Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в теории нелинейных волн в самогравитирующих сжимаемых средах и его приложение к задачам астрофизики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Зиновьев, Дмитрий Александрович

• Зиновьев, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зиновьев, Дмитрий Александрович

Общая характеристика работы.

Глава 1. Введение. Методы анализа нелинейных моделей физических процессов.

1.1. Метод обратной задачи.

1.1.1 Преобразования Бэклунда.

1.1.2 Метод обратной задачи рассеяния.

1.1.3 Метод преобразований Дарбу.

1.2 Симметрийный подход.

1.3 Точные решения уравнений движения вязкой жидкости.

Глава 2. Обобщенная подстановка Коула-Хопфа.

2.1 Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+1. Точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости.

2.1.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+1.

2.1.2 Рекуррентные соотношения.

2.1.3 Общая схема и примеры ее использования.

2.1.4 Система уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого газа при нулевом давлении и внешних силах.

2.1.5 Обобщенное базовое соотношение.

2.1.6 Выбор функции Ф в различных физических задачах.

2.1.7 Вид первых интегралов гидродинамических уравнений и свойства их решений.

2.1.8 Расчет ударных волн в сжимаемом вязком газе.

2.1.9 Матричное расширение.

2.2 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2. Точно интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости.

2.2.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2.

2.2.2 Рекурентные соотношения.

2.2.3 Общая схема.

2.2.4 Комплисифицированная форма базовых соотношений.

2.2.5 Уравнения гидродинамического типа.

2.2.6 Уравнения Эйлера сжимаемой жидкости.

2.2.7 Построение точных решений уравнений двумерных течений.

2.2.8 Выбор функций в и Н.

Глава 3. Гидродинамические волны в самогравитирующих сжимаемых средах.

3.1 Одномерное течение вязкой жидкости с переменной плотностью.

3.2 Одномерное течение вязкой жидкости в собственном поле тяготения.

3.3 Модифицированное уравнение Бюргерса.

3.4 Одномерное адиабатическое течение идеальной жидкости.

3.5 Дополнительные классы интегрируемых моделей.

3.5.1 Решение с Хаббловским потоком.

3.5.2 Течение на полупрямой.

3.5.3 Модели газовой динамики.

3.6 Динамика невязкой самогравитирующей пыли.

3.7 Сферически и цилиндрически симметричные течения самогравитирующей идеальной сжимаемой жидкости.

3.8 Классы точных решений уравнений вязких течений.

Глава 4. Формирование структур в самогравитирующих сжимаемых средах вследствие джинсовской неустойчивости.

4.1 Джинсовская неустойчивость в одномерном случае.

4.2 Джинсовкая неустойчивость для распределений со сферической симметрией.

4.3 Обратная волна сжатия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в теории нелинейных волн в самогравитирующих сжимаемых средах и его приложение к задачам астрофизики»

Актуальность работы.

Нелинейные волны в сжимаемой среде являются одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики атмосферы и заканчивая астрофизикой и космологией. Исследование возникновения и распространения ударных волн при различных физических условиях и свойствах среды является типичной задачей в таких исследованиях [33]. Одной из часто возникающих задач в астрофизике является описание различных явлений, сопровождающихся высвобождением огромных энергий за небольшой промежуток времени в поле тяготения [192], создаваемом самим веществом исследуемого объекта. К таким явлениям относятся, например, взрывы сверхновых и сбросы оболочек звезд, которые сопровождаются возникновением ударных волн, распространяющихся как внутри звезд, так и в газопылевых облаках и межзвездной среде [216]. Для космологии одной из фундаментальных задач является описание возникновения крупномасштабной структуры в распределении галактик, которая так же связана с проблемой описания динамики сжимаемой среды в собственном поле тяготения. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных волн в сжимаемой самогравитирующей среде является актуальной задачей.

К настоящему времени существует целый ряд математических методов, позволяющих исследовать течения сжимаемой среды в различных частных случаях. Широко распространенным подходом является численный анализ уравнений динамики жидкости. Однако, несмотря на его эффективность, он обладает рядом недостатков, которые заставляют искать новые методы и подходы к решению задач гидродинамики на основе аналитических методов построения их точных решений. Среди таких методов в динамике сжимаемой среды наиболее широко распространенным является метод годографа [33,

131]. Этот метод для некоторых частных задач применялся к исследованию 4 образования крупномасштабной структуры Вселенной [222]. Для несжимаемой вязкой среды важное значение имеет метод Коула-Хопфа [205]. Однако для целого круга задач эти методы либо не могли быть применены, либо в рамках этих методов не всегда удается проанализировать динамику изучаемых объектов с достаточной степенью детальности и наглядности. В связи с этим возникает задача отыскания новых методов и подходов для анализа задач сжимаемой среды, в особенности для решения самосогласованной задачи ее течений в собственном поле тяготения. Таким новым общим методом является метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа [211], использование которого для задач гидродинамики сжимаемой среды является актуальной задачей физики атмосферы, астрофизики, космологии и других разделов теоретической физики.

Цель работы.

Создание методов решения задач динамики сжимаемой жидкости на основе обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Построение развитого метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к задачам гидродинамики самогравитирующих систем. Рассмотрение точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости. Применение полученных результатов для моделирования волновых процессов в сферически и цилиндрически симметричных самогравитирующих системах. Построение самосогласованных точных решений формирования крупномасштабных структур в астрофизических объектах типа газопылевых облаков вследствие джинсовской неустойчивости.

Задачи исследования.

1. Обобщить метод подстановок Коула-Хопфа на более широкий класс нелинейных уравнений типа Бюргерса.

