Обратные задачи динамики подводных и летательных аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Кондратьева, Людмила Александровна

• Кондратьева, Людмила Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондратьева, Людмила Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Движение подводного аппарата по пространственной спирали

1.1. Модель движения подводного аппарата

1.2. Постановка задачи определения стационарного движения аппарата

1.3. Применение методов обратных задач динамики для нахождения стационарного движения динамически симметричного аппарата

1.4. Применение методов обратных задач динамики для нахождения стационарного движения аппарата со смещённым центром масс

1.5. Выводы

Глава 2. Метод инерциальных многообразий в обратной задаче о движении

спутника

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод инерциальных многообразий как инструмент исследования трехмерных динамических систем

2.3. Математическая модель управления движением спутника

2.4. Условия существования устойчивого периодического движения спутника

2.5. Исследование свойств движения спутника в пространственных координатах

2.6. Дополнительные возможности изложенного метода

2.7. Выводы

Глава 3. Методика приближенного аналитического определения

устойчивой периодической орбиты спутника

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод гармонического баланса в задаче аналитического исследования предельного цикла

3.3. Модифицированная математическая модель движения спутника

3.4. Применение метода гармонического баланса для аппроксимации периодического решения

3.5. Реализация методики получения приближённого аналитического решения

3.6. Эллиптические аппроксимации устойчивой замкнутой орбиты спутника

3.7. Демонстрация точности приближенных орбит спутника с помощью машинной графики

3.8. Применение метода гармонического баланса к задаче о движении спутника при альтернативном выборе функций управления

3.9. Выводы

Глава 4. Сплайн-коллокация в одной обратной задаче аэродинамики

4.1. Сплайн-теория как методика решения обратных задач динамики

4.2. Постановка задачи обтекания прямоугольного крыла установившимся сверхзвуковым потоком сжимаемого идеального газа

4.3. Применение метода сплайн коллокации для решения интегро-дифференциального уравнения

4.4. Пример расчета аэродинамических характеристик прямоугольного крыла в сверхзвуковом потоке

4.5. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи динамики подводных и летательных аппаратов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Обратные задачи занимают важное место в исследовании теоретико-механических моделей. Математически строгая формулировка понятия обратных задач динамики была дана A.C. Галиуллиным. Соответствующая тематика получила интенсивное развитие в работах его последователей, прежде всего, И.А. Мухаметзянова и Р.Г Мухарлямова, причем, начиная с работы И.А. Галиуллина, стало возможным исследовать подобные задачи не только в евклидовых пространствах, но и на произвольных дифференцируемых многообразиях.

Многие обратные задачи динамики связаны с условиями программного движения аэрогидродинамических или космических аппаратов, т.е. с выбором функций управления или параметров аппарата, обеспечивающих его движение по траектории с заданными свойствами. Типичным примером такого рода является решённая В.Т. Грумондзом задача о движении по винтовой линии центра динамически симметричного подводного аппарата.

Важной проблемой является устойчивость соответствующего программного движения относительно параметров процесса. Разные классы подобного рода обратных задач механики рассматривались в работах A.C. Галиуллина, Р.Г. Мухарлямова, О.М. Алифанова, Е.А. Гребеникова и Ю.А. Митропольского. В частности, задача о движении геостационарного спутника решена Е.А. Гребениковым, Ю.А. Митропольским и Ю.А. Рябовым. Общим вопросам динамики космических аппаратов посвящены работы В.В. Белецкого. Устойчивость движения спутников изучалась А.П. Маркеевым и О.В. Холостовой. В монографии Ю.А. Митропольского, О.Б. Лыковой определяется эволюция свободных (при отсутствии всех возмущений кроме влияния силы тяжести) орбит спутников и исследуется устойчивость этих орбит. Перспективное направление, связанное с малыми космическими аппаратами

как эволюционной ступенью перехода к микро и наноспутникам в последнее время развивается О.М. Алифановым.

В работах И.А. Мухаметзянова рассматривался вопрос о приближённом программном движении в механических системах и об оценке его отклонения от точного движения. Фактически, задачи определения управляющих элементов, обеспечивающих наиболее точное приближенное движение по заданному дискретному набору характеристик программного движения, являются как обратными, так и аппроксимационными.

Большое значение имеет задача аналитического приближения программного движения и оценки его погрешности, решаемая с помощью тех или иных методов анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. Одной из наиболее эффективных процедур для решения подобных задач является версия метода гармонического баланса, описанная в работах Б. Деламотта и Д. Поланда. Весьма важной является задача выбора управления, обеспечивающего устойчивое периодическое движение механического объекта в том или ином фазовом пространстве, что в математической формулировке означает существование устойчивого предельного цикла для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Методы решения данной задачи на плоскости хорошо известны, однако уже в размерности 3 возникают существенные трудности. С этой точки зрения весьма полезен восходящии к Н.М. Крылову, H.H. Боголюбову метод интегральных многообразий и, как его обобщение, развитый Р. Смитом, М. Миклавчичем, A.B. Романовым метод инерциальных многообразий, позволяющий в ряде случаев сводить изучение стационарных режимов исходной п -мерной динамической системы к аналогичной двумерной задаче. Упомянутый выше метод гармонического баланса обычно применяется к дифференциальным уравнениям второго порядка, и представляет интерес его обобщение на уравнения более высоких порядков.

