Математические модели и методы анализа чувствительности в задачах оптимизации конструкций роторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Троицкий, Артём Владимирович

• Троицкий, Артём Владимирович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Троицкий, Артём Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1. Общая постановка задач оптимизации конструкций.

1.2. Методы оптимизации в оптимальном проектировании конструкций.

1.3. Выводы.

ГЛАВА 2. ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Расчетная модель вращающегося диска.

2.3. Дискретизация задачи и расчет градиентов целевой функции и ограничений.

2.4. Анализ чувствительности на основании вариационных соотношений.

2.5. Учет пластических деформаций.

2.6. Алгоритм решения задачи оптимизации.

2.7. Сравнительный анализ с методом квадратичной аппроксимации и анализом чувствительности на основе численного дифференцирования.

2.8. Сравнение результатов оптимизации с известными аналитическими соотношениями.

2.9. Оптимизация дисков с учетом дополнительных ограничений на значения коэффициентов запаса по разрушающей частоте вращения.

2.10. Исследование влияния различных коэффициентов запаса на характеристики оптимального диска.

2.11. Оптимизация дисков с учетом ограничения на величину момента инерции.

2.12. Выводы.

Щ ГЛАВА 3. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ

КОНСТРУКЦИЙ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Топологическая оптимизация и метод конечных элементов.

3.3. Вычислительные проблемы топологической оптимизации.

3.4. Особенности топологической оптимизации осесимметричных конструкций.

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. ДИСКРЕТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ, МОДЕЛИРУЕМЫХ НАБОРОМ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК И КОЛЕЦ НА БАЗЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Анализ чувствительности с введением сопряженной функции.

4.3. Анализ чувствительности без введения сопряженной функции.

4.4. Кольцевой конечный элемент.

4.5. Исследование работы алгоритма в задачах оптимального проектирования дисков.

4.6. Исследование влияния поперечных усилий на оптимальную конструкцию.

4.7. Оптимизация ротора турбомашины.

4.8. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы анализа чувствительности в задачах оптимизации конструкций роторов»

Актуальность темы. Инженерная деятельность всегда была направлена на получение наиболее рациональных конструкций и деталей. Поиск удачного инженерного можно рассматривать как некоторое искусство, требующее большого опыта проектировщика. Создание новых конструкций обычно осуществляется постепенным улучшением существующей конструкции. До широкого внедрения вычислительной техники в практику расчетной деятельности оптимизация конструкции реализовывалась на основе проб и ошибок, когда конструктор варьировал форму, материал детали и исследовал влияние внесенных изменений на характеристики конструкции.

В настоящий момент технологическая конкуренция вынуждает искать пути уменьшения времени разработки новых конструкций одновременно с повышением качества и надежности разрабатываемого изделия. Поэтому оптимальное проектирование занимает одну из ключевых позиций при создании современных конкурентоспособных конструкций.

Основным подходом в оптимальном проектировании является формулирование технических требований в виде утверждений теории математического программирования, что позволяет свести задачу оптимизации конструкции к математической задаче поиска экстремума. Для постановки задач оптимизации конструкции применяют параметризованный чертеж, являющийся эскизом разрабатываемой конструкции с рядом размеров, допускающих варьирование в заданных пределах. Свойства конструкции, подлежащие варьированию, называются параметрами проектирования. Для формулирования задачи оптимизации выбирается характеристика, подлежащая минимизации или максимизации и набор ограничений для обеспечения работоспособности конструкции. Решением задачи параметрической оптимизации является набор значений параметров, обеспечивающих заданные критерии и ограничения, наложенные на конструкцию.

Задачи оптимального проектирования характеризуются сложными, неявно заданными функциями и большой размерностью. В силу этих обстоятельств, важное значение имеет применяемый алгоритм поиска оптимального решения. Некорректный выбор алгоритма может привести к получению неверного решения, не являющегося оптимальным.

Самым первым подходом к решению задачи создания рациональных конструкций было варьирование проектировщиком размеров на чертеже разрабатываемой детали для улучшения характеристик разрабатываемого изделия. Выбор изменяемых параметров и величина вариации в этом случае регламентируется только эвристическими соображениями проектировщика. Целесообразность внесенных изменений осуществляется пересчетом модели конструкции. Несмотря на кажущуюся простоту этой методики, успех деятельности существенно зависит в первую очередь от практического опыта и квалификации специалиста. Основной сложность этого подхода является отсутствие формальных правил поиска путей улучшения конструкции и, как следствие, трудоемкость процесса улучшения проекта. При множестве ограничений, наложенных на конструкцию, внесение изменений, не нарушающих условия ее работоспособности, становится непростой операцией. Эти факты приводят к низкой эффективности изложенного подхода. Альтернативным путем является построение математической модели конструкции и формализация задачи улучшения конструкции в виде задачи поиска условного экстремума функции многих переменных либо функционала при наличии ряда ограничений. Для решения подобной задачи аналитическими методами приходится строить простые модели конструкций, допускающие аналитическое исследование, которые не всегда описывают поведение исходной системы с достаточной точностью.

