Математическое моделирование неравновесных двухфазных течений в средах с двойной пористостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Волошин Антон нет

• Волошин Антон нет
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Волошин Антон нет

Цели и задачи исследования

Научная новизна работы

Теоретическая и практическая значимость работы

Положения, выносимые на защиту

Апробация результатов работы

Публикации

Личный вклад автора в публикациях с соавторами

Благодарности

1 Математическое усреднение уравнений течения в средах с двойной

пористью

1.1 Усреднение модельной эллиптической задачи

1.2 Усреднённая модель однофазного течения в средах с двойной пористостью , ,

1.2.1 Мезоекопичеекая модель однофазного течения

1.2.2 Усреднение уравнений течения

1.3 Полностью усреднённая линейная модель двойной пористости

1.4 Усреднённая модель двухфазного течения несжимаемых жидкостей

1.4.1 Мезоекопичеекая модель двухфазного течения несжимаемых жидкостей

1.4.2 Усреднение мезоскопической модели

1.4.3 Концепция глобального давления

1.4.4 Уравнение пропитки

1.4.5 Двойная неравновесность усреднённой модели

1.5 Полностью усреднённая модель двухфазного течения несжимаемой жидкости

в случае тонких трещин

1.5.1 Мезоекопичеекая е,$-модель двухфазного течения несжимаемых жидкостей

1.5.2 Глобальная ^-модель двойной пористости

1.5.3 Линеаризация уравнения пропитки

1.5.4 Полностью усреднённая модель течения

2 Локально неравновесные течения в рамках модели Кондаурова

2.1 Модель Кондаурова неравновесного двухфазного течения

2.1.1 Безразмерная физическая модель

2.1.2 Функция капиллярного давления и относительные фазовые проницаемости

2.2 Усреднение модели Кондаурова локально неравновесного двухфазного течения

2.2.1 Мезоскопическая модель Кондаурова локально неравновесного двухфазного течения

2.2.2 Усреднение модели Кондаурова неравновесного двухфазного течения ,

2.2.3 Уравнение неравновесной матричной пропитки для произвольных

времён релаксации и результаты численного моделирования

2.3 Плоскорадиальная фильтрации

3 Модель течения Кондаурова в средах с тонкими трещинами

3.1 Мезоскопическая е,$-модель неравновесного двухфазного течения Кондаурова

3.2 Глобальная ^-модель двойной пористости

3.3 Полностью усреднённая модель Кондаурова

3.4 Вычисление источниковых членов

4 Обобщение модели Кондаурова

4.1 Мезоскопическая модель Кондауровекого типа для неоднородных пористых сред

4.2 Модель двойной пористости Кондауровекого типа

4.2.1 Мезоскопическая модель двойной пористости

4.2.2 Двухмаештабные асимптотические разложения

4.2.3 Усреднённая неравновесная модель течения

Заключение

Библиография

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование неравновесных двухфазных течений в средах с двойной пористостью»

Актуальность темы исследования

Теория двухфазной фильтрации находит важное применение в решении задач нефтяного инжиниринга, почвоведения и других практических областей. Всё большее внимание уделяется моделированию многофазных течений в связи с захоронением радиоактивных отходов, Моделирование и численный анализ двухфазной фильтрации в пористых средах являются важным элементом в разработке экономически эффективных и безопасных очистных устройств, позволяя сократить число лабораторных и полевых экспериментов, выявить основные механизмы, оптимизировать существующие стратегии и оценить возможные риски, В последние годы значительно возрос интерес к процессам многофазной фильтрации в низкопроницаемых трещиноватых коллекторах. Одной из важных причин этого является тот факт, что трещиноватые углеводородные месторождения содержат более 20% мировых запасов нефти [60,69],

В инженерной литературе [72] геологические трещиновато-пористые пласты обычно моделируются двумя континуумами с контрастными фильтрационно-ёмкоетными свойствами, вложенными друг в друга, а именно связной системой трещин с низкой ёмкостью и высокой проводимостью и системой непересекающихся матричных блоков с низкой проводимостью и высокой ёмкостью. Основная масса жидкости переносится по системе трещин. Если эта система настолько хорошо развита, что матрица распадается на отдельные изолированные блоки, то отсутствует течение напрямую из блока в блок, однако имеет место обмен между блоками и окружающей их системой трещин (см, рис, 1 [75]), Физическая постановка таких задач приведена, например, в [26,64,72],

Моделирование течения жидкости в трещиновато-пористом пласте всегда сопряжено с наличием нескольких пространственных масштабов в коэффициентах определяющих уравнений, В то же время, размер пласта делает невозможным его численное моделирование с сеточным разрешением меньше или порядка мелкомасштабных неоднородностей, даже с использованием современных компьютеров и технологий параллельных вычислений. По этой причине необходимо найти компромисс между требуемой точностью решения соответствующих уравнений и имеющимися компьютерными ресурсами. Стандартный компромисс заключается в использовании эффективных (усреднённых) коэффициентов, что позволяет использовать более грубую вычислительную сетку. Для некоторых значений раскрыт,а трещин и коэффициентов проницаемости макроскопическое описание достигается в рамках так называемой модели двойной пористости. Впервые макроскопическое поведение трещинова-

Рис, 1, Идеализация трещиновато-пористых сред.

