Математическое моделирование релятивистских поправок при проведении лазерной локации космических аппаратов и в геодезических измерениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Денисов, Михаил Михайлович

• Денисов, Михаил Михайлович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Денисов, Михаил Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.

§ 1. Задачи геодезических измерений

§ 2. Задачи лазерной локации космических аппаратов.

§ 3. Системы отсчета, используемые при построении математической модели лазерной локации космических аппаратов

§ 4. Основы математической модели слабонеинерциальной системы отсчета в присутствии гравитационного поля

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ АБЕРРАЦИИ ПРИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

§ 5. Постановка задачи

§ 6. Построение математической модели распространения световых сигналов во вращающейся системе отсчета

§ 7. Релятивистские эффекты во вращающейся системе отсчета

§ 8. Вычисление вращательной аберрации при геодезическом измерении углов.

§ 9. Результаты численных расчетов и их обсуждение.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

РЕЛЯТИВИСТСКИХ ПОПРАВОК ПРИ ПРЕЦИЗИОННОЙ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

§10. Постановка задачи.

§11. Закон движения космического аппарата в гравитационном поле Земли.

§12. Математическая модель лазерной локации во вращающейся системе отсчета.

§ 13. Расчет релятивистских поправок при движении лазерного импульса от лазерной станции к космическому аппарату

§ 14. Расчет релятивистских поправок при движении лазерного импульса от космического аппарата к лазерной станции

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭФФЕКТОВ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.

§ 15. Постановка задачи

§ 16. Численные оценки релятивистских поправок при определении расстояния от лазерной станции до космического аппарата

§17. Математическое моделирование темпа хода бортовых часов космических аппаратов.

§18. Численные оценки релятивистских поправок при определении углового положения космического аппарата

§19. Рекомендации по практическому применению полученных в настоящей диссертации результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование релятивистских поправок при проведении лазерной локации космических аппаратов и в геодезических измерениях»

Лазерная локация космических аппаратов в последнее время широко используется для высокоточного определения положений космических аппаратов в околоземном пространстве. Однако существующие математические модели обработки результатов лазерных измерений не учитывают воздействия на распространение световых сигналов вращения Земли и ее гравитационного поля. Поэтому при проведении лазерной локации космических аппаратов, находящихся на околоземных орбитах, и при геодезических измерениях неявно предполагается, что лазерная станция, покоящаяся на поверхности вращающейся Земли, является инерциальной системой отсчета. В результате световые лучи, входящие в оптические приборы и выходящие из них, при математическом моделировании считаются прямыми линиями и распространение световых импульсов по этим лучам предполагается равномерным.

Однако эти приборы находятся в слабонеинерциальной системе отсчета, связанной с вращающейся Землей, и их лучи подвержены действию слабого гравитационного поля Земли. Поэтому согласно общей теории относительности Эйнштейна [1] в гравитационном поле Земли и при действии сил инерции вращающейся системы отсчета лучи должны искривляться, а движение световых импульсов по этим лучам должно быть неравномерным. И хотя эти релятивистские эффекты в гравитационном поле вращающейся Земли малы, с определенного уровня точности измерений они будут искажать наблюдательные данные.

В настоящее время в стадии подготовки находятся несколько космических программ по проведению прецизионных астрометрических измерений с помощью интерферометров, установленных на космических аппаратах. Для баллистико - навигационного обеспечения этих программ локацию участвующих в экспериментах космических аппаратов необходимо производить с точностью нескольких сантиметров по дальности и порядка 1 угловой секунды по угловому положению, что доступно только лазерным станциям. На таком уровне точности уже необходимо производить учет воздействия гравитационного поля Земли и неинерциальности системы отсчета лазерной станции, находящейся на вращающейся Земле, на распространение световых импульсов при лазерной локации космических аппаратов. Таким образом, без математической модели, учитывающей уравнения и соотношения общей теории относительности, осуществлять с требуемой точностью прогнозирование и контроль орбит космических аппаратов в процессе выполнения прецизионных космических программ невозможно. Однако в математическом плане эти вопросы были неразработанными.

