Имитационное моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Здоровцев, Павел Александрович

• Здоровцев, Павел Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Здоровцев, Павел Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Обзор исследований, связанных с математическим моделированием коагуляции

Глава 2. Математическое моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции

2.1. Модель Смолуховского пространственно неоднородной коагуляции

2.2. Имитационная модель коагуляции

2.3. Моделирование явлений пространственного переноса

2.4. Разностный метод для приближенного решения задачи Коши

2.5. Построение модели взаимодействия различных типов радиационных

дефектов на основе уравнения Смолуховского

2.6. Связь задачи Коши для уравнения Смолуховского и бесконечномерных систем линейных дифференциальных уравнений

Глава 3. Вычислительные эксперименты, обосновывающие корректность модели пространственно неоднородной медленной коагуляции

3.1. Тестирование модели пространственно неоднородной медленной коагуляции

3.2. Моделирование рост радиационно-индуцированных дефектов

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Имитационное моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции»

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время, многие исследователи направляли свои усилия на изучение физических, механических и химических свойств дисперсных сред, изменяющихся под воздействием сторонних факторов. К ним относятся: растворы, кристаллизующиеся по достижении пресыщения, конструкционные материалы, в которых после облучения возникают дефекты структуры, биологические ткани, изменяющие состав под влиянием внешних факторов и радиации на уровне клеток и ДНК. Все перечисленные области исследований имеют большую практическую ценность. Работа над получением бездислокационных кристаллов из растворов с определёнными свойствами, полученными в результате анализа и моделирования, позволяет получать новые данные о процессах, протекающих в этих средах.

Ведутся работы над составом конструкционных материалов, исследователи пытаются достичь оптимальных составов для увеличения прочности и срока службы при экстремальных условиях. Не менее важно изучение и сбор данных о процессах в тканях организма, вызванных облучением радиацией для лечения «лучевой болезни», или же, напротив, для лечения при онкозаболеваниях. Математическое моделирование при изучении вышеназванных процессов является ключом к пониманию механизмов протекания процессов, позволяя изучить их детально и глубоко. Оно даёт возможность изучать влияние различных факторов на системы, анализировать информацию о них, определять параметры систем, в которых те протекают, получать данные о ходе процессов без высоких материальных и временных затрат.

Моделирование — это один из мощнейших способов познания мира. При его использовании исследуется не исходный объект, а упрощенный, с выделенными необходимыми для исследования свойствами. Такой объект называется моделью.

Цель моделирования - прогноз поведения процесса в системе. Оно даёт возможность с минимальными затратами воссоздать процессы оптимизации и выявить оптимальные критерии.

Существует два вида процесса моделирования: математическое и физическое моделирование.

При физическом (натурном) моделировании анализируемая система заменяется другой, подобной материальной системой, воспроизводящей свойства исходной системы с сохранением их физических свойств. Однако возможности применения натурного моделирования ограничены. Оно даёт возможность решать отдельные задачи при задании некоторого количества известных сочетаний исследуемых параметров системы, что позволяет серьезно упростить задачу. Проверка на практике множества различных типов условий затратна не только физически и отнимает много времени, но и вызывает немалые материальные затраты.

Для многих важных областей исследований физический эксперимент невозмножно провести, в силу того, что он или запрещён (если несет вред здоровью), или слишком опасен (в экологии), или же его невозможно провести в реальных условиях (астрофизика).

Математическое моделирование предпочтительнее в большинстве случаев, так как лишено этих недостатков. Математическая модель — это совокупность формул, неравенств, уравнений, логических условий, полученных в результате изучения закономерностей изменения состояния

системы, зависимости ее параметров от различных факторов. Это формулы или системы уравнений, наборы правил, выраженные в математической форме.

Особый класс математических моделей - это имитационные модели. Эти модели строятся на базе эмпирических представлений о явлении и реализуются в форме программ для ЭВМ, пошагово воспроизводя события, происходящие в реальности. Главное преимущество имитационных моделей - возможность ускорения процессов, реально протекающих в системе. В результате работы имитационной модели формируется детальная статистика обо всех протекающих событиях и, как результат - о наиболее необходимых для работы характеристиках.