тых пористых сред было предложено в работе Г.И, Барепблатта, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочипой |82| и с тех пор используется в широком диапазоне инженерных задач, связанных с геогидрологией, разработкой нефтяных пластов, гражданским строительством и почвоведением,

В рамках таких моделей чаще всего предполагается, что среда является периодической: пласт с характерным размером L, неоднородности которого имеют характерный размер l, состоит из периодически расположенных с периодом е =f l/L ^ 1 непересекающихся блоков, окружённых связной системой трещин (см, рис, 1), Классическая модель двойной пористости или е2-модель (величина е2 является нормализацией абсолютной блоковой проницаемости) предполагает, что меры высоконропицаемого и пизконропицаемого континуумов, моделирующих макроскопическую область, имеют сопоставимый порядок. Связанная с этим задача усреднения была впервые решена па математическом уровне строгости Т, Арбогастом (Т, Arbogast), Дж, Дугласом (J, Donglas) и У, Хорпупгом (U, Hornung) в |21| для случая однофазного течения слабосжимаемой жидкости в пористых средах. Основные идеи этой работы были затем обобщены па случай многофазных течений несжимаемых и сжимаемых жидкостей (см, |60| и список литературы в данной монографии).

Начиная с первой работы В,А, Марченко и Е.Я, Хруслова |86|, в которой изучено асимптотическое поведение решений краевых задач Дирихле дня уравнения Гельмгольца в сильно перфорированных областях и областях с мелкозернистой границей, теория усреднения становится важным инструментом в построении макроскопических (или усреднённых) моделей физических процессов, протекающих в микропеодпородпых средах, В 70-х годах прошлого века появляется большое количество работ носвящёппых усреднению уравнений в частных производных с быстроосциллирующими периодическими коэффициентами. Эти работы связаны с именами Н.С, Бахвалова, А, Бепсусаппа (A, Bensnssan), Г,А, Иосифьяп, Ж.-Л. Лиопса (J.-L, Lions), O.A. Олейпик, Г.П, Папасепко, Дж, Папапиколау (G, Papanicolan), Э, Саичез-Паленеия (Е, Sanehez-Paleneia), A.C. Шамаева и многих других (см., например, |27, 70,80|). Дня усреднения широкого класса задач применялся метод формальных асимптотических разложений. В 90-х годах в работах Г, Аллера (G, Allaire) предложен ещё один чрезвычайно эффективный метод — метод двухмасштабпой сходимости, В настоящее время

он применяется для усреднения широкого класса линейных и нелинейных стационарных и эволюционных задач. На сегодняшний день имеется обширная литература, описывающая различные математические методы теории усреднения (см., например, [41,51,62,67,88]),

С абстрактной точки зрения, математическое усреднение можно интерпретировать следующим образом. Пусть имеется семейство задач {(Р£)}(е>о) с малым параметром е, характеризующим масштаб микроструктуры. Сложность микроструктуры области или сильные осцилляции коэффициентов практически исключают возможность непосредственного нахождения решений таких задач, в связи с чем возникает необходимость приближённого описания соответствующих процессов с помощью так называемых усреднённых уравнений, Таким образом, целью теории усреднения является установление закономерностей "макроскопического" (глобального) поведения "микроскопически" неоднородной системы и использование установленных закономерностей для описания характеристик неоднородной среды. Это означает, что исходный неоднородный объект заменяется "однородным" или усреднённым, чьи глобальные характеристики являются хорошими аппроксимациями соответствующих характеристик исходного объекта. Требуется найти предел последовательности задач {(Р£)}(е>0) при е ^ 0 предполагая сходимость решений и£(У£) к некоторому пределу и при е ^ 0, Усреднённая или макроскопическая задача определена как задача, для которой и является решением.

Описанный подход методологически отличается от традиционного физического подхода к усреднению, согласно которому рассматривается элемент объёма неоднородной среды, значительно больший, чем размер неоднородностей, и в то же время малый по сравнению с полным объёмом среды, а затем производится усреднение по этому элементарному объёму быетрооециллирующих по пространству физических величин. При усреднении в рамках физического подхода возникает вопрос, корректно ли определены эффективные коэффициенты, которые, в частности, могут зависеть от правых частей уравнений, размера области или граничных условий, В рамках математической теории усреднения эффективные коэффициенты определяются однозначно, причём они уже не зависят ни от правых частей уравнений, ни от граничных условий. Кроме того, численное решение усреднённого уравнения не требует

е

Различные методы теории усреднения широко используются при моделировании многофазных течений в пористых средах, в частности, в средах с двойной пористостью,

Мезоекопичеекие модели течения в средах с двойной пористостью можно разделить на локально равновесные и локально неравновесные. Локальная равновесность означает, что в каждом элементарном объёме пористой среды мгновенно устанавливается термобарическое, капиллярное и химическое равновесие между флюидными фазами.