Ряд обратных задач аэродинамики сводится к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям. Эффективным инструментом решения таких уравнений, служит, как отмечено в работах А.И. Задорина, метод сплайн-коллокации.

Таким образом, получение условий, обеспечивающих движение подводного аппарата по желаемой траектории, космического аппарата по замкнутой орбите, определение аэродинамических характеристик крыла при сверхзвуковом обтекании методами обратных задач динамики с применением методов инерциальных многообразий, гармонического баланса, сплайн-функций является актуальным с точки зрения теории и практики.

Целью работы является развитие и исследование применимости методов теории обратных задач в моделировании некоторых стационарных процессов динамики:

1. применительно к движению подводных аппаратов по заданной траектории;

2. в исследовании движения космического аппарата при облете материального или геометрического центра по траектории, асимптотически приближающейся к замкнутой орбите, причём в этой связи развивается и теория дифференциальных уравнений в той ее области, которая изучает предельные циклы и их устойчивость в фазовом пространстве;

3. при определении аэродинамических характеристик прямоугольного крыла летательного аппарата в сверхзвуковом потоке.

Методы исследования. В работе используются: методы построения уравнений программного движения; методы качественного исследования систем дифференциальных уравнений, в том числе метод инерциальных многообразий; аппроксимационные методы решения систем дифференциальных уравнений; аппроксимационные методы решения интегро-дифференциальных уравнений на основе теории сплайн-функций.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие основные

результаты, имеющие научное и прикладное значение.

1. На основе методов обратных задач динамики получены условия в форме системы алгебраических уравнений, при которых геометрический центр подводного аппарата со смещенным центром масс движется по винтовой линии; показано, что заданного движения можно достичь, варьируя лишь углы отклонения элеронов.

2. На основе понятия инерциального многообразия решена обратная задача выбора функций управления спутником (представляемым материальной точкой), обеспечивающих его полёт вокруг небесного объекта в заданной плоскости с полярными координатами (г,<р) по замкнутой устойчивой (в обобщённых координатах (г,г,ф)) траектории. Показано, что в реальных пространственных координатах соответствующее движение будет периодическим или условно-периодическим в зависимости от соотношений между параметрами системы.

3. На основе одной из версий метода гармонического баланса найдены аналитические приближения для замкнутых устойчивых орбит космического аппарата в фазовых координатах (г,г,ф), а также оценки периода обращения. Показано, что геометрическая форма соответствующих приближённых орбит близка к эллипсу. Получены уравнения данных орбит в исходных полярных координатах (г, (р).

4. Решена обратная задача определения динамических характеристик прямоугольного крыла летательного аппарата при сверхзвуковом обтекании по исходной кинематической характеристике, а именно, потенциалу скоростей, который строится с использованием сплайн-функций.

Практическая ценность. Результаты работы имеют теоретический характер и, вместе с тем, могут представлять интерес для оборонной и космической промышленности:

• при проектировании подводных аппаратов;

• при создании систем управления космическим аппаратом на различных участках полета;

• при создании систем слежения и выбора устойчивых траекторий облета космического объекта, например, управление спутником-инспектором для диагностики и устранения причин выхода из строя других космических аппаратов;

• при выборе элементов аэродинамической компоновки летательных аппаратов на стадии предварительного проектирования;

• при изучении вопросов допустимой аппроксимации программного движения, а также вопросов его устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и симпозиумах:

• Sixth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics, Moscow - Velikie Luki, 2007;

• XI, XII, XIV-XVI Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», Алушта: 2002, 2003, 2005-2007.

Достоверность результатов обеспечивается: строгостью постановок задач и утверждений; корректным использованием математических моделей современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений; рассмотрением численных примеров, демонстрирующих адекватность полученных теоретических выводов.

Публикации Основные результаты работы опубликованы в научных журналах [17], [18], [34], [35], [36], [37], а также в материалах конференций, указанных выше.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (78 источников), 12 рисунков и 1 таблицы. Объем диссертации - 108 м.п.с.

В настоящей работе математические методы применяются к изучению систем, служащих моделями либо подводных аппаратов, либо летательных аппаратов, как воздушных, так и космических. При этом задачи, рассмотренные и решенные здесь, воспринимаются с точки зрения интенсивно развивающейся теории обратных задач динамики. Данная теория имеет свою историю, восходящую к работам Ньютона, Гельмгольца, Биркгофа, российских ученых Суслова, Горячева и Жуковского, французских ученых Пуанкаре и Картана. Несмотря на авторитет Ньютона, который ввёл понятие «обратные задачи», многими исследователями указанный термин долгое время практически не применялся, хотя ряд их работ и имел направленность, связанную именно с идеологией обратных задач.