Относительно дефектов кристаллов можно чётко выделить несколько методов компьютерного моделирования, разделив их на два основных направления: аналитическое и имитационное моделирование.

Аналитическое моделирование позволяет с помощью математических законов для связи объектов системы получать более точное решение.

Основная задача аналитического моделирования состоит в решении уравнений и сравнения полученных результатов с полученными на практике данными. Несомненными достоинствами этого способа являются возможность многократного использования, общность для многих типов задач, а при наличии явных зависимостей между начальными условиями и переменными системы можно провести наиболее полное исследование системы. Для поставленных задач данного направления предпочтительно использовать следующие методы решения:

• Метод молекулярной динамики используется при решении задач о движении отдельных атомов, когда каждый атом описывается как

материальная точка, обладающая массой, при взаимном воздействии друг на друга атомов, инерциальных и внешних сил, действующих на твёрдое тело, в которое и входят изучаемые атомы;

• Вариационный метод используется в целях поиска устойчивого или неустойчивого равновесия атомов.

Другое направление, быстро развивающееся, благодаря росту мощности вычислительной техники, имитационное моделирование, позволяет принимать в расчёт случайные воздействия и другие сторонние факторы, создающие трудности при аналитическом исследовании. Данная модель позволяет проводить эксперименты, изменяя при этом условия протекания процесса, и подобрать условия, при которых результат будет удовлетворять поставленным требованиям. Имитационное моделирование происходит при помощи компьютера (ЭВМ) и позволяет воспроизвести процесс функционирования системы во времени, имитируя явления, сохраняя их логическую структуру. Методом для построения подобных моделей, например, является метод Монте-Карло, названный так по аналогии с розыгрышем в казино. Суть этого метода в многократном розыгрыше некоей случайной ситуации.

Любое физическое явление можно рассмотреть как вероятностное и уподобить его случайному процессу, протекающему по времени. Всё явление раскладывается на простые компоненты до такой степени, пока не будет выделено некоторое элементарное событие, для которого уже имеются все необходимые вероятностные характеристики. Далее следует прогонка элементарных событий, полученных на предыдущем шаге, производится частотный анализ, с помощью данных которого можно вычислить апостериорные характеристики.

В данной работе рассматриваются созданные автором имитационные модели в трёхмерном пространстве. Помимо того, что учитываются все возможные факторы, способные повлиять на систему, возможно при необходимости ввести дополнительные объекты, которые также могут повлиять на ход процессов системы.

Целью диссертационной работы является совершенствование математических моделей и вычислительных алгоритмов, позволяющих реализовать численное решение уравнения коагуляции Смолуховского методом прямого статистического моделирования, а также разработка соответствующего программного обеспечения.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

• Разработка математической модели пространственно неоднородной

медленной коагуляции;

• Создание вычислительного алгоритма имитационного моделирования

динамики коагуляции дисперсных систем;

• Разработка программного обеспечения для моделирования

пространственно неоднородной медленной коагуляции;

• Реализация вычислительных экспериментов для обоснования

корректности предложенной модели.

Объектом исследования являются процессы пространственно неоднородной медленной коагуляции, наблюдаемые в различных физических задачах, в т.ч. при образовании трещин за счет взаимных слияний в материалах ядерных энергетических установок.

Предметом исследования являются модели коагуляции, основанные на методе прямого моделирования на уровне отдельных молекул.

Методы исследования и используемый инструментарий:

• Элементы математического анализа;

• Теория вероятностей и математическая статистика;

• Численные методы и методы системного программирования.

• Вычислительный эксперимент.

Научная новизна заключается в том, что в результате проведенных исследований решена новая задача поиска численного решения уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса.

• Создана новая математическая модель медленной коагуляции для произвольных скоростей пространственного переноса, адекватно описывающая процессы пространственно неоднородной коагуляции и согласующаяся с известными аналитическими решением уравнения Смолуховского, а также решениями по разностной схеме;

• Обоснована корректность разработанной математической модели медленной пространственно неоднородной коагуляции;

• Разработан алгоритм имитационного моделирования, основанный на стохастическом описании явлений коагуляции дисперсных частиц, позволяющий существенно сократить время моделирования на тестовых примерах, изученных ранее;

• Разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм имитационного моделирования, позволяющее обеспечить распараллеливание вычислений, визуализацию результатов.