Разработаны многочисленные методы исследования многофазной фильтрации в неоднородных пористых средах (см., например, [51,64,69]), Обзор математических методов усреднения, разработанных для описания двухфазной фильтрации в пористой среде, можно найти в [4,10], Даже в случае когда мезоскопическая модель является равновесной, процесс её усреднения для однофазной или двухфазной фильтрации в среде с двойной пористостью

ведёт к появлению дополнительного иеточникового члена, указывающего на общее неравновесное поведение модели (см., например, [10,29,64,76]), К тому же в работах [8,30] показано, что процедура усреднения двухфазного течения в среде с двойной пористостью ведёт к появлению неравновесного капиллярного давления в усреднённой модели. Однако, в настоящее время имеется относительно небольшое число работ, связанных с усреднением локально неравновесной двухфазной фильтрации в пористой среде. Например, в работе [69] авторы рассматривают задачи усреднения такой фильтрации в вертикально-трещиноватых пористых нефтяных пластах. Процесс усреднения описан для моделей фильтрации Баренблатта и Хаееанизаде (НаввашгаскЬ) (см, [23,49]), Строгие математические результаты, связанные с неравновесной двухфазной фильтрацией, касаются только вопросов существования и единственности соответствующих задач (см., например, [34,56]),

Приведённый краткий обзор показывает, что в рассмотренных работах не были достаточно полно исследованы задачи, связанные с усреднением локально неравновесных моделей, в частности модели Кондаурова (см, [85]), в средах с двойной пористостью, в том числе в случае, когда объём системы трещин асимптотически мал по сравнению с объёмом всей области.

Таким образом, актуальность темы исследования обосновывается необходимостью построения и исследования новых математических моделей локально-неравновесных многофазных течений в трещиновато-пористых средах и их использования в прикладных задачах.

Степень разработанности темы исследования

Существует два типа моделей многофазного течения в трещиновато-пористых средах: локально-равновесные и локально-неравновесные. Выделим также полностью усреднённые модели, которые могут быть как локально-равновесными, так и локально-неравновесными,

1. Локально-равновесные модели. Математический анализ равновесных двухфазных течений представляет интерес на протяжении многих десятилетий. Разработке этой тематики посвящена обширная литература и предложены различные методы исследования. Большое внимание уделялось вопросам существования решений этих задач в соответствующих функциональных классах: для несмешивающихся несжимаемых жидкостей сошлёмся, например, на работы [20,35,79], для смешивающихся и сжимаемых жидкостей на работы [16-18,39], наконец, для несмешивающихся и сжимаемых жидкостей на работы [11,46-48,55],

Усреднение однофазного течения как ньютоновских, так и неньютоновских жидкостей в средах с двойной пористостью, а также локально-равновееноых двухфазных течений, является хорошо известной задачей. Интерес к системам двойной пористости пришёл из геофизики, Понятие двойной пористости (или двойной проницаемости) появилось в результате исследований, проведённых на естественных трещиновато-пористых породах. Преимущества описания течения нефти и ёмкости запасов в этих типах пород обосновывали теоретические исследования, предпринятые в 1960-е годы. Модель двойной пористости была впервые предложена Г.И. Баренблаттом, Ю.П. Желтовым и И.Н. Кочиной в [82]. Первый строгий математический результат по усреднению однофазного течения слабосжимаемой жидкости в среде

с двойной пористостью был получен Т. Арбогаетом, Дж, Дугласом и У, Хорнунгом в [21] (см, также [51], где эта модель была получена Г, Адлером методом двухмаештабной сходимости). Этот результат затем был обобщён в [31,62,89] для непериодических областей и различной степени контраста. Стационарные и нестационарные модели типа двойной пористости были получены в [13,40,42,66], Наконец, модели двойной пористости многофазного течения были получены, например, в [29,38,76], и совсем недавно для неемешивающихея сжимаемых двухфазных течений — в [3,10],

На физическом уровне строгости однофазные и многофазные течения в средах с двойной пористостью изучены в монографии М.В, Панфилова [64], Отметим также работы [8,30], в которых показано, что процедура усреднения подразумевает появление неравновесного капиллярного давления в глобальной модели. Это говорит о том, что, по сути, неравновесные явления каким-то образом "уже скрыты" в мезоскопической модели.

Важно отметить, что хотя рассматриваемые в этих работах мезоскопические модели являются равновесными, процесс усреднения ведёт к появлению дополнительного нелокального по времени члена (обычно называемого дополнительным источником или "членом с памятью"), который отражает глобальное неравновесное поведение модели,

2. Локально неравновесные модели течения. Классическая теория многофазной фильтрации жидкостей и газов в пористых средах основана на гипотезе локальногого термодинамического равновесия. Это означает, что в каждом элементарном объёме пористой среды мгновенно устанавливается термобарическое, капиллярное и химическое равновесие между флюидными фазами. До тех пор, пока фазы образуют мелкомасштабную смесь в пористом пространстве с характерным размером капель (пузырьков, плёнок) порядка размера пор, предположение о термобарическом и химическом равновесии между двумя фазами полностью приемлемо, что, однако, не относится к капиллярному равновесию. Кроме того, экспериментальные исследования не подтверждают модели равновесного течения (см., например, [28,45,52]), Наиболее известными и часто обсуждаемыми явлениями, которые противоречат предположению о равновесности течения, являются зависимости фазовых прони-цаемостей и капиллярного давления от скорости и направления изменения насыщенности. Общепринятым объяснением этих явлений является неравновесность совместного движения жидкостей (см., например, [43,81]),