2. В рамках обобщенного метода найти уравнения, описывающие течения сжимаемой жидкости и построить их решения.

3. Построить модель динамики сферически симметричной самогравитирующей системы для различных начальных распределений 5 плотности среды и ее скорости. Провести анализ модели на наличие волновых решений.

4. Исследовать распространение ударных волн в астрофизических объектах типа газопылевых облаков с помощью построенной математической модели.

Методы исследования.

Для исследования интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений в диссертации применяется метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа, развиваемый в гл. 2. Далее с его помощью в гл. 3 строятся точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости, а в гл. 4 модели сферически симметричных самогравитирующих систем.

Научная новизна.

В работе представлены следующие результаты.

1) Предложен и развит метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПК-Х), позволяющий строить иерархии полностью интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных и их точные решения в произвольной координатной размерности. Получены новые классы интегрируемых уравнений в частных производных гидродинамического типа.

2) С помощью МОПК-Х построены новые примеры точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2. Найдены интегралы движений для большого класса уравнений сжимаемой жидкости для разных физических условий.

3) С помощью МОПК-Х получены новые классы точных решений течений сжимаемой среды в собственном поле тяготения для начальных условий с различными типами симметрии (плоской, цилиндрической, сферической).

4) Впервые найдены в форме явных обобщенных подстановок

Коула-Хопфа точные решения, описывающие формирование крупномасштабных структур в облаках пыли и газа вследствие б гравитационной неустойчивости Джинса для произвольных начальных распределений скорости и плотности среды, имеющих плоскую, цилиндрическую или сферическую симметрии.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической физики. Описанные в диссертации точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости и сферически симметричных самогравитирующих газопылевых смесей могут быть использованы для решения астрофизических задач динамики нелинейных ударных волн в звездах и межзвездной среде, формирования крупномасштабных структур в самогравитирующей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса, а также для точного решения задач гидродинамики о течениях сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Для пары базовых дифференциальных соотношений (обобщенные подстановки Коула-Хопфа), связывающих три вспомогательные функции Т,и,¥, существует совокупность дифференциальных следствий, образующих замкнутую систему алгебраических уравнений конечного порядка относительно производных функции Т. В результате, для каждого линейного дифференциального оператора Ь в частных производных в размерности 1+1 и 1+2 существует нелинейное дифференциальное уравнение, преобразующееся (линеаризуемое) с помощью обобщенной подстановки Коула-Хопфа к уравнению Ш = О или 1У = 0.

2) Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики сжимаемой идеальной жидкости к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде, в том числе для некоторых типов двумерных течений идеальной жидкости.

3) Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики вязкой сжимаемой жидкости (аналог уравнения Бюргерса) к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде.

4) Класс обобщенных подстановок Коула-Хопфа, преобразующих уравнения течений идеальной самогравитирующей среды к интегрируемым уравнениям, позволяющие получить точные решения в явном виде. Полученные решения описывают динамику ударных волн в сжимаемых самогравитирующих средах вследствие наличия локальных возмущений.

5) Метод построения точных решений уравнений формирования крупномасштабных структур в самогравитирущей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса при наличии локальных возмущений в среде с уравнением состояния р = О. Точные решения позволяют вычислять в явном виде: а) пространственную структуру волн плотности в каждый момент времени; б) время до образования сингулярностей при заданных начальных распределениях плотности и скорости среды; в) асимптотическое поведение параметров среды вблизи сингулярности.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Теоретической физики Ульяновского государственного университета, а также на конференциях: Российская школа-семинар по гравитации и космологии ОЯАС08-2007 (г. Казань); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.); Седьмая Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля

2009г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (г. Москва); Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.); Шестая Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 2628 января 2011 г.); Конференция-конкурс молодых физиков (Физический институт академии наук, г. Москва, 31 января 2011 г.); XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва).

Публикации.

Диссертация выполнена на основе работ [1а] - [5а] (см. список ниже), опубликованных в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно с научным руководителем. Вклад автора в приведенные в диссертации результаты является основным.

Структура, объем и содержание диссертации.

Работа состоит из четырех глав. Список литературы содержит 225 наименований. Общий объем 106 страниц.

Первая глава является вводной и содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и научной новизны полученных в диссертации результатов.

Вторая глава содержит описание математических основ предлагаемого в работе метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПК-Х) и его применение для построения точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости в размерности 1 + 1 и 1+2. Получены решения уравнений динамики сжимаемой жидкости и изучены их свойства, что является основным результатом данной главы.

В третьей главе излагается специальный вариант метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа, приспособленный для решения задач описания 9 гидродинамических течений. Суть такой модификации состоит в том, что подстановки генерируются непосредственно из формы сил, действующих на жидкость, которые необходимо учесть. В главе приведены примеры применения такого подхода к ряду задач гидродинамики сжимаемой среды. Основным результатом данной главы является построение решений уравнений одномерной динамики самогравитирующих сред. В частности, получены точные решения уравнения динамики вязкой среды при различных пространственных симметриях течений.

Четвертая глава содержит применение полученных в предыдущей главе решений уравнений гидродинамического типа к анализу задач о формировании структур в самогравитирующих сжимаемых средах. Эта задача о джинсовской неустойчивости самогравитирующей среды важна для описания крупномасштабной структуры Вселенной. Построены решения задачи о джинсовской неустойчивости в одномерном и сферически симметричном случаях, что и является основным результатом данной главы.

Публикации по теме диссертации.

Публикации в журналах, входящих в список ВАК:

1а] Журавлев В.М., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости. Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 87, вып. 5, с. 314 -318(2008).

