Математические модели трафика в современных телекоммуникационных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сидорова, Оксана Игоревна

• Сидорова, Оксана Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидорова, Оксана Игоревна

Список условных обозначений

Введение

Глава 1. Самоподобные входящие потоки.

§1. Описание объекта исследования

1.1. Системы массового обслуживания.

1.2. Технологии передачи информации в современных сетях связи

§2. Вспомогательные понятия

2.1. Самоподобные процессы и их свойства.

2.2. Распределения с тяжелыми хвостами

2.3. Дробное броуновское движение и устойчивый процесс Левн

2.4. Устойчивые распределения и самоподобные процессы

§3. Модели самоподобного трафика

3.1. ОИ/ОРР-модель входящего потока

3.2. Модель Пуассона с бесконечным числом источников.

3.3. Модель Б.С. Цыбакова

Глава 2. Новая модель входящего потока.

§1. Модель трафика с неоднородными источниками.

1.1. Задача Гнеденко

1.2. ОМ/ОРР-модель с неоднородными источниками

§2. Асимптотические свойства случайных сумм

2.1. Постановка задачи

2.2. Вспомогательные результаты

2.3. Доказательство теоремы 12.

Глава 3. Оценка качества обслуживания.

§1. Качество обслуживания в компьютерных сетях

§2. Обзор известных результатов

2.1. Модель Б.С. Цыбакова

§3. Характеристики С^ов модели с неоднородными источниками

3.1. (Ж/О-^-модель с неоднородными источниками

3.2. Модель Пуассона с неоднородными источниками

3.3. Модель Б.С. Цыбакова с неоднородными источниками

Глава 4. Уточнение константы в оценке вероятности переполнения буфера.

§1. Моделирование редких событий

1.1. Моделирование редких событий и метод Монте-Карло

1.2. Методы ускорения симуляции

§2. Метод расщепления

2.1. Вероятности переполнения буфера в цикле и в стационарном режиме

2.2. Алгоритм оценки вероятности переполнения буфера

2.3. Варианты метода расщепления.

2.4. Подбор параметров

2.4. Определение уровней

§3. Результаты моделирования

3.1. Имитационная модель

3.2. Анализ результатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели трафика в современных телекоммуникационных системах»

Актуальность темы. Связь является одним из важнейших компонентов инфраструктуры современного общества. Стремительно растущий спрос на услуги связи и прогресс в области современных технологии сбора, храпения, обработки и передачи информации стимулируют динамичное развитие данной отрасли. Менее чем за полтора столетия системы связи прошли путь от традиционных «голосовых» систем — телеграфных и телефонных сетей, появившихся соответственно в середине и конце XIX века, до современных цифровых систем связи, обеспечивающих передачу интегральной информации — речи, данных, видео и т.п., в рамках одной мулътисервисной сети связи.

Обеспечение гарантированного фоб1 подразумевает необходимость перераспределения внутренних ресурсов сети, для осуществления быстрой, стабильной и надежной передачи информации. Поскольку в мультисервисных сетях услуги носят интегральный характер, для обслуживания запросов пользователей, требуется одновременное предоставление нескольких сетевых ресурсов, число и пропускная способность которых всегда ограничены. Это может повлечь задержки и отказы в предоставлении услуг, то есть ухудшение стандартного договорного для пользователей с одной стороны и потерю потенциального дохода для операторов сети с другой. Поэтому задачи, связанные с построением адекватных моделей трафика данных, а также с прогнозом производительности сети и оценки качества обслуживания для услуг разного вида являются на сегодняшний день не менее актуальными чем во времена К. Эрланга.

