Асимптотический анализ и оценивание качества обслуживания систем с гауссовским входным потоком тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лукашенко, Олег Викторович

• Лукашенко, Олег Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукашенко, Олег Викторович

Введение

Глава 1. Основные определения и предварительные результаты

1.1. Гауссовские процессы.

1.2. Дробное броуновское движение и его свойства.

1.3. Предельные теоремы для сетевых процессов.

1.4. Жидкостные модели

1.5. Элементы теории больших уклонений.

1.6. Правильно меняющиеся функции и их свойства.

Глава 2. Асимптотики больших уклонений гауссовских систем обслуживания.

2.1. Асимптотики при растущем буфере.

2.2. Асимптотики при растущем числе независимых источников

2.3. Асимптотики корреляционных характеристик.

Глава 3. Асимптотики максимума процесса нагрузки.

3.1. Сходимость по вероятности.

3.2. Сходимость в пространстве Ьр.

3.3. Нестационарный режим.

3.4. Асимптотика времени достижения растущего порогового значения

Глава 4. Статистическое моделирование гауссовских систем обслуживания

4.1. Моделирование гауссовских процессов

4.2. Оценивание некоторых характеристик

4.3. Регенеративный подход.

4.4. Альтернативные оценки вероятности переполнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ и оценивание качества обслуживания систем с гауссовским входным потоком»

Актуальность работы

В связи с распространением различных сетевых приложений и, как следствие, увеличением информации, передаваемой по компьютерным сетям, возникает необходимость анализа их загрузки, т. е. расчета различных характеристик, таких, например, как емкости буферов, пропускная способность и т. д. Последние два десятилетия ознаменовались существенными достижениями в исследовании сетевого трафика. Было, в частности, установлено, что процессы, протекающие в сетях передачи данных, могут обладать фрактальными свойствами (эффект самоподобия) и долговременной зависимостью (долгой памятью) [32, 54, 55, 75, 107]. Такие свойства радикально отличают современные модели от пуассоновских моделей, которые адекватно описывали процессы обслуживания и, в частности, сетевые процессы на протяжении долгого времени. Например, пуассоновские модели опираются на экспоненциальные распределения интервалов входного потока и времени обслуживания заявок (пакетов) и обладают короткой памятью и, с другой стороны, не обладают свойством самоподобия (фрактальности).

Столь существенное отличие в свойствах сетевого трафика потребовало разработки новых моделей и методов их анализа. В частности, наличие долговременной зависимости между данными сетевого трафика сделало весьма популярными модели, основанные на гауссовских процессах. Самым известным и изученным самоподобным гауссовским процессом с долговременной зависимостью является ДБ Д. Так, например, данный процесс, названный фрактальным трафиком, впервые был использован в качестве модели входного потока в работе [91]. Выбор такого рода входных потоков продиктован с одной стороны функциональными предельными теоремами, согласно которым гауссовские процессы возникают при суперпозиции большого числа независимых так называемых оп/оА>источников с тяжелыми хвостами на больших масштабах времени [88, 103], с другой стороны - статистическим анализом реальных сетевых процессов [57, 68, 104].

Степень разработанности

Гауссовские очереди (очереди с гауссовским входным потоком) обладают очень сложной структурой зависимости. Этот факт не позволяет в явном виде получить выражения для различных ключевых характеристик, в частности, для вероятности переполнения, то есть вероятности превышения некоторого уровня Ь. Отсутствие точных аналитических результатов вызывает необходимость исследования асимптотик соответствующих характеристик. Применительно к очередям обычно выделяют два типа асимптотик: асимптотики при растущем размере буфере 6, а также асимптотики в режиме многих источников: число гауссовских источников п растет и пропорционально растут размер буфера и скорость обслуживания. Например, для вероятности переполнения результаты вида

Р№>Ь)~/1(Ь), оо,

2 > пЪ) ~ /г(п), поо, где а ~ Ь означает что а/Ъ 1, называются точными асимптотиками, здесь Л; /2 некоторые явно заданные функции, - стационарный процесс нагрузки. Известно, что в гауссовской очереди с бесконечным буфером стационарный процесс загрузки <3 (текущая незавершенная работа в системе) распределен как максимум гауссовского процесса с отрицательным линейным сносом на положительной полуоси [97]. Иногда удается получить лишь логарифмические асимптотики, т. е.

