Численное решение модельных задач для квантовых газов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Есенков, Владимир Сергеевич

• Есенков, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Есенков, Владимир Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ И СЛАБОМ ИСПАРЕНИИ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ.

1.1. Обзор методов и подходов при решении граничных задач кинетической теории для квантовых газов.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Граничные условия.

1.4. Численный метод решения.

1.4.1. Явный конечно-разностный метод.

1.4.2. Неявный конечно-разностный метод.

1.5. Результаты расчета.

1.5.1. Получение функции распределения частиц.

1.5.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ БОЗЕ-ГАЗА О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ И СЛАБОМ ИСПАРЕНИИ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ГАЗ КОНДЕНСИРОВАННАЯ ФАЗА (ТВЁРДОЕ ТЕЛО, ЖИДКОСТЬ).

2.1. Постановка задачи.

2.2. Граничные условия.

2.3. Численный метод решения.

2.3.1. Явный конечно-разностный метод.

2.3.2. Неявный конечно-разностный метод.

2.4. Результаты расчета.

2.4.1. Получение функции распределения частиц.

2.4.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ КЛАСИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО БОЗЕ-ГАЗА О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ГАЗ -КОНДЕНСИРОВАННАЯ ФАЗА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Граничные условия.

3.3. Численный метод решения.

3.3.1. Явный конечно-разностный метод.

3.3.2. Неявный конечно-разностный метод.

3.4. Результаты расчета.

3.4.1. Получение функции распределения частиц.

3.4.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение модельных задач для квантовых газов»

Общая характеристика работы

Задача Смолуховского о температурном скачке является одной из важнейших в кинетической теории граничных задач [1,2]. Для случая классического газа эта задача рассматривалась в различных постановках многими авторами [1-6]. Аналитические решения таких задач получены сравнительно недавно для случая одноатомного газа [7] и молекулярных газов [6]. Не менее важна эта задача и для квантовых газов (для электронов в металле, бозе-частиц в бозе-конденсате и для вырожденного бозе-газа), в частности при низких температурах. На данный момент решение таких задач получено только для случая, когда частота столкновения в квантовых газах пропорциональна молекулярной скорости [8-12]

Одной из важных задач в этой связи является построение численных методов, позволяющих решать класс задач Смолуховского для любого вида зависимости частоты столкновения квантовых газов и получать значения кинетических коэффициентов как функций макропараметров задач с заданной точностью.

В данной работе разработаны численные методы решения задачи Смолуховского о температурном скачке для квантовых газов. Получены решения классической и обобщённой задачи для ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Построены зависимости кинетических коэффициентов задачи от макропараметров исследуемых систем.

Актуальность темы

Задачи распределения температуры вблизи границы раздела сред газ-конденсированная фаза (жидкость, твёрдое тело) актуальны как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений [1,4].

Так, вопрос о профиле температуры вблизи металлических образцов малых размеров представляет большой интерес для микроэлектроники, где учет влияния поверхности на распределение температуры становится принципиальным. Не менее важен вопрос о распределении электрического потенциала вблизи поверхности металла при наличии процессов теплообмена, когда характер аккомодации энергии электронов на поверхности имеет существенное влияние.

В последнее время наблюдается стремительное развитие экспериментальных методик получения и исследования квантовых газов при экстремально низких температурах [13], в которых большое значение имеет учет пограничных эффектов на свойства системы.

С теоретической точки зрения данные задачи интересны прежде всего тем, что они относятся к сложным граничным задачам кинетической теории, и всякий раз требуют для своего решения новых подходов и методов, особенно с учётом сложности задания граничных условий. Попытки приблизить соответствующую аналитическую модель к реальности иногда приводят к непреодолимым трудностями при решении точных уравнений, вынуждая вводить различные предположения и упрощения, рассматривать ограничения или частные случаи.

В данной работе предложены методы численного решения граничных задач кинетической теории задач Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз.

Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является построение математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ-конденсированная фаза для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. При этом для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений. Предполагается наличие постоянного потока от или к поверхности раздела фаз. Граничные условия на поверхности носят чисто диффузный характер.

На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе была разработка численного метода, позволяющего вычислять функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Следующей задачей было выяснение оптимальных параметров сходимости численного метода решения, не зависимо от входных макропараметров системы, а также нахождение границ исследуемой области с учётом необходимой точности решения. И, наконец, на последнем этапе задача заключалась в построении итерационного алгоритма нахождения решения задачи с учетом ограничений, накладываемых законами сохранения импульса на исследуемую систему.

В ходе исследований удалось применить аппарат численного решения интегро-дифференциальных уравнений на основе конечно-разностных схем типа Эйлера, а так же аппарат итерационного приближения к решению системы в условиях сложного задания граничных условий на исследуемую область.

Научная новизна

Существует множество работ, посвященных исследованию граничных задач кинетической теории для квантовых газов. Однако, практически отсутствуют результаты и публикации о построении численных методов для решения задач такого рода. В данной работе делается попытка заполнить этот пробел. Предлагается математическая модель, описывающая обобщённую и классическую задачи Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз для различных квантовых моделей (ферми-газ, бозе-газ, вырожденный бозе-газ) и разрабатываются численные методы для их эффективного решения. Эффективность и удобство 6 данных подходов заключается в универсальности алгоритмов задания как системы уравнений, описывающих поведение газов, так и граничных условий, не зависимо от их сложности.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается граничная задача для линеаризованного интегро-дифференциального кинетического уравнения Больцмана [14] для квантовых газов. Граничные условия для рассматриваемой системы вдали от пограничного слоя, называемого слоем Кнудсена [15], задаются с использованием распределения Чепмена-Энскога [16], в то время как на стенке граничные условия имеют чисто диффузный характер [17]. При постановке задачи используется теория Боголюбова для слабо взаимодействующих кинетических газов (в частности для бозе-газа) для получения соотношения для энергии возбуждений, характеризующих взаимодействие молекул газа [18]. Лианеризация уравнения Больцмана проводится относительно абсолютного распределения Ферми (в задаче для ферми-газа), Бозе-Эйнштейна (в задаче для бозе-газа) и Бозе-Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом (в задаче для вырожденного бозе-газа) [19]. При определении кинетического коэффициента скачка температуры в вырожденном бозе-газе используется определение сопротивления Капицы в качестве величины, обратной коэффициенту скачка температуры [22].

Для рассматриваемого уравнения строится конечно-разностная схема типа Эйлера [23]. Численное интегрирование выполняется при помощи квадратурных формул Симпсона [24]. Сходимость численной итерационной схемы определяется согласно правилу Рунге [25]. При нахождении корней функционалов вытекающих из законов сохранения импульса, являющихся ограничениями системы, использовался метод Ньютона (метод касательных) для функций одной и более переменных [26].

Для численных экспериментов используется ряд алгоритмов, реализованных на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков функций осуществлялось с помощью среды Golden Software Grapher.

Практическая ценность

Полученные в работе численные результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Например, можно рассмотреть граничные задачи для электронов в металле при наличии электрического поля, рассмотреть граничные условия другого рода (например, зеркально-диффузные условия отражения Максвелла на границе раздела фаз [27]).

Разработанные численные методы могут быть применены для решения различных граничных задач квантовой теории газов. Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ может быть использован как будущая основа для программного обеспечения систем управления объектами такого рода.

Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика А.А. Самарского (Москва 2009 г.).

2. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2006-2009 г.г.).

3. Научные семинары кафедры интеллектуальных систем МФТИ (ГУ) (2006-2009 г.г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [15, 28,29,30.31], в том числе в четырёх [28-31] из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора диссертации

В работе [28] автором разработан численный метод решения интегро-дифференциального уравнения, описывающего поведение квантового ферми-газа в классической задаче Смолуховского о температурном скачке на границе раздела фаз. Предложенный метод позволил для любого набора заданных входящих параметров задачи (градиента температуры, скачка температуры и химического потенциала) получить функцию распределения частиц в рассматриваемом пограничном слое.