Первые эксперименты но созданию компьютерных систем связи начались в 60-х годах 20 века. Изначально при проектировании таких систем стали использовать не ■коммутацию каналов, как в традиционной телефонии, а коммутацию пакетов, которая существенно изменила структуру потоков дан-пых в сети и явилась впоследствии одной из причин возникновения проблемы самоподобия трафика. В отличие от технологий передачи информации развивавшихся очень быстро, теоретическая база, на основе которой проектировались компьютерные сети, долгое время оставалась практически неизменной. Вследствие этого до середины 90-х годов 20 века оценка производительности сетей осуществлялась с помощью стандартных методик, основанных на формулах Эрланга. На заре компьютерных систем, когда они носили преимущественно локальный характер, передаваемый трафик состоял из небольших текстовых файлов, а ресурсы, требуемые для его обслуживания не являлись дефицитными, трудностей такой подход не вызывал. Однако по мере появления и развития глобальных сетей типа Интернет, экспоненциального ро-сга числа их пользователей и усложнения структуры передаваемой информации это привело к серьезной недооценке реальной нагрузки и значительному ухудшению качества обслуживания ( QoS). Примером является сбой в сети AT&T в 1990 году, когда на протяжении 9 часов она была недоступна большей части зданий Нью-Йорка, что вызвало большие финансовые потери. Требования к повышению' QoS стимулировали развитие надежных систем с высокой устойчивостью к сбоям, что, в свою очередь, резко повысило интерес к исследованию свойств нагрузки в современных компьютерных системах.

Многочисленные эмпирические исследования [24], [25], [41], [44], [55], [65[, [66], [67] показали что свойства компьютерного трафика кардинально отличаются от свойств трафика в традиционных «голосовых» системах, в том числе телефонных сетях.

В «голосовых» СМО входящие потоки хорошо аппроксимируются пуас-соновскими процессами или стационарными процессами типа ARMA, а интервалы времени между прибытиями заявок полагаются независимыми случайными величинами, имеющими распределения с легкими хвостами. В силу экспоненциального убывания корреляционной функции трафика в подобных моделях агрегированный поток при увеличении масштаба усреднения приближается по свойствам к белому шуму, то есть обладает короткой памятью. Если такой поток поступает на вход некоторой СМО, то характеристики ее производительности, в частности, вероятность переполнения буфера конечного размера, убывают экспоненциальным образом в зависимости от увеличения некоторого характерного параметра, например, размера буфера.

Компьютерный трафик имеет долгую память, у распределений длин периодов занятости/покоя наблюдаются тяжелые хвосты, агрегированный процесс нагрузки статистически выглядит одинаково пр любом масштабе усреднения, то есть является самоподобным (монофрактальньш). В таких условиях вероятность переполнения буфера с ростом его. размера Н убывает не по экспоненте, как в линейных СМО с марковскими потоками, а степенным образом [46], [45], [23] [75] — [77] или но закону Вейбула [63]. И если для эффективного обслуживания «голосового» трафика буфер в 3КБ (30 пакетов размера 100Б) более чем достаточен, вероятность переполнения в этом случае имеет порядок Ю-14, то при степенном убывании вероятности переполнения в условиях сильной загрузки даже буфер в несколько ГБ не гарантирует для самоподобного трафика надежного обслуживания. Вероятности переполнения для самоподобного процесса с параметрами' Н — 0.85 и Н = 0.6 и буфера размером 2ГБ (2 • 107 пакетов размера 100Б) по некоторым оценкам (см. например [75] —[77] ) имеют порядок 10~4 и 10~"8 соответственно. Сегодня для стабильной работы СМО требуется, чтобы данная вероятность не превышала

1 • ю-9.

СМО с самоподобным трафиком к настоящему времени хорошо изучены: построены модели, приводящие к самоиодобным процессам, для них описаны возможные предельные процессы для потоков нагрузки [60], [61], [73] и получены оценки для ряда показателей С^оЯ. Данные результаты являются важным шагом вперед в рамках анализа немарковских СМО, однако они не позволяют охватить все многообразие свойств трафика в современных условиях.

