Организация параллельных вычислений для численного моделирования сейсмических волн на основе интегрального преобразования Лагерра и метода декомпозиции области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Белоносов, Михаил Андреевич

• Белоносов, Михаил Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белоносов, Михаил Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

Глава 2. АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ

СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАГЕРРА И АДДИТИВНОГО МЕТОДА ШВАРЦА.

2.1 Преобразование Лагерра и его свойства.

2.2 Применение интегрального преобразования Лагерра для системы уравнений динамической теории упругости

2.3 Ограничение расчётной области.

2.4 Постановка задачи после отделения времени.

2.5 Численная аппроксимация решаемой системы и ЬИ- разложение.

2.6 Декомпозиция расчётной области и аддитивный метод Шварца.

Глава 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

3.1 Организация параллельных вычислений.

3.2 Исследование скорости сходимости метода Шварца в одномерном случае.

3.3 Исследование скорости сходимости метода Шварца в двумерном случае.

3.4 Слабая и сильная масштабируемость параллельного алгоритма.

3.5 Численные эксперименты для простых неоднородных сред.

3.6 Численные эксперименты для реалистичной модели среды.

Глава 4. ЛОКАЛЬНОЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ СЕТОК

И ОДНОВРЕМЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ИСТОЧНИКОВ.

4.1 Одномерное локальное измельчение сеток.

4.2 Двумерное локальное измельчение сеток.

4.3 Одновременное моделирование для нескольких источников.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Организация параллельных вычислений для численного моделирования сейсмических волн на основе интегрального преобразования Лагерра и метода декомпозиции области»

Объект исследования - прямая динамическая задача сейсмики на предмет разработки численного алгоритма её решения, ориентированного на использование вычислительных систем с гибридной параллельной архитектурой, основанного на интегральном преобразовании Лагерра, декомпозиции расчётной области и аддитивном методе Шварца.

Актуальность. Развитие программно-алгоритмических средств численных методов моделирования сейсмических полей в упругих средах является чрезвычайно важным направлением, обеспечивающим дальнейшее совершенствование сейсмических методов изучения внутреннего строения Земли. В настоящее время ни одна площадная система геофизических наблюдений в районах со сложным сейсмологическим строением не реализуется без проведения предварительного полномасштабного моделирования для оценки информативности получаемых данных. Наибольшее распространение в данном направлении получили явные конечно-разностные схемы. На их основе созданы эффективные алгоритмы и разработано промышленное программное обеспечение, в том числе и ориентированное на использование вычислительных систем с параллельной архитектурой. Основным недостатком этих схем является их условная устойчивость, накладывающая весьма жёсткие ограничения на величину шага по времени в зависимости от шага по пространству. В то же время присущая им численная дисперсия не позволяет использовать крупные шаги по пространству. Всё это приводит порой к нереальным требованиям на вычислительные ресурсы, особенно при построении волновых сейсмических изображений. А при реализации миграции в обратном времени [22] необходимо производить полное моделирование волнового поля для каждого нового источника.

Альтернативой численным методам, ориентированным на отыскание решения во временной области, являются методы, основанные на отделении времени и последующем решении эллиптической краевой задачи. Наиболее распространено здесь преобразование Фурье по времени, широко применяемое при обращении полных волновых полей для построения скоростной модели. Использование при этом низких временных частот обеспечивает достаточно быструю сходимость итерационных методов решения возникающих систем линейных алгебраических уравнений. Однако при переходе к более высоким временным частотам, необходимым для получения синтетических волновых полей, скорость сходимости существенно замедляется, что делает применение этого подхода весьма затруднительным.

Одним из возможных направлений дальнейшего развития здесь является декомпозиция области с последующей организацией альтернирования по Шварцу [13]. Существенное уменьшение размерности задачи для каждой из подобластей не только ускоряет сходимость итерационного процесса, но и открывает путь к использованию прямых методов решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Однако применение этого подхода для матриц, возникающих в результате применения преобразования Фурье по времени, затруднительно в силу их знаконеопределённости: для таких матриц итерации по Шварцу, вообще говоря, могут и не сходиться.

