Моделирование процессов переноса излучения и вещества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Рыжиков, Дмитрий Александрович

• Рыжиков, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыжиков, Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МОДЕЛИРОВАНИЕМ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА

ИЗЛУЧЕНИЯ И ВЕЩЕСТВА.

1.1 Исследование процесса коагуляции.

1.2 Классы корректности.

1.2.1 Задача Коши для уравнения Смолуховского с ограниченными ядрами.

1.2.2 Задача Коши для уравнения Смолуховского с неограниченными ядрами.

1.3 Разностный метод решения уравнения Смолуховского.

1.4 Имитационное моделирование.

1.5 Математическое моделирование переходного излучения

1.6 Выводы по главе.

2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССА КОАГУЛЯЦИИ.

2.1 Процесс коагуляции.

2.2 Подготовка начальных данных.

2.3 Имитационная модель процесса коагуляции.

2.4 Аналитические решения задачи Коши для уравнения Смолуховского.

2.5 Результаты тестирования имитационной модели.

2.6 Выводы по главе.

3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ.

3.1 Математическое моделирование переходного излучения » в физике высоких энергий.

3.2 Теоретическое обоснование.

3.3 Расчет плотности вероятности переходного излучения

3.4 Вывод формулы для периодической структуры.

3.5 Математическое моделирование.

3.6 Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов переноса излучения и вещества»

Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений переноса излучения и вещества:

1. пространственно однородная коагуляция в дисперсных системах;

2. движение заряженной частицы в средах с различными диэлектрическими свойствами.

Для исследования данных явлений используется имитационное моделирование, основанное на методе Монте-Карло [32, 47].

Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов переноса излучения в системах релятивистских заряженных частиц и процессов переноса вещества в дисперсных системах.

Актуальность темы диссертации определяется необходимостью тестирования и обоснования имитационного моделирования (на основе метода Монте-Карло) процессов переноса излучения и вещества в дисперсных системах и через границу раздела нескольких сред, испытывающих скачок диэлектрических и магнитных параметров на границе раздела.

Интерес к процессу переноса вещества (процесс коагуляции) [5, 98] обусловлен исследованиями в метеорологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Процесс коагуляции оказывает воздействие на рост кристаллов в растворах, рост газовых пузырьков и пор в твердом теле. Уравнение коагуляции было получено выдающимся польским физиком М. Смолуховским [46] в 1916 г. при исследовании эволюции слипающихся частиц в электролитах.

Явление коагуляции наблюдается в различных физических ситуациях: в растворах - броуновская коагуляция, при образовании капель дождя - гравитационная коагуляция.

Важность математического моделирования процесса коагуляции, основанного на применении уравнения Смолуховского, обусловлена тем, что существуют ситуации, когда у уравнения нет классического решения. Поэтому имитационное моделирование пространственно однородного процесса коагуляции имеет большое прикладное значение.

Актуальность исследования процессов переноса излучения (переходное излучение) [25, 75] обусловлена применением в полномасштабных натурных экспериментах детекторов переходного излучения для идентификации частиц. Процессы, описывающие возникновение переходного излучения, не включены в стандартное программное обеспечение физики высоких энергий, в частности GEANT3 - описание и моделирование детекторов и взаимодействий в физике высоких энергий.

В основе исследования процессов переноса излучения лежит работа В. JI. Гинзбурга и И. М. Франка 1945 года [75] о возникновении так называемого переходного излучения. Данная теория заложила основу теоретических и экспериментальных исследований в физике высоких энергий, связанных с возможностью идентификации ультрарелятивистских заряженных частиц и созданием детекторов переходного излучения. Детекторы переходного излучения применяются в крупномасштабных международных экспериментах в физике высоких энергий, одним из которых является эксперимент HERA-B - исследование CP-нарушения в системе В-мезонов на ускорительном кольце HERA.

Целью данной работы является разработка и реализация программного обеспечения для моделирования процессов переноса излучения и вещества в коагулирующих системах и системах релятивистских заряженных частиц, основанного на имитационном моделировании, и проведение вычислительного эксперимента.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. разработка и реализация алгоритма математической модели процессов коагуляции (слипания) частиц, описываемых уравнением Смолуховского;

2. исследование пределов аппроксимации по методу Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений типа Больц-мана;

3. обоснование и сравнение точности тестовых расчетов результатов имитационного моделирования процесса парной коагуляции с точными решениями;

4. создание программного обеспечения для моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов.

