Математическое моделирование производственных функций со случайными аргументами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Назарова, Наталья Викторовна

• Назарова, Наталья Викторовна
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Назарова, Наталья Викторовна

Введение.

1 Специальные функции в описании производств.

1.1 Гиперболические функции в описании социально-экономических процессов.

1.2 Производственные функции - одна из форм представления гиперболических функций.

1.3 Виды производственных функций в описании производств.

1.4 Исследование и анализ производственных функций.

Выводы.

2 Построение моделей производственных функций с вероятностными аргументами.

2.1 Рассмотрение гипотез о различных вероятностных законах представления прошлого и настоящего труда.

2.2 Нормальный закон представления прошлого и настоящего труда.

2.3 Равномерный закон представления прошлого и настоящего труда.

2.4 Различные композиции распределения случайных аргументов прошлого и настоящего труда.

2.5 Поведение плотности распределения случайной величины, характеризующей производство, в зависимости от коэффициентов эластичности фондов и труда.

2.6 Ранжирование предприятий с использованием функции плотности выпуска продукции.

Выводы.

3 Моделирование работы предприятия на основе разработанных специальных функций.

3.1 Разработка динамической модели производственной функции для описания работы предприятия.

3.2 Модели развития производства с учетом вложенных средств.

3.3 Методика определения показателей функционирования предприятия на основе разработанной математической модели.

3.3.1 Определение весовых коэффициентов производственной функции на основе ограниченной статистической информации.

3.4 Моделирование функционирования предприятия ОАО «Пензтяжпромарматура» на основе производственных показателей, прогноз развития производства.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование производственных функций со случайными аргументами»

В современных условиях математические методы исследования все больше проникают в такие области деятельности как экономика, экология, управление научно-техническим процессом. Особенно важны эти методы в исследованиях сложных систем социально-экономического, информационного, биологического плана. Сложность количественного описания таких систем, получения математических закономерностей сдерживают благоприятные стремления современной науки «проверить алгеброй гармонию».

Системы, как правило, характеризуются: неоднородностью структуры, нелинейностью характеристик, резко ассиметричным распределением параметров, многоконтурными взаимодействиями и т.д. Решение, приводящее к правильному пониманию поведения сложных систем, к которым можно отнести большой класс производственных, лежит в изучении эмпирических закономерностей с помощью построения соответствующих математических моделей.

Использование математического моделирования помогает выделить и описать наиболее важные, существенные связи экономических объектов, оценить параметры производства. Производственные функции (ПФ) используются как полезный инструмент, позволяющий проводить аналитические расчёты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, прогнозировать объём выпуска продукции и контролировать реальность плановых проектов.

Понятие ПФ введено в 1928 г. американскими учёными Коббом и Дугласом. Значительный вклад в развитие теории производственных функций внесли работы фон Неймана, В. Леонтьева, Р. Солоу, А. Клейна, А. Михалев-ского, Р. Сато, Дж. Хикса, Л. Терехова, Г.Клейнера и многих других отечественных и зарубежных учёных.

Используемые в настоящее время ПФ, подразделяются на классы в зависимости от особенностей производственных отношений и используемого инструментария: микро- и макроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические, детерминированные и стохастические.

В работах современных отечественных и зарубежных учёных широко представлены виды детерминированных, статических, макроэкономических ПФ (Г.Б. Клейнер, В.А. Макаров, P.JI. Раяцкас, Е.К. Смирницкий, Е.Г. Голь-штейн, В.А. Колемаев), динамические и статические оптимизационные задачи (Е.З. Демиденко, Ю.П. Иванилов, A.B. Лотов, JI.B. Канторович, Н.Е. Коб-ринский), прикладные эконометрические функции (К.А. Багриновский, В.П. Бусыгин, А.Г. Гранберг, А.И. Гладышевский). Наиболее малоизученными являются ПФ в вероятностной форме описания реальных процессов.

Проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительно. Последнее обусловлено причинами:

-отсутствие достаточного объема статистического материала по основным параметрам производства;

-описание экономики с помощью производственных функций в виде «черного ящика», на вход которого поступают ресурсы, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства продукции;

-аргументы производственных функций не рассматриваются как случайные величины, описываемые различными законами распределения; интенсивному внедрению ПФ для описания микроэкономических процессов препятствует отсутствие методик расчёта основных параметров производства с учётом их случайного характера.

Решению этих актуальных проблем посвящена диссертационная работа.

