Математическое моделирование электромагнитного и теплового полей при волноводном зондировании биообъектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Трошина, Ирина Кирилловна

• Трошина, Ирина Кирилловна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трошина, Ирина Кирилловна

Введение

1 Математическое моделирование электромагнитного поля в волноводе с биообъектом (двумерная модель)

1.1 Постановка краевой задачи.

1.2 Применение метода интегральных уравнений к решению краевой задачи.

1.3 Решение интегрального уравнения.

1.4 Результаты численных расчетов.

1.4.1 Рассеяние на диэлектрическом теле.

1.4.2 Расчет электромагнитного поля в волноводе с биообъектом.

2 Задача дифракции на неоднородности в волноводе в скалярном приближении (трехмерная модель)

2.1 Постановка краевой задачи.

2.2 Сведение краевой задачи к интегральному уравнению.

2.3 Алгоритм численного решения интегрального уравнения.

2.4 Сходимость приближенного решения к точному.

2.5 Результаты численных расчетов.

3 Математическое моделирование теплового поля в волноводе с биообъектом

3.1 Постановка начально - краевой задачи.

3.2 Алгоритм численного решения начально - краевой задачи

3.3 Результаты расчетов.

3.3.1 Расчет теплового поля при дифракции в волноводе на биообъекте

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электромагнитного и теплового полей при волноводном зондировании биообъектов»

Внимание к проблеме исследования электромагнитного и теплового полей в диэлектрических средах продиктовано возможностями применения процессов, связанных с поглощением и преобразованием электромагнитной энергии [1] - [14]. Нагрев за счет поглощения электромагнитной энергии имеет ряд преимуществ перед традиционным конвективным способом нагрева, поскольку в этом случае разогрев идет по всему объему материала равномерно. Эта особенность может быть привлекательна в вопросах связанных со спеканием керамики, сушки древесины [3], [5], [12], при создании высококачественной полимерной оптики [4] и других приложениях. Покольку распределение теплового поля в этом случае связано с распределением электромагнитного, можно осущестлять равномерный и быстрый прогрев для размораживания законсервированных тканей, без повреждения их структуры, что является основной проблемой при конвективном способе нагрева [7], [6]. При лечении ряда заболеваний необходим локальный прогрев внутренних органов буквально на несколько градусов [11]-[14]. Такой прогрев может быть осуществлен с помощью электромагнитных волн сантиметрового диапазона. Кроме того самостоятельную практическую ценность имеет возможность определения структуры и свойств рассеивателя по картине рассеяного поля [15], [16].

Этим объясняется интерес к математическому моделированию электромагнитного и теплового полей в неоднородных поглощающих средах. Метод волноводного электромагнитного зондирования биообъекта был предложен как способ изучения свойств таких сред по характеристикам рассеянного электромагнитного поля [17]. Метод, использует возможность создаиия в волноводе направленного электромагнитного поля относительно низкой интенсивности. Он может служить основой для решения целого ряда проблем, связанных с диагностикой неоднородной среды как для радиотехнических, так и для медицинских приложений. В настоящей работе на основе этого метода исследуется распределение теплового поля.

В основе математической модели лежит совместное решение краевой задачи, являющейся следствием системы уравнений Максвелла, описывающей распределение электромагнитного поля, и начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности, определяющей тепловое поле в волноводе с биообъектом.

Исследованию задачи дифракции в волноводе посвящено большое количество трудов. Отметим, что для настоящей работы особый интерес представляет случай, когда размеры изучаемого объекта значительно меньше размеров волновода, в котором проводится исследование. Кроме того, в качестве рассеивателя рассматриваются существенно неоднородные среды, характеризуемые большим поглощением.

Задача дифракции на диэлектрическом теле в волноводе имеет неклассический характер, что связано с необходимостью рассматривать задачу в цилиндрической области. Это требует постановки условий на бесконечности для корректной математической постановки задачи.

