Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Вагин, Денис Владимирович

• Вагин, Денис Владимирович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Вагин, Денис Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ COLE-COLE.

1.1 Моделирование полей вызванной поляризации на основе феноменологической модели Cole-Cole.

1.2 Математическая модель для описания процессов вызванной поляризации, базирующаяся на модели Cole-Cole.

1.3 Вариационная постановка и построение дискретного аналога для решения задачи с использованием векторного МКЭ.

1.4 Вариационная постановка и построение дискретного аналога для решения задачи с использованием узлового МКЭ.

1.5 Использование кубического сплайна при вычислении суммы ряда Фурье.

1.6 Выбор оптимизированного набора частот для сплайна.

1.7 Верификация разработанного метода моделирования полей вызванной поляризации на основе модели Cole-Cole.

1.8 Выводы.

2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ СЕТОК С ШЕСТИГРАННЫМИ ЯЧЕЙКАМИ.

2.1 Построение несогласованных параллелепипеидальных сеток.

2.1.1 Схема метода построения сетки с удалением «лишних» узлов.

2.1.2Построение подобластей объединения.

2.1.3 Объединение элементов.

2.2 Построение несогласованных параллелепипеидальных сеток при решении задач с использованием технологии многоэтапного выделения поля.

2.3 Построение комбинированных несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками.

2.4 Построение сетки в цилиндрической области.

2.5 Построение сетки в сферической области.

2.6 Объединение сеток построенных, разными методами.

2.7 Выдача решения на шестигранных сетках.

2.8 Выводы.

3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА.

3.1 Решение задач геоэлектромагнетизма на неструктурированных сетках.

3.2 Решение задач с использованием технологии многоэтапного выделения поля.

3.3 Использование неполного разложения Холесского при конечноэлементных аппроксимациях краевых задач на несогласованных сетках.

3.4 Выводы.

4. РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК И МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ GEOEM.

4.1 Особенности программного комплекса GeoEM.

4.2 Структура и связи основных модулей, реализующих построение трехмерной несогласованной конечноэлементной сетки.

4.3 Структура модуля, реализующего построение несогласованных трехмерных сеток для решения задач с использованием технологии многоэтапного выделения поля.

4.4 Структура модуля, реализующего построение комплексных сеток.

4.5 Структура и связи основных модулей, реализующих вычисление сигнала ВП на основе модели Cole-Cole в подсистеме IPCC.

4.6 Подсистема EDEM-OB для моделирования вихревых полей в высокопроводящих изолированных объектах.

4.6.1 Математическая модель и структура подсистемы EDEM-OB.

4.6.2Специальный блочно-итерационный метод решения СЛАУ.

4.6.3Примеры решения модельных и практических задач с помощью подсистемы ЕБЕМ-ОВ.

4.7 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках»

Одним из популярных, наиболее универсальных и зачастую наиболее эффективных методов численного моделирования электромагнитных полей является метод конечных элементов (МКЭ). Развитию данного метода и его использованию для решения задач электромагнетизма в последнее время было посвящено множество работ отечественных и зарубежных исследователей [16, 24, 25, 34-36, 38, 45, 46, 69, 71, 72, 80, 95, 97-105, 110-112].

Реальное моделируемое устройство или среда являются трехмерными и, как правило, неоднородными по своим электрическим и магнитным свойствам. Поэтому для получения достоверных результатов часто необходимо решать трехмерные задачи. При этом вычислительные затраты при решении многих важных для практики трехмерных задач, как правило очень велики. Существенно сократить вычислительные затраты на решение некоторых трехмерных задач позволяют так называемые квазитрехмерные подходы, использующие определенные упрощения математических моделей, описывающих трехмерные поля [3, 15, 119]. Однако такие подходы во многих случаях не позволяют получить моделируемые поля с требуемой точностью. Значительно более мощным оказался метод, основанный на выделении части поля [48, 73] - он позволяет многократно снизить вычислительные затраты без какого-либо искажения математической модели. Тем не менее, даже с применением технологии выделения поля для некоторых практических задач время счета оказывается очень большим, особенно если для получения результата требуется многократной расчет различных моделей [47, 55, 59, 89, 93]. Логическим развитием данного метода стало многоэтапное выделение поля, позволившее еще значительнее ускорить решение наиболее сложных трехмерных задач.