Более того, при проведении лазерной локации космических аппаратов был замечен довольно странный эффект [2]: на тех лазерных станциях, которые использовали маломощные лазеры с относительно узким лазерным пучком (как известно, лазерный пучек не является цилиндром, а в силу ряда физических причин [3] представляет собой расширяющийся конус), было очень трудно попасть электромагнитным импульсом в движущийся космический аппарат. Обычно космический аппарат, движущийся по низкой околоземной орбите, достаточно хорошо виден в телескоп лазерной станции и оператор, вводя упреждение вдоль вектора его скорости, должен был попасть лазерным импульсом в отражатели, установленные на его внешних поверхностях.

Однако было замечено, что если лазерный импульс направить в расчетное место его встречи с космическим аппаратом, то этот импульс не попадет на отражатели; если же ось лазера немного довора-чивать и направлять электромагнитный импульс не в расчетное место встречи, а сканировать окрестности этого места, то при некотором небольшом угловом отклонении (составляющем несколько угловых секунд) от расчетного места космический аппарат попадет в лазерный пучек и в телескопе лазерной станции появится отраженный от космического аппарата электромагнитный импульс. После этого дальнейшее сопровождение космического аппарата лазерным пучком переключают на компьютер, который автоматически вводит найденную экспериментально дополнительную угловую поправку, и процесс локации проходит, как правило, без вмешательства оператора.

В качестве первой причины такого небольшого рассогласования между расчетным угловым направлением на место встречи лазерного импульса с космическим аппаратом и фактическим угловым направлением на это место было выдвинуто [2] предположение о несовпадении оптической оси телескопа с осью лазерного луча на лазерной станции. Однако лазерный импульс посылается к космическому аппарату через телескоп лазерной станции и дополнительные исследования точности юстировки показали [2], что эти оси с требуемой точностью совпадают.

На мощных лазерных станциях, использующих широкие лазерные пучки, этот эффект не наблюдался, так как электромагнитный импульс в окрестности космического аппарата имел большие поперечные размеры и отражатели, установленные на космическом аппарате, попадали на периферию этого импульса.

Приступая к исследованию этого вопроса, мы предположили, что причиной такого рассогласования является недостаточно точная математическая модель, использовавшаяся для расчетов угловых координат места встречи лазерного импульса и космического аппарата, не учитывающая эффекты общей теории относительности.

Поэтому целью настоящей диссертации было решение задачи построения математической модели релятивистских поправок, вызываемых воздействием гравитационного поля Земли и полями сил инерции вращающейся Земли, на распространение световых импульсов при лазерной локации космических аппаратов и при геодезических измерениях, а также разработка алгоритмов вычисления искажений, вносимых этими поправками, в наблюдательные данные.

Первая глава носит вводный характер. В ней рассматриваются задачи геодезических измерений и лазерной локации космических аппаратов. Дается описание основных систем отсчета, используемых при построении математической модели лазерной локации космических аппаратов. В § 4, следуя нашей работе [4], изложены основы математической модели слабонеинерциальной системы отсчета в присутствии гравитационного поля.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена построению математической модели вращательной аберрации при геодезических измерениях. На основе релятивистского уравнения для изотропной геодезической нами построены уравнения световых лучей во вращающейся системе отсчета и найдены их аналитические решения. Анализ этих решений позволил исследовать ряд релятивистских эффектов во вращающейся системе отсчета.

Первый из них - это то, что распространение электромагнитных сигналов из одной точки пространства в другую точку осуществляется по одному лучу, а обратно - по другому лучу. Выведена формула определяющая угол 5а между касательными к этим лучам в точке излучения импульса.

Второй эффект - это линейное смещение электромагнитного импульса после его отражения от ретрорефлектора (оптического устройства, отражающего импульсы вдоль касательной к лучу, по которому эти импульсы приходят). Выведена формула, определяющая расстояние 811 между точкой излучения электромагнитного импульса и лучем, по которому распространяется отраженный импульс.

На основе полученных формул в § 8 проведено вычисление вращательной аберрации при геодезических измерениях углов на местности. Впервые такие вычисления были проведены в наших работах [5-6]. Однако величина релятивистских эффектов, вызываемых вращением Земли, в условиях геодезических измерений мала: на расстоянии между источником электромагнитного излучения и отражателем, равным 100 км, полученные формулы дают 5а = Ю-2 угловой секунды, 6Я = 0,5 см.

Эти величины меньше требуемой в настоящее время точности геодезических измерений: 5а = 0,1 угловой секунды. Так как при оптических измерениях в геофизике расстояние между источником света и наблюдателем обычно не превышает 100 км, то значение 5а = Ю-2 угловой секунды можно принять в качестве оценки точности угловых измерений, начиная с которой необходимо учитывать угловую вращательную аберрацию.