Таким образом, существующие алгоритмы как во временной области, так и в пространстве временных частот имеют ряд недостатков и не всегда эффективны. Поэтому необходима разработка альтернативных алгоритмов.

Цель исследования - повысить эффективность численного моделирования сейсмических волновых полей за счёт организации параллельных вычислений на основе интегрального преобразования Лагерра и метода декомпозиции области.

Научная задача - разработать алгоритм решения прямой динамической задачи сейсмики и создать на его основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения.

Этапы исследования:

1. Анализ современных подходов к проведению численного моделирования сейсмических волновых полей для реалистичных моделей сред и систем возбуждения/регистрации.

2. Постановка задачи и определение основного направления исследования.

3. Разработка алгоритмов.

4. Создание научно-исследовательской версии параллельного программного обеспечения.

5. Численные эксперименты по изучению основных свойств алгоритма: скорости сходимости аддитивного метода Шварца, масштабируемости, расчёту волновых полей и т.д.

Теория и методы исследования

Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:

- численные методы, интегральное преобразование Лагерра при решении прямых задач сейсмики, теория конечно-разностных схем для аппроксимации начально-краевых задач теории упругости;

- метод Шварца, основанный на декомпозиции области;

- теория параллельных вычислений, разработка программного интерфейса обмена сообщениями в стандарте MPI-2, с использованием новых возможностей параллельных коллективных обменов и ввода/вывода в среде MPI-2 I/O.

При разработке программного обеспечения для решения системы линейных алгебраических уравнений использовалась библиотека Intel®Math Kernel Library.

Тестирование разработанного алгоритма проводилось на серии сейсмогеологических моделей, включая реалистичную двумерную модель Gullfaks одного из районов Северного моря [35].

Защищаемые научные результаты:

1. Способ организации параллельных вычислений для численного моделирования сейсмических волн на основе декомпозиции области после применения преобразования JIareppa.

2. Алгоритмы численного моделирования сейсмических волн в двумерной неоднородной среде и их реализация в виде научно-исследовательской версии программного обеспечения.

Научная новизна. Личный вклад.

1. С использованием интегрального преобразования Лагерра с последующей декомпозицией области и аддитивного метода Шварца разработаны алгоритмы численного моделирования сейсмических волн.

2. Разработан научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения, допускающий одновременное моделирование сразу для нескольких разных источников и производить локальное измельчение сеток.

3. Проведена представительная серия численных экспериментов по изучению основных свойств алгоритма, таких как его сильная и слабая масштабируемость, скорость сходимости и др., а также по расчёту волновых полей для различных моделей среды, среди которых двумерная сейсмогеологическая модель одного из районов Северного моря - ОиМакз.

Теоретическая и практическая значимость.

Новый способ организации параллельных вычислений для численного моделирования сейсмических волн с использованием преобразования Лагерра, декомпозиции области и метода Шварца, и реализация разработанных на его основе алгоритмов в виде научно-исследовательской версии программного обеспечения, ориентированного на использование современных вычислительных систем с гибридной параллельной архитектурой, является вкладом в развитие программно-алгоритмических средств решения прямых задач сейсмики.

Детально исследованы свойства этих алгоритмов. В частности:

- показано, что метод Шварца обладает высокой скоростью сходимости для изучаемого класса задач;

- численно исследована слабая и сильная масштабируемости алгоритма и показано, что они составляют примерно 60-^-70%;

- рассчитаны волновые поля для различных двумерных моделей, среди которых реалистичная сейсмогеологическая модель одного из районов Северного моря - Ои^акз.

- для предложенного алгоритма организации локального измельчения сеток, при проведении численного моделирования в средах с локальными микронеоднородностями, проведены численные эксперименты, подтверждающие низкий уровень отражений от границы разных сеток;

- показано, что реализованный алгоритм, позволяющий проводить одновременное моделирование волновых полей сразу для многих (100 и более) источников, обеспечивает существенную экономию времени расчёта по сравнению с последовательным решением задачи для каждого источника в отдельности.

Апробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы известны научной общественности. Они докладывались и получили одобрение специалистов на 9 конференциях:

XLVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2009), VI Международной выставке и научном конгрессе "ГЕО-Сибирь-2010" (Новосибирск, 2010), Молодёжной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2010), Международном симпозиуме "Seismic waves in laterally inhomogeneous media VII" (Чешская Республика, Тепла, 2010), 20 Международной конференции по методам декомпозиции области "DD20" (США, Сан-Диего, 2011), XIV Всероссийской молодёжной конференции-школе с международным участием "Современные проблемы математического моделирования" (Новороссийск, 2011), Международной конференции по параллельному программированию "PARA 12" (Финляндия, Хельсинки, 2012), Международной молодёжной конференции-школе "Современные проблемы прикладной математики и информатики" (Дубна, 2012), Международной суперкомпьютерной конференции "Научный сервис в сети интернет: поиск новых решений" (Новороссийск, 2012); на научных семинарах Института нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения РАН и Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Результаты исследования по теме диссертации изложены в 10 научных публикациях, в том числе одна в ведущем научном рецензируемом журнале по перечню ВАК (Вычислительные методы и программирование) и 9 - в материалах российских и международных конференций и симпозиумов.

Благодарности.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.А. Чеверде за всестороннюю поддержку и постоянное внимание, а также д.ф.-м.н. Г.В. Решетовой, к.ф.-м.н. В.В. Лисице и к.ф.-м.н. С.А. Соловьёву за регулярные плодотворные обсуждения.

Автор выражает благодарность В.И. Самойловой за методические рекомендации и поддержку при подготовке диссертации.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Белоносов, Михаил Андреевич

Заключение

В настоящей работе предложен новый параллельный алгоритм моделирования сейсмических волн, основанный на отделении времени интегральным преобразованием Лагерра с последующим применением декомпозиции области и аддитивного метода Шварца. Полученные результаты позволяют определить потенциальные возможности организации параллельных вычислений для численного моделирования в трёхмерных средах с использованием этого алгоритма.

Установлено, что в предлагаемой реализации метод Шварца сходится с приемлемой скоростью, что выгодно отличает его от аналогичного подхода, ориентированного на работу в частотной области.

Показано, что разработанный на такой основе научно-исследовательский вариант программного обеспечения обладает весьма хорошей сильной и слабой масштабируемостью. Кроме того, продемонстрирована возможность локального измельчения сеток в разработанном алгоритме как в одномерном, так и в двумерном случаях.

Одним из основных преимуществ предложенного алгоритма является возможность организации одновременного вычисления волновых полей для нескольких положений и форм источника, что обеспечивает существенную экономию вычислительных ресурсов в сравнении с последовательным моделированием для каждого из источников.

Дальнейшее развитие этого алгоритма видится в реализации миграции в обратном времени. Более того, полученные результаты для локального измельчения сеток дают основание ожидать его эффективность при моделировании волновых полей в средах с локальными микронеоднородностями. При этом, несомненно, одним из вариантов оптимизации всего уже предложенного является разработка научно-исследовательского варианта программного обеспечения с привлечением графических процессоров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белоносов, Михаил Андреевич, 2012 год

1. Алексеев, A.C. Численное моделирование распространения сейсмических волн в радиально-неоднородной модели Земли / A.C. Алексеев, Б.Г. Михайленко // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 235. - № 1. -С. 46-49.

2. Василевский, Ю.В. Краткий курс по многосеточным методам и методам декомпозиции области / Ю.В. Василевский, М.А. Ольшанский -М.: Изд-во МГУ, 2007. 100 с.

3. Гилбо, Ж. Численное моделирование сейсмических волновых полей в двумерно-неоднородных упругих разномасштабных средах (карстовые включения) / Ж. Гилбо, Е. Ланда, Г.В. Решетова и др. // Технологии сейсморазведки. 2008. - № 3. - С. 19-28.

4. Годунов, С.К. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С.К. Годунов, А.Г. Антонов, О.П. Кирилюк Годунов и др. 2-е изд., перераб. и доп. Новосибирск: Наука, 1992. - 360 с.

5. Коновалов, А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры / А.Н. Коновалов Новосибирск: Наука, 1993. - С. 17-31.