1пР(<Э > Ь) ~/3(Ь), Ъ —>• оо, 1пР(<2 > пЪ) ~ /4(п), п ->■ оо, дающие менее полную информацию о вероятности переполнения. Отметим наиболее важные работы [33, 39, 48, 52, 53, 65, 86, 90], посвященные этой проблематике.

Наряду с вероятностью переполнения другой важной характеристикой систем обслуживания является максимум процесса нагрузки на конечном интервале [0, £] (пиковая нагрузка в системе). Для этой характеристики в работах [66, 96, 108] найдены асимптотики (при £ —> оо) в случае входного процесса

ДБД.

В гауссовских системах с конечным размером буфера Ь анализ процесса нагрузки С^ь представляет еще более сложную задачу. По этой причине публикаций по анализу гауссовских систем с потерями существенно меньше в сравнении с аналогичными системами с бесконечным буфером. Основная характеристика, представляющая интерес, - доля потерянной работы, трактуемая в пределе как вероятность потери.

Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы при помощи асимптотических и статистических методов получить оценки основных характеристик гауссовских систем обслуживания.

Методы исследований

В диссертационной работе применяются методы теории гауссовских случайных процессов, теории больших уклонений, теории экстремумов стационарных последовательностей, теории правильно меняющихся на бесконечности функций, а также методы статистического моделирования.

Научная новизна

Найдена асимптотика максимума процесса нагрузки для случая, когда дисперсия случайной компоненты входного потока правильно меняется на бесконечности. Методом статистического моделирования, проведено оценивание основных характеристик систем обслуживания для различных типов гауссовских входных потоков. В частности были рассмотрены альтернативные подходы к оценки вероятности переполнения и потери.

Практическая значимость

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для анализа и оценки качества обслуживания широкого класса коммуникационных систем с большим числом пользователей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Асимптотика максимума стационарного процесса нагрузки, известная для входного потока ДБД обобщена на класс гауссовских систем, у которых дисперсия входного потока является правильно меняющейся на бесконечности функцией.

2. Исследованы свойства альтернативной статистической ВМС-оценки вероятности переполнения гауссовской системы обслуживания.

3. Предложен регенеративный подход к оценке вероятности потери для случая, когда входной поток является броуновским движением.

4. Разработана программа для имитационного моделирования гауссовских систем обслуживания.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: международный семинар «Advances in Methods of Information and Communication Technology» (Петрозаводск, 19-20 мая 2009 г.); 2nd Northern Triangular seminar (Стокгольм, 15-17 марта 2010 г.); международный семинар «Advances in Methods of Information and Communication Technology» (Петрозаводск, 25-26 мая 2010 г.); международный семинар «Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems» в рамках конгресса ICUMT'10 (Москва, 18-20 октября 2010 г.); международная конференция «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей» (21-я Белорусская школа-семинар по теории массового обслуживания, Минск, 3-5 февраля 2011 г.); 3rd Northern TYiangular seminar (Санкт-Петербург, 11-13 апреля 2011 г.); всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 18-22 апреля, 2011 г.) международный семинар «Advances in Methods of Information and Communication Technology» (Петрозаводск, 28 апреля 2011 г.); V Международный семинар «Прикладные задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с моделированием информационных систем» (Светлогорск, 10-16 октября 2011 г.); VIII Международная Петрозаводская конференция «Вероятностные методы в дискретной математике» (2-9 июня 2012 г. Петрозаводск); 9th International Workshop on Rare Event Simulation (Тронхейм, 25-27 июня 2012 г.); международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б. В. Гнеденко (Москва, 26-30 июня 2012 г.).

Работа поддержана РФФИ, грант 10-07-00017.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 10 работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [9-11], 3 статьи в сборниках трудов конференций [62, 79, 82] и 4 тезиса докладов [7, 78, 80, 81]. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса [8].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, перечня сокращений и условных обозначений, библиографии и списка иллюстраций. Общий объем диссертации 106 страниц, включая 19 рисунков. Список литературы включает 108 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лукашенко, Олег Викторович

Заключение

В диссертации рассмотрены стохастические системы с постоянной скоростью обслуживания, на вход которых поступает гауссовский процесс со стационарными приращениями. Приведен обзор основных теоретических результатов для процесса нагрузки в гауссовских системах обслуживания, включая асимптотики вероятности переполнения как при растущем буфера, так и при растущем числе потоков от отдельных источников (пользователей). Исследовано асимптотическое поведение максимума процесса нагрузки в системе обслуживания с одним сервером. На вход системы поступает процесс, содержащий линейную (детерминированную) компоненту и случайную компоненту, описываемую центрированным гауссовским процессом, у которого дисперсия является правильно меняющейся на бесконечности функцией с показателем V (О, 2). К такому классу процессов, в частности, относится сумма независимых ДБД. Показано, что при соответствующей нормировке максимум процесса нагрузки на интервале [0, сходится по вероятности (при £ оо) к некоторой явно выписанной константе. Этот результат обобщает соответствующий результат, полученный ранее в работе [108] для случая единственного входного процесса ДБД. Кроме того, проведено имитационного моделирование гауссовских систем обслуживания для оценивания вероятности переполнения/потери. Представлены результаты численных экспериментов, которые дают хорошее согласие с приведенными аналитическими результатами.

