Математическое моделирование биогеохимических циклов в прибрежных системах с использованием данных дистанционного зондирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Панасенко Наталья Дмитриевна

• Панасенко Наталья Дмитриевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Панасенко Наталья Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математическое моделирование динамики планктонных популяций с учетом внешних условий

1.1 Обзор и анализ существующих моделей гидробиологических систем

1.2 Постановка начально-краевых задач гидродинамики прибрежной

системы мелководного водоема

1.3 Задание исходных данных прогностического моделирования

1.4 Виды дистанционного зондирования, способные применяться

в математическом моделировании

1.5 Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. Построение и исследование линеаризации модели биохимических циклов

2.1 Формулировка и параметризация начально-краевых задач

2.2 Линеаризация непрерывной модели

2.3 Исследование близости решений линеаризованной и исходной начально-

краевых задач энергетическим методом

2.4 Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. Построение и исследование дискретной модели динамики биогеохимических циклов

3.1 Построение разностной схемы

3.2 Исследование разностной схемы

3.2.1 Исследование погрешности аппроксимации

3.2.2 Исследование условий сходимости разностной схемы для внутренних узлов

3.2.3 Исследование условий сходимости разностной схемы для граничных узлов

3.3 О сходимости разностной схемы к решениям нелинейных задач

3.4 О численной реализации построенной разностной схемы

3.5 Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. Моделирование динамики пятнистых структур техногенного и биологического происхождения на основе данных дистанционного зондирования Земли

4.1 Идентификация объектов на поверхности водоемов на основе данных дистанционного зондирования

4.2 Получение и обработка данных дистанционного зондирования Земли

4.3 Фильтрация данных дистанционного зондирования Земли

4.4 Распознавание распространения примеси в прибрежной зоне с использованием нейросетевого подхода

4.4.1 Исследование эффективности нейросетевого подхода на основе компьютерных экспериментов

4.5 Распознавание распространения примеси в прибрежной зоне методом локальных бинарных шаблонов

4.6 Распознавание распространения примеси в прибрежной зоне методом «нейросеть-lbp»

4.7 Сравнительное исследование нейронных и локально бинарных алгоритмов идентификации изображений планктонных популяций

4.8 Оценка концентраций распределения и видового состава фитопланктонной популяции внутри распознанной области

4.9 Выводы по четвертой главе

ГЛАВА 5. Программная реализация разработанных моделей и алгоритмов

5.1. Алгоритм и программная реализация задачи

5.1.1. Общие сведения о программном комплексе

5.1.2 Функциональное назначение программного комплекса

5.1.3. Описание логической структуры программного комплекса

5.1.4. Используемые технические средства

5.1.5. Вызов и загрузка программного комплекса

5.1.6 Входные данные программного комплекса

5.1.7 Выходные данные программного комплекса

5.2. Восстановление функции состояния динамических характеристик с

использованием данных спутникового зондирования

5.3. Выводы по пятой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование биогеохимических циклов в прибрежных системах с использованием данных дистанционного зондирования»

ВВЕДЕНИЕ

В прибрежных системах Юга России за последние два десятилетия увеличилась частота неблагоприятных и катастрофических явлений. К их числу можно отнести возникновение обширных зон гипоксии и сероводородного заражения в восточной части Азовского моря в 2001 г.; замор рыбы в июле 2020 г. в юго-восточном секторе Азовского моря, нанесший значительный ущерб процессу воспроизводства промысловых рыб; катастрофический шторм в ноябре 2006 г., штормовые нагоны в 2007, 2014 гг.; обмеление Азовского моря у берегов Таганрога (Ростовская область) и реки Дон в 2019, 2021, 2022 гг. Последнее связано с малым количеством осадков в бассейнах рек, впадающих в Азовское море и сильным ветром, отгоняющим воду от побережья. И это не полный список тех явлений и процессов, которые необходимо прогнозировать на основе взаимосвязанных моделей гидрофизики и биологической кинетики [55, 68].

В соответствии с существующими нормативными актами, утвержденными Правительством РФ, при возникновении опасных и чрезвычайных событий техногенного или природного характера для принятия мер по их устранению и/или снижению их последствий отводится от нескольких часов до 2 дней. Приведем некоторые из соответствующих нормативно-правовых актов:

- Федеральный закон «Об охране окружающей среды» от 10.01.2002 г. № 7-ФЗ (с изм. и доп. от 26.03.2022 г., вступ. в силу с 01.09.2022 г.);

- Постановление Правительства РФ «О единой государственной системе предупреждения ЧС» от 30.12.2003 г. №2794 (с изм. и доп. от 26.01.2017г.);

- Распоряжение Правительства РФ «Об утверждении комплекса первоочередных мероприятий, направленных на ликвидацию последствий загрязнения и иного негативного воздействия на окружающую среду в результате экономической и иной деятельности» от 04.12.2014 г. №°2462-р (ред. от 22.02.2016 г.);

- «Водный кодекс Российской Федерации» от 03.06.2006 г. № 74-ФЗ (ред. от 01.05.2022 г.);

- и другие.

Актуальность исследования. Многие промысловые породы рыб и более мелкие представители флоры и фауны (зоопланктон, фитопланктон и другие) являются уникальными водными гидробионтами, обитающими в прибрежных системах. Прибрежные системы Юга России, в частности, Таганрогский залив и Азовское море, постоянно подвергаются воздействию биотических, абиотических и антропогенных факторов. Это негативным образом сказывается на состоянии экосистемы водоемов, поэтому возникает необходимость сбора и анализа информации о состоянии прибрежных систем. Так как изменения в системах происходят в масштабе до нескольких недель, требуется оперативное прогнозирование неблагоприятных явлений. Для этого уже разработаны нестационарные пространственно-неоднородные взаимосвязанные

математические модели и эффективные численные методы их реализации, позволяющие «проигрывать» различные сценарии динамики биологических и геохимических процессов в прибрежных системах. Однако, они не имеют в данное время удовлетворительного решения, что и определяет актуальность темы диссертационного исследования в части построения и качественного исследования моделей биогеохимических циклов.

Построенные нелинейные модели биогеохимических циклов должны быть линеаризованы тем или иным способом. В работах Сухинова А.И. [24, 68-75, 111, 120-125, 127-130], Никитиной А.В. [50, 68, 70, 74, 75, 103, 111, 122, 125, 127], Чистякова А.Е. [68, 70, 71, 74, 122-125, 130], Беловой Ю.В. [68, 69, 74, 122, 127, 128, 130] на основе линеаризованных моделей были выполнены вычислительные эксперименты. Однако, линеаризованные модели (начально-краевые задачи) и нелинейные модели не были исследованы на близость (сходимость) их решений в соответствующих функциональных пространствах. Неисследованными остались вопросы корректной аппроксимации граничных условий первого-третьего рода, при которых обеспечивается второй порядок погрешности аппроксимации разностной схемы относительно шагов пространственной сетки в граничных узлах. Также, в «тени» остались вопросы, связанные с построением и исследованием монотонных разностных схем, изучением их устойчивости и

сходимости с учетом физических и биогеохимических особенностей исследуемых процессов.