6. Конюх, Г.В. Применение интегрального преобразования Лагерра при решении динамических задач сейсмики / Г.В. Конюх, Б.Г. Михайленко // Тр. ИВМиМГ СО РАН. Сер. Мат. моделирование в геофизике. 1998. -№5.-С. 106-123.

7. Костин, В.И. Конечно-разностный метод численного моделирования распространения сейсмических волн в трехмерно-неоднородных разномасштабных средах / В.И. Костин, В.В. Лисица, Г.В.

8. Решетова и др. // Вычислительные методы и программирование. 2011. — Т. 12.-№2.-С. 85-93.

9. Левченко, В.Д. Асинхронные алгоритмы как способ достижения 100% эффективности вычислений / В.Д. Левченко // Информационные технологии и вычислительные системы. 2005. - № 1. - С. 68-75.

10. Мацокин, A.M. Метод альтернирования Шварца в подпространствах / A.M. Мацокин, С. В. Непомнящих Изв. высш. уч. заведений. Математика, 1985. - Т. 29. - № 10. - С. 61-66.

11. Непомнящих, C.B. Метод альтернирования Шварца для вырожденной задачи Неймана / C.B. Непомнящих Вычислительные алгоритмы в задачах мат. физики. - Новосибирск, 1985. - С. 99-112.

12. Решетова, Г.В. Использование преобразования Лагерра для построения идеально подходящих поглощающих слоев без расщепления / Г.В. Решетова, В.А. Чеверда // Математическое моделирование. 2006. — Т. 18. -№ 10.-С. 91-101.

13. Свешников, В.М. О расчете интенсивных пучков заряженных частиц методом итераций по подобластям без налегания / В.М. Свешников // Прикладная физика. 2006. - № 3. - С. 49-57.

14. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин М.: Наука, 1974. - С. 203-243.

15. Фатьянов, А.Г. Метод расчёта нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах / А.Г. Фатьянов, Б.Г. Михайленко // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 301. - № 4. - С. 1024-1027.

16. Alford, R.M. Accuracy of finite-difference modeling of the acoustic wave equation / R.M. Alford, K.R. Kelly, D.M. Boore // Geophysics. 1974. -V. 39.-P. 834-842.

17. Bayliss, A. A fourth order accurate finite-difference scheme for the computation of elastic waves / A. Bayliss, K.E. Jordan, B.J. Lemesurier et al. // Bull. Seis. Soc. Am. 1986. - V. 76. - P. 1115-1132.

18. Baysal, E. Reverse time migration / E. Baysal, D.D. Kosloff, J.W.C. Sherwood//Geophysics. 1983.-N. 48.-P. 1514-1524.

19. Berenger, J.P. A perfect matched layer for the absorption of electromagnetic waves / J.P. Berenger // Journal of Comp. Physics. 1994. — N. 114.-P. 185-200.

20. Boore, D.M. Finite-difference methods for seismic wave propagation in heterogeneous materials / D.M. Boore // Methods in Computation Physics. -1972.-V. 11.-P. 1-37.

21. Calhoun, D.A. Logically Rectangular Grids and Finite Volume Methods for PDEs in Circular and Spherical Domains / D.A. Calhoun, C. Helzel // SIAM Review 50(4). 2008. - P. 723-752.

22. Carcione, J.M. A Chebyshev collocation method for the elastodynamic equation in generalized coordinates / J.M. Carcione, J.P. Wang // Comput. Fluid Dynamics. 1993. - V. 2. - P. 269-290.

23. Chan, T. Domain decomposition / T. Chan, T.P. Mathew // Acta Numerica. 1994. - V. 3. - P. 61-143.

24. Clement, F. Solution of the 3D Helmholtz equation by conjugate gradients / F. Clement, M. Kern, C. Rubin // In Copper mountain conference on iterative methods (USA, Denver, April 1-5, 1990 year). 1990.

25. Colella, P. Performance and scaling of locally-structured grid methods for partial differential equations / P. Colella, J. Bell, N. Keen, T. Ligocki, M. Lijewski, B. van Straalen // Journal of Physics: Conference Series. 78 012013. -2007.

