А.В. Латышев, А.А. Юшканов // ЖТФ. - 2009.- Т. 79 - С. 1-8.

32. Костиков А.А. Задача Крамерса с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми - газов / А.А. Костиков, А.В.Латышев, А.А. Юшканов // Физика низких температур.-2008. - №34 - С. 914-941.

33. Ландау Л.Д. Статистическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц -T5- М.: Наука. - 1976.- 584 с.

34. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц -T6- М.: Наука. -1988.- 733 с.

35. Латышев А.В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о тепловом скачке / А.В.Латышев // ПММ. - 1990. - T.54. - выпуск 4. - С. 581-586

36. Латышев А.В. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - 1990. -Т.85. - №3 - С. 428 - 442.

37. Латышев А.В. Аналитическое решение задач скольжения бинарного газа / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - 1991.- Т.86.- №3. -С. 402 - 419.

38. Латышев А.В. Теория и точные решения задач скольжения бинарного газа вдоль плоской поверхности / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Ж. Выч. матем. и матем. физ. - 1991. - Т.31. - №8.- С. 1201-1210.

39. Латышев А.В. Уравнения свертки в задаче о диффузионном скольжении бинарного газа с аккомодацией / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. -1991.- №1. - С. 31-37.

40. Латышев А.В. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных кинетических уравнений / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - 1992. -Т.92.- №1.- С.127-138.

41. Латышев А.В. Аналитическое решение одномерной задачи об умеренно сильном испарении (конденсации) в полупространстве / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Ж. Прикл. мех. и техн. физики. - 1993. - Т.34.- №1.- С.102-106.

42. Латышев А.В. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации) / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Известия РАН.- Сер. МЖГ.-1993.- №6.- С.143-155.

43. Латышев А.В. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Письма в журнал техн. физики. - 1997. - Т.23. - № 14. - С. 13 - 16.

44. Латышев А.В. Аналитическое решение задачи о скольжении газа с использованием модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. -1997. - № 1.- С. 92 - 99.

45. Латышев А.В. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Инженерно - физический журнал. - 1998. - Т.71. - № 2. Март - Апрель. - С. 353 - 359.

46. Латышев А.В. Слабое испарение (конденсация) с произвольным коэффициентом испарения в газах с постоянной частотой столкновений

молекул/ А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Инженерно - физический ж. -

2000.- Т.73.- №3. март-апрель.- С. 542-549.

47. Латышев А.В. Аналитическое решение задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Письма в ЖТФ.- 2000.- Т.26. - вып.23. - С. 16-23.

48. Латышев А.В. Аккомодационные двухмоментные граничные условия в задачах о тепловом и изотермическом скольжениях/ А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Инженерно - физический журнал. - 2001. - Т.74. - №3. -С. 63-69.

49. Латышев А.В. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул/ А.В. Латышев, А.А.Юшканов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования.-

2001.- №7.- С. 79-87.

50. Латышев А.В. Граничные задачи для квантового ферми - газа / А.В.Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика.- 2001.- Т.129.- №3.- С. 491-502.

51. Латышев А.В. Граничные задачи для квантового бозе - газа / А.В.Латышев, А.А. Юшканов // Известия вузов. Сер. Физика.- 2002.- № 6.- С. 51-56.

52. Латышев А.В. Граничные задачи для молекулярных газов / А.В.Латышев, А.А. Юшканов - М.: Изд-во МГОУ - 2005.- 264 с.

53. Латышев А.В. Моделирование кинетических процессов в квантовых бозе -газах и аналитическое решение граничных задач / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Матем. моделирование. - 2003. - №5. - С. 80-94.

54. Латышев А.В. Кинетическое уравнение для квантовых ферми - газов и аналитическое решение граничных задач / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - Т.134. - №2 - февраль 2003. - C.310-324.

55. Латышев А.В. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле/ А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Ж. техн. физики. - Т.73. - Вып.7. -2003. - С. 37-45.

56. Латышев А.В. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Изв. РАН. Сер. МЖГ. -№2. - 2004.- С.193-208.

57. Латышев А.В. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Ж. выч. матем. и матем. физики. - Т.44. -№ 6. - 2004. - C.1107-1118.

58. Латышев А.В. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории / А.В. Латышев, А.А. Юшканов - Монография. - М.: Изд-во МГОУ. -2004.- 286 с.

59. Латышев А.В. Аналитическое решение задачи о скачке концентрации при испарении бинарной газовой смеси / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Письма в ЖТФ. - Т.30. - Вып. 24. - 2004. - С. 12-19.