Следует отметить, что широко используемые сегодня технологии обработки информации позволяют передавать трафик с разными требованиями к параметрам С^оЯ по одному каналу, вследствие чего поток может быть крайне неоднородным. Исследования трафика в ряде систем [34], [72] подтверждают, что самоподобие проявляется асимптотически, на крупных временных шкалах, а для малых периодов усреднения поведение трафика больше похоже на мультифрактал. СМО с мультифрактальными потоками изучены слабо: основной вывод из нескольких работ, посвященных моделям трафика, порождаемого источниками с различными распределениями длин активных периодов, состоит в том, что свойства трафика и параметры С^оБ определяются источниками с самым длинным активным периодом/«тяжелыми» заявками [73]. Поведение трафика и параметров (¿оБ в случае, когда «тяжелые» заявки приходят редко, а основную нагрузку порождают более «легкие» требования, практически не изучено. На первый взгляд наиболее очевидным в этой ситуации кажется определение размера буфера на основе потока с самыми «тяжелыми» заявками. Однако необоснованное увеличение размера буфера может не оказать желаемого влияния на СМО, так так выигрыш от уменьшения потерь информации, будет нивелирован из-за увеличения стоимости сетевой аппаратуры и ее обслуживания и ухудшения других параметров С^ов, например, увеличения задержки при обработке информации в большом буфере.

Оптимизация затрат на создание и эксплуатацию сетей в сочетании с сохранением их высокой производительности и гарантированного для пользователей качества обслуживания требует повышения адекватности существующих моделей трафика и подходов оценке параметров С^оБ, поэтому выбранная для исследования тема является на сегодняшний день очень актуальной.

Цели и научные задачи. Целью диссертации является разработка математических моделей трафика, отражающих мультифрактальное поведение потоков данных в реальных системах связи и исследование влияния мульти-фрактального трафика на асимптотическое поведение вероятности переполнения буфера.

Для достижения этой цели в работе решены научные задачи:

1. Построены математические модели входящих потоков: неоднородная ON/OFF-моделъ, неоднородная модель Пуассона в непрерывном и дискретном времени, длины активных периодов источников в которых имеют распределения с правильно меняющимися хвостами с различными показателями 1 < < 2, k = l,r, г < оо. Установлены условия, при которых источники любого типа нетривиально влияют на характеристики процесса нагрузки.

2. В неоднородной ON/OFF-модели в режиме «Slow Growth Condition» (SGC) найден новый предельный процесс для агрегированного процесса нагрузки.

3. Найдено асимптотическое распределение случайной суммы независимых случайных слагаемых, имеющих конечное число различных распределений.

4. Доказано, что вероятность переполнения буфера в неоднородной ON/OFF-модели п неоднородной модели Пуассона е непрерывном времени и асимптотические границы для вероятностей переполнения буфера и потери пакета в неоднородной модели Пуассона в дискретном времени убывают степенным образом с ростом размера буфера. Найдены условия при которых скорость убывания может совпадать с любым из к = 1,г.

5. С помощью имитационного моделирования исследованы свойства асимптотических границ для вероятности переполнения буфера в неоднородной модели Пуассона в дискретном времени.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и асимптотические методы математического анализа. Для проверки и уточнения полученных результатов использовалось имитационное моделирование.

Положения, выносимые на защиту.

1. Модели входящих потоков, построенные с учетом того, что доли источников разных типов в общем потоке различны.

2. Асимптотическое распределение случайной суммы независимых случайных величин, имеющих конечное число разных распределений, найденное с помощью сведения суммы со случайным числом слагаемых к сумме с неслучайным числом слагаемых.

3. Асимптотика вероятности переполнения буфера в СМО с неоднородными потоками, отражающая вклад источников разных типов.

4. Методика построения имитационной модели, основанная на использовании методов ускорения симуляции, и ее применение для уточнения константы в оценке вероятности переполнения буфера.

Научная новизна и теоретическая значимость. Результаты диссертации развивают теорию массового обслуживания в классе систем с немарковскими входящими потоками. По сравнению с существующими подходами новые модели являются более гибкими, так как учитывают влияние разных компонент трафика на свойства всего потока и на характеристики его обслуживания. Асимптотическое распределение случайных сумм, найденное ранее для одинаково распределенных с.в., перенесено на случай, конечного числа различных распределений. Данный результат обеспечпваег единый подход к анализу ON/OFF модели и модели Пуассона с непрерывным временем в однородном и неоднородном случае, в огличие от известных результатов для однородного случая, при получении которых ранее использовались разные методы. Полученная в рамках разработанных моделей трафика асимптотика для вероятностей переполнения буфера и потери пакета позволяет более адекватно оценивать потери информации и отказы в обслуживании.