26. Collino, F. Domain Decomposition Method for Harmonic Wave Propagation / F. Collino, S. Ghanemi, P. Joly // INRIA, Rapport de recherché. -1998.-N. 3473.-P. 4-24.

27. Collino, F. Application of the PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media / F. Collino, C. Tsogka//Geophysics.-2001. -V. 66. -N. 1,P. 294-307.

28. Collino, F. A Conservative Space-time Mesh Refinement Method for the 1-DWave Equation. Part 1: Construction / F. Collino, T. Fouquet, P. Joly // Numer. Math. -2003. V. 95.-P. 197-221.

29. Diaz, J. Energy Conserving Explicit Local Time Stepping for Second-Order Wave Equations / J. Diaz, M.J. Grote // SIAM Journal on Scientific Computing.-2009.-N. l.-P. 1985-2014.

30. Dryja, M. Domain decomposition algorithms with small overlap / M. Dryja, O.B. Widlund // SIAM, J. Sci. Comp. 15(3). 1994. - P. 604-620.

31. Haskell, N.A. The dispersion of surface waves in multi-layered media / N.A. Haskell // Bull. Seism. Soc. Am. 1953. - V. 43. - P. 17-43.

32. Holdberg, O. Computational aspects of the choice of operator and sampling interval for numerical differentiation in large-scale simulation of wave phenomena / O. Holdberg // Geophys. Prosp. 1987. - V. 35. - P. 629-655.

33. Jo, C.H. An optimal 9-point, finite-difference, frequency-space, 2D scalar wave extrapolator / C.H. Jo, C.S. Shin, J.H. Suh // Geophysics. 1996. -V. 61.-P. 529-537.

34. Joly, P. Analyse numerique d'une methode de raffinement de maillage espace-temps pour l'équation des ondes / P. Joly, F. Collino, T. Fouquet // INR1A, Rapport de recherché. 1998. - N. 3474. - P. 3-56.

35. Joly, P. An Error Analysis of Conservative Space-Time Mesh Refinement Methods for the One-Dimensional Wave Equation / P. Joly, J. Rodriguez // SIAM Journal on Numerical Analysis 43(2). 2005. - P. 825-859.

36. Karypis, G. A fast and high quality multilevel scheme for partitioning irregular graphs / G. Karypis, V. Kumar // SIAM J. on Scientific Computing. -1998.-V. 20.-N. 1.-P. 359-392.

37. Kelly, K.R. Synthetic seismograms: a finite-difference approach / K.R. Kelly, R. W. Ward, R. M. Alford et al. // Geophysics. 1976. - V. 41. -P. 2-27.

38. Konyukh, G.V. Integral Laguerre transform as applied to forward seismic modeling / G.V. Konyukh, B.G. Mikhailenko, A.A. Mikhailov // Bull, of the Novosibirsk Computing Center, series Mathematical Modeling in Geophysics. 1999.-V. 5.-P. 71-91.

39. Konyukh, G.V. Application of the integral Laguerre transforms for forward seismic modeling / G.V. Konyukh, B.G. Mikhailenko, A.A. Mikhailov // Journal of Computational Acoustics. 2001. - V. 9. - N. 4. - P. 1523-1541.

40. Korneev, V.I. Modelling of seismic waves propagation for 2D media (direct and inverse problems) / V.I. Korneev, V.I. Kostin, V.V. Kovalevsky et al. // Lecture Notes in Computer Sciences. 1997. - V. 1277. - P. 350-357.

41. Kosloff, D. Elastic wave calculations by the Fourier method / D. Kosloff, M. Reshef, D. Loewenthal // Bull. Seis. Soc. Am. 1984. - V. 74. - P. 875-891.

42. Kosloff, D. Solution of equations of dynamic elasity by a Chebyshev spectral method / D. Kosloff, A. Filho, D. Kessler // Geophysics. 1990. -V. 55.-P. 734-748.