Полученные результаты могут быть использованы для анализа качества обслуживания и планирования мощностей коммуникационных систем с большим числом пользователей. В качестве перспектив развития темы отметим возможность уточнения некоторых асимптотических результатов, в частности исследование структуры зависимости и скорости сходимости к стационарному режиму.

Перечень сокращений и условных обозначений с. в. — случайная величина. н. о. р. с. в. — независимые одинаково распределенные случайные величины. п.н. — почти наверное.

БД — броуновское движение.

ДБД — дробное броуновское движение.

ФГШ — фрактальный гауссовский шум.

ЦПТ — центральная предельная теорема.

КХ — математическое ожидание с. в. X. Ю>Х — дисперсия с. в. X. те<і(Х) — медиана с. в. X. 1(А) — индикатор события А.

N(<2, а2) ~ нормально распределенная с. в. с параметрами а, а1. равенство по распределению. х+ — тах(0, х).

- — сходимость по вероятности. й — сходимость по распределению.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукашенко, Олег Викторович, 2012 год

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

2. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980.

3. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

4. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Спб.: Питер, 2004.

5. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. Москва: Мир, 1989.

6. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. Киев: ТВиМС, 1995.

7. Лукашенко О. В., Морозов Е. В. Асимптотика максимума процесса нагрузки для некоторого класса гауссовских очередей // Информатика и ее применения. 2012. Т. 6, № 3. С. 81-89.

8. Лукашенко О. В., Морозов Е. В., Пагано М. Применение гауссовских процессов в моделировании сетевого трафика // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. 2010. № 3. С. 51-58.

9. Лукашенко О. В., Морозов Е. В., Пагано М. Статистическое моделирование гауссовской очереди // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. 2011. № 5. С. 55-62.

10. Льюис Д., Фистер К. Термодинамическая теория вероятностей: некоторые аспекты больших уклонений // Успехи математических наук. 1995. Т. 50. С. 47-88.

11. Питербарг В. И. Лекции по теории гауссовских процессов. М.: Изд-во МГУ, 1986.

12. Питербарг В. И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988.

13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. Москва: Наука, 1985.

14. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

15. Addie R., Mannersalo P., Norros I. Performance formulae for queues with Gaussian input // Proceedings of ITC 16. 1999. Pp. 1169-1178.

16. Addie R., Mannersalo P., Norros I. Most probable paths and performance formulae for buffers with Gaussian input traffic // European Transactions in Telecommunications. 2002. Vol. 13. Pp. 183-196.

17. Adler R. J. An introduction to continuity, extrema, and related topics for general Gaussian processes. Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1990.

18. Asmussen S. Applied Probability and Queues. Springer, 2002.

19. Asmussen S., Glynn P. Stochastic Simulation: algorithms and analysis. Springer, 2007.

20. Baldi P., Pacchiarotti B. Importance Sampling for the Ruin Problem for General Gaussian Processes. 2004.

21. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular Variation. Cambridge University Press, 1987.

22. Botvich D., Duffield N. Large deviations, the shape of the loss curve, and economies of scale in large multiplexers // Queueing Systems. 1995. Vol. 20. Pp. 293-320.

23. Bucklew J. A. Large Deviation Techniques in Decision, Simulation, and Estimation. Wiley, 1990.

24. Burnecki Z., Michna Z. Simulation of Pickands constants // Probab. Math. Stat. 2002. Vol. 22. Pp. 193-199.

25. Chang C. S. Performance Guarantees in Communication Networks. Springer, 2000.

26. Choe J., Shroff N. A central-limit-theorem-based approach for analyzing queue behavior in high-speed networks // IEEE/ACM Trans. Netw. 1998. Vol. 6. Pp. 659-671.

27. Choe J., Shroff N. On the supremum distribution of integrated stationary Gaussian processes with negative linear drift // Adv. Appl. Probab. 1999. Vol. 31. Pp. 135-157.