2а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости. Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 88, вып. 3, с. 194 - 197 (2008).

За] Журавлев В.М., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах.

Физическое образование в вузах, 2011, том 17, номер 1, приложение, ISSN 1609-3143.

Публикации в прочих изданиях:

4а] Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. The application of generalized Cole-Hopf substitutions in compressible-fluid hydrodynamics. Physics of Wave Phenomena, Volume 18, Number 4, October-December 2010, p. 245-250.

5a] Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. Nonlinear waves in self-gravitating compressible fluid and generalized Cole-Hopf substitutions. Physics of Wave Phenomena, Volume 19, Number 4, October-December 2011, p. 313-317.

6a] Журавлев B.M., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва)

7а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Волновая гидродинамическая задача в теории собственных колебаний звезд. Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS-2007 (г. Казань)

8а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Материалы Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.)

9а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009г.)

10а] Журавлев В.М., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва)

11а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа и их применение к задачам газо-гидродинимики. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (г. Москва)

12а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.)

13а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Интегрируемые модели двумерных и трехмерных течений сжимаемой жидкости и метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Труды Шестой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 г.)

14а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Тезисы докладов XVII Зимней школы по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.)

15а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа и их применение к задачам газо-гидродинамики. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Зиновьев, Дмитрий Александрович

4.4 Заключение

Как продемонстрировано в данной работе, развитый метод построения моделей динамики сжимаемой жидкости, допускающих преобразование к интегрируемым уравнениям с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, оказывается эффективным при решении ряда задач динамики самогравитирующей среды. В рамках этого подхода можно на основе аналитических решений рассмотреть ряд важных вопросов формирования структур в пылевых облаках, что важно для целого ряда задач астрофизики [222]. В данной работе не проводилось сравнение между формой решений, которые можно получить с помощью метода годографа [223, 222] и данным методом. Однако, как показывают результаты работы [222], с помощью метода годографа можно эффективно исследовать асимптотическое поведение решений. Данный же метод позволяет получать более тонкую информацию о точном решении для разнообразных начальных условий. Следует так же отметить, что данный метод достаточно эффективно работает как в случае идеальной жидкости, та к и в случае вязкой среды. Решения для вязкой среды в рамках метода годографа получить не удается. Поэтому данный метод имеет гораздо более широкую область применения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зиновьев, Дмитрий Александрович, 2011 год

1. N.J. Zabusky and M.D. Kruskal (1965), 1.teractions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett., 15, pp. 240-243.

2. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal and R.M. Miura (1967), Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett., 19, pp. 1095-1097.

3. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal and R.M. Miura (1974), The Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. Method for exact solution, Comm. Pure Appl. Math., 27, pp. 97-133.

4. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат (1971). Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. -ЖЭТФ, 61, с. 118-134.

5. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and Н. Segur (1973), Nonlinear evolution equations of physical significance, Phys. Rev. Lett., 31, pp. 125-127.

6. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H. Segur (1974), The inverse scatterings transform Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., 53, pp. 249-315.

7. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат (1974). Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. Функц. анализ и его прилож., 6, вып. 3, с. 43-53.

8. Napolitano М., Pascazio G., Quartapelle L. A review of vorticity conditions in the numerical solution of the q -\|/ equations // Computers & Fluids. 1999, 28, p. 139-185

9. Аристов C.H., Пухначёв B.B. Об уравнениях вращательно-симметричного движения вязкой несжимаемой жидкости // Доклады Академии наук. 2004, 394, 5, с. 611-614

10. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначёв В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Н.: Наука. 1994, 318 с.

11. Wang С.Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations // Annu. Rev. Fluid Mech. 1991, 23, p. 159-177

12. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1967, 428 с.

13. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978, 400 с.

14. Кочин H.E., Кибель И.A., Розе H.B. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. I, 583 с.

15. Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков вязкой жидкостью //Прикладная математика и механика. 1960, 6, с. 1129

16. Пухначёв В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006, 1, с. 6-76

17. Wang С. Y. Exact solution of the Navier-Stokes equations-the generalized Beltrami flows, review and extension // Acta Mech. 1990, 81, p. 69-74

18. Berker R. Sur Quelques Cas d'Intégration des Equations du Mouvement d'un Fuide Visquex Incompressible. Paris-Lille: Taffin-Lefort. 1936

19. Berker R. Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible. Berlin: Springer-Verlag. Handbuch der Physik (ed. S. Flugge). 1963, VIII/2,p. 1-384

20. Dryden H. L., Murnaghan F. D., Bateman H. Report of the Committee on Hydrodynamics // Bull. Natl. Res. Counc. (US). 1932, 84, p. 155-332

21. Whitham G. B. The Navier-Stokes equations of motion. Oxford: Clarendon. Laminar Boundary Layers. 1963. (Ed. L. Rosenhead) p. 114-162

22. Пухначёв B.B. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006, 1, с. 6-76

23. Wang С. Y. Exact solution of the Navier-Stokes equations-the generalized Beltrami flows, review and extension // Acta Mech. 1990, 81, p. 69-74

24. Wang, C. Y. Exact solutions of the unsteady Navier-Stokes equations // Appl. Mech. Rev. 1989, 42, p. 269-282

25. Гольдштик M.A., Штерн B.H., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Н.: Наука. 1989, 336 с.

26. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. II, 727 с.

27. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973, 758 с.

28. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 711 с.

29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986, 733 с.

30. Князев Д.В. Вращательно-симметричные течения вязкой жидкости с пространственным ускорением. Пермь: ИМСС УрО РАН. Диссертация к.ф.-м.н. 2007, 140 с.