Большой класс задач электромагнетизма связан с моделированием геоэлектромагнитных полей [1, 18, 23, 58, 66, 75-77, 98, 107, 120, 121, 122]. Исследование таких полей как естественного, так и искусственного (т.е. возбуждаемых контролируемыми источниками) происхождения позволяет получить информацию о структуре проводимости изучаемой среды и некоторых других геоэлектрических характеристиках - например, поляризуемости. Основными методами геоэлектрических исследований являются методы постоянного тока (МПТ), становления поля (СП), магнитотеллурического зондирования (МТЗ), а также базирующийся на изучении протекающих в среде электрохимических процессов - метод вызванной поляризации (ВП) [13, 17, 22, 30, 31, 33, 39-42, 70, 91, 109]. Главной целью геоэлектромагнитных исследований является восстановление характеристик среды по измеренным значениям электромагнитного поля в некоторых точках пространства (обычно на поверхности Земли, иногда на глубине, например, внутри скважины, или над Землей - при аэроразведке), то есть решение обратной задачи [4, 22, 85, 91, 94]. В свою очередь, для решения обратной задачи необходимо многократное решение прямых задач. Поэтому в работах, посвященных решению различных задач электроразведки, очень много внимания уделяется созданию методов и алгоритмов быстрого решения именно прямых трехмерных задач [1, 10, 11, 15, 26, 43, 44, 65, 68, 78-82, 115].

При использовании МКЭ вычислительная сложность решения задачи определяется, главным образом, размером и свойствами матрицы конечноэле-ментной СЛАУ, т.е. зависит, в основном, от дискретизации расчетной области и вида используемых базисных функций. Здесь определенные преимущества (перед конечными элементами в виде прямоугольных параллелепипедов или тетраэдров) имеют шестигранные конечные элементы, сочетающие в себе возможности достаточно хорошей аппроксимации решения (как у параллелепипеи-дальных элементов) с хорошими возможностями описания сложных границ расчетной области (как у тетраэдральных элементов) [63, 114].

При создании программных комплексов, ориентированных на пользователей, являющихся специалистами в определенной прикладной области, очень важна максимальная автоматизация всех этапов решения задачи, в том числе процесса дискретизации расчетной области. Помимо того, что это избавляет пользователей, не являющихся специалистами в области вычислительной математики, выполнять несвойственную сфере их профессиональной деятельности (и довольно непростую) работу, это важно и с точки зрения эффективности расчета, так как от качества дискретизации во многом зависит и точность получаемых результатов. Между тем, наиболее популярные программы построения сеток или конечноэлементные пакеты, включающие в себя соответствующие подсистемы (NETGEN, ANSYS), чаще всего требуют от пользователя достаточно квалифицированного участия в процессе дискретизации расчетной области.

Для некоторых типов задач автоматическое построение шестигранных сеток можно осуществлять непосредственным разбиением дискретизируемой области на шестигранные элементы [8, 9]. Однако при решении многих задач геоэлектрики более удобен другой подход, заключающийся в построении предварительной параллелепипеидальной сетки и ее последующей деформации. Такой подход обладает очень хорошим потенциалом для создания эффективных алгоритмов автоматической (без какого-либо участия пользователя) дискретизации расчетной области. Но для регулярных параллелепипеидальных сеток характерен следующий существенный недостаток - они содержат много «лишних» узлов, то есть узлов, не влияющих на точность решения, но приводящих к увеличению размерности конечноэлементной СЛАУ. Устранить этот недостаток позволяет использование несогласованных параллелепипеидальных сеток с так называемыми терминальными узлами [49, 80, 84, 86, 87].

