Метод конечных элементов в p-версии для краевой задачи с сингулярностью в решении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Кашуба, Елена Владимировна

• Кашуба, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кашуба, Елена Владимировна

Введение

Глава 1. Построение и исследование ортонормированной системы сингулярных полиномов

1.1. Построение ортонормированной системы сингулярных полиномов {(pn,fi(x)}^L

1.1.1. Определение сингулярного полинома

1.1.2. Нахождение коэффициентов полиномов системы

РпЛх))%=о .;.

1.2. Рекуррентная формула для трех соседних орто-нормированных сингулярных полиномов

1.3. Аналог формулы Родрига

1.4. Квазиортогональность производных(х)}^=

1.5. Соотношения между ортонормированными сингулярными полиномами и их производными

1.6. Дифференциальное уравнение для ж).

Глава 2. Метод конечных элементов в р-версии для одномерной краевой задачи с сильной сингулярностью решения

2.1. Основные обозначения

2.2. Постановка задачи. Определение Л^-обобщенного решения.

2.3. Существование и единственность ^-обобщенного решения.

2.4. Регулярность ^-обобщенного решения

2.5. Схема метода конечных элементов

2.6. Вспомогательные утверждения

2.7. Оценка погрешности аппроксимации в норме пространства Щ „+р/2 . ^

Глава 3. Численная реализация р-версии метода конечных элементов для задачи с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения

3.1. Постановка дифференциальной задачи.

3.2. Алгоритм численного метода

3.3. Результаты численного эксперимента.

3.4. Выводы об аппроксимационных свойствах р-вер-сии метода конечных элементов для задач с сингулярностью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод конечных элементов в p-версии для краевой задачи с сингулярностью в решении»

Настоящая диссертация посвящена построению и исследованию схемы метода конечных элементов в р-версии на основе созданной ортонормированной системы сингулярных полиномов для одномерной первой краевой задачи с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в начале координат.

Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения, а также разработка и обоснование методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями в современной математике. Первоначально основное внимание исследователей было сосредоточено на изучении краевых задач, в которых сингулярность решения вызвана наличием угловых или конических точек на границе области, а также сменой типа граничных условий. Так, в работах В.А.Кондратьева, П.Грисварда, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, И.Бабушки и других авторов (см. [7]-[9], [62]-[65], [14]—[20], [23], [80], [46], [47], [72]) изучались вопросы разрешимости рассматриваемых краевых задач, исследовались дифференциальные свойства решений, строились асимптотические разложения решений в окрестностях угловых и конических точек. Однако, с середины 80-х годов прошлого века начинает развиваться теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением (или сингулярностью) исходных данных, т.е. коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий (см. [27], [28], [30], [31], [5], [74], [59], [81], [32], [85]).

Дифференциальные задачи данного типа возникают при построении математических моделей ряда процессов, изучаемых в таких областях физики, как нелинейная оптика, физика плазмы и газового разряда, ядерная физика и других. Например, в теории рассеяния существует большой класс задач о вылете частиц из притягивающего центра или падении их на центр. Этот класс задач описывается уравнением Шредингера, решением которого является волновая функция, обращающаяся в бесконечность в начале координат. Такое поведение решения обусловлено наличием сингулярности у потенциала, являющегося частью исходных данных задачи. К упомянутому классу относится также задача о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0(г-!/2) (см. [13] (глава 5), [2] (глава 10, § 90), [11]).

Отличительной особенностью краевых задач с сильной сингулярностью является то, что в ряде случаев обобщенное (слабое) решение для них определить нельзя. Это может быть вызвано как сингулярностью исходных данных, так и тем, что решение не принадлежит пространству С.Л.Соболева. В связи с этим В.А.Рукавишниковым в работах [27], [28] было предложено определять решение таких краевых задач как /^-обобщенное, принадлежащее весовому пространству С.Л.Соболева и удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству. Введенное определение позволяет изучать существование, единственность, дифференциальные свойства решений краевых задач с сингулярностью, вызванной как наличием угловых точек на границе и сменой типа граничных условий, так и вырождением (согласованным и несогласованным) исходных данных (см. [27]—[32], [34], [35], [85]).

Следует отметить, что в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удается. Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестности точек особенности. В связи с этим, актуальной проблемой является построение эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.