В связи с существенным развитием вычислительной техники и средств автоматизации жизнедеятельности, все больше операций выполняется вычислительными машинами в полностью автоматизированном или диалоговом режиме. Широкое внедрение вычислительных средств в практику расчетной деятельности дало возможность рассчитывать сложные математические модели, описывающие поведение конструкции. Это позволило создать пакеты универсальных программ для моделирования поведения деталей в сложных условиях работы, приближенным к реальным. Отметим, что множество алгоритмов математического программирования реализовано в виде программных библиотек [1]. Эти обстоятельства привели к развитию дисциплины автоматизированного оптимального проектирования [2]. Формализация задачи оптимизации конструкции в виде задачи поиска условного экстремума позволила соединить в один программный комплекс пакеты для расчета модели конструкции и алгоритмы оптимизации. В самом простом случае модуль расчета конструкции рассматривается как черный ящик, принимающий на вход набор параметров и в результате расчета выдающий на выходе характеристики конструкции, такие как масса, напряжения и перемещения. Данный подход применительно к оптимальному проектированию вращающихся дисков рассматривается в книге [3]. Такая методика оправдана, если применяемый алгоритм оптимизации не требует расчета производных целевой функции и ограничений. На основании различных методов формального поиска, базирующихся на сопоставлении значений функций при различных значениях параметров проектирования, было оптимизировано множество конструкций вращающихся дисков турбомашин [3]. Недостатком методов поиска нулевого порядка, основанных на сопоставлении значений функций является очень низкая скорость сходимости и высокая вероятность получить неоптимальный проект [4, 5].

Более совершенные алгоритмы оптимизации требуют расчета не только значений функций, но их производных [4, 5]. Задачу исследования поведения свойств системы при небольшом варьировании значений параметров проектирования в окрестности заданной точки в литературе называют анализом на чувствительность [6]. Анализ чувствительности системы позволяет выявить параметры, оказывающие наибольшее влияние на свойства конструкции. Благодаря этой информации можно вычислить наиболее эффективные изменения параметров проектирования для улучшения свойств системы. Одним из направлений применения анализа системы на чувствительность являются диалоговые системы оптимального проектирования [7, 8, 9, 10]. В этом подходе проектировщик строит параметризованную модель конструкции и далее запускает анализ на чувствительность. В результате исследования математическими методами чувствительности свойств системы к возмущению параметров проектирования разработчик может принять обоснованное решение об изменении ряда параметров и продолжить исследование системы при новых значениях параметров проектирования.

Другим применением анализа чувствительности является автоматизированное оптимальное проектирование. Большинство современных мощных алгоритмов оптимизации требуют расчета градиентов целевой функций и ограничений [1, 11]. В силу того, что градиент функции характеризует степень чувствительности исследуемой характеристики к вариации переменных проектирования, дифференцирование является частным и наиболее популярным средством, применяемым для анализа на чувствительность. Поэтому анализ системы на чувствительность занимает важное место в задачах оптимизации, а разработка математических моделей и реализация эффективных алгоритмов анализа чувствительности для различных механических систем - актуальной задачей в современном оптимальном проектировании. При использовании полностью автоматизированного процесса оптимизации, разработчику достаточно построить параметризованную модель системы и выбрать алгоритм условной оптимизации. Все решения об изменениях параметров проектирования для получения рационального проекта принимает программный комплекс.

Анализ на чувствительность системы тесно связан с теорией оптимального управления [12, 13]. Множество задач оптимального проектирования механических систем можно свести к задаче оптимального управления системой, моделируемой обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнений в частных производных. Аналитическим исследованиям по этой тематике посвящена работа [13], в которой рассмотрен ряд вопросов, связанных с теорией оптимального управления в распределенных системах. Однако аналитические исследования имеют очень ограниченную сферу практического применения в связи с тем, что задачи, встречающиеся на практике, редко допускают решения в явном виде. В работах [12, 14] рассматривается обобщенная методика дифференцирования функционалов, заданных на решениях операторных уравнений. Эта операция имеет большое практическое значение для приближенного расчета градиентов характеристик по параметрам проектирования. Приемы, предложенные в этих работах, наиболее эффективны для задач оптимизации тонкостенных конструкций, когда параметрами проектирования являются толщины. В работе [14] уделяется недостаточно внимания задачам оптимизации формы конструкции и сложным параметризациям деталей. Наибольшее развитие полуаналитический анализ чувствительности получил в многочисленных работах Э. Хога, К. Чой., В. Комкова и их соавторов. [6-10]. Различные методики анализа чувствительности рассматриваются в работах [92, 95, 98]. Анализируя общие результаты этих исследований и учитывая, что наиболее универсальным и широко применяемым на практике методом расчета механических систем является метод конечных элементов [15, 16], в полуаналитических методах анализа чувствительности можно выделить два подхода. Первый базируется на формулировке задачи в бесконечномерном пространстве, в котором определено исходное дифференциальное, интегральное или вариационное уравнение, описывающее модель конструкции [6]. Второй подход основывается на аппроксимации задачи в конечномерном пространстве, например в результате привлечения метода конечных элементов [17]. Связь между этими методиками и исследование условий, при которых эти подходы эквивалентны, рассмотрена в [97]. Из этого следует, что в большинстве практически важных приложений обе методики дают близкие результаты.