43. Kwak, D.Y. Domain decomposition for model heterogeneous anisotropic problems / D.Y. Kwak, S.V. Nepomnyaschikh, H.C. Pyo // Numer. Lin. Alg. Appl. 2003. - N. 10.-P. 129-157.

44. Lysmer, B. A finite-element method for seismology / B. Lysmer, N. Drake // In Bolt B.A. Eds., Methods in computational physics, Seismology: Surface waves and Earth oscillations. 1972. - V. 11. - P. 181-216.

45. Marfiirt, K.J. Accuracy of finite-difference and finite-element modeling of the scalar and elastic wave equations / K.J. Marfiirt // Geophysics. -1984.-V. 49.-P. 533-549.

46. McCully, J. The Laguerre transform / J. McCully // SIAM Review. -1960.-V. 2.-N. 3.-P. 185-191.

47. McMechan, G.A. Determination of source parameters by wavefield extrapolation / G.A. McMechan // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1982. - V. 71. -P. 613-628.

48. McMechan, G.A. Migration by extrapolation of time-dependent boundary values / G.A. McMechan // Geophysical Prospecting. 1983. - V. 31. -P. 413-420.

49. Mikhailenko, B.G. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method / B.G. Mikhailenko, A.A. Mikhailov, G.V. Reshetova // Geophysical Prospecting. 2003. - V. 51. - P. 37-48.

50. Miller, K. Numerical analogs to the Schwarz alternating procedure / K. Miller//Numer. Math. 1965.-N. 7-P. 91-103.

51. Muller, G. The reflectivity method; a tutorial / G. Muller // Geophysics. 1985. - V. 58. - P. 153-174.

52. Nepomnyashchikh, S.V. Domain decomposition methods / S.V. Nepomnyashchikh // Radon Series Comput. Appl. Math. 2007. - N. 1. -P. 81-159.

53. Pissarenko, D. 3D finite-difference synthetic acoustic log in cylindrical coordinates: parallel implementation / D. Pissarenko, G. Reshetova, V. Tcheverda // J. of Computational and Applied Mathematics. 2010. - V. 234. -N. 6.-P. 1766-1772.

54. Plessix, R.E. A Helmholtz iterative solver for 3D seismic-imaging problems / R.E. Plessix // Geophysics. 2007. - V. 72. - N. 5. - SMI 85-SM194.

55. Robertsson, J. Viscoelastic finite-difference modeling / J. Robertsson, J. Blanch, W. Symes // Geophysics. 1999. - V. 64. - P. 1444-1456.

56. Schenk, O. Efficient sparse LU factorization with left-right looking strategy on shared memory multiprocessors / O. Schenk, K. Gartner, W. Fichtner // BIT. 2000. - V. 240. - N. 1. - P. 158-176.

57. Schenk, O. Sparse factorization with two-level scheduling in PARDISO / O. Schenk, K. Gartner // Proc. of the 10th SIAM Conf. on Parallel Processing for Scientific Computing. Portsmouth. 2001.

58. Schenk, O. Two-level scheduling in PARDISO: improved scalability on shared memory multiprocessing systems / O. Schenk, K. Gartner // Parallel Computing. -2002. -N. 28. P. 187-197.

59. Stekl, I. Accurate viscoelastic modeling by frequency-domain finite-difference using rotated operators / I. Stekl, R.G. Pratt // Geophysics. 1998. -V. 63.-P. 1779-1794.

60. Tal-Ezer, H. An accurate scheme for seismic forward modeling / H. Tal-Ezer, D. Kosloff, Z. Koren // Geophys. Prosp. 1987. - V. 35. - P. 479-490.

61. Thomson, W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid / W.T. Thomson // J. Appl. Phys. 1950. - V. 21. - P. 89-93.

62. Virieux, J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity -stress finite-difference method / J. Virieux // Geophysics 51(4). 1986. - P. 889-901.

63. Whitmore, D. Iterative depth migration by backward time propagation / D. Whitmore // 53rd Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts. 1983.-P. 382-385.

64. Zahradnik, J. Heterogeneous formulations of elastodynamic equations and finite-difference schemes / J. Zahradnik, E. Priolo // Geophysical Journal International 120(3). 1995. - P. 663-676.