Одним из эффективных численных методов, получивших широкое распространение в современной вычислительной практике, является метод конечных элементов (МКЭ). Развитию этого метода в большой степени способствовали работы инженеров, рассматривавших МКЭ в 50-х и 60-х годах прошлого столетия как способ построения дискретных моделей сплошных сред на основе соображений механики (см. [40], [89], [41]). Впоследствии, а именно, в конце 1960-х и преимущественно в 1970-х годах был развит математический аппарат МКЭ и получены основные результаты, касающиеся оценок погрешности аппроксимации, сходимости, обусловленности схем МКЭ. Большая часть этих теоретических результатов изложена в монографиях И.Бабушки и Э.Азиза [43], Л.А.Оганесяна, В.Я.Ривкинда и JI.А.Руховца [25], [26], Ж.Деклу [4], Ж.Обэна [24], Г.Стренга и Г.Фикса [37], В.Г.Корнеева [10], Ф.Сьярле [39], Э.Митчелла и Р.Уэйта [22], Г.И.Марчука и В.И.Агошкова [21].

МКЭ представляет собой модификацию проекционного метода, использующую специальные конечномерные пространства функций, заданных на разбиении исходной области. Специфика этих пространств, называемых конечно-элементными пространствами, заключается в том, что их базисы состоят из кусочно-полиномиальных функций с локальными носителями. При этом в зависимости от способа увеличения размерности конечно-элементного пространства различают три версии (разновидности) МКЭ: /г-, р- и h-p версии. Классическим подходом является h-версия МКЭ, в которой степеньр аппроксимационных полиномов фиксирована и обычно мала (р — 1,2,3), а убывание погрешности обусловлено измельчением сетки (уменьшением сеточного параметра h). В ^-версии МКЭ фиксирована сетка, а требуемая точность достигается за счет роста степени р аппроксимационных полиномов. Комбинацией h- и р- версий является h-p версия, в которой одновременно и измельчается сетка и увеличиваются степени полиномов.

Впервые теоретические аспекты ^-версии МКЭ были исследованы в [55]. Было установлено, что, если точное решение и принадлежит пространству Нк (к > 2), то для погрешности ер метода конечных элементов в р-версии имеет место оценка

Ыт <С(ф-(*-1)+£1М|я* для произвольно малого е > 0; а если решение имеет сингулярность типа га (г - полярный радиус, а > 0), то

НМя1 < C(s)p~2a

При этом отмечалось, что величина С(е) может быстро расти при

Впоследствии, в работе [51] было показано, что параметр ев приведенных выше оценках возникает лишь вследствие специфической техники, использованной в [55]. В результате, в [51] были доказаны оценки

Ыю < Ср-^)\\и\\нк и ||ер|| < Ср~2а для несингулярного и сингулярного случаев соответственно.

Исследования р-версии МКЭ также проводились М.Р.Дорром (см. [60], [61]). В работе [60] им была предпринята попытка разработать унифицированную аппроксимационную теорию для р-версии. Ключевой идеей этой теории явилось введение специальных весовых пространств на основе дифференциального оператора Ле-жандра. Построенная теория позволила исследовать погрешность кусочно-полиномиальных аппроксимаций на триангулированной области О с Rn (п > 1), а также установить оценки погрешности в зависимости от степени р полиномов. Используя эти результаты, в работе [61] были изучены аппроксимационные свойства р-версии МКЭ для некоторых двумерных и трехмерных эллиптических задач, в том числе и для задач в областях с кусочно-гладкой границей (многоугольники в Л2 и многогранники в R!3) и со сменой типа граничных условий.

В [66]-[68] представлен детальный анализ каждой из трех версий МКЭ для одномерной модельной задачи, решение которой имеет сингулярность типа ха (а > 1/2, а - нецелое) в начале координат (такое поведение решения является моделью сингулярности, вызванной наличием угловых точек на границе области для двумерных задач). Рассмотрение модельной задачи позволило доказать оптимальные оценки погрешности для соответствующей конечно-элементной аппроксимации. В частности, в случае р-версии МКЭ в [66] было установлено, что погрешность аппроксимации ер удовлетворяет неравенствам с" ^ Wep\\m ^ С-1 • где С - положительная постоянная, зависящая лишь от а.

Свое дальнейшее развитие р-версия получила в работах И.Бабушки, Б.Гуо, М.Шури, М.Вогелиуса и других математиков (см. [52], [53], [58], [90], [49], [50]). Эти теоретические результаты, а также большое количество численных экспериментов показали, что для многих задач, представляющих научный и практический интерес, р-версия МКЭ обладает определенными преимуществами по сравнению с классической h-версией. Эти преимущества касаются как качества аппроксимаций, так и требуемых для их построения вычислительных затрат.