Целью работы является построение математической модели производственных функций со случайными аргументами, разработка методик использования полученной математической модели для оценки функционирования предприятия.

В соответствии с целью исследования в диссертационной работе поставлены следующие основные задачи:

- провести анализ различных видов представления ПФ;

- выполнить моделирование ПФ со случайными аргументами для оценки эффективности производства и принятия управленческих решений;

- разработать методику определения параметров ПФ и прогнозирования их изменения на основе ограниченного статистического материала;

- выполнить моделирование динамической производственной функции, обосновать подход к определению характеристик производства на ее основе;

- разработать методику построения динамической производственной функции с учетом вероятностных законов распределения аргументов и неполной статистической информации о параметрах производства;

- разработать программы для определения характеристик моделируемых функций и оценки работы предприятий.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю, к.т.н., профессору Зубкову Александру Фёдоровичу за поддержку и помощь в процессе работы над диссертацией, а также высказать признательность коллективу кафедры «Прикладная математика и исследование операций в экономике» за оказанное внимание и ценные указания.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Назарова, Наталья Викторовна

Выводы

1. В работе предложено динамическое представление производственах ной функции ах О

- ц + — \ + а,у К) 2

X на основе последовательных преобразований статической мультипликативной производственной функции и её композиции с динамической моделью Солоу. Динамическая производственная функция позволяет определить величину выпуска продукции в любой момент времени ^ с учётом выпуска в предыдущие периоды и прогнозировать получение требуемого количества продукта с заданной вероятностью.

2. Зависимости между соотношениями значений X — выпуска продук

Х И ции, К— основных фондов и коэффициентов ц, р: -;— позволяют форми

К р ровать политику развития производства, как на начальном этапе, так и в период стабилизации. При ограничении финансирования модель позволяет принимать решения по поддержке производства, в случае благоприятных условий - перехода на рентабельный уровень.

3. В результате экономико-статистического моделирования на основе реальных данных предприятия ОАО «Пензтяжпромарматура» была получена производственная функция Х- 1,98АГ0"551 -¿°'521, соответствующая определённому значению вероятности. Данная модель статистически значима и адекватна.

4. Анализ полученной модели показал, что значение эластичности по фондам превосходит эластичность по труду о^ > (Х2, что означает: имеет место трудосберегающее (интенсивное) направление развития предприятия в исследуемом периоде. При этом суммарное значение эластичностей а1 +а2 = 1,072 >1, следовательно, выпуск продукции растёт быстрее, чем в среднем растут величина основных фондов и число занятых в производстве.

Полученное условие оц+о^ «1 соответствует фундаментальному требованию для производственных функций в форме Кобба-Дугласа. Данное положение отражает выводы многих исследователей для различных производств, технических укладов, экономик разных стран.

5. Результаты развития производства, полученные на основе использования смоделированной динамической производственной функции для ОАО «Пензтяжпромарматура», показали, что с увеличением коэффициента инвестиций (р) и уменьшением значения доли выбывших за год производственных фондов (ц) быстрее происходит рост величины основных фондов. Оптимальными значениями являются р=0,15 и |1=0,1, что позволяет провести распределение инвестиций в соответствующих пропорциях.

6. Разработана методика построения динамической производственной функции со случайными аргументами. Методика позволяет строить производственные функции для любых промышленных предприятий. Отличительная особенность методики заключается в том, что построение производственной функции происходит при ограничении статистической информации.

Заключение

На основе результатов диссертационной работы были получены следующие выводы и даны предложения.

1. Предложена производственная функция со случайными аргументами на основе композиции случайных величин, позволяющая по коэффициенту предпочтения обосновать целесообразность размещения заказа на предприятии, решать задачи по оценке его возможного банкротства.

2. Получена динамическая производственная функция, которая допускает определить величину выпуска продукции для конкретного момента времени, прогнозировать получение требуемого количества продукта с заданной вероятностью различных промышленных предприятий.

3. Разработанная математическая модель позволяет формировать политику развития производства, как на начальном этапе, так и в период стабилизации, принимать решения по поддержке производства, или, при благоприятных условиях, по переходу на рентабельный уровень.

4. Для производственной функции с вероятностными параметрами предложена схема построения плотности распределения на основе композиции случайных величин. Проверка показала, что основные свойства полученных плотностей распределения для различных законов распределения выполняются, что подтверждает правильность выдвинутых предположений.

5. Разработаны методики построения производственных функций промышленных предприятий со случайными аргументами при ограниченной статистической информации и программы, для определения характеристик производственной функции.