Хорошо известны неравновесные эффекты двухфазного вытеснения в пористой среде (см., например, [23,85]), Наиболее распространённый подход при моделировании неравновесного течения заключается в том, что относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление считаются функциями не только фазовых насыщенностей Ба, где а соответствует

смачивающей (эд) и несмачивающей (и) жидкостей, но и от производной насыщенности по д£

времени ——^ (см., например, [23,49]), Таким образом, учитывается характерная особенность дЬ

неравновесных течений — зависимость от скорости протекания процесса. Одна из наиболее распространённых моделей этого типа была предложена Баренблаттом (см., например, [23]), В рамках модели Баренблатта предполагается, что относительные проницаемости, а также

капиллярное давление, являются функциями параметра п

def п , dSw

п = Sw + т

dt '

Sw т

релаксации понимают величину, характеризующую время установления равновесия в системе, К этому типу неравновесных моделей относится также модель, предложенная С.М, Хаееанизаде и У.Г. Греем (W.G, Gray) (см, [49]), В рамках данной модели, динамическое (неравновесное) капиллярное давление задаётся следующим образом:

pdyn d=f Pe + т

dSn dt '

где т — время релаксации, Sn = 1 — Sw — насыщенность неемачивающей жидкости, Pce

равновесное капиллярное давление.

Существует ещё один подход, предложенный В,И, Кондауровым в [85] и основанный на принципах неравновесной термодинамики, В рамках данного подхода вводится новый параметр, являющийся аргументом термодинамического потенциала. Для этого параметра сформулировано кинетическое уравнение, которое обеспечивает неотрицательность диссипации капиллярных сил. Предполагается, что транспортные свойства такой среды, т.е. относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление, являются функциями этого параметра и насыщенности.

Несмотря на то, что существует обширная литература, посвящённая моделям равновесного течения, работ, описывающие неравновесные модели двухфазного течения в пористых средах, существенно меньше. Что касается строгих математических исследований в области неравновесных течений, отметим недавние работы [33,56,63], в которых рассмотрены только задачи существования и единственности решений соответствующих уравнений. Задачи усреднения для локально-неравновесных течений в пористых средах не рассматривались.

Первый результат по усреднению для локально-неравновесных моделей Баренблатта и Хаееанизаде был получен X, Салими (Н, БаНгш) и И, Брюйнингом (Л, Вгшшп§) в работе [69], посвящённой двухфазному течению в вертикально-трещиноватых нефтяных пластах. Впоследствии задача усреднения локально-неравновесной модели Баренблатта была вновь рассмотрена в [9],

3. Полностью усреднённые модели течения. В моделях двойной пористости глобальная и локальная задачи всегда связаны через дополнительный иеточниковый член, В случае однофазного течения елабоежимаемых жидкостей, описываемого линейным параболическим уравнением, возможна строгая процедура разделения задач (см., например, [12,14,32,87]), Однако, для случая двухфазного течения в средах с двойной пористостью такая процедура является невозможной в силу нелинейности исходной задачи. Первая полностью усреднённая модель двухфазного течения была получена в [19] с помощью линеаризации ячеечной (локальной) задачи,

В классических моделях двойной пористости, описанных в физико-математической ли-

тературе, считается, что толщина трещины имеет тот же порядок, что и размер блока. Тем не менее модель Баренблатта и модель Каземи (Кагегш), предложенные в [54,82], предполагают, что мера области трещин мала по сравнению с мерой матричных блоков. Одним из подходов при моделировании таких задач является рассмотрение относительного раекрыва трещин в качестве дополнительного малого параметра. Первые результаты были получены с помощью различных подходов и независимо друг от друга в [32,87] для однофазного течения слабосжимаемой жидкости, В частности, в [87] выеокопроводящая часть (система трещин) моделировалась одним малым параметром е, характеризующим масштаб микроструктуры. Главная особенность усреднённой модели состоит в том, что она не включает ячеечные задачи ни для расчёта дополнительного иеточникового члена, ни для расчёта тензора глобальной проницаемости. Дальнейшие результаты связаны с применением метода двух малых параметров е, 5, предложенного в [41, 80]. В этом случае параметр е описывает периодичность трещиновато-пористой среды, а параметр 5 — относительный раскрыв трещины. Тогда процесс усреднения состоит из двух этапов: вначале показывается, что задача допускает усреднение при е ^ 0, а затем в полученной задаче осуществляется переход к пределу при 5 ^ 0,

е, 5

точны в том смысле, что никаких дополнительных упрощений не производится при 5 ^ 0, Получение полностью усреднённой задачи является гораздо более сложной задачей для двухфазного равновесного/неравновесного течения несжимаемых жидкостей в средах с двойной пористостью с тонкими трещинами. Как и в случае однофазного течения, на первом этапе показывается, что модель допускает усреднение при е ^ 0, Таким образом, получается гло-

55 модель может быть представлена в виде уравнений двухфазной фильтрации, за исключением двух иеточниковых членов, выраженных через решение локальной краевой задачи для уравнения равновесной/неравновесной пропитки, В отличие от однофазного течения, локальная задача уже не является линейной. Идея состоит в том, чтобы линеаризовать это уравнение и решить его аналитически относительно функции насыщенности, чтобы затем явно получить обменный член. Для классической модели двойной пористости этот подход, будучи чисто эвристическим, был впервые предложен Т. Арбогастом в [19], а затем вновь рассмотрен в [8,9], В случае тонких трещин ситуация несколько отличается из-за наличия малого параметра 52 перед дифференциальным оператором в нелинейном уравнении пропитки, В [53] была получена полностью усреднённая модель двойной пористости с тонкими