Исследования по применению полуаналитической методики расчета градиентов функционалов к конкретным задачам механики приводятся в работах [6-10, 17-22, 95, 98, 100, 101]. В [2-9, 21, 22, 100] рассматривается численное дифференцирование функционалов по границе области, что имеет большое значение в оптимальном проектировании механических систем, так как параметризация конструкций обычно основывается на изменении формы. Исследуются различные модельные задачи оптимизации формы механических конструкций как в линейной, так и в нелинейной постановках.

В первой главе диссертационной работы рассмотрены различные подходы к реализации методов анализа чувствительности для механических систем и представлены наиболее эффективные современные алгоритмы оптимизации.

Решению задачи оптимального проектирования дисков турбомашин в достаточно общей постановке с привлечением различных ограничений для обеспечения работоспособности в условиях неравномерного нагрева и полуаналитическим анализом чувствительности посвящена вторая глава диссертационной работы. Вращающиеся диски являются важной составляющей авиационного двигателя и составляют значительный вклад в вес конструкции. В силу этого обстоятельства задача уменьшения веса двигателя тесно связана с уменьшением веса дисков. Задачам оптимального проектирования дисков турбомашин посвящен раздел в работе [3] и статья [23]. Рассматривается проектирование на базе различных методов формального поиска и не уделяется внимания алгоритмам анализа на чувствительность. В работе А.И. Лурье [24] задача профилирования дисков турбомашин решена с применением принципа максимума Понтрягина. Эта методика базируется на введение сопряженной системы дифференциальных уравнений и использует методики дифференцирования функционалов, рассмотренные в [6, 12]. Данный подход расширен на различные задачи механических систем в работе [25]. Недостатком алгоритмов оптимизации на основе принципа максимума в оптимизации конструкций является сложность обобщения на широкий класс механических системы и численные проблемы при решении нелинейной системы уравнений, следующей из условия экстремума в формулировке Понтрягина. В силу этих причин в работах [2, 6, 14] предлагается исходить из методов спуска в пространстве управляющего воздействия, например методом проекции градиента, а не из принципа максимума, привлекая при этом сопряженные функции для полуаналитического расчета градиентов. В книге

26] исследуется ряд задач оптимального проектирования механических конструкций. Авторы рассматривают задачи оптимизации вращающих дисков в упрощенной формулировке. Предлагается проектировать равнопрочные диски, мотивируя это тем, что в большинстве случае оптимальная по массе конструкция является равнопрочной. Однако во множестве практических ситуаций равнопрочный проект невозможен, и, соответственно, не является оптимальным. Ряд задач оптимального проектирования рассмотрен в работе

27], где основной упор сделан на аналитические исследования задач частного вида и мало внимания уделяется задачам оптимизации механических конструкций. Таким образом, развитие высокоэффективных методик оптимизации вращающихся дисков является важным для практики и недостаточно исследованным направлением оптимального проектирования.

