Математическое и компьютерное моделирование динамики локализованных сферических возмущений пространственно-плоской вселенной Фридмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Эль Махи Нурдин

• Эль Махи Нурдин
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эль Махи Нурдин

Введение

Глава I. Линейная теория гравитационных возмущений изотропного мира

1.1 Однородные и изотропные модели вселенной Фридмана

1.2 Плосковолновые возмущения мира Фридмана.

1.3 Нестационарные сферически-симметричные решения уравнений Эйнштейна.

1.4 Локализованные сферические возмущения изотропного мира Фридмана.

1.5 Усреднение локальных флуктуаций метрики изотропного мира.

Глава II. Формулировка математической модели

11.1 Сферически-симметричное пространство-время.

11.2 Фоновое пространство-время.

И.З Линейные сферически-симметричные возмущения пространства-времени Фридмана.

11.3.1 Уравнения для сферически-симметричных возмущений

11.3.2 Выделение частицеподобных решений.

11.3.3 Основная теорема.

II.4 Эволюционные уравнения для возмущений при постоянном коэффициенте баротропы.

11.4.1 Эволюция массы частицеподобного источника.

11.4.2 Эволюционное уравнение для несингулярной моды возмущений.

11.5 Уравнения модели сферических возмущений.

11.6 Формулировка задачи Коши для локализованных сферических возмущений.

11.7 Решение задачи Коши для локализованных возмущений методом разделения переменных.

Глава III. Запаздывающие решения 68 III. 1 Общее решение эволюционного уравнения в виде степенного ряда и частные случаи.

III. 1.1 Уравнения модели сферических возмущений.

III. 1.2 Общее решение класса С°° в области возмущения; к ф о, 1 + к ф

III. 1.3 Случай N=

III. 1.4 Нерелятивистская материя: к = 0.

III. 1.5 Инфляционный случай: « + 1 '= 0.

111.2 Запаздывающие сферические возмущения в ультрарелятивистской вселенной.

111.2.1 Граничные условия для запаздывающих решений

111.2.2 Решения с нулевыми граничными условиями на нулевом звуковом горизонте.

111.2.3 Исследование запаздывающего решения.

111.3 Итоги исследования.

Глава IV. Автомодельные решения

IV. 1 Автомодельные решения.

IV. 1.1 Общее автомодельное решение.

IV. 1.2 Автомодельное решение с частицеподобным источником (/х ф 0).

IV. 1.3 Решение без частицеподобного источника.

IV.2 Исследование автомодельных решений.

IV.2.1 Производные потенциальных функций

IV.2.2 Эволюция распределения плотности энергии в сферическом возмущении.

IV.2.3 Эволюция радиальной скорости жидкости в сферическом возмущении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и компьютерное моделирование динамики локализованных сферических возмущений пространственно-плоской вселенной Фридмана»

Известна и общепризнана роль линейной теории гравитационной неустойчивости однородной изотропной вселенной, развитой в работах Е.М. Лиф-шица [1], Е.М. Лифшица и И.М. Халатникова [2] (см. также [3]), в современной теории образования крупномасштабной структуры вселенной. Можно сказать, что теория гравитационных возмущений однородной изотропной вселенной является ядром теории образования структуры вселенной [4], [5], [6]. На этой теории базируется, например, широко распространенная, так называемая, "модель блинов" Я.Б. Зельдовича, А.Г. Дорошкевича, рассматривающая нелинейные стадии развития малых плосковолновых возмущений, которая удовлетворительно объясняет образование галактик и метагалактик.