5

решения исходного уравнения пропитки и линеаризованного ведут себя как функция типа

5

точное решение можно заменить линеаризованным без значительной потери точности. Наконец, на последнем шаге, переходя к пределу в 5 ^ 0, получается полностью усреднённая модель течения. Здесь необходимо отметить, что решение дополнительных ячеечных задач требует огромных вычислительных затрат, а полностью усреднённые модели, не содержащие дополнительных ячеечных задач, более просты для численного моделирования.

Цели и задачи исследования

Целями данной работы являются:

1, Построение новых математических моделей неравновесных двухфазных течений несжимаемых жидкостей в пористых средах,

2, Разработка вычислительных алгоритмов для численного интегрирования уравнений неравновесной двухфазной фильтрации.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1, Построение полностью усреднённой модели неравновесного двухфазного течения несжимаемых жидкостей в средах с двойной пористостью для произвольных времён релаксации,

2, Разработка численного алгоритма для исследования неравновесного двухфазного течения несжимаемых жидкостей в средах с двойной пористостью в рамках усреднённой модели Кондаурова при произвольных временах релаксации,

3, Создание и верификация программных комплексов для численного решения рассматриваемых задач,

4, Проведение расчётов неравновесного двухфазного течения несжимаемых жидкостей в трещиновато-пористой среде. Численное нахождение усреднённой насыщенности в произвольный момент времени.

Научная новизна работы

Научная новизна данной работы заключается в следующем:

1, Выведено уравнение пропитки в рамках неравновесной модели Кондаурова для произвольных времён релаксации,

2, Получены аналитические представления нсточннковых членов для сред с двойной пористостью в случае тонких трещин,

3, Численно показана сходимость решения мезоскопической задачи к решению усреднённой при е ^ 0,

4, Построено обобщение модели Кондаурова, поясняющее переход от микроскопической модели к мезоскопической.

Теоретическая и практическая значимость работы

1, Построены модели двухфазной фильтрации в средах с двойной пористостью с учётом неравновесности на микроуровне,

2, Показана возможность приложения полученных теоретических результатов к задачам добычи вторичной нефти в трещиновато-пористых коллеторах.

Положения, выносимые на защиту

1, Выведено уравнение пропитки в рамках неравновесной модели Копдаурова для произвольных времён релаксации,

2, Разработан численный алгоритм для исследования неравновесного двухфазного течения несжимаемых жидкостей в средах с двойной пористостью в рамках модели Копдаурова при произвольных временах релаксации,

3, Численно показана сходимость решения мезоскопической задачи к решению усреднённой при е ^ 0,

4, Получены аналитические выражения для источниковых членов в случае сред с двойной пористостью с тонкими трещинами. Построена полностью усреднённая модель неравновесного двухфазного течения несжимаемых жидкостей в средах с двойной пористостью в случае тонких трещин для произвольных времён релаксации,

5, Разработана усреднённая неравновесная модель двухфазного течения в пористой среде с двумя масштабами неоднородности.

Апробация результатов работы

Достоверность полученных результатов обеспечена корректным проведением теоретических исследований с применением методов математического моделирования и вычислительной математики, а также согласованностью с теоретическими результатами в работах других авторов.

Результаты исследований докладывались на семинарах лаборатории флюидодинамики и сейсмоакустики МФТИ, на международных конференциях и семинарах:

• Russian-French Workshop "Mathematical Hydrodynamics", Novosibirsk, Russia, 2016; Beijing, 2017;

applications", Dolgoprudnv, Russia, 2018, и на всероссийских конференциях:

• 61-я научная конференция МФТИ, 2018;

воеибирек, Россия, 2019, Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 6 научных работ [60,61,65,73,74,83], из них 2 работы [61,73] в изданиях, индексируемых системами Web of Science, Scopus и ESCI, 1 работа [65] в издании, индексируемом системами Scopus и ESCI, и 1 работа [83] в издании, индексируемом системой RSCI,

Личный вклад автора в публикациях с соавторами

Личным вкладом автора являются: разработка численных алгоритмов, создание и верификация программных комплексов, проведение численных экспериментов и обработка их результатов, вывод уравнения пропитки в рамках неравновесной модели Кондаурова для произвольных времён релаксации, аналитические представления иеточниковых членов для сред двойной пористостью в случае тонких трещин, численное обоснование сходимости решения мезоекопичеекой задачи к решению усреднённой задачи при е ^ 0,

Благодарности

Автор выражает благодарность Л, Панкратову и A.B. Конюхову за постановку задачи и плодотворные дискуссии.