Методами исследования являются:

• вычислительный эксперимент;

• проведение тестирования вычислительного эксперимента;

• параллельные вычисления;

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Алгоритм имитационной модели процесса парной коагуляции в пространственно однородном случае.

2. Программная реализация алгоритма имитационной модели процесса парной коагуляции на персональном компьютере и на вычислительных кластерах.

3. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсив-ностей взаимодействия частиц и проведение сравнительного анализа полученных результатов.

4. Программное обеспечение для математического моделирования переходного излучения для релятивистских условий для крупномасштабного физического эксперимента.

5. Алгоритм и база данных для расчетов распространения переходj ного излучения в различных материалах.

Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом. На основе моделирования переходного излучения был смоделирован детектор для крупномасштабного эксперимента.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследована новая модель пространственно однородного процесса коагуляции в дисперсных системах, основанного на применении уравнения Смолуховского.

2. Создано программное обеспечение для моделирования процесса парной коагуляции на основе имитационного моделирования.

3. Обоснована математическая корректность исследуемой модели парной коагуляции.

4. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолухов-ского.

5. Исследована модель переходного излучения на основе асимптотического приближения для релятивистских условий.

6. Создано программное обеспечение для имитационного моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора.

7. Впервые получены результаты по исследованию математической модели переходного излучения для экспериментальных условий по исследованию CP нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

8. Впервые получены расчеты математического моделирования переходного излучения для экспериментальных исследований CP нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

9. Научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование CP-нарушения в системе Ь-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Важно отметить, что эксперимент HERA-B характеризуется следующими параметрами:

• сложной геометриеи системы;

• существенной неоднородностью параметров.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

• проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского, что дает более точное понимание смысла функции-решения уравнения Смолуховского;

• реализованная модель парной коагуляции в пространственно однородном случае может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также роста кристаллов;

• реализована математическая модель переходного излучения для периодического радиатора с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора;

• результаты моделирования использованы для расчета детектора переходного излучения для крупномасштабного международного эксперимента HERA-B.

Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

• алгоритм имитационной модели процесса коагуляции в пространственно однородном случае, программная реализация алгоритма;

• вычислительный эксперимент имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия;

• сравнительный анализ полученных данных, тестирование вычислительных экспериментов;

• детальное исследование модели переходного излучения для релятивистского приближения;

• программа расчета переходного излучения для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения;

• тестирование вычислительных экспериментов;

• анализ результатов, участие в экспериментальных исследованиях, математическом моделировании и анализе данных крупномасштабного эксперимента HERA-B.

Публикации. Основные-публикации по теме диссертации

1. HERA-В Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. -2003. - Volume 26, Number 3. -P. 345-355.

2. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) «7/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Physics Letters B. - 2003. - Volume 561, Issues 1-2. - P. 61-72.

3. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. - 2003. - Volume 29, Number 2. -P. 181-190.

4. Galkin V. A., Ryzhikov D. A. Mathematical simulation of cluster growth based on Vlasov - Liouville - Maxwell equations in media, possessing discontinuity of dielectric parameter // Proc. of 5-th Int. Conference "Single Crystal Growth and Heat & Mass Transfer" (ICSC 2003), Obninsk, September 22 - 26, 2003. - Vol. 2. - P. 592 - 601.

5. Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. - 2004. - № 2. - С. 118-125.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались диссертантом на следующих научных конференциях и семинарах:

• Международная конференции "Математические идеи П. JI. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания" , г. Обнинск, 14 - 18 мая 2002 г.

• Fifth International Conference "Single Crystal Growth and Heat & Mass Transfer" (ICSC 2003), Obninsk, Russia, September 22 - 26, 2003.

• Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", г. Саров, 6-11 октября 2003 г.

• Международная конференция "Математическое моделирование и высокопроизводительные вычисления", г. Обнинск, 28 - 30 января 2004 г.

• HERA-B Analysis Meeting, DESY, Hamburg, Germany, 26 November 2002.

• HERA-B Week, Glueball Working Group, DESY, Hamburg, Germany, August 27th 2003.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 142 страницах, в том числе основного текста 131страниц, 14 рисунков, список литературы из 104 наименованиях на 11 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рыжиков, Дмитрий Александрович

Основные результаты, полученные в данной главе, относятся к математическому моделированию переходного излучения для физических экспериментов, в частности для идентификации частиц высоких энергий.

Разработана математическая модель для расчетов переходного излучения на основе асимптотического приближения для релятивистских условий, переходного излучения в рентгеновской области в направлении, совпадающем с направлением движения заряженной частицы.