Подобной задаче были посвящены различные работы как физического, так и математического характера. Среди них необходимо отметить работы Де Бройля, Кисунько, Вайнштейна, Краснушкина, Щелкунова, Каценеленбаума и ряда других авторов [18]-[55]. Начало строгой математической теории волноводов было положено в работах А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [24] - [26]. В работе А.Г. Свешникова были впервые предложены условия излучения [27], получившие название парциальных. Этот подход позволил при определенных условиях установить однозначную разрешимость задачи дифракции на диэлектрическом теле с потерями в волноводе. Установленные теоремы необходимы при строгой математической постановке и дальнейшем численном решении рассматриваемых задач.

Для численного решения были предложены различные методы. К ним относятся метод поперечных сечений, метод частичных областей, неполный метод Галеркина, метод конечных элементов и ряд методов, основанных на сведении иходной задачи к интегральному уравнению. Метод поперечных сечений, предложенный Щелкуновым, требует знания системы собственных функций соответствующей спектральной задачи в каждом сечении волновода, что делает этот метод сложным для реализации в случае произвольного неоднородного заполнения и ограничивает применимость метода на практике достаточно частными случаями [19]. Метод частичных областей широко применяется на практике [22]. Однако, его применение возможно только в случае кусочнопостоянных коэффициентов. Весьма широкое применение получило предложенное А.Г. Свешниковым использование неполного метода Галеркина. Большой круг задач теории волноводов был решен на основе этого метода и ряда его модификаций в работах А.С. Ильинского, В.П. Моденова и других авторов [31] - [37]. Одним из вариантов метода Галеркина, используемых при решении задач дифракции, является метод конечных элементов, применимый к задачам в областях сложной геометрии [38] - [40]. В тоже время необходимо подчеркнуть сложность практической реализации этого метода. Несмотря на большую общность методов типа метода Галеркина, их использование требует рассматривать в качестве расчетной области часть волновода, заключенную между двумя его поперечными сечениями, в которой помещается рассеиватель. В случае же, когда размеры рассеивателя малы по сравнению с размерами сечения волновода применение таких методов может быть не экономичным. Это привлекает внимание к методу интегральных уравнений. В этом случае задача дискретезируется в области рассеивателя.

Применяются различные методы сведения исходной задачи к интегральному уравнению [41] - [50]. Решение граничной задачи для системы уравнений Максвелла может быть сведено к решению интегрального уравнения по объему рассеивателя относительно неизвестного векторного поля [47], [49], [50]. В [41], [45], [46] краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к интегральному уравнению по контуру рассеивателя относительно неизвестного поля на этом контуре. В настоящей работе в связи с задачей расчета электромагнитного поля в неоднородном диэлектрическом теле применяется метод объемных интегральных уравнений.

Для моделирования нагрева диэлектриков, в том числе биообъектов, под действием электромагнитного поля необходима разработка алгоритмов эффективного вычисления теплового поля при поглощении электромагнитной энергии в неоднородных средах. Это требует строгой математической постановки начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Примеряются различные методы решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. В том числе широко применяются метод конечных элементов [56] и различные конечно-разностные методы [57], [59], [58]. Основным требованием к применяемому методу является его экономичность, т.е. условие пропорциональности числа операций, выполняемых при переходе с одного временного слоя на другой, числу узлов сетки. При этом, необходимо сохранение устойчивости метода. Подобными свойствами обладают различные разностные схемы расщепления, которые могут быть использованы при исследовании теплового эффекта электромагнитного поля.

Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач.

1. Математическая постановка задачи о волноводном электромагнитном зондировании локально-неоднородной поглощающей диэлектрической среды и о тепловом воздействии на нее электромагнитного поля.

2. Разработка алгоритма расчета электромагнитного поля методом интегральных уравнений, двумерного (двумерная модель) и трехмерного (трехмерная модель). Оценка границ применимости двумерной модели.