Одним из основных положений линейной теории гравитационных возмущений однородной изотропной вселенной является положение о волновом представлении возмущений компонент метрики, а также и физических величин - плотности энергии, давления, скорости: f(t,v)=Fk{t)eik(1) где к - волновой вектор. С формальной математической точки зрения представление (1) возмущений метрики и материи реализуется вследствие однородности и изотропии трехмерного пространства Фридмана. Линейным самосопряженным оператором второго порядка на этом пространстве является обычный оператор Лапласа, собственными функциями которого в свою очередь являются плоские волны вида егкг. Но тогда известная теорема о возможности разложения любой аналитической функции по полному набору собственных функций самосопряженного линейного оператора и обеспечивает возможность представления любой аналитической функции в трехмерном метрическом пространстве в виде интеграла Фурье:

Однако, необходимо подчеркнуть два обстоятельства, которые часто остаются в тени при исследовании проблемы образования структуры вселенной. Во-первых, применение представлений (1) и (2) предполагает полноту набора собственных функций, что в свою очередь требует определения эволюции всех гармоник F(t, к), т.е., одновременное знание гармоник как с малыми, так и очень большими значениями волнового вектора. Это, в свою очередь, означает, что необходимо знание гармоник возмущений метрики и физических полей, в том числе, и за световым горизонтом. Во-вторых, с физической точки зрения трудно объяснить существование плоской волны с бесконечным линейным размером волнового фронта во вселенной, имеющей конечную историю. Никакие физические процессы не могут связать причинно - следственными связями разные бесконечно удаленные концы фронта такой волны. Указанное выше первое обстоятельство в конечном итоге также является связано с нарушением принципа причинности, но уже в другом направлении - направлении волнового вектора плоской волны. Следует отметить, что в современной космологии существуют модели, снимающие противоречие линейно-волновой теории возмущений принципу причинности. Все эти модели так или иначе связаны с введением так называемого инфляционного этапа расширения вселенной, когда скорость расширения экспоненциально большая, что дает возможность, в принципе, на этом этапе причинно связаться областям за световым горизонтом (см., например, [7], [8]). Однако, и инфляционные модели в настоящее время сталкиваются со значительными трудностями и претерпевают различные к модификации в связи, во-первых, с отрицательными результатами по регистрации так называемых Хиггсовых скалярных бозонов, обеспечивающих в космологических моделях инфляционную стадию, а, во-вторых, в связи с более точными измерениями параметров расширения вселенной, приведшими к необходимости введения в космологическую модель так называемой "темной материи" и "темной энергии".

С другой стороны принцип причинности применительно к космологии с конечным временем жизни вселенной удовлетворительно согласуется с представлением о первоначальных локализованных внутри светового горизонта возмущениях. При эволюции таких возмущений первоначальное отличие симметрии возмущений от сферической будет играть все меньшую роль с ростом космологического времени. Такие гравитационные возмущения, возникшие на весьма ранних, например, планковских временах, с течением времени будут все более восстанавливать сферическую симметрию. Такая модель возвращает нас к представлениям Эйнштейна о вселенной, похожей на швейцарский сыр, в котором роль пузырьков играют сферические гравитационные возмущения.

При рассмотрении проблемы динамики сферических возмущений однородной изотропной вселенной важнейшую роль играет учет сохранения полной энергии-массы изотропного мира. Действительно, представим, что полная масса-энергия сферического возмущения моментального радиуса г отлична от нуля. Тогда ньютоново поле этой избыточной массы с самого начала вселенной должно присутствовать на бесконечности и никуда исчезнуть не может. Существование этого поля как нарушает принцип однородности вселенной, так и принцип причинности. Таким образом, возникает понятие локализованного возмущения, полная энергия-масса которого должна быть равна нулю, так что вне области возмущения внешние наблюдатели не смогут получить информации о нем. Интуитивно понятно, что в изотропной однородной материи передний фронт сферических возмущений должен распространяться со скоростью звука. Такие локализованные возмущения и могут осуществить модель швейцарского сыра. Несмотря на множество исследований по точным и численным решениям уравнений Эйнштейна для сферической симметрии, задача о локализованных сферических возмущениях практически не исследовалась. Задача в такой постановке впервые рассматривалась Ю.Г.Игнатьевым [9], Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым [10], [11], [12], [13] в связи с проблемой построения модели массивных гравитирующих частиц и проблемы усреднения микроскопической метрики. Следует заметить, что отдельные оценки, связанные с локализованными сферическими возмущениями, были сделаны другими авторами в связи с теорией первичных космологических черных дыр.

