Математическое моделирование распространения радиоактивных веществ в воздушной среде в районах объектов энергетики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зубов, Владимир Николаевич

• Зубов, Владимир Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зубов, Владимир Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАДИОАКТИВНОГО

РАССЕИВАНИЯ В АТМОСФЕРЕ.

1.1. Описание дисперсного распространения радионуклидов в атмосфере.

1.1.1 Структура модели распространения радионуклидов в воздухе.

1.1.2 Особенности использования моделей радионуклидного загрязнения.

1.1.3 Описание процессов распространения на основе метеорологических данных.

1.2. Классификация моделей распространения радионуклидов в атмосфере.

1.2.1 Эйлеровы и лагранжевы модели.

1.2.2 Пространственная классификация моделей распространения радионуклидов.

1.2.3 Классификация распространенных моделей радиоактивного загрязнения атмосферы.

1.3. Постановка задачи распространения радионуклидов в атмосфере.

1.3.1 Общее описание атмосферной транспортно-диффузионной модели.

1.3.2 Наблюдаемые метеорологические данные.

1.3.3 Диагностическая модель формирования поля ветра.

1.3.4 Модель конвекции-диффузии-распада радионуклидов с учетом влажного осаждения.

Глава 2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ.

2.1. Используемые понятия и результаты теорий линейных операторов и разностных схем.

2.2. Попеременно-треугольные кососимметричные разностные схемы.

2.3. Сравнение попеременно-треугольной кососимметричной разностной схемы с треугольной кососимметричной и явной схемой на примере трехмерной динамической задачи конвекции-диффузии.

2.3.1 Постановка модельной задачи.

2.3.2 Конечно-разностная аппроксимация уравнения.

2.3.3 Аппроксимация краевых условий.

2.3.4 Результаты численного сравнения устойчивости и точности решения краевой задачи кососимметричными разностными схемами и явной схемой.

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОАКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ В НИЖНИХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВС С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПАМЯТЬЮ.

3.1. Описание вычислительных экспериментов радиоактивного загрязнения района Волгодонской АЭС.

3.2. Пространственная декомпозиция расчётной области в реализации кососимметричных схем на многопроцессорных ВС с распределенной памятью.

3.2.1 Применение красно-черного разбиения в декомпозиции расчётной области и нумерации узлов.

3.2.2 Оценка эффективности параллельного алгоритма транспортно-диффузионной модели.

3.3. Вычислительный эксперимент оперативного прогнозирования загрязнения воздушной среды.

3.4. Вычислительный эксперимент краткосрочного прогнозирования загрязнения воздушной среды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование распространения радиоактивных веществ в воздушной среде в районах объектов энергетики»

Математическое моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей с разными сферами деятельности. Окружающий мир един, и исследователи эффективно используют это свойство, выражающееся в универсальности математических моделей, т.е. применимости к объектам принципиально различной природы.

Различным аспектам математического моделирования посвящено немало книг [20, 46, 65, 79]. В наши дни экономические, экологические, технические и другие системы с трудом поддаются исследованию обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент зачастую дорог, занимает много времени или вообще невозможен из-за уникальности системы или опасности для жизни исследователя. Поэтому математическое моделирование стало неотъемлемой составляющей научно-технического прогресса.

Постановка вопроса о математическом моделировании связана с необходимостью выполнения следующих действий [37]: создание модели, разработка алгоритма и его программирование. Каждый из этих этапов должен быть адекватен моделируемому объекту, поэтому процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Можно условно разделить процесс построения моделей на следующие этапы [20, 34, 88]:

• Формулировка предмодели - словесно-смысловое описание объекта или некоторые предположения о его свойствах.

• Завершение идеализации объекта — отбрасываются факторы и эффекты, не существенно влияющие на поведение объекта.

• Формулировка закона, которому подчиняется объект, и его запись в математической форме.

• Оснащение модели дополнительными сведениями (например, сведениями о начальном состоянии объекта).

• Формулировка цели исследования.

• Изучение построенной модели всеми доступными исследователю методами (теоретический анализ, вычислительный эксперимент и т.д.).

• Установление адекватности модели — ее соответствие объекту и сформулированным предположениям путем сравнения с практикой, сопоставлением с другими подходами и т.д. Неадекватная модель может дать результат, отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо модифицирована.