В отличие от исследований, проведенных ранее И.Г. Багдасаровой [2], Д.Ю. Осецким [40] и A.B. Галкиным [29], в данной работе рассматривается модель пространственно неоднородной медленной коагуляции, что определяет вид ядра в уравнении Смолуховского и, соответственно, специфику динамики процесса коагуляции. Кроме того, в ранее опубликованных работах В.А. Галкина накладывалось дополнительное условие на целочисленность скоростей свободного переноса, что не требуется для модели, предложенной в данной работе. Необходимо также отметить, что алгоритм моделирования, разработанный в настоящем диссертационном исследовании, в отличие от ранее изученных [19] позволяет проводить моделирование процесса коагуляции по полному спектру координат без разбиения пространства на ячейки, что обеспечивает сокращение времени вычислений и возможность распараллеливание вычислений.

Основные положения, выносимые автором на защиту:

• Новая математическая модель, описывающая динамику пространственно неоднородных коагулирующих систем для произвольных скоростей пространственного переноса;

• Обоснование корректности разработанной модели динамики пространственно неоднородной медленной коагуляции;

• Новый метод имитационного моделирования пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Соответствие диссертации области исследования специальности

Диссертационная работа соответствует следующим областям

исследований паспорта специальности 05.13.18 «Математическое

моделирование, численные методы и комплексы программ»:

9

• Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ.

• Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

• Разработка систем имитационного моделирования.

Теоретическая значимость работы:

Проведенные исследования развивают теорию математического моделирования в части поиска численных решений уравнения коагуляции Смолуховского для нового типа задач: пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса. В работе сформулированы и доказаны теоремы о:

• существовании решения задачи Коши для уравнения Смолуховского при любом наборе скоростей свободного переноса.

• устойчивости разностной схемы в равномерной метрике, аппроксимации и сходимости к гладким неотрицательным решениям задачи Коши для уравнения Смолуховского.

Практическая ценность работы:

• Проведен детальный анализ соответствия результатов прямого статистического моделирования и численных решений, полученных с помощью известных разностных схем, что позволяет точнее понимать смысл решения классического уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородных дисперсных систем;

• Реализованная модель имитационного моделирования может быть использована для моделирования динамики коагуляционных процессов в случае пространственной неоднородности;

• Разработано программное обеспечение, основанное на алгоритме прямого моделирования, может быть использовано для моделирования различных явлений коагуляции, в т.ч. для описания динамики роста трещин в материалах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математическим обоснованием предлагаемых моделей, алгоритмов, а также удовлетворительным согласованием результатов моделирования с обоснованными вычислениями по разностной схеме. Программное обеспечение, разработанное для реализации алгоритма, зарегистрировано Федеральной службой по интеллектуальной собственности 06.07.2012 года.

Личный вклад автора состоит в разработке усовершенствованной модели коагуляции, основанной на стохастическом описании явлений взаимодействия дисперсных частиц с повторным выборам коагулирующих элементов, разработке алгоритмов, описанных в главах 2 и 3, а также их практической реализации в виде программного продукта, разработанного на базе кафедры прикладной математики Обнинского института атомной энергетики НИЯУ МИФИ.

Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию, получены автором лично.

Апробация работы

Полученные в ходе диссертационного исследования результаты были доложены на семи российских и международных научных конференциях и семинарах:

1. Научный семинар «Проблемы современной математики» кафедры №31 «Прикладная математика» Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» под руководством лауреата Государственной премии СССР, заслуженного деятеля науки РФ, профессора, д.ф.-м.н. Н.А. Кудряшова, май 2013 г., г. Москва;

2. XV международная конференция молодых ученых и студентов «Молодежь и наука», декабрь 2011, г. Москва;

3. V международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2011, г. Обнинск.

4. XI международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2010, г. Саров;

5. X международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2009, г. Саров;

6. XI международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», Сентябрь 2009, г.Обнинск;

7. IV международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2008, г. Обнинск.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, содержащего 63 наименования. Объем диссертационной работы составляет 84 страницы.

По теме исследования опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 публикации в рецензируемых научных журналах из списка ВАК. Получено

свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012616213.