Таким образом, проблема построения и исследования динамических моделей локализованных сферических возмущений актуальна как для статистической теории гравитационного взаимодействия, так и для космологии ранних стадий вселенной. Необходимо отметить, что решение проблемы динамики локализованных сферических возмущений актуальна и интересна и для самого математического моделирования, поскольку в решении этой проблемы сталкиваются как классические методы математической физики и математического моделирования, так и современные численные и компьютерные методы исследований.

Итак, целью данной диссертационной работы является построение и исследование методами математического моделирования и компьютерной математики динамических моделей локализованных сферических возмущений однородной и изотропной пространственно плоской вселенной.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Определяются основные уравнения, выявляются и находятся основные соотношения математической модели, включая начально - граничные условия;

2. Проводится математическое исследование модели и выявляются ее наиболее общие строгие свойства;

3. Формулируется задача Коши для локализованных сферических возмущений и находится ее общее решение в форме интеграла Фурье;

4. Находится и исследуется класс точных запаздывающих решений в степенных по радиальной переменной рядах.

5. Находится класс автомодельных запаздывающих решений для жидкости с произвольным показателем баротропы.

6. Проводится численное моделирование полученных решений, на основе которого исследуется динамика локализованных возмущений.

7. Проводится сравнение полученных результатов с результатами других авторов и анализ общих свойств полученной математической модели.

Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, Списка литературы, содержащего 84 наименования, и одного Приложения. Объем диссертации составляет 128 страниц. В диссертации содержится 32 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Эль Махи Нурдин

Заключение

Таким образом, в диссертации получены следующие новые результаты.

1. Поставлена задача о построении математической модели малых локализованных сферических возмущений однородного изотропного мира, сформулированы основные уравнения и соотношения этой модели.

2. В изотропных координатах проведены линеаризация и упрощение этой модели к двум линейным дифференциальным уравнениям в частных производных.

3. Проведено выделение сингулярной части решения, ответственного за центральный частицеподобный источник, доказана единственность этого выделения.

4. В результате для баротропного уравнения состояния среды математическая модель сведена к двум уравнением, из которых первое - обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение определяет эволюцию массы центрального источника, а второе - дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка определяется решениями первого и описывает гравитационный потенциал возмущения.

5. Сформулирована задача Коши для указанных уравнений и найдено ее решение в виде интеграла Фурье для локализованного сферического возмущения.

6. Построены запаздывающие решения класса С1 в виде полиномов радиальной переменной, доказана их нечетность по этой переменной. Для ультрарелятивистского уравнения состояния доказана теорема о том, что запаздывающие полиномиальные решения могут быть только третьего порядка и должны совпадать с решениями, найденными ранее в работах Ю.Г.Игнатьева и А.А.Попова.

7. Вновь найденное решение исследовано, и на основе его построена компьютерная модель, описывающая временную динамику локализованного возмущения.

8. Найден класс автомодельных локализованных запаздывающих решений. Доказано, что при отсутствии частицеподобного источника запаздывающие автомодельные решения отсутствуют.

9. При наличии частицеподобного источника решения задачи выражены через гипергеометрические функции. Найдены их представления через элементарные функции в ряде предельных значений коэффициента баротропы.

10. Показано, что в случае нерелятивистского и ультрарелятивистского уравнений состояния решения сводятся к полученным ранее Ю.Г. Игнатьевым и А.А. Поповым.

11. Показано, что при превышении значения показателя баротропы 1/3 поведение решений качественно меняется, - вторые радиальные производные метрики, а вместе с ними возмущения плотности энергии и радиальной скорости терпят разрыв на звуковом горизонте.

12. Построены численные и компьютерные модели для автомодельных решений.

