Математическое моделирование распределения ресурсов в задаче сетевого планирования средствами стохастического динамического программирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Докучаев, Александр Владимирович

• Докучаев, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Докучаев, Александр Владимирович

Введение.'.

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи.

1.1. Методы вложения ресурсов в задачах сетевого планирования и управления.

1.1.1. Фиктивные дуги в сетевых моделях.

1.1.2. Стохастические модели вложения дискретных ресурсов в задачах сетевого планирования и управления.1.

1.1.3. Другие модели распределения ресурсов в сетевом планировании.

1.2. Метод динамического программирования.

1.2.1. Задачи переборного типа.

1.2.2. Стохастические задачи динамического программирования.

1.2.3. Детерминированный метод динамического программирования

1.3. Постановка задачи.

Глава 2. Разработка модели оптимального вложения дополнительного ресурса в задаче сетевого планирования и управления.

2.1. Задача сетевого планирования и управления.

2.1.1. Основные обозначения.

2.1.2. Правильное упорядочение работ и сокращение списков предшественников.

2.2. Построение графа проекта.

2.2.1. Алгоритм добавления фиктивных работ.

2.2.2. Завершение построения графа проекта.

2.3. Алгоритм оптимизации вложений дополнительных ресурсов.

2.4. Выводы по главе 2.

Глава 3. Разработка и исследование численных методов для модели оптимального вложения ресурсов сетевого планирования.

3.1. Общая постановка детерминированной задачи распределения ресурсов.

3.2. Стохастическая постановка задачи распределения ресурса.

3.3. Стохастическая задача распределении капиталовложений по предприятиям.

3.4. Численные исследования стохастической модели распределения ресурсов.

3.4.1. Влияние числа функций освоения и интервала распределяемой величины на математическое ожидание суммарного эффекта.

3.4.2. Влияние шага дискретизации на математическое ожидание суммарного эффекта.

3.4.3. Влияние вида распределения точек носителя.

3.4.4. Исследование дисперсии при моделировании динамическим программированием стохастической задачи распределения ресурса.

3.4.5. Исключение функций освоения, не находящихся на критическом пути.

3.5. Разработка методов сокращения объема вычислений.

3.5.1. Факторизация задачи по функциям освоения.

3.5.2. Переход от дискретной к континуальной постановке.

3.6. Выводы по главе 3.

Глава 4. Разработка комплекса программ для задач распределения ресурсов.>.

4.1. Обзор программных пакетов, использующих метод динамического программирования.'.

4.2. Алгоритмы вычисления оптимального вектора распределения ресурсов и моментов суммарного эффекта средствами динамического программирования

4.2.1. Общие требования к комплексу программ.

4.2.2. Структурная схема алгоритма для разработки комплекса программ.

4.2.3. Выбор среды программирования.

4.2.4. Алгоритм комплекса программ.

4.3. Описание интерфейса комплекса программ для решения задач высокой размерности.

4.3.1. Ввод исходных параметров задачи.

4.3.2. Блок вывода промежуточных вычислений.

4.3.3. Блок вывода результатов расчёта.

4.3.4. Сообщения об ошибках, выводимые комплексом программ.

4.4. Задача о процентных ставках.

4.5. Задача сетевого планирования комплекса работ.

4.6. Результаты математического моделирования.

4.7. Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование распределения ресурсов в задаче сетевого планирования средствами стохастического динамического программирования»

Актуальность работы |

В качестве структурных и количественных моделей сложных процессов и систем на практике часто используются сетевые модели с графическим I представлением в виде ациклических орграфов «работа-дуга» [90] (элементарным операциям ставятся в соответствие ребра графа). i

Данные модели позволяют управлять сложными разветвленными комплексами работ с большим числом исполнителей и потреблением ограниченных ресурсов (планирование эксперимента, управление разработками [43], i управление проектами [33, 38], теория расписаний [21], транспортные и логистические задачи [12, 76], оценка и разработка инвестиционных проектов и др.). Основная цель - минимизация времени выполнения проекта при заданном объёме ресурсов. Можно выделить два основных этапа решения этой задачи. I

1. Построение сетевой модели «работа-дуга».

Исходные данные имеют вид так называемой таблицы предшествования работ, отражающей особенности технологических связей между отдельными работами проекта. Каждой проектной работе ставится в соответствие I дуга орграфа. При этом сетевые модели типа «работа-дуга» чрезвычайно сложны и трудоёмки для построения [90], так как для обеспечения согласования расположения дуг, как правило, требуют введения фиктивных дуг с нулевым временем выполнения.