Помимо качественной дискретизации, обеспечивающей необходимую точность (при небольших вычислительных затратах) отдельного расчета, общая эффективность решения задачи в некоторых случаях может существенно зависеть от последующей обработки результатов соответствующих расчетов. Так происходит, например, при необходимости выдачи характеристик электромагнитного поля в виде производных полученного конечноэлементного решения. Еще более сложной является проблема получения характеристик поля в виде свертки решения довольно большого числа достаточно сложных задач - это необходимо делать, например, при численном моделировании полей вызванной поляризации на основе часто используемой феноменологической модели Cole

Cole (так называемой частотной дисперсии проводимости) [6, 92]. В этом случае решение задачи изначально необходимо получать в частотной области, а затем переводить его соответствующим образом во временную область. Для этого необходимы специальные вычислительные процедуры, от эффективности которых во многом зависит эффективность решения всей задачи в целом, в том числе и значительное сокращение набора решаемых гармонических задач, и затраты на перевод решения из частотной области во временную.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема разработки высокоэффективных методов численного моделирования электромагнитных полей, основанных на использовании различных вычислительных схем МКЭ и автоматизации алгоритмов построения сеток, и реализующих их программных комплексов.

Цели и задачи исследования 1. Построение трехмерных сеток в характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

- разработан алгоритм построения нерегулярных параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов;

- исследованы возможности предобусловливания систем конечноэлементных уравнений с помощью неполного разложения Холесского при моделировании геоэлектромагнитных полей на несогласованных параллелепипеидальных сетках;

- разработаны методы и алгоритмы построения несогласованных параллелепипеидальных сеток для решения задач геоэлектромагнетизма по технологии многоэтапного выделения поля;

- разработаны алгоритмы построения шестигранных сеток при моделировании трехмерного нестационарного электромагнитного поля, порождаемого вихревыми токами в изолированных проводящих объектах;

- разработаны методы выдачи характеристик электромагнитного поля при его расчете на сетках с шестигранными конечными элементами.

2. Моделирование процессов ВП в трехмерных средах на основании феноменологической модели Cole-Cole. Для этого были решены следующие задачи:

- разработаны методы моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей, с учетом зависимости проводимости поляризующихся объектов от частоты;

- разработаны алгоритмы перевода решения набора гармонических задач из частотной области во временную с минимизацией числа частот, на которых необходимо получать решения гармонических задач.

Научная новизна

1. Разработан и реализован метод построения несогласованных параллелепи-пеидальных и шестигранных сеток для решения задач геоэлектромагнетизма по технологии многоэтапного выделения поля.

2. Разработан алгоритм быстрой выдачи значений решения и его производных на шестигранном конечном элементе (КЭ).

3. Разработан метод позволяющий за счет специальной перенумерации базисных функций получать неполное разложение Холесского для матрицы ко-нечноэлементной системы при аппроксимации эллиптического уравнения на сетках с терминальными узлами.

4. Разработан и реализован метод ЗБ-моделирования процессов ВП, основанный на численном решении трехмерных гармонических задач и частотной дисперсии проводимости среды.

На защиту выносятся:

1. Методы построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для решения различных задач электромагнетизма.

2. Метод построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для решения задач с помощью технологии многоэтапного выделения поля.

3. Конечноэлементные схемы моделирования полей ВП, основанные на феноменологической модели Cole-Cole.

4. Реализация разработанных методов в программном комплексе GeoEM и результаты его использования для решения задач геоэлектромагнетизма.

Достоверность результатов

1. Верификация разработанных вычислительных схем решения трехмерных задач геоэлектрики проводилась на горизонтально-слоистых моделях путем задания в качестве трехмерных объектов отдельных слоев.

2. Решение задач на несогласованных сетках с терминальными узлами сопоставлялось с результатами, полученными на согласованных сетках.

3. Правильность работы процедур перевода решения из частотной области во временную при реализации ЗО-моделирования полей ВП по модели Cole-Cole проверялась на задачах моделирования нестационарных полей с заданным трехмерным распределением удельной проводимости в расчетной области.