.....I......I c^jT^C^J

Математическое усреднение уравнений течения в средах с двойной пористью

1.1 Усреднение модельной эллиптической задачи

Пусть имеется некоторая неоднородная область Q, являющаяся открытым множеством пространства К (д ^ 1 — размерность пространства) и полученная в результате периодического смешивания двух различных сред, одна из которых является матрицей, а другая — включениями. Обозначим через е период области П, и пусть е — некоторое положительное число, являющееся малым по отношению к размеру области. Будем полагать ячейку периодичности У = (0,1)^. Введём макроскопический параметр х Е Пи микроскопический параметр

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волошин Антон нет, 2019 год

Литература

[1] Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables — National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 1964,

- E. 55.

[2] Ainouz A. Homogenization of a double porosity model in deformable media // Electronic Journal of Differential Equations. - 2013. - V. 90. - P. 1-18.

[3] Ait Mahiout L., Amaziane B., Mokrane A., Pankratov L. Homogenization of immiscible compressible two-phase flow in double porosity media // Electronic Journal of Differential Equations. - 2016. - V. 52. - P. 1-28.

[4] Amaziane B., Antontsev S., Pankratov L., Piatnitski A. Homogenization of immiscible compressible two-phase flow in porous media: application to gas migration in a nuclear waste repository // SIAM MMS. - 2010. - V. 8. - P. 2023-2047.

[5] Amaziane B., Jurak M. A new formulation of immiscible compressible two-phase flow in porous media // Comptes Rendus Mécanique. — 2008. — V. 336. — P. 600-605.

[6] Amaziane B., Jurak M., Pankratov L., Vrbaski A. Some remarks on the homogenization of immiscible incompressible two-phase flow in double porosity media // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B. — 2016. — V. 23, I. 2. — P. 629-665.

[7] Amaziane B., Jurak M., Zgaljic-Keko Modeling and numerical simulations of immiscible compressible two-phase flow in porous media by the concept of global pressure // Transport in Porous Media. - 2010. - V. 84. - P. 133-152.

[8] Amaziane B., Milisic, Panfilov M., Pankratov L. Generalized nonequilibrium capillary relations for two-phase flow through heterogeneous media // Physical Review E. — 2012.

- V. 85, 016304. - P. 1-18.

[9] Amaziane B., Panfilov M., Pankratov L. Homogenized model of two-phase flow with local non-equilibrium in double porosity media // Advances in the Mathematical Physics. — 2016.

- V. 2016, 3058710. - P. 1-13

[10] Amaziane B., Pankratov L. Homogenization of a model for water-gas flow through double-porositv media // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2016. — V. 39. — P. 425-451.

[11] Amaziane B., Pankratov L., Piatnitski A. The existence of weak solutions to immiscible compressible two-phase flow in porous media: the case of fields with different rock-tvpes // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, — 2013, — V, 18, — P. 1217-1251,

[12] Amaziane B., Pankratov L., Piatnitski A. Homogenization of a single phase flow through a porous medium in a thin layer // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, — 2007. - V. 17. - P. 1317-1349.

[13] Amaziane B., Pankratov L., Piatnitski A. Homogenization of a class of quasilinear elliptic equations in high-contrast fissured media // Proceedings of the Eoval Society of Edinburgh.

- 2006. - V. 136A. - P. 1131-1155.

[14] Amaziane B., Pankratov L., Rybalko V. On the homogenization of some double-porositv models with periodic thin structures // Applicable Analysis. — 2009. — V. 88. — P. 14691492.

[15] Amaziane B., Panfilov M., Pankratov L. Homogenized model of two-phase flow with local non-equilibrium in double porosity media // Advances in the Mathematical Physics. — 2016.

- P. 1-13.

[16] Awiirat Y., Hamdache K., Ziani A. Mathematical analysis for compressible miscible displacement in porous media // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences.

- 1996. - V. 6. - P. 729-747.

[17] Amirat Y., Moussaoui K. Analysis of one-dimensional model for compressible miscible displacement in porous media // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 1995. — V. 26. - P. 659-674.

[18] Amirat Y., Shelukhin V. Global weak solutions to equations of compressible miscible flows in porous media // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 2007. — V. 38. — P. 1825-1846.

[19] Arbogast T. A simplified dual-porositv model for two-phase flow // Computational Methods in Water Resources IX. - 1992. - V. 2. - P. 419-426.

[20] Arbogast T. The existence of weak solutions to single porosity and simple dual-porositv models of two-phase incompressible flow // Nonlinear Analysis. — 1992. — V. 19. — P. 1009-1031.

[21] Arbogast T., Douglas J., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 1990. — V. 21. - P. 823-836.

[22] Arbogast T., Douglas J., Hornung U. Modeling of naturally fractured reservoirs by formal homogenization techniques / ed. by R. Dautrav //In Frontiers in Pure and Applied Mathematics. — Elsevier, Amsterdam. — 1991. — P. 1-19.

[23] Barenblatt G.L, Patzek T.W., Silin D.B. The mathematical model of non-equilibrium effects in water-oil displacement // SPE Journal. — 2003. — V. 8. — P. 409-416.

[24] Bateman H., Erdelyi A. Tables of integral transforms, V, 1, — New-York: MeGraw Hill, 1954,

[25] Bear J., Bachmat Y. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media — London: Kluwer Academic Publishers, 1991,

[26] Bear J., Tsang C.F., de Marsily G. Flow and contaminant transport in porous rock — London: Academic Press Inc., 1993,

[27] Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures — Amsterdam: North-Holland, 1978,

[28] Bottero S., Hassanizadeh S.M., Kleingeld P. J., Heimovaara T. Nonequilibrium capillarity effects in two-phase flow through porous media at different scales // Water Resources Research. - 2011. - V. 47. - P. 1-11.