В связи с перечисленными выше исследованиями необходимо рассмотрение наиболее простого способа линеаризации систем уравнений диффузии-конвекции со взаимосвязанными нелинейными функциями правых частей, который связан с построением временной сетки с заданным шагом т и описанием нелинейных функций, правых частей, на предыдущем временном слое. Для этого должна быть сформулирована цепочка линеаризованных «с запаздыванием» начально-краевых задач, связанных по начальным и конечным данным на построенной временной сетке, и исследована близость (сходимость) их решений к решению исходной нелинейной начально-краевой задачи при стремлении шага сетки т нулю. После такой линеаризации и качественного исследования непрерывной задачи появляется возможность её корректного численного решения, что требует, в свою очередь, построения и исследования разностных схем, удовлетворяющих условиям монотонности, устойчивости относительно входных данных и сходящихся к решению линеаризованной непрерывной задачи при стремлении шагов пространственно-временной сетки к нулю. Исследование данного комплекса вопросов применительно к задачам биогеохимических циклов для прибрежных систем в такой трактовке отсутствует, что и определяет актуальность темы диссертационного исследования в части построения и качественного исследования моделей биогеохимических циклов.

Также остается актуальной проблема построения и практического использование вычислительно-эффективных методов, применение которых позволяло бы получать достаточно точное численное решение для задач математического моделирования гидробиологических процессов в водоемах. Использование математических моделей приводит к проблеме их оснащения реальными входными данными (граничными, начальными условиями, информацией о функциях-источниках), позволяющими корректно ставить начально-краевые задачи для систем нелинейных уравнений с частными производными, а также определять граничные условия, коэффициенты этих

уравнений и другие функциональные зависимости, входящие в построенные модели. При возникновении опасных и чрезвычайных событий в процессе принятия квалифицированных решений до 50% от компьютерного (общего) времени прогнозирования последствий опасных природных явлений и катастроф в прибрежных системах, в том числе заморных явлений, вызванных бурным цветением планктонных популяций, может занимать распознавание ситуации, в том числе, определение расположения и размеров пятен планктонных популяций, и других данных, которые являются исходными для прогностических моделей.

Доступным источником натурной информации могут стать данные, получаемые от искусственных спутников Земли (ИСЗ), а также от беспилотных летательных аппаратов и других дистанционных источников геофизической информации. Распознавание данных дистанционного зондирования (ДДЗ) и ввод их в качестве начальных и граничных условий является весьма трудоемкой процедурой и требует разработки алгоритмов, базирующихся на нейросетевых технологиях и современных алгоритмах обработки изображений. На основе интеллектуальной обработки изображений таких объектов, как планктонные популяции, взвешенное в водной среде вещество, а также распределение температур и соленостей в приповерхностном слое, реализуется возможность определить коэффициенты турбулентного обмена, линии тока и скорости движения водной среды, объемные мощности источников и стоков в режиме реального времени. Актуальной является проблема построения алгоритмов идентификации объектов (пятен планктонных популяций и взвесей, пленок нефтепродуктов), определения: подвижных границ данных объектов, изменения их концентраций и других характеристик на основе ДДЗ. Для обработки ДДЗ возникает необходимость надежной идентификации, при малой контрастности, фитопланктонных популяций, имеющих, как правило, пятнистую структуру, в частности, определения границ расположения этих структур, которые в большинстве случаев являются замкнутыми контурами в видимом, ультрафиолетовом и инфракрасном диапазонах излучения. В случае наступления чрезвычайных и опасных явлений, таких как заморные явления, разливы

нефтепродуктов и прочего, разрабатываемые алгоритмы и программы должны позволить существенно сократить время прогноза с учетом метеообстановки и реальной гидрологической ситуации, и одновременно повысить точность и надежность прогностических расчетов.

В силу сказанного, тема диссертационного исследования является актуальной.

В исследовании данного класса задач остались не решенными следующие теоретические и практические проблемы:

1. при линеаризации исходной нелинейной задачи, в том числе с использованием временной сетки отсутствуют аналитические оценки близости решений (погрешности линеаризации) в целом для всех узлов сетки линейных и нелинейных задач в зависимости от величины шага по времени, что не дает возможности считать результаты прогностические расчеты валидными без дополнительных дорогостоящих экспериментов;

2. аналитически не определены максимально допустимые значения шага по времени при заданных входных данных, при которых получаемые разностные схемы (дискретные модели) являются работоспособными, в том числе устойчивыми, монотонными, сходящимися при стремлении шагов пространственно-временной сетки к нулю;

3. в отечественном программном обеспечении отсутствуют алгоритмы и программные средства, позволяющие надежно распознавать расположение слабоконтрастных планктонных структур на водной поверхности прибрежных систем, а также их автоматизированный ввод в качестве начальных данных в программы прогноза динамики этих структур, что приводит к необходимости «ручного ввода» данной информации.

Объект исследования - гидробиологические процессы, связанные с динамикой фитопланктонных популяций и основных биогенных веществ применительно к водоемам Юга России; тематически связанные с ними космические снимки водной поверхности прибрежных систем Юга России.

Предмет исследования - исследование непрерывных и дискретных моделей динамики биогеохимических циклов, в том числе, построение линеаризованных начально-краевых задач, исследование близости решения линеаризованных и исходных нелинейных задач в норме гильбертова пространства L2, построение и исследование разностной схемы (погрешности аппроксимации, монотонности, сходимости); алгоритмы, методы и комплексы программ распознавания ДДЗ, позволяющие формировать начальные условия (входные данные) для оснащения математических моделей, с целью повышения оперативности и надежности прогностического моделирования.

Целью диссертационной работы является сокращение времени прогностического моделирования распределения планктонных популяций и основных биогенных веществ в прибрежных системах Юга России на основе выбора максимально допустимого шага по времени при обеспечении устойчивости, монотонности и требуемой точности дискретных моделей.

Общая научная задача - разработка и исследование линейной непрерывной математической модели биогеохимических процессов, аппроксимирующей исходную нелинейную задачу, построение для нее дискретного аналога, обладающего свойствами монотонности, аппроксимации, устойчивости и сходимости, а также создание алгоритмов и программ распознавания границ структур планктонных популяций (граничных контуров) на космических снимках, обладающих улучшенными характеристиками их идентификации на основе комбинации алгоритмов многослойных нейронных сетей и локальных бинарных шаблонов (Local Binary Patterns, LBP) в условиях малой контрастности объектов на поверхности морских и прибрежных систем, в том числе распределения планктонных популяций.