ГЛАВА 1

ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ КИНЕТИКИ СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ

Модели сложных систем, включающих значительное количество частиц, таких как плазма, дисперсные системы, разреженные газы, и имитаторы сплошных сред строятся в соответствии с основными законами, известными, как законы сохранения. Большая часть исследований, проводящихся в настоящее время и связанных с этими законами, заключаются в определении правильности и актуальности задач для систем нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений

х<=Шп, ¿>0, йеЦ

где / = {/(<и)} - неизвестная вектор-функция, вид потоков и источника 5 считаются заданными свойствами выбранного процесса, -

пространственные координаты, г - время, о — параметры, нумерующие уравнения.

Данные функции можно использовать в решении вопросов,связанных с гидродинамикой, газодинамикой, физической кинетикой и т.д.

В данной системе законов (1.1) берутся такие начальные данные:

/и=/0, хеМ„, со еП, (1.2)

Задача (1.1), (1.2) называется пространственно однородной, если она рассматривается в классе решений /, не зависящих от пространственных

переменных х. В этом случае функция / является решением более простой задачи

= t>О, соеП, (1.10)

от

/и=/о (1.20)

Исторически сложилось, что для сложной системы уравнений (1.1), совместно с актуальностью и правильностью, не последнее место по значимости занимают основные вопросы нелинейной математической физики, такие как докозательство и защита приближенных методов, используемых при нахождении верных ответов, удовлетворяющих условиям поставленной задачи. И тут мы сталкиваемся с вопросами обозначения понятия нахождения и определения функциональных пространств, в которых как раз и просматривается сходимость приближенных методов. Труднорешаемыми эти вопросы становятся, когда нелинейные операторы и 5 в уравнениях (1.1), (1.10) имеют разрыв, то есть появляется

возможность неразрешимости задачи Коши среди множества решений, при выполнении условия: г > О.

Развитие моделируемых систем, включающих значительное число частей, движущихся хаотично и сталкивающихся между собой, задается точечно с помощью уравнения Больцмана (кинетическое уравнение)

д/^(х,0 = (1.3)

&

сое О, /еЕ*, хеЕя,

где искомая функция / описывает состояния сложной системы в каждый момент времени />0 в точке, координаты которой задаются переменной

х = {хх,х2,...,хп)Величины у(<а) еМ„ определяют скорость движения частиц, входящих в моделируемую систему в промежутках между столкновениями, т.е. скорость свободного переноса.

Значения множества О = {со} могут быть конечными или бесконечными (можно считать метрическими локально компактными счетно-конечными пространствами, однако, когда ш - некоторый завершенный набор значений, то за П закрепляется дискретная метрика).

Функции (1.1), (1-10), (1.3) задаются при попытках моделирования сложных процессов, которые характеризуют соотношение баланса и выполняются при взаимодействии некоторых частей выбранной моделируемой системы (например, микро капли в аэрозольном облаке, молекулы инертного газа и т.д. В каждый момент времени г описание состояния моделируемой ситуации задается при помощи вектора / -изначально, неизвестная, то, что требуется найти. Далее задаются операторы столкновений £ и операторы потоков {.£}}, для полученных ранее уравнений

(1.1), (1.10), (1.3) искомые данные определяет характер изучаемого процесса. Обычно, рассматриваемые операторы нелинейные - то есть мы можем зафиксировать наличие связей между частями смоделированного объекта. Все эти проблемы и возникающие сопутствующие вопросы значительно повышают сложность изучения указанных математических задач.

Функция (1.3) входит в уравнение, в общем виде, которое можно отнести к уравнениям больцмановского типа

= 0), (1.4)

ог

где а>е£1, - независимые аргументы. Данное уравнение в общем

16

случае можно отности к полулинейным законам сохранения. Главная особенность уравнений, составленных на подобие больцмановских, дается далее через оператор Я, который в кинетике определяется, как оператор столкновений (устанавливаются дополнительные ограничения).

Ь- линейный оператор, задающийся для группы или полугруппы с одним параметром и моделирующий свободный перенос частиц (движутся хаотично, но без столкновений) как результат действия линейных преобразований т,, заданных для функции / - группе частиц на П. Принято считать, что Ь - дифференциальный оператор дивергентного вида, значения которого можно приравнять к дивергенции заданного векторного поля, однако, в некоторых случаях Ь - линейный интегральный дифференциальный оператор. Такое явление можно наблюдать при рассмотрении марковских моделей спонтанного распада частиц и их конденсационного роста (например, соединение более мелких капель в более крупные (адгезия) в облаках).