Достаточно полная библиография по соответствующей тематике имеется в монографии A.C. Галиуллина [13]. Данная работа содержит современную математически строгую формулировку обратных задач динамики как задач по определению приложенных к механической системе активных сил и моментов, параметров этой системы и наложенных на неё связей, при которых становится возможным одно из движений с заданными свойствами.

Большинство задач, нашедших свое решение в цитируемой монографии, опираются на методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратная задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений в наиболее формализованном виде была поставлена Н.П. Еругиным

[24] а затем получила интенсивное развитие в работах A.C. Галиуллина и его последователей, учёных, работающих по теме обратных задач механики, прежде всего, И.А. Мухаметзянова и Р.Г Мухарлямова [13], [14]. Важно отметить в этой связи цикл статей C.B. Волкова (см., например, [10], [11]), в которых поставлены задачи построения динамических систем, имеющих заданные особые точки и заданные предельные циклы.

С другой стороны, за последние годы появилось много работ, в которых сформулированы новые возможные постановки обратных задач и установлены общие методы их решения. Прежде всего, если ранее обратные задачи рассматривались на подмногообразиях евклидовых пространств соответствующей размерности, то, начиная со статьи [15] стало возможным исследовать эти задачи на произвольных дифференцируемых многообразиях. Существенной особенностью этого подхода является применение методов дифференциальной геометрии к задачам механики, основанное на фундаментальной монографии французского математика К. Годбийона [19]. В указанной работе И. А. Галиуллина [15] методы [19] развиваются применительно к обратным задачам о векторных полях на дифференцируемых многообразиях. Необходимость введения таких математических объектов как абстрактные многообразия возникает вследствие того, что для многих известных поверхностей лишь отдельные участки оказываются "совместимыми" с участками плоскостей, а для всей поверхности нужны так называемые карты и соответствующие отображения, пример тому -поверхность Земли и задачи о движении по заданным траекториям земной поверхности [34].

Помимо классической постановки определения параметров механической системы, как это сделано в диссертации для аппарата, движущегося в водной среде, при решении обратных задач динамики спутников весьма интенсивное развитие получили методы устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений. Разработана возможность прямого перехода от

изучения движения точки в фазовом пространстве к исследованию реальной траектории космического аппарата.

Определяющее значение имеют проблемы устойчивости движения в механических системах относительно параметров процесса. Подобные вопросы рассматривались в работах A.C. Галиуллина [13], А.П. Маркеева [41,42,45], Е.А. Гребеникова, Ю.А. Митропольского и Ю.А. Рябова [20],

Существенной особенностью настоящей работы является развитие методов приближённого исследования движения. С этой точки зрения большое значение имеет задача аналитического приближения искомого движения и оценки его погрешности. Эффективной процедурой для решения подобных задач служит версия метода гармонического баланса, описанная в работах Б. Деламотта [64] и Д. Поланда [74].

В качестве обратной задачи динамики может рассматриваться задача определения динамических характеристик крыла летательного аппарата при сверхзвуковом обтекании по исходной кинематической характеристике, а именно, по потенциалу скоростей. Именно такая задача по определению распределения давлений на крыле в сверхзвуковом потоке, решённая в диссертации с помощью методов сплайн-коллокации, естественным образом ставится в круг обратных задач.

Первая глава использует ставшие уже классическими методы решения обратных задач динамики в евклидовых фазовых пространствах [13]. При этом заданной полагается интегральная кривая, которую можно воспринимать как траекторию в реальном пространстве. Именно в такой постановке исторически первая обратная задача была решена Ньютоном в работе [73], посвященной определению структуры сил, под действием которых планеты совершают движения по законам Кеплера.

В этом плане помимо основополагающей работы Н.П. Еругина [24] необходимо указать статью Р.Г. Мухарлямова [49]. С учётом результатов этих работ здесь решена важная техническая задача о движении центра подводного

аппарата по винтовой линии (пространственной спирали) так, что его относительное движение представляет собой регулярную прецессию. Подобный взгляд на особенность движения не является новым: анализируя найденные Г.Н. Дубошиным и В.Т. Кондурарем перманентные движения симметричных спутников на круговой орбите, В.В. Румянцев в своей книге [56] подчёркивал, что эти движения в кёниговой системе являются регулярными прецессиями. В настоящей работе помимо своего рода орбитальной координатной системы, в которой осью прецессии служит вертикаль, проведённая через центр аппарата, рассматривается связанная с ним подвижная система координат, состоящая из продольной оси симметрии, перпендикулярной ей оси, лежащей в плоскости элеронов, и оси, дополняющей эту систему до правой (система подвижных осей не является кёниговой).

Для определенных целей такое поведения аппарата является весьма желательным, впервые его обнаружил и описал В.Т. Грумондз [22] для динамически симметричного твердого тела в жидкости. В настоящей работе доказана возможность подобного движения для тела со смещенным центром масс, что весьма существенно для практики конструирования подводных аппаратов.