В третьей главе диссертационной работы рассмотрено привлечение методики топологической оптимизации на основе распределения материала к оптимальному проектированию вращающихся конструкций. Развитием параметрической оптимизации явилась топологическая оптимизация, позволяющая получить форму оптимальной по заданным критериям детали без конструкторской параметризации. Одними из первых известных работ по этой тематике являются [28, 29], в которых применяется метод усреднения. Метод усреднения активно использовался также для решения задач создания новых материалов с заданными свойствами [30-32]. Другим популярным подходом в топологической оптимизации является поиск оптимального распределения материала по исследуемой области [33-38]. В этом случае для расчета используется метод конечных элементов и каждому конечному элементу приписывается условная плотность, управляющая вкладом конечного элемента в глобальную матрицу жесткости. Решением задачи топологической оптимизации в данной постановке является функция распределения условной плотности по области проектирования. К достоинствам этого подхода относятся: простота реализации, возможность учета сложных граничных условий и универсальность. Недостатком этого алгоритма является необходимость привлечения средств стабилизации счета [39, 40]. Альтернативным и сравнительно новым направлением является метод функции уровня [41, 42]. Алгоритм базируется на рассмотрении скалярной функции (р{х), определенной на всей исследуемой области. Принимается, что тело занимает область положительных значений характеристической функции, контур тела определяется условием ср{х) = 0. Решением задачи топологической оптимизации в данной постановке является характеристическая функция. Метод на основе введения функции уровня удобен тем, что сводит задачу топологической оптимизации к стандартной вариационной задаче поиска условного экстремума некоторого функционала, где в качестве ограничений выступают уравнение равновесия механической системы и условие на максимальный объем материала детали. Это позволяет получить сравнительно гладкие решения и приводит к устойчивости итерационного процесса. К недостаткам этого подхода можно отнести сложность моделирования граничных условий. В результате топологической оптимизации проектировщик получает приблизительную форму конструкции, оптимальной по выбранному критерию. Методика топологической оптимизации позволяет разработчику получить общее представление о форме рациональной конструкции для ее дальнейшей параметризации и моделирования по более совершенным методикам. Топологическая оптимизация существенно использует полуаналитический анализ чувствительности в силу большой размерности получаемой задачи оптимизации [35, 90]. Высокая размерность вынуждает привлекать специализированные алгоритмы оптимизации [1, 43-46]. Основная масса работ в области топологической оптимизации посвящена проектированию различных балочных систем и механизмов. Учет неосесимметричного изгиба конструкций вынуждает использовать трехмерные модели, требующие значительного времени счета, поэтому интересным и малоисследованым является направление разработки приближенных методик учета неосесимметричного нагружения в осесимметричной модели для испоьзования в топлогической оптимизации.

В четвертой главе диссертации рассматривается методика оптимизации с применением полуаналитического анализа чувствительности всего ротора с учетом конструктивных ограничений, неравномерного нагрева и ряда условий для обеспечения работоспособности конструкции. Большой практический интерес имеет оптимизация сложных оболочечных осесимметричных конструкций. К этой сфере можно отнести оптимальное проектирование роторов, являющихся важной частью турбомашин. Для упрощенной быстрой оценки напряженно - деформированного состояния элементов ротора можно привлекать модель оболочек вращения. Однако оболочечная модель недостаточно точно описывает поведение ротора, поэтому предлагается привлекать кольцевые элементы для моделирования точек стыковки оболочек и сложной формы ободов. Оболочечная модель имеет ряд существенных преимуществ по сравнению с моделью ротора на основе двумерных конечных элементо: время счета на порядок меньше, чем при анализе системы по двумерной модели и модель на основе оболочек вращения значительно проще построить. Отметим также, что оптимизационный процесс обычно более устойчив к различным параметризациям в моделях на основе осесимметричных оболочек, чем в двумерных моделях, качественная оптимизация которых возможна только при тщательно продуманной параметризации. Эти обстоятельства делают оболочные модели перспективными для предварительной оптимизации конструкций. На данный момент известно ограниченное количество работ, развивающих общую методику оптимального проектирования роторов, моделируемых при помощи оболочек вращения и осесимметричных колец с применением полуаналитического анализа чувствительности, поэтому задача разработки алгоритма предварительной оптимизации таких конструкций является актуальной задачей, заслуживающей изучения.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и применение эффективных алгоритмов анализа чувствительности для оптимизации конструкций роторов.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, методы математической теории оптимального управления, методы математического программирования, численные методы анализа.

Научная новизна.

1. Разработана методика оптимизации дисков турбомашин с применением полуаналитического анализа чувствительности, с ограничениями на коэффициенты запаса по пределу прочности, величину разрушающей частоты вращения и момент инерции.

2. Разработан алгоритм топологической оптимизации осесимметричных вращающихся деталей с учетом неосесимметричного изгиба.

3. Разработана методика оптимизации осесимметричных оболочечных систем с привлечением кольцевых элементов и полуаналитическим анализом чувствительности без использования численного дифференцирования.

Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается используемым математическим аппаратом, сравнением с результатами расчетов на базе альтернативных подходов.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в работе, позволяют создавать программные комплексы для эффективной оптимизации конструкций.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Алгоритм полуаналитического анализа чувствительности в бесконечномерном пространстве состояний, примененный к решению задачи оптимального проектирования вращающегося диска с учетом конструктивных и прочностных ограничений.

2. Методика решения задач топологической оптимизации осесимметричных конструкций с учетом неосесимметричного изгиба.