Для достижения поставленной цели и общей научной задачи решены перечисленные ниже частные задачи исследования:

- проведен анализ состояния исследований в области численного моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в прибрежных

системах и методах дистанционного зондирования, обработки и распознавания изображений, в том числе пятен планктонных популяций и загрязнений;

- выполнено построение и проведено аналитическое исследование линеаризованной непрерывной модели биохимических циклов - определение достаточных условий сходимости линеаризованных задач диффузии-конвекции-реакции к решению исходной начально-краевой задачи в норме гильбертова пространства L2 при стремлении шага временной сетки т к нулю со скоростью O (т);

- проведено построение и аналитическое исследование дискретной модели динамики биогеохимических циклов: построены разностные схемы с аппроксимацией операторов диффузии-конвекции-реакции со вторым порядком точности относительно шагов пространственной сетки и первого порядка относительно шага по времени с учетом граничных условий первого-третьего рода, определены достаточные условия монотонности и сходимости к решению линеаризованной задачи на основе сеточного принципа максимума для построенной разностной схемы, с учетом физически мотивированных ограничений на шаги временной сетки и сеточное число Пекле;

- разработан алгоритм и комплексы программ анализа и обработки полутоновых изображений - пятен планктонных популяций, взвешенного вещества, поверхностных пленок и других; изображения получены дистанционно для определения координат их границ и интенсивностей (концентраций) на основе комбинации методов обработки граничных контуров изображений: локальных бинарных шаблонов (Local Binary Patterns) и нейронных систем, что позволило на 1,5-3% увеличить вероятность (частоту) корректного определения граничных контуров пятен планктонных популяций.

Состояние исследования проблемы. Довольно глубокую историю имеют только в России работы по математическому моделированию морских и прибрежных систем. Значительный объем работ можно найти у ученых из Института вычислительной математики им. Г.И. Марчука (ИВМ РАН), Института океанологии им. П.П. Ширшова (ИО РАН) и Морского гидрофизического

института (МГИ РАН). Передовые исследования по моделированию общей циркуляции атмосферы и океана и созданию глобальной модели климата Земли выполнены в работах академиков РАН Дымникова В.П., Марчука Г.И., Саркисяна А.С., а также Залесного В.Б., Дебольского В.К. и других [2, 18, 20-21, 38-44]. Исследованиям по разработке перспективных процедур и алгоритмов анализа данных наблюдений (ансамблевая оптимальная интерполяция, фильтры Калмана, трехмерный и четырехмерный вариационный анализ) занимались Агошков В.И., Шутяев В.П., Пармузин Е.И., Беляев К.П., Кулешов А.А. и другие [2, 32, 33, 39, 44, 56, 84-86, 88, 119]. С именем Озмидова Р.В. [51] связаны исследования мелкомасштабной турбулентности и микроструктуры океана, им открыты закономерности диффузии примесей в океане. В работах Ибраева Р.А. [27] и Зацепина А.Г. [19] рассматривается моделирование изменчивости циркуляции вод, состояние и изменение термогидродинамических процессов и экосистем. В работах Вольцингера Н.Е. исследовались модели негидростатической динамики проливов Мирового океана. В работах Русанова И.И., Леина А.Ю., Маккавеева П.Н., Клювиткина А.А., Флинта М.В., Шевченко В.П., Лобковского Л.И., Шигановой Т.А. и других [61, 63, 78, 102, 118] исследуются биогеохимические преобразования, гидрохимия и скорости микробных процессов в водной толще, перемещение основных химических элементов по трофическим цепям, влияние антропогенного воздействия на состояние экосистемы водоема в Черном, Азовском, Каспийском морях. Созданием и развитием модели диагноза и прогноза эволюции основных гидрофизических полей Черного моря, действующей в оперативном режиме (до 5 суток), занимается Коротаев Г.К. и другие [30, 41, 47].

Немалый вклад в моделирование гидрофизических процессов внесли: академики РАН Белоцерковский О.М., Шокин Ю.И., а также Белолипецкий В.М., Коваленко А.В. и другие [4-7, 29, 82]. Применением вариационных принципов в математическом моделировании для изучения и прогнозирования эволюции природных процессов в атмосфере, океане и окружающей среде занимается Пененко В.В. [57]. Диагноз состояния и прогноз изменений термо-гидродинамики

и экосистем крупных водоемов рассматривается в ряде работ Меншуткина В.В., Мининой Т.Р. и Филатова Н.Н. [45, 46, 76]. В работах Тютюнова Ю.В. [8-9, 90] и Ильичева В.Г. [25] приведены принципы моделирования и мониторинга пространственно-временной динамики водных объектов. Исследованием водных систем на основе данных космического зондирования активно занимается научная школа под руководством академика РАН Бондура В.Г. [11-14, 92].

В изучении данной проблематики следует отметить вклад, внесенный Сухиновым А.И. и его учениками [24, 50, 68-75, 103, 111, 120-125, 127-130] в исследовании акватории Азовского моря.

Множество зарубежных научных школ специализируются на исследованиях в области математического моделирования: США (Arizona University, University of Maryland, University of California at San-Diego, University of Texas at Austin, University of Michigan, University of North Caroline и другие), Германии (University of Hamburg, Aachen University и другие), Франции (University LeBourge, Marseille University, Lion University, IFREMER и другие), Испании (University of Malaga), Нидерландов (Delft University) и других.

Энергетический принцип изучения трофических взаимоотношений и продуктивности экологических систем осветил Винберг Г.Г. [15, 135]. Хатчинсон Д.Э. [98] в своей работе описывал парадокс фитопланктона, утверждая его влияние на пространственное распределение и динамику гидробионтов. Сезонное, горизонтальное и вертикальное распределение хлорофилла «а» в экосистеме континентального шельфа северо-востока США изучено в работе [114]. Система моделирования прибрежной среды разработана и описана в [107]. Работа [89] посвящена изучению гидрофизических процессов в лагуне на основе трехмерной модели солености, придонных течений и повторного перемешивания донных отложений сильными ветрами. Разработка экологической модели Бискайского залива и шельфа Ла-Манша использовалась в [109] для оценки состояния окружающей среды, дефицита или избытка питательных веществ для роста фитопланктона, а также для изучения кислородного режима водоемов. Работа [137] посвящена численному исследованию влияния шлюзовых ворот на режим

солености, динамике питательных веществ и развитию биоты в устье реки Цзяоцзян (Китай). Совместно российскими и зарубежными учеными были рассмотрены различные вариации биогеохимических режимом и была разработана Ш модель биогеохимических процессов [104, 139-141].

Вместе с тем проведенный анализ существующих в настоящее время математических моделей гидрофизики и биологической кинетики показал, что не все из них учитывают нелинейные гидродинамические процессы, определяющие динамику и пространственное распределение температуры, солености, питательных веществ на фито- и зоопланктон. Модели динамики планктонных популяций и биогеохимических циклов представляют собой системы уравнений параболического типа с младшими производными и нелинейными источниками, в которые могут входить несколько неизвестных (искомых) функций. Линеаризация данной задачи и последующее исследование близости решений исходной и линеаризованной начально-краевых задач применительно к задачам динамики планктонных популяций и биогеохимических циклов до сих пор оставались в тени. Также требуют исследования вопросы построения дискретных моделей данных процессов, аппроксимирующих эти задачи с учетом специфики прибрежных и морских систем, в том числе ограниченности сеточного числа Пекле величинами 0.1 ^ 2, близости дна, интенсивного турбулентного обмена по вертикали и пр. Дискретные модели должны удовлетворять свойствам: монотонности, аппроксимации, устойчивости и сходимости. Взаимосвязанное исследование этих вопросов на данный момент носит фрагментарный характер, что и мотивировало возникновение данного исследования.