Во многих исследованиях задач сетевого планирования и управления упоминаются фиктивные дуги [12, 21, 33, 37, 38, 43, 76, 90, 99, 108, 118], которые добавляются интуитивно, либо процесс их добавления не уточняется

12, 21, 33, 37, 43, 76, 90, 108, 118]. Алгоритмы добавления фиктивных дуг в минимальном числе представлены недостаточно [38, 75, 99].

Лишние фиктивные дуги значительно (факториально) увеличивают

L I число полных путей проекта, делая практически невозможной оптимизацию распределения ресурса по работам проекта. Так проявляется необходимость автоматизированного построения сетевой модели проекта с минимально неI обходимым числом фиктивных дуг. Алгоритмическая реализация этой задачи сложна. К примеру, даже подсчёт числа полных путей проекта является трудной алгоритмической проблемой.

2. Оптимальное распределение ограниченного ресурса в случае нелинейной и/или стохастической чувствительности времени выполнения проектных работ.

После построения сетевой модели необходимо решить задачу оптимального распределения имеющегося ограниченного ресурса по работам проекта с целью минимизации критического времени проекта.

Задачу можно представить как привлечение дополнительного ресурса для сокращения времени выполнения отдельных проектных работ. Но, как правило, эффективность добавления ресурса различна для разных проектных работ. Поэтому с ростом расходования дополнительного ресурса длительность различных полных путей орграфа проекта меняется по-разному: критический путь превращается в подкритический и т.п. Из-за этого задача отыскания критического пути перестаёт быть переборной, что вновь-усложняет её. Даже при дискретном делении ресурса нелинейный и неравномерный характер сокращения времени выполнения отдельных проектных работ вызывает неограниченный рост числа вариантов перебора полных путей. Поэтому становится неэффективным применение даже современной вычислительной техники. Известные принципы сохранения критичности всех полных путей в этом случае тоже практически не применимы.

В свою очередь, усложняет задачу стохастическая» природа как времени исполнения, так и функций отклика на добавление дополнительного ресурса. Поэтому стохастическая природа реальных задач сетевого планирования в настоящее время описана явно недостаточно. Известные постановки и способы решения проблемы стохастического поведения параметров сетевых проектов работают лишь в специальных случаях.

Итак, разработка и теоретическое обоснование методов преодоления указанных проблем определяют актуальность рассматриваемой в диссертации тематики.

Объектом исследования являются задачи сетевого планирования и управления.

Предметом исследования являются модели распределения ограниченных ресурсов в задачах сетевого планирования и управления, алгоритмы построения графа сетевого проекта и численные методы распределения ресурсов по работам проекта.

Цели и задачи исследования.

Целью диссертационной работы является разработка моделей, численных методов и комплекса программ для оптимального распределения ресурсов сетевого планирования в условиях неопределённости и большой размерности исходных данных на основе модификации динамического программирования. В соответствии с указанной целью необходимо решение следующих задач:

1. Разработка модели оптимального вложения ограниченного ресурса в задаче сетевого планирования и управления в форме графа сетевого проекта переменной разметки с минимальным числом фиктивных дуг на основе списка технологического предшествования (последования) проектных работ, алгоритма построения и оценка сложности проекта числом полных путей построенного графа.

2. Разработка алгоритма модифицированного динамического программирования для нахождения критических путей и критического времени выполнения проекта в условиях неравномерного изменения разметки (вес, время выполнения) дуг орграфа проекта при вложении дополнительного ресурса (стохастический и нелинейный случай).

3. Разработка модели статистического оценивания моментов решения задачи сетевого планирования, получение оценок в случае единственности и неединственности решения.

4. Разработка и анализ модели сетевого планирования и управления в условиях большей размерности исходных данных с помощью снижения вычислительной сложности соответствующей задачи динамического программирования.

5. Создание комплекса программ для решения стохастических задач распределения ресурсов в условиях большей размерности исходных данных.

Методы исследования. Для решения поставленных задач и достижения намеченной цели использованы методы оптимизации, математического моделированиия, теории графов, задач сетевого планирования и управления, теории вероятности, численные методы, а также методы программирования.