31. Зельдович Я. Б., Ройзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1963

32. Hamel G. Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten // Jahresber. Dtsch. Mat. Ver. 1916, 25, p. 34-60

33. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. I, 583 с.

34. Goldshtik M., Hussain F., Shtern V. Symmetry breaking in vortexsource and Jeffrey-Hamel flows // J. Fluid Mech. 1911, 232, p. 521-566

35. Гольдштик M.A., Штерн B.H. Потеря симметрии в течении от линейного источника вязкой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1989, 2, с. 35-45

36. Акуленко Л.Д., Гордиевский Д.В., Куманшев С. А. Регулярно продолжаемые по числу Рейнольдса решения задачи Джеффри-Гамеля // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2004, 1, с. 15-32

37. Акуленко Л.Д., Куманшев С.А. Многомодовая бифуркация течения вязкой жидкости в плоском диффузоре // Доклады Академии наук. 2004, 399, 5, с. 620-624

38. Слёзкин H.A. об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости // Учёные записки МГУ. 1934, 2, с. 89-90

39. Яцеев В.И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1953, 20, 11, с. 1031-1034

40. Squire H. В. Some viscous fluid flow problems I: jet emerging from a hole in a plane wall // Philos. Mag. Ser. 1952, 743, p. 942-945

41. Squire, H. B. The round laminar jet // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951, 4, p. 321329

42. Ландау Л.Д. Новое точное решение уравнений Навье-Стокса // Доклады Академии наук СССР. 1944, 43, с. 286-288

43. Paull R., Pillow A. F. Conically similar viscous flows. Part 2. One parameter swirl free flows // .J. Fluid Mech. 1985, 155: 343-358

44. Yih C.-S., Wu F. Conical vortices: a class or exact solutions of the Navier-Stokes equations // Phys. Fluids. 1982, 25, p. 2147-2158

45. Гольдштик M.A. Вихревые потоки. H.: Наука. 1981, 366 с. 127

46. Гольдштик М.А. О закрученных струях // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1979, 1, с. 26-36

47. Squire Н. В. Radial jets. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. 50 Jahre Grenzschichtforschung. (Ed. H. Gortler, W. Tollmien). 1955, p. 47-54.

48. Stuart, J. T. A simple corner flow with suction // Q. J. Mech. Appl. Math. 1966, 19, p. 217-220

49. Schneider W. Flow induced by jets and plums // J. Fluid Mech. 1981, 108, p. 55-66

50. Судаков В.Г., Сычёв В.В. Об истечении струи из малого отверстия на плоскости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2003, 1, с. 31-36

51. Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле. Рига. Зинатне. 1973. 303 с.

52. Голубинский А.А., Сычёв В.В. Об одном автомодельном решении уравнений Навье-Стокса // Учёные записки ЦАГИ. 1976, 7, 8, с. 11-17

53. Muller K.N. Zur theorie des Wirbelstrahles // Z. Angew. Math. Mech. 1959, 38 (5/6), p. 170-187

54. Long R. R. Vortex motion in a viscous fluid // J. Meteorol. 1958, 15, p. 108112

55. Long R.R. A vortex in an infinite viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961,11, p. 170-187

56. Гольдштик M.A. Одно парадоксальное решение уравнений Навье-Стокса // Прикладная математика и механика. 1960, 24, с. 610-621

57. Guilloud J. С., Arnault J. Sur une nouvelle famille de solutions exactes des equations de Navier-Stokes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A. 1971, 273, p. 586-588

58. Guilloud J. C., Arnault J., Dicrescenzo C. Etude d'une nouvelle famille de solutions des equations de Navier-Stokes // J. Mec. 1973, 12, p. 47-74

59. Serrin J. The swirling vortex // Phil. Trans. R. Soc. London. 1972, 271 (1214), p. 327-360

60. Судаков В.Г., Сычёв В.В. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия вихря с плоскостью // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2002, 6, с. 22-30

61. Никулин В.В. Взаимодействие линейного вихря со свободной поверхностью // Новосибирск: ИГ СО АН СССР. Динамика сплошной среды. 1979, 42, с. 31-32

62. Аристов С.Н. Точное решение задачи о точечном источнике // Доклады Академии наук. 1995, 343, 1, с. 50-52

63. Аристов С.Н. Трёхмерные конические течения вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1998, 6, с. 144-148

64. Liouville J. Sur Г equation aux differences partielles d logA ± — = 0 // J. Mathdudv аг

65. Pure Appl. 1853, 19, p. 71-72

66. Ватажин А.Б. О течении в диффузоре в присутствии магнитного поля // Прикладная математика и механика. 1960, 24, с. 524-629

67. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса в магнитной гидродинамике // Магнитная гидродинамика. 1969, 4, с. 59-64

68. Щербинин Э.В. Об одном классе точных решений в магнитной гидродинамике // Магнитная гидродинамика. 19696 4, с. 46-58

69. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса в магнитной гидродинамике // Магнитная гидродинамика. 1969, 4, с. 59-64

70. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Вихревые МГД течения в конусе // Магнитная гидродинамика. 1971, 2, с. 33-38

71. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Некоторые аспекты теоретического анализа пространственного МГД течения в диффузоре // Магнитная гидродинамика. 1971, 1, с. 11-17

72. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Генерация полоидального магнитного поля в струйных течениях // Письма в ЖЭТФ. 1989, 49 с. 266-268

73. Williams J.C. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // AIAAJ. 1967, 5, p. 2128-2134

74. Аристов C.H., Грабовский В.И. Автомодельное решение уравнений Навье-Стокса для течений газа во вращающихся логарифмически-спиральных плоских каналах // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1995,6, с. 44-50

75. Аристов С.Н. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Доклады Академии наук. 1990, 313, 6, с. 1403-1406

76. Williams J.C. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // AIAAJ. 1967, 5, p. 2128-2134

77. Сидоров А.Ф. Избранные труды. Механика, математика. М.: Физматлит. 2001, 576 с.