Одним из наиболее эффективных методов изучения реальных морских и прибрежных систем является численное моделирование, основанное на данных спутникового зондирования Земли. Математическое моделирование гидродинамики водоемов остается актуальной проблемой, которая заключается в построении и применении вычислительно-эффективных методов, позволяющих получать достаточно точное численное решение. Математическое моделирование природных систем дополняет, а в некоторых случаях позволяет избежать

дорогостоящих натурных экспериментов с реальными водоемами [68]. Значительно усовершенствовать математическое моделирование гидробиологических и гидрофизических процессов в прибрежных и морских системах и повысить оперативность прогнозов позволяет применение современных методов распознавания образов и обработки изображений, полученных в результате дистанционного зондирования, делая возможным, в более короткий срок, отслеживание изменений в результате влияния природно-климатических условий или антропогенного вмешательства в экосистему водоема.

Методы исследований. Применяемые в исследовании методы основываются на энергетическом методе исследования решений начально-краевых задач с привлечением теоремы Остроградского-Гаусса, формулы Грина, неравенств Пуанкаре. Построение и исследование разностной схемы, аппроксимирующей линеаризованную начально-краевую задачу, основано на работах Самарского А.А., в том числе на использовании теоремы об оценке решения неоднородного сеточного уравнения, записанного в канонической форме. В работе применяются методы математического анализа, уравнений математической физики и функционального анализа, теория разностных схем, а также методов решения сеточных уравнений. Биогеохимические процессы описаны на основе уравнений конвекции-диффузии-реакции; линеаризация построенной модели (системы взаимосвязанных по правым нелинейным частям из 10 уравнений с частными производными параболического типа с младшими производными) производится на временной сетке с шагом т. В диссертации исследуются достаточные условия сходимости цепочки линеаризованных задач к решению исходных нелинейных задач в норме пространства Ь2 при стремлении временного шага т к нулю со скоростью О(т); строится разностная схема

дискретной модели. Исследование погрешности аппроксимации разностной схемы приводит к оценкам второго порядка точности, относительно шагов пространственной сетки с учетом граничных условий первого-третьего рода. На основе сеточного принципа максимума определяются достаточные условия

монотонности и сходимости построенной разностной схемы к решению линеаризованной задачи с учетом физически мотивированных ограничений на

шаги временной сетки и сеточное число Пекле со скоростью О(|к\2 + г), где \к\ -

евклидова норма шагов пространственной сетки. Для численного решения сеточных уравнений конвекции-диффузии-реакции с диагональным преобладанием применяется метод Зейделя. Для получения начальных данных, необходимых в дальнейшем математическом моделировании, проведен анализ моделей, методов и алгоритмов решения актуальных задач данных дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ), а также изучены методы анализа и идентификации полутоновых изображений и определения их границ в природных системах. В качестве алгоритмов обработки изображений рассматривается комбинация методов: локальных бинарных шаблонов (LBP) и двухслойной нейронной сети, использующих в качестве входных данных космические снимки для определения пятен планктонных популяций, взвешенного вещества, поверхностных пленок и другие. Для реализации программной части - комплекса «нейросеть-1Ьр» - используется язык Python в среде MS Visual Studio Code.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

в области математического моделирования:

- для линеаризованной модели геохимических циклов и динамики фитопланктона определены достаточные условия сходимости решений линейных начально-краевых задач в норме гильбертова пространства L2 к решению исходной нелинейной начально-краевой задачи при стремлении шага временной сетки г к нулю со скоростью O(г);

в области численных методов:

- построена и исследована разностная схема, аппроксимирующая линеаризованную цепочку начально-краевых задач динамики биогеохимических циклов и обладающая свойствами: монотонности, устойчивости и сходимости со

скоростью О(|к\2 + г) к решению линеаризованной задачи, с учетом граничных условий первого-третьего рода при физически мотивированных ограничениях на

шаги временной сетки и сеточное число Пекле, учитывающих особенности морских и прибрежных систем;

- для построенной разностной схемы определены достаточные условия монотонности и сходимости к решению линеаризованной задачи на основе сеточного принципа максимума для построенной разностной схемы, с учетом физически мотивированных ограничений на шаги временной сетки и сеточное число Пекле;

- определены условия, гарантирующие сходимость метода Зейделя численного решения задач диффузии-конвекции-реакции со скоростью геометрической прогрессии (со знаменателем 0.7 ^ 0.9) при естественных физически мотивированных ограничениях на шаг по времени и сеточное число Пекле;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панасенко Наталья Дмитриевна, 2023 год

- - \

1 1 1 1 1

к -7 + —7 + К —7

п И2 и2 ушт ТТ2

- V х у г _ у

^Г1 (х, y, гп_х )|| +

% (в)

+2 (К-1 )2 т3 шеБ в.

(2.83)

Для удобства обозначим:

ат = 4т

- 1

1 1 1 1 +К

К —7 + —7

п и И J И 2 _

КЩ (1 _ ) _ К^к _ К^п _ 4

т > 2(К-1 )2 т3 шеБв, ¡ = (шах(Кп-1 )2) • 2шеБ в. (2.84)

Тогда оценка (2.83) запишется в компактном виде следующим образом:

к(х,у,г,1п)|2 <(1 + ат)|к_1 (х,у,г,^)||2 + >Г3. (2.85)

"¿2 (о)

Легко выделить (можно доказать по индукции), что справедлива цепочка неравенств-равенств:

||2 ,. ч Л| „ Ч||2

л

г (х, у, г, 1п) <(1 + ат)1 гП_2 (х, у, г, 1п_2) (1 + ат) + ^т

¿2 (в)

¿2 (в)

+

У

+^3 = (1 + ат)2 гП_2(х,у,г, х_2) + (1 + ат)^т3 + Т < <(1 + ат)2 ( г,п_3 (х,у,г,^з )||2 (1 + ат) + ¡тъ | + (1 + ат)Ртъ + ¡тъ =

= (1 + ат)3| |г;_3 (х, у, г, гп_ъ

¿2 (в) 1|2

+

¿2 (С)

((1 + ат)2 +(1 + ат) + l)¡т3<

2 п

< (1 + ат)" к0 (х, у, г, )|| + ¡тъ У (1 + ат)

¿2 (в)

чК_1

(2.86)

К=1

Заметим, что:

г? (х, у, г, *о ) = 0, (2.87)

п

а сумма = У (1 + ат) будет оценена следующим образом. Очевидно, что:

К=1

= (1+0)1 у(1 + ат)

п ¡л \п_1 >

(1 + ат) к=1

= (1 + ат)" 1

1 +

1 + ат (1 + ат )2

+ ...+

(1 + ат)"1

(2.88)

Конечная сумма в круглых скобках в правой части равенства (2.88) - сумма конечного числа членов сходящейся геометрической прогрессии, у которой первый

1

член равен -1, а знаменатель д

1 + аг

. Поэтому:

(1 + аг)"

=(1 + аг)

(1 + аг)"1

п-1

1

1 + аг

(1 + ат)" 1

(1 + аг)" -^ (1 + аг)\^

1 + аг

С = овтг.

