Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Конюшенко, Валерий Вячеславович

• Конюшенко, Валерий Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Конюшенко, Валерий Вячеславович

Введение.

Глава I. Модифицированная схема неполного метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода.

§1. Математическая постановка модифицированной схемы неполного метода Галеркина.

§2. Существование и единственность решения.

§3. Результаты численного моделирования.

Глава II. Схема ортогонального метода Галеркина в решении задачи на собственные значения плоского нерегулярного волновода.

§1. Свойства собственных значений и собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля.

§2. Задача на собственные значения.

§3. Сверхпроводящие открытые резонаторы с софокусными цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы.

Глава III. Модифицированная схема ортогонального метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода.

§1. Построение схемы ортогонального метода Галеркина.

§2. Существование, единственность и равносходимость решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода»

Теория нерегулярных волноводов получила свое развитие с середины 5 Ох годов, когда появилась потребность в теоретических и экспериментальных исследованиях радиолокационной техники и освоении дециметрового и сантиметрового диапазона волн. Результаты этих работ позволили создать основу для дальнейших исследований в радиофизике, электронике, оптике, акустике [1-9]. В них приведены сведения о собственных волнах волноводов различных сечений, приближенные и строгие схемы расчета, теория и свойства многополюсников.

Исследование коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона привело к изучению новых волноводных явлений, в частности резонансных. В этом диапазоне волн очень важным является требование к точности проводимых расчетов. Размеры волноводных неоднородностей становятся сравнимы с длиной волны, вследствие чего важную роль играет анализ высших типов волн и их взаимодействий, что не может быть описано достаточно точно с помощью асимптотических методов [1-10]. Поэтому на первый план выходит разработка и обоснование методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке. Математическая модель часто гораздо глубже эксперимента позволяет раскрыть и исследовать свойства физического объекта, получить количественные характеристики, что позволяет практически полностью исключить проектное экспериментирование и снизить время разработок.

Не умаляя роли и значения физического эксперимента, следует отметить, что информация, полученная в результате расчетов на ЭВМ, как решение строгой электродинамической задачи, часто оказывается значительно полнее соответствующих данных физического эксперимента.

В последнее время теория волноводов интенсивно развивается, о чем, в частности, свидетельствует огромное количество научных работ по исследованию различных волноведущих систем и разработке методов расчета этих систем.

Ряд важнейших вопросов математической теории волноводов был разработан А.Н. Тихоновым и A.A. Самарским [11,30], Г.В. Кисунько [2], П.Е. Краснушкиным [29], Л.А. Вайнштейном [10,12], Б.З. Каценеленбаумом [13-19], А.Г. Свешниковым [20-28] и др.

Типичная математическая постановка краевых задач теории волноводов заключается в нахождении решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющего граничным условиям и условиям излучения на бесконечности. В общем случае все три оператора, определяющие уравнение, граничные условия и условия излучения, могут быть несамосопряженными.

Основная идея большинства математических методов решения краевых задач теории волноводов содержится в работах Релея и состоит в разложении искомого решения по собственным функциям (нормальным волнам [29]) соответствующих спектральных задач и решении полученных алгебраических или дифференциальных уравнений для коэффициентов этих разложений.

В случае если оператор, задающий граничные условия является самосопряженным, то и спектральная задача, как правило, тоже является самосопряженной, её собственные функции ортогональны и образуют базис в соответствующем данной задаче функциональном пространстве.

Фундаментальную роль в теории волноводов играет теорема о полноте системы ТЕ и ТМ волн регулярного волновода, доказанная Тихоновым А.Н. и Самарским A.A. ([11,30]). Эта система функций выражается через собственные функции оператора Лапласа и используется в качестве базисной.

Эффективным методом решения краевых задач теории волноводов с самосопряженными граничными условиями является широко известный метод поперечных сечений, развитый в работах Каценеленбаума [13-19]. Его основная идея состоит в том, что поле в любом сечении нерегулярного участка представляется в виде бесконечной суммы полей волн обоих направлений, которые могут распространяться в так называемом волноводе сравнения - в регулярном волноводе того же сечения и с тем же распределением электрической и магнитной проницаемости по сечению. Коэффициенты этого разложения являются функциями продольной координаты и удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Таким образом, трехмерная электродинамическая задача для нерегулярного волновода сводится к двухмерной задаче о полях в регулярном волноводе и одномерной задаче - к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

А.Г. Свешниковым был предложен и математически обоснован неполный метод Галеркина [28], который может быть применен для широкого класса несамосопряженных краевых задач. В применении к решению задач теории нерегулярных волноводов этот метод является модификацией метода поперечных сечений [23,25].