78. Сидоров А.Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции // Числ. и аналит. Методы решения задач мех. сплош. сред. УНЦ АН СССР. Свердловск, 1981, с. 101-117

79. Синицын В.Ю. Два класс течений вязкой несжимаемой проводящей жидкости // ВИНИТИ. № 5957-В89. 1989, 45 с.

80. Аристов С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. Пермь: ИМСС УрО РАН. Диссертация д.ф.-м.н. 1990, 303 с.

81. Hiemenz К. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder // Dinglers Polytech. J. 1911, 326, p. 321-324

82. Homann F. Der Einfluss grosser Zähigkeit bei der Strömung um den Zylinder und um die Kugel // ZAMM, 1936, 16, p. 153-164

83. Davey A. Boundary layer flow at a saddle point of attachment // J. Fluid Mech. 1961, 10, p. 593-610

84. Howarth L. The boundary layer in three-dimensional flow Part II. The flow near a stagnation point // Philos. Mag. Ser. 1951, 742 p. 1433-1440

85. Stuart J. T. The viscous flow near a stagnation point when the external flow has uniform vorticity // J. Aerosp. Sei. 1959, 26, p. 124-125

86. Tamada K. Two-dimensional stagnation point flow impinging obliquely on a plane wall // J. Phys. Soc. Jap. 1979, 46, p. 310-311

87. Dorrepaal J. M. An exact solution of the Navier-Stokes equation which describes non-orthogonal stagnation point flow in two dimensions // J. Fluid Mech. 1986, 163, p. 141-147

88. Wang C. Y. Stagnation flow on the surface of a quiescent fluid-an exact solution of the Navier-Stokes equations // Q. Appl. Math. 1985, 43, p. 215-223

89. Wang C. Y. Impinging stagnation flows // Phys. Fluids. 1987, 30, p. 915-917

90. Wang C.Y. Flow due to a stretching boundary with partial slip an exact solution of the Navier-Stokes equations // Chem. Eng. Sci. 2002, 57,p. 3745-3747

91. Wang C.Y. Stagnation flow with slip: Exact solution of the Navier-Stokes equations // ZAMP. 2003,54, p. 184-189

92. Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point // Q. Appl. Math. 1956, 13, p. 444-451

93. Wang C. Y. Axisymmetric stagnation flow towards a moving plate // AIChE J. 1973, 119, p. 1080-1081

94. Libby P. A. Wall shear at a three dimensional stagnation point with a moving wall // AIAA J. 1974, 12, p. 408-409

95. Glauert M.B. The laminar boundary layer on oscillating plates and cylinders // J. Fluid Mech. 1956, 1, p. 97-110

96. Stuart J.T. A solution of the Navier-Stokes and energy equations illustrating the response of skin friction and temperature of an infinite plate thermometer to fluctuations in the stream velocity // Proc. Royal Soc. London A. 1955, 231, p. 116-130

97. Weidman P.D., Mahaligam S. Axisymmetric stagnation point flow impinging on a transversely oscillating plate with suction // J. Eng. Math. 1997, 31, p. 305318

98. Wang, C. Y. On a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations // J. Apll. Mech. 1966, 33, p. 696-698

99. Wang C. Y. Axisymmetric stagnation flow on a cylinder. Q. Appl. Math. 1974,32, p. 207-213

100. Gorla R. S. R. Nonsimilar axisymmetric stagnation flow on a moving cylinder //Int. J. Eng. Sei. 1978, 16, p. 397-400

101. Gorla R.S.R. Unsteady viscous flow in the vicinity of an axisymmetric stagnation point on a circular cylinder // Int. J. Eng. Sei. 1979, 17, p. 87-93

102. Cunning G.M., Davis A.M.J. Weidman P.D. Radial stagnation flow on a rotating circular cylinder with uniform transpiration // J. Eng. Math. 1998, 33, p. 113-128

103. Berman A. S. Laminar flow in channels with porous walls // J. Appl. Phys. 1953, 24, p. 1232-1235

104. Terrill R. M. Laminar flow in a uniformly porous channel // Aeronaut. Q. 1964, 15, p. 299-310

105. Terrill R. M., Shrestha G. M. Laminar flow through parallel and uniformly porous walls of different permeability // ZAMP. 1965, 16, p. 470-482

106. Shrestha G. M., Terrill R. M. Laminar flow with large injection through parallel and uniformly porous walls of different permeability // Q. J. Mech. Apll. Math. 1968, 21, p. 413-432

107. Terrill R.M. Heat transfer in laminar flow between parallel porous plates // Int. J. Heat Mass Trans. 1965, 8, p. 1491-1497

108. Yuan S.W. Further investigation of laminar flow in channel with porous walls // J. Appl. Phys. 1956, 27, p. 267

109. Cox S.M., King A.C. On the asymptotic solution of a high-order nonlinear ordinary differential equation // Proc. R. Soc. London A. 1997, 453, p. 711-728

110. King J.R., Cox S.M. Asymptotic analysis of the steady-state and time-depend Berman problem // J. Eng. Math. 2001, 39, p. 87-130

111. Новиков П.А., Любин Л .Я. Гидродинамика щелевых систем. Минск: Наука и техника. 1988, 344 с.