< С

аг

аг

аг

Принимая во внимание (2.86), (2.87) и (2.89), получаем оценку:

(х,У,2,0||2 < с^ < . 11 ¿2 (о) аг а

(2.89)

(2.90)

Из последнего неравенства следует оценка, гарантирующая близость (сходимость при г —у 0) решений линеаризованной и нелинейной задачи для субстанции ^ (исходная функция д^, = д) в ¿2 (О) на последовательности сеток

юТ (г — 0) и выполнение, в случае любого г неравенства:

(^ ^2, гп 1 < С1г .

¿2 (О) п=\,2,...,Ы

(2.91)

Интересно отметить, что из условия периодичности д^ (х, У, 2,0) = дР (х, У, -,Т) и выбранного способа линеаризации задачи следует

Г (X У, 2, гг )|| = 0.

Кроме того, существует (возможно, не единственный) момент времени Т * , Т* < Т, после которого начинается уменьшение погрешности. Не единственность может быть вызвана поступлением биогенных компонентов в область О от каких-либо источников. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что:

\2г

(X У, - гп )

¿2(О)< ^ ,

!( х, У,г" ^ ¿2 (О )< С3г,

(2.92)

где С и С - положительные константы.

Описанный в пункте 2.3 метод оценки, позволяет доказать близость линеаризованных и исходных уравнений для остальных субстанций (биогенных

С,=сотг >0

компонентов). Погрешности - есть величины порядка O (г) в Z2 (G) на временной сетке сот. Эти выкладки для экономии объёма диссертаций здесь не приводятся.

2.4 Выводы по второй главе

В работе сформулирована и выполнена параметризация нелинейных начально-краевых задач, описывающих модели динамики биогеохимических циклов и основных планктонных популяций (зеленой водоросли (фитопланктона Chlorella vulgaris), синезеленой водоросли (фитопланктона Aphanizomenon flos-aquae), диатомовой водоросли (фитопланктона Sceletonema costatum), а также биогенных компонентов (фосфатов, органического фосфора во взвешенном состоянии, растворенного фосфора, растворенного кислорода, нитратов, нитритов, аммонийного азота, общего органического азота, растворенного неорганического кремния, сероводорода). Данные планктонные популяции являются подмножеством трофической пирамиды южных прибрежных и морских систем. Правые части сформированных уравнений диффузии-конвекции-реакции описывают взаимодействие отдельных компонентов системы и являются нелинейными функциями относительно концентраций планктона и биогенных веществ.

Предложена эффективная линеаризация данной системы. Для этих целей на наблюдаемом интервале времени построена равномерная временная сетка, для которой построены линейные функции источников. Сформирована цепочка линеаризованных начально-краевых задач, по функциям правых частей, связанных по начальным и финальным данным. Выполнена оценка разности решений линеаризованной и исходной нелинейной задач в узлах временной сетки, в норме функционального (гильбертова) пространства L2(G). Доказано, что при естественных требованиях к гладкости входных данных в норме пространства L2 данная разность есть величина порядка O (г) .

После проведенного исследования появляется основа для построения корректной разностной схемы и ее последующего исследования в главе 3.

ГЛАВА 3. Построение и исследование дискретной модели динамики биогеохимических циклов

3.1 Построение разностной схемы

При построении дискретной модели будем ориентироваться на линеаризованную цепочку начально-краевых задач, построенную и исследованную в пунктах 2.2, 2.3 вида (2.23) - (2.38). Ввиду однотипичности уравнений вида (2.23), г =1,2,...ДО изпункта2.2, а также доказательных условий - граничных и начальных, будем рассматривать построение и исследование разностных схем, пригодных для всех уравнений (2.23) в пункте 3.1.

При исследовании разностных схем в пункте 3.2 будут учтены специфические особенности в задании правых частей. Как видно будет из последующего анализа, появятся ограничения на величину допустимого шага по времени т, тем более жесткие, требующие ограничения сверху на т тем «сильнее», чем больше положительное значение правой части, которая ответственна за рост численности (концентрации) субстанции, в первую очередь, для фитопланктонных популяций - д^, I = 1,2,3, то есть функции Яп, I = 1,2,3, а

также функция Япт. Остальные функции при условии не поступления биогенов в рассматриваемую область являются неположительными, и поэтому рост концентраций (для г = 4,.. .,9) в реальных задачах не наблюдается. Далее символ «~» будем опускать в обозначениях функций правых частей. Также для простоты изложения в качестве в будем рассматривать параллелепипед.

в = {0 < х < 4,0 < у < ¿,0 < г < Ь2). (3.1)

Замыкание области в выполняется очевидным образом и состоит в присоединении к внутренним точкам в всех граней параллелепипеда.

Также будут использоваться обозначения:

О = в х[0 < г < Т] и О = в х[0 < г < Т].

С учётом сказанного приходим к цепочке начально-краевых задач:

^+Цг • д;) = -§гас1 д1;)+я;, (3.2)

(зд^)ебг, п = \,2,...,Ыт, <t<tn,

дГ(х,У,2,0) = д01. (х,У,-), (х,У,-)е О, (3.3)

д" (х у , ^ гп-г) = д"-1 (х у , 2, гп-1), (х y, 2 )е О,

п = 2,Ъ,...,ИТ, / = 1,2,...10,?" =0, (3.4)

если проекция на внешнюю нормаль п к а - боковой поверхности С, вектора

да"

скорости меньше нуля, то есть щ < 0 (3.4а) и —^- = 0 (3.46) - в противном

дп

случае.

Также имеем:

= 0, (х, У, 2 )е£0 , (3.5)

д2

где £0 - нижняя грань параллелепипеда 0{2 = 0,0 < х < ¿х ,0 < у < Ьу | -свободная невозмущенная поверхность водоёма,

-бд", (х,у,2)е^и, (3.6)

dz

где - верхняя грань параллелепипеда G | z = Lz ,0 < x < Lx ,0 < y < Ly j - дно водоёма.

В отношении вектора к , определяющего турбулентный обмен (диффузию) в уравнении (3.2) с учетом специфики прибрежных систем будем считать, что:

k=(kh,kh,kv), (3.7)

где ^ = const определяется как постоянная величина для морских прибрежных систем - коэффициент турбулентного обмена по горизонтальным направлениям, значения которого лежат в диапазоне:

kh ~(102 -105)[м2/ сек]. (3.8)

Коэффициент К,, определяющий турбулентный обмен по направлению О2

(вертикальному направлению), существенным образом зависит от пространственных переменных, в первую очередь от координаты ъ.