В этой схеме поперечные компоненты электромагнитного поля разлагаются по полной системе вектор-функций, соответствующих поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода того же сечения, а продольные выражаются через поперечные. Таким образом, решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для коэффициентов разложения.

Конечно-разностные методы и метод конечных элементов [31] используются, когда трудно найти собственные волны для разложения полей, например в резонаторах сложной формы.

В особый класс выделяются волноводные задачи, имеющие особые точки (например ребра, разветвления, скачки поверхностей или граничных условий и т.д.). Эти задачи имеют важное значение, т.к. описывают такие физические устройства, как: волноводные излучатели, переходы, фильтры, фазовращатели др. В этом случае компоненты электромагнитного поля имеют сингулярную особенность в окрестности особой точки [8,32-43,49].

Методы решения таких задач делятся на численно-аналитические [8,10,32,43,46] и прямые [41,43-45].

Аналитические методы применяются для решения координатных и ряда некоординатных задач с кусочно-линейными границами, где все собственные функции частичных областей (круг, прямоугольник, отрезок) выписываются в явном виде. Эти методы основаны на использовании преобразования Фурье и методах теории функций комплексного переменного. Некоторые примеры аналитических методов: метод вычетов и модифицированный метод вычетов (ММВ)[32,44], метод факторизации и метод Винера-Хопфа [32,46], аналитический метод полу обращения (МПО)[44].

К прямым методам относятся: метод интегральных уравнений, метод частичных областей (МЧО) и вариационные методы.

Метод частичных областей (МЧО) [34,40,41,43,45,48,49], широко применяемый для решения многих волноводных задач дифракции, заключается в переходе к системе линейных алгебраических уравнений второго порядка, который осуществляется путем наложения классических или проекционных условий сшивания на тангенциальные компоненты полей на границе частичных областей. После переразложения полей по системам функций, полных в соседних частичных областях, исходная система функциональных уравнений приводит к бесконечной исходной системе линейных алгебраических уравнений второго порядка с несколькими подсистемами. После исключения подстановкой некоторых подсистем получается окончательная СЛАУ-П с матричными коэффициентами в виде рядов и одна или несколько пересчетных формул для амплитуд исключенных волн.

Условия проекционного сшивания обеспечивают непрерывность потока вектора Умова-Пойтинга, то есть обеспечивают выполнение условия Мейкснера в особой точке. Впервые эта схема была применена Г.В. Кисунько в 1947 году [49].

Следует отметить, что в задачах с частичными областями также применяются специальные базисы, учитывающие вид решения в окрестности особой точке в явном виде [50-52]. В этом случае поле, например, аппроксимируется рядами Фурье по полиномам Гегенбауэра и Чебышева.

Если оператор, задающий граничные условия в исходной электродинамической краевой задаче является несамосопряженным, то и соответствующая спектральная задача также является несамосопряженной. Граничное условие третьего рода с малым по модулю комплексным параметром называется "слабо несамосопряженным" граничным условием.

Одним из примеров такой модели является модель импедансного волновода. Она позволяет с единых позиций исследовать самые различные неконсервативные волноведущие системы (волноводы с неидеальной проводимостью стенок, спиральные, гофрированные и гребенчатые волноводы и т.д.). Наряду с классическими импедансными граничными условиями Щукина-Леонтовича [53] существуют и условия, заменяющие электродинамические условия на моделируемых поверхностях [19,54,55]. Эти импедансные условия в общем случае являются "слабо несамосопряженными".

Математическое моделирование волноводов на основе эквивалентных граничных импедансных условий потребовало создания и разработки эффективных математических методов решения, возникающих при этом несамосопряженных краевых задач.

Методы решения волноводных задач с импедансными граничными условиями по идеологии близки к методам решения задач без импедансных условий, рассмотренных выше.

В работах Б.З. Каценеленбаума данная задача решается путем последовательного разложения полей в ряд по степеням малой величины, являющейся комплексным волновым сопротивлением материала стенок волновода [14].

Другой подход заключается в разложении решения по собственным волнам волновода той же формы, но без импедансных граничных условий [56-59], далее развитый в работе [55]. В этом случае импедансные граничные условия выполняются в среднем.

Метод интегральных преобразований [55, 60] сводит задачу к интегральному уравнению с особенностью.