3. Разработка алгоритма расчета теплового поля конечно-разностным методом при решении уравнения теплопроводности.

4. Применение построенных алгоритмов при решении конкретных задач в медицинской физике (при исследовании поглощения СВЧ энергии в биологических средах при СВЧ нагреве), и радиофизике( при исследовании диэлектриков и полупроводников).

Работа состоит из 3 глав, введения и заключения. Объем работы составляет 91 страницу, включая 35 рисунков и список литературы, содержащий 81 работу.

Перейдем к краткому описанию содержания работы.

Первая глава посвящена математической постановке задачи о волноводном электромагнитом зондировании локально-неоднородной поглощающей диэлектрической среды. Задача рассматривается для заполнения специального вида (двумерная модель), при котором проблема сводится к решению краевой задачи для двумерного уравнения Гель-мгольца (параграф 1). Во втором параграфе краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к эквивалентному интегральному уравнению, в котором интегрирование ведется по всей области в волноводе, занятой диэлектриком. В третьем параграфе осуществлена дискретизация интегрального уравнения и сведение его к системе линейных алгебраических уравнений. В четвертом параграфе даны результаты расчетов, выполненых на основе рассмотренного алгоритма. Приводятся результаты тестирования на основе решения задачи, допускающей аналитическое решение, а также, сравнение результатов с экспериментальными и с полученными на основе неполного метода Галеркина. Кроме того, приведены новые результаты расчетов электромагнитного поля для модельных биологических объектов.

Во второй главе рассматривается скалярная задача рассеяния на неоднородности в волноводе в трехмерном случае (трехмерная модель). В первом параграфе дана математическая постановка задачи. Во втором параграфе методом, аналогичным главе 1 задача сводится к интегральному уравнению. Здесь же показана эквивалентность интегрального уравнения исходной краевой задаче. В третьем параграфе приведена дискретизация интегрального уравнения для его численного решения. В четвертом параграфе доказана сходимость приближенного решения к точному по норме пространства L2. Пятый параграф посвящен обсуждению результатов расчетов на основе трехмерной модели и границ применимости модели двумерной.

Третья глава посвящена математической постановке и численному решению задачи о тепловом воздействии волноводного электромагнитного поля на локально-неоднородную поглощающую диэлектрическую среду. В первом параграфе дана математическая постановка соответствующей начально-краевой задачи. Для решения поставленной задачи и расчета теплового поля применена экономичная схема расщепления, описанию которой посвящен второй параграф. В третьем параграфе содержится описание тестирования программы, написанной на основе предложенного алгоритма, а также результатов расчетов телового поля при дифракции электромагнитного поля в волноводе на биообъекте.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.

Результаты работы докладывались на международных и всероссийских конференциях и школах-семинарах

1. Второй всероссийской научной конференции. "Физические проблемы экологии (Физическая экология)". Москва. Январь 1999.

2.VII всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" Красновидово. Моск. область. Май 1999.

3. VIII всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово. Моск. область. Май 2000.

4. Международной научно-технической конференции. "Физика и технические приложения волновых процессов". Тула. Сентябрь 2001.

5. X Международной школе-семинаре "Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот". Фрязино. Август. 2002.

6. Второй всероссийской конференции. "Необратимые процессы в природе и технике". Москва. Январь 2003.

7. IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Звенигород. Моск. область. Май 2003.

8. International seminar "Day on Diffraction". S.-Petersburg. June 2003. Результаты работы докладывались на научных семинарах:

1. Семинаре "Численные методы электродинамики" МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского. (Октябрь 2002.)

2. Научном семинаре кафедры математики физического ф-та МГУ под руководством профессора Бутузова В.Ф. (Март 2003.)

Основные результаты опубликованы в 11 работах [71] - [81].

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Трошина, Ирина Кирилловна

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в работе.