Одной из таких сфер исследования являются процессы, происходящие в нижних слоях атмосферы. Решение задач математического моделирования распространения веществ в движущейся воздушной среде является одной из наиболее значимых составляющих в предупреждении рассеивания концентрации загрязнения воздушной среды от одного или нескольких источников, которыми могут являться как объекты энергетики' (электростанции), так и промышленные предприятия (заводы и фабрики). Пространственно-временные картины гипотетических выбросов одного или нескольких веществ из различных источников при разных погодных условиях могут быть использованы экспертами для определения потенциально опасных зон, зараженных соответствующими веществами, и подготовки необходимых своевременных мероприятий, адекватных складывающейся ситуации. Так, в случае действительного выброса или утечки радионуклидов угроза заражения может потребовать незамедлительных действий по защите биосферы в целом и обеспечения безопасности здоровья людей в частности. Кроме того, модель прогнозирования распространения концентраций загрязняющих веществ имеет огромное значение на этапе устранения последствий чрезвычайных ситуаций, которые могут иметь продолжительное воздействие на окружающую среду после относительно кратковременного выброса. В случае возникновения долгосрочных и продолжительных выбросов с потенциально длительным воздействием этапы планирования, разработки ответных действий и восстановления экосистемы переплетаются и оказывают значительное воздействие друг на друга.

Поскольку моделирование распространения радионуклидов сопровождается искусственными ограничениями, накладываемыми моделью, влияющих на эффективность и достоверность модели, связанных с неполным и, возможно, не вполне достоверным набором сведений об источнике радиоактивности, ограниченным запасом расчётного времени. Поэтому прогнозирование являет собой компромисс между недостатком времени (или вычислительных ресурсов) и неполноты выполняемых расчётов.

Другое практическое требование, предъявляемое к большинству современных моделей распространения радионуклидов, связано с необходимости оценки накопленной дозы облучения на основе пространственно-временного распределения активности. На территориях, заселенных людьми, необходимо своевременно принимать решения об оказании своевременной помощи населению.

Разработке и исследованию математических моделей транспортно-диффузионного распространения радиоактивного загрязнения в атмосфере посвящены многочисленные научные труды как российских, так и зарубежных ученых: Алояна А.Е., Бакланова А.А., Головизнина В.М., Пененко В.В., Златева 3., Семенчина Е.А., Борисевича М.Д., Брандта Д., Хирота М., Печингера У., Соренсона Д., и многих других.

Цель и задачи исследования.

Целью работы является разработка математической модели распространения радиоактивного вещества в движущейся среде под воздействием процессов конвекции, диффузии и радиоактивного распада для района Волгодонской АЭС, создание экономичных вычислительных алгоритмов реализации этой модели и их реализация на многопроцессорных вычислительных комплексах.

В соответствии с выбранной целью необходимо решить следующий ряд задач:

• разработать математическую модель распространения радиоактивного вещества в движущейся среде под воздействием процессов конвекции, диффузии и радиоактивного распада для района со слабохолмистым рельефом.

• разработать и исследовать попеременно-треугольных кососимметричных конечно-разностных схемы решения динамических задач конвективно-диффузионного переноса в условиях преобладания конвективных процессов над диффузионными

• создать программный модуль для моделирования распространения радиоактивных примесей в воздушной среде на основе рассматриваемых алгоритмов и реализовать его на высокопроизводительных вычислительных системах.

• провести вычислительные эксперименты по моделированию распространения радиоактивного вещества Кг85 на основе метеорологических данных, рельефа и свойств подстилающей поверхности района наблюдений.

Объектом исследования являются численные методы решения уравнения конвекции-диффузии-реакции в нерегулярных областях.

Предметом исследования являются способы численной реализации динамической модели движения радиоактивных загрязняющих веществ в атмосфере.

Методы исследования. Основу методологии теоретического исследования работы составляют фундаментальные положения и общие принципы теории операторно-разностных схем, а так же теорий итерационных методов и матричных вычислений.

Научная новизна. Предложен класс эффективных попеременно-треугольных кососимметричных разностных схем численного решения динамической задачи конвективно-диффузионного переноса с преобладающей конвекцией.