Еще один метод решения состоит в разложении решения по собственным функциям особого вида, имеющим необходимую особенность в окрестности особой точки.

Ортогональный метод Галеркина, предложенный В.П. Моденовым [61,62], позволяет решать широкий класс волноводных задач. Его особенность заключается в разложении решения по собственным функциям, строго удовлетворяющим граничным условиям.

Целью данной работы было решение задачи дифракции в плоском волноводе с нерегулярностями двух видов: неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями на поверхности волновода.

Повышенный интерес к частично заполненным волноводам объясняется тем, что, изменяя вид заполнения и диэлектрическую или магнитную проницаемость заполняемого материала, можно в широких пределах управлять различными характеристиками волноведущей системы (постоянной распространения, критическими длинами волн, распределением потока энергии и т.д.). Данная возможность является принципиальной основой для конструирования миниатюрных и широкополосных устройств СВЧ диапазона.

В тоже время наиболее интересная с физической точки зрения область исследования находится вблизи резонансной частоты, где наиболее сильно сказывается неоднородность заполнения и потери, возникающие в неоднородности и стенках волновода. Все это требует строгого, с учетом потерь, решения соответствующей электродинамической задачи [63-66].

Физическими объектами исследования были выбраны полупроводники, биообъекты (диэлектрики с комплекснозначной диэлектрической проницаемостью) и сверхпроводники.

Таким образом, актуальным является разработка математических методов решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными "слабо несамосопряженными" граничными условиями третьего рода и переменными коэффициентами.

Цель диссертационной работы исследование:

- математическими методами краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями и переменными коэффициентами;

- постоянных распространения плоского градиентного волновода;

- импедансной модели сверхпроводников на примере открытого конфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами.

Основные положения, выносимые на защиту:

- модифицированные, с учетом условия Мейкснера, схемы метода Галеркина, ориентированные на решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями третьего рода и с переменными коэффициентами;

- математическое обоснование, численное исследование и практическая реализация на примере рассмотренной краевой задачи предложенных схем метода Галеркина;

- применение решения данной краевой задачи при математическом моделировании электромагнитных колебаний в плоском волноводе с неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями;

- схема ортогонального метода Галеркина и импедансная модель сверхпроводников в решении задачи на собственные значения для плоского градиентоного волновода со сверхпроводящей стенкой;

- исследование импедансной модели сверхпроводящих пленок в задаче расчета открытых резонаторов, образованных цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов конечной проводимости.

Научная и практическая значимость данной работы вытекает из актуальности темы и полученных результатов. Поставлена и решена математическая задача дифракции электромагнитного поля в плоском нерегулярном волноводе с импедансной границей и диэлектрическим заполнением. Для решения этой задачи предложены и обоснованы модифицированные схемы неполного и ортогонального методов Галеркина с учетом условия Мейкснера в точках разрыва граничных условий.

Впервые рассмотрена схема ортогонального метода Галеркина при решении задачи на собственные значения плоского градиентного волновода с импедансной стенкой.

Приведенные в диссертации модифицированные схемы метода Галеркина могут быть применены на практике для решения задач дифракции в плоском волноводе с неоднородным заполнением и импедансными граничными условиями. Численные результаты математического моделирования представляют физический интерес и позволяют сделать вывод как о возможности изучения свойств различных физических объектов, таких как биообъекты, полупроводники, сверхпроводники в волноводах, так и о возможности изменения выходных характеристик таких устройств путем изменения свойств соответствующих физических объектов. Работа может найти применение в теории импедансной модели плоского волновода с диэлектрическим заполнением, которая описывает широкий класс физических явлений (волноводно-резонансных, диссипативно-резонансных, аномально малого поглощения, переходного излучения, фазовой коррекции и др.).

Достоверность и обоснованность результатов. Предлагаемые в диссертации математические методы математически строго обосновываются. При практической реализации этих методов точность вычислений контролировалась. Многие из полученных результатов сравнивались с экспериментами и численными данными, полученными другими методами [67-70].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных и Всероссийских конференциях и семинарах:

IV Всероссийская научно-техническая конференция "Состояние и проблемы технических измерений". Москва. Декабрь. 1997.

Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Екатеринбург. Апрель 1999.