В работах [15, 29, 30] предложенный автором в [28] численный метод удалось применить для случая обобщённой задачи Смолуховского, когда помимо градиента температуры задана ещё и скорость испарения ферми-газа с плоской поверхности раздела фаз. Также был разработан неявный метод решения интегро-дифференциального уравнения, описывающего поведение квантового ферми-газа в обобщённой задаче Смолуховского о температурном скачке на границе раздела фаз и слабом испарении с плоской поверхности. Суть метода заключалась в добавлении внутреннего итерационного процесса, при определении значений функции распределения на каждом рассматриваемом слое. Преимущество данного метода заключалось в более высоком порядке сходимости. При помощи этого метода были получены точные значения функции распределения из всего набора найденных в [28], которые позволили определить значения искомых кинетических коэффициентов в задаче Смолуховского для ферми-газа.

В работе [31] при помощи численных методов из [15,28,29,30] автору удалось получить решение обобщённой задачи Смолуховского для бозе-газа о температурном скачке на границе раздела газ - конденсированная фаза и слабом испарении с плоской поверхности раздела фаз.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Есенков, Владимир Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых газов (ферми-газ, бозе-газ и вырожденный бозе-газ) в обобщённой и классической задачах Смолуховского о скачке температуры и слабом испарении с плоской поверхности раздела газ-конденсированная фаза. Данные методы позволяют находить функцию распределения частиц при заданных значениях скачка температуры и химического потенциала.

2. Найдены границы области исследования функции распределения частиц, позволяющие проводить численные расчеты с заранее установленной точностью.

3. Разработан численный итерационный метод решения обобщённой и классической граничных задач Смолуховского с использованием набора функций распределения, полученных при различных значениях скачка температуры и химического потенциала. Метод позволяет определить указанные кинетические коэффициенты из условия, накладываемого на функцию распределения, следующего из закона сохранения импульса.

4. Получены решения задач Смолуховского для ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Построены зависимости кинетических коэффициентов скачка температуры и испарения от макропараметров системы (величины градиента температуры и массовой скорости газа). Построена зависимость сопротивления Капицы от величины потока тепла.

5. На основании предложенных в диссертации численных методов разработан комплекс программ для решения ряда граничных задач кинетической теории квантовых газов. —

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Есенков, Владимир Сергеевич, 2009 год

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. // М.: Наука, 1967. 440 с.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. // М.: Мир, 1977.-495 с.

3. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы. // ТМФ, 1993. -Т.95, т.З. С. 530-540.

4. Коленчиц О.А. Тепловая аккомодация систем газ — твёрдое тело. // Минск: Наука и техника, 1977. 209 с.

5. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул. // Известия РАН. Серия МЖГ, 1996. Т.З. - С. 140-153.

6. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах. // ЖЭТФ, 1998. Т.114. Вып. 3(9) - С. 956-971.

7. Latyshev A.Y. The use of case's method to solve the linearized BGK equations for the temperature-jump problem. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990. V. 54. - P. 480-484.

8. Латышев A.B., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле. // Журнал технической физики, 2003. Т.73. Вып. 7.-С. 37-45.

9. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского для электронов в металле. // Теоретическая и математическая физика, 2005. Т. 142. №. 1. — С. 92-111.

10. Латышев А.В., Юшканов А.А. Влияние свойств поверхности на скачок температуры в металле. // Журнал технической физики, 2004. Т.74. Вып. 11.-С. 47-52.

11. Латышев А.В., Юшканов А.А., Кинетические процессы в квантовых бозе-газах и аналитическое решение граничных задач. // Математическое моделирование, 2003. Т. 15. №5 - С. 80-94.