С использованием известных уравнений движения тела в жидкости решена обратная задача, когда задана форма траектории в виде той же пространственной спирали; для необходимых параметров, включая углы отклонения рулей и элеронов, а также (отличных от нуля) координат центра масс получены алгебраические уравнения.

Доказывается динамическая возможность такого движения подводного аппарата, когда его центр - точка приложения архимедовой силы - движется в пространстве по винтовой линии. Сам аппарат моделируется динамически симметричным твёрдым телом, при этом, как указывалось, допускается смещение центра масс относительно оси симметрии. Исследуются условия, накладываемые на параметры тела, а также движение самого аппарата

относительно центра. При рассмотрении более общих задач, а именно, задач о движении двусредных аппаратов, решаемая здесь проблема приобретает особое значение для развития авиационной и космической техники.

Во второй главе объектом исследования служит летательный аппарат, совершающий облет космического тела по плоской орбите и моделируемый материальной точкой. Практическое использование спутников напрямую связано с облётом исследуемой планеты, при этом орбиту следует считать либо предельным циклом, либо траекторией, асимптотически приближающейся к нему. Указанный цикл тогда, исходя из поставленной аэрокосмической задачи, надо заранее полагать устойчивым.

Общие принципы управления космическими летательными аппаратами изложены в монографиях [2], [53] причём в [53] обсуждалась возможность устойчивого периодического движения спутников. В книге Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой [47] рассмотрена эволюция свободных (при отсутствии всех возмущений кроме влияния силы тяжести) орбит спутников, движущихся вокруг сплюснутого сфероида, и при некоторых дополнительных предположениях исследуется устойчивость этих орбит. Решение задачи о движении геостационарного («повисающего» над одной и той же точкой земного экватора) летательного объекта описано в монографии Е.А. Гребеникова, Ю.А. Митропольского и Ю.А. Рябова [20]. Общим вопросам динамики космических аппаратов посвящена фундаментальная монография В.В. Белецкого [7], а также труды А.П Маркеева [41-45]. В статьях [6], [62] исследуется устойчивость движения спутников. В настоящее время управление космическими аппаратами малого размера, т.е. такими, которые допускают более точное моделирование материальными точками, стало актуальной задачей, об этом свидетельствует статья О.М. Алифанова [3].

В настоящей работе рассматривается (см. [17], [33]) класс систем трёх обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, для которых удаётся установить существование устойчивого предельного цикла. Показано,

что при подходящем выборе управляющих сил уравнения такого типа описывают плоское движение летательного аппарата и, таким образом, позволяют установить для него наличие устойчивой периодической орбиты в фазовых переменных (г,г,ф), где (г,ср) - исходная полярная система координат в фиксированной плоскости вращения спутника.

Как известно, интеграл кинетического момента определяет особенность траекторий материальной точки в каком-либо центральном (в том числе гравитационном) поле, состоящую в том, что они необходимо являются плоскими кривыми. Предполагается, что сам объект, вокруг которого совершает облёт летательный аппарат, имеет пренебрежимо малую массу, это может быть другой летательный аппарат или небесное тело небольших размеров, например, недавно открытые спутники Урана. Заметим, что своего рода «центр орбиты» может вообще не представлять собой материальный объект, а быть фиксированной геометрической точкой в пространстве, некоторым навигационным центром.

Существование устойчивого предельного цикла для полученного класса систем дифференциальных уравнений доказывается с помощью адаптированной к конечномерному случаю техники, основанной на понятии инерциального многообразия [55], [69], [76]. Показано, что в реальных пространственных координатах соответствующее движение летательного аппарата оказывается периодическим или условно-периодическим в зависимости от некоторых (явно выписываемых) соотношений между параметрами системы. Отметим, что изучению подобных движений в многочастотных нелинейных системах с малым параметром посвящена уже цитированная работа [20].

В общем случае инерциальное многообразие (ИМ) гладкого полупотока в (конечномерном или бесконечномерном) евклидовом фазовом пространстве X - это гладкая или липшицева инвариантная (интегральная) конечномерная поверхность Н с X, экспоненциально и равномерно притягивающее при

большом времени каждое ограниченное множество ИаХ. Данное многообразие содержит в себе глобальный аттрактор, т.е. совокупность всех ограниченных полных (существующих при любом времени /е(-оо,+оо)) траекторий соответствующей диссипативной динамической системы. В частности, ИМ содержит в себе все точки покоя и замкнутые траектории данной системы. Термин «инерциальное многообразие» впервые появился в статье [65], хотя соответствующий объект фактически изучался и в более ранних работах [61], [67]. Важно подчеркнуть, что в этих и большинстве последующих трудов по данной тематике рассматривались ИМ полулинейных параболических уравнений в частных производных, например, уравнений (скалярных или векторных) реакции-диффузии. Целью при этом служило описание финального (при большом времени) поведения соответствующей бесконечномерной динамической системы с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной сужением исходного уравнения в частных производных на конечномерное инерциальное многообразие.