3. Алгоритм дискретного анализа чувствительности для осесимметричных оболочек и колец, моделируемых на основе метода конечных элементов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI-й международной конференции «Научно - технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения», СПбГПУ, СПб, 2005; на Н-й международной научно-технической конференции «Авиадвигатели XXI века», ЦИАМ им Баранова, Москва, 2006; на научно - технической конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодосьева «Фундаментальные и прикладные проблемы механики», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2006.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы опубликованы в трех статьях [103, 104, 105] и трех тезисах докладов на конференциях [102,106,107].

Рекомендации к внедрению. Методы, алгоритмы и программы рекомендуются к внедрению и использованию в ЦИАМ им. П.И. Баранова, ОКБ авиадвигателестроительной и аэрокосмической отраслей, проектных организациях и предприятиях, занимающихся разработкой турбомашин. Теоретические материалы диссертации рекомендуется включить в учебные курсы САПР и методы оптимизации на специальности «Прикладная математика» в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 163 страницах, содержит 14 таблиц и 63 иллюстрации. Библиография включает 108 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Троицкий, Артём Владимирович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Ниже приводятся основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Разработан алгоритм полуаналитического анализа чувствительности в бесконечномерном пространстве состояний для оптимизации формы неравномерно нагретых вращающихся дисков с учетом ограничений на величину максимальных напряжений, несущую способность, а также геометрические свойства конструкции. Алгоритм полуаналитического анализа чувствительности позволил вычислить градиент функционала за два этапа расчета при любом количестве параметров проектирования.

2. Показано, что в зависимости от заданных значений различных коэффициентов запаса некоторые ограничения являются неактивными и не влияют на форму оптимальной конструкции.

3. Разработана методика оптимизации маховиков с заданным моментом инерции.

4. Метод топологической оптимизации разработан для решения задач в осесимметричной постановке с учетом неосесимметричного изгиба.

5. Дискретный метод анализа чувствительности применен для оптимизации конструкций, моделируемых набором осесимметричных оболочек и колец на базе метода конечных элементов. Разработан программный комплекс оптимального проектирования конструкций роторов. Анализ чувствительности позволил ослабить зависимость времени счета от количества параметров проектирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Троицкий, Артём Владимирович, 2006 год

1. Schittkowski К., Zillober С. Nonlinear Programming: Algorithms, Software, and Applications // System Modeling and Optimization: proceedings of the IFIP TC7 Conference. -Sophia Antipolis(France), 2003. -P. 73-102.

2. ХогЭ., АрораЯ. Прикладное оптимальное проектирование. -М.: Мир, 1983. -479с.

3. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков.- М.: Машиностроение, 1978. -247с.

4. ГиллФ., МюррейУ., РайтМ. Практическая оптимизация. -М: Мир, 1985.- 509с.

5. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2 т. Т. 1. -М.: Мир, 1986. -350с.

6. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. -М.: Мир, 1988. -428с.

7. Choi B.S, Park Y.H., Choi K.K. Shape and Topology Design Sensitivity Analysis and Optimization of Joining Mechanism Using Doubly-Curved Shell // Center for Computer Aided Design and Department of Mechanical Engineering College of

8. Engineering: Technical Report R99-01. -Iowa City: The University of Iowa, 1999. -192p.

9. Arora J.S. Interactive Design Optimization of Structural Elements // Discretization Methods and Structural Optimization Procedures and Applications. -Berlin: Springer-Verlag. -1989. -P. 10-16.

10. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. -М.: Мир, 1973. -244с.

11. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. -М.: Наука, 1978. -488с.

12. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. -М.: Наука, 1975. -480с.

13. БаничукН.В. Введение в оптимизацию конструкций / АН СССР. Ин-т проблем механики. -М.: Наука, 1980. -255с.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике (Пер. с англ.). -М.: Мир, 1975. -318 с.

15. Сегерлинд JL Применение метода конечных элементов (Пер. с англ.). -М.: Мир, 1979. -392 с.

16. Burg О. Е. Use of discrete sensitivity analysis to transform explicit simulation codes into design optimization codes // Fourth Mississippi State Conference on

17. Differential Equations and Computational Simulations. Electronic Journal of Differential Equations. -Mississippi State University(USA), 1999. -P. 13-27.

18. Haftka R.T., Grandhi R.V. Structural shape optimization A survey // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1986. -Vol. 57. -№1. -P. 91-112.

19. Seonho C., Choi К. K. Design sensitivity analysis and optimization of non-linear transient dynamics. Part II configuration design // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -2000. -Vol.48. -P. 375-399.

20. Kim N.H., Choi К. K., Chen J., Botkin M.E. Meshfree analysis and design sensitivity analysis for shell structures // International journal for numerical methods in engineering. -2002. -Vol. 53. -P. 2087-2116.