По результатам диссертации опубликованы работы: [72], [73], [74], [75], [76].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эль Махи Нурдин, 2008 год

1. Лифшиц. Е.М. О гравитационной стабильности расширяющейся вселенной. / Журн. Эксперим. и Теорет. Физ., 1946, 10, с. 116-132.

2. Лифшиц Е.М., Халатников И.М. Гравитационная неустойчивость вселенной Фридмана. Успехи физ. наук, 1963, 80, с. 21-36.

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1973 504с.

4. Пиблс Ф.Дж.Э. Структура вселенной в больших масштабах. / Ф. Дж. Э. Пиблс.// М.: Мир, 1983. 408 с.

5. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. /Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков // М.: Наука, 1975, 736 с.

6. Зельдович Я.Б. Структура вселенной. // Итоги науки и техники. Серия Астрономия, М: ВИНИТИ, 1983, с. 4-32.

7. Линде А.Д. Раздувающаяся Вселенная. // Успехи физ. наук, 1984, 144, с. 177-189.

8. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. Космология и элементарные частицы.// Успехи физ. наук, 1981, 130, с. 559.

9. Ю.Г.Игнатьев. Диссертация на соискание уч.степени доктора физ.-мат.наук, Минск, ФИАН БССР, 1988.

10. Ю.Г. Игнатьев, А.А.Попов. В сб. "Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции вселенной", Казань, Изд-во КГПИ, 1988, с.5-16

11. Ю.Г.Игнатьев, А.А.Попов. Известия ВУЗов, Физика,1989, № 5, с. 8287

12. Yu.G.Ignat'ev and A.A.Popov. Astrophysics and Space Science, 1990, Vol 163, pp. 153-174.

13. Yu.G.Ignat'ev, A.A.Popov. Physics Letters A, 1996, Vol. 220, pp.22-29.

14. Friedmann A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Kriimmung des Raumes. Zs. f. Phys., 1924, 21, p. 326-342.

15. Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947, 312 с.

16. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948, 316 с.

17. А.З.Петров. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966, 496 с.

18. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд./Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков // М.: Наука, 1971, 484 с.

19. J.L.Synge. Relativity: The General Theory, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1960. Русский перевод: Синг Дж.Л. Общая теория относительности. /Дж.Л.Синг// М.: ИЛ, 1963, 432 с.

20. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Затухание гравитационных волн в горячей Вселенной. //В сборнике трудов под ред. Ю.Г.Игнатьева "Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной ". Казань: Издательство КГПИ, 1988, с. 84 -97.

21. Yu.G. Ignat'ev and V.Yu. Shulikovsky. Relativistic kinetics of collisional damping of gravitational waves in a hot Universe. //Gravitation Sz Cosmology, 12, (2006), No 4, p. 321-327.

22. Ю.Г. Игнатьев. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе. //Известия ВУЗов, Физика, 1974, 17, №. 12, 136-142.

23. Yu.G. Ignatyev. The propagation of electromagnetic plasma oscillations in the gravitational field. //Acta Physica Polonica, Vol. B6, No 2, 1975, c. 203-221.

24. Захаров А.В. Влияние бесстолкновительных частиц на рост гравитационных возмущений в изотропном мире. // Журн. эксперим. и теорет. физики, 1979, 77, с. 434 - 450.

25. Захаров А.В. Влияние отличной от нуля массы покоя нейтрино на развитие возмущений в изотропном мире. // Астроном, журнал, 1982, 59, с. 434 - 446.

26. Захаров А.В. Кинетика малых возмущений в закрытом и открытом мирах Фридмана. // Теорет. и матем. физ., 1983, 55, с. 224 - 235.

27. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Э. Херльт. Точные решения уравнений Эйнштейна./ Под ред. Э. Шмутцера. М.: Энергоиздат, 1982. 416 с.

28. Dingle Н. Values of and the Christoffel symbols for a line element of considerable generality./ Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1933, 19, p. 559-572.