Практическая значимость. Практическая значимость работы состоит в том, что результаты диссертации могут служить базой для численного анализа современных СМО с мультифрактальными входящими потоками и установления минимально необходимого размера буфера при проектировании новых систем связи

Достоверность и обоснованность научных результатов базируются на корректном использовании вероятностно-статистических методов, теории случайных процессов и математического анализа. Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства. Используемые в диссертации методы имитационного моделирования подтверждают обоснованность полученных результатов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (г. Юрмала, Латвия, 2004), (Салерно, Италия, 2005), на конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, МГУ, 2005), па 31 международной конференции по стохастическим процессам и их применениям (г. Париж, Франция, 2006), на 5 международной конференции по процессам Леви (г. Копенгаген, Дания, 2007), на 13 Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (г. Йошкар-Ола, 2007), на научно-практической конференции «Моделирование и принятие решений в условиях неопределенности» (г. Тверь, ТвГУ, 2008).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ, среди них — 3 в изданиях рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 155 листах, содержит 17 рисунков, 3 таблицы и список литературы, включающий 83 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сидорова, Оксана Игоревна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) В работе предложены три новых модели входящих потоков, распределения длин активных периодов в которых имеют конечное число Т, состоящему из г > 2 вероятностных законов, имеющих правильно меняющиеся хвосты с различными показателями скорости убывания а^ € (1, 2), к = 1, г: ОЫ/ОРР-моделъ с неоднородными источниками; неоднородная модель Пуассона с бесконечным числом источников в непрерывном времени; неоднородная модель Пуассона в дискретном времени.

2) Для процесса агрегированной нагрузки в неоднородной ОИ/ОРР-модели в режиме БйС получен новый предельный процесс, являющийся суммой независимых а-устойчивых движений Леви с показателями о^1),.,

3) Найдено асимптотическое распределение случайной суммы независимых случайных величин, распределения которых принадлежат конечному множеству ^о, состоящему из г различных законов. Данный результат применен при нахождения предельного распределения процесса нагрузки в неоднородной ОМ/ОРР- модели.

4) Доказано, что вероятность переполнения буфера в неоднородной ОЫ/ОРР-модели и неоднородной модели Пуассона в непрерывном времени и асимптотические границы для вероятностей переполнения буфера и потери пакета в неоднородной модели Пуассона в дискретном времени убывают степенным образом с ростом размера буфера. Найдены условия при которых скорость убывания может совпадать с любым из к — 1, г.

5) С помощью имитационной модели системы У* / 0/1/к проведено уточнение константы в оценке вероятности переполнения буфера в неоднородной модели Пуассона в дискретном времени.

Полученные результаты обеспечивают развитие математического аппарата теории массового обслуживания применительно к СМО с мультифракталь-ными потоками и предлагают новые методы исследования в дан 11011 области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидорова, Оксана Игоревна, 2009 год

1. Алеыичев A.B. Система массового обслуживания с динамической маршрутизацией и распределением Вейбулла времени обслуживания. — Информационный процессы, т. 5, #5, 2005, с. 432-442.

2. Аленичев A.B., Лиханов Н. Б. Динамическая маршрутизация в системе с заявками, имеющими степенной закон распределения времени обслуживания. — Информационный процессы, т. 5, #3, 2005, с. 213-226.

3. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. — М.: Техносфера, 2003, 512 с.

4. Галактионова О.В., Жукова Е.А., Сидорова О.И. Границы для вероятности переполнения буфера сервера в случае конечного числа различных распределений активных периодов. — Международная конференция студентов и аспирантов «Ломоносов-2005».

5. Зингер A.A. Об одном классе паределеных распределений для норлшро-ванных сумм независимых случайных величии. — Теория вероятностей и ее применения, т. 10, вып. 4, 1965, с. 672-692.

6. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины . — М: Наука, 1965, 524 с.

7. Рыбко Е. В. Асимптотические свойства случайных сумм независимых случайных величин. — Кандидатская диссертация, М.: МГУ, 1994, 139 с.

8. Сидорова О.И., Хохлов Ю.С. Уточнение константы в задаче оценки вероятности переполнения буфера. — Вестник ТвГУ, серия Прикладная математика, 27(55), вып. 7, 2007, с. 51-60.

9. Сидорова О. И. Верхняя и нижняя границы для вероятности потери пакета и вероятности переполнения буфера в модели с неоднородными источниками. — Вестник ТвГУ, серия Прикладная математика, 35(95), вып. 4(11), 2008, с. 53-61.

10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т.2. Пер с англ. — М: Мир, 2-ое издание, 1984, 751 с.

11. Цыбаков B.C. Модель телетрафика на основе самоподобного случайного процесса. — Радиотехника, 5, 1999, с. 24-31.

12. Asmussen S. Applied probability and Queues. — Wiley, 1987.

13. Barbe Ph., McCormick W.P., Zhang C. Tail Expansions for the distritions of the maximum of a random walk with ngative drift and regularly varying increments. — http://www.arxiv.org/abs/math Pr./0604377vl.

14. Beran.J. Statistics for Long-Memory Process. Monographs on Statistics and Applied Probability. — Chapman and Hall, NY, 1994.

15. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular Variation. — Cambridge University Press, 1987.

16. Cerou F., Gyuader A. Adaptive multilevel splitting for rare event analysis. — Tech. Rep. 5710, INRIA. Oct., 2005.

17. Borst S., Boxma O., Jelenkovic P. Generalized processor sharing with longtailed traffic sources. — In: Teletraffic Engineering in a Competitive World, P. Key and D. Smith eds., Elsevier, 1999, pp. 3451,1354.

18. Crovella M., Kim G., Park K. On the relationship between file sizes, transport protocols, and self-similar network traffic. — In: Proceedings of the Fourth International Conference on Network Protocols (ICNP'96), 1996, pp. 171-180.

19. Choudry G.L., Whitt W. Long tail buffer content distributions in broadband networks. — Performance Evaluation, 30, 1997, pp. 177-190.

20. D'Apice C., Khokhlov Yu. S., Sidorova O.I. On an extension of class of self-similar processes. — In: Transactions of The XXV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Salerno, Italy, September 20-24, 2005, pp. 35-38.

21. D'Apice C., Gargiulo G., Khokhlov Yu., Sidorova O. Convergence of superpositions of scaled renewal processes with finite number of different distributions. — J. Math. Sciences, vol. 132, issue 5, feb. 2006, pp. 602-609.

22. D'Apice C., Khokhlov Y., Sidorova O. Sums of self similar processes as scaling limits. — Abstracts of 31st International Conference on Stochastic processes and their Application, Paris, July 17-26, 2006, pp. 82.

23. D'Apice C., Khokhlov Yu., Sidorova O. Asymptotic properties of random sums. — In: Transactions of 5th International Conference on Lévy Processes: Theory and Applications, Copenhagen, August 13-17, 2007, pp. 68.

24. D'Apice C., Khokhlov Yu., Sidorova O., Galaktionova O. Gnedenko problem and extension of class of self-similar processes. — Trans, of the XXVI International Conference on Seminar on Stability Problems, Karmiel, Israel, October 22-26, 2007, pp. 64-76.

25. Garvels M.J.J. The splitting method in rare event simulation. — Thesis, University of Twente, Twente, May 2000, http://\vww.math.uttwente.nl/dos/sor/AiO's/ Garvels/Thesis

26. Glasserman P., Heidelberger P., Shaliabuddin P. and Zajic T. Multilevel splitting for estimating rare event probabilities. — Oper. Res., 47(4), 1990, pp. 585-600.

27. Goldie C. M., Klüpelbeg C. Subexponential Distributions. — In: Practical Guide to Heavy Tails: Statistical Tehniques for Analysing Heavy Tails, 1997, Birkhauser, Basel.