Следует отметить, что эти релятивистские эффекты из-за их малой величины в эксперименте пока не измерялись. Однако с инструментальной точки зрения в настоящее время имеются технические возможности для измерения указанных выше релятивистских эффектов, вызываемых вращением Земли. Как показано нами в § 9 диссертации, в настоящее время существует экспериментальная возможность провести измерение релятивистских эффектов в земных условиях.

Поэтому проведенное во второй главе математическое моделирование распространения электромагнитных сигналов во вращающейся системе отсчета позволило установить пределы точности геодезических измерений, начиная с которой будет необходимо учитывать релятивистские эффекты, а также предложить эксперименты по проверке теоретических предсказаний о величине этих эффектов.

В третьей главе настоящей диссертации построена математическая модель релятивистских поправок при прецизионной лазерной локации космических аппаратов. Постановка задачи включала в себя следующие существенные моменты: лазерная станция предполагалась расположенной на поверхности вращающейся Земли, а космический аппарат с отражателем электромагнитных импульсов двигался по орбите, ориентированной произвольным образом относительно оси вращения Земли.

При проведении лазерной локации как импульс электромагнитного излучения, так и космический аппарат согласно общей теории относительности движутся в римановом пространстве-времени, метрический тензор которого зависит от гравитационного поля Земли, Луны, Солнца и других планет Солнечной системы и полей сил инерции неинер-циальной системы отсчета.

Безразмерный гравитационный потенциал Земли и очень мал [7]: II ~ Ю-9. Однако именно он дает основной вклад в гравитационное поле в окрестности Земли; вклад остальных тел Солнечной системы согласно работе [8] существенно меньше. Так как нам было необходимо построить математическую модель лазерной локации, обеспечивающую относительную точность на уровне ~ Ю-10, то вкладами остальных тел Солнечной системы мы пренебрегали.

При вычислении релятивистских эффектов мы также учитывали, что лазерная станция находится в слабонеинерциальной системе отсчета из-за вращения Земли вокруг своей оси с угловой скоростью П = 7,3-10"5 рад/сек.

Лазерную локацию космических аппаратов и обработку полученных данных удобно было проводить в топоцентрической системе отсчета, начало которой совпадает с положением лазерной станции на поверхности Земли, ось г направлена по местной вертикали, ось х - по касательной к меридиану, ось у - по касательной к параллели.

Как показал анализ, для достижения при лазерной локации относительной точности на уровне ~ Ю-10 движение космического аппарата можно было рассматривать в ньютоновском приближении, а движение электромагнитного импульса - с учетом постньютоновских слагаемых в метрическом тензоре. Так как в рассматриваемой задаче имелись малые параметры, то для удобства дальнейшего использования формул математической модели вычисление релятивистских поправок было проведено в аналитическом виде методом последовательных приближений.

Следует отметить, что в общем случае в математическую модель лазерной локации космических аппаратов необходимо включать поправки, связанные с влиянием на движение лазерного импульса нестабильной атмосферы, с влиянием на движение космического аппарата муль-типольных гравитационных моментов Земли, а также учитывать ряд аналогичных (см., например, [9-10]) возмущающих факторов. Но все эти поправки к настоящему времени хорошо изучены и включены в существующие математические модели локации космических аппаратов. Так как они создают лишь малые возмущения в движении космических аппаратов и лазерных импульсов, то их можно считать аддитивными поправками, не влияющими на малые величины 5Ь, Дт и 8а.

Все полученные в третьей главе настоящей диссертации результаты являются новыми и опубликованы в нашей работе [И]. В научной литературе аналогичные задачи ранее рассматривались, но либо в недостаточно общем виде [12-13] (подробнее см. конец § 14), либо относились к спутниковой конфигурации, когда лазерная станция находилась не на вращающейся Земле, а на каждом из космических аппаратов [1416], т.е. находилась в системе отсчета, метрический тензор которой имел локально инерциальный вид.

И, наконец, в четвертой главе настоящей диссертации на основе построенной математической модели проведен численный расчет величины релятивистских эффектов при лазерной локации космических аппаратов.