Оператор столкновений 5 имеет ограничения, связанные, в большинстве своем, с невозрастанием нормы решения в ц, со свойствами постоянства, с тем, что решения / должны быть положительными (эти решения характеризуют распределение частиц во всех возможных состояниях исследуемой системы).

Решением уравнения Больцмана /О,*,/) является функция распределения для одной частицы. В пространственно-неоднородной модели осуществляется связь с плотностью вероятности р(у,х,г) выявления частицы в некоторый момент времени / в заданном объеме ¿ухсЬс фазового пространства^ =м3хм3 посредством соотношения:

/(V, х, 0 = С(т, лг, У)*р(у, X, О,

где т — масса молекулы, N — число молекул в исследуемой модели системы, V - весь объем, занимаемый газом. А значит, функция у характеризует плотность вероятности регистрации молекулы в фазовом бти-мерном пространстве, состоящего из декартового произведения 3-х-мерных координат на 3-х-мерное пространство скоростей. В однородных пространственных задачах отсутствует зависимость функции у от координат х и фазовое пространство состоит только из множества скоростей уеК3. Данная зависимость используется на физическом уровне строгости (число частиц в исследуемой системе ТУ» 1). Но математическое доказательство приемлемости этой зависимости еще не завершено и нуждается в продолжении исследований. Уравнения Больцмана имеет решение, с естественной физической интерпретацией схлопывающегося или разлетающегося газа [51], но эти решения невозможно проинтегрировать по переменным у,хеКб, что не соответствует общепринятой нормировке плотности вероятности || р(у, х, (уЗхсЫ = 1. Величину п{х, /) = N | р(у, х, t)dv

Кб

называют концентрацией газа, а произведение р(х,1) = тп(х,0 — плотностью распределения массы газа в точке х в момент времени г.

Математическое затруднение в выводе кинетического уравнения Больцмана из динамики конечного числа частиц, обоснование для него значимости задач и обнаружение причин зависимости его решений с решениями уравнений Навье-Стокса - область интенсивных исследований, приводящих к б-й проблеме Гильберта.

После изучения работ [59-61] отметим значимые места, дающие представление о физическом аспекте явления столкновений молекул в газах.

18

Столкновения атомных и молекулярных частиц — упругие и неупругие. Во время упругих столкновений суммарная кинетическая энергия частиц не изменяется, различия появляются в скорости и направлении. При неупругих - изменяется внутренняя энергия частиц.

Физически столкновения молекул описываются, как зависимость потенциала взаимодействия между ними, определяющегося свойствами квантово-механических и электромагнитных явлений, идущих при сближении данных частиц. Элементарный процесс столкновений можно изучить на примере обычных бильярдных шаров. Тогда взаимодействие между молекулами рассматривается как взаимодействие между шарами выбранного диаметра й. В реальных газах диаметр молекул очень мал и имеет порядок 10~*см. Для выбранной нами наглядной модели потенциал взаимодействия можно задать в виде:

Более сложным является потенциал взаимодействия степенного вида:

Для реальных газов достоверным и близким к истинному можно считать показатель л = 9. Если в ходе вычислений, мы получаем значение л = 5, то следует говорить о максвелловских молекулах (для уравнения Больцмана, описывающего поведение функции распределения / для одной частицы, уже проведен целый ряд теоретических исследований).

При описании взаимодействия между молекулами возможно использование потенциала Леннарда-Джонса.

т

и {г) = В

где В, г„, п и т — константы. В скобках учитывается разность между выражениями описывающими столкновения и притяжение, возникающее при взаимодействии частиц.

Руководствуясь работами [47-48] обозначим общепринятые сведения о классическом рассеянии пары молекул взаимодействующих с потенциалом и {г), с помощью центральных сил и напрямую зависящем от расстояния между центрами масс взаимодействующих частиц. Для этого следует четко обозначить, что мы будем понимать под столкновением. Столкновение частиц - есть изменение скоростей взаимодействующих частиц из состояния при ^ —>—со (время до столкновения) в состояние при /-»-к» (время после столкновения).