Исследование h-p версии МКЭ впервые было проведено в [44] для краевой задачи в многоугольной области. Дальнейшему изучению h-p версии посвящено достаточно большое число работ (см. например, [67], [68], [70], [71], [47], [48], [45], [73], [69], [86]).

Важно отметить, что теоретические исследования р- и h-p версий МКЭ во всех вышеперечисленных работах опираются на знание дифференциальных свойств обобщенных решений соответствующих краевых задач. В этой связи нашли широкое применение результаты, изложенные в монографиях С.Агмона, А.Дуг-лиса, Л.Ниренберга [1], Ж.-Л.Лионса, И.Мадженеса [79], О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [12], П.Грисварда [64], [65]; в работах В.А.Кондратьева [7], [8], В.А.Кондратьева, О.А.Олейник [9], И.Бабушки, Б.ГУо [46], [72].

Заметим также, что при анализе погрешности аппроксимации для р-версии МКЭ используется теория ортогональных многочленов. Применение ортогональных систем алгебраических и тригонометрических полиномов становится возможным в том случае, когда в силу леммы Сеа (см., например, [39]) изучение погрешности МКЭ сводится к задаче аппроксимации. В частности, в [51], для несингулярной эллиптической задачи применяется разложение решения в ряд Фурье по ортогональной системе тригонометрических полиномов. В случае сингулярностей в решении, вызванных геометрией области и сменой типа граничных условий, используются полиномы Лежандра (см. [60]) и полиномы Якоби (см. [50], [51]).

Обзор основных результатов, касающихся р-версии МКЭ, а также обзор литературы по этой тематике приведен в [42], [54]. Кроме того, в настоящее время существует несколько исследовательских и коммерческих программных продуктов на основе р- и h-p версий МКЭ. Наиболее известными среди них являются СОМЕТ-Х (см.

56]), PROBE (см. [87]), а также FIESTA, MECHANIKA, PHLEX, STRESSCHECK, STRIPE.

Анализ схем МКЭ для краевых задач с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, проводился в [34], [35], [84], [82], [3], [57]. В работах [34], [35], [84] для первой и третьей краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области строилась /i-версия МКЭ. В результате проведенных исследований были доказаны сходимости приближенных /^-обобщенных решений к точным в норме весового пространства С.Л.Соболева с первым порядком по сеточному параметру h, а в норме весового пространства Лебега - со вторым. В [82], [3], [57] для одномерной и двумерной задач Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения в граничных точках построена и исследована h-p версия МКЭ. В результате, за счет использования сеток со сгущением к точкам особенности и благодаря специальному построению степенных векторов аппроксимационных функций, для каждой из рассмотренных в этих работах краевых задач установлена экспоненциальная скорость сходимости приближенного ^-обобщенного решения к точному. Вследствие сильной сингулярности решений рассмотренных задач, построение и исследование конечно-элементных аппроксимаций для обеих версий характеризуется следующими особенностями: (1) схема МКЭ строится на основе определения ^-обобщенного решения соответствующей задачи; (2) базис конечно-элементного пространства содержит сингулярные функции; (3) порядок сингулярности аппроксимационных функций зависит от того весового пространства, которому принадлежит точное /^-обобщенное решение задачи; (4) анализ погрешности аппроксимации проводится в весовых пространствах.

В настоящей диссертации рассматривается первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения в начале координат. Решение поставленной задачи определяется как .^-обобщенное; доказана его принадлежность весовому пространству С.Л.Соболева Щ2+i ПРИ определенных условиях на коэффициенты и правую часть дифференциального уравнения. Для нахождения ./^-обобщенного решения рассматриваемой задачи построена ^-версия МКЭ, причем конечно-элементное пространство содержит сингулярные функции. Для исследования погрешности аппроксимации предложен подход, основанный на использовании ортонормированной системы сингулярных полиномов, построенной и изученной в настоящей диссертации. В результате применения этого подхода установлена оценка погрешности, зависящая от степени р аппроксимационных полиномов.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Кашуба, Елена Владимировна

3.4. Выводы об аппроксимационных свойствах ^-версии метода конечных элементов для задач с сингулярностью

Проанализируем результаты численного эксперимента и сделаем выводы об аппроксимационных свойствах р-версии МКЭ для краевых задач с согласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения.