6. Применение разработанных математических моделей производственных функций на предприятии ОАО «Пензтяжпромарматура» показали эффективность их использования для оценки работы промышленного производства и прогнозирования объема выпускаемой продукции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Назарова, Наталья Викторовна, 2005 год

1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики Текст. / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 456 с.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных Текст. / С.А. Айвазян, Е.С. Енюков, Л.Д. Мешал-кин. М.: Финансы и статистика, 1993. - 471 с.

3. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст. / A.A. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н.В. Копченова-М.: Высшая школа, 1994.-544 с.

4. Арнольд, В.И. О представлении непрерывных функций трёх переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных Текст. / В.И. Арнольд. Математический сборник, 1959. т. 48, №1. — 17 с.

5. Астахов, Ю.И. Применение производственных функций на стадии предплановых расчётов в электромашиностроении Текст. / Ю.И. Астахов, Г.Б. Клейнер, Е.И. Райхельсон. // Электротехническая промышленность. -1982, №2. С. 47-54.

6. Багриновский, К.А. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика) Текст. / К.А. Багриновский, В.М. Матюшок. М.: РУДН, 1999.-312 с.

7. Багриновский, К.А. Интеллектная система в отраслевом планировании Текст. / К.А. Багриновский, В.В. Логвинец. М.: Наука, 1989. - 136 с.

8. Багриновский, К.А. Математика плановых решений Текст. / К.А. Багриновский, В.П. Бусыгин. М.: Наука, 1980. - 224 с.

9. Баканов, М.И. Теория экономического анализа Текст. / М.И. Баканов, А.Д. Шеремет. М.: Финансы и статистика, 1995. - 560 с.

10. Баркалов, Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста Текст. / Н.Б. Баркалов. М.: МГУ, 1981. - 214 с.

11. И. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

12. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем Текст. / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. М.: Финансы и статистика, 2003. — 368 с.

13. Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов Текст. / Ю.П. Боглаев. М.: Высшая школа, 1990.-544 с.

14. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. — М.: Наука, 1986. -544 с.

15. Валтер, Я. Стохастические модели в экономике Текст. / Я. Валтер. Пер. с чеш. — М.: Статистика, 1976. — 230 с.

16. Введение в математическое моделирование Текст. / Под. ред. П.В. Трусова. М.: Логос, 2004. - 440 с.

17. Венецкий, И.Г. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе Текст. / И.Г. Венецкий, В.И. Венецкая. -М.: Статистика, 1979.-446 с.

18. Вентцель, А.Д. Курс теории случайных процессов Текст. / А.Д. Вентцель. — М.: Наука, 1975. 319 с.

19. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и её инженерные приложения Текст. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Высшая школа, 2000. - 480 с.

20. Вержбицкий, В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные диференциальные уравнения) Текст. / В.М. Вержбицкий. -М.: Оникс, 2005.-400 с.

21. Вероятностные методы и кибернетика: Сборник статей Текст. / Под. ред. проф. Р.Г. Бухараева // 20-й выпуск. Казань: Казанский ун-т, 1983. -134 с.

22. Волков, Е.А. Численные методы Текст. / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982.-256 с.

23. Высшая математика для экономистов Текст. / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2000.-471 с.

24. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов Текст. / И.И. Гихман, A.B. Скороход. М.: Наука, 1963. - 655 с.

25. Гладышевский, А. И. Методы и модели отраслевого экономического прогнозирования Текст. / А. И. Гладышевский. М.:Экономика, 1977. — 143 с.

26. Глинский, Б.А. Моделирование как метод научного исследования Текст. / Б.А. Глинский, Б.С. Грязнов. М.: Наука, 1965. — 245 с.

27. Глушков, В.М. Моделирование развивающихся систем Текст. / В.М. Глушков, A.C. Иванов, К.А. Яненко. М.: Наука, 1983. — 276 с.

28. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / В.Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1977. - 479 с.

29. Горчаков, A.A. Компьютерные экономико-математические модели Текст. / A.A. Горчаков, И.В. Орлова. М.:ЮНИТИ, 1999. - 345 с.

30. Горчаков, A.A. Методы экономико-математического моделирования и прогнозирования в новых условиях хозяйствования Текст. / A.A. Горчаков, И.В. Орлова, В.А. Половников. М.: ВЗФЭИ, 1991. - 278 с.