Векторы скоростей взаимодействующих частиц до столкновения, обозначим как у,у, еМ3, а их скорости после столкновения - еМ3, вектор относительной скорости до столкновения как g = v1-v2, а g' = - \'2 измененный столкновением вектор. Направим ось z параллельно вектору g от центра первой частицы, пусть Ь — это расстояние между траекторией

Рис.1. Схема столкновения двух частиц

частицы г и осью г. Тогда ' - расстояние уже после столкновения. Предположим, что тх,т2,т[,т2- массы участвующих во взаимодействии частиц (до и после столкновения).

По закону сохранения момента количества движения, векторы скоростей будут принадлежать плоскости, которая проходит через V, и \2. При столкновении будут выполнены ЗСМ, ЗСИ, ЗСЭ:

Закон столкновения двух молекул проще записать для модели с одинаковыми массами, по аналогии с бильярдными шарами:

щ=т2=щ=т2>0, тогда:

Единичный вектор д направлен по линии, которая соединяет центры шаров

ООх в момент соударения.

тх +т2 = тх +т2,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Здоровцев, Павел Александрович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н., Краевые задачи механики неоднородных жидкостей // Новосибирск-. Наука, Сиб. отделение АН СССР, 1983

4. Багдасарова И. Р., Галкин В. А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Математическое моделирование, 1999, Т. 11, №6, С. 82-112

5. Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. - М. Мир. 1967

6. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.Т. 1. М.: «МИР», 1978. Перевод с английского под редакцией Д. Н. Зубарева и Ю. Л. Климонтовича 405 с

7. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: «МИР», 1981. Перевод с английского А.И.Ерофеева, А.Г.Фридландера, В.Е.Яницкого. Под редакцией О.М.Белоцерковского и М.Н.Когана. 319 с

8. Бобылев А. В. О точных решениях уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 225, № б, 1296- 1299

9. Бобылев А. В. Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана, Докл. АН СССР, 231, № 3, 571- 574

10. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1953. Перевод с немецкого под редакцией Б.И.Давыдова. 554 с

II. Больцман Л.. Статьи и речи. - М.: Наука. - 1970,406 с

Бородин А. И., Бугай А. С. Биографический словарь деятелей в области математики. - Киев: Радяньска школа. - 1979

12. Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. - М.: Наука. - 1978, 264 с

13. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. - JL: Гидрометеоиздат. -1984

14. Волощук В. М., Седунов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. - Л.: Гидрометеоиздат. - 1975

15. Головин A.M. О кинетическом уравнении коагулирующих облачных капель с учетом конденсации. 3 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №10, С. 1571- 1580

16. Головин А. М. К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации // ДАН СССР, 1963, Т. 148, №6, С. 12901293

17. Головин A.M. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №5, С. 783-791

18. Головин A.M. О спектре коагулирующих облачных капель. // Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1963, №9, С. 1438- 1447

19. Диткин В. А, Прудников А. П. Операционное исчисление. - М.: Высшая школа. -1966

20. Добрушин P.J1. Уравнения Власова // Функциональный анализ и его приложения, т. 13, вып. 2, 1979, с 48-58

21. Галкин A.B. Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру// Математическое моделирование, 2009

22. Галкин A.B., Галкин В.А. Математическое моделирование процесса роста агломератов. // Сборник научных трудов СурГу. № 29, Физико-математические науки, 2008, с. 16-23

23. Галкин А. В., Галкин В.А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование роста дефектов в материалах ЯЭУ тезисы доклада//

Труды международной конференции " Безопасность АЭС и подготовка кадров". Тезисы докладов X международной конференции, с. 119-120

24. Галкин В. А. Методы решения задач физической кинетики. - Обнинск: из-воИАТЭ.- 1995, 171 с

25. Галкин В. А. О решении уравнения коагуляции с ядром Ф = ху // Метеорология и гидрология, 1984, №5, С. 33- 39

26. Галкин В. А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции // Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, №8, С. 1460- 1470.