VI Международная научно-техническая конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ". Самара. Сентябрь. 1999. а также на семинарах кафедры математики.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата

70,82,83,89,96,97,100,114,115,129,130].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 102 стр., список литературы из 126 наименований, включая 11 публикаций автора.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Конюшенко, Валерий Вячеславович

Основные результаты диссертации, полученные автором лично:

- предложены модифицированные (с учетом выполнения условий Мейкснера) схемы неполного и ортогонального методов Галеркина, ориентированные на решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями и с переменными коэффициентами;

- предложенные схемы математически обоснованы: доказано существование, единственность и сходимость приближенного решения, полученного по модифицированной схеме неполного метода Галеркина, к точному, а также равносходимость решений, построенных по двум модифицированным схемам метода Галеркина;

- на основе этих схем разработаны и реализованы, в виде ЭВМ программ, алгоритмы численного решения рассматриваемой краевой задачи;

- используя результаты решения данной задачи, исследованы некоторые физические свойства полупроводников, диэлектриков, биообъектов и сверхпроводников;

- схема ортогонального метода Галеркина применена при решении задачи на собственные значения для плоского градиентного волновода с несамосопряженным граничным условием импедансного вида, моделирующим сверхпроводящую стенку волновода, на основе импедансной модели сверхпроводников; и совместно:

- проведено исследование импедансной модели сверхпроводников на примере задачи расчета открытых резонаторов, образованных цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов конечной проводимости и проиллюстрирована адекватность математической модели реальному физическому эксперименту.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору В.П. Моденову за научное руководство и поддержку.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Конюшенко, Валерий Вячеславович, 2004 год

1. Введенский Б.А., Аренберг А.Г. Радиоволноводы. - М.; JL: Гостехиздат. - 1946. - 191с.

2. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. JL: Изд-во Воен. Краснознам. Акад. Связи. - 1949. - 426с.

3. Теория линий передачи сверхвысоких частот: пер. с англ. / Под ред. А.И. Шпунтова: В 2-х т. М.: Сов. Радио. - 1951. - Т. 1-2.

4. Ширман Я.Д. Радиоволноводы и объемные резонаторы. М.: Связьиздат. - 1959. - 386 с.

5. Харвей JI. Техника сверхвысоких частот: пер. с англ. / Под ред. В.И. Сушкевича: В 2-х т. М.: Сов. Радио. - 1965. - Т. 1-2.

6. Альтман Д.Л. Устройства сверхвысоких частот: Пер. с англ. / Под ред. И.В. Лебедева. М.: Мир. - 1968. - 488 с.

7. Швингер Ю. Неоднородности в волноводах (конспект лекций): Пер. с англ. / Под ред. П.Ш. Фридберга // Зарубежная радиоэлектроника. -1970. -№3.- С. 3-106.

8. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач: Пер с англ. / Под ред. В.И. Вольмана. М.: Радио и связь. - 1981. -312 с.

9. Справочник по волноводам: Пер.с англ. / Под ред. Я.Н. Фельда. М.: Сов. Радио. - 1952. - 431 с.

10. Ю.Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь. - 1988. - 440с.

11. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Ж. вычислительной физики. — 1948. -Т.28, вып.7. С.959-970.

12. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. Радио. - 1973. - 215 с.

13. Каценеленбаум Б.З. О распространении электромагнитных волн вдоль бесконечных диэлектрических цилиндров на низких частотах // ДАН СССР. Т.58, №7. - С.1317-1321.

14. Каценеленбаум Б.З. Волноводы с неидеальными стенками // Докл. АН СССР. 1953. - Т.88, №1. - С.37.

15. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные волноводы с медленно меняющимися параметрами // Докл. АН СССР. 1955. - 102, №4. -С.711.

16. Каценеленбаум Б.З. К общей теории нерегулярных волноводов // Докл. АН СССР. 1957. - 116, №2. - С.203.

17. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные волноводы с переменным диэлектрическим заполнением // Радиотехника и электроника. 1958.- 3, №7. С.890.

18. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд-во АН СССР. - 1961.- 216с.

19. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука. -1966.-240с.

20. Свешников А.Г. Нерегулярные волноводы // Изв. вузов. Радиофизика.- 1959.-2, №5.- С.720.

21. Свешников А.Г. Возбуждение нерегулярных волноводов // Науч. Докл. Высшей школы, физ-матем. Науки. 1959. - №2. - С. 162.

22. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов//ЖВММФ.- 1963.-Т.3,№1,-С. 170-179.

23. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета распространения .электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах // ЖВММФ.- 1963. Т.З, №2. - С. 314-327.

24. Свешников А.Г., Котик И.П., Чернышов Ю.С. Об одном методе расчета согласований плоских волноводов // Вычисл. Методы и программир. 1962. - вып.1. - С.234-245.