Научная новизна

1. Разработана новая сетевая модель «работа-дуга» со специальным свойством минимальности фиктивных дуг и предложены алгоритмы ее автоматизированного построения; в отличие от существующих, модель позволяет эффективнее решать задачу сетевого планирования в условиях нелинейной чувствительности работ проекта к привлекаемому ресурсу. Это позволило ввести новую оценку сложности сетевого проекта числом полных путей построенного орграфа проекта.

2. Предложены новые численные методы приближённого решения соответствующей задачи динамического программирования, позволяющие получать решение в условиях большей размерности исходных данных, и метод статистического оценивания моментов решения стохастического сетевого проекта.

3. На основе предложенных моделей и алгоритмов для решения стохастических задач распределения ресурсов разработан комплекс программ для случаев большей размерности исходных данных: КМСЗРР (Комплекс для моделирования стохастических задач распределения ресурсов), позволивший исследовать зависимости моментов решения стохастической задачи распределения ресурсов от параметров задачи.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модель сетевого проекта в форме графа с минимальным числом фиктивных дуг, алгоритмы его построения на основе списка технологического предшествования и оценка сложности сетевого проекта числом полных путей построенного орграфа;

2. Методика применения стохастического динамического программирования для оптимизации вложения ограниченного ресурса при- неравномерном изменении: разметки дуг орграфа проекта и статистического оценивания моментов решения стохастического сетевого проекта.

3. Приближённые:методы решения задачи распределения ресурсов, позволяющие, в отличие от существующих, решать соответствующую задачу динамического; программирования: в условиях большей размерности - исходных данных.

4. Комплекс программ для моделирования; стохастических задач: распределения ресурсов средствами модифицированного, динамического программирования.

Теоретическая и практическая значимость исследований. Теоретическая значимость работы заключается в следующем: ,

Г. Построена модель нелинейного: распределения .ресурсав задаче сетевого планирования и управления в форме орграфа с минимальным числом фиктивных работ. В качестве оценки сложности сетевого проекта предложено использовать число полных путей построенного орграфа.

2. В качестве численных методов решения-задачи предложен ряд модификаций динамического программирования, позволивших сократить объём вычислений и решить задачу в. стохастической постановке. Доказана теорема о необходимом условии оптимальности приближённого решения.

3. С помощью разработанного комплекса программ исследован ряд практических постановок задач сетевого планирования и управления;.

Работа вносит вклад в развитие теории сетевого планирования и управления, а также в теорию задач распределения ресурсов сложных проектов. Теоретические результаты работы представлены 8 теоремами.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. Разработанные модели и алгоритмы имеют универсальный характер и применимы для решения широкого класса прикладных задач распределения ресурсов.

2. Результаты численного моделирования решений методами модифицированного динамического программирования могут быть использованы для решения задач в условиях большей размерности исходных данных.

3. Разработанный комплекс программ КМСЗРР зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (Роспатент) и Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (ОФЕРНиО), может использоваться в практических задачах оптимизации вложения ограниченного ресурса с целыо уменьшения критического времени проекта, в исследовательских целях, в образовательных учреждениях при обучении студентов, магистрантов и аспирантов дискретной математике, численным методам, комбинаторике и другим математическим дисциплинам, затрагивающим задачи переборного типа.

Достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, определяется численно-аналитическими оценками адекватности предложенных моделей, доказанными теоремами, корректностью использования математического аппарата и вычислительных программных комплексов.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Работа выполнялась в рамках плана НИР СамГТУ по теме «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений».

Апробация работы

Результаты исследований по теме диссертационной работы докладывались на научных форумах:

- VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007 г.);

- III Международный форум «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2007 г.);

- Международная молодёжная научная конференция «XXXIV Гагаринские чтения» (Москва, 2008 г.); ,

- IV Международный форум «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2008 г.); ,

- V Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008 г.);

- VII Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (УльI яновск, 2009 г.); !