Создано программное обеспечение для моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе, включающее алгоритм генерации переходного излучения с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора, алгоритм распространения переходного излучения в материале радиатора и на выходе из него.

Получены данные математического моделирования для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения, характерных для физических экспериментов.

Научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование CP-нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Эксперимент HERA-B характеризуется сложной геометрией системы, существенной неоднородностью параметров. Тестирование данной модели показало, что отличие между моделированными спектрами и экспериментальными данными не превышает 5 - 10 %.

Экспериментальные результаты, полученные в данном эксперименте, представляют существенный вклад, в частности впервые получено сечение рождения b-мезонов на энергии 920 ГэВ, внесен значительный вклад в детальное исследование рождения «7/Ф.

Результаты представлены на коллаборационных собраниях эксперимента HERA-В.

• HERA-B Analysis Meeting, DESY, Hamburg, Germany, 26 November 2002.

• HERA-B Week, Glueball Working Group, DESY, Hamburg, Germany, August 27th 2003.

Результаты исследований опубликованы в реферируемых журналах

• HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. - 2003. - Volume 26, Number 3. - P. 345-355.

• HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) J/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Physics Letters B. - 2003. - Volume 561, Issues 1-2. - P. 61-72.

• HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. - 2003. - Volume 29, Number 2. -P. 181-190.

• Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. - 2004. - № 2, С. 118 - 125.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе рассмотрены вопросы применения имитационного моделирования, основанного на методе Монте-Карло, для исследования процессов переноса излучения и вещества в дисперсных системах и через границу раздела нескольких сред, испытывающих скачок диэлектрических и магнитных параметров на границе раздела. В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1. исследована новая модель пространственно однородного процесса коагуляции в дисперсных системах, в основе которого лежит уравнение Смолуховского. Обоснована математическая корректность исследуемой модели парной коагуляции. Разработан алгоритм исследуемой модели процесса коагуляции, основанный на имитационном моделировании, который был реализован на персональном компьютере и на вычислительных кластерах. Реализованная модель парной коагуляции в пространственно однородном случае может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также роста кристаллов;

2. проведен вычислительный эксперимент на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и проведен сравнительный анализ полученных результатов, выполнен бенчмарк вычислительных экспериментов. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского, что дает более точное понимание смысла функции-решения уравнения Смолуховского;

3. исследована модель переходного излучения, на основе асимптотического приближения для релятивистских условий, которая связана с возможностью идентификации ультрарелятивистских заряженных частиц и созданием детекторов переходного излучения;

4. создано программное обеспечение для имитационного моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора. Следует подчеркнуть однородность вычислительного алгоритма, что позволяет легко использовать данный алгоритм в различных экспериментах. Разработан алгоритм и база данных для расчетов распространения переходного излучения в различных материалах;

5. впервые получены результаты по исследованию математической модели переходного излучения для экспериментальных условий по исследованию CP нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Впервые получены расчеты математического моделирования переходного излучения;

6. научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование CP-нарушения в системе Ь-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Эксперимент HERA-В характеризуется сложной геометрией системы, существенной неоднородностью параметров. Тестирование данной модели показало, что отличие между моделированными спектрами и экспериментальными данными не превышает 5 - 10 %.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыжиков, Дмитрий Александрович, 2004 год

1. Аплин С. Дж., Савельев В. И. Моделирование переходного излучения для периодических и пространственно распределенных структур // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. - 2002. - № 1. - С. 103-114.

2. Багдасарова И. Р., Галкин В. А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Математическое моделирование. 1999. - Т. 11, № 6. - С. 82-112.

3. Болотовский Б. М. Путь формирования и его роль в излучении движущихся зарядов // Труды ФИАН. 1982. - Т. 140. - С. 95.

4. Волощук В. М., Седунов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. JI.: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

5. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского. М.: Наука. Физматлит, 2001. - 336 с.

6. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР. 1985. - Т. 285, № 5. -С. 1087-1091.

7. Галкин В. А. Обобщенное решение уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР. 1987. -Т. 293, № 1. - С. 74-77.

8. Галкин В. А. О решении уравнения коагуляции с ядром Ф = ху // Метеорология и гидрология. 1984. - № 5. - С. 33-39.

9. Галкин В. А. Решение уравнений, связанных с физической кинетикой // ДАН СССР. 1988. - Т. 298, № 1. - С. 1362-1367.

10. Галкин В. А. Функциональные решения законов сохранения // ДАН СССР. 1990. - Т. 310, № 4. - С. 834-839.