К. = К. (х,у,г),К. - (10_2 ■ 1) -м2 / сек], (3.9)

Запишем член, описывающий адвективный перенос субстанции (фитопланктона) в так называемой симметричной форме, которая после дискретизации позволяет построить разностный оператор адвективного переноса, обладающий свойством кососимметричности [65]:

1 41 ' Ч дх ду дг дху 1 } дуУ 1' Нг '

,(3.10)

где V = известный вектор скорости водного потока.

Для аппроксимации задач (3.2) - (3.6), (3.10) будем использовать равномерную по каждому из координатных направлений Ох, Оу и О2 сетку.

сох = {х\х = тх-, г = Nх-кх= Ьх},

Су

Далее множества внутренних узлов сеток сдх,юубудем обозначать, соответственно, как сх ,су , а также их декартовы произведения, как

со = юхт хт и со = юхт хт .

х у г х у г

На пространственно-временной сетке сгхс аппроксимируем задачи (3.2) - (3.6), (3.10) на сетках, применяемых в вычислительной гидродинамике с заданием скоростей (коэффициентов конвективного переноса) в узлах сеток, сдвинутых на полшага:

_ для и, сетка сох _ на 0.5^ по направлению Ох,

для V, сетка с _ на 0.5Л по направлению Оу,

для w, сетка по направлению О2. К этому результату можно прийти, используя интегро-интерполяционный метод (в более общем смысле известный, как метод конечных объёмов). Для

задания сеточных функций концентраций планктонных популяций и биогенных веществ будем использовать в этом случае контрольный объём, схематически изображенный на рисунке 3.1.

»с, ], к+1)

У

(л ]+1, к)

..х

(1-1, к)

(1, К к)

(1>-Ьк) (1+1,], к)

■ - узлы для компонент вектора скорости (и - по оси Оу, w - по оси Ог).

• - узлы для задания концентраций планктонных популяций и биогенных

веществ.

Рисунок 3.1 - Схематическое обозначение контрольного объёма

и шаблона схемы

Для оператора конвективного переноса, заданного в симметричной форме (3.10) в уравнении (3.2), имеем:

сд = (ип (х+0.5Пх, у, 2 )• д; (х+Их, у, 2)-ип (х - 0.5Пх, у, 2 )• д; (х - пх, у, 2))+

2Их

+ (^(х,У + 0.5Иу,2)• д;(х,У + Иу,2)-V"(х,У - 0.5Иу,2)• д;(х,У - Иу,2)) +

+-,-(^(х,У,2 + 0.5И2)• д" (х,У,2 + И2)-V(х,у,2 -0.5И2)• д" (х,у,2 -И2)), (3.11) 2И2

(х,у,г)<=со, / = 1,...,10. Здесь и далее символ «-» сверху над функцией д" означает её принадлежность к классу сеточных функций д" = д(х,у,2,ги), (х,у,2)ео, в то

z

время как функция ц™ рассматривается, как достаточно гладкая функция непрерывных переменных (х, у, г, t).

В предположении достаточной гладкости коэффициентов турбулентного переноса (вектор функции к ), функций д", компонент вектора скорости

Vя = (ип, функций источников (х,у,г) можно записать также их

аппроксимации в узлах сетки. Следует заметить, что ограничения на шаги пространственной сетки, которые гарантируют монотонность схемы, её устойчивость и сходимость для разностных уравнений, аппроксимирующих динамику фитопланктонных популяций, являются наиболее жесткими в сравнении с ограничениями для уравнений, описывающих динамику биогенных веществ. Поэтому для краткости будем рассматривать аппроксимацию первых трёх уравнений системы (3.2) - (3.6), (3.10).

Таким образом, аппроксимация членов, описывающих диффузионные процессы и функции источников, имеет вид:

Dqn = т

kh (* + 0-5hx ,У 2)

qi (* + h*, y, z )- qi (* y, z )

h

qi (x y, z)- qi (x - h*, У, z )

h

+ — ' К V

kh ( x, y + 0.5hy, z )

-kh (x, у - 0.5hy, z )

qi (x, y, z)- qi (x, у - hy, z)

h

- kh (x - °.5h*, y, z )

qj (x, y + hy, z )- qj ( x, y, z ) h„

+ J ( kv ( x, У, z + °.5hz )•

qj ( x y, z + hz)-qj (x, У, z ) k (*, y, z - °.5h )_ qj (x, У, z )- qj (x, У, z - К )

К

к

RF =

(x, y, z )ec,/e{Fj, F2, F3}. (3.12)

KFi (l - Kfr )-Kfd - KFeE • qF (x, У, z), (x, y, z )eö, i = 1,2,3. (3.13)

Учитывая построенные аппроксимации вида (3.11) - (3.13), приходим к аппроксимации каждого из уравнений (3.2) во внутренних узлах сетки с - к неявным схемам вида (выписываем их только для i e {F, F, F }):

€ _ др1 1 „

—-— +-(ип (х-

т 2К

(ип (х + 0.5Кх,у,г) • др (х + Кх,у,г) _ ип (х _ 0.5Кх,у,г)• др (х _ Кх,у,г)) +

^((х,у + 0.5Пу,г)• дп (х,у + ку,г)_ уп (х,у _ 0.5ку,г)• д^ (х,у _ ку,г)) +

пу

+—— ((х, у, г + 0.5Пг) • дпР (х,у, г + К) _ ^ (х,у, г _ 0.5Пг) • дпР (х, у, г _ К)) = 2П

(

К (х+05пх, y, г)

др (х + К,у,г)_дпц (х,у,г)

А (х _ °.5Кх, ^ г)

др (х, у, г)_ д"р (х _ Кх, у, г)

+

+-

К (х, у + 0.5К )•др (х'у + К •г)_ др( х'у''} _ К (х, у _ 0.5К хуг >" х у _ К ■г)

+

+ —

К

К (х, у, г + 0.5Кг)

дпр (х,у,г + К)_др (х,у,г)

_ К (х, у, г _ 0.5Кг)

дР (х,у,г)_дР (х,у,г_К)

+

К К

г г

Кр (1 _КрК)_Крп _Крк • др (х,у,г), (х,у,г)ес; I = 1,2,3;

+

п = \,2,...,ЫТ.

(3.14)

К системе разностных уравнений необходимо добавить начальные условия для цепочки начально-краевых задач вида (3.3) для (х,у,г)ес, а также

аппроксимацию граничных условий.

Граничные условия (3.4) аппроксимируются для боковой поверхности о, на которой находятся граничные узлы сетки с следующим образом, если по отношению к внешней нормали компонента вектора скорости V =

меньше 0, на соответствующей боковой поверхности (в узлах сетки) в :

дпР (0,у,г) = 0, если ип (0.5^,у,г) > 0,

<

д"р (Ьх,у,г) = 0, если ип (Lх _ 0.5^,у,г) < 0, дР (х,0, г) = 0, если Vп (х,0.5^, г) > 0, др (х, ¿у, г) = 0, еслиvп (х, Ly _ 0^, г)< 0, (х, у, г) е с.