28. Choe J., Shroff N. Use of the supremum distribution of Gaussian processes in queueing analysis with long-range dependence and selfsimilarity // Stoch. Models. 2000. Vol. 16. Pp. 209-231.

29. Coeurjolly J. F. Simulation and identification of the fractional Brownian motion: a bibliographical and comparative study // Journal of Stat. Software. Vol. 5. 2000.

30. Crovella M. E., Bestavros A. Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1997. Vol. 5, no. 6. Pp. 835-846.

31. Debicki K. A note on LDP for supremum of Gaussian processes over infinite horizon // Stat. Probab. Lett. 1999. Vol. 44. Pp. 211-220.

32. Debicki K. Ruin probabilities for Gaussian integrated processes // Stoch. Process. Appl. 2002. Vol. 98. Pp. 151-174.

33. Debicki K. Gaussian Processes // Encyclopedia of Actuarial Sciences. 2004. Vol. 2. Pp. 752-757.

34. Debicki K. Some properties of generalized Pickands constants // Prob. Th. Appl. 2006. Vol. 50. Pp. 290-298.

35. Debicki K., Es-Saghouani A., Mandjes M. Transient characteristic of Gaussian fluid queues // Queueing Syst. 2009. Vol. 62. Pp. 383-409.

36. Debicki K., Kisowski P. A note on upper estimates for Pickands constants // Stat. Probab. Lett. 2008. Vol. 78. Pp. 2046-2051.

37. Debicki K., Mandjes M. Exact overflow asymptotics for queues with many Gaussian inputs //J. Appl. Probab. 2003. Vol. 40. Pp. 702-720.

38. Debicki K., Mandjes M. Traffic with an FBM limit: convergence of the stationary workload process // Queueing Syst. 2003. Vol. 46. Pp. 113-127.

39. Debicki K., Michna Z., Rolski T. Simulation of the asymptotic constant in some fluid models // Stoch. Models. 2003. Vol. 19. Pp. 407-423.

40. Debicki K., Palmowski Z. Heavy traffic Gaussian asymptotics of on-off fluid model // Queueing Syst. 1999. Vol. 33. Pp. 327-338.

41. Debicki K., Rolski T. A Gaussian fluid model // Queueing Syst. 1995. Vol. 20. Pp. 433-452.

42. Debicki K., Rolski T. Gaussian fluid models; a survey // Symposium on Performance Models for Information Communication Networks, Sendai, Japan. 2000.

43. Debicki K., Rolski T. A note on transient Gaussian fluid models // Queueing Syst. 2002. Vol. 41. Pp. 321-342.

44. Dembo A., Zeitouni O. Large Deviations Techniques and Applications. Springer, 1998.

45. Dieker A. B. Simulation of fractional Brownian motion. Master's thesis, the Vrije Universiteit, Amsterdam, 2002.

46. Dieker A. B. Extremes of Gaussian processes over an infinite horizon // Stoch. Process. Appl. 2005. Vol. 115. Pp. 207-248.

47. Dieker A. B. Extremes and fluid queues: Ph. D. thesis / the Vrije Universiteit, Amsterdam. 2006.

48. Dieker A. B., Mandjes M. On asymptotically efficient simulation of large deviation probabilities // Adv. in Appl. Probab. 2005. Vol. 37. Pp. 539-552.

49. Dieker A. B., Mandjes M. Fast simulation of overflow probabilities in a queue with Gaussian input // ACM Trans. Model. Comput. Simul. 2006. Vol. 16, no. 2. Pp. 119-151.

50. Duffield N., O'Connell N. Large deviations and overflow probabilities for the general single server queue, with applications // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1995. Vol. 118. Pp. 363-374.

51. Duffy K., Lewis J. T., Sullivan W. G. Logarithmic asymptotics for the supre-mum of a stochastic process // Ann. Appl. Probab. 2003. Vol. 13, no. 2. Pp. 430-445.

52. Erramilli A., Narayan O., Willinger W. Experimental queueing analysis with long-range dependent packet traffic // IEEE/ACM Trans. Netw. 1996. Vol. 4. Pp. 209-223.

53. Erramilli A., Roughan M., Veitch D., Willinger W. Self-similar traffic and network dynamics // Proc. IEEE 90. 2002. Pp. 800-819.

54. Es-Saghouani A., Mandjes M. On the correlation structure of Gaussian queues. // Stoch. Models. 2009. Vol. 25. Pp. 221-247.