11. Галкин В. А. Итерационный метод решения одного класа эволюционных уравнений,связанных с физической кинетикой // ЖВМ и МФ. 1981. - Т. 21, № 2. - С. 385-399.

12. Галкин В. А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, № 8. - С. 1460-1470.

13. Галкин В. А. Об устойчивости и стабилизации решения уравнения коагуляции j j Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 10. - С. 1863-1874.

14. Галкин В. А. Методы расчета задач физической кинетики. Обнинск: из-во МИФИ, 1981. - 60 с.

15. Галкин В. А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. - № 20. - С. 81-120.

16. Галкин В. А. Сходимость разностных схем и метода непосредственного моделирования к решениям уравнения Смолуховского кинетческой теории коагуляции // Доклады РАН. 2004. -Т. 397, № 1.

17. Галкин В. А., Забудько М. А. Точные и численные решения уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Известиявысших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2000. - № 1.- С. 19-28.

18. Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2004. - № 2. - С. 118-125.

19. Галкин В. А., Тупчиев В. А. О разрешимости в среднем систем квазилинейных законов сохранения // ДАН СССР. — 1988. -Т. 300, № 6. С. 1300-1304.

20. Галкин В. А., Тупчиев В. А. Об асимптотическом поведении решения уравнения коагуляции // Труды института экспериментальной метеорологии. Сер. Физика нижней атмосферы. 1978.- вып. 1972. С. 31-41.

21. Гарибян Г. М., Чаликян Г. А. Излучение от заряженной частицы пересекающей пластину // ЖЕТФ. 1958. - Т. 35. - С. 1282.

22. Гарибян Г.М. Эффекты переходного излучения в энергетических потерях частицы // ЖЕТФ. 1959. - Т. 37. - С. 527 -533.

23. Гарибян Г. М., Геворкян JI. А., Янг С. Рентгеновское переходное излучение, образуемое в нерегулярной среде // ЖЕТФ. 1974.- Т. 66. вып. 2. - С. 552.

24. Гинзбург В. и Франк И. Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую // ЖЭТФ. 1946. - Т. 16, вып. 1. - С. 15.

25. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

26. Головин А. М. К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации // ДАН СССР. 1963. -Т. 148, № 6. - С. 1290-1293.

27. Головин А. М. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. -1963. № 5. - С. 783-791.

28. Головин А. М. О спектре коагулирующих облачных капель // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. - № 9. - С. 438-1447.

29. Головин А. М. О кинетическом уравнении коагулирующих облачных капель с учетом конденсации. 3 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. - № 10. - С. 1571-1580.

30. Горнов М. Г., Ильин A. JL, Печкуров В. А., Савельев В. И., Сергеев Ф. М. Устройство для измерения заряженных частиц. АС 1452345. 1988.

31. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971. - 328 с.

32. Зрелов В. П., Ружичка Я. Некоторые особенности оптического переходного излучения от частиц высоких энергий при наклонном падении // ОИЯИ. 1977. - Р1-10915.

33. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. Перев. с франц М.: ИЛ, 1960. - 120 с.

34. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 624 с.

35. Мартынов Г. А., Баканов С. П. О решении кинетического уравнения коагуляции // М.: Из-во АН СССР. В кн: Исследования в области поверхностных сил, 1961. С. 220-229.

36. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения / Под ред. Марчука Г. И. М.: Атомиздат, 1967. - 255 с.

37. Пафомов В. Е. Излучение от электрона пересекающего пластину // ЖЕТФ. 1957. - Т. 33. - С. 1074.

38. Пафомов В. Е. Излучение заряженной частицы при наличии границ раздела // Труды ФИАН. 1969. - Т. 44. - С. 28.

39. Повзнер А. Я. Об уравнении Больцмана кинетической теории газов // Матем. сборник. 1962. - Т. 58, № 1. - С. 65-86.

40. Рудин У. Функциональный анализ. Перев. с англ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

41. Савельев В. И. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в ядерно-физических исследованиях // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2002. -№ 1. - С. 89-102.

42. Савельев В. И. Математическое моделирование переходного излучения // Математическое моделирование. 2001. - Т. 14, № 11. - С. 93-112.

43. Сафронов В. С. Частный случай решения уравнения коагуляции // ДАН СССР. 1962. - Т. 147, № 1. - С. 64-67.

44. Сафронов В. С. Эволюция допланетарного облака и образование Земли и планет. М.: Наука, 1969. - 244 с.