Между тем, инерциальные многообразия могут быть полезны и при изучении систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, так как позволяют сводить задачу описания финальной динамики системы с п степенями свободы к соответствующей задаче для индуцированной системы с т степенями свободы (т<п, где т - размерность ИМ). Долгое время единственной работой, в которой рассматривался подобный подход, была статья Р. Смита [75]. В трудах Л.А. Кондратьевой [33] и И.А. Галиуллина, Л.А. Кондратьевой [17] техника инерциальных многообразий была использована для сведения изучаемой там трёхмерной динамической системы на двумерное инерциальное многообразие, что дало возможность использовать известную теорию Пуанкаре -Бендиксона для обнаружения устойчивых предельных циклов. Технику инерциальных многообразий в конечномерных задачах динамики можно рассматривать как плодотворное развитие хорошо известных методов теории интегральных многообразий [47], а также

восходящей к работам Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова (см., например, [39], [47]) идеи о разделении фазовых движений на «быстрые» и «медленные». Следует отметить, что данный подход является альтернативным по отношению к классическим методам теории бифуркаций [46], поскольку не предполагает анализ эволюции фазового портрета динамической системы в зависимости от поведения некоторого управляющего параметра.

В данной главе особенно подчёркивается актуальная связь обратных задач с задачами теории управления; для соответствующих функций управления получены явные формулы и инженерная задача состоит в том, чтобы построить необходимые элементы двигателей.

Глава 3 посвящена (см. [35]) задаче приближённого аналитического определения орбиты и периода устойчивого периодического движения для описанной в главе 2 системы дифференциальных уравнений, моделирующей движение спутника при различных значениях управляющих параметров. С этой целью используется успешно применённый в работе [64] и развитый в статье [74] непертурбационный (не связанный с техникой теории возмущений) метод аналитической локализации периодических решений дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями, а также систем таких уравнений. Фактически, при этом речь идёт о версии общей вычислительной процедуры, часто именуемой в литературе (см. [63], [68], [71], [77]) методом гармонического баланса. Существо данного метода состоит в замене искомого периодического решения начальным отрезком его ряда Фурье с неопределёнными коэффициентами, а также значением периода, и последующим нахождением указанных параметров из соответствующих систем нелинейных алгебраических уравнений. Несмотря на то, что сходимость соответствующей процедуры не обоснована теоретически, она даёт хорошие результаты [64], [74] в случаях, когда приближённые решения удаётся сравнить с точными. В работе JI.A. Кондратьевой [35] показано, что для рассматриваемой системы уравнений уже на третьем (а в ряде случаев даже на

первом) шаге метода удаётся получить (с приемлемой точностью) аналитические приближения для искомого устойчивого периодического решения, а также оценить его период. При этом сложность системы нелинейных алгебраических уравнений для коэффициентов Фурье и частоты колебания растёт с увеличением длины начального отрезка ряда Фурье. Точность приближений оценивается величиной относительной невязки. Оказывается, что в соответствующих обобщённых фазовых координатах полученные замкнутые орбиты близки к эллиптическим, причём уравнения эллипсов выписываются в явном виде через параметры исходной системы дифференциальных уравнений. Близость аппроксимирующих траекторий к точному предельному циклу демонстрируется также и с помощью средств машинной графики (пакет Maple 11).

Метод гармонического баланса идейно весьма прост, однако его недостаток заключается в быстро нарастающей (с увеличением номера шага) сложности получаемой системы нелинейных алгебраических уравнений. Полезные соображения, связанные с преодолением этой проблемы, можно найти в статьях [66], [77]. С иной точки зрения (метод логарифмических частотных характеристик) условия возникновения и параметры устойчивых автоколебаний изучались в работе [28], посвященной нелинейным следящим системам. В книге [20] описан итерационный вариант метода малого параметра Пуанкаре-Ляпунова нахождения автоколебаний в нелинейных системах. Наконец, в уже упомянутой монографии [47] предъявлен алгоритм приближённого отыскания устойчивых периодических орбит спутников, основанный на теории интегральных многообразий. Обширная библиография, посвящённая современным методам нахождения периодических траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений, приведена в статье [78].

В четвёртой главе рассматривается другой тип обратных задач динамики. Существо этих задач состоит в том, что в заданных предположениях о свойствах движения рассматриваемого объекта проводится либо построение

соответствующих динамических уравнений, либо осуществляется определение дополнительных уравнений (задача замыкания), либо устанавливаются необходимые параметры или иные характеристики объекта (задача восстановления) [13].

Прежде всего, это касается задач аппроксимации, одним из соответствующих примеров служит работа И.А. Мухаметзянова [48]. Основную задачу теории аппроксимации сформулировал Н.И. Ахиезер в книге [5]. Пусть на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы две функции, определённые на этом множестве, из которых вторая зависит ещё и от некоторого числа параметров; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение одной функции от другой было наименьшим.