(3.15)

1

К

х

1

К

1

Для задания граничных условий второго рода на боковой поверхности области О при положительных значениях нормальной компоненты вектора скорости, а также для задания граничных условий на дне и свободной поверхности удобно ввести расширенную сетку:

х = К; у = А; ^ = кК; мх • Кх = ьх; N ■ К = ^; ^ ■ К = 4;}.

Для данной сетки сетка со является внутренней. Будем предполагать, что:

д^ (х,у,г) = 0, если (х,у,г) е со* \со, (3.16)

где со \ со - граничные узлы сетки со .

Кроме того, будем считать известными значения компонент вектора скоростей водной среды в узлах сетки со \ со с дробными значениями индексов, например, и" (—0.5Кх, у, г), и" (Ьх + 0.5Кх, у, г), у" (х, -0.5^, г),

V I х

{х,Ьу + итак далее.

Для тех узлов сетки со* \ со, которые находятся вне водоёма, значение компонента вектора скорости предполагаются равными нулю.

Приведём по отдельности аппроксимации конвективных членов для узлов на каждой из шести граней (границ) области О .

Вернёмся в начале к равенствам (3.15), которые можно уточнить с учетом _*

введения сетки со :

'д"я (0,у,г) = 0, если и" (0.5Кх,у,г) + и" (-0.5Кх,у,г)> 0,

д" (4,у,г) = 0, если и" (Ьх - 0.5кх,у,г) + и" (Ьх + 0.5кх,у,г) < 0,

(3.17)

(х,0, г) = 0, если у" (х,0.5А,, г) + у" (х, -0.5^, г)> 0, д^ (х,Ьу,г) = 0, если у" (х,Ьу - 0.5^,г) + у" (х,Ьу + 0.5^,г)< 0.

В случае потоков на боковых гранях области О, совпадающих по направлению с внешними нормалями к граням, то есть при выполнении условий:

<

ип ( 0.5К, у, г ) + ип (_0.5К, у, г ) < 0,

ип (Ъх _ 0.5Кх,у,г) + ип (¿х + 0.5Кх,у,г) > 0,

( \ ( \ (3.18)

Vй(х,0.5К ,г) + Vй(х,_0.5К ,г)< 0,

V

' (х,¿у _ 0.5Ку,г) + Vй (х,¿у + 0.5Ку,г) > 0,

имеют место граничные условия Неймана. Приведем аппроксимацию граничных условий для оператора конвективного переноса.

Пусть х = 0,0 < у < ¿у ,0 < г < . Рассмотрим формально выражение вида:

^(ип(0.5Кх,у,г)• д-р (кх,у,г)_ип(_0.5Кх,у,г)• др (_кх,у,г)), (3.19)

которое можно рассматривать как разностную аппроксимацию конвективного члена при х = 0. С погрешностью О(к2х) по направлению оси Ох.

Наряду с (3.19) можно записать разностную аппроксимацию граничного условия Неймана с погрешностью О (к2):

дп( Кх, y, г)_ др^К, y, г) = 0

2Кх ,

из которого имеем:

дп(-Их,у,г) = д"п (кх,у,г). (3.20)

Из (3.19) и (3.20) получаем:

Сх (дп дпр, (Кх,у,г)(ип (0.5Кх,у,г)_ ип (_0.5Кх,у,г)). (3.21)

Рассуждая аналогичным образом, получаем: Сх (дп )Цт 2Г • д* (_ К, у, г )•(un (¿х + 0^, у, г )_ ип (¿х _ 0.5кх, у, г )), (3.22)

х х

Су (• др. ( х, Ку, г )•( ^ ( х,0.5Ку, г )_ vn ( х, _0.5Ку, г )), (3.23) Су(д"4-ь = • дп (х,¿у _Ку,г)•(^(х,¿у + 0.5Ку,г)_vn(х, 1у _0.5Ку,г)), (3.24)

у у 2Ку

Сг(дп• д"п (х,у,Кг)•(^(х,у,0.5Кг)_V(х,у,_0.5Кг)). (3.25)

Для нижней грани (г = 4) параллелепипеда в будем использовать граничные условия (3.6) третьего рода.

Имеем его разностную аппроксимацию с погрешностью О (к2) вида:

дп (х, у,Ц + к )_ дп (х, у,Ц _ к ) . .

др ( ,г гдр ( , г г) = _вдпЕ (х,у,4). (3.26)

Кг '

С другой стороны, имеем формальное равенство:

Сг (др \=ь • (™ (х,У,¿г + 0.5Кг ) • д"р, (*,У,¿г + Кг ) _

г г

(^У,4 _ 0.5Кг )• др (х,У,¿г _ Кг )) . (3.27)

Выражая др (х,у,4 + К)из равенства (3.26), имеем:

др (х,у,¿г + Кг) = др (х,у,4 - И) - 2екядяр1 (х,у,4), (3.28)

и, подставляя его в равенство (3.27), получаем:

Сг (д"р- Х-4 " ^ • (^ (х,у,Ьг + 0.5Кг ) • др (х,у,4 - кг ) - 28^ (х,у,4 )) _

(х,у,4 - 0.5Кг) • дПп (х,у,4 - И). (3.29)

Перейдём к аппроксимации диффузионных членов на границах области О.

*

Пусть х = 0. Тогда формально на расширенной со можно записать:

я ( х=0 4 Г Кк ( 0.Я, у, г ) др( К ^уг )_ др( 0уг ) _

к

V х

К (_0.5К, у, г )• йИ г )-др(-К,у,г ^

к

(3.30)

С учётом условия Неймана по границе х = 0 при выполнении первого из условий (3.18) можем записать дпп (-К,у,г) = дп (К,у,г).

Тогда из (3.30) получаем: Пх(др 1 ((кп(0.5кх,у,г) + Кп(_0.5кх,у,г))((кх,у,г)-(0,у,г))). (3.31)

Аналогично, для х = 4 получаем при выполнении второго из условий (3.18), с учётом равенства д" (4 + Нх,у,г) = д" (4 - Нх,у,г):

°х ^ " ^ ((кк (4 + 0.5Кх, у, г) + кь (4 - 0.5Кх, у, г ))(д" (4 - Кх, у, г)-д" (4, у, г))). (3.32)

Рассуждая аналогичным образом, имеем для у = 0, у = 4 : Ч (д" = ((кк (х,0.5Ку,г) + кк (х,-0.5Ку,г))(д" (х,ку,г)- д" (х,0,г))) (3.33)

- при выполнении третьего условия из системы (3.18).

°у (д" = Ь ((кк (х,4 + 0.5Ку,г) + кь (х,4 - 0.5ку,г))•

• (д" (x, 4- Ку, г)- д" (х 4у, г

(3.34)

- при выполнении четвертого условия из системы (3.18).