45. Смолуховский М. Опыт математической теории кинетики коагуляции коллоидных растворов // М.: ОНТИ, в кн: Коагуляция коллоидов, 1936. С. 7-39.

46. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. - 311 с.

47. Степанов А. С. К выводу уравнения коагуляции // Труды ИЭМ.- 1971. вып. 23. - С. 3-16 .

48. Степанов А. С. Вывод уравнения коагуляции для броуновски движущихся частиц // Труды ИЭМ. 1971. - вып. 23. - С. 42-64.

49. Степанов А. С. Кинетическое уравнение диффузионного роста капель // Изв. АН СССР , Физ. атмосферы и океана. 1972. -Т. 8, № 8. - С. 853-865.

50. Тер-Микаэлян М. JI. Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях. Ереван, 1969.

51. ТУницкий Н. Н. О коагуляции поли дисперсных систем / / ЖЭТФ.- 1938. Т. 8, вып. 4. - С. 418-424.

52. Тупчиев В. А. Об асимптотических свойствах решения уравнения коагуляции // Труды ИЭМ. 1971. - вып. 23. - С. 17-27.

53. Филиппов А. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями // Мат. сб. 1960. - Т. 51, № 4. -С. 101-128.

54. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. Перев. с англ. М.: ИЛ, 1947. - 168 с.

55. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. Перев. с англ. М.: Мир, 1973. - 250 с.

56. Andronic A. Transition Radiation Detector study // GSI note, 2000.

57. Apostolakis J., Giani S., Maire S., Bagulya A. V., Grichine V. M. Parametrization Models for X-ray transition Radiation in the GEANT4 package // Сотр. Phys. Comm. 2000. - 132.

58. Aplin S. J., Egorytchev V., Saveliev V. Particle Identification via Transition Radiation and Detectors // Nucl. Instr. and Meth. A. -2000. V. 453, № 1-2. - P. 346-352.

59. Appuhn R. D., Lange E., Oedingen R., Paul E. Monte Carlo Simulation of Transition Radiation and S electrons // BONN-HE-88-02. 1988.

60. Artru X., Yodh G. В., Mennesier G. Practical theory of the multilay-ered transition radiation detector // Phys. Rev. D. 1975. - V 12, № 5. - P. 1289-1306.

61. Bass F. G. and Yakovenko V. M. Theory Of Radiation from a Charge Passing through an Electrically Inhomogeneous Medium // Usp. Fiz. Nauk. 1965. - Vol 8. - P. 420.

62. Berry E. X. Cloud droplet growth by collection // Journal of the Atmospheric Sciences. 1967. - V. 24. - P. 688-701.

63. Besfamilnov S., Dolgoshein В., Saveliev V., Romaniouk A. Transition Radiation Detectors for HERA-B experiment // HERA-B 93-001, DESY. 1993.

64. Brun R., Bruyant F. McPherson A. C., Zanarini P. GEANT Detector Description and Simulation Tool // DD/EE/84-1, CERN. -1987.

65. Castellano M. et al., IEEE Particle Accelerator Conference (РАС 99), New York, NY, 29 Mar-2 Apr 1999.

66. CERN CERN Programm Library. CERN, CN Division.

67. Cherry M. L., Hartman G, Muller D., Prince T. A., Transition radiation from relativestic electrons in periodic radiator //Phys. Rev. D.- 1974. V 10, № 11. - P. 3594-3607.

68. Cherry V. L. Measurements of the spectrum and energy dependence of x-ray transition radiation // Phys. Rev. D. 1978. - V. 17, № 9.- P. 2245-2260.

69. Chin E. H. C., Neifurger M. A. A numerical simulation of gravitational coagulation process for cloud droplets // Journal of the Atmospheric Scienses. 1972. - V. 19. - P. 718-727.

70. Dolgoshein B. Transiotion Radiation Detectors and Particle Identification // Nucl. Instr. and Meth. A. 1986. - V. 252, № 2-3. -P. 137-144.

71. Ducors Y., Feinstein F., Hubburd J. R., at al. Monte Carlo simulation of the Performance of the DO Transitio Radiation Detector // Nucl. Instr. and Meth. A. 1989. - V. 277, № 2-3. - P. 401-406.

72. Durand L. Transition Radiation from Ultrarelativistic particles // Phys. Rev. D. 1975. - V. 11, № 1. - P. 89-105.

73. Egorytchev V., Saveliev V. Monte Carlo Simulations of Transition Radiation and Electron Identification for HERA-B // Preprint ITEP.- 1999. № 11.