«Сглаживание» кусочно-линейных функций, простым соединением точек, полученных, как правило, эмпирическим путём, достигается различными средствами, среди которых метод сплайн-функций является одним из самых эффективных. В настоящей работе указанный выше подход к задаче аппроксимации реализуется в связи с разработкой методики расчета процесса обтекания тонкой несущей поверхности стационарным сверхзвуковым потоком сжимаемой идеальной жидкости.

Эта задача решается с помощью линеаризованной теории потенциального течения. Для описания обтекания несущей поверхности стационарным сверхзвуковым потоком сжимаемой идеальной жидкости использовано пространственное интегродифференциальное уравнение, связывающее скачок потенциала скоростей А(р на крыле (слой диполей) с нормальной производной потенциала (скорость скоса потока) на несущей поверхности. При этом величина А(р представляет собой неизвестную функцию распределения интенсивности слоя диполей на крыле. Требуется определить пространственное поле скоростей и распределение давлений на крыле.

Фактически, здесь рассматривается обратная задача математической физики, а именно, задача определения значений А(р по заданной нормальной

компоненте скорости на несущей поверхности. Граничное условие в данной ситуации состоит в том, что нормальная компонента скорости на крыле равна нулю (условие непротекания несущей поверхности потоком газа). Описанная краевая задача сводится к решению упомянутого выше интегродифференциального уравнения [60] относительно неизвестной функции распределения слоя диполей Ад) на поверхности крыла.

В качестве техники численного решения данного уравнения применяется теория сплайнов. По сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами сплайн-функции [25] обладают важными преимуществами: лучшими аппроксимативными свойствами и удобством компьютерной реализации построенных на их основе вычислительных процедур.

Приводится алгоритм, а также результаты расчета аэродинамических характеристик крыла, основанные на биквадратичной сплайновой аппроксимации слоя диполей. Интегродифференциальное уравнение решается методом сплайн-коллокации, т.е. аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений. Эта система получается разделением поверхности на малые прямоугольные элементы в предположении, что скачок потенциала (функция А(р), представляется в виде многочлена 2-го порядка на каждом элементе. При этом интегральное уравнение точно удовлетворяется в центрах тяжести элементов. Значения интенсивности диполей во всех точках поверхности крыла определяются после решения линейной системы алгебраических уравнений (для значений в узлах сетки) и построения биквадратичного сплайна.

В методике расчета не используются приемы численного интегрирования и дифференцирования. Более того, даже обращение матрицы при решении системы линейных алгебраических уравнений производится аналитически.

Распределение давления (формула Бернулли [40]) и поле скоростей определяются градиентом потенциала возмущенных скоростей <р{х,у,г), причём аналитическое выражение для функции (р{х,у,г) получено на основе

построенного сплайна. Разность коэффициентов давления Ар на поверхности крыла легко вычисляется благодаря свойству гладкости биквадратичного сплайна.

Таким образом, задача расчета аэродинамических характеристик при сверхзвуковом обтекании прямоугольного крыла рассмотрена с позиции разновидности обратной задачи. Предложена математическая модель, а также алгоритм ее численной реализации, основанной на методе сплайн-коллокации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Кондратьева, Людмила Александровна

Основные результаты диссертации

1. С использованием классических методов обратных задач динамики решена задача о движении подводного аппарата по винтовой линии в предположении, что его центр масс смещён относительно оси динамической симметрии. Найдены условия существования желаемой траектории. Показано, что заданное движение достигается при определенных углах отклонения элеронов.

2. С помощью техники инерциальных многообразий установлено существование устойчивого предельного цикла для класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и показано, что при соответствующем выборе функций управления такие системы описывают плоское движение летательного аппарата вокруг некоторого центра обращения. Тем самым установлена возможность облета спутником исследуемого объекта по плоской траектории в реальном трёхмерном пространстве. Данное движение является Г-периодическим и устойчивым в переменных {г,г,ф), где (г,ср) - полярная система координат в плоскости вращения летательного аппарата. В исходных пространственных координатах движение спутника оказывается периодическим или условно-периодическим в зависимости от аналитических соотношений между величиной периода Т и средней за период угловой скоростью.

3. На примере указанного выше класса систем получил развитие метод гармонического баланса как инструмент приближенного аналитического вычисления периодических траекторий скалярных или векторных дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями. Показано, что в рассматриваемом случае периодического движения материальной точки, воспринимаемой как космический аппарат небольшого размера, уже на первых шагах метода удаётся с приемлемой точностью получить аналитические аппроксимации для замкнутой устойчивой (в переменных (г,г,ф)) орбиты спутника и оценить величину периода обращения. Показано, что при определённых условиях приближённые орбиты имеют форму эллипса.

4. Решена обратная задача определения динамических характеристик несущей поверхности летательного аппарата при сверхзвуковом обтекании по исходной кинематической характеристике, а именно, потенциалу скоростей. Метод сплайн-функций рассматривается как эффективный инструмент построения численно-аналитических алгоритмов решения таких обратных задач. Приведен пример расчета аэродинамических характеристик крыла.