112. Zaturska М.В., Drazin P.G., Banks W.H.H. On the flow of a viscous fluid driven along a channel by suction at porous walls // Fluid Dyn. Res. 1988, 4, p. 151-160

113. Cox S.M. Two-dimensional flow of a viscous fluid in a channel with porous walls // J. Fluid Mech. 1991, 227, p. 1-33

114. Secomb T.W. Flow in a channel with pulsating walls // J. Fluid Mech. 1978, 88, p. 273

115. J. F., Acrivos A. Steady flow in a channel or tube with an accelerating surface velocity. An exact solution to the Navier-Stokes equations with reverse flow // J. Fluid Mech. 1981, 112, p. 127-150

116. Watson E.B.B., Banks W.H.H., Zaturska M.B., Drazin P.G. On transition to chaos in a two-dimensional channel flow symmetrically driven by asselerating walls // J. Fluid Mech. 1990, 212, p.451-485

117. Zaturska M.B., Banks W.H.H. New solution for flow in a channel with porous walls and/or non-rigid walls // Fluid Dyn. Res. 2003, 33, p. 57-71

118. Журавлев B.M. Нелинейные волновые процессы в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели. Ульяновск: УлГУ. Диссертация д.ф.-м.н. 2002.

119. Wang С. Y. The three-dimensional flow due to a stretching flat surface // Phys. Fluids. 1984, 27, p. 1915-1917

120. Wang С. Y. Stretching a surface in a rotating fluid // J. Appl. Math Phys. (ZAMP). 1988, 39, p. 177-185

121. Gupta P. S., Gupta A. S. Heat and mass transfer on a stretching sheet with suction or blowing // Can. J. Chem. Eng. 1977, 55, p. 744-746

122. Crane L. J. Flow past a stretching plate // ZAMP. 1970, 21, p. 645-647

123. Danberg J. E. A nonsimilar moving wall boundary - layer problem // Q. Appl. Math. 1976, 34, p. 305-309

124. Dauenhauer E.C., Majdalani J. Exact self-similarity solution of the Navir-Stokes equations for a porous channel with orthogonally moving walls // Phys. Fluids. 2003, 15, 1485-1495

125. Taylor C.L., Banks W.H.H., Zaturska M.B., Drazin P.G. Three-dimensional flow in a porous channel // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991, 44, p. 105-115

126. Hinch E.J., Lemaitre J. The effect of viscosity on the height of disks floating above an air table // J. Fluid Mech. 1994, 273, p. 313

127. Goldshtik M.A., Javorsky N.J. On the flow between porous rotating disk and plane // J. Fluid Mech. 1989, 207, p. 1

128. Cox S.M. Non axisymmetric flow between an air table and a floating disk // Phys. Fluids. 2002, 14, p. 1540-1543

129. Чаплыгин С. А., О газовых струях, M.-Jl., 1949.

130. Zandbergen P. J., Dijkstra D. Von Karman swirling flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1987, 19, p. 465-491133. von Karman T. Uber laminare und turbulente Reibung // ZAMM. 1921, 1, p. 233-252

131. Cochran W. G. 1934. The flow due to a rotating disc // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1934, 30, p. 365-375

132. Bodewadt U. T. Die Drehstromung uber festem Grunde // ZAMM. 1940, 20 p. 241-253

133. Batchelor G.K. Note on class of solutions of the Navir-Stokes equations representing steady rotationally symmetric flow // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951, 4, p. 29-41

134. Stewartson K. On the flow between two rotating coaxial disks // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1953, 5, p. 333-341

135. Rogers M. H., Lance G. N. The rotationally symmetric flow of a viscous fluid in the presence of an infinite rotating disk // J. Fluid Mech. 1960, 7, p. 617-631

136. McLeod J.B., Parter S.V. On the flow between two counter-rotating infinite plane disks // Arch. Rat. Mech. Anal. 1974, 54, p. 301-327

137. Mellor G.L., Chappie P.J., Stokes V.K. On the flow between a rotating and stationary disk // J. Fluid Mech. 1968, 31, p. 95-112

138. Nguyen N.D., Ribault J.P., Florent P. Multiple solutions for flow between coaxial disks // J. Fluid Mech. 1975, 68, p. 369-388

139. Lai C.-Y., Rajagopal K.R., Szeri A.Z. Asymmetric flow between parallel rotating disks // J. Fluid Mech. 1984, 146, p. 203-225

140. Berker R. A new solution of the Navier-Stokes equation for the motion of a fluid contained between two parallel plates rotating about the same axis // Arch. Mech. 1979, 31, p. 265-280

141. Pearson C.E. Numerical solutions for the time-dependent viscous flow between two rotating coaxial disks // J. Fluid Mech. 1965, 21, p. 623-633

142. Holodniok M., Kubicek M., Hlavacek V. Computation of the flow between two rotating coaxial disk: multiplicity of steady-state solutions // J. Fluid Mech. 1981,108, p. 227-240

143. Brady J.F., Durlofsky L. On rotating disk flow // J. Fluid Mech. 1987, 175, p. 363-394

144. Szeto R.K.-H. The flow between rotating coaxial discs. California. Institute of Technology. Ph.D. Thesis.

145. Szeri A.Z., Giron A., Schneider S.J., Kaufman H. N. Flow between rotating disks. Part I (Basic flow) // J. Fluid Mech. 134, p. 103-131

146. Dijkstra D., Heijst G.J. F. The flow between two finite rotating disks enclosed by a cylinder // J. Fluid Mech. 1983, 123, p. 123-154