74. Frank I. and Ginzburg V. Radiation of a uniformly moving electron due to its transition from one medium into another // Journ. Phys. USSR 1945. - Vol 9. - P. 353.

75. Frank I. M. Transition Radiation and Optical Properties of Matter // Soviet Physics Uspehi. 1966. - V. 8, № 5. - P. 729.

76. Galkin V. A. Convergence and numerical stability of approximate methods for conservation laws // World Scientific Publishing Co. International Journal of Modern Physics C. 1994. - V. 5, № 2. -P. 207-214.

77. Garibian G. M. Contribution to the theory of transition radiation // Sov. Phys. JETP. 1958. - V. 6. - P. 1079.

78. Garibian G. M. Transition Radiation Effects in Particle Energy Losses // Sov. Phys. JETP. 1960. - V. 10. - P. 372.

79. Garibian G. Radiation from a Charged particle Traversing a Layered Medium // Sov. Phys. JETP. 1986. - V. 35(8), № 6. - P. 1003.

80. Ginzburg V. L. and Tsytovich V. N Several problems of the theory of transition radiation and transition scattering // Phys. Rep. 1979. - V.49, № 1. - P. 1-89.

81. Hall A. On an experiment determination of it // Messeng. Math. -1873. 2. -P. 113-114.

82. Maziotta M. N. A Monte Carlo Code for Full Simulation of a Transition Radiation Detector // Comput. Phys. Comm. 2000.

83. Melzak Z. A. A scalar transport education // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. - V. 85. - P. 547-566.

84. Melzak Z. A. The effect of coalescence in certain collision processes // Quart. Appl. Math. 1953. - V. 2, № 2. - P. 231-234.

85. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method // J. Amer. Stat. Assoc. 1949. - V. 44, № 247. - P. 335-341.

86. Morgenstern D. Analytical studies related to the Maxwell-Boltzmann equation // Journal of Rational Mechanics and Analysis. 1955. -V. 4. - P. 533-554.

87. Muller H. Zar allgemeinen theoric cler rashen Koagulation // Kol-loidchem. Beil. 1928. - Bd 27.

88. NIST XCOM Photon Cross Sections Database // http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html

89. Rule D. W. Transition Radiation Diagnostics for Intanse Charged Particle Beams // Nucl. Inst, and Meth. B. 1987. - V. 24-25. -P. 901.

90. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // Eur. Phys. J. C. 2003. - V. 26, № 3. - P. 345-355.

91. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) J/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Phys. Lett. B. 2003. - V. 561, № 1-2. - P. 61-72

92. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // Eur. Phys. J. C. 2003. - V. 29, № 2. - P. 181-190.

93. Saveliev V. The HERA-B Transition Radiation Detector // Nucl. Instr. and Meth. A. 1998. - V. 408, № 1. - P. 289-295.

94. Saveliev V. Monte Carlo Simulations of Transition Radiation for High Energy Physics // Proceedings of the International Conference on Computing in High Energy Physics, Berlin. 1997.

95. Saveliev V. HERA-B Transition Radiation Detector Simulation and Reconstruction // Proceedings of the International Conference on Computing in High Energy Physics, Chicago. 1998.

96. Smoluchowski M. Drei Vortrage iiber Diffusion, Brounsche Moleku-larbewengung und Koagulation von Kolloidteilchen // Phys. Zeits. XVII. 1916. - P. 557-585 und 585-559.

97. Smoluchowski M. Versuch Einer Mathematichen Theorie der Koagu-lationskinetik Kolloider Losungen // Z. physikalische Chemie. 1917. - 92. - P. 129-168.

98. Tartar L. Compensated compactness and applications to the partial differential equations // Res. Notes in Math. 1979. - № 39. - P. 136212.

99. Versilov V. A. Transition Radiation in the Pre-wave Zone // LNF-99/018, INFN. 1999.

100. Warshaw M. Cloud droplet coalescence. Statistical foundations and one-dimentional sedimentional model // Journal of the Atmospheric Sciences. 1967. - V. 24. - P. 278-286.

101. Wartski L. et al. Interference Fenomenon in optical Transition Radiation and its application to Particle Beam Diagnostics and Mul-tiplescattering measurements // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1975. -V. 22. - P. 1552.

102. Wartski L., Roland S., Lasalle J., Bolore M., Fillipi G. Detection of Optical Transition Radiation and its Application to Beam Diagnostic // IEEE Trans. Nucl Sci. 1973. - V. 20. - P. 544.