31. Гранберг, А.Г. Моделирование социалистической экономики Текст. / А.Г. Гранберг. М.: Экономика, 1988. - 486 с.

32. Гранберг, А.Г. Основы региональной экономики Текст. / А.Г. Гранберг. М.: ГУВШЭ, 2004. - 494 с.

33. Гутер, P.C. Элементы теории функций Текст. / P.C. Гутер, Л.Д. Кудрявцев, Б.М. Левитан. М.: Наука, 1963. - 244 с.

34. Демиденко, Е.З. Оптимизация и регрессия Текст. / Е.З. Демиденко. -М.: Наука, 1989.-292 с.

35. Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия Текст. / Е.З. Демиденко. М.: Наука, 1981. - 302 с.

36. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики Текст. / Б.П. Демидович, И. А. Марон. М.: Наука, 1960. - 659 с.

37. Дубров, A.M. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе Текст. / A.M. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская. М.: Финансы и статистика, 2001. - 224 с.

38. Дубров, A.M. Многомерные статистические методы Текст. / A.M. Дубров, B.C. Мхитарян, Л.И. Трошин. М.: Финансы и статистика, 2000. -350 с.

39. Дуброва, Т.А. Статистические методы прогнозирования Текст. / Т.А. Дуброва. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003. - 206 с.

40. Дьяконов, В.П. Mathcad 2001: учебный курс Текст. / В.П. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

41. Евграфов, М.А. Аналитические функции Текст. / М.А. Евграфов. М.: Наука, 1965.-423 с.

42. Замков, О.О. Математические методы в экономике Текст. / О.О.Замков, A.B. Толсто пяте нко, Ю.Н. Черемных М.: ДИС, 1998. - 368 с.

43. Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики Текст. / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. СПб.: Лань, 2002. — 592 с.

44. Золотарёв, В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин Текст. / В.М. Золотарёв,- М.: Наука, 1986. 415 с.

45. Зубков, А.Ф. Математическое моделирование производственных функций с различными законами распределения основных параметров

46. Текст. / А.Ф. Зубков, Н.В. Назарова. Пенза: ПТИ, 2004. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.05.04 № 784-В2004.

47. Зубков, А.Ф. Практикум по математическому моделированию микроэкономических и макроэкономических систем: Учебное пособие Текст. / А.Ф. Зубков, Н.В. Назарова. — Пенза: ПТИ, 2002. 157 с.

48. Иванилов, Ю.П. Математические модели в экономике Текст. / Ю.П. Иванилов. М.: Наука, 1999. - 303 с.

49. Калиткин, H.H. Численные методы: Учебное пособие Текст. / H.H. Калиткин.- М.: Наука, 1978. 512 с.

50. Карасёв, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / А.И. Карасёв. М.: Статистика, 1977 - 279 с.

51. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение Текст. / Каханер, Д., Моулер К., Нэш С. Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 575с.

52. Кейслер, Г.Дж. Теория непрерывных моделей Текст. / Г.Дж. Кейс-лер, Чэн Чен-чунь. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 182 с.

53. Клейнер, Г.Б. Методы анализа производственных функций Текст. / Г.Б. Клейнер. М.: Информэлектро, 1980. - 211 с.

54. Клейнер, Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение Текст. / Г.Б. Клейнер. — М.:Финансы и статистика, 1986. — 238 с.

55. Клейнер, Г.Б. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения Текст. / Г.Б. Клейнер, С.А, Смоляк. М.:Наука, 2000. — 104 с.

56. Клейнер, Г.Б. Предприятие в нестабильной экономической среде: риски, стратегия, безопасность Текст. / Г.Б. Клейнер. — М.:Экономика, 1997. -286 с.

57. Клейнер, Г.Б. Об одном классе производственных функций Текст. / Г.Б. Клейнер, Б.Н. Сирота. // Экономика и математические методы. 1976. -T.XII, вып. 1.-С. 131-157.

58. Кобринский, Н.Е. Экономическая кибернетика Текст. / Н.Е. Коб-ринский. М.:Экономика, 1982. - 407 с.

59. Кобринский, Н.Е. Точность экономико-математических моделей Текст. / Н.Е. Кобринский, В.И. Кузьмин. М.: Финансы и статистика, 1981. -255 с.

60. Кодолов, И.М. Теоретические основы вероятностных методов в инженерно-экономических задачах: случайные события и случайные величины Текст. / И.М. Кодолов, С.Т. Худяков. М.: МАДИ, 1989. - 197 с.

