Математическое моделирование столкновений частиц, приводящих к решениям уравнений Больцмана и Смолуховского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Галкин, Алексей Валерьевич

• Галкин, Алексей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галкин, Алексей Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ КИНЕТИКИ СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ.

1.1 Модели парных соударений частиц.

1.2. Примеры точных решений.

2. ДВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТОЛКНОВЕНИЙ БИЛЬЯРДНЫХ ШАРОВ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЯМ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

2.1.Связь уравнений кинетики с уравнениями сплошной среды

2.2. Моделирование процесса столкновений в больцмановском газе.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗА, ОБРАЗУЮЩЕГО КОНДЕНСИРОВАННУЮ СТРУКТУРУ.

3.1. Введение.

3.2. Кинетическое уравнение.

3.3. Пространственно однородная модель. Дискретное фазовое пространство.

3.4. Пространственно однородная модель. Фазовое пространство а = Е„.

3.5. Пространственно неоднородная модель.

3.6. Аналитическое решение дискретной модели (3.2), (3.12).

3.7. Компьютерное моделирование дискретной модели (3.2, (3.12)

3.8. Переход от кинетического уравнения ортогональных столкновений к кинетическому уравнению Смолуховского.

3.9. Тестирование модели (3.34), (3.35), (3.36), (3.37) на примере ортогональных столкновений на сферах в трехмерном пространстве

3.10. Пространственно однородная модель. Непрерывное фазовое пространство =

3.11. Сферически симметричные аналитические решения уравнения (3.2), (3.19).

4. АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНОЙ КОАГУЛЯЦИИ.

4.1. Вычислительный эксперимент для пространственно однородной модели коагуляции на основе однократного розыгрыша пары взаимодействующих частиц.

4.2. Метод прямого моделирования медленной коагуляции, основанный на повторных розыгрышах пар взаимодействующих частиц.

4.3. Модель пространственно однородной медленной коагуляции.

4.4 Тестирование модели пространственно однородной медленной коагуляции.

4.5. Модель пространственно неоднородной медленной коагуляции.

4.6. Тестирование модели пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование столкновений частиц, приводящих к решениям уравнений Больцмана и Смолуховского»

Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений, связанных с кинетикой сталкивающихся частиц:

1. случай больцмановского газа, приводящий к пространственно однородному уравнению Смолуховского,

2. пространственно неоднородная коагуляция в дисперсных системах.

Для исследования данных явлений используется прямое моделирование на уровне отдельных молекул, основанное на методе Монте-Карло, аналитические и численные решения кинетических уравнений.

Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов парных соударений частиц, приводящих к кинетическим моделям Больцмана и Смолуховского.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения гидро- и газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы большинства современных технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента. Помимо внешних стимулов со стороны промышленности неослабевающий интерес к развитию вычислительной гидро- и газовой динамики поддерживается и внутренней логикой научного исследования этой интереснейшей с точки зрения развития механики, прикладной и общей математики проблемы .

Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.

Важность прямого математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и распределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитационного моделирования для последующего сравнения с точными решениями.

В настоящее время найдены точные решения уравнения Больцмана для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое моделирование процессов коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Целью данной работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и случая пространственно неоднородной коагуляции дисперсных систем.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для моделирования столкновений в больцмановском газе, а также ортогональных столкновений, когда функция распределения частиц по импульсам и энергиям подчиняется пространственно однородному уравнению Смолуховского.

2. Разработка, реализация алгоритма моделирования, создание программного обеспечения для расчета медленной пространственно неоднородной коагуляции частиц, описываемой уравнением Смолуховского.

3. Обоснование и выявление точности тестовых расчетов для прямого моделирования процесса парной коагуляции при сравнении с точными решениями.

Методами исследования являются:

1. Вычислительный эксперимент

2. Проведение тестирования вычислительного эксперимента

3. Разработка и обоснование математических моделей

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов с точными решениями.

2. Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

3. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования случая ортогональных соударений, приводящего к пространственно однородному и неоднородному уравнению Смолуховского.

4. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого моделирования процесса парных столкновений в пространственно однородном и неоднородном случае для больцмановского газа.

Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого моделирования.

2. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.

3. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.

4. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.

Практическая значимость работы состоит в следующем;

1. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования ортогональных соударений твердых сфер. Обоснована математическая корректность исследуемой модели, приводящей для сферически симметричных распределений в импульсном пространстве к кинетическому уравнению Смолуховского.

2. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции, приводящая к решениям классического уравнения Смолуховского.

3. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого моделирования процесса пространственно однородной и неоднородной парной коагуляции.

Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

1. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими уравнения Больцмана для максвелловских молекул.

2. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия и начальных данных в случае схемы медленной коагуляции.

3. Математическая модель газа, приводящего к уравнениям Смолуховского.

4. Алгоритм прямого моделирования и программная реализация на ЭВМ математической модели газа с ортогональными столкновениями молекул.

5. Алгоритм прямого моделирования и программная реализация на ЭВМ процесса пространственно неоднородной медленной коагуляции, приводящей к решениям уравнения Смолуховского.

Публикации. Основные публикации по теме диссертации:

1. Галкин A.B.Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру // Математическое моделирование, 2009, т. 21, с. 103—117. 2. Галкин A.B. Математическая модель динамики сливающихся частиц //X международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров, 2008, С. 52—54.

3. Галкин A.B. Моделирование процесса пространственно неоднородной коагуляции//Тезисы 4-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 17—18.

4. Galkin V.A., Galkin A.Y., Saveliev V.l. Mathematical simulation of dynamics in cluster systems of Boltzmann - Smoluchowski type//Abstracts of 20th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007, p. 67—70.

10

5. Галкин В.А., Галкин A.B. Метод Монте-Карло прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции// Труды 3-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 8—18.

6. Галкин A.B., Галкин В.А. Математическое моделирование роста агломератов// Сборник научных трудов, т. 29, Физико—математические и технические науки, 2008, с. 16—23.

7. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем// Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14, с. 11—24.

8. Галкин В.А., Галкина И.В., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкин А. В. Математическое моделирование процессов спекания порошковых материалов и роста агломератов//Труды Регионального Конкурса научных проектов в области естественных наук, Калуга, 2007, С. 42—56.

9. Галкин В. А., Галкин A.B. Математическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции. 2006, Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров—2006.

10. Galkin V.A., Galkin A.V. Quasilinear non—local Hopf—type equation describing clusters growth due to mutual connections between elements in the interacting couples of clusters// Abstracts of EQUADIFF—2007 , Vienna, Austria,

2007, p.52.

11. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разностный метод для решения уравнения Больцмана—Смолуховского //в сб. "Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук" , 2007, вып. 13, с. 46—50 .

12. Галкин А. В.,Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада// Труды международной конференции " Безопасность АЭС и подготовка кадров". Тезисы докладов X международной конференции, с. 119—120.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Семинар лаборатории Монте-Карло ускорителя на тяжелых ионах GSI г. Дармштадт, Германия, декабрь 2006 г.

2. 9-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2006 г.

3. Международная конференция «20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007», г. Обнинск, июль 2007 г.

4. 10-й Международный семинар «Математическое моделирование и супервычисления», Саров, 2008 г

5. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 100-летию И.Г.Петровского, г. Москва, май 2007 г.

6. Международная конференция «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 14-18 мая 2006, 2008 гг.

7. Научный семинар PIMM РАН под руководством проф. Е.И.Леванова, 2009 г.

Выполнение исследований в рамках настоящей работы было поддержано грантом РФФИ, код проекта 08-01-00338(А).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 118 страницах, в том числе основного текста 69 страниц, 4 рисунков, список литературы из 91 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Галкин, Алексей Валерьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе можно выделить следующие новые результаты:

1. Построена новая имитационная модель больцмановского газа, разработан алгоритм прямого имитационного для моделирования процесса столкновений молекул разреженного газа. Создана и протестирована компьютерная программа на ЭВМ для алгоритма прямого имитационного моделирования.

2. Проведено математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру, для которого получено новое кинетическое уравнение, переходящее в сферически симметричных по импульсам распределениях в кинетическое уравнение Смолуховского.

3. Исследована новая математическая модель процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах, приводящая к решениям пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для дискретных масс.

4. Разработан алгоритм прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах. Создана и протестирована вычислительная программа на ЭВМ на основе предложенного алгоритма.

5. Разработанные алгоритмы моделирования и вычислительная программа на ЭВМ могут быть использованы для математического моделирования роста трещин в структуре материалов, для моделирования уравнения состояния в кварк-глюонной плазме в международном эксперименте физики высоких энергий Compressed Baryonic Matter.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галкин, Алексей Валерьевич, 2009 год

1. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука. - 1978.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. -1978

3. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана. Под редакцией Д. Л. Либовица и Е. У. Монтролла. М.: Мир. - 1986

4. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. -М.: Мир. 1973.

5. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960.

6. Галкин В. А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции // Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, №8, С. 1460—1470.

7. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир. -1965.