4. Результаты моделирования полей ВП методом, основанным на модели Cole-Cole, сравнивались с результатами, полученными методом, основанным на задании ЭДС ВП [43, 60], а также с результатами полученными другими авторами.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе методы построения трехмерных дискретизаций и конечноэлементные вычислительные схемы моделирования полей ВП реализованы в программных комплексах GeoEM [48], IPCC, EDEM-OB. Эти программные комплексы использовались при моделировании различных геоэлектромагнитных полей при проектировании полевых электроразведочных работ, интерпретации практических данных, и при решении задач инженерной геофизики.

Личный вклад

Лично автором разработаны и программно реализованы методы построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками. Проведен анализ точности получаемых конечноэлементных решений и вычислительной эффективности разработанных методов.

Разработаны и программно реализованы алгоритмы ЗБ-моделирования полей ВП на основе модели Cole-Cole.

В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работах [21, 53, 54, 57] автором были проведены расчеты трехмерных электромагнитных полей и выполнена оценка точности расчетов. В работах [12, 52] автору принадлежат алгоритмы построения несогласованных сеток с паралле-лепипеидальными ячейками. В работах [27, 28, 32, 55, 56] автором были построены конечноэлементные сетки, проведены конечноэлементные расчеты.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на Всероссийской школе-семинаре им. М.Н. Бердичевского и J1.JL Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли (Санкт-Петербург, 2011г.), Российской научно-технической конференции по информатике PSI-11 (Новосибирск, 2011), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2009, 2010 гг.), международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электроники и приборостроения» (Новосибирск, 2008, 2010 гг.), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2008, 2009 гг.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 20 работ, из них 7 статей в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК, 2 работы в сборниках научных трудов и 11 работ в сборниках трудов конференций.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников (122 наименования) и приложения. Общий объем диссертации - 162 страницы, в том числе 98 рисунков и 18 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Вагин, Денис Владимирович

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований состоят в следующем.

1. Разработаны методы математического моделирования трехмерных полей вызванной поляризации с использованием модели частотной дисперсии Cole-Cole на основе конечноэлементной аппроксимации гармонических задач и технологии выделения поля вмещающей среды. Проведены расчеты трехмерных полей вызванной поляризации при решении практических задач геоэлектрики с различными источниками электромагнитного поля: горизонтальной и вертикальной электрическими линиями, круговым электрическим диполем, токовой петлей.

2. Разработан метод удаления «лишних» узлов из регулярных конечноэле-ментных сеток с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников. Использование нерегулярных несогласованных ко-нечноэлементных сеток по сравнению с регулярными согласованными позволяет при сохранении точности конечноэлементного решения почти на порядок уменьшить вычислительные затраты при решении трехмерных задач за счет существенного сокращения размерности дискретного аналога задачи. Этот метод применялся при моделировании геоэлектромагнитных полей с источниками в виде токовой петли, горизонтальной и вертикальной электрических линий, кругового электрического диполя, а также при решении задач магнитотеллури-ки.

3. Разработаны методы построения несогласованных параллелепипеидаль-ных сеток для решения различных задач геоэлектромагнетизма с использованием технологии многоэтапного выделения поля. Эти методы применялись при моделировании геоэлектромагнитных полей с источником в виде токовой петли и позволили в несколько раз сократить вычислительные затраты для наиболее трудоемких задач.

4. Разработан метод перенумерации узлов несогласованной сетки с ячейками в виде параллелепипедов и шестигранников, позволяющий строить неполное разложение Холесского для дискретного аналога эллиптического оператора в ситуациях, когда при использовании стандартных способов нумерации узлов сетки это разложение построить невозможно. Разработанный метод позволяет в несколько раз уменьшить вычислительные затраты при моделировании на самых низких частотах магнитотеллурических полей и полей вызванной поляризации.

5. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в виде модулей и подсистем программного комплекса GeoEM. Среди них подсистема IPCC вычисления полей вызванной поляризации по модели Cole-Cole и расчета полей ВП по модели, базирующейся на задании ЭДС ВП, что дает пользователю-геофизику возможность выполнять моделирование полей ВП разными методами, а также подсистема EDEM-OB моделирования вихревых полей в изолированных трехмерных объектах. С помощью этого комплекса и реализованных в нем модулей были выполнены расчеты геоэлектромагнитных полей для различных задач геоэлектрики с контролируемыми и естественными источниками.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Вагин, Денис Владимирович, 2012 год

1. Абрамов М. В. Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии / М. В. Абрамов // Научный вестник НГТУ. 2008. - № 1 (30). - С. 3-10.