Теоретически обоснована и численно проверена устойчивость разработанных разностных схем.

Достоверность. Представленные в диссертационной работе теоремы и утверждения имеют строгое математическое доказательство. Предложенные разностные схемы теоретически и численно исследованы. Результаты проведенных вычислительных экспериментов хорошо согласуются с полученными теоретическими результатами.

Практическая значимость. Разработанные конечно-разностные схемы обладают высокой экономичностью решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии, особенно в условиях преобладания конвективных процессов над диффузионными.

Реализованный на многопроцессорной вычислительной системе программный модуль позволяет выполнять расчёты распространения, радиоактивных примесей в атмосфере для поддержки принятия решений в случае возникновения аварийных ситуациях на объектах энергетики.

Реализация используемой математической модели как на квадратной, так и на треугольной сетке позволяет наиболее корректно аппроксимировать различные области сложной геометрической формы с изрезанным рельефом местности.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на II, III и IV Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (п. Абрау-Дюрсо, 2004г., 2006г., 2008г.), на XI и XII Всероссийских школах-семинарах молодых ученых "Современные проблемы математического моделирования" (п. Абрау-Дюрсо, 2005г., 2007г.), на Всероссийской молодёжной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (г. Казань, 2006г.), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (г. Москва, 2006г.), на II Международной конференции "Matrix methods and operator equations" (г. Москва, 2007г.), на международном семинаре NASCom08 (г. Ростов на Дону, 2008г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 10 в соавторстве. Из них 1 статья в российском реферируемом журнале, 1 монография, 7 статей в сборниках трудов, 4 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций и 1 регистрация программы на ЭВМ.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет . страниц, в том числе . рисунков, . графиков и . таблиц. Список литературы состоит из . наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зубов, Владимир Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационном исследовании разработана математическая модель распространения радиоактивного вещества в движущейся среде под воздействием процессов конвекции, диффузии и радиоактивного распада для района Волгодонской АЭС.

Созданы экономичные вычислительные алгоритмы кососимметричные попеременно-треугольные треугольные схемы — КПТС) реализации этой модели.

В результате проведенных вычислительных экспериментов для разных полей скоростей было установлено следующее.

• Точность приближенного решения КПТС сравнима с явной схемой.

• В случае конвективного преобладания КПТС решает задачу с шагом по времени, на порядок большим, чем у явной схемы.

Разработанные алгоритмы реализованы на многопроцессорных вычислительных комплексах.

Проведены вычислительные эксперименты по моделированию распространения радиоактивного вещества Кг85 на основе метеорологических данных, рельефа и свойств подстилающей поверхности района наблюдений. Расчёты производились в сеточных областях как с квадратной, так и с треугольной сетками

Проведенные в главе расчёты на натурных данных позволяют сформулировать следующие выводы:

• дождевое облако, находящееся на пути следования радиоактивного загрязнения, обладает способностью значительного уменьшения объемной активности радионуклидов в результате влажного осаждения на поверхность Земли;

• осадки оказывают наиболее значимое влияние на картину активности радионуклидов после завершения выброса, во время свободного перемещения загрязняющего облака по направлению к границе расчётной области.

• результаты вычислительных экспериментов, полученные на треугольной и квадратной сетках, показывают качественное совпадение;

• применение треугольной сетки в аппроксимации транспортно-диффузионного уравнения во многих случаях позволяет более точно аппроксимировать расчётную область с изрезанным рельефом, однако, не дает существенного прироста точности решения задачи по сравнению с квадратной сеткой.

Положения, выносимые на защиту.

• Разработана математическая модель распространения радиоактивного загрязнения в воздухе со слабохолмистым рельефом местности.

• Предложен, теоретически и численно исследован новый класс кососимметричных попеременно-треугольных разностных схем аппроксимации динамической задачи конвективно-диффузионного переноса в несжимаемой среде.

• Программно реализована математическая модель транспортно-диффузионного распространения радиоактивного вещества в воздушной среде на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью с применением треугольной и прямоугольных сеток.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зубов, Владимир Николаевич, 2009 год

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

2. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Метод решения СЛАУ большой размерности. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: "Бином", 2004.-636с.

4. Березин КС., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2 М: ФИЗМАТЛИТ, 1959,- 620с.

5. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. —Минск: Университетское, 1988. — 167 с.

6. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. - 272 с.

7. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1975. — 448 с.

8. Букатов А. А., Дацюк В. И., Жегуло А. И. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону. Изд-во ООО "ЦВВР", 2003. - 208с.

9. Воеводин В.В. Вычислительная математика и структура алгоритмов. — М: Изд-во МГУ, 2006. 112 с.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966, — 576с.

11. Годунов С.К., Забродин А.В. Численное решение многомерных задач газовой динамики — М.: Наука, 1976. — 400 с.

12. П.Даугавет И.К Теория приближенных методов. Линейные уравнения. 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 288 е.

13. Калиткин Н.И. Численные методы. М.: Наука, 1978. — 512 с.

14. Коваленко А.Н. Энергофизический мониторинг. Учебное пособие. — СПБ., ИТМО, 2005. 88 с.

15. Крукиер JI.A. О некоторых способах построения оператора в неявных двухслойных итерационных схемах, обеспечивающего их сходимость в случае диссипативного оператора А. II Изв. вузов, Матем. — №5. — 1983. — С.41-47.

16. Крукиер JI.A., Зубов В.Н., Субботина Т.Н. Решение стационарной задачи конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией на треугольной и квадратной сетках // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара

17. Современные проблемы математического моделирования», Ростов-на-Дону: РГУ, 2007. С. 166-175

18. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Субботина Т.Н. Эффективные разностные схемы решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Мат. моделирование. 2005 - Т. 17, №12 - С. 80-86.

19. Крукиер Л.А., Субботина Т.Н. Математические модели и численные методы Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2003. - 57 с.

20. Маркус М., Мипк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.-232с.

21. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. — М.: Наука, 1982. 320 с

22. Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. 4.1 — М.: Наука, 1965.-640 с.

23. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 152 с.

24. Ъ2.Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. Л: Гидрометеоиздат, 1981. — 352 с.

25. ЪЪ.Пененко В.В., Алоян А. Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. -М.: Наука, 1985. —240с.

26. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. — М.: Знание, 1983. —64с.

27. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. — М: Мир, 1975. 392с.

28. Ъв.Роуч 77. Вычислительная гидродинамика. Перевод с английского. М.:Мир, 1980.-616 с.

29. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. // Вестник АН СССР. — 1979. — №5. — С.38^19.

30. ЪЪ.Самарский А.А., Михайлов А. 77. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 320с.

31. ЪЪ.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. — М.: Изд. УРСС, 1998. —272с.

32. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус 77.77. Разностные схемы с операторными множителями. —Минск: ЦОТЖ, 1998. —442с.

33. Самарский А.А., Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. — 552с.

34. А2.Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.—415с.

35. АЪ.Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие. 3-е изд., доп. - М.: Наука, 1992.- 424 с.

36. АА.Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. — Ставрополь: Изд-во СКИ- УУ, 1993. -141 с.

37. Серебровский Ф.Л. Основы теории аэрации городов // Сборник трудов Челябинского политехнического института. Челябинск, 1972. - № 109. -С. 29-41.

38. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2 т. / Ин-т вычисл. математики. М.: Наука, 2005.

39. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. — М.: Наука, 1968. -940 с.

40. Baklanov, A., Mahura, A., Jaffe, D., Thaning, L., Bergman, R., Andres, R. Atmospheric transport patterns and possible consequences for the European North after a nuclear accident. Journal of Environmental Radioactivity 60, 2002.-pp. 23^18.

41. Borysiewicz M.J., Borysiewicz M.A., Garanty I., Kozubal A., Potempski S., Rowinski P.M., Zheleznyak. M. Models and techniquies for health and environmental hazard assessment and management, Warsaw, 2006. 1360p.

42. Brandt, J., Mikkelsen, Т., Thykier-Nielsen, S., and Zlatev, Z.: The Danish Rimpuff and Eulerian Accidental release Model (The DREAM) // Phys. Chem. Earth, Vol.21, 1996. pp. 441^144.

43. Brandt, J., Mikkelsen, Т., Thykier-Nielsen, S., Zlatev, Z. Using a combination of two models in tracer simulations. Mathematical and Computer Modelling 23, 1996.-pp. 99-115.