1) На основании данных, представленных в таблицах 1.1, 2.1, 3.1 и

4.1, заключаем, что в случае фиксированной равномерной сетки с числом элементов т — 1,2 величины погрешностей аппроксимации С(р) и Н(р) убывают по мере увеличения степени р аппроксимационных полиномов. Из результатов, представленных на рисунках 1.1, 3.1, 4.1, следует, что и при большем (но фиксированном) числе конечных элементов т, погрешность аппроксимации Н(р) убывает по мере роста р.

2) В соответствии с данными, представленными на рисунках 1.1.

3.1, 4.1, делаем вывод о том, что при т > 2 точность нахождения приближенного ^-обобщенного решения возрастает по мере увеличения числа элементов т (например, для задачи (3.20а). (3.206) Я(3) = 0.166 • 10"1 при т = 2, Я(3) = 0.191 • 10~2 при т-5, Я(3) = 0.286 • Ю"3 при m = 10).

3) При фиксированной размерности N конечно-элементного пространства погрешности аппроксимации С(р) и Н(р) тем меньше, чем выше степень р аппроксимационных полиномов (такой вывод следует из данных, представленных в таблицах 1.2, 2.2, 3.2 и 4.2). Отсюда, а также из результатов, представленных на рисунках 1.2, 3.2, 4.2 заключаем, что наращивание размерности N конечно-элементного пространства S(A,p) предпочтительнее за счет роста степени р аппроксимационных полиномов (р-версия МКЭ), а не за счет увеличения количества элементов т (h-версия МКЭ).

4) Так как графики, иллюстрирующие поведение погрешности аппроксимации Я(р), близки к прямым линиям, а в логарифмической шкале прямыми изображаются функции, заданные уравнением вида f(x) = cxb, где с, b - постоянные, то, следовательно, Н(р) приближенно описывается некоторой убывающей степенной функцией (см. рисунки 1.1, 3.1, 4.1).

5) На основании данных, представленных на рисунках 1.3, 2.1 и

4.3, заключаем, что приближенное решение us(x), построенное с помощью р-версии МКЭ, отражает поведение точного Я^-обобщенного решения (например, для задачи (3.19а), (3.196)

Yj)-MYj) ^ 0.0327). max j = l,.,n YjZCl и.

Yj)

6) Из результатов, приведенных в таблицах 1.3, 2.3, 3.3 и 4.3 следует, что при нахождении приближенных /^-обобщенных решений краевых задач с сингулярностью с помощью ^-версии метода конечных элементов на равномерной сетке, погрешности аппроксимации в сеточных аналогах норм весовых пространств и Щи+р/ъ^) Убывают при увеличении параметра v (при этом требуется, чтобы v удовлетворяло всем необходимым условиям).

7) В соответствии с данными вычислений, представленными в таблицах 1.4, 2.4, 3.4 и 4.4, делаем вывод о том, что увеличение параметра \х сначала приводит к убыванию погрешностей аппроксимации С(р) и #(р), а затем перестает оказывать существенное влияние на точность нахождения приближенного ^-обобщенного решения (при этом конечно, должно выбираться из интервала (1,г/ + (3/2 + 1/2) и быть нецелым).

Итак, при нахождении приближенных Д^-обобщенных решений краевых задач с согласованным вырождением исходных данных и сингулярностью решения с помощью р-версии метода конечных элементов на равномерной сетке погрешность аппроксимации в сеточном аналоге нормы весового пространства Н2 1/+р/2(^) имеет степенной характер убывания с ростом р. Этот вывод полностью согласуется с теоретическим результатом, сформулированным в теореме 2.6. Установлено также, что при т > 2 аппроксимационные свойства метода тем лучше, чем больше число элементов т. Однако, уже при малых значениях т {т=1,2) предлагаемый метод позволяет находить решение с достаточно высокой точностью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кашуба, Елена Владимировна, 2002 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. — 3VL: ИЛ, 1962. — 208 с.

2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1968. -— 480 с.

3. Беспалов А.Ю., Рукавишников В.А. Экспоненциальная скорость сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью решения // Доклады РАН. — 2000. — Т. 374, АГ 6. — С. 727-731.

4. Деклу Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1976. — 92 с.

5. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с сингулярностью произвольного порядка в граничных точках // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. — Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990. — С. 109-123.

6. Кашуба Е.В., Рукавишников В.А. Оценка погрешности р-вер-сии метода конечных элементов для краевой задачи с сингулярностью. Препринт J\f 58. Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, 2001. — 22 с.

7. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды Моск. Матем. об-ва. — 1967. — Т. 16. — С. 209-292.

8. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6, Л' 10. С. 1831-1843.

9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 2(230). — С. 3-77.

10. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — JL: Изд. Ленингр. ун-та, 1977. — 206 с.

11. Крылов В.И. К вопросу о сечении ионизации водородоподоб-ного атома быстрыми электронами в однородном электрическом поле // Краткие сообщения ФИАН. — 1995. — Вып. 8. — С. 90-94.

12. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974. — 752 с.

14. Мазья В.Г. О задаче с косой производной в области типа полиэдра // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 211, Af 1. — С. 40-43.

15. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 210, ЛГ 3. — С. 529-532.

16. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 219, Af 2. — С. 286-290.

17. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребер //

18. Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 229, Я 1. — С. 33-36.

19. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки функций Грина и ша-удеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сибирский математический журнал. — 1978.1. Я 5. — С. 1065-1082.

20. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С.Л.Соболева. — 1978. — Я 2. — С. 69-102.

21. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Lp-оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Труды Моск. Матем. об-ва. — 1978. — Т. 37. — С. 49-93.

22. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

23. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с.

24. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. — М.: Наука, 1991. — 336 с.

25. Обэн Ж. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977. — 360 с.

26. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. I. // Дифференциальные уравнения и их применения. — 1973. — Вып. 5. — 394 с.

27. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. II. //

28. Дифференциальные уравнения и их применения. — 1974. Вып. 8. — 317 с.

29. Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах Ru-обобщенного решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 309, Я 6. — С. 1318-1320.

30. Рукавишников В.А. О Rv- обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике. — Владивосток, 1989. — 35с. — (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ; ВД 14435).

31. Рукавишников В.А. О Д^-обобщенном решении задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1993. — Т. 2, N 4. — С. 105-111.

32. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 337, ЛГ 4. — С. 447-449.

33. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. — 1996. — Т. 32, ЛГ 3. — С. 402-408.

34. Рукавишников В.А. О единственности ^-обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 2001. — Т. 376, Я 4. -— С. 451-453.

35. Рукавишников В.А., Кашуба Е.В. О новой орт ©нормированной системе сингулярных полиномов, ее свойствах и особенностях. — Владивосток: Дальнаука, 1997. — 15 с. — (Препринт ЛГ 13 / Вычислительный центр ДВО РАН).

36. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа. — Владивосток: Дальнаука, 1993. — С. 22-48.

37. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 338, ЛГ 6. — С. 731-733.

38. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

39. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. — 349 с.

40. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. — 416 с.

41. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

42. Argyris J.H. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engng. — 1955. — V. 27. — P. 125-154.

43. Argyris J.H. Tetrahedra elements with, linearly varying strain // J. Royal Aeronaut. Soc. — 1965. — V. 69, No. 1. — P. 877-880.

44. Babuska I. The p- and h-p versions of the finite element method. The state of the art j I In: Dwoyer D.L., Hussaini M.Y. and Voigt R.G. (eds.). Finite Elements. Theory and applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 199-239.

45. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h and p versions of the finite element method // Numer. Math. — 1981. -V. 37. — P. 257-277.

46. Babuska I., Elman H.S. Performance of the h-p version of the finite element method with various elements // Internat. J. Numer. Methods Engrg. — 1993. — V. 36, No. 15. — P. 2503-2523.

47. Babuska I., Guo B.Q. Regularity of the solution of elliptic problems with piecewise analytic data. Part 1. Boundary value problems for linear elliptic equation of second order / / SI AM J. Math. Anal. — 1988. — V. 19, No. 1. — P. 172-203.

48. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for domains with curved boundaries // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — V. 25, No. 4. — P. 837-861.

49. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for problems with nonhomogeneous essential boundary conditions // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. — 1989. — V. 74. — P. 1-28.

50. Babuska I., Guo B.Q. Optimal estimates for lower and upper bounds of approximation errors in the p-version of the finite element method in two dimensions // Numer. Math. — 2000. — V. 85. — P. 219-255.

51. Babuska I., Suri M. The optimal convergence rate of the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1987. — V. 24. — P. 750-776.

52. Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dirich-let boundary conditions by the ^-version of the finite element method // Technical Note BN-1063, Institute for Physical Science and Technology, Univ. of Maryland, College Park, MD. — 1987.