Заключение

Работа носит теоретический и вместе с тем прикладной характер. Получены результаты, как математического свойства, так и те, что найдут применение в практике, в авиационной и космической областях, а также в проектировании подводных аппаратов. Процессу проектирования должно предшествовать установление аналитических зависимостей между динамическими параметрами, характеризующими движение аппарата и его аэродинамическими или гидродинамическими характеристиками. Только в результате качественного аналитического исследования свойств дифференциальных уравнений движения может быть решена задача выбора динамических характеристик механической системы, т.е. обратная задача динамики.

В диссертации используются методы построения уравнений программного движения, аналитические методы динамики твердого тела, теории устойчивости, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории краевых задач для уравнений в частных производных, методы сплайн-функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондратьева, Людмила Александровна, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 257 с.

2 Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г. Управление космическим летательным аппаратом. М.: Машиностроение, 1964. 402 с.

3 Алифанов О.М., Медведев A.A., Соколов В.П. Малые космические аппараты как эволюционная ступень перехода к микро и наноспутникам // Электронный журнал «Труды МАИ». 2011. №49. (27.12.2011)

4 Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Ненарокомов A.B. Сплайн-аппроксимация решения обратной задачи теплопроводности, учитывающая гладкость искомой функции. ТВТ. 1987. Т.25, №4. С.693-699.

5 Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с.

6 Бардин Б.С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космические исследования. 2008. Т.46, Вып.З. С.278-288.

7 Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

8 Белецкий В.В. Некоторые вопросы поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском поле сил, в сб.: «Искусственные спутники Земли». М.: АН СССР, 1963. Вып. 16. С.46-56

9 Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

10 Волков C.B. Алгоритмы и программы синтеза математических моделей динамических систем по фазовым портретам. М.: Изд-во РУДН, 2004. 68 с.

11 Волков C.B. Построение на плоскости систем дифференциальных уравнений по разбиению на траектории области, имеющей особые точки только на границе // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21, №8. С. 1313-1317.

12 Вотяков В.Д. Аэродинамика летательных аппаратов и гидравлика их систем. 4.1. М.: ВВИА им. Жуковского, 1972.

13 Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986. 224 с.

14 Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352с.

15 Галиуллин И.А. Построение динамических систем на многообразиях // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, №12. С.2053-2058.

16 Галиуллин И.А., Кондратьева JI.A. Тезисы доклада «К вопросу о программном движении подводного аппарата», Труды XIV международного научно-технического семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта, 2005 г.

17 Галиуллин И.А., Кондратьева JI.A. Спутниковые инерциальные многообразия и предельные циклы // Космонавтика и ракетостроение. 2011. №3(64). С.73-76.

18 Галиуллин И.А., Кондратьева Л.А. Движение подводного аппарата по пространственной спирали // Вестник Московского авиационного института. 2007. Т. 14, №2. С.41-46.

19 Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. 188с.

20 Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999. 301 с.

21 Грумондз В.Т., Яковлев Г.А. Алгоритмы аэрогидробаллистического проектирования. М.: Изд-во МАИ, 1994. 304 с.

22 Грумондз В.Т. Некоторые задачи анализа и выбора динамических характеристик нелинейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1992. 182 с.

23 Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во МГУ, 1998. 480 с.

24 Еругин Н.П. Построение систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ. 1952. Т. 16, Вып.6. С.659-670.

25 Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

26 Задорин А.И. Сплайн-интерполяция для функции с погранслойной составляющей // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, Спец. вып. 2. С.135-139.

27 Задорин А.И., Задорин H.A. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с погранслойной составляющей // Журнал выч. математики и матем. физики, 2010. Т. 50, №2. С. 221-233.

28 Козлова Н.М., Рабинович Л.В. Динамика линейных, нелинейных и цифровых следящих систем. Учебное пособие. М: Изд-во МАИ, 2008. 79 с.

29 Кондратьева Л.А. Тезисы доклада «Численные оценки сложности для нелинейных параболических уравнений», Труды XI международного научно-технического семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта, 2002 г.

30 Кондратьева Л.А. Тезисы доклада «Конечномерная динамика эволюционных уравнений и нелинейный метод Галеркина», Труды XII международного научно-технического семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта, 2003г.

31 Кондратьева Л.А. Тезисы доклада «Аппроксимационная обратная задача для предельных циклов», Труды XV международного научно-

технического семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта, 2006 г.

32 Кондратьева JI.A. Тезисы доклада «Обратные задачи в теории сплайн-функций», Труды XVI международного научно-технического семинара «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта, 2007 г.

33 Кондратьева Л.А. Тезисы доклада «On the Loci of Limit Cycles for the Spacecraft», Sixth International Symposium on Classical and Celestial Mechanics, Moscow-Velikie Luki, 2007 r.

34 Кондратьева JI.A. Обратные краевые задачи на многообразиях // Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Математика. Информатика. Физика. 2010. №1. С.34-38.

35 Кондратьева JI.A. Приближённое аналитическое вычисление устойчивой периодической орбиты спутника // Вестник Московского авиационного института. 2012. Т. 19, №1. С.75-80.