55. Fraleigh C., Tobagi F., Diot C. Provisioning IP backbone networks to support latency sensitive traffic // Proc. IEEE Infocom. 2003.

56. Ganesh A., O'Connell N., Wischik D. Big Queues. Springer, 2004.

57. Giordano S., Gubinelli M., Pagano M. Bridge Monte-Carlo: a novel approach to rare events of Gaussian processes // Proc. of the 5th St.Petersburg Workshop on Simulation. St. Petersburg, Russia: 2005. Pp. 281-286.

58. Glynn P., Whitt W. Logarithmic asymptotics for steady-state tail probabilities in a single-server queue //J. Appl. Probab. 1994. Vol. 31 A. Pp. 413-430.

59. Heidelberger P. Fast simulation of rare events in queueing and reliability models // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 1995. Vol. 5. Pp. 43-85.

60. Hollander F. Large Devations. Fields Institute Monographs, AMS, 2000.

61. Hiisler J., Piterbarg V. I. Extremes of a certain class of Gaussian processes // Stochastic Processes and their Applications. 1999. Vol. 83. Pp. 257-271.

62. Hiisler J., Piterbarg V. I. Limit theorem for maximum of the storage process with fractional Brownian as input // Stochastic Processes and their Applications. 2004. Vol. 114. Pp. 231-250.

63. Kaj I., Taqqu M. Convergence to fractional Brownian motion and to the Telecom process: the integral representation approach: Tech. rep.: Department of Mathematics, Uppsala University, U.U.D.M., 2004.

64. Kilpi J., Norros I. Testing the Gaussian approximation of aggregate traffic // In Proceedings of the 2nd Internet Measurement Workshop. 2002. Pp. 49-61.

65. Kim H. S., Shroff N. B. Loss Probability Calculations and Asymptotic Analysisfor Finite Buffer Multiplexers // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2001. Vol. 9. Pp. 755-768.

66. Kim H. S., Shroff N. B. On the Asymptotic Relationship between the Overflow Probability and the Loss Ratio // Advances in Applied Probability. 2001. Vol. 33. Pp. 836-863.

67. Konstantopoulos T., Zazanis M., Veciana G. D. Conservation laws and reflection mappings with application to multiclass mean value analysis for stochastic fluid queues // Stochastic Processes and their Applications. 1996. Vol. 65. Pp. 139-146.

68. Kroese D. P., Taimre T., Botev Z. I. Handbook of Monte Carlo Methods. Wiley, 2011.

69. Kulkarni V., Rolski T. Fluid model driven by an Ornstein-Uhlenbeck process // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 1994. Vol. 8. Pp. 403-417.

70. Lau W., Erramilli A., Wang J. L., Willinger W. Self-similar traffic generation: the random midpoint displacement algorithm and its properties // Proceedings of ICC '95. 1995.

71. Leland W. E., Taqqu M. S., Willinger W., Wilson D. V. On the self-similar nature of ethernet traffic (extended version) // IEEE/ACM Transactions of Networking. 1994. Vol. 2. Pp. 1-15.

72. Lewis J. T., Russell R. An Introduction to Large Deviations for Teletraffic Engineers //In Performance '96, October 1996. 1996.

73. Likhanov N., Mazumdar R. Cell loss asymptotics in buffers fed with a largenumber of independent stationary sources // Journal of Applied Probability. 1999. Vol. 36. Pp. 86-96.

74. Lukashenko 0. V. Gaussian queues in communication networks // Third Northern Triangular seminar. Programe and abstract. 2011. P. 14.

75. Lukashenko 0. V., Morozov E. V. Gaussian Processes in Communication Networks // Proceedings of AMICT'2009. 2009. Pp. 112-118.

76. Lukashenko O. V., Morozov E. V. On the maximum workload for a class of Gaussian queues // International conference «Probability theory and its applications» in Commemoration of the Centennial of B. V. Gnedenko. 2012. Pp. 231-232.

77. Mandelbrot B. B., van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM Review. 1968. Vol. 10. Pp. 422-437.

78. Mandjes M. Large Deviations of Gaussian Queues. Chichester: Wiley, 2007.

79. Marcus M. B., Shepp L. A. Sample behaviour of Gaussian processes // Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Stat. Prob. 1971. Vol. 2. Pp. 423-442.

80. Massouli6 L., Simonian A. Large buffer asymptotics for the queue with FBM input // J. Appl. Probab. 1999. Vol. 36. Pp. 894-906.