2. Абрамов М. В. Разработка и реализация схем конечноэлементного моделирования геоэлектромагнитных полей для горизонтальной электрической линии : дис. . канд. техн. наук : 05.13.18 / М. В. Абрамов. Новосибирск : НГТУ, 2009. - 149 с.

3. Альпин Л. М. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике / Л. М. Альпин, Д. С. Даев, А. Д. Каринский М. : Недра. - 1985. - 407с.

4. Барашков И. С. Обратная задача глубинного зондирования квазислоистых сред / И. С. Барашков, В. И. Дмитриев // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М., 1990. - С. 142-153.

5. Вагин Д. В. Моделирование нестационарного электромагнитного поля с зависимостью проводимости от частоты по формуле Cole-Cole / Д. В. Вагин // Наука. Технологии. Инновации. НТИ-2009 : Материалы Российской НТК. Новосибирск. 2009. - Т. 1. - С. 82-84.

6. Вагин Д. В. Построение конечноэлементных сеток с шестигранными ячейками в характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях / Д. В. Вагин // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. -№2(60).-С. 111-116.

7. Вагин Д. В. Построение шестигранных сеток в областях с несоосными цилиндрическими объектами, вложенными друг в друга / Д. В. Вагин // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - №.1 (59). - С. 7378.

8. Вагин Д. В. Разработка метода адаптации конечноэлементных сеток для решения нестационарных задач геоэлектрики / Д. В. Вагин // Информатика и проблемы телекоммуникаций : Материалы Российской НТК. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. - Т. 1. - С. 41-43.

9. Вагин Д. В. Расчет нестационарного электромагнитного поля от корот-козамкнутой петли / Д. В. Вагин //Информатика и проблемы телекоммуникаций : Материалы Российской НТК. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2008.-Т. 1.-С. 38-40.

10. Ваньян Л. Л. Основы электромагнитных зондирований / Ваньян Л.Л. -М. : Недра, 1965.- 109 с.

11. Волкова А. В. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей от тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах: дис. . канд. техн. наук : 05.13.18 / А. В. Волкова. -Новосибирск : НГТУ, 2009. 138 с.

12. Гаврилов А. В. Моделирование полей в аксиально симметричной среде / А. В. Гаврилов, Я. Л. Гурьева, В. П. Ильин, Е. А. Ицкович // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - Т. 4. - №1 - С. 38-51

13. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. / Р. Галлагер М.: Мир, 1984.-428 с.

14. Дмитриев В. И. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. / В. И. Дмитриев М.: Недра, 1990. -498 с.

15. Домников П. А. Метод решения систем уравнений, возникающих при конечноэлементной аппроксимации гармонических по времени электромагнитных полей / П. А. Домников // Сборник научных трудов НГТУ. -2009.-№2(56).-С. 41-46.

16. Жданов М. С. Электроразведка: Учебник для вузов. / М. С. Жданов М.: Недра, 1986.-316 с.

17. Жданов М. С. Математическое моделирование электромагнитных полей в трехмерно-неоднородных средах / М. С. Жданов, В. В. Спичак. М.: Наука, 1992.- 188 с.

18. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган-М.: Мир, 1986.-318 с.

19. Ильин В. П. Методы и технологии конечных элементов / В. П. Ильин. -Новосибирск : Изд. ИВМиМГ, 2007. 371 с.

20. Ильин В. П. О численном решении прямых и обратных задач электромагнитной георазведки / В. П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т. 4. - №6. - С. 381-394.

21. Илюшов Н. Я. Компьютерное моделирование частотозависимого резистора различной формы / Н. Я. Илюшов, Д. В. Вагин, С. Г. Назаров // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2011. №1. С. 310-313.

22. Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма / И. Е. Иродов. М.: Высшая школа, 1983. - 279 с.