- Международная молодёжная1 научная конференция «Научному прогрессу -творчество молодых» (Йошкар-Ола, 2010 г.);

- V Международный форум «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2010 г.);

- Международная научно-техническая конференция «Информационные, измерительные и управляющие системы» (Самара, 2010 г.);

- VII Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010 г.);

- Международная конференция с элементами научной школы для молодёжи i

Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара, 2010 г.); i 1

- II Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2010 г.);

- LUI научная конференция МФТИ (Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2010 г.);

- XLII Всероссийская молодёжная школа-конференция «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011 г.);

- научный семинар «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (руководитель д.ф.-м.н., профессор В Л. Радченко, 2008-2010 гг.);

- научный семинар кафедры Математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета (руководитель д.ф.-м.н., профессор JI.A. Сараев, 2010 г.);

- научный семинар кафедры «Прикладная математика» Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)» (рук. д.ф.-м.н., профессор А.И.Жданов, 2011 г.);

- научный семинар кафедры Математических методов и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления (руководитель д.т.н., д.э.н., профессор В.К. Семёнычев, 2011 г.).

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 20 научных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК и одно свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора

Научному руководителю принадлежат постановки задач, а автору - математическая проработка задач, 'доказательство теорем, разработка алгоритмов, численных методов и их реализация в комплексе программ для решения поставленных задач.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, общих выводов, списка литературы и приложений, в которых приведена блок-схема разработанного комплекса программ и свидетельства о регистрации комплекса программ в Роспатенте и в ОФЕРНиО. Общий объём диссертации составляет 158 страниц, включая 26 рисунков и 31 таблицу. Библиографический список включает 136 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Докучаев, Александр Владимирович

4.7. Выводы по главе 4

Разработано программное обеспечение, позволяющее решать стохастические задачи динамического программирования. По сравнению с существующим программным обеспечением, описанным в пункте 4.1 данной главы, обладает следующими преимуществами:

1) позволяет решать стохастические задачи распределения ресурсов при большей размерности исходных данных;

2) позволяет решать задачу в различных постановках: в дискретной и непре рывной, в детерминированной и стохастической;

3) имеет гибкие возможности изменения начальных данных задачи (число точек дискретизации ресурса, функций освоения, стохастических параметров 1 процесса) без необходимости доработки кода программы. I

С помощью разработанного комплекса программ решены прикладные задачи: о процентных ставках и задача сетевого планирования комплекса работ.

Заключение

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные результаты:

1) разработана новая модель сетевого проекта с минимальным числом фиктивных дуг, алгоритмы ее построения на основе списка предшествования (последования) проектных работ (модель позволяет находить оптимальное решение задачи сетевого планирования и управления в случае нелинейной

I \ зависимости времени выполнения работ проекта от вкладываемого дополнительного ограниченного ресурса) и введена оценка сложности сетевого проекта на основе числа полных путей построенного орграфа;

2) предложен алгоритм модификации стохастического динамического программирования для моделирования оптимального вложения ресурса при 1 неравномерном изменении разметки дуг орграфа проекта;

3) изложен универсальный метод статистического оценивания моментов оптимального решения стохастического сетевого проекта, впервые отмечено различие оценок в случае единственности и неединственности решения; I

4) предложены новые численные методы получения приближённого и точного решения задачи сетевого планирования, понижающие размерность исходной задачи динамического программирования;

5) разработан комплекс программ для решения стохастических задач распределения ресурсов на основе предложенных новых модификаций динамического программирования, позволивший моделировать зависимости моментов решения задачи распределения ресурсов от стохастических параметров проектных работ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Докучаев, Александр Владимирович, 2011 год

1. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. — М.: Наука.- 1987.-368 с. '

2. Алферов В.И., Баркалов С.А., Набиуллин И.Ф., Черенков Ю.А. Задача поиска оптимальной иерархии в зависимости от функции затрат // Вестник Воронежского государственного технического университета.-2009.-Т. 5. № 11. — С. 237-239.

3. Алферов В.И., Бурков В.Н., Кравцов А.Е., Карпов Ю.А. Эвристические алгоритмы распределения ресурсов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2009. — Т. 5. — № 12. — С. 176179.

4. Апатцев В.И., Бухало Г.И. Основы логистики. — М.: РГОТУПС. 2005. - 207 с.

5. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций. М.: ИНФРА-М. — 2006. - 352 с.

6. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир. - 1979. - 536 с. ,

7. Бабурин Д.Е. Иерархический подход для автоматического размещения ациклических графов // Современные проблемы конструирования программ. Новосибирск: ИСИ им. А.П. Ершова СО РАН. - 2002. - 256 с.

8. Баркалов П.С., Буркова И.В., Глаголев A.B., Колпачев В.Н. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами. — М.: ИПУ РАН. 2002. -65 с.