60. Латышев А.В. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения / А.В. Латышев, А.А. Юшканов - Монография. - М.: Изд-во МГОУ. - 2004.271 с.

61. Латышев А.В. Задача Смолуховского для электронов в металле / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика.- Т.142. - № 1. - 2005.- С. 92-111.

62. Латышев А.В. Метод сингулярных интегральных уравнений в граничных задачах кинетической теории / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - 2005. - Т. 143. - № 3. C. 855-870.

63. Латышев А.В. Влияние коэффициента испарения на параметры газа вблизи поверхности / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Инженерно - физический журнал. - 2007.- Т.80.- № 1.- С.121-126.

64. Латышев А.В. Задача Смолуховского для вырожденных Бозе - газов / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - 2008. - Т.154. - № 7. -С. 1- 14.

65. Латышев А.В. Температурный скачок в вырожденных квантовых газах с энергией возбуждения Боголюбова и при наличии конденсата Бозе-

Эйнштейна / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - T165. №1. - 2010. - С. 145-159.

66. Латышев А.В. Температурный скачок в вырожденных квантовых газах при наличии конденсата Бозе-Энштейна / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Теор. и матем. физика. - Т162. - №1 - 2010. - С. 112-124.

67. Латышев А.В. Новый метод решения граничных задач кинетической теории / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // Ж. вычисл. матем. и матем. физики - 2012. -том 52 - №3 - C.1-14.

68. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для квантовых газов / А.В. Латышев, А.А. Юшканов -Монография. - М.: Изд-во МГОУ.- 2012.- 265 с.

69. Латышев А.В. Тепловое скольжение ферми-газа / А.В. Латышев, Н.Н.Любимова, А.А. Юшканов // Известия вузов. Серия «Физика». - 2006. -№7. - С. 11-17.

70. Любимова Н.Н. Точное решение граничной задачи о тепловом скольжение для квантового ферми-газа / Н.Н. Любимова // Доклады Академии наук.-2008. - Т.422 - №4. - С. 463-465.

71. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И.Мусхелишвили - М.: Наука. - 1968. - 513 с.

72. Рейнольдс М. Изменение профиля скорости в кнудсеновском слое для задачи Крамерса / М. Рейнольдс, Дж.Смолдерен, Дж. Вендт // Динамика разреженных газов. - М.: Мир 1976. - С. 240-250.

73. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию / В.П. Силин - М.: Книжный дом «Либроком» - 2013. - 344 с.

74. Попов В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками / В.Н. Попов, И.В. Тестова, А.А. Юшканов // Журнал технической физики - 2011. - том 81. вып.1. -C. 53-58.

75. Фастовский В.Г. Криогенная техника / В.Г. Фастовский, Ю.В.Петровский, А.Е. Ровинский - Изд 2-е переработанное и доп. - М.: Энергия. - 1974. -496 с.

76. Фастовский В.Г. Инертные газы / В.Г. Фастовский, Ю.В. Петровский, А.Е. Ровинский. - Изд. 2-е. - М.: Атомиздат. - 1972. -352 с.

77. Ферцигер Дж. Математическая теория процессов переноса в газах / Дж. Ферцигер , Г. Капер. - М.: Мир. -1976. -556 с.

78. Хирс Д. Испарение и конденсация / Д. Хирс, Г. Паунд - М.: Металлургия. -1966. -196 с.

79. Чепмен С. Математическая теория неоднородных газов. / С. Чепмен, Т. Каулинг - М.: Изд- во иностранной литературы. - 1960. -512 с.

80. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов / К. Черчиньяни - М.: Мир. - 1973.- 246 с.

81. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана / К. Черчиньяни - М.: Мир. - 1986. - C. 132204.

82. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана / К. Черчиньяни -М.: Мир. - 1978.- с.496

83. Шарипов Ф.М. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах/ Ф.М. Шарипов, В.Д. Селезнев - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН. - 2008. -с. 230.

84. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа / Е.М.Шахов -М.: Наука. - 1974. - с. 209.

85. Bedrikova E.A. Mass velocity of Bose-gas in the problem about isothermal sliding / E.A. Bedrikova, A.V. Latyshev // arXiv:1208.5231v1 [math-ph] 26 Aug 2012. -17p.

86. Bedrikova E.A. The Kramers problem for quantum bose-gases with constant collision frequency and specular-diffusive boundary conditions / E.A.Bedrikova, A.V. Latyshev // arXiv:1212.1270v1 [math-ph] 6 Dec 2012. - 55 p.