1. Дана математическая постановка задачи о волноводном электромагнитом зондировании локально-неоднородной поглощающей диэлектрической среды и о тепловом воздействии на нее электромагнитного поля. При этом, в строгой математической постановке рассмотрена и численно решена задача, учитавающая тепловое воздействие электромагнитного поля на поглощающую неоднородность в волноводе.

Для решения поставленной задачи рассеяния применен метод интегральных уравнений, позволивший свести задачу в цилиндрической области к уравнению Фредгольма в конечной области, занятой рассеива-телем.

Рассмотрен вопрос о сходимости предложенного алгоритма численного решения задачи рассеяния.

2. Осуществлен расчет распределения электромагнитного поля, выполненный методом интегральных уравнений. Задача решена для двумерной и трехмерной моделей. Приведена оценка границ применимости двумерной модели.

Проведено сравнение с результатами вычислений, полученными методом Галеркина, и с экспериментальными данными, которое указывает на адекватность предложенной математической модели физическому эксперименту.

3. Выполнен расчет распределения теплового поля конечно-разностным методом с использованием схемы расщепления при решении начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

4. Результаты решения поставленной задачи применимы в медицинской физике - при исследовании поглощения СВЧ энергии в биологических средах, в конструкционных материалах, применяемых в производстве высококачественной полимерной оптики при СВЧ нагреве, и радиофизике - при исследовании диэлектриков и полупроводников.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В.П. Моденову за постоянную помощь и поддержку в работе, а также всем участникам семинара "Численные методы электродинамики".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трошина, Ирина Кирилловна, 2003 год

1. Roberts J.E., Cook H.F. Microwaves in medical and biological research// British journal of applied physics. -1952, Feb., vol. 3, pp. 33-40.

2. Пресман A.C. Электромагнитные поля и живая природа. М.: Наука, 1968.

3. Диденко А.Н., Зверев Б.В. СВЧ энергетика. М.: Наука, 2000.

4. Агеев И.М., Галушко A.M., Гостюхин B.JL, В.Н. Трусов Разработка макета и установки СВЧ нагрева применительно к производству высококачественной полимерной оптики// Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2001, т.9, 1(29), с.5-15.

5. Zielonka P., Gierlik Е. Temperature distribution during conventional and microwave wood heating // Holz als Roh und Werkstoff. -1999, vol. 57, p.247-249.

6. Zhang Q., Jackson Т.Н., Ungan A., Gao D. Numerical modeling of continious hybrid heating of cryo preserved tissue // International journal of heat and mass transfer. -1999, vol. 42, p.395-403.

7. Шестиперов B.A. Определение требований к однородности электрического поля в объеме биоматериала при размораживании в СВЧ поле // Электронная обработка материалов. -1979, 1, с.73-77.

8. Strohbehn J.W., Roermer R.B. A survey of computer simulations of hypertermia treatments //IEEE Trans. Biomed. Eng. 1984, January vol. BME-31, N 1, pp. 136-149.

9. Berjano E.J., Saiz J., Ferrero J.M. Radio-frequency heating of the cornea: theoretical model and in vitro experiments //IEEE Trans. Biomed. Eng. 2002, March, vol. BME-49, N 3, pp. 196-205.

10. Arora D., Skliar M., Roermer R.B. Model predictive control of hypertermia threatment //IEEE Trans. Biomed. Eng. - 2002, July, vol. BME-49, N 7, pp. 629-639.

11. Guy A.W. Analyses of electromagnetic fields induced in biological tissues by thermographic studies on equivalent phantom models // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1971, February, vol. MTT-19, pp. 205-214.

12. Guy A.W. Electromagnetic fields and relative heating patterns due to rectangular aperture source in direct contact with bilayerd biologocal tissue // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1971, February, vol. MTT-19, pp. 214-215.

13. Magin R.L., Lu S., Michaelson S.M. Microwave heating effect on the dog thyroid gland // IEEE Trans. Biomedical engineering. 1977, November, vol. BME-24, pp. 522-529.