[29] Bourgeat A., Luckhau-s S., Mikelic A. Convergence of the homogenization process for a double-porositv model of immicible two-phase flow // SI AM Journal Mathematical Analysis. — 1996. - V. 27. - P. 1520-1543.

[30] Bourgeat A., Panfilov M. Effective two-phase flow through highly heterogeneous porous media: capillary nonequilibrium effects // Computational Geosciences. — 1998. — V. 2. — P. 191-215.

[31] Bourgeat A., Goncharenko M., Panfilov M., Pankratov L. A general double porosity model // Comptes Rendus de l'Académie de Sciences Paris, Série lib, — 1999. — V. 327. — P. 1245-1250.

[32] Bourgeat A., Chechkin G., Piatnitski A. Singular double porosity model // Applicable Analysis. - 2003. - V. 82. - P. 103-116.

[33] Cao X., Pop I.S. Two-phase porous media flows with dynamic capillary effects and hysteresis: Uniqueness of weak solutions // Computers and Mathematics with Applications. — 2015. — V. 69. - P. 688-695.

[34] Cao X., Pop I.S. Degenerate two-phase porous media flow model with dynamic capillarity // Journal of Differential Equations. - 2016. - V. 260. - P. 2418-2456.

[35] Chavent G., Jaffré J. Mathematical Models and Finite Elements for Reservoir Simulation — Amsterdam: North-Holland, 1986.

[36] Chen Z. Homogenization and simulation for compositional flow in naturally fractured reservoirs // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2007. — V. 326. — P. 12-32.

[37] Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media — Philadelphia: SI AM, 2006.

[38] Choquet C. Derivation of the double porosity model of a compressible miscible displacement in naturally fractured reservoirs // Applicable Analysis, — 2004, — V, 83, — P. 477-499,

[39] Choquet C. On a fully coupled nonlinear parabolic problem modeling miscible compressible displacement in porous media // Journal of Mathematical Analysis and Applications, — 2008,

- V. 339. - P. 1112-1133.

[40] Choquet C., Pankratov L. Homogenization of a class of quasilinear elliptic equations with nonstandard growth in high-contrast media // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh — 2010. - V. 140. - P. 495-539.

[41] Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization of reticulated structures — New-York: Springer, 1999.

[42] Clark G. W., Showalter R.E. Two-scale convergence of a model for flow in a partially fissured medium // Electronic Journal of Differential Equations. — 1999. — V. 1999. P. 1-20.

[43] Coussy O. Poromechanics — New-York: Wiley, 2004.

[44] Da Prat G., Cinco-Ley II.. Ramey H.J.Jr. Decline curve analysis using type-curves for two-porositv systems // Society Petroleum Engineering Journal. — 1981. — P. 354-362.

[45] DiCarlo D.A. Experimental measurements of a saturation overshoot on infiltration // Water Resources Research. - 2004. - V. 40, W04215.

[46] Galusinski C., Saad M. On a degenerate parabolic svstemfor compressible, immiscible, two-phase flows in porous media // Advances in Differential Equations. — 2004. — V. 9. — P. 1235-1278.

[47] Galusinski C., Saad M. Two-phase immiscible fluids in porous media // Journal of Differential Equations. - 2008. - V. 244. - P. 1741-1783.

[48] Galusinski C., Saad M. Weak solutions for immiscible compressible multifluid flows in porous media // Comptes Rendus de l'Aeadémie de Sciences Paris, Série I. — 2009. — V. 347. — P. 249-254.

[49] Hassanizadeh S.M., Gray W.G. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media // Water Resources Research. - 1993. - V. 29. - P. 3389-3405.

[50] Helmig R. Multiphase flow and transport processes in the subsurface — Berlin: Springer, 1997.

[51] Hornung U. Homogenization and porous media — New-York: Springer-Verlag, 1997.

[52] Joekar-Niasar V., Hassanizadeh S.M. Effects of fluids properties on non-equilibrium capillary effects: dynamics pore-network modeling // International Journal of Multiphase Flow. — 2011.

- V. 37. - P. 198-214.

[53] Jurak M., Pankratov L., Vrhaski A. A fully homogenized model for incompressible two-phase flow in double porosity media // Applicable Analysis, — 2016, — V, 95, — P. 2280-2299,

[54] Kazemi H. Pressure transient analysis of naturally fractured reservoirs // Transactions of AIME. - 1960. - V. 256. - P. 451-461.

[55] Khalil Z., Saad M. On a fully nonlinear parabolic system modeling immiscible gas-water displacement in porous media // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2011. — V. 12. - P. 1591-1615.

[56] Koch J., Râtz A., Schweizer B. Two-phase flow equations with a dynamic capillary pressure // European Journal of Applied Mathematics. — 2013. — V. 24. — P. 49-75.

[57] Konyukhov A., Tarakanov A. On two approaches in investigation of non-equilibrium effects of filtration in a porous medium // Proceedings of the Fifth Biot Conference on Poromechanics ASCE. - 2013. - P. 2307-2316.