23. Комаров В. А. Электроразведка методом вызванной поляризации / В. А. Комаров. Л.: Недра, 1980. - 390 с.

24. Кормильцев В. В. Электроразведка в поляризующихся средах. /В. В. Кормильцев, А. Н. Мезенцев Свердловск: УрО АН СССР, 1989. -128 с.

25. Коробейников С. М. Растворение пузырьков диагностических газов в трансформаторном масле / С. М. Коробейников, Ю. Г. Соловейчик, А. Л. Бычков, Д. В. Вагин, А. В. Мелехов, А. Ю. Рыжкина // Теплофизика высоких температур. 2011- том 49. №5. - С. 771-776.

26. Корольков Ю. С. Эффективность электроразведочных методов при поисках нефти и газа / Ю. С. Корольков. М., 1988. - 58 с.

27. Кулон Ж.-Л., САПР в электротехнике / Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. : пер. с франц. М.: Мир, 1988. - 208 с.

28. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1980.-430 с.

29. Марчук Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г. И. Марчук,

30. B. И. Агошков. М.: Наука, 1981.-420 с.

31. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: учеб. пособие. / А. Н. Матвеев М.: Высш. школа, 1983. - 463 с.

32. Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчел, Р. Уэйт М.: Мир, 1981. - 216 с.

33. Могилатов В. С. Импульсная электроразведка: учеб. пособие / В. С. Мо-гилатов // Новосибирск, 2002. 208 с.

34. Могилатов В. С. Круговой электрический диполь новый источник для электроразведки / В. С. Могилатов // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1992. № 6. С. 97-105.

35. Могилатов В. С. Зондирования вертикальными токами (ЗВТ) / В. С. Могилатов, Б. П. Балашов // Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1994. № 6.1. C. 73-79.

36. Моисеев В. С. Метод вызванной поляризации при поисках нефтепер-спективных площадей / В. С. Моисеев Новосибирск : Наука, 2002. -136 с.

37. Моисеев В. С. Математическое моделирование сложнопостроенных сред /B.C. Моисеев, Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк // Сборник рефератов № 2 Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEGEAGO. -М., 1993. С. 15.

38. Молчанов И. Н. Основы метода конечных элементов / Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Киев, 1989. - 272 с.

39. Норри Д., Введение в метод конечных элементов / Норри Д., Ж. Фриз. -М.: Мир, 1981.- 155 с.

40. Персова М. Г. Зондирование становлением поля трехмерных сред и проблемы интерпретации / Персова М. Г. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. 12. - № 2. - С. 84-96.

41. Персова М. Г. Конечноэлементное моделирование электродинамических процессов в задачах геоэлектрики и электромеханики: дис. . докт. техн. наук 05.13.18 / Персова Г. М. Новосибирск : НГТУ, 2009. - 420 с.

42. Персова М. Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках / М. Г. Персова // Сб. науч. тр. НГТУ. 2002. - № 3 (29). - С. 33-38.

43. Персова М. Г. Математическое моделирование постоянного электрического поля при заряде и измерениях в обсаженных скважинах / Ю. Г. Соловейчик, М. Г. Персова // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. - Т. 25. - № 1 - С. 116-125.

44. Персова М. Г. Сравнение различных подходов к численному моделированию трехмерных полей вызванной поляризации / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Д. В. Вагин, П. А. Домников // Доклады АН ВШ. 2011. -№2.-С. 89-101.

45. Персова М. Г. Методы и алгоритмы решения трехмерных прямых и обратных задач геоэлектрики на базе конечноэлементных аппроксимаций /

46. Персова М. Г. Компьютерное моделирование геоэлектромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Г. М. Тригубович // Физика Земли, 2011. № 2. - С. 314.

47. Персова М. Г. Применение шестигранных конечных элементов для решения задач геоэлектрики / М. Г. Персова, Д. В. Шилак // Сборник трудов НГТУ 2005. - № 2 (40). - С. 9-14.

48. Рояк М. Э. Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях: автореф. дис. докт. техн. наук / М. Э. Рояк. Новосибирск : НГТУ, 2007. - 36 с.