8. Румер Ю.Б., Рыбкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука. Физматлит. - 1977

9. Больцман Л. Статьи и речи. М.: Наука. - 1970, 406 с

10. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. -М.: Наука. 1967

11. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике. М.: из-во МГУ. - 1999

12. Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука. - 1978, 264 с

13. Волощук В. М., Седунов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Л.: Гидрометеоиздат. - 1975

14. Смолуховский М. Опыт математической теории кинетики коагуляции коллоидных растворов // М.: ОНТИ, в кн: Коагуляция коллоидов. 1936. С. 7—39

15. Smoluchowski М. Drei Vortrage Über Diffusion, Brounsche Molekularbewengung und Koagulation von Kolloidteilchen // Phys. Zeits. XVII, 1916, P. 557—585 und 585—559

16. Мюллер X. Коагуляция коллоидов с частицами, имеющими форму «палочек» и «листочков», теория любых полидисперсных систем и коагуляция при течении // М.: ОНТИ, в кн: Коагуляция коллоидов. 1936, С. 74—98

17. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.: Гидрометеоиздат. -1984

18. Иванов И., Платиканов Д. Коллоиды. Л.: Химия. - 1975

19. Melzak Z. A. A scalar transport equation. 1 // Trans. Amer. Math. Soc, 1957, V. 85, P. 547—560

20. Melzak Z. A. A scalar transport equation. 2 // Michigan Math. J., 1957, V. 4, P. 193—206

21. Коган M. H. Динамика разреженного газа. M.: Наука. - 1967

22. Lang R., Xanh N.X. Smoluchowski's theory of coagulation in colloids holds rigorously in Boltzmann-Grad limit // Z. Wahrscheinlinchkeitstheorie verw. Gebiette, 54, 1980, 227—280

23. Бобылев А. В. О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 225, № 6, 1296—1299

24. Бобылев А. В.Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 3, 571—574

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика и электродинамика. М.: Наука, ФМЛ, 1969, 271 с

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч. 1 (Серия "Теоретическая физика", т. 5). М., 1976

27. Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. Теоретическая физика // М.: Наука, 1988, т.6

28. Бородин А. И., Бугай А. С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радяньска школа. - 1979

29. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1952, 685 с

30. Maxwell J.C. The Scientific letters of J.C.Maxwell. New York, Dover, 1965

31. Boltzmann L. Weitere Studien über das Warmgleichwicht unter gas molekulen // Ber. Acad. Wiss. Wien, GG V. 300, №6, 1872, P. 275—370

32. Smoluchowski M. v. Versuch Einer Mathematichen Theorie der Koagulationskinetik Kolloider Losungen // Z. physikalische Chemie, 92, 1917, 129—168

33. Джураев Т.Д., Тахиров Ж.О. Гиперболическая задача Стефана //Дифференциальные уравнения. 1994. т.ЗО. №5. с. 821-831

34. Диткин В. А, Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. - 1966

35. Добрушин Р.Л. Уравнения Власова // Функциональный анализ и его приложения, т. 13, вып. 2, 1979, с 48-58

36. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974, 304 с

37. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1953. Перевод с немецкого под редакцией Б.И.Давыдова. 554 с

38. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. - 112 с

39. Bellomo N., Toskani G. On the Cauchy problem for the nonlinear Boltzmann equation: global existence, uniqueness and asymptotic stability // J. Math. Phys., 1985, V. 26, №2, P. 334—338

40. Галкин В. A. , Осецкий Д.Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского// ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С.535-547

41. Галкин В. А., Галкин А.В. Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру// Математическое моделирование, 2009

42. Галкин В. А. Функциональные решения законов сохранения // ДАН СССР, 1990, Т. 310, №4, С. 834—839

43. Галкин В. А. Теория функциональных решений систем законов сохранения и ее приложения // М: из-во МГУ. Труды семинара им. И.Г.Петровского, 2000, Т. 20, С. 81—120

44. Warshaw М. Cloud droplet coalescence. Statistical foundations and one-dimensional sedimentation model // Journal of the Atmospheric Sciences, 1967, V. 24, P. 278—286

45. Berry E.X. Cloud droplet growth by collection // Journal of the Atmospheric Sciences, 1967, V. 24, P. 688—701

46. Головин A. M. К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации // ДАН СССР, 1963, Т. 148, №6, С. 1290— 1293

47. Головин A.M. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №5, С. 783—791

48. Головин A.M. О спектре коагулирующих облачных капель. 2 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №9, С. 1438—1447

49. Головин A.M. О кинетическом уравнении коагулирующих облачных капель с учетом конденсации. 3 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №10, С. 1571—1580

50. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: ИЛ.-1947

51. Muller H. Zar allgemeinen théorie cler rashen Koagulation // Kolloidchem. Beil., 1928, Bd 27

52. Сафронов B.C. Частный случай решения уравнения коагуляции // ДАН СССР, 1962, Т. 147, №1, С. 64—67

53. Сафронов B.C. Эволюция допланетарного облака и образование Земли и планет. М.: Наука. - 1969

54. Тихонов А.Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейных уравнений первого порядка // ДАН СССР, 1954, Т. 99, №1, С. 27—30

55. Багдасарова И. Р., Галкин В. А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Математическое моделирование, 1999, Т. 11, №6, С. 82—112

56. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения. / Под. ред. Марчука Г. И. М.: Атомиздат, 1967. - 255 с

57. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория переноса в газах. М.: Мир, 1976, 555 с

58. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979,512 с

59. Галкин В. А., Забудько М.А. Точные и численные решения уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Известия вузов. Ядерная энергетика, 2000, №1, С. 19—28

60. СВМ collaboration. Compressed Baryonic Matter Experiment Technical Status Report CBM experiment // January 2005, CBM collaboration. 423 P. http://www.Rsi.de-documents DOC-Feb-447-1 .pdf.url

61. Антонцев C.H., Кажихов A.B., Монахов B.H., Краевые задачи механики неоднородных жидкостей // Новосибирск-. Наука, Сиб. отделение АН СССР, 1983

62. Weber F. J.// Phys. G: Nucl. Part. Phys. 27 (2001) 465

63. Балеску P. Статистическая механика заряженных частиц. М. Мир. 1967

64. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.Т. 1. М.: «МИР», 1978. Перевод с английского под редакцией Д. Н. Зубарева и Ю. J1. Климонтовича 405 с

65. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: «МИР», 1981. Перевод с английского А.И.Ерофеева, А.Г.Фридландера, В.Е.Яницкого. Под редакцией О.М.Белоцерковского и М.Н.Когана. 319 с

66. Галкин В. А. О решении уравнения коагуляции с ядром Ф = ху // Метеорология и гидрология, 1984, №5, С. 33—39

67. Туницкий Н. Н. О коагуляции полидисперсных систем // ЖЭТФ, 1938, Т. 8, Вып. 4, С. 418—424

68. Галкин В. А. Методы решения задач физической кинетики. Обнинск: из-во ИАТЭ. - 1995, 171 с

69. Никольский А.А. Доклады АН СССР 1516 №2, №3 (1963)

70. Галкин В.С.Прикладная математика и механика, 1958, 226, №3

71. Галкин В. А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции// Математическое моделирование, 2006, Т. 16 е., 99-117

72. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften, Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917

73. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -336 с

74. Галкин В. А. Сходимость разностных схем и метода непосредственного моделирования к решениям уравнения Смолуховского кинетической теории коагуляции// Доклады РАН, 2004, 497, №1, с. 4-11

75. Галкин В. А. Обобщенное решение уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР, 1987, Т. 293, №1, С. 74—77

76. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1985, 320 с.

77. Галкин В.А., Галкин A.B.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

78. ГАЗА, ОБРАЗУЮЩЕГО КОНДЕНСИРОВАННУЮ СТРУКТУРУ // Математическое моделирование, 2009, 16 С.

79. Галкин A.B. Математическая модель динамики сливающихся частиц //X международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров, 2008, С. 52-54

80. Галкин A.B. Моделирование процесса пространственно-неоднородной коагуляции/ЛГезисы 4-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 17-18.

81. Galkin V.A., Galkin A.V., Saveliev V.l. Mathematical simulation of dynamics in cluster systems of Boltzmann-Smoluchowski type//Abstracts of 20-th International Conference on Transport theory, Obninsk, 2007, p. 67-70

82. Галкин B.A., Галкин A.B. Метод Монте-Карло прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции// Труды 3-й международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", 2008, С. 8-18.

83. A.B. Галкин, В.А. Галкин. Математическое моделирование процесса роста агломератов. // Сборник научных трудов СурГу. № 29, Физико-. математические науки, 2008, с. 16-23

84. Галкин В.А., Галкин A.B. Математическое моделирование пространственно неоднородной коагуляции. 2006, Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", Саров-2006.

85. Galkin V.A., Galkin A.V. Quasilinear non-local Hopf-type equation describing clusters growth due to mutual connections between elements in the interacting couples of clusters// Abstracts of EQUADIFF-2007, Vienna, Austria, 2007, p.52.

86. Галкин А. В.,Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада// Труды международной конференции " Безопасность АЭС и подготовка кадров". Тезисы докладов X международной конференции, с. 119-120

87. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14, 14 С.