147. Szeri A.Z., Giron A., Schneider S.J., Kaufman H. N. Flow between rotating disks. Part II (Stability) // J. Fluid Mech. 134, p. 133-154

148. Goldshtik M.A. Javorsky N.J. On the flow between a porous rotating disk and plane // J. Fluid Mech. 1989, 207, p. 1-19

149. Ackroyd .J. A. D. On the steady flow produced by a rotating disc with either surface suction or injection // J. Eng. Math. 1978, 12, p. 207-220

150. Stuart J. T. On the effects of uniform suction on the steady flow due to a rotating disk // Q. J. Mech. Appl. Math. 1954, 7, p. 446-457

151. Evans D. J. The rotationally symmetric flow of a viscous fluid in the presence of an infinite rotating disc with uniform suction // Q. J. Mech. Appl. Math. 1969, 22, p. 467-485

152. Kuiken H. K. The effect of normal blowing on the flow near a rotating disk of infinite extent // J. Fluid Mech. 1971, 47, p. 789-798

153. Дорфман JI.А. Течение вязкой жидкости между неподвижным и обдуваемым вращающимися дисками // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1966, 2, с. 86-91

154. Rasmussen H. Steady flow between two porous disks // ZAMP. 1970, 21, p. 187-195

155. Terrill R. M., Thomas P. W. Spiral flow in a porous pipe // Phys. Fluids. 1973, 16, p. 356-359

156. Watson L. T, Li T. Y., Wang C. Y. Fluid dynamics of the elliptic porous slider // J. Appl. Mech. 1978, 45, p. 435-436

157. Wang C. Y., Watson L. T Viscous flow between rotating discs with injection on the porous disc // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1979, 30, p. 773-787

158. Wang C. Y. Symmetric viscous flow between two rotating porous discs -moderate rotation // Q. Appl. Math. 1976, 34, p. 29-38

159. Wilson L. O., Schryer N. L. Flow between a stationary and a rotating disk with suction // J. Fluid Mech. 1978, 85, p. 479-496

160. Sparrow E. M., Gregg J. L. A theory of rotating condensation // J. Heat Transfer. 1959, 81, p. 113-120

161. Wang C. Y. Melting from a horizontal rotating disk // J. Appl. Mech. 1989, 56, p. 47-50

162. Пухначёв В.В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемое частично инвариантными решениями уравнений Навье-Стокса // Новосибирск: ИГ СО АН СССР. Динамика сплошной среды. 1972, 10, с. 125-137

163. Лаврентьева О.М. Течение вязкой жидкости в слое на вращающемся плоскости // Прикладная механика и техническая физика. 1989, 5, с. 41-48

164. Rott N., Lewellen W. S. Boundary layers due to the combined effects of rotation and translation // Phys. Fluids. 1967, 10, p. 1867-1873

165. Wang С. Y. Shear flow over a rotating plate // Appl. .Sei. Res. 1989, 46, p. 89-96

166. Wang C. Y. Fluid dynamics of the circular porous slider // J. Appl. Mech. 1974, 41, p. 343-347

167. Berker R. An exact solution of the Navier-Stokes equation the vortex with curvilinear axis // Int. J. Eng. Sei. 1982, 20, p. 217-230

168. Berker R. Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible. Berlin: Springer-Verlag. Handbuch der Physik (ed. S. Flügge). 1963, VIII/2, p. 1-384

169. Berker R. Sur Quelques Cas d'Intégration des Equations du Mouvement d'un Fuide Visquex Incompressible. Paris-Lille: Taffin-Lefort. 1936

170. Abbott T. N. G. Walters К. Rheometrical flow systems. Part 2. Theory for the orthogonal rheometer, including an exact solution of the Navier-Stokes equations // J. Fluid Mech. 1970, 40, p. 205-213

171. Erdogan M. E. Flow due to eccentric rotating a porous disk and a fluid at infinity // J. Appl. Mech. 1976, 43, p. 203-204

172. Rajagopal K.R. A class of exact solutions to the Navier-Stokes equations // Int. J. Eng. Sei. 1984, 22, p. 451-458

173. Erdogan M.E. Flow induced by non-coaxial rotation of a disk executing non-torsional oscillations and a fluid rotating at infinity // Int. J. Eng. Sei. 2000, 38, 175-196

174. Мелешко C.B., Пухначёв В.В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса // Прикладная механика и техническая физика. 1999, 40, 2, с. 24-33

175. Craik A. The stability of unbounded two and three-dimensional flow subject to body forces: some exact solutions // J. Fluid Mech. 1989, 189, p. 275-293

176. Craik A., Criminale W. Evolution of wavelike disturbances in shear flow: a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations // Proc. Royal Soc. London A. 1986, 406, p. 13-36

177. Aristov S.N., Gitman I.M. Viscous flow between two moving parallel disk: exact solutions and stability analysis // J. Fluid Mech. 2002, 464, p. 209-215

178. Fabijonas B.R., Holm D.D. Multi-frequency Craik-Criminale solutions of the Navier-Stokes equation // J. Fluid Mech. 2004, 506, p. 207-215

179. Le Dizes S., Leblanc S. Note on "Multi-frequency Crait-Criminale solutions of the Navier-Stokes equation" by B.R. Fabijonas and D.D. Holm // J. Fluid Mech. 2006, 550, p. 43-50

180. Нетреба C.H. О спиральных течениях вязкой несжимаемой жидкости // Метеорология и гидрология. 1988, 4, с. 15-24

181. Stow S.R., Duck P.W., Hewitt R.E. Three-dimensional extension to Jeffery -Hamel flow // Fluid Dyn. Res. 2001, 29, p. 25-46