49. Рояк С. X. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей: дис. . канд. техн. наук 05.13.18 / С. X. Рояк, Новосибирск : НГТУ, 2000. 206 с.

50. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР: пер. с франц. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон М.: Мир, 1989.

51. Светов Б. С. Основы геоэлектрики / Б. С. Светов. М.: Издательство ЛКИ, 2008.-256 с.

52. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд -М.: Мир, 1979.-392 с.

53. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари. М.: Мир, 1986. - 229 с.

54. Соловейчик Ю. Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: дис. . докт. техн. наук: 05.13.18 / Ю. Г. Соловейчик. Новосибирск : НГТУ, 1997.-335 с.

55. Соловейчик Ю.Г. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии / Ю. Г. Соловейчик, М. Г. Персова, Ю. В. Тракимус // Доклады АН ВШ. № 1. -2004. - С. 76-86.

56. Соловейчик Ю. Г. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, В. С. Моисеев, А. В. Васильев // Физика Земли. 1997. - № 9. - С. 67-71.

57. Соловейчик Ю. Г. МКЭ-моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, В. С. Моисеев, Г. М. Тригубович // Физика Земли. 1998. - № 10. - С. 78-84.

58. Соловейчик Ю. Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова // «Учебники НГТУ» Новосибирск : НГТУ, 2007. - 896 с.

59. Соловейчик Ю. Г. Конечноэлементное моделирование трехмерных электромагнитных полей с использованием ес^е-элементов на нерегулярных сетках / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова, М. В. Абрамов,

60. А. Н. Селезнев // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II Новосибирск : Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004.-С. 676-681.

61. Соловейчик Ю. Г. Разработка системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, Г. М. Тригубович, А. В. Чернышев // Доклады СО АН ВШ. -№ 1 -2002.-С. 105-114.

62. Соловейчик Ю. Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеидальных сетках / Ю. Г. Соловейчик, М. Г. Токарева, М. Г. Персова // Вестник ИрГТУ. Иркутск. 2004 г. -№ 1. - С. 45-60.

63. Тихонов А. Н. Математические методы в разведке полезных ископаемых / А. Н. Тихонов, В. Б. Глазко, В. И. Дмитриев. М.: Знание, 1983. - 239 с.

64. Токарева М. Г. Решение стационарных осесимметричных задач на нерегулярных прямоугольных сетках / М. Г. Токарева // сб. науч. тр. НГТУ. — Новосибирск, 2002. № 2 (28) - С. 79-88.

65. Токарева М. Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки / М. Г. Токарева, М. Г. Персова, А. Г. Задо-рожный // Сборник трудов НГТУ. 2002. - № 2 (28). - С. 41-48.

66. Тракимус Ю. В. Разработка и применение схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в задачах электроразведки с использованием скважин: дис. . канд. техн. наук 05.13.18 / В. Ю. Тракимус, Новосибирск : НГТУ, 2007. 140 с.

67. Чернышев А.В. Вычислительные схемы и программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля: автореф. дис. . канд. техн. наук / А. В. Чернышев. -Новосибирск : НГТУ, 2003. 172 с.

68. Электроразведка: Справочник геофизика. В 2-х кн. / Под ред. В.К. Хме-левского, В.М. Бондаренко. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1989 Кн.1. - 438 е.; Кн.2. - 378 с.

69. Эпов М. И. Прямые задачи электромагнитных зондирований с учетом частотной дисперсии геоэлектрических параметров / М. И. Эпов, М. Ю. Антонов // Физика Земли. 1999. - № 4. - С. 298-305.

70. Эпов М. И. Автоматизированная интерпретация электромагнитных зондирований / М. И. Эпов, Ю. А. Дашевский, И. Н. Ельцов Новосибирск, 1990. - 29 с. (Препр. / ИГиГ СО АН СССР).

71. Эпов М. И. Прямые и обратные задачи индуктивной геоэлектрики в одномерных средах / М. И. Эпов, И. Н. Ельцов Новосибирск, 1992. - 31 с. (препр./ объедин. ин.- геол., геофиз. и минерал. СО РАН).