28. Gorg C., Shreiber F. The RESTART/LRE method for rare event simulation. — In: Proced. of the 1996 Winter Simulation Conference, 1996, pp. 390-397.

29. Gorg C., Lamers E., Fus O., Hegard P. Rare event simulation. — Computer Systems and Telmatics, Norwegian Instiute of Tehnolgy, Teh. Rep. COST 257, 2001.

30. Guerin C.A., Nyberg H., Perin O., Resnick S., Rootzén H., Starica C. Empirical testing of the infinite sourse Poisson data traffic model. — Stochastic models, 19, 2003, pp. 151-200.

31. Gut A. Stopped random walks: Limits Theorems and Applications. — Springer Verlag, NY, 1988.

32. Jain R. Congestion control and traffic management in ATM networks: recent advances and survey. — Computer Networks and ISDN Systems, 28(13), February 1995, pp. 1723-1738

33. Jagerman D. L., Melamed B., Willinger W. Stochastic modelling of traffic processes. — In: Frontiers in Queuing: Models, Methods and Problems, J. Dshalalow ed., CRC Press Boca.aton, pp. 271-310.

34. Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Patterns of buffer overflow in class of queues with long memory in the input stream. — Ann. Appl. Probab., 7(4), 1997, pp. 1021-1057.

35. Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Heavy tails and long range dependence in on/off processes and associate fluid models. — Math. Oper. res., 23(1), 1998, pp. 125-165.

36. Heegard P.E. A survey of Speed-up simulation techniques. — Workshop tutorial on Rare Event Simulation, Aahen, Germany, 1997.

37. Heidelberger P. Fast simulation of rare events in queieng and relaiblity models. — Performance Evaluation of Computers and Comuniations Systems Springer-Verlag, LN in Computer Sci., Vol. 729, 193, pp. 165-20.

38. Kalashnikov V. Bounds for ruin probabilities in the presence of large claims and their comparison. — Noth American Actuaial Journal, Vol.3, #2, 1999, pp. 116-129.

39. Khokhlov Yu. S., Sidorova O.I. Pseudostable Levy motion as a model of network traffic. — In: VI International Congress on Mathematical Modelling, Nizhny Novgorod, September 20-26, 2004. Book of Abstracts, p. 250.

40. Krunz M. M., Makowski A. M. A source m.odel for VBR video traffic based on M/G/oo input processes. — In Proceedings of IEEE Infocom'98, 1998.

41. Laghoux A. Rare event similation. — PEIS, 2005, http://www.lsp.ups-tlse.fr/FP/Lagnoux/

42. Laghoux Renaudie A. Effective branching splitting method under cost constraint. — Submitted to Stochastic Processes and their Aplication, October 17, 2007.

43. L'Ecuyer P., Demers V., Tuffin B. Splitng for rare event simulation. — In: Proceedings of the 2006 Winter Simulation Conference, 2006.

44. Leland W., Taqqu W., Willinger W., Wilson D. On the self similar nature of the Ethernet traffic (extended version). — In: IEEE/ACM Transactions oil Networking, 2, 1994, pp. 1-15.

45. Likhanov N., Tsybakov B. Georganas N. D. Analysis of an ATM buffer with self similar («fractal») input traffic. — In: Poceedings of the 14 Annual IEEE/INFOCOM, 2, 1995. pp. 985-992.

46. Likhanov N., Mazumdar R. R. Cell loss aymptotis in buffers fed by hetrogenous long-tailed sourses. — Proceedings of the IEEE INFOCOM Conference, Tel-Aviv, Israel, Mar. 26-30, 2000.

47. Likhanov N., Mazumdar R. R., Ozturk 0. Large Buffer Asymptotics for fluid queues with heterogeneous M/G/oo Weibullian inputs. — Oueueing Systems, #45, 2003, pp. 333-356.

48. Mason J.D. Convolutions of stable laws as limit distribution of patial sums. Ann. Math. Statist., Vol. 41, 1, 1970, pp. 101-114.