9. Баркалов С.А., Буркова И.В., Колпачев В.Н., Потапенко А.М. Модели и методы распределения ресурсов в управлении проектами // М.: ИПУ РАН. 2004. - 85 с.

10. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Иностранной литературы. - 1962. - 320 с.

11. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования М.: Наука. — >1965. — 460 с.

12. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир. - 1974. - 204 с.

13. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука. - 1969. - 375 с.

14. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностранной ли1.I ,тературы. 1960. — 400 с.

15. Беллман P., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Сб. переводов: Вопросы анализа и принятия решений. / Под редакцией Шахнова И. Ф. М.: Мир. - 1976. - С.173-215.

16. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. М.: Радио и связь. -2003.-156 с.

17. Бурков В.Н., Горгидзе И.А., Ловецкий С.Е. Прикладные задачи теории графов. Тбилиси: Мецниереба. - 1974. - 234 с.

18. Бурков В.Н., Ловецкий С.Е. Эвристический подход к решению динамических задач распределения ресурсов // Автоматика и телемеханика. — 1966. Т. XXVII. - № 5. - С. 82-90.

19. Буркова И.В., Толстых A.B., Семенов П.И. Метод дихотомического программирования в задаче оптимизации программ по стоимости // Системы управления и информационные технологии. — 2004. — № 3 (15).-С. 47-50.

20. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир. - 1973. - Т.З. -504 с. 1

21. Валуев A.M. Методы распределения ресурсов в сетевом планировании И Труды XLIX научной конференции МФТИ. — Ч. III: Аэрофизика и космические исследования. Москва - Долгопрудный. - 2006. - С. 7778.

22. Валуев A.M. Планирование и управление динамическим распределением ресурсов при выполнении комплекса работ // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал) . — 2008. — №8.-С. 307-311.

23. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования. — М.: Наука. 1964.-176 с.

24. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука. - 1988. - 208 с.

25. Визгунов Н.П. Динамическое программирование в экономических задачах с применением системы MATLAB. — Н.Новгород: ННГУ. — 2006. -50 с.

26. Вороновский Г.К., Махотило КВ., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности. — Харьков: Основа. — 1997. — 112 с.

27. Воропаев В.И., Гельруд ЯД. Использование ЦАСМ при управлении, проектами. Электронный ресурс. / Публикации Российской АссоциаI

28. Гамбаров Г.М. и др. Статистическое моделирование и прогнозирование. / Под редакцией Гранберга А.Г. — М.: Финансы и статистика. — 1990.-382 с.I

29. Гатауллин Т.М., Карандаев И. С., Статкус A.B. Целочисленное программирование в управлении производством / Т.М. Гатауллин, И.С. Карандаев, A.B. Статкус. -М.: МИУ. 1987.

30. Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах. Информатика и вычислительная биология. С.-П.: Невский Диалект БВХ-Петербург. - 2003. - 654 с.

31. Гельруд ЯД. Оптимизация развития холдинговой структуры с использованием нечеткой логики // Управление проектами и программами. — 2007.-№3.-С. 182-190.

32. Горбовцов Г.Я. Управление проектом. -М.: ЕАОИ. 2007. - 279 с.

33. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М.: Наука. - 1968. - 400 с. ,

34. Голенко Д.И., Тарнополъский Ю.Я. Оптимизация календарных планов методами направленного поиска // Кибернетика. — 1970. — № 6. — С. 138-144.

35. Голенко-Гинзбург Д.И., Сидоренко Е.А., Хицков Д.Э. Задача оптимального распределения затрат между проектами, представленными сетевыми графиками // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2010. — Т. 6. — № 4. — С. 169-171.

36. Голенко-Гинзбург Д.И., Павлов П.В., Сенюшкин A.B. Построение опти- , мального календарного плана выполнения всех работ проекта // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2010.-Т. 6.-№4.-С. 183-185.

37. Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические сетевые модели планирования и управления разработками: Монография. — Воронеж: «Научная книга». 2010. - 284 с.

38. Головицына М.В. Автоматизация конструкторского и технологического проектирования РЭС с применением САПР. Основные компоненты САПР и средства их реализации. М.: МГОУ. - 2001. - 118 с.

39. Греишлов A.A. Прикладные задачи математического программирова- • ния.-М.: Логос.-2006.-288 с. 1

40. Докучаев A.B. Алгоритмы и программное обеспечение задач календарного планирования производства в условиях неопределенности // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, вып. 2.-С. 288-289.