25. Свешников А.Г., Ильинский A.C., Котик И.П. Распространение колебаний в нерегулярных волноводах с боковой поверхностью сложной формы // Вычисл. Методы и программир. . 1965. - вып.З. -С.329-363.

26. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Метод Галеркина в задачах о рассеянии волн в полых системах // Вестник Моск. ун-та, Сер 3 Физика. Астрономия. 1968. - №4. - С. 69-79.

27. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Интегральные уравнения I первого рода в задачах о рассеянии волн в полых направляющих системах // Вестник Моск. ун-та, Сер.З Физика. Астрономия. 1968. - №6. - С. 19-26.

28. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина // ДАН СССР. 1977. -Т.236, №5. - С. 1076-1079

29. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к волноводам // Вестн. Моск. Ун-та. 1946, - №2. - С.5-9.

30. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука. 1977. - 736с.

31. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. - 1983. - 616 с.

32. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: пер. с англ. под ред. Г.В. Воскресенского. М.: Мир. - 1974. - 327с.

33. Ильинский A.C. Прямой метод расчета периодических структур // ЖФММФ.- 1973.-Т.13,№1.-С. 119-126.

34. Веселов Г.И., Темнов В.М. О решении некоторых систем уравнений в электродинамике и явлении «относительной сходимости» // Радиотехника и электроника. 1981. -№10. - С. 2034-2043.

35. Кириленко A.A., Рудь Л.А., Шестопалов В.П. Рассеяние волн на изломе волновода // Радиотехника и электроника. 1974. - 19, №4. -С.687-696.

36. Кириленко A.A. Метод полуобращения в задаче о линейном волноводном переходе // Докл. АН СССР. 1979. - 247, №6. - С.1359-1358.

37. Кириленко A.A., Яшина Н.П. К строгому расчету матриц рассеяния на ступеньке в волноводе // Радиотехника / Харьк. Ун-т. 1975. - вып. 34.- С.166-170.

38. Кириленко A.A., Шестопалов В.П., Яшина Н.П. Строгое решение задачи о скачке поперечного сечения круглого волновода // ЖВММФ.- 1977. 17, №6. - С.1482-1493.

39. Кириленко A.A., Сенкевич С.Л. Сравнение эффективности различных алгоритмов расчета ступенчатых неоднородностей в волноводах. -Харьков. 1982. - 37с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т радиофизики и электроники.; №258).

40. Ильинский A.C., Фоменко Е.Ю. Исследование бесконечномерных систем линейных алгебраических уравнений II рода в волноводных задачах дифракции // ЖФММФ. 1991. - Т.31, №3. - С. 339-351.

41. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука. - 1967. - 460с.

42. Никольский В.В. Проекционные методы в электродинамике. Прикл. Электродинамика. - 1977. - вып.1.

43. Веселов Г.И., Темнов В.М. Метод частичных областей для дифракционных задач с некоординатными границами // Изв. Вызов. Радиофизика. 1984. - 28, №7. - С.919-928.

44. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд-во иностр. лит-ры. - 1962. -279с.

45. Никольский В.В. Электродинамика и распространение волн. М.: Наука. - 1973. - 608с.

46. Ильинский A.C. Прямой метод расчета периодических структур // ЖВММФ.- 1973. Т. 13, №1.-С.119-126.

47. Кисунько Г.В. К теории распространения электромагнитных волн в трубах со скачкообразно меняющимися сечениями // ДАН СССР. -1947. Т.58, №8. - С.1653-1656.

48. Веселов Г.И., Платонов Н.И., Слесарев Е.С. Об учете особенностей электромагнитных полей в методе частичных областей // Радиотехника. -1980. Т.35, №5. - С.27-34.

49. Губский Д.С., Ляпин В.П., Синявский Г.П. Электродинамический расчет параметров диафрагмированного стыка круглых волноводов // Радиотехника и электроника. 1984. - Т.29, №1. - С. 12-19.

50. Фельд Я.Н. Диафрагма в волноводе произвольного сечения // Радиотехника и электроника. 1978. - Т.23, №1. - С. 1-6.

51. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распространению радиоволн, вып.2. М. - Л.: Изд-во АН СССР. - 1948,-С.7-16.

52. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. М.: Наука. - 1977. - 208с.

53. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ. — 1983. -231с.