53. Babuska I., Suri M. The ^-version of the finite element method for constraint boundary conditions // Technical Note BN-1064, Institute for Physical Science and Technology, Univ. of Maryland, College Park, MD. — 1987.

54. Babuska I., Suri M. The p and h-p versions of the finite element method, basic principles and properties // SIAM Review. — 1994. — V. 36. — P. 578-632.

55. Babuska I., Szabo B.A., Katz I.N. The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1981. — V. 18. — P. 515-545.

56. Bazu P.K., Rossow M.P., Szabo B.A. Theoretical manual and user's guide for COMET-X. — Center for Computational Mathematics, Washington Univ. — St. Louis, MO, 1977.

57. Cai W., Lee H.C., Oh H. S. Coupling of spectral methods and the p-version of the finite element method for elliptic boundary value problems containing singularities // J. Comput. Phys. — 1993. — V. 108, No.2. — P. 314-326.

58. Canale A., Caso L., Di Gironimo P. Variational second order elliptic equations with singular coefficients // Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5). — 1993. — V. 17. — P. 113-128.

59. Dorr M.R. The approximation theory for the p-version of the finite element method // SI AM J. Numer. Anal. — 1984. — V. 21.1. P. 1181-1207.

60. Dorr M.R. The approximation of solutions of elliptic boundary value problems via the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1986. — V. 23. — P. 58-77.

61. Grisvard P. Alternative de Fredholm relative an probleme de Dirich-let dans un polygone ou un polyedre // Bull. U.M.I. — 1972. — P. 132-164.

62. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. — Boston-London-Melbourne: Pitman, 1985.

63. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. — Recher-ches en Mathematiques Appliquees, 22. Paris: Masson; Berlin: Springer-Verlag, 1992. — xiv+199 pp.

64. Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 1: The error analysis of the p-version // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 577-612.

65. Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 2: The error analysis of the h- and h-p versions // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P 613-657.

66. Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 3: The adaptive h-p version // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 659-683.

67. Guo В., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 1: The basic approximation results // Сотр. Mech. — 1986. — V. 1. — P. 21-41.

68. Guo В., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 2: General results and applications // Сотр. Mech. — 1986. — V. 1. — P. 203-220.

69. Guo B.Q., Babuska I. On the regularity of the elasticity problems with piecewise analytic data // Adv. in Appl. Math. — 1993. — V. 14, No. 3. — P. 307-347.

70. Guo B.Q., Oh H.S. The h-p version of the finite element method for problems with interfaces // Internat. J. Numer. Methods Engrg. — 1994. — V. 37, No. 10. — P. 1741-1762.

71. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I. Solutions with singularities of an equation in mathematical physics // Ukrainian Math. J. — 1992. — V. 44, No. 2. — P. 155-159.

72. Lions J.L., Magenes Е. Non-homogeneous boundary value problems and applications. V. I. — New York: Springer-Verlag, 1972.

73. Maz'ya V. G., Rossmann Ju. On a problem of Babuska (stableasymptotics of solution to the Dirichlet problem for elliptic equations of second order in domains with angular points) // Math. Nachr. — 1992. — V. 155. — P. 199-220.

74. Orsina L. Solvability of linear and semilinear eigenvalue problems with L1 data // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. — 1993.1. V. 90. — P. 207-238.

75. Rukavishnikov V.A., Kashuba E.V. On the properties of an or-thonormalized singular polynomials set // Siberian J. of Numer. Mathematics. / Sib. Branch of Russ. Acad, of Sci. — Novosibirsk, 1999. — V. 2, No. 2. — P. 171-183.

76. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution // ENUMATH 1997. — Singapore: World Scientific Publishing Company, 1998. — P. 540-548.

77. Schwab C., Xanthis L.S. The method of arbitrary lines an h-p error analysis for singular problems // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. — 1992. — V. 315, No. 13. — P. 1421-1426.98

78. Szabo В.A. PROBE Theoretical manual release 1.0. — NOETIC Technologies Corp. — St. Louis, MO, 1985.

79. Tornig W. Numerische Mathematik fur Ingenieure und Physiker. Band 2: Eigenwertprobleme und Numerische Methoden der Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 350 p.

80. Turner M.J., Clough R.J., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures //J. Aeronaut. Sci. — 1956. — V. 23. — P. 805-823.

81. Vogelius M. An analysis of the p-version of the finite element method for nearly incompressible materials. Uniformly valid optimal error estimates // Numer. Math. — 1983. — V. 41. — P. 39-53.