27. Галкин В. А. Обобщенное решение уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР, 1987, Т. 293, №1, С. 74-77

28. Галкин В. А. Сходимость разностных схем и метода непосредственного моделирования к решениям уравнения Смолуховского кинетической теории коагуляции// Доклады РАН, 2004, 497, №1, с. 4-11

29. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 336 с

30. Галкин В. А. Функциональные решения законов сохранения // ДАН СССР, 1990, Т. 310, №4, С. 834- 839

31. Галкин В.А., Галкин A.B. Математическое моделирование газа, образующего конденсированную структуру // Математическое моделирование, 2009, 16 С.

32. Галкин В. А., Галкин А. В., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разработка и исследование математических моделей сложных систем // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2008, вып. 14.

33. Галкин В.А., Галкин A.B., Галкина И.В., Здоровцев П.А., Кучеров A.A.,

Осецкий Д.Ю. Моделирование образования структур в кинетических системах // Труды регионального конкурса проектов фундаментальных научных исследований, 2012, вып. 17, с.57-59.

34. Галкин В.А., Галкин А. В., Галкина И.В., Осецкий Д.Ю., Савельев В.И. Разностный метод для решения уравнения Больцмана-Смолуховского// «Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук» , 2007, вып. 13, с. 46-50.

35. Галкин В.А., Галкина И.В., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкин А. В. Математическое моделирование процессов спекания порошковых материалов и роста агломератов/Лруды Регионального Конкурса научных проектов в области естественных наук, Калуга, 2006,20 С.

36. Галкин В.А., Галкин A.B., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю. Вычислительная модель пространственно неоднородной медленной коагуляции // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012, том 52, №11, с. 2101-2112

37. Галкин В.А., Галкин A.B., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю. Создание алгоритма и программная реализация на вычислительном кластере алгоритма прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции в сложной геометрии // ВИНИТИ 25.05.2012 No. 248-В2012

38. Галкин В.А., Забудько М.А. Точные и численные решения уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Известия вузов. Ядерная энергетика, 2000, №1, С. 19-28

39. Галкин В.А., Забудько М.А. и др. Модель контроля и управления процессами выращивания кристаллов в условиях микрогравитации // Труды второго российского симпозиума «Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур», Обнинск, 1997, с.

140-147

40. Галкин В. А., Забудько М.А., Осецкий Д.Ю., Рыжиков Д.А., Галкина И.В. Математическое моделирование процессов роста агломератов в приближениях Смолуховского и Власова-Лиувилля-Смолуховского// Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. Серия "Математическое моделирование и оптимальное управление", Выпуск 1 (28) 2005, с. 67-74

41. Галкин В.А., Здоровцев П.А. Решения моментных цепочек для уравнения переноса и их приближения // Математическое моделирование, 2012, том 24, №11

42. Галкин В. А., Осецкий Д.Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского// ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С.535-547

43. Галкин В. А., Осецкий Д.Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции// Математическое моделирование, 2006, Т. 16 е., 99-117

44. Галкин В.С.Лрикладная математика и механика, 1958, 226, №3

45. Иванов И., Платиканов Д. Коллоиды. - Л.: Химия. - 1975

46. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960.

47. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. -М.: Наука. - 1967

48. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. - М.: Наука. - 1967

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика и электродинамика. М.: Наука, ФМЛ, 1969,271 с

50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика // М.: Наука, 1988, т.6

51. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана. Под редакцией Д. Л.

Либовица и Е. У. Монтролла. - М.: Мир. - 1986

52. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1952, 685 с

53. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения. / Под. ред. Марчука Г. И. - М.: Атомиздат, 1967. - 255 с

54. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979, 512 с

55. Никольский A.A. Доклады АН СССР 1516 №2, №3 (1963)

56. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука. - 1978.

57. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1985, 320 с.

58. Румер Ю.Б., Рыбкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. - М.: Наука. Физматлит. - 1977

59. Царина А.Г.

60. Тихонов А.Н., Самарский А. А. О разрывных решениях квазилинейных уравнений первого порядка // ДАН СССР, 1954, Т. 99, №1, С. 27- 30

61. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. - М.: ИЛ.-1947

62. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. -М.: Мир. - 1973.

63. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир. -1978

64. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике. - М.: из-во МГУ. - 1999

65. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория переноса в газах. М.: Мир, 1976, 555 с