14. Mizuthina S., Xiang Y., Sugiura T. A large waveguide applicator for deep regional hypertermia // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1986, May, vol. MTT-34, pp. 644-648.

15. Pethig R. Phantoms for hypertermia and impedance tomography (survey). // Journal of physical medicine and biology. -1991, N 12, vol. 36, pp. 1559 1563.

16. Parkes G.M.B., Barnes P.A., Charsley E.L., Bond G. Microwave thermal analysis a new approach to the study the thermal and dielectric properties of materials // Journal of thermal analysis and calorimetry. - 1999, vol. 56, pp. 723 - 731.

17. Моденов В.П. Волноводно-резонансный метод в СВЧ диэлектроме-трии // Вестник новых медицинских технологий. 1996, т.З, 1, с.17-19.

18. Де Бройль JI. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. 1949. ОГИЗ.

19. Shelkunoff S.A. Convertion of Maxwells equations into generalized telegraphistis equations // Bell. Syst. Tech. J. 1955, v.34, N5, p.995-1009.

20. Краснушкин П.Е., Моисеев Е.И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе. // ДАН СССР. 1982, т. 264, N5, с.1123-1127.

21. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд-во АН СССР. 1961.

22. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. JI. Изд-во ВКАС. 1949.

23. Кисунько Г.В. К задаче возбуждения радиоволновода. // Журнал технической физики. 1946, 16, с.565.

24. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. // Журнал технической физики. 1948. т. 18. N 7. с.959-970.

25. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. I // Журнал технической физики, 1947, т. 17, вып. 11, с.1283-1296.

26. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов II.// Журнал технической физики. 1947. т.17. N 11. с.1283-1296.

27. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода// ДАН СССР, 1951, т.80, N 3, с. 345-347.

28. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета электромагнитных полей в нерегулярных волноводах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. N 2. С. 314-326.с

29. Свешников А.Г. Обоснование методов исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. N 5. С. 935-955.

30. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М. Радио и связь. 1988.

31. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Расчет волноводных переходов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. N 3.

32. Ильинский А.С., Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах переменного сечения. М.: Изд-во МГУ. 1970.

33. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Методы исследования нерегулярных волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. N 2. С. 363-373.

34. Моденов В.П. Расчет нерегулярных волноводов с гиротропным заполнением// Вычислительные методы и программирование. Вып. 5. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966. С. 197-209.

35. Моденов В.П. Метод Галеркина в несамосопряженных задачах теории волноводов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27. N 1. С. 144-149.

36. Моденов В.П. Математическая теория импедансных волноводов// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1996, т.4, 3, с.101-105.

37. Колесников B.C., Моденов В.П., Пирогов Ю.А., Свешников А.Г. Резонансная дифракци я волны H\q на диэлектрической неоднородности в Н плоскости волновода// Радиотехника и электроника. -1987, т.32, N 9, с.1841-1848.

38. Angkaew Т., Matsuhara М., Kumagai N. Finite-element analysis of waveguide modes: a novel approach that eleminates spurious modes //IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-35, 2, pp.117-123, 1987.

39. J.F.Lee, R.Mittra. Notion of the application of edge elements for modeling three dimensional inhomogeneously-filled cavities //IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 9, pp. 1767-1774, 1992.

40. Lee J.F., Sun D.K., Cendes Z.J. Full-wave analysis of dielectric waveguides using tangential vector finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 8, 1262-1269, 1991.

41. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

42. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М. JL: ГИТТЛ, 1950.

43. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и Связь, 1998.

44. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Высш.шк., 1987.

45. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Исследование задач дифракции в волноводах методом интегральных уравнений Фредгольма.// Вычислительные методы и программирование. М.: изд-во МГУ -1972, вып. XX, с. 22-36.

46. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: изд-во МГУ, 1987.

47. Jlepep A.M. Дифракция поверхностной волны па нерегулярностях в диэлектрическом волноводе// Изв. вузов. Радиоэлектроника. -1990, 5, с. 56-59.

48. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы// Вычислительные методы и программирование. М.: изд-во МГУ -1968, вып. X, с. 3-8.

49. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численных решениях некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода// Вычислительные методы и программирование. М.: изд-во МГУ -1968, вып. X, с. 49-54.

50. Вычислительные методы в электродинамике /сб. статей под ред. Митры. М.: Мир, 1977.

51. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: изд-во МГУ, 1983.

52. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

53. Марков Г.Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Советское радио, 1970.

54. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Задачи распознавания и синтеза в теории дифракции// Журнал вычислительной математики и математической физики. -1992, Т. 32, 10, с.1594-1607.

55. Миттра Р., Ли С., Аналитические методы теории волноводов М.: Мир, 1974.

56. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Наука, 1988.

57. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов А.А. Численные метода в задачах тепло и массообмена. М.: Наука, 1984. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Наука, 1988.

58. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

59. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

60. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1985.

61. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Москва-Ленинград: Гос. изд. физ. мат. лит., 1963.

62. Borup D.T., Gandhi О.P. Fast-fourier-transform method for calculation of SAR distributions in finely discretized inhomogenious models of biological bodies// IEEE Trans. Microwave Theory Tech. -1984, Apr., vol.32, pp. 355-360.

63. Моденов В.П., Конюшенко В.В. Метод Галеркина в задаче волно-водного электромагнитного зондирования биообъектов// Электромагнитные волны и электронные системы. 1998, т.З, N4, с. 43-46.

64. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

65. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

66. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

67. Марченко В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. Киев. Наукова Думка, 1977.

68. Lin J., Zhong J., Deng Z. Sinusoidal heating method to noninvasively meagure tissue perfusion //IEEE Trans. Biomed. Eng. 2002, August, vol. BME-49, N 8, pp. 867-877.

69. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1981.

70. Моденов В.П., Трошина И.К. Метод интегральных уравнений в задаче волноводного электромагнитного зондирования биообъектов// Вестник новых медицинских технологий. 1998, т.5, N 3-4, с.106-108.

71. Моденов В.П., Трошина И.К. Математическое моделирование волноводного электромагнитного зондирования биообъектов// Труды VII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн"- 1999, т.1, с.10-11.

72. Моденов В.П., Трошина И.К. Математическое моделирование в вол-новодном методе исследования биообъектов// Вторая всероссийская научная конференция. "Физические проблемы экологии (Физическая экология)" Тезисы докладов. 1999, с. 111.

73. Моденов В.П., Трошина И.К. Метод интегральных уравнений в задачах волноводной биоинформатики // Вестник московского университета. Серия 3. Физика, астрономия. 2000, N5, с.17-21.

74. Моденов В.П., Трошина И.К. Расчет электромагнитного поля волновода с биосредой // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах"- 2000, т.2, с. 3-4.

75. Моденов В.П., Трошина И.К., Конюшенко В.В. Математическое моделирование волноводного электромагнитного зондирования биологических объектов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника 2002, N 5-6, с. 67-72.

76. Моденов В.П., Трошина И.К. Математическое моделирование электромагнитного и теплового полей при волноводном зондировании биообъектов // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2002, т.Ю, N3(35), 92-96.

77. Моденов В.П., Трошина И.К. Математическое моделирование теплового воздействия волноводного электромагнитного поля на биообъект //Вторая всероссийская конференция. "Необратимые процессы в природе и технике". Тезисы докладов и сообщений. 2003, с. 127.

78. Моденов В.П., Трошина И.К. Тепловое воздействие электромагнитного поля в волноводе на поглощающие диэлектрические среды // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн"- 2003, с. 63-64.

79. I.K. Troshina Mathematical simulation of electromagnetic field heat effect on bio-object. // Proceedings of the 7th Conference on electromagnetic and light scattering by nonspherical particles: theory, measurements and applications 2003, p. 358-361.