54. Машковцев Б.М., Цибизов Б.Г., Емелин Б.Ф. Теория волноводов. М. -Л.: Наука. 1966

55. Аркадакский С.С., Цикин Б.Г. // Радиотехника и электроника. 1975. -20.-С. 2113-2120.

56. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Метод исследования плоских волноводов с импедансными граничными условиями и резким изменением боковой поверхности // Вычислительные методы и программирование, Вып. 13. -М.: Изв-во МГУ. 1969. - С. 27-33.

57. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Метод исследования нерегулярных волноводов с импедансными граничными условиями // Доклады АН СССР. 1967. - Т. 176, №2. - С. 255-258.

58. Нечанов В.А., Советкин В.Ю. Рассеяние электромагнитной волны участком импедансной неоднородности на боковой стенке прямоугольного волновода // Изв. Вузов. Радиофизика. 1995. - Т.38, №10. - С.1083.

59. Моденов В.П. Математическая теория импедансных волноводов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996. - Т.4, №.3. - С. 101105.

60. Моденов В.П. Метод Галеркина в несамосопряженных краевых задачах теории волноводов // ЖВММФ. 1987. - Т.27, №1 - С. 144149.

61. Bass F.G., Freilikher V.D. Prosentsov V.V. Wave propagation in planar nonlinear waveguides with nonlinear boundary conditions // Physics Letters A. -2001. -279. -pp.87-93.

62. Foglietti V., Cianci E., Pezzetta D., Sibilia C., Marangoni M., Osellame R.„ Ramponi R. Fabrication of band-gap structures in planar nonlinear waveguides for second harmonic generation // Microelectronic Engineering. 2003. - 67-68. - pp. 742-748.

63. Remley K.A., Weisshaar A. Impedance boundary method of moments for efficient analysis of lossy and leaky planar waveguide structures // Optics Communication. 1996. - 129. - pp. 33-37.

64. Hachisuka K. et al. Development of wearable intra-body communication devices // Sensors and Actuators A. 2003. - 105. - pp. 109-115.

65. Борщевский B.B., Колесников B.C., Моденов В.П., Пирогов Ю.А. Резонансные свойства диэлектрической призмы в прямоугольном волноводе // Радиотехника. 1985. - №2. - С.78-79.

66. Богданов Ф.Г. Дифракция волны Ню на произвольном диэлектрическом стержне // Радиотехника и электроника. 1963. -Т.28, №5. - С. 876-880.

67. Моденов В.П., Трошина И.К. Метод интегральных уравнений в задачах волноводной биоинформатики // Вестник Моск. ун-та, Сер.З Физика, Астрономия. 2000, №5. - С. 17-21.

68. Моденов В.П., Трошина И.К., Конюшенко В.В. Математическое моделирование волноводного электромагнитного зондирования биологических объектов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. - №5-6. - С.67-72.

69. Нефедов Е.И., Протопопов А. А., Семенцов А.Н., Яшин А. А. Взаимодействие физических полей с живым веществом. Монорафия/ Под общей редакцией Хадарцева. Тула: Изд-во ТулГУ. 1995.

70. Моденов В.П. Волноводно-резонансный метод СВЧ-диэлектрометрии // Вестник новых медицинских технологий. 1996. - Т.З, №1. - С. 1719.

71. Mizushina S., Xiang Y., Sugiura Т. A Large Waveguide Applicator for Deep Regional Hyperthermia // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1986. V.MTT-34, #5. - pp.644-648.

72. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наук. Думка. 1977. - 329с.

73. Моденов В.П. Дифференциально—параметрический метод // ДАН СССР. 1987. - Т. 296, №3. - С.536-538.

74. Моденов В.П. О расчете методом Галеркина постоянных распространения в круглом волноводе с ферритовым стержнем // Вычислительные методы и программирование (Численные методы в задачах электродинамики). Изд-во МГУ. 1973. - Вып. XX. - С.50-58.

75. Менде Ф.Ф., Спицын И.С. Поверхностный импеданс сверхпроводников. Киев. Наукова Думка. - 1985.- 240с.

76. Wolf I., Ma J-G. Modeling the Microwave Properties of Superconductors // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1995. - vol.43, #5.-pp. 1053-1059.

77. Wolf I., Ma J-G. Electromagnetics in High-Tc Superconductors // IEEE MTT. April 1996. - vol.44, no.4. - pp.537-542.

78. Кравченко В.Ф., Казаров А.Б. Поверхностный импеданс сверхпроводников и его применение в физике и технике // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи зарубежной радиоэлектроники. 1997, №11.-С. 59-78.