29. Lemaitre G. Condensations spheriques dans l'univers en expansion./ Compt. Rend., 1931, 196, p. 903-921.

30. Lemaitre G. L'univers en expansion./ Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 1933, A53, p. 97-113.

31. Tolman R.C. Effect of inhomogeneity of cosmological models. / Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1934, 20, p. 169-181.

32. Bondi H. Spherically symmetrical models in general relativity. / Mon. Not. Roy. Astr. Soc., 1947, 107, p. 410-425.

33. Horsky J., Lorenc P., Novotny J. A non-static source of the Taub solution of Einstein's gravitational equations. / Phys. Letters, 1977, A 63, p. 79 -84.

34. Datta B. Eine Verallgemeinerung des Schwarzschildschen Problem. // Zs. f.Phys., 1936, 103, p. 546-553.

35. Datta B. Uber eine Klasse von Losungen der Gravitationsgleichungen der Relativitat. // Zs. f.Phys., 1938, 108, p. 314-328.

36. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. // Sitz. Preuss. Akad. Wiss., 1916, S. 189-215.

37. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Fliissigkeit nach der Einsteinschen Theorie. // Sitz. Preuss. Akad. Wiss., 1916, S. 424-443.

38. Nordstrom G. Einsten's gravitation theory and Herglotz' mechanics of continua. // Proc. K. Akad. Wet. Amsterdam, 1917, 19, p. 884-892.

39. Nordstrom G. On the energy of the gravitational field in Einstein's theory. // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.,.1918, 20, p. 1238 -1256.

40. Nordstrom G. On the mass of material system according gravitation theory of Einstein. // Proc. K. Akad. Wet. Amsterdam, 1918, 20, p. 1076-1091.

41. Reiisner H. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. // Annalen Physik, 1916, 50, p. 106-121.

42. Whittaker J.M. An interior solution in general relativity. / Proc. Roy. Soc Lond., 1968, A 306, p. 1-14.

43. Klein 0. On a case of radiation equilibrium in general relativity and its bearing on the early stage of stellar evolution. / Ark. Mat. Astr. Fyz., 1947, A 34, p. 1-23.

44. Buchdahl H.A., Land W.J. The relativistic incompressible sphere. / J. Austr. Math. Soc., 1968, 8, p. 6-23.

45. Buchdahl H.A. General-relativistic fluid spheres. III. A static gaseous model. / Astrophys. J., 1967, 147, p. 310-322.

46. Klein 0. On a class of spherically symmetric solutions of Einstein's gravitation equations. / Ark. Fyz., 1953, 7, p. 487-502.

47. Buchdahl H.A. A relativistic fluid sphere resembling the Emden polytrope of index 5. Astrophys. J., 1964, 140, p. 1512-1519.

48. Suhonen E. General relativistic fluid sphere at mechanical and thermal equilibrium. / Kgl. Danske Vidensk. Sels., Math. Phys. Medd., 1968, 36, p. 1-21.

49. Башков В.И., Игнатьев Ю.Г., Ковтун В.И. Равновесные сферически -симметричные распределения релятивистского гравитирующего газа в ОТО. // Труды Казанской городской астрономической обсерватории, Казань: Изд-во КГУ, Казань, № 41, 1976, с. 46-53.

50. Ю.Г. Игнатьев. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности. // Украинский физический журнал, 21, 1976, с. 1971-1977.

51. Игнатьев Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего газа заряженных частиц. //Сборник под ред.

52. В.Р.Кайгородова "Гравитация и теория относительности", Казань: Изд-во КГУ, Выпуск 17, 1980, с. 56 70.

53. McVittie G.G. The mass-particle in an expanding universe. // Mon. Not. Roy. Astr. Sob., 1933, 93, p. 325-336.

54. McVittie G.G. General Relativity and Cosmology. //1956, London: Champan and Hall, 524 p.

55. McVittie G.G. Gravitational motions of collapse or of expansion in general relativity. // Ann. Inst. H. Poincare, 1967, A 6, p. 1-14.