81. Michna Z. On tail probabilities and first passage times for fractional Brownian motion // Math. Methods Oper. Res. 1999. Vol. 49. Pp. 335-354.

82. Mikosch T., Resnick S., Rootzen H., Stegeman A. Is Network Traffic Apprixi-mated by Stable Levy Motion or Fractional Brownian Motion? // Ann. Appl. Probab. 2002. Vol. 12, no. 1. Pp. 23-68.

83. Morozov E. Communications Systems: Rare Events and Effective Bandwidths. Public University of Navarre, 2004.

84. Narayan O. Exact asymptotic queue length distribution for fractional Brownian traffic // Advances in Performance Analysis. 1998. Vol. 1. Pp. 39-63.

85. Norros I. Studies on a model for connectionless traffic, based on fractional Brownian motion // Conference on Applied Probability in Engineering, Computer and Communication Sciences INRIA/ORSA/TIMS/SMAI, Paris. 1993.

86. Norros I. A storage model with self-similar input // Queueing Syst. 1994. Vol. 16. Pp. 387-396.

87. Norros I. On the use of fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks // IEEE J. Sel. Areas Comm. 1995. Vol. 13. Pp. 953-962.

88. Norros I., Mannersalo P., Wang J. Simulation of fractional Brownian motion with conditionalized random midpoint displacement // Advances in Performance Analysis. 1999. Vol. 2. Pp. 77-101.

89. Pickands J. Asymptotic properties of the maximum in a stationary Gaussian process // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 145. Pp. 75-86.

90. Piterbarg V. Large deviations of a storage process with fractional Brownian motion as input // Extremes. 2001. Vol. 4. Pp. 147-164.

91. Reich E. On the On the integrodifferential equation of Takacs I. // Ann. Math. Stat. 1958. Vol. 29. Pp. 563-570.

92. Ross S. M. Simulation. Elsevier, 2006.

93. Rubino G., Tuffin B. Rare Event Simulation using Monte Carlo Methods. Wiley, 2009.

94. Samorodnitsky G., Taqqu M. S. Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models With Infinite Variance. Chapman & Hall, 1994.

95. Shao Q. M. Bounds and estimators of a basic constant in extreme value theory of Gaussian processes // Stat. Sin. 1996. Vol. 6. Pp. 245-257.

96. Simonian A., Virtamo J. Transient and stationary distributions for fluid queue and input processes with density // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1991. Vol. 51. Pp. 1731-1739.

97. Taqqu M. S., Willinger W., Sherman R. Proof of a fundamental result in self-similar traffic modeling // Computer communication review. 1997. Vol. 27. Pp. 5-23.

98. Van de Meent R., Mandjes M., Pras A. Gaussian traffic everywhere? //In Proceedings of the IEEE International Conference on Communications. 2006.

99. Weiss A. A new technique for analyzing large traffic systems // Adv. Appl. Probab. 1986. Vol. 18. Pp. 506-532.

100. Whitt W. Stochastic-Process Limits: An Introduction to Stochastic-Process Limits and their Application to Queues. Springer, New York, NY, USA, 2002.

101. Willinger W., Taqqu M. S., Leland W. E., Wilson D. V. Self-similarity in highspeed packet traffic: analysis and modeling of Ethernet traffic measurements // Statistical Sciences. 1995. Vol. 10, no. 1. Pp. 67-85.

102. Zeevi A., Glynn P. On the maximum workload in a queue fed by fractional Brownian motion // Ann. Appl. Probab. 2000. Vol. 10. Pp. 1084-1099.1. Список иллюстраций

103. Стабилизация оценки 7Гю(1) с ростом числа наблюдений.71

104. Сравнение двух методов оценки стационарной вероятности переполнения 7ГП(1).72

105. Зависимость вероятности переполнения 7ГП(1) от количества источников п.72

106. Точность аппроксимации (2.40).74

107. Выборочные траектории процессов нагрузки (конечный и бесконечный буфер).75

108. Доверительный интервал для Р^(4).78

109. Зависимость длины доверительного интервала от размера буфераЪ. 78

110. Относительная ошибка оценки (ДБД).87

111. Оценка 7Г1 (6) в сравнении с аппроксимацией (2.9).88г)

112. Выборочные реализации У .89

113. Гистограмма распределения У (п = 50).89

114. Гистограмма распределения У (п = 100) .90

115. Гистограмма распределения У (п — 500) .90

116. Гистограмма распределения У (п = 2000).91г)

117. Выборочные реализации У .91