72. Albanese R. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements / R. Albanese, G. Rubinacci // J.Comput.Phys. 1993. - Vol. 108. -P. 236-245.

73. Axelsson O. Iterative Solution Methods / O. Axelsson. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. - 654 p.

74. Badea E. A. Finite-element analysis of controlled-source electromagnetic induction using Coulomb-gauged potentials / E. A. Badea, M. E. Everett, G. A. Newman, O. Biro // Geophysics, 2001. vol. 66. no. 3. - pp. 786-799.

75. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements / A. Bossavit Academic Press (Boston), 1998.-352 p.

76. Bossavit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism / A. Bossavit // IEE Proc., 135, Pt. A, 1988. pp.493-500

77. Brenner S., Scott L. R. The Mathematical Theory of Element Methods / S. Brenner, L. R. Scott. NY: Springer-Verlag, 1994.

78. Brezzi F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. -NY: Springer, 1994. -362 p.

79. Cavendish J. C. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation. / J. C. Cavendish, D. A. Field, W. H. Frey // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol. 21, 1985.-P. 329-347.

80. Cendes Z. J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations / Z. J. Cendes // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. № 5 - P. 3958-3966.

81. Cingoski V. An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements / V. Cingoski, H. Yamashita // J. Applied Phys. 1994. - Vol.75. - № 10. - P. 6042-6044.

82. Cole K. S. Dispersion and absorption in dielectrics. Alternating current characteristics / K.S. Cole, R. H. Cole // J. Chem. Phys. 1941. Vol. 9. 4. P. 341351.

83. Commer M. New advances in three-dimensional controlled-source electromagnetic inversion / M. Commer, G. A. Newman. Geophys. J. Int. (2008) 172, 513-535.

84. Dyczij-Edlinger R. A fast vector potencial method using tangentially continuous vector finite elements / R. Dyczij-Edlinger, G. Peng, J.-F. Lee // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. 1998. Vol. 46. P. 863-868.

85. Li Y. 3-D inversion of induced polarization data / Y. Li, D. W. Oldenburg // Geophysics, 2000.-VOL. 65.-NO. 6.-pp. 1931-1945.

86. Matthew N. O. Numerical techniques in electromagnetics / N.O. Matthew, Sadiku. CRC Press LLC, 2001.

87. Nedelec J. C. A new family of mixed finite elements in K3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. №50, 1986 .-PP.57-81.

88. Nedelec J. C. Mixed finite elements in M3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. №35, 1980. PP.315-341.

89. Rieben R. N. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids / R. N. Rieben, G. H. Rodrigue, D. A. White. // Journal of Computational Physics vol.204, 2005. PP.490-519.

90. Rodrigue G. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids / G. Rodrigue, D. White // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23; № 3. - P. 683-706.

91. Saad Y. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving non-symmetric linear systems / Y. Saad, M. Schultz // SIAM J. Sci. Comput. 1986 vol. 7. p.856-869.

92. Sogabe T. A COCR method for solving complex symmetric linear systems / T. Sogabe, S.-L. Zhang // Journal of Computational and Applied Mathematics, 199(2007), pp. 297-303.

93. Soloveichik Y. Iterative method for solving finite element systems of algebraic equations / Y. Soloveichik // Computers & Mathematics with Applications Volume 33, Issue 6, March 1997, Pages 87-90

94. Torres-Verdin C. Rapid 2.5 dimensional forward modeling and inversion via a new scattering approximation / C. Torres-Verdin, T. M. Habashy // Radio Sci. 1994. 29. 4. P. 1051-1079

95. Um E. S. 3D time-domain simulation of electromagnetic diffusion phenomena: A finite-element electric-field approach / E. S. Um, J. M. Harris, D. L. Alumbaugh // GEOPHYSICS, VOL. 75, NO. 4, 2010; P. F115-F126.

96. Zhdanov M. S. Quasi-analitical approximations and series in electromagnetic modeling / M. S. Zhdanov, V. I. Dmitriev, S. Fang, G. Hursan // Geophysics. 2000. 65. P. 1746-