21. Choi K.K. Shape Design Sensitivity Analysis of Displacement and Stress Constraints // Journal of Structural Mechanics. -1985. -Vol. 13. -№3. -P. 27-41.

22. Choi K.K., Haug E.J. Shape Design Sensitivity Analysis of Elastic Structures. Journal of Structural Mechanics. -1983. -Vol. 11. -№. 2. -P. 231-269.

23. Демьянушко И.В., Королева Е.Ф. Оптимальное проектирование дисков турбомашин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1972. -№2. -С. 176-180.

24. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики // Труды Ленингр. Политехи. Ин-та. -Л.: Машиностроение, 1965. -№25. -С. 34-46.

25. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наук. Думка, 1975. -211с.

26. Малков В.П. Угодников А.Г. Оптимизация упругих систем . М., Наука. 1981.-288с.

27. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. -480с.

28. Bendsoe М.Р., Kikuchi N. Generating optimal topologies in optimal design using a homogenization method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1988. -Vol. 71. -P. 197-224.

29. Allaire G., Jouve F., Maillot H. Topology optimization for minimum stress * design with the homogenization method // Struct Multidisc Optim. -2004. -Vol. 28.1. P. 87-98.

30. Sigmund 0. Materials with prescribed constitutive parameters: an inverse homogenization problem // International Journal of Solids and Structures. -1994. -Vol. 31.-№17. -P. 2313-2317.

31. Sigmund O, Torquato S. Design of smart composite materials using topology optimization // Smart Materials and Structures. -1999. -Vol. 8. -P. 365-387.Щ

32. Sigmund 0. Design of material structures using topology optimization // DCAMM Report S.69 (department of solid mechanics): Ph.D. Thesis DTU. -1993. -189p.

33. Bendsoe M.P. Optimal shape design as a material distribution problem // Structural Optimization. -1989. -Vol. 1. -P. 193-224.

34. Bendsoe M.P., Mota Soares C.A. Topology Design of Structure. -Dordrecht(Netherlands): Kluwer Academic Publishers. -1993. -P.345.

35. Cho S., Jung H.S. Design sensitivity analysis and topology optimization of displacement-loaded non-linear structures // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2003. -Vol.192. -P.2539-2553.

36. Escheauer H.A., Olhoff N. Topology optimization of continuum structures: A review // Applied Mechanics Review. -2001. -Vol. 54. -P. 331-390.

37. Cea J.S., Garreu S., Guillaume P, Masmoudi M. The shape and topological optimizations connection // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2000. -Vol. 188. -P. 713-726.

38. Bendsoe M.P. Optimization of Structural Topology. Shape and Material. -New York: Springer, 1995. -P. 356.

39. Bourdin B. Filters in topology optimization // International Journal of Numerical Methods in Engineering. -2001. -Vol. 50. -P. 2143-2158.

40. Sigmund O., Diaz A. Checkerboard patterns in layout optimization // Structural optimization. -1995. -Vol. 10. -P. 40-45.

41. Wang M.Y., Wang X.M., Guo D.M. A level set method for structural topology optimization // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2003. -Vol. 192. -P. 227-246.

42. Belytschko Т., Xiao S. P., Parimi C. Topology optimization with implicit functions and regularization // International journal for numerical methods in engineering. -2003. -Vol. 57. -P. 1177-1196.

43. Sethian J.A, Wiegmann A. Structural boundary design via level set and immersed interface methods // Journal of Computational Physics. -2000. -Vol. 163. -№2. -P. 489-497.

44. Sigmund О. A 99 line topology optimization code written in Matlab // Structural and Multidisciplinary Optimization. -2001. -Vol. 21. -P. 120-136.

45. Fleury C. CONLIN: An effecient dual optimizer based on convex approximation consepts // Structural Optimization. -1989. -Vol. 1. -P.81-89.

46. Fleury C. First and second order convex approximation strategies in structural optimization // Structural Optimization. -1989. -Vol. 1. -P. 3-10.

47. Svanberg K. The method of moving asymptotes a new method for structural optimization // International Journal For Numerical Methods In Engineering. -1987. -Vol. 24. -P. 359-373.

48. Zillober C. Stable Computation of interior point solution for a class of nonlinear convex programming problems // Advanced Modeling and Optimization. -2000. -Vol. 2. -№2. -P. 53-69.

49. Бояршинов C.B. Основы строительной механики машин. -М.: Машиностроение, 1973. -456с.

50. Olho N., Taylor J.E. On Structural Optimization // Journal of Applied Mechanics. -1983. -Vol. 50. -P. 1139-1151.

51. Prager W, Taylor JE. Problems of optimal structural design // Journal of Applied Mechanics (ASME).-1968. -Vol. 35. -P. 102-127.