79. Моденов В.П., Конюшен ко В.В. Метод Галеркина в задаче волноводного электромагнитного зондирования биообъектов // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. - Т.З, №4. -С.43-46.

80. V.P. Modenov, V.V. Konyushenko. Galerkin's Method in the Problem of Waveguide Electromagnetic Probing of Bioobjects // Electromagnetic Waves & Electronic Systems. -1997. Vol.2, No.6. - pp.51-54.

81. Валитов P.A., Дюбко С.Ф., Камышан B.B. и др. Техника субмиллиметровых волн / Под ред. P.A. Валитова. М.: Сов. радио. -1969.

82. Богомолов Г.Д. Электроника больших мощностей. Сб. 3,- М.: Наука. -1964.

83. Кравченко В.Ф., Казаров А.Б. Взаимодействие электромагнитных волн с пленкой из высокотемпературного сверхпроводника, расположенной на подложке // Радиотехника. 1996. - №8. - С.47-50.

84. Вайнштейн J1.A. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио. - 1966.

85. Бойд Дж., Гордон Дж. Конфокальный резонатор со многими типами колебаний для квантовых генераторов миллиметрового и оптического диапазонов // Сб. Лазеры. М.: Ин. лит-ры. - 1963. - С.363-384.

86. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Ортогональный метод Галеркина в теории плоского импедансного волновода с кусочно-непрерывным заполнением // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1999. - Т.7, №2.-С. 16-17.

87. Кравченко В.Ф., Казаров А.Б. Сверхпроводящие открытые резонаторы с плоскими прямоугольными и круглыми зеркалами // Радиотехника. — 1997. №9. - С.21-27.

88. Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Тютюкин Р.Г. Определение электродинамических характеристик сверхпроводящего диска, возбуждаемого электрическим диполем // ДАН. 1997. - Т.353, №4. -С.472-477.

89. Nathan Newman and W. Gregory Lyons // Journal of Superconductivity. -1993.-vol.6.-pp. 119-160.

90. Афонин Д.Г., Дубровский B.B., Малышкин A.K. Автоматизированная установка для исследования электродинамических систем на базекомпьютера 1MB PC-XT // Приборы и техника эксперимента. 1993. -№5. - С.75-78

91. Афонин Д.Г. Открытые резонаторы в применении к диагностике твердого тела // Изд. РАН. Сер. Физическая. 1999. - Т.63, №10. -С. 1992-1997.

92. Шестопалов В.П. Физические основы миллиметровой и субмиллиметровой техники. 1 ч. Открытые резонансные системы. -Киев: Наук. Думка. 1985.

93. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Метод расчета плоского нерегулярного волновода с импедансным разрывным граничным условием // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптического диапазона. 2002. - №1. - С. 21-25.

94. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. - Т.4, №2. - С.66-69.

95. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Вычисление постоянных распространения волн плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. - №4. - С.36-37.

96. Ильинский A.C. Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах переменного сечения. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1970.- 104с.

97. Шестопалов В.П., Шербак В.В. Неоднородности в прямоугольных волноводах. Емкостные препятствия // Радиотехника и электроника. 1965.-10, №6. - С. 1043-1056.

98. Шестопалов В.П., Щербак В.В. Матричные операторы в задачах дифракции // Изв. вузов. Радиофизика. 1968. - 11, №2. - С.285-305.

99. Гал JI.K., Украинец Н.И., Хижняк H.A. Рассеяние электромагнитных волн на диэлектрической вставке конечныхразмеров в прямоугольном волноводе // Журнал технической физики. -1980. 50, №8. - С.1585-1594.

100. Гладун В.В., Колесников B.C., Моденов В.П. Математическое моделирование явлений дифракции в волноводных металло-диэлектрических структурах. Препринт / Моск. ун-т. Физ. фак.; №22/1984.

101. Коробкин В.А., Пятак Н.И., Бабарика Л.И., Макеев Ю.Г. Определение параметров диэлектриков на СВЧ с помощью волноводно-диэлектрических резонаторов // Приборы и техника эксперимента. 1976. - 10, №9. - С.1414-1454.

102. Быков A.A., Ильинский A.C. Численный анализ диэлектрических резонансов в волноводе // Радиотехника и электроника. 1982. - 27, №9. - С.1830-1832.

103. Кириленко A.A. Об основных характеристиках и физической природе резонансов на «запертых» модах // Докл. АН УССР. Сер.А. -1978. №12. - С.1121-1125.