44. Brill S. H., Pinder G.F. Parallel implementation of the Bi-CGSTAB method with block red—black Gauss-Seidel preconditioner applied to the Hermite collocation discretization of partial differential equations // Parallel Computing 28, 2002.-pp. 399-414

45. Cochairperson W., Cochairperson N., Hicks В., Payton D. Federal Research and Development Needs and Priorities for Atmospheric Transport and Duffusion Modeling. Washington DC, 2004 207 p.

46. Cross M., Moscardini A.O. Learning the Art of Mathematical Modelling.— N.Y.: Wiley, 1985. — 154p.

47. Draxler R.R. Measuring and modeling the transport and dispersion of Kr-85 1500km from a point source // Atmospheric Environment, Vol.16, 1982. pp. 2763-2776.

48. Ferber, G.J., K. Telegadas, J.L. Heffter, and M.E. Smith. Air concentrations of Krypton-85 in the midwest United States during January-May 1974 // Atmospheric Environment, Vol.11, 1977: pp. 379-385. .

49. Furuno A., Terada H., Chino M., Yamazawa H. Experimental verification for real-time environment emergency response system: WSPEEDI by European tracer experiment // Atmospheric Enironment, Vol. 38, Issue 40, 2004. pp. 6989-6998.

50. Variations of Atmospheric Kr Observed During 1995-2001 in Japan:1. Of

51. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V., Triangular skew-symmetrical iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations. Applied Numerical Mathematics, Volume 41, Issue 1 (2002), pp.89105.

52. Lagzi I, Karman D., Turanyi T. Simulation of the dispersion of nuclear contamination using an adaptive Eulerian grid model // Journal of Environmental Radioactivity,75, 2004. pp. 59-82

53. Lary D.J., Pyle J.A., Carver G. A three-dimensional model study of nitrogen oxides in the stratosphere // Q. J. R. Meteorol. Soc., Vol.120, 1994. — P.453-482.

54. Lehman R.S. Computer, Simulation and Modelling: An Introduction. — N.Y.: Wiley, 1977.-207p.

55. Lilly D. Numerical simulation of hydrostatic mountain waves // J. Atmos. Sci. 35, 1978.-pp. 78-107

56. Parra-Guevara, D., Skiba, Y.N. Elements of the mathematical modeling in the control of pollutants emissions.// Ecol. Model 167, 2003. pp. 263-275

57. Pasquill F. The Estimation of the dispersion of windborne material // Meteorological Magazine Vol. 90, 1961. pp. 33-49

58. Paulsen, C.A.,. The mathematical representation of wind and temperature profiles in a unstable atmospheric surface layer. // J. Appl. Meteor, Vol. 9, 1975.-pp. 857-861

59. Pechinger U., Langer M., Baumann K., Petz E. The Austrian Emergency Response Modeling System TAMOS // Physics and Chemistry of the Earth, Part B: Hydrology, Oceans and Atmosphere, Vol.2, Number 2, 2001. pp. 99103.

60. Piedelievre J.P., Musson-Genon L., Bompay F. MEDIA An Eulerian Model of the Atmospheric Dispersion: First Validation on Chernobyl Release // Journal of Applied Meteorology, Vol. 29., Issue 12., 1990. - pp. 1205-1220.

61. Pielke, R.A. The use of mesoscale numerical models to assess wind distribution and boundary-layer structure in complex terrain. Boundary Layer Meteorology 31, 1985.-pp.217-231

62. Pielke, R.A., Cotton W.R., Walko R.L., Tremback C.J., Lyons W.A., Grasso L.D., Nicholls M.E., Moran M.D., Wesley D.A., Lee T.J A comprehensive meteorological modeling system—RAMS. // Meteor. Atmos. Phys., 49,1992. — pp. 69-91.

63. Prahm L.V., Berkowicz R. Predicting concentration in plume suject to dry deposition. // Nature, 271, 1978 pp. 232-234.

64. Real D'Amours Modeling the ETEX plume dispersion with the Canadian emergency respose model // Atmospheric Environment Vol.32. Issue 24., 1998. -pp. 4335-4341.