52. Kim N.H., Choi K.K., Botkin M.E. Numerical method for shape optimization using meshfree Method // Structural Multidisciplinary Optimization. -2003. -Vol. 24. -P. 418-429.

53. Arora J.S., Haug E.J. Methods of Design Sensitivity Analysis in Structural Optimization // AIAA Journal. -1979. -Vol. 17. -№ 9. -P. 970-974.

54. Fleury C. Computer Aided Optimal Design of Elastic Structures. In: Computer Aided Optimal Design // Structural and Mechanical Systems, Berlin: Springer-Verlag.-1987. -P. 831-900.

55. Keulen F., Haftka R.T., Kim N.H. Review of options for structural design sensitivity analysis. Part 1: Linear systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2004. -Vol. 194. -P. 3213-3243.

56. Nackman L., Barton J. Scientific and Engineering С++. An Introduction with advanced techniques and examples. -Addison Wesley Longman, 1994. -P. 667.

57. Bartholomew-Biggs M., Brown S., Christianson В., Dixon L. Automatic differentiation of algorithms // Journal of Computational and Applied Mathematics. -2000. -Vol. 124.-P. 171-190.

58. Haug E.J., Rousselet В. Design Sensitivity Analysis in Structural Mechanics. Static Response Variation // Journal of Structural Mechanics. -1980. -Vol. 8. -№ 1. -P. 17-41.

59. Moore G.J. MSC/NASTRAN Design Sensitivity and Optimization User's Guide. -New York: The MacNeal-Schwendler Corporation, 1994. -V. 68. -759p.

60. Bennett, J.A., Botkin, M.E. Structural Shape Optimization with Geometric Description and Adaptive Mesh Refinement // AIAA Journal. -1985. -Vol. 23. -№. 3. -P. 458-464.

61. Мину M. Математическое программирование. Теория и алгоритмы (Пер. с франц.). -М.: Наука, 1990. 487с.

62. Fleury С. CONLIN: An Effecient Dual Optimizer Based On Convex Approximation Concepts // Structural Optimization. -1989. -Vol. 1. -P. 81-89.

63. Fleury C., Braibant V. Structural Optimization: A New Dual Method Using Mixed Variables // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1986.-Vol. 23,-P. 409-428.

64. Zienkiewicz O.C., Campbell J.S. Shape optimization and sequential linear programming // Optimum Structural Design. New York: Wiley. -1973. -P. 109-126.

65. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров B.B. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. - 325с.

66. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа (Пер. с англ.). М.: Радио и связь. 1987. - 400с.

67. Nguyen V.H., Strodiot J.J., Fleury C. A. mathematical convergence analysis for the convex linearization method for engineering design optimization ^ // Engineering Optimization. -1987. -Vol. 11. -P. 195-216.

68. Братчик В.Я. Численное проектирование дисков ГТД методом динамического программирования // Труды ЦИАМ №996. Проблемы прочности и динамики в авиадвигателестроении: Сборник статей. -1982. -Вып. 2. -С. 57-69.

69. Братчик В.Я. Проектирование дисков ГТД при заданной частоте собственных колебаний и разрушающей частоте вращения // Труды ЦИАМ №1109. Проблемы прочности и динамики в авиадвигателестроении: Сборник статей. -1985. -Вып. 3. -С. 157-164.

70. БиргерИ.А. Прочность и надежность машиностроительных конструкций. Избранные труды. -Уфа: ГМФМЛ, 1998. -350с.

71. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Шнейдерович P.M. Расчет на прочность деталей машин. -М., Машиностроение, 1966. -616с.Щ

72. Haug, E.J., Choi, К.К. Material Derivative Methods for Shape Design Sensitivity Analysis // The Optimum Shape. Automated Structural Design / Eds. Bennett J.A. & Botkin M.E. New York: Plenum Press. -1986. -P. 29-60.

73. Haftka, R.T., Grandhi, R.V. Structural Shape Optimization A Survey // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1986. -Vol. 57. -P. 91106.

74. Cea J. Problems of Shape Optimal Design // Optimization of Distributed Parameter Structures. Nordho (Netherlands): 1981. -Vol. 2. -P. 1005-1048.

75. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация (Пер. с англ.). -М.: Мир, 1986.-380 с.

76. Haug E.J. A Review of Distributed Parameter Structural Optimization Literature // Optimization of Distributed Parameter Structures / Eds. Haug E.J. & Cea J. -1981. -Vol. 1.-P. 3-74.

77. Rajan S.D., Belegundu A.D. Shape optimal design using fictious loads // AIAA Journal. -1988. -Vol. 27. №1. -P. 102-107.