36 Кондратьева JI.A. Расчёт аэродинамических характеристик при сверхзвуковом обтекании прямоугольного крыла. Сб. научн. трудов: «Экспериментальное и теоретическое исследование аэродинамических характеристик JIA и его частей». М.: Изд-во МАИ, 1983. С.26-28.

37 Кондратьева JI.A. Аппроксимационная обратная задача для предельных циклов// Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: Изд-во РГОТУПС. 2006. С.72-75.

38 Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика. Т.1. М.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948.

39 Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. 363 с.

40 Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 733 с.

41 Маркеев А.П. Об устойчивости колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Доклады РАН. 2007. Т.413, №3. С.340-344.

42 Маркеев А.П. Об устойчивости плоских вращений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С.63 85.

43 Маркеев А.П. О периодических движениях спутника на круговой орбите // Космические исследования. 1985. Т.23, Вып.З. С.323-330.

44 Маркеев А.П. О вращательном движении динамически симметричного спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1967. Т.5, Вып.4. С.530-539.

45 Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1965. Т.З, Вып.5. С. 674-676.

46 Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

47 Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. 512 с.

48 Мухаметзянов И.А. Об оценке максимальных отклонений координат нелинейных возмущаемых систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. 1965. Т.26, №2. С. 350-358.

49 Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, №4. С.688-699.

50 Мухарлямов Р.Г. О решении систем нелинейных уравнений // Журнал выч. математики и матем. физики. 1971. T.l 1, № 4. С.829-836.

51 Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004. 550 с.

52 Пантов E.H., Махин H.H., Шереметов Б.Б. Основы теории движения подводных аппаратов. Л.: Судостроение, 1973.

53 Разыграев А.П. Основы управления полётом космических аппаратов и кораблей. М.: Машиностроение, 1977. 469 с.

54 Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. 318 с.

55 Романов А.В. Точные оценки размерности инерциальных многообразий для нелинейных параболических уравнений // Известия РАН, серия матем. 1993. Т.57, №4. С.36-54.

56 Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. Математические методы в динамике космических аппаратов, вып.4. М.: ВЦ АН СССР, 1967. 140с.

57 Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. M.-JL: Гостехтеориздат, 1951.

58 Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1987. 302 с.

59 Свято дух В.К. Динамика пространственного движения управляемых ракет. М.: Машиностроение, 1989.

60 Сире У.Р. (ред.). Общая теория аэродинамики больших скоростей М.: Воениздат, 1962.

61 Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. 374 с.

62 Холостова О.В. Об устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // МТТ. 2008. №2. С.27-42.

63 Cooper К., Mickens R.E. Generalized harmonic balance numerical method for determining analytical approximations to the periodic solutions of the x4/3 potential // J. Sound and Vibration. 2002. V. 250. P.951-954.

64 Delamotte B. Nonperturbative (but approximate) method for solving differential equations and finding limit cycles // Physical Review Letters. 1993. V.70, №22. P.3361-3364.

65 Foias C., Sell G., Temam R. // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser I. 1985. V.301, №5. P.139-141.

66 Lukomsky V.P., Bobkov V.P. Asymptotic expansions of the periodic solutions of nonlinear evolution equations //Nonlinear Dynamics. 1998. V.16. P. 1-21.

67 Mane R. Reduction of semilinear parabolic equations to finite dimensional flows // Lecture Notes in Math. 1977. V. 597. P.361-378.

68 Mickens R.E. Comments on the method harmonic balance // J. Sound and Vibration. 1984. V.94. P.456-460.

69 Miklavcic M. A sharp condition for existence of an inertial manifold // J. Dyn. Differ. Eq. 1991. V.3, №3. P.437-456.

70 Morino L., Chen L.-T., Sucio E.O. Steady and oscillatory subsonic and supersonic aerodynamics around complex configurations // AIAA Journal. 1975. V.13, №3. P.368-374.

71 Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear Oscillations. New York: Wiley, 1979.

72 Nayfeh A.H. Introduction to Perturbation Techniques. New York: Wiley, 1981.

73 Newton Is. Philosophiae naturalis principia mathematica. Londini, 1687. 51 Op. Рус пер.: Ньютон Ис. Математические начала натуральной философии. Петроград, 1916. 620с.

74 Poland D. Loci of limit cycles // Physical Review E. 1994. V.49, №1. P.157-165.

75 Smith R.A. Poincare index theorem concerning periodic orbits of differential equations // Proc. London Math. Soc., (3). 1984. V.48, №2. P.341-362.

76 Smith R.A. Orbital stability and inertial manifolds for certain reaction-diffusion systems // Proc. London Math. Soc., (3). 1994. V.69, №1. P.91-120.

77 Wu B.S., Lim C.W., He L.H. A new method for approximate analytical solutions to nonlinear oscillations of nonnatural systems // Nonlinear Dynamics. 2003. V.32. P. 1-13.

78 Zhang J. Limit cycle for the Brusselator by He's variational method // Math. Problems in Engineering. Volume 2007. Article ID 85145. P. 1-8.