65. Rosatti G., Cesari D., Bonaventura L. Semi-implicit, semi-Lagrangian modelling for environmental problems on staggered Cartesian grids with cut cells // J. Comput. Phys. 204, 2004. pp. 353-377

66. Robins, A.G., Carruthers D.J., McHugh СЛ.,. The ADMS Building Effects Module // Int. J. Environment and Pollution, Vol 8, 1997 pp. 437-440.

67. Samarskii A.A. The theory of difference schemes.— NY: Marcel Dekker, Inc., 2001. — 759p.

68. Schulman L.L., Strimaitis D.G., Scire J.S. Development and evaluation of the PRIME plume rise and building downwash model // Journal of Air and Waste Management Association, 50, 2000. -pp.378-390.

69. Sharan M, Gopalakrishnan S. G. Mathematical Modeling of Diffusion and Transport of Pollutants in the Atmospheric Boundary Layer //Pure and applied geophysics, 160, 2003.-p.357-394

70. Seinfeld J.H. Atmospheric chemistry and physics of air pollution. NY: Wiley-Interscience Publication., 1986. 318 p.

71. Serafin R.J., Barron E.J., Clifford S.F., Duncan L.M., LeMone МЛ. Tracking and Prediction the Atmospheric Dispersion of Hazardous Releases. Washington D.C.: National Academies Press, 2003. 101 p.

72. Sorensen, J.H. Sensitivity of the DERMA Long-range Gaussian dispersion model to meteorological input and diffusion parameters // Atmospheric Environment, Vol. 32, 1998. pp. 4195-4206.

73. Sorenson J.H., Baklanov A., Hoe S. The Danish emergency response model of the atmosphere (DERMA) // Journal of Environmental Radioactivity, 96, 2007. -pp. 122-129.

74. Stohl A., Hittenberger M, Wotawa G. Validation og the Lagrangian particle dispersion model FLEXPART against large scale tracer experiments // Atmospheric Environment Vol. 32, 1998. -pp.4245-4264.

75. Stohl A., Wotawa G., Kromb-Kolb.H., Winiwarter W., Zueger J., Baumann R., Spangl W. Ozone modelling in Eastern Austria // Proceedings of the 10th Clean Air Congress. Finland. 28.5.1995-2.6.1995. — Espoo, 1995. — Vol.2.

76. Syrakov D., Prodanova M. Bulgarium emergency response models — validation against EXET first release // Atmospheric Environment, Vol. 32, Issue 24, 1998. P. 4367-4375.

77. Taussky O. A Recurring Theorem on Determinants. // Amer. Math. Monthly — 1949. — Vol.56. — P.672-676.

78. Uliasz M. The atmospheric mesoscale dispersion modeling system // J. Appl. Meteor., Vol. 32, 1993. pp. 139-149.

79. Venkatram A. Accounting for averaging time in air pollution modeling // Atmospheric Environment, Vol 36, 2002. 2165-2170.

80. Verver G.H.L., F.A.A.M. De Leeuw. An operational puff dispersion model // Atmospheric Environment, Vol. 26, Issue 17, 1992. P. 3179-3193

81. Wendum, D.,. Three long-range transport models compared to the ETEX experiment: a performance study. Atmospheric Environment, Vol 32, 1998. — pp. 4297-^1305.

82. Witham C., Manning A. Impacts of Russian biomass burning on UK air quality // Atmospheric Environment, Vol 41, Issue 37, P. 8075-8090.

83. Yamartino R.J. Atmospheric pollutant deposition modeling. Chapter 27 in :Handbook of applied meteorology. Houghton D.D. Editor. NY.: Wiley-Interscience Publication, 1985. -pp.754-766.

84. Yongzhong S. On parallel multisplitting iterative methods for singular linear systems // Applied Mathematics and Computation 162, 2005. pp. 585-604

85. Zannetti P., Air Pollution Modeling New York: Van Nostrand Reinhold, 1990.-444 pp.

86. Zheng D.Q. Leung J.K.C., Lee B.Y. Data assimilation in the atmospheric dispersion model for nuclear accident assessments // Atmospheric Environment, Vol. 41, 2007. pp. 2438-2446

87. Zilitinkevich, S. Baklanov A. Calculation of the height of stable boundary layers in practical applications // Boundary-Layer Meteorology, Vol 105, 2002. -pp. 389-409.