49. Mikosch T., Resnick S., Rootzen H., Stegeman A. Is network traffic approximated by stable Levy motion or fractional brownian motion? — Ann. Appl. Probab., 2002, 12(1), pp. 23-68.

50. Mikosch T., Stegeman A. The interplay betiueen heavy tails and rates in self-similar network traffic. — Technical report University of Groningen, Department of Mathematics, 1999.

51. Neam T. Characteisation and modelling of INTERNET traffic streams. — Thesis, University of Melbourne, February 2003.

52. Norros I. A storage model luith self-similar input. — Queuing Systems and Their Applications, 1994, 16, pp. 377-396.

53. Ozturk O., Mazumdar R. R., Likhanov N. Buffer occupancy asymptotics in networks with heterogeneous long-tailed inputs. — Preprint submitted to Elsevier Science, March 3, 2004.

54. Park K., Kim G., Crovella M. On the relationship between file sizes, transport protocols, and selfsimilar network traffic. — In: Proc. of IEEE International Conference on Network Protocols, 1996, pp. 171-180.

55. Resnick S.I. Adventures in Stochastics Processes. — Birkhâuser, Boston, 1992.

56. Resnick S., Samorodnitsky G. Seady-state distribution of the buffer content for M/G/oo input fluid queues. — Bernoulli, 7(2), 2001, pp. 191 210.

57. Robbins H. The asymptotic distibution of th sum of a random number of andom variables. Bull. A.M.S. 54, 1948, pp. 1151-1161.

58. Taqqu M.S., Teverovsky V., Willinger W. Estimators for long range dependence an empincal study. — Fractals 3, #4, 1995, pp. 785-798.

59. Taqqu M. S., Teverovsky V., Willinger W. Is network traffic self-similar or multifractal? — Fractals 5, 1997, pp. 63-73.

60. Taqqu M. S., Willinger W., Sherman R. Proof of a fundamental result in self-similar traffic modelling. — Computer Communications Review, 27(2), 1997, pp. 5-23.

61. Tsybakov B., Georganas N. D. On selfsimilar traffic in ATM queues: • Definitions, overflow probability bound and cell delay distribution. —

62. EE/ACM Transactions on Networking, 5(3), 1997, pp. 379-409.

63. Tsybakov B., Georganas N. D. Selfsimilar traffic and upper bounds to buffer overflow in an ATM queue. — Performance Evaluation, 36(1), 1998, pp. 5780.

64. Tsybakov B., Georganas N.D. Overflow and loss probabilities in a finite ATM buffer fed by self-similar traffic. — Queueing systems 32, 1999, pp. 233-256.

65. Tsybakov B., Georganas N. D. Overflow and losses in a network queue with a self-similar input. — Queueing systems 35, 2000, pp. 201-235

66. Tucker H.G. Convolutions of distributions attacted to stable laws. — Ann. Math. Stat., Vol. 39, #5, 1968, pp. 1381-1390.

67. Vilen-Altamirano M., Vilen-Altamirano J. RESTART: A Method for Accelerating Rare Event Simulations. — In: Proceed, of the 13-th International Teletraffic Congres, Queing, Performance and Control in ATM, 1991, pp.71-76.

68. Vilen-Altamirano M., Vilen-Altamirano J. RESTART: A Straightforward Method for Fast Simulation of Rare Events. — In: Proceed, of the 1994 Winter Simulation Confernce, 1994, pp. 282-289.

69. Willinger W., Taqqu M., Erramilli A. A bibliographical guide to self similar traffic and performance modeling for modern high - speed networks. — In: Stochastic Networks: Theory and Applicatons, 1996, pp. 339-366.

70. Willinger W., Taqu M., Sherman R., Wilson D.V. Self similarity through high variability: Statictical analysis of Ethernet LAN traffic at source level (Extended version). — IEEE/ACM TVans. on Networking, 5(1), 1997, pp. 71-86.

71. Willinger W., Paxton V. Where mathematics meets the Internet. — Notices of the AMS 45, 1998, pp. 961-970.