56. Kustaanheimo P. Some remarks concerning of connection between two spherically symmetric relativistic metrics. // Comment. Phys. Math. Helsingf, 1947, 13, p. 8-12.

57. Leibovitz C. Time-dependent solutions of Einstein's equations. // Phys. Rev., 1971, D 4, p. 2949-2957.

58. Kustaanheimo P., Qwist B. A note on some general solutions of the Einstein field equations in a spherically symmetric world. / Comment. Phys. Math. Helsingf, 1948, 13, p. 12-17.

59. Wagh R.V. On some spherically symmetrical models in relativity. / J. Univ. Bombay, 1955, 24, p. 5-18.

60. Wyman M. Nonstatic spherically symmetric isotropic solutions for a perfect fluid in general relativity. / Austral. J. Phys., 1978, 31, p. 111128.

61. McVittie G.G. and Wiltshire R.J. Fluid spheres and R- and T-regions in general relativity. // Int. J. Theor. Phys., 1975, 14, p. 145-154.

62. Гутман Д.И., Беспалко P.M. Некоторые точные сферически симметричные решения уравнений Эйнштейна. // В кн. Современные проблемы теории гравитации, 1967, Тбилисси: Изд-во ТбГУ, с. 201-204.

63. Wesson P.S. An exact solution to Einsten's equations with a stiff equation of state. // J. Math. Phys., 1978, 19, p. 2283-2295.

64. Peebles P.J.E.// Ap. J., 1967, 147, p. 859-667.

65. Зельдович Я.Б., Каждая Я.М.// Астрофизика, 1970, 6, с. 109-115.

66. Ю.Г.Игнатьев. Известия ВУЗов, Физика, 1983, № 8, с. 15-19

67. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО. / В кн: Гравитация и теория относительности, Вып. 20, 1983, Изд-во Казанского государственного университета, Казань, с. 50-107.

68. Ignatyev Yu.G. Statistical dynamics of a classical particle ensemble in the gravitational field. / Gravitation & Cosmology, 2007, 13, p. 59-79.

69. Isaakson R.A. Gravitational Radiation in the Limit of High Frequency. I. Linear Approximation and Geometrical optics.

70. Phys. Review, 1968, 66, p. 1263-1271.

71. Isaakson R.A. Gravitational Radiation in the Limit of High Frequency. II. Nonlinear Terms and the Effective Stress Tensor.

72. Phys. Review, 1968, 66, p. 1272-1281.

73. Игнатьев Ю.Г. Теория возмущений гравитационного поля. // В сб. "Гравитация и теория относительности" под ред. В.Р.Кайгородова. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, Вып. 11, 1976, с. 195-201.

74. Ю.Г.Игнатьев, Н. Эльмахи. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана. / Эльмахи Н.// Известия ВУЗов, Физика, 2008, 41 № 1, с. 66-76.

75. Ю.Г.Игнатьев, Н. Эльмахи. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана. II. Запаздывающие решения для ультрарелятивистского уравнения состояния. / Эльмахи Н.// Известия ВУЗов, Физика, 2008, 41 (принято к печати).

76. Ю.Г.Игнатьев, Н. Эльмахи. Динамическая модель сферических возмущений во вселенной Фридмана. III. Автомодельные решения. /Эльмахи Н.// Известия ВУЗов, Физика, 2008, 41 Физика, 2008, 41 (принято к печати).

77. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы, М., "Наука", 1986.

78. И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М, Физматгиз, 1963

79. Н.Н.Лебедев. Специальные функции и их приложения, М. ГИФМЛ, 1963

80. С.Л.Соболев. Уравнения математической физики, М., Наука, 1966.

81. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики./А. Матросов.// СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.

82. Дьяконов В.П. Mathematical Учебный курс. /В.П.Дьяконов.// СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

83. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. /Д.П.Голоскоков.// СПб.: Питер, 2004. 539 с.

84. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании./ В.П.Дьяконов // М.: Солон-пресс, 2006. 720 с.