61. Козлов, А.Ю. Пакет анализа MS Excel в экономико-статистических расчётах Текст. / А.Ю. Козлов, В.Ф. Шишов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. -139 с.

62. Козлов, А.Ю. Статистические функции MS Excel в экономико-статистических расчётах Текст. / А.Ю. Козлов, B.C. Мхитарян, В.Ф. Шишов.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 231 с.

63. Колемаев, В.А. Математическая экономика Текст. / A.B. Колемаев.- М.:ЮНИТИ, 2002. 398 с.

64. Комарницкая, О.И. Применение теории вероятностей в инженерных и экономических расчетах Текст. / О.И. Комарницкая, К.Б. Старобин. JL: Ленинградский ун-т, 1973. — 72 с.

65. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Сборник статей Текст. / Под. ред. A.A. Самарского. М.: Наука, 1988. - 176 с.

66. Королёв, Ю.Г. Метод наименьших квадратов в социально-экономических исследованиях Текст. / Ю.Г. Королёв. — М.: Статистика, 1980.- 112 с.

67. Лебедев, В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов Текст. / В.В. Лебедев. М.:Изограф, 1997. — 324 с.

68. Львовский, E.H. Статистические методы построения эмпирических формул Текст. / E.H. Львовский. — М.: Высшая школа, 1988. 239 с.

69. Ляпунов, A.A. Вопросы теории множеств и теории функций Текст. / A.A. Ляпунов. М.: Наука, 1979. - 264 с.

70. Макаров, B.JI. Модели оптимального функционирования отраслевых систем Текст. / B.JI. Макаров, В.Д. Маршак. М.: Экономика, 1979. -159 с.

71. Макаров, И.М. Теория выбора и принятия решения Текст. / И.М. Макаров, Т.М. Виноградская. М.: Наука, 1982. - 328 с.

72. Малыхин, В.И. Математика в экономике Текст. / В.И. Малыхин. -М.: ИНФРА-М, 2002. 352 с.

73. Малыхин, В.И. Математическое моделирование экономики Текст. / В.И. Малыхин. -М.: УРАО, 1998. 160 с.

74. Математические методы в социальных науках: Сборник статей Текст. / Под ред. П. Лазарсфельда, Н. Генри. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1973.-350 с.

75. Математические методы анализа экономики Текст. / Под ред. А .Я. Боярского. М.: МГУ, 1983. - 152 с.

76. Математическая экономика и экстремальные задачи: Сборник статей Текст. / АН СССР, отв. ред. Е.Г. Голыптейн. М.: Наука, 1984. - 159 с.

77. Математическая экономика на персональном компьютере Текст. / Под ред. М. Кубонива. М.: Финансы и статистика, 1991. - 303 с.

78. Математическая экономика и функциональный анализ Текст. / Сборник статей. // Отв. ред. Б.С. Митягин. М.: Наука, 1974. - 263 с.

79. Математика и кибернетика в экономике: Словарь-справочник. М.: Экономика, 1975. - 700 с.

80. Математический словарь высшей школы Текст. / В.Т. Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович. М.: МПИ, 1988. - 527с.

81. Моисеев, H.H. Математика в социальных науках Текст. / H.H. Моисеев // Математические методы в социологическом исследовании. М.: 1981.-С. 73-98.

82. Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль Текст. / А.Е. Мудров.- Томск: Раско, 1991. 272 с.

83. Назарова, Н.В. Высшая математика в системе Mathcad: Учебное пособие Текст. / Назарова Н.В., Зубков А.Ф., Шишов В.Ф. Пенза: ПГТА, 2005.-288 с.

84. Назарова, H.B. Математическое моделирование производственных функций с вероятностными параметрами Текст. / Н.В. Назарова // Всесибир-ский конгресс женщин-математиков: Сборник статей / Под ред. Л.Ф. Ножен-ковой. Красноярск: TOPP А, 2004. - С. 90-102.

85. Назарова, Н.В. Расчёт параметров производственных функций с использованием пакетов прикладных программ Текст. / Н.В. Назарова, А.Ф. Зубков // Современные информационные технологии: Труды III Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: ПГТА, 2004. - С. 9-12.

86. Назарова, Н.В. Численные методы в системе Mathcad: Учебное пособие Текст. / Назарова Н.В., Шишов В.Ф. Пенза: ПГТА, 2005. - 212 с.

87. Невельсон, М.Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание Текст. / М.Б. Невельсон, Р.З. Хасьминский. — М.: Наука, 1972 — 304 с.