12. Латышев А.В. , Юшканов А.А., Задача Смолуховского для вырожденных бозе-газов. // Математическое моделирование, 2003. Т. 15. №5 - С. 80-94.

13. Питаевский Л.П. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в поле лазерного излучения. // УФН, 2006. Т. 174. №4 - С. 345-364.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Том X. Физическая кинетика. // М.: Наука, 1979. 528 с.

15. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. // М.: Мир, 1976. 152 с.

16. Займан Дж. Электроны и фононы. // М.: Мир, 1962. 408 с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Том IX. Статистическая физика. Часть 2. // М.: Наука, 1978. 448 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Том V. Статистическая физика. Часть 1. // М.: Наука,, 1976. 584 с.

19. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов // М.: Издательство МФТИ, 1997. 720 с.21.0ртега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. // М.: Наука, 1986. 288 с.

20. Прохоров A.M. Физический энциклопедический словарь. // М.: Большая российская энциклопедия, 1995. 927 с.

21. Бабенко К.И. Основы численного анализа. // Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. С. 421-425.

22. Калиткин Н.Н. Численные методы. // М.: Наука, 1978. 512 с.

23. Волков Е.А. Численные методы. // М.: Наука, 1987. 247 с.

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. // М.: Наука, 1987. 330 с.

25. Латышев А.В., Юшканов А.А. Моментные граничные условия в задачах' скольжения разреженного газа // Известия РАН. Серия МЖГ, 2004. №2. -С. 193-208.

26. Есенков B.C., Латышев А.В., Михайлов И.Е., Юшканов А.А. Численное решение задачи Смолуховского для Ферми-газа. // М.: Издательство ЛКИ. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2007. Т. 31(1). - С. 168-173.

27. Есенков B.C., Латышев А.В., Михайлов И.Е., Юшканов А.А. Решение обобщенной задачи Смолуховского для Ферми-газа // М.: Издательство ЛКИ. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2008. Т. 32(3). -С. 152-158.

28. Есенков А.С., Есенков B.C., Михайлов И.Е. Методы решения интегро-дифференциального уравнения в задаче Смолуховского для Ферми-газа //Вестник Тверского Государственного Университета. Серия: Прикладная математика. Тверь, 2009. Выпуск № 1(12). - С. 51-57.

29. Есенков А.С., Есенков B.C., Михайлов И.Е. Численное решение задачи Смолуховского для Бозе-газа //Вестник Тверского Государственного Университета. Серия: Прикладная математика. Тверь, 2009. Выпуск № 3(14). - С. 44-50.

30. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для молекулярных газов. Монография. // М.: Издательство МГОУ , 2005. 264 с.

31. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. // М.: Наука, 1971. 320 с.

32. Эйнштейн А. Собрник научных трудов. // М., 1966. Т. 3 - 386 с.

33. Латышев А.В., Моисеев А.В. Граничная задача для уравнений переноса излучения при комбинации рэлеевского и изотропного рассеяния. // ЖВММФ, 1998. Т. 38. №4. - С. 538-550.

34. Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. // Монография. Архангельск. Поморский университет, 2004. 266 с.

35. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение модельного БГК-уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии. // Математическое моделирование, 1992. Т.4. №10.-С. 61-66.

36. Латышев А.В., Юшканов А.А. 'Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы. // ТМФ, 1993. -Т.95.№3.-С. 530-540.

37. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач для эллипсоидально статистического уравнения // ПМТФ, 2004. Т. 45. №5.-С. 13-25.

38. Больцман Л. Лекции по теории газов. // М.: Гостехиздат, 1956. -554 с.

39. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Smolukhovsky problem for electrons in a metal. // Theoretical and Mathematical Physics, 2005. V. 142(1). - P. 79-95.

40. Латышев A.B., Юшканов А.А. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. Монография. // М.: Издательство МГОУ, 2006. 274 с.