На основе формул, построенной в третьей главе математической модели, можно определять положение космического аппарата в интересующие нас моменты времени, уточнять элементы орбиты и решать некоторые другие задачи. В настоящей диссертации мы основное внимание сосредоточили на одной из этих задач: определили величину релятивистских поправок к дальности 5L, различие в темпах хода часов лазерной станции и бортовых часов космического аппарата Дт, обусловленную различием физических условий, в которых они находятся, а также разность 8а угловых положений направлений, по которым посылается к космическому аппарату и, соответственно, принимается после отражения от него лазерный импульс.

Как следует из полученных в диссертации формул, численные значения 8L, Дт и 8а должны существенно зависеть от элементов орбиты космического аппарата. Поэтому для численных расчетов были выбраны два типа наиболее распространенных орбит: низкая почти круговая орбита с высотой апогея ha = 600 км и высотой перигея hp = 400 км и высокоапогейная с высотой апогея ha = 2 • 105 км и высотой перигея hp = 250 км.

Первый тип орбит характерен для космических аппаратов различного назначения (дистанционное зондирование Земли, испытание космической техники и т.п.), влючая Международную космическую станцию и существовавшие ранее орбитальные станции. Второй тип орбит обычно используется для космических аппаратов научного назначения (преимущественно астрофизического), представителями которого являются, например, готовящиеся к запуску в России аппараты космических программ "Радиоастрон", "Спектр-УФ", "Спектр-РГ", "Озирис" [17-19] и другие.

Результаты численных расчетов 8Ь, Дт и 8а для указанных выше двух типов орбит показали, что для обоих типов орбит релятивистские поправки 8Ь и Ат достигают вполне измеримых величин и их необходимо учитывать при лазерной локации космических аппаратов астрометрического назначения.

Величина же 8 а для низких почти круговых орбит в настоящее время находится на пределе возможностей измерения и ею можно пренебречь. Для высокоапогейных космических аппаратов угол 6а на отдельных участках орбит может достигать значений более 10 угловых секунд. В этом случае существенно необходимо измерять величину 8а и использовать полученные данные для устранения релятивистских искажений при прецизионном определении местоположения космического аппарата.

Проведенный нами в четвертой главе диссертации численный эксперимент с использованием полученных формул (18.2)-(18.6) математической модели лазерной локации позволил обнаружить неизвестный ранее эффект - наличие не равного нулю угла 8а при локации с Земли экваториального геостационарного космического аппарата, т.е. космического аппарата, находящегося на расстоянии около 35900 км от поверхности Земли, имеющего период обращения, совпадающий с земными сутками. В результате космический аппарат, находящийся на экваториальной геостационарной орбите, все время как бы "висит" над заданной точкой земной поверхности. Результаты численных расчетов показали, что в этом случае угол 8а равен 3,5 угловой секунды и может быть измерен современными лазерными станциями.

Этот результат впервые получен нами и опубликован в работе [11]. Так как во вращающейся системе отсчета Земли геостационарный спутник неподвижен, то его можно рассматривать как часть вращающейся системы отсчета Земли. Поэтому к нему применимы формулы, выведенные нами во второй главе настоящей диссертации. Подстановка в эти формулы параметров орбиты геостационарного спутника, впервые осуществленная в нашей работе [20], показывает, что 8а = 3,5 угловой секунды, а <Ш=0,6 км в полном соответствии с результатами численного расчета. Это совпадение результатов численных расчетов в физически выделенном случае геостационарного спутника, для которого существует аналитическое решение, дает основание для утверждения о достоверности построенной нами в третьей и четвертой главах диссертации математической модели лазерной локации космических аппаратов.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации докладывались на XII Российской гравитационной конференции (20-26 июня 2005 г., Казань, КГУ), Международной конференции "Тихонов и современная математика'1 (19-25 июня 2006 г., Москва, МГУ), Пятом Международном аэрокосмическом конгрессе (27-31 августа 2006 г., Москва, МГУ), на научных семинарах МАТИ-РГТУ им.К.Э.Циолковского и опубликованы в семи работах [4-6, 11, 20, 36, 73], три из которых являются статьями в рецензируемых журналах, включенных в список ВАК.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Денисов, Михаил Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту.

1. Построена математическая модель распространения световых сигналов во вращающейся системе отсчета. На основе этой модели исследованы основные оптические эффекты, вызываемые действием полей инерции вращающейся системы отсчета. Предложен эксперимент по проверке предсказания общей теории относительности о движении электромагнитных импульсов во вращающейся системе отсчета.