[58] Konyukhov A., Pankratov L. Upscaling of an immiscible non-equilibrium two-phase flow in double porosity media // Applicable Analysis. — 2016. — V. 95, I. 10. — P. 2300-2322.

[59] Konyukhov A., Pankratov L. New non-equilibrium matrix imbibition equation for double porosity model // Comptes Rendus Mécanique. — 2016. — V. 334, N. 7. — P. 510-520.

[60] Konyukhov A., Pankratov L., Voloshin A. Homogenized non-equilibrium models of two-phase flow in fractured porous media — Moscow: Fizmatkniga, 2017.

[61] Konyukhov A., Pankratov L., Voloshin A. The homogenized Kondaurov type non-equilibrium model of two-phase flow in multiscale non-homogeneous media // Phvsica Scripta. — 2019. - V. 94, N. 5, 054002.

[62] Marchenko V.A., Khruslov E. Ya. Homogenization of partial differential equations — Boston: Birkhauser, 2006.

[63] Mikelic A. A global existence result for the equations describing unsaturated flow in porous media with dynamic capillary pressure // Journal of Differential Equations. — 2010. — V. 248. - P. 1561-1577.

[64] Panfilov M. Macroscale models of flow through highly heterogeneous porous media — London: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[65] Pankratov L., Konyukhov A., Voloshin A. General non-equilibrium matrix imbibition equation for Kondaurov's double porosity model // Proceeding of the Sixth BIOT Conference on Poromechanics, ASCE. - 2017. - P. 531-538.

[66] Pankratov L., Piatnitski A.L., Ryhalko V Homogenized model of reaction-diffusion in a porous medium // Comptes Rendus Mécanique. — 2003. — V. 331. — P. 253-258.

[67] Pavliotis G.A. Homogenization theory for partial differential equations // Lecture Notes, 2005.

[68] Richardson J.G. Flow through porous media / ed. by V.L. Streeter // in. Handbook of Fluiddynamies, — MeGraw Hill. — 1961. — P. 16-65.

[69] Salimi H., Bruining J. Upsealing of fractured oil reservoirs using homogenization including non-equilibrium capillary pressure and relative permeability // Computational Geoscience. - 2012. - V. 16. - P. 367-389.

[70] Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous media and vibration theory — Berlin: Springer-Verlag, 1980.

[71] Van Genuchten M. Th. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils // Soil Science Society of America Journal. — 1980. — V. 44. — P. 892-898.

[72] Van Golf-Racht T.D. Fundamentals of fractured reservoir engineering — Amsterdam: Elsevier Scientific Pulishing Company, 1982.

[73] Voloshin A., Pankratov L., Konyukhov A. Homogenization of Kondaurov's non-equilibrium two-phase flow in double porosity media // Applicable Analysis. — 2018. — V. 98, I. 8. — P. 1429-1450.

[74] Voloshin A. The Global Kondaurov Double Porosity Model // Proceeding of the Second International Conference on Computational Modeling, Simulation and Applied Mathematics, DEStech Publications. - 2017. - P. 55-59

[75] Warren J., Root P. The behavior of naturally fractured reservoirs // Society of Petroleum Engineers Journal. — 1963. — V. 3, I. 3. — P. 245-255.

[76] Yeh L.M. Homogenization of two-phase flow in fractured media // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2006. - V. 16, I. 10. - P. 1627-1651.

[77] Yeh L.M. On two-phase flow in fractured media // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2002. - V. 12, I. 8. - P. 1075-1107.

[78] Антонцев C.H. О разрешимости краевых задач для вырождающихся уравнений двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. — 1972. — В. 10. — С. 28-53

[79] Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей — Новосибирск: Наука, 1983.

[80] Бахвалов Н.С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов — Москва: Наука, 1984.

[81] Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах — Москва: Недра, 1984.

[82] Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И. П. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладные математика и механика, — 1960, — Т. 24, № 5, — С, 852-864,

[83] Волошин A.C. Обобщенное уравнение неравновесной пропитки матричных блоков в усредненной модели двойной пористости Кондаурова // Труды МФТИ, — 2016, — Т. 8, № 3. - С. 157-170.

[84] Волошин A.C., Мазепов В. А., Панкратов Л. С., Скалько Ю.И. Усреднение и численное моделирование однофазного течения слабосжимаемой жидкости в трещиновато-пористых коллекторах // Труды МФТИ, — 2016, Т. 8, JVS 1, — С, 153-162,

[85] Кондауров В.И. Неравновесная модель пористой среды, насыщенной неемешивающими-ся жидкостями // Прикладная математика и механика, — 2009, — Т. 73, В, 1, — С, 121-142.

[86] Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи с мелкозернистой границей // Математический сборник. — 1964. — Т. 65, JVS 3. — С. 458-472

[87] Панкратов Л. С., Рыбалко В. А. Асимптотический анализ модели двойной пористости с тонкими трещинами // Математический сборник. — 2003. — Т. 194, 1. — С. 121-146.

[88] Пятницкий А.Л., Чечкин P.A., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения — Новосибирск: Тамара Рожковская, 2007.

[89] Сандраков Г. В. Осреднение параболических уравнений с контрастными коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. — 1999. — Т. 63, В. 5. — С. 179-224.