104. Кириленко A.A., Сенкевич С.Л. Сравнение эффективности четырех методов решения волноводных задач // Радиотехника и электроника. 1984. - 29, №6. - С. 1089-1097.

105. Кириленко A.A., Рудь Л.А. Дифракция волн на наклонной границе диэлектрических сред в прямоугольном волноводе // Радиотехника и электроника. 1977. - 22, №10. - С.2057-2067.

106. Кириленко A.A., Сенкевич С. Л. Резонансные явления в прямоугольных волноводах с двухслойными диэлектрическими вставками // В кн.: Физика и техника миллиметровых и субмиллиметровых волн. Киев: Наук. Думка. 1983. - С.91-99.

107. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Рассеяние волн в полых направляющих системах // Вестник Моск. ун-та, Сер.З Физика. Астрономия. 1969. - №1. - С. 15-20.

108. Капилевич Б.Ю., Трубехин Е.Р. Волноводно-диэлектрические фильтрующие структуры: Справочник. М.: Радио и связь. 1990. -272с.

109. Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Тютюкин Р.Г. // ДАН. 1997. -Т.353, №4. - С.472-477.

110. Быков A.A., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Прямые методы расчета нерегулярных волноводов с неоднородным диэлектрическим заполнением // Вычислительные методы и программирование, Вып.36, М.: Изд-во Моск. ун-та. 1982. - С.52-84.

111. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Математическое моделирование в волноводном методе диэлектрометрии биообъектов // в кн.: Состояние и проблемы технических измерений. Тезисы докл. IV Всероссийской научно-технической конференции. М.: МГТУ. 1997. -С.92-93.

112. Конюшенко В.В. Волноводный метод в исследовании свойств биообъектов и сверхпроводников // в кн. Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Сб. тезисов. Екатеринбург: УрГУ. 1999. - С.318-320.

113. Моденов В.П., Трошина И.К. Метод интегральных уравнений в задачах волноводного электромагнитного зондирования биобъектов // Вестник новых медицинских технологий. 1998. - Т.5, №3-4. - С. 106108.

114. Крюкова Ю.Ю., Моденов В.П. Проекционный метод сшивания в теории плоского нерегулярного волновода // ЖВММФ. 2001. - Т.41, №9.-С. 1422-1428.

115. Шестопалов В.П., Кириленко A.A., Рудь JI.A. Резонансное рассеяние волн. Т.2, Волноводные неоднородности. Киев.: Наук. Думка. - 1986.-216с.

116. Асланиди К.Г., Моденов В.П. К обоснованию проекционного метода сшивания // Вестник Моск. ун-та, Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. 1993, №4. - С.24-30.

117. Асланиди К.Г., Моденов В.П. Проекционный метод сшивания в задаче о сочленении волноводов // ЖВММФ. 1992. - Т.32, №2. -С.277-284.

118. Моденов В.П., Свешников А.Г. Проекционный метод решения несамосопряженных краевых задач теории волноводов // Вестник Моск. ун-та, Сер.З, Физика. Астрономия. 1985. - Т.26, №2. - С.3-8.

119. Веселов Г.И., Темнов В.М. О применимости метода редукции при решении алгебраических систем в некоторых задачах дифракции // ЖВММФ. 1984. - Т.24, №9. - С.1381-1391.

120. Abbas Sayed Omar and Klaus Schunemann. Transmission Matrix Representation of Finline Discontinuities // IEEE TMTT. 1985. - Vol. MTT-33, No.9. - pp.765-770.

121. Dionne G.F. Ill IEEE Trans. Appl. Supercond. 1993. - v.3, # 1.

122. Диденко A.H. Сверхпроводящие волноводы и резонаторы. М.: Сов. Радио. - 1973.

123. Megahed М.А., El-Ghazaly S.M. Nonlinear Analysis of Microwave Superconductor Devices Using Full-Wave Electromagnetic Model // IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques. November 1995. -Vol. 43.No.ll.

124. Трунин M.P. Поверхностный импеданс монокристаллов ВТСП в микроволновом диапазоне // Успехи физических наук. 1998. - Т. 168, №9. - С.931-951.

125. Афонин Д.Г., Кравченко В.Ф., Конюшенко В.В. Открытые конфокальные резонаторы с цилиндрическими зеркалами и конечной проводимостью // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. - №4. - С.48-60.

126. Конюшенко В.В., Моденов В.П. Ортогональный метод Галеркина для решения уравнения Гельмгольца в полосе с разрывным несамосопряженным граничным условием // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2003. - №1. - С. 19-21.