2. Получена формула для угла вращательной аберрации при геодезических измерениях. Установлены пределы точности геодезических измерений, начиная с которых необходимо учитывать влияние вращения Земли на результаты геодезических измерений.

3. Построена математическая модель лазерной локации космических аппаратов, учитывающая воздействие на электромагнитные импульсы гравитационного поля Земли и вращения лазерной станции вместе с Землей вокруг ее оси. Используя существенные уравнения этой модели, вычислены релятивистские поправки к дальности 8Ь. На основе численного анализа показано, что для низких почти круговых орбит 8Ь не превышает 10 см, а для высокоапогейных орбит 8Ь > 20 см.

4. Проведено моделирование разности между темпом хода часов, находящихся на лазерной станции, и темпом хода бортовых часов космического аппарата согласно уравнениям релятивистской теории. Показано, что для низких почти круговых орбит бортовые часы отстают от часов лазерной станции на несколько мкс за один оборот космического аппарата по орбите, а в случае высокоапогейных орбит бортовые часы уходят вперед по сравнению с часами лазерной станции на несколько сотен мкс за один оборот космического аппарата по орбите. Проведена оценка точности, с какой необходимо контролировать этот эффект при проведении космических астрометрических программ.

5. На основе построенной математической модели лазерной локации космических аппаратов проведено вычисление угла 5а между направлением, по которому электромагнитный импульс излучается лазерной станцией к космическому аппарату, и направлением, по которому отраженный от космического аппарата импульс регистрируется на лазерной станции. Показано, что для низких почти круговых орбит угол ¿а незначительно превышает одну угловую секунду, а для высокоапогейных орбит - доходит до 14 угловых секунд.

6. Проведенный нами численный эксперимент с использованием построенной математической модели лазерной локации позволил обнаружить неизвестный ранее эффект - наличие не равного нулю угла 8а при локации с Земли экваториального геостационарного космического аппарата, т.е. космического аппарата, находящегося на расстоянии около 35900 км от поверхности Земли, имеющего период обращения, совпадающий с земными сутками. В результате космический аппарат, находящийся на экваториальной геостационарной орбите, все время как бы "висит" над заданной точкой земной поверхности. Результаты численных расчетов показали, что в этом случае угол 8а равен 3,5 угловой секунды и может быть измерен современной лазерной станцией.

7. Проведено вычисление угла аберрации Sip, создаваемого полями сил инерции вращающейся системы отсчета и гравитационным полем Земли. Этот угол возникает между истинным направлением на космический аппарат в момент прихода к нему лазерного импульса и направлением, по которому на космический аппарат посылается электромагнитный импульс. В результате численных расчетов было установлено, что с относительной точностью ~ 10~5 угол аберрации Sip равен половине угла 5а между касательной к лучу, по которой электромагнитный импульс был отправлен к космическому аппарату, и касательной к лучу, по которому он возвратился на лазерную станцию.

Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИОКР по договору № 4/2006 от 01.02.2006 г. между Федеральным государственным унитарным предприятием "Научно - производственное объединение имени С.А.Лавочкина" и Институтом прикладных и теоретических исследований, по договору № 1/2006 от 10.01.2007 г. между Федеральным государственным унитарным предприятием "ЦНИИМАШ" и Институтом прикладных и теоретических исследований, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу "Математическое моделирование" студентам факультета № 2 "Аэрокосмические конструкции и технологии" ГОУ ВПО "МАШ'-РГТУ им. К.Э. Циолковского, о чем имеются соответствующие акты внедрения.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Чебурахину Игорю Федоровичу за внимание к работе и полезные советы, а также всему коллективу кафедры " Кибернетика" за создание атмосферы, способствовавшей успешной работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Денисов, Михаил Михайлович, 2007 год

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, М.: Наука, 1965, Т.1.- 699с.

2. Ю.В.Игнатенко, В.Н.Тряпицын, И.Ю.Игнатенко. Исследование скоростной аберрации при лазерной локации исскуственных спутников Земли. Тезисы докладов Третьей Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. Кацивели, Крым, 2003, С. 172.

3. Гришачев В.В. Брюховецкий О.С., Родионов В.Н. Двухступенчатые волоконно-оптические датчики для геофизических исследований. Избранные доклады V международной конференции " Новые идеи в науках о Земле", Москва, МГТА, апрель 2001, с. 143-155.