41. Докучаев A.B. Декомпозиция метода динамического программирования по функциям освоения // Труды IV Международного, форума (IX Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки». Ч. 2. - Самара: СамГТУ. - 2008. - С. 63-67.

42. Докучаев A.B. Моделирование биржевой торговли динамическим программированием // Труды Vil Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем1 и процессов». Ульяновск: УлГУ - 2009. - С. 93.

43. Докучаев A.B., Котенко А.П. Оптимизация привлечения дополнительных ресурсов в сетевом планировании // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2010. № 1(20). - С. 234-238.

44. Докучаев A.B. Оптимизация вложения дополнительных ресурсов в задачах сетевого планирования и управления // Труды V Международного форума (X Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки». Ч, 2. - Самара: СамГТУ. - 2010. — С. 64-70.

45. Докучаев A.B., Котенко А.П. Построение графа задачи оптимизации сетевого планирования и управления // Материалы Международной научно-технической конференции «Информационные, измерительные и управляющие системы». Самара: СамГТУ. — 2010. — С. 291-294.

46. Докучаев A.B., Котенко А.П. Построение графа задачи оптимизации сетевого планирования // Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». 4.2. - Самара: СамГТУ. - 2010. — С. 86-90.

47. Докучаев A.B. Дисперсия стохастического процесса распределения ресурса // Труды Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса». Самара: СГАУ. — 2010. - С. 610-614.

48. Докучаев A.B. Котенко А.П. Комплекс для моделирования стохастических задач динамического программирования. Роспатент. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011615999 от 03.08.2011.

49. Докучаев A.B., Котенко А.П. Свойства графов задач сетевого планирования и управления // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2010. — № 2(21). — С. 204-211.

50. Докучаев A.B. Построение графа сетевого проекта с минимальным числом фиктивных дуг и учетом новой меры сложности // Труды XLII Всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». Екатеринбург: ИМиМ УрО РАН. - 2011. - С. 2627.

51. Дрозденко К.А. Динамическое программирование в стохастических задачах распределения ресурсов // Обозрение прикладной и промышленной математики. —2008. — Т. 15, № 1. —С. 88.

52. Дрозденко К.А., Котенко А.П. Применение метода динамического программирования в стохастических задачах распределения ресурсов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. 2007. - № 1(15). - С. 184-186.

53. Дрозденко К.А. Адаптивный подход к управлению ресурсами в стохастических задачах на основе динамического программирования // Труды Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагарин-ские чтения». 2008. - С. 58-59.

54. Дроздов Н.Д. Алгоритмы дискретного программирования. Тверь: ТГУ. - 2000. - 82 с.

55. Дудченко A.A. Оптимальное проектирование элементов авиационных конструкций из композиционных материалов. — М.: МАИ. — 2002. — 84 с.

56. Дыхнов А.Е., Постовалова И.П. Эффективный алгоритм формирования сети «дуга-работа» // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000, Т. 7, № 2. - С. 341-342.

57. Елъдештейн Ю.М. Логистика. — Красноярск. — 2006. — 508 с.

58. Зайченко Ю.П. Исследование операций. — К.: Высшая школа. — 1988. — 552 с. '

59. Зимин И.Н. Алгоритм расчета сетей при переменных интенсивностях выполнения операций // известия АН СССР: Техническая кибернетика. 1973.-№6.-С. 17-23.

60. Кнут ДЕ. Искусство программирования на ЭВМ. — М.: Мир. 1977. -Т. 2. - 724 с.

61. Коваленко А.Г. Развитие математических моделей и методов теории1 iгидравлических сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка: автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук / Москва: ЧелГУ. -2006. 40 с.

62. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. — М.: Наука. 1987. - 303 с.

63. Кормен Т.Х. и др. Алгоритмы: построение и анализ / Томас X. Кормен.- М.: Вильяме. 2006. - с. 1296.

64. Крамере Х.Н. Химические реакторы: расчет и управление ими. — М: Химия. 1967.-264 с.

65. Левитин А.В. Алгоритмы: введение в разработку и анализ. М.: Вильяме, 2006.-С. 349-353.

66. Лубенцова B.C., Манякова Е.П. Методика исследования и оптимизации задачи сетевого планирования в условия неопределенности имитационным методом // Математическое, моделирование и краевые задачи. — Самара: СамГТУ. 2008. - 4.2. - С. 69-75.

67. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. — М.: Мир. — 1981.-323 с.

68. Малинина Н.Л. Противоречия в свойствах двух основных типов сетевых моделей и пути их разрешения. — Москва: Труды МАИ. — № 37. -2010.

69. Малыхин В.К, Прохоров Ю.Г. и др. Модели управления запасами. — М.: МИУ. 1987. - 52 с.I

70. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход. М.: Мир. -1971.-304 с.

71. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. — М.: Наука.-1990.-488 с.

72. Михалевич B.C., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах распределения ресурсов. — М.: Наука. -1983.-208 с.

73. Никулъчев Е.В. Практикум по теории управления в среде Matlab. М.: МГАПИ. - 2002. - 88 с.

74. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad. — СПб.: Лань. -2008.-352 с.

75. Охорзин В.А. Оптимизация экономических систем. Примеры и алгоритмы в среде Mathcad. M.: Финансы и статистика. — 2005. - 144 с.9%.Полетаев В.А. Компьютерно-интегрированные производственные сис- 1 темы. Кемерово: КузГТУ. - 2006. - 199 с.

76. Постовалова И.П. Структурная оптимизация сложных сетевых проектов: автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук / Челябинск: ЧелГУ. 2005. — 22 с.

77. Рыжиков Ю.И. Управление запасами. М.: Наука. — 1969. - 344 с.i

78. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. — М.: Мир. — 1973. — 304 с.

79. Светлов Н.М. Принцип полного использования информации в приложении к стохастическим двухэтапным моделям. — Электронный ресурс. Режим доступа: http: //svetlov.timacad.ru/ svetlovrus.html.

80. Струченков В.И. Методы оптимизации. — М.: Экзамен. — 2005. 254

81. Taxa X.А. Введение в исследование операций. Пер.с англ. М.: Вильяме. - 2005. - 912 с.

82. Терехов С.А. Адаптивные нейросетевые методы в многошаговых играх с неполной информацией // Научная сессия МИФИ-2005. VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика-2005»: Лекции по нейроинформатике. М.: МИФИ. - 2005. - 214 с.

83. Терехов В.А., Тюкин И.Ю. Синтез адаптивных нейросетевых регуляторов нелинейных динамических объектов. — СПб.: С. Петербургский ун-т.-2005.-265 с.

84. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование операций). Т. 93. - Кемерово: КузГТУ. - 2000. - 177 с.

85. Уздемир А.П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике. -М.: Физматлит. — 1995. — 288 с.

86. Хахулин Г.Ф., Красовская М.А., Булыгин B.C. Теоретические основы автоматизированного управления. — М.: МАИ. — 2005. — 396 с.

87. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир. - 1967. - 533 с.

88. Черноусько Ф.Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. -М.: Наука.- 1978.-271 с.

89. Щербина О.А. Методологические аспекты динамического программирования // Динамические системы — 2007. — № 22. — С. 21-36.

90. Щербина Ю.В. Технические средства автоматизации и управления. — М.: МГУП. 2002. - 448 с.

91. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: ЮНИТИ. - 1997.-590 с.

92. Arman G., Davar К., Mohammad К. Development of stochastic dynamic Nash game model for reservoir operation. I. The symmetric stochastic model with perfect information // Advances in Water Resources. — 2007. — no. 30. — Pp. 528-542.

93. Belzil C. The return to schooling in structural dynamic models: a survey //

94. Kerachian R., Karamouz M. A stochastic conflict resolution model for water quality management in reservoir river systems // Advances in Water Resources. 2007. - no. 30. - Pp. 866-882. '

95. Myyra S., Pietola K., Yli-Halla M. Exploring long-term land improvements under land tenure insecurity // Agricultural Systems. 2007. - no. 92. - Pp.127.1990.63.75.

96. Sabbadin R., Spring D, Rabier C.-E. Dynamic reserve site selection under contagion risk of deforestation // Ecological modeling. 2007. - no. 201. -Pp. 75-81. I

97. Schensted C. Longest increasing and decreasing subsequences. // Canadian Journal of Mathematics. 1961. — no. 13. — Pp. 179-191.

98. Wijnen R.A. Runway Capacity Planning Supported by Dynamic Programming // Aerospace science and technology. — 2003. — no. 7.i