87. Bedrikova E.A. Chemical Potential Jump during Evaporation of a Quantum Bose Gas / E.A. Bedrikova, A.V. Latyshev // arXiv:1301.1196v1 [math-ph] 7 Jan 2013. - 22 p.

88. Bhatnagar P.L. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems/ P.L. Bhatnagar, E.M Gross., M. Krook // Phys. Rev. - 1954. - V.94. - P.511-525.

89. Case K.M. Elementary solutions of the transport equations and their applications / K.M. Case // Ann. Phys. - V.9. - №1. - 1960. - P.1-23.

90. Cercignani C. Mathematical Methods in Kinetic Theory / C. Cercignani - New York: Plenum Press. - 1969. - p. 268.

91. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas - dynamics Boltzmann equation and their applications to the slip - flow problem / C. Cercignani // Ann. Phys. (USA). - 1962. - V.20. - №2. - P. 219-233.

92. Cercignani C. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency / C. Cercignani // Ann. Phys. - 1966. -V.40. - P. 469-481.

93. Cercignani C. The Kramers problem for a not completely diffusing wall / C. Cercignani // J. Math. Phys. Appl. - 1965. - V.10. - P.568-586.

94. Cercignani C. Dependence of the slip coefficient on the form of the collision frequency / C. Cercignani, P. Foresti, F. Sernagiotto // Part 2. NuovoCimento. -1968. - V. LV11. B. - No.2. - P.297-306.

95. Cercignani C. Kinetic model for gas-surface ineraction / C. Cercignani, M.Lampis // Transport Theory and Statist. Physics. - 1971.-V.1 - P.101-109.

96. Cercignani C., Sernagiotto F. The method of elementary solutions for time-dependent problems in linearized kinetic theory / C. Cercignani, F. Sernagiotto // Ann. Phys. - 1964. - V. 30. - P. 154-167.

97. Chapman S. On the kinetic theory of a gas; Part 2, A composite monatomic gas, diffusion viscosity and thermal conduction / S. Chapman - Phil. Trans. Roy. Sos. London. - 1917. - V.217. - p. 118.

98. Enskog D. Kinetische Theorie der Vorgänge in mässig verdünnten Gasen / D.Enskog - Diss. Uppsala. - 1917.

99. Ferziger J.H. Mathematical Theory of Transport Processes in Gases / J.H.Ferziger, H.G. Kaper - Amsterdam: North-Holland Publishing Company. - 1972. 568 p.

100. Garcia R.D.M. Channel Flow of a Binary Mixture of Rigid Spheres Described by the Linearized Boltzmann Equation and Driven by Temperature, Pressure, and Density Gradients / R.D.M. Garcia, C.E. Siewert // SIAM Journal on Applied Mathematics - V.67. - 2007. - P. 1041-1063.

101. Garcia R.D.M. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel / R.D.M. Garcia, C.E. Siewert // European Journal of Mechanics B/Fluids. - V. 28. - 2009. - P.387-396.

102. Hoskinson E. Quantum whistling in super fluid helium-4 / E. Hoskinson, R. E. Packard, T. M. Haard // Nature - 2005.- V. 433. - P 376.

103. Latyshev A.V. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity / A.V. Latyshev, A.A. Yushkanov // Fluid Dynamics. - 1996. -V.31. - № 3. - P.454-466

104. Maxwell J.C. Illustrations of the dynamical theory of gases. I. on the motion and collisions of perfectly elastic spheres; II. On the process of diffusion of two or more kinds of moving particles among one another; III. On the collision of perfectly elastic bodies of any form / J.C. Maxwell // Phil. Mag. Series 4 - 1860.

105. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases / J.C. Maxwell // Phil. Trans. Roy. Soc. London - 1867. -V157. P.49-88

106. Packard R.E. Principles of superfluid helium Gyroscopes / R.E. Packard, S.Vitale // Phys. Rev. B 46. - 1992. - P. 3540-3549

107. Siewert C.E. The Linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems. / C.E. Siewert // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik. - 54. - 2003. - S. 273-303.

108. Siewert C.E. The McCormack Model: Channel Flow of a Binary Gas Mixture Driven by Temperature, Pressure and Density Gradients. / C.E.Siewert, D. Valougeorgis // European Journal of Mechanics B/Fluids.- 23. - 2004. - P.645-664.

109. Welander P. On the temperature jump in rarefied gas / P. Welander // Arkiv for Fysik. - 1954. - Bd.7.- № 44. - P. 507-564.