4. Денисов М.М., Зубрило A.A. Основы математической модели сла-бонеинерциальной системы отсчета. Препринт НИИЯФ МГУ № 20056/772, 2005, -8с.

5. Денисов М.М. Математическая модель оптической аберрации при проведении прецизионных геодезических измерений углов. Известия Вузов, Серия Геодезия и аэрофотосъемка, 2006, № 6, С. 169-176.

6. Денисов М.М. Влияние вращения Земли на прецизионные угловые измерения в геофизике. Тезисы докладов Международной конференции "Тихонов и современная математика", М., МГУ, 19-25 июня 2006, С. 13-14.

7. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 293 с.

8. Ashby N., Bertotti В. Relativistic perturbations of an Earth satellite. Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, P. 485-488.

9. Корнеев В.И., Кулагин Н.Е. Нелинейные локализованные волны в среде с нелокальным взаимодействием. Теоретическая и математическая физика, 1998, Т. 114, № 3, С. 366-379.

10. Муравей Л.А. Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца в неограниченной области со звездной границей. Труды МИАН, 1988, Т.185, С. 171-180.

11. И. Денисов М.М. Угловая аберрация при лазерной локации космических аппаратов. Тезисы докладов Пятого Международного аэрокосмического конгресса, Москва, 27-31 августа 2006 г. Под редакцией А.И. Хоружевского, С. 101.

12. Baierlein R. Testing general relativity with laser ranging to the Moon. Phys. Rev., 1967, V. 162, P. 1275-1238.

13. Брумберг B.A. Релятивистская небесная механикаМ.: Наука, 1972. 382 с.

14. Chauvineau В., Regimbau Т., Vinet J.Y. Relativistic analysis of the LISA long range optical links. Phys. Rev. D., 2005, V. 72, P. 122003.

15. Dhurandhar S.V., Nayak K.P., Tinto M. Algebraic approach to time delay data analysis for LISA. Phys. Rev. D., 2002, V. 65, P. 102002.

16. Денисов M.M., Кравцов H.B., Кривченков И.В. Оптические эффекты во вращающейся системе отсчета. Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики, 2007, т. 85, № 7-8, С. 498-500.

17. Кузьмин Б.С., Герасимов Ф.Я., Молоканов В.М. Краткий топогра-фо геодезический словарь, изд. 3-е. М., 1980.

18. Брюханов А.В., Господинов Г.В., Книжников Ю.Ф. Аэрокосмические методы в географических исследованиях. М., 1982.

19. Мориц Г. Современная физическая геодезия. М. 1983.

20. Gauss K.F. Werke. Gottingen, 1903, Bd. 9, S. 299-300, 314.

21. Подобед В.В., Нестеров В.В. Общая астрометрия. М.: Наука, 1975.

22. Боярчук A.A., Багров A.B., Микиша A.M. и др.Космическая оптическая интерферометрия для астрометрии. Космические исследования. 1999. Т. 37, С. 3.

23. Багров A.B. Астрометрическая поддержка работы космических телескопов с узким полем зрения. Труды ГАИШ, 2005, Т. 78, С. 10.

24. Космический астрометрический эксперимент "ОЗИРИС. Под редакцией Л.В.Рыхловой и К.В.Куимова. Фрязино, Век-2. 2005.- 345с.

25. Milman М., Turyshev S.G. Space interferometer mission (SIM). Applied Optics, 2003, V. 42, № 7, P. 71-78.

26. Turyshev S.G., Shao M., Nordtvedt K. The Laser Astrometric Test of Relativity (LATOR) Mission. Classical Quantum Gravity, 2004. V. 21. P. 2773-2777.

27. Turyshev S.G., Shao M., Nordtvedt K. Experimental Design for the LATOR Mission. International Journal of Modern Physics. 2004. V. 13. P. 2035-2063.

28. Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тяготения. Минск, Наука и техника. 1979. -336с.

29. Устинов Н.Д. Лазерная локация. М.: МГУ. 1984. 272 с.

30. Глонасс принципы построения и функционирования. 3-ье издание, переработанное под ред. А.И.Петрова и В.Н.Харисова. М.: Радиотехника, 2005. - 688с.

31. Самарский A.A., Попов Ю.П. "Вычислительный эксперимент в физике", в книге "Наука и человечество". М.: АН СССР. 1975. С. 281-291.

32. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.:1. МГУ, 1974, -569с.

33. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Наука, 1981. 496 с.

34. Дубошин Г.Н. Небесная механика. М.: Наука, 1968.

35. Самарский. A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. - 239 с.

36. Самарский A.A. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 272 с.

37. Чебурахин И.Ф. Логическое управление: задачи, алгоритмы, показатели качества. М.: МАТИ, 2003. -200с.

38. Чебурахин И.Ф. Синтез дискретных управляющих систем и математическое моделирование. М.: Физматлит, 2004. -248с.

39. Малыхин Л.И., Иванов В.И. Математические основы оценивания комплексов инерциальных измерителей. М.: МАТИ, 2003. -86с.

40. Морозов В.М. Системное моделирование и методы исследования математических моделей. М.: МАТИ, 2005. -243с.

41. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физ-матгиз, 1961. - 504 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. - 510 с.

43. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. - 661 с.

44. Блиох П.В., Минаков A.A. Гравитационные линзы. Киев.: Нау-кова думка, 1989, - 240 с.

45. Григорьев В.И., Григорьева Е.В., Ростовский B.C. Бароэлектриче-ский эффект и электромагнитные поля планет и звезд. М.: Физматлит, 2003. - 192 с.

46. Малыкин Г.Б. Эффект Саньяка. Корректные и некорректные объяснения. Успехи физических наук, 2000, Т. 170, С. 1325-1349.

47. Малыкин Г.Б. Эффект Саньяка во вращающейся системе отсчета. Успехи физических наук, 2002, Т. 172, С. 969-970.

48. Кикоин И.К. Таблицы физических величин. М.: Атомиздат, 1976. 547 с.

49. Kovalevsky J., Lindegren L., Perryman M.A. et al. The HIPPARCOS catalogue as a realisation of extragalactic reference system. Astronomy and Astrophysics, 1997, V. 323, P. 620-633.

50. В.О.Гладышев. Распространение плоской монохроматической электромагнитной волны в среде со сложным движением. Письма в ЖТФ. 1999, Т. 69, В. 5, С. 97-100.

51. Васильев В.П. Гришмановский В.А., Плиев Л.Ф. и другие. О влиянии движения оптической среды при локации. Письма в ЖЭТФ. 1992, Т. 55 В. 6, С. 317-320.

52. Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. М.: Физма-тлит, 2003. 536 с.

53. Самарский A.A. Численные методы и вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1998.- 518 с.

54. Cadez A., Kostic U. Optics in the Schwarzschild spacetime. Phys. Rev. D., 2005, V. 72, P. 104024.

55. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

56. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

57. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. 1983. -928с.

58. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности.1. M.: Наука, 1969. -322c.

59. Nordtvedt К. Equivalence priciple for massive bodies. I. Phenomenology. Phys. Rev., 1968, V. 169, P. 1014-1016.

60. Nordtvedt K. Equivalence priciple for massive bodies. I. Theory. Phys. Rev. 1968, V. 169, P. 1017-1025.

61. Nordtvedt K. Testing relativity with laser ranging to the Moon. Phys. Rev., 1968, V. 170, P. 1186-1187.

62. Жарков В.H., Трубицин В.П. Физика планетных недр. М.: Наука. 1980.

63. Petley B.W. New definition of the metre. Nature, 1983, V. 303. № 5916, P. 373-376.

64. Vessot R.F.C., Levine M.W. Test of the equivalence principle using a space-borne clock. General Relativity and Gravitation. 1979, V. 10. P. 181-204.

65. Vessot R.F.C., Levine M.W., Mattison E.M. et al. Test of the relativis-tic- gravitation with a space-borne hydrogen maser. Phys. Rev. Lett. 1980, V. 45, P. 2081-2084.

66. Лайтман А., Пресс В., Прайс P. и др. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979. -535с.

67. Денисов М.М., Зубрило А.А. Исследование темпа хода часов в астрометрическом проекте "ОЗИРИС". Вестник Московского университета, сер. физика, астрономия, 2007, № 2, С. 64-65.

68. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. М.: Физма-тлит, 2002. 392 с.

69. Атмосфера стандартная. Параметры. ГОСТ 4401-81. М.: Изд-во стандартов, 1980 г., 48 с.

70. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли. ГОСТ 25645.115-84. М.: Изд-во стандартов, 1985 г. -44 с.

71. Глаголев Ю.А. Справочник по физическим параметрам атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. -211 с.