88. Неуймин, Я.Г. Модели в науке и технике Текст. / Я.Г. Неуймин. -Л.: Наука, 1984.-189 с.

89. Общая теория статистики Текст. / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002. - 480 с.

90. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции Текст. / Ф. Олвер. Пер. с англ. М.: Наука, 1978. — 376 с.

91. Петров, В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин Текст. / В.В. Петров. М.: Наука, 1992. - 312 с.

92. Пинегина, М.В. Экономико-математические методы и модели Текст. / М.В. Пинегина. М.: Экзамен, 2002. - 331 с.

93. Плотинский, Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов Текст. / Ю.М. Плотинский. М.: Логос, 1998. - 280 с.

94. Применение математических методов для исследования многокомпонентных систем Текст. / Под. ред. И.Г. Зедгинидзе. М.: Металлургия, 1974. - 176 с.

95. Раяцкас, P.JI. Количественный анализ в экономике Текст. / P.JI. Раяцкас, М.К. Плакунов. М.: Наука, 1987. - 390 с.

96. Раяцкас, P.JI. Социально-экономическая эффективность производства Текст. / P.JI. Раяцкас, В.П. Суткайтис. М.: Наука, 1984. - 188 с.

97. Розанов, Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика Текст. / Ю.А. Розанов. М.: Наука, 1989. - 320 с.

98. Романовский, П.И. Ряды Фурье Текст. / П.И. Романовский. М.: Наука, 1980.-334 с.

99. Садовский, JI.E. Вопросы моделирования иерархических систем Текст. / JI.E. Садовский, Л.Ш. Иоффе, Г.Б. Клейнер // Изв. АН СССР, сер. «Техническая кибернетика», 1977, №2. С. 67-91.

100. Сирота, Б.Н. О методах оценивания параметров нелинейных производственных функций Текст. / Б.Н. Сирота.// Экономико-математические проблемы хозрасчёта в объединениях / Под. ред. Г.Б. Клейнера. — М.: ИНЭ-УМ, 1977.-С. 35-51.

101. Смирницкий, Е.К. Экономические показатели промышленности Текст. / Е.К. Смирницкий. М.: Экономика, 1989. - 334 с.

102. Смит, Джон М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей Текст. / Джон М. Смит. Пер. с англ. — М.: Машиностроение, 1980.-271 с.

103. ИЗ. Советов, Б.Я. Моделирование систем Текст. / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М.: Высшая школа, 1998. - 319 с.

104. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / Под ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. Пер. с англ. — М.: Мир, 1979.-312 с.

105. Солодовников, A.C. Математика в экономике: Учебник в 2 ч. Текст. / A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов. М.: Финансы и статистика, 1998. - 4.1, 224 с.

106. Сошникова, JI.А. Многомерный статистический анализ в экономике Текст. / JI.A. Сошникова, В.Н. Тамашевич, Г. Уебе, М. Шеффер. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 1999. - 598 с.

107. Справочник по специальным функциям Текст. / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. Пер. с англ. М.: Наука, 1979. - 832 с.

108. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование Текст. / Ю.Ю. Тарасевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 144 с.

109. Терехов, JI.JI. Производственные функции Текст. / JI.JI. Терехов. М.: — Статистика, 1974. 183 с.

110. Терехов, JI.JI. Экономико-математические методы в планировнаии и управлении Текст. / JI.JI. Терехов, В.А. Кузнецов, С.П. Сиднее. Киев: -Вища школа, 1984. 231 с.

111. Терехов, JI.JI. Кибернетика для экономистов Текст. / JI.JI. Терехов. М.: Финансы и статистика, 1983. - 191 с.

112. Фомин, Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности Текст. / Г.П. Фомин. -М.: Финансы и статистика, 2001. 544 с.У

113. Хачатрян, С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем Текст. / С.Р. Хачатрян. — М.: Экзамен, 2002. -192с.

114. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе Текст. / С.И. Шелобаев. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000. -367 с.

115. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие Текст. / Под ред. A.B. Кузнецова. Минск: БГЭУ, 2000. - 412с.

116. Экономико-математические методы и прикладные модели Текст. / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов; Под ред. В.В. Федосеева. -М.: ЮНИТИ, 1999.-391 с.

117. Экономический анализ: Учеб. Пособие Текст. /Под ред. М.И. Ба-канова, А.Д. Шеремета. М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.