Наконец, при г = 0 на свободной невозмущенной поверхности водоёма

имеем:

А ( д" )| - (( ку ( х, у,0.5К ) + ку ( х, у, -0.5К2))( д" ( х, у, к2)-д" ( х, у,0 ))). (3.35)

•=0 К

г

Заметим, что в этом соотношении к (х,у,-0.5Кг ) = 0 (вне водоёма отсутствует турбулентная диффузия), поэтому следует принять:

(д\ Ь- ^(К (х,у,0.5Кг)(д\ (х,у,к )- (х,у,0))). (3.36)

г

На дне водоёма г = 4 необходимо учитывать граничные условия (3.6) - его

разностный аналог (3.26).

Формально запишем выражение для диффузионного члена в разностном

виде:

^(д" 1,- г

=4 к

ку ( х, у, 4 + 0.5кг)

((х y, 4 + к2) - д" (х y, 4 ))

к

-К (XУ,4 - 0.5кг)

(д" (х y, 4 ) - д" (x, ^ 4 - к2))

к

и, воспользовавшись разностным граничным условием (3.28) третьего рода, приходим к соотношению:

Пг (др ) , 4 12((К (х,у,¿г + 0.5кг ) + К (х,у,Л _ 0^ ))• др(х,у,Ь, - к )-

_28кгkv (х,у,¿2 + 0.5кг ) + К (х,у,¿г _ 0.5^ )Щ (х,у,¿г )) . (3.37)

В соотношении (3.37) значение коэффициента К (х, у,

¿г + 0-5кг)

определяется не только турбулентным перемешиванием водной среды у дна, но и физическими свойствами данных отложений - гранулометрическим составом, пористостью и пр. Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данного исследования и здесь не рассматривается.

В отношении значений компонент вектора скорости ип (_0.5кх,у,г),

ип (¿х + 0.5кх,у,г), V" (х,-0.5^,г), уп (х,¿у + 0.5^,г), а также коэффициентов

кп (-0-5кх,У,г), кп (¿х + 0-5кх,y,г), кп (^_0.5ку,г), кк (х,+ 0.5ку,г)

предполагается, что в расширении области в по горизонтальным направлениям (в со ) существует водная среда и эти величины могут быть определены в гидродинамическом блоке объединённой модели «гидродинамика-фитопланктонные популяции и биогены».

3.2 Исследование разностной схемы

3.2.1 Исследование погрешности аппроксимации

Для последовательной разностной схемы это исследование является несложной, хотя и достаточно громоздкой процедурой. Предварительная работа в части построения разностных аппроксимаций во внутренних и граничных узлах уже была выполнена в пункте 3.1. В предположении существования непрерывных (ограниченных) частных производных четвертого порядка относительно пространственных переменных (х, у, г) для функции дп^,

г = 1,2,.. .,10, и непрерывных частных производных второго порядка

д V д4 д. д V д2 gi относительно временной переменной t, то есть —^, —^, —^,—^ -

дх ду дг дt

непрерывные и, следовательно, ограниченные функции для всех (х, у, г)е Б, < ? < , л = 0,1,...,Жг-1, а также непрерывности частных производных

д2к, д2кк д2к д2и д2у д2^ второго порядка: —к, —к, —, — — —и необходимой гладкости

дх2 ду2 дг дх2 ду2 дг2

функции правых частей Я" можно показать, что погрешность ^ аппроксимации, определяемая как функция правых частей при подстановке погрешности решения г" - д" - д", (х,у,г) е со, t = ^ в построенную разностную аппроксимацию задачи (3.2) - (3.6), (3.10).

^" 1А(х,у,г,^), (Xy,г)ес

имеет оценку:

тахI тах х,у,г,( )}<М•(к2 + т), (3.38)

1<"<мт ((х,у,г)еюк1 V V /' ^ '

где к - к + к + к , М - сога^ > 0.

^ х у г ~

3.2.2 Исследование условий сходимости разностной схемы для внутренних узлов

Определим условия применимости сеточного принципа максимума и следствий из него, что позволит доказать монотонность разностной схемы и её сходимости при \к\ ^ 0 и т ^ 0. Для удобства последующих выкладок повторим

шаблон разностной схемы (см. рисунок 3.1) с обозначением узлов разностной схемы, которые будут использоваться в канонической форме записи сеточных уравнений общего вида.

04 (1-1, к)

С, М к)

05

02

1, ]+1, к)

01

(1>-Ьк) (1+1,], к)

06 ^ к-1)

Рисунок 3.2 - Шаблон разностной схемы с обозначением узлов

На построенной ранее пространственной сетке будем рассматривать (на верхнем временном слое) сеточное уравнение вида:

А(р )•7 (Р)= I В (Р, б» )•7 (б») + р (Р), Р ес,

т=1,2,...,6

Р-( х, Уу, ^,), 7 ( Р)4 дп ( х, Уу, гк,). (3.39)

Значения коэффициентов, и В(Р,()т), т = 1,2,...,6, а также правых

частей ^(-Р) будут сформированы для внутренних и граничных узлов отдельно. Следует отметить, что значения компонента вектора скорости V = ,

определяемые в полуцелых узлах сетки в гидродинамическом блоке модели, участвуют в формировании всех коэффициентов сеточного уравнения (3.39). Ориентируясь на разностную схему (3.14) для д" с учётом соотношений (3.11), (3.12), для внутренних узлов сетки со имеем:

А(р) =1 + (кп (х _ 0.5кх,уу,гк) + кп (х + 0.5кх,уу,гк

-;>кх2

+(кп (х,Уу _ 0.5ку,гк ) + кп (х,УУ + 0.5ку,гк))тт +

ку

+ (К (х ,Уу , гк _ 0.5кг ) + К (х ,Уу , гк + 0.5кг ))тГ _

г

(1 - К"тЯ )- К"тП - КЕтЕ

В ( р, 01 ) = -^- и" ( х + 0.5кх, у, гк ) + ^ кк ( х + 0.5кх, у, 2к ), В ( Р, 02 ) = -^ у" ( хг, у + 0.5ку, гк ) + кк ( хг, у + 0.5ку, 2к ),

2ку у"' к;

В (Р, 03 ) = (х-, у, ^ + 0.5кг) + Л ку, (х, у, ^ + 0.5к2), В(P,04 ) = и" (х- - а5кх,у,^ ) + ^кк (х- - °.5кх,У ,2к ),

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

В(Р,) = ^~у"(х-,у -0.5ку,^) + ^кк(х-,У -0.5ку,2к), (3.45)

В (Р, 06 ) = (х-, у , ^ - 0.5кг) + Л ку (х-, у, ^ - 0.5кг). (3.46)

Потребуем выполнения условий не отрицательности коэффициентов (3.41) - (3.46) и положительности коэффициента А (Р), с некоторым «запасом»,

что приводит к следующим достаточным условиям их положительности. Для коэффициентов В (Р, 0), В (Р, 04):

и" (х- ± 0.5кх,у,%к)

к