78. Ильин B.A., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. -М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1998. -320с.

79. Cheng G., Olho N. Rigid Body Motion Test Against Error in Semi-Analytical Sensitivity Analysis // Computers & Structures. -1993. -Vol. 46. -№ 3. -P. 515-527.

80. Barthelemy В., Haftka R.T. Accuracy Analysis of the Semi-Analytical Method for Shape Sensitivity Analysis // Mechanics of Structures and Machines. -1990. -Vol. 18.-P. 407-432.

81. Gu Y., Cheng G. Structural Shape Optimization Integrated with CAD Environment // Structural Optimization. -1990. -Vol. 2. -P. 23-28.

82. Braibant V. Shape Sensitivity by Finite Elements // Journal of Structural Mechanics. -1986. -Vol. 14. -P. 209-228.

83. Braibant V., Morelle P. Shape Optimal Design and Free Mesh Generation // Structural Optimization. -1990. -Vol. 2. -P. 223-231.

84. Bennett J.A., Botkin M.E. The Optimum Shape // Automated Structural Design. -New York: Plenum Press. -1986. -P. 232-248.

85. Braibant V., Fleury C. Shape Optimal Design Using B-splines // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1984. -Vol. 44. -P. 247-267.

86. Haftka, R.T., Adelman H.M. Recent Developments in Structural Sensitivity Analysis // Structural Optimization. -1989. -Vol. 1. -P. 137 -151.

87. Atrek E. R., Gallagher H., Ragsdell. K.M., Zienkiewicz O.C. New Directions in Optimum Structural Design. -New York: John Wiley & Sons. -1984. -P. 459-481.

88. Ли К. Основы САПР. -СПб: Питер, 2004. -500 с.

89. Korelc J., Kristanic N. Evaluation of design velocity field by direct differentiation of symbolically parametrized mesh // VIII International Conference on Computational Plasticity COMPLAS VIII / Eds. Onate E. and Owen D. R. J. -2005. -P. 356-378.

90. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. -М.: Изд-во Лань, 1997. -672 с.

91. Bremicker M., Chirehdast M., Kikuchi N., Papalambros P. Integrated Topology and Shape Optimization in Structural Design // Mechanics of Structures and Machines. -1991. -Vol. 19. -P. 551-587.

92. El-Sayed, M.E.M., Zumwalt K.W. Efficient Design Sensitivity Derivatives for Multi-Load Case Structures as an Integrated Part of Finite Element Analysis. Computers & Structures. -1991. -Vol. 40. -№ 6. -P. 1461-1467.

93. Hafitka R.T., Adelman H.M. Recent Developments in Structural Sensitivity Analysis. Structural Optimization. -1989. -Vol. 1. -P. 137 -151.

94. Pedersen P., Laursen C.L. Design for Minimum Stress Concentration by

95. Finite Elements and Linear Programming // Journal of Structural Mechanics. -1983. -Vol. 10. -№4. -P. 375-391.

96. Wang S.Y., Sun Y., Gallagher R.H. Sensitivity Analysis in Shape Optimization of Continuum Structures // Computers & Structures. -1985. -Vol. 20, № 5. -P. 855-867.

97. Wexler A.S. Automatic Evaluation of Derivatives // Appl. Math. Сотр. -1987. -Vol. 24. -P. 19-46.

98. Haftka R.T., Kamat M.P. Elements of Structural Optimization. Dordrecht(Netherlands): Martinius Nijhoff Publishers, -1985. -P. 156-157.

99. Bendsoe M.P. Methods for the Optimization of Structural Topology, Shape and Material. -Lyngby(Denmark): Technical University of Denmark. -1994. -299p.

100. Yang R.J., Choi K.K. Accuracy of Finite Element Based Shape Design Sensitivity Analysis // Journal of Structural Mechanics. -1985. -Vol. 13. -№ 2. -P. 223-239.

101. Choi K.K., Twu S.L. On Equivalence of Continuum and Discrete Methods of Shape Sensitivity Analysis // AIAA Journal. -1988. -Vol. 27. -№. 10. -P. 1418-1424.

102. Темис Ю.М., Троицкий A.B. Проектирование оптимального диска турбины // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. -2004. -№ 2. -С. 23-37.

103. Троицкий А.В. Анализ чувствительности и оптимальное проектирование вращающихся дисков // Естественные и технические науки. -М: Спутник плюс. -2006.-№ 3.-С. 195-198.

104. Троицкий А.В. Проектирование конструкций максимальной жесткости методами топологической оптимизации // Естественные и технические науки. -М: Спутник плюс. -2006. -№ 3. -С. 199-202.

105. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. М.: Вузовская книга, 2000.-316с.