182. Burgers I. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. 1948, 1, p. 171-199

183. Sullivan R. D. A two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations // J. Aerosp. Sci. 1959, 26, p. 767-768

184. Краснов Ю.К. Эволюция «смерчей». M.: Наука. Нелинейные волны, структуры и бифуркации. 1987, с. 174-189

185. Гольдштик М.А. Один класс точных решений уравнений Навье Стокса // Прикладная механика и техническая физика. 1966, 2, с. 106-109

186. Marques F., Sanchez J., Weidman P.D. Generalized Couette Poiseuille flow with boundary mass transfer // J. Fluid Mech. 1998, 374, p. 221-249

187. Terrill R.M. Flow though a porous annulus // Appl. Sei. Res. 1967, 17, 3, p. 204-222

188. Горбацкий В.Г. Газодинамические неустойчивости в астрофизических системах: Учеб. пособие. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. - 168 с.

189. Skalak F. М., Wang С. Y. On the nonunique solutions of laminar flow through a porous tube or channel // SIAM .J. Appl. Math. 1978, 34, p. 535-544

190. Yuan S. W., Finkelstein A. B. Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall // Trans. ASME. 1956, 78, p. 719-724

191. Terrill R. M. An exact solution for flow in a porous pipe // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 1982, 33, p. 547-552

192. Berman A. S. Laminar flow in an annulus with porous walls // J. Appl. Phys. 1958, 29, p. 71-75

193. Prager S. Spiral flow in a stationary porous pipe // Phys. Fluids. 1964, 7, p. 907-908

194. Brady J. F., Acrivos A. Steady flow in a channel or tube with an accelerating surface velocity. An exact solution to the Navier-Stokes equations with reverse flow//J. Fluid Mech. 1981, 112, p. 127-150

195. Аристов C.H. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Доклады Академии наук. 2001, 377, с. 477-480

196. Johnson E.C., Lueptow R.M. Hydrodynamic stability of flow between rotating porous cylinders with radial and axial flow // Phys. Fluids. 1997, 9, p. 3687-3696

197. Banks W.H.H., Zaturska M.B. Swirling flow in a porous pipe with an accelerating wall // Acta Mech. 1996, 119, p. 1-12

198. Zaturska M.B., Banks W.H.H. Flow in a pipe driven by suction at an accelerating wall // Acta Mech. 1995, 110, p. 111-121

199. Zaturska M.B., Banks W.H.H. Suction-driven flow in a porous pipe // ZAMM. 1995, 75, p. 21-30

200. J.M.Burgers. The nonlinear diffusion equation. Dordrecht, Holland: D. Reidel Publisher Company, 1974

201. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1978

202. С.И. Свинолупов, Об аналогах уравнения Бюргерса произвольного порядка, ТМФ 65, 303 (1985).

203. Н.Х. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.: Наука, 1984.

204. А.В. Михайлов, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов, УМН 42, 3 (1987).

205. В.Э. Адлер, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов, ТМФ 125, 355 (2000).

206. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М:Наука (1980). 319 с.

207. Журавлев В.М., Никитин А.В., Нелинейные уравнения, связанные с уравнениями теплопроводности и Д'Аламбера с помощью подстановок типа Коула-Хопфа, Нелинейный мир,, N 9, 603 (2007)

208. Б.А. Урюков, Аналогия между диффузией и гидродинамикой, Теплофизика и аэромеханика. , N 3, 421 (1999)104

209. В.М. Журавлев, Д.А. Зиновьев, Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости, Письма в ЖЭТФ, том 87, вып. 5,314-318, (2008)

210. В.М. Журавлев, Д.А. Зиновьев, Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости, Письма в ЖЭТФ, 88, № 3, с. 194-197, (2008)

211. А.Г. Куликовский, Е.И. Свешникова, А.П. Чугайнова. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений. Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В.А. Стеклова РАН (МИАН) Вып. 16 М.: МИАН, 2010, 121 с

212. Каплан С.А. Межзвездная газодинамика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 196 с.

213. С.И. Вайнштейн, A.M. Быков, И.Н. Топтыгин. Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической плазме. Наука, 1989. 310 с

214. Журавлев В.М, ТМФ, 158, № 1, 58 (2009)

215. В.М. Журавлев. Сб. Инновационные технологии, Ульяновск, УлГУ, 2010. с. 77-93

216. Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков. Нелинейные волны. М.: Наука, 2000. 272 с.

217. Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: л "Наука", 1978

218. А.В. Гуревич, К.П. Зыбин Крупномасштабная структура Вселенной. Аналитическая теория. Успехи физических наук, т. 165, № 7 (1995)

219. А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005

220. Zhuravlev V.M, Zinov'ev D.A. The application of generalized Cole-Hopf substitutions in compressible-fluid hydrodynamics. Physics of Wave Phenomena, Volume 18, Number 4, October-December 2010, p. 245-250.

221. Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. Nonlinear waves in self-gravitating compressible fluid and generalized Cole-Hopf substitutions. Physics of Wave Phenomena, Volume 19, Number 4, October-December 2011, p. 313-317.1. Благодарности.

222. Автор выражает глубокую признательность и огромную благодарность своему Учителю и научному руководителю профессору Виктору Михайловичу Журавлеву за многолетнюю совместную творческую работу.

223. Автор выражает огромную благодарность заместителю директора Института астрономии РАН профессору Бисикало Дмитрию Валерьевичу за интерес к данной работе, помощь в решении организационных вопросов и поддержку.

224. Огромную благодарность автор выражает профессору Юрию Петровичу Рыбакову за ряд ценных указаний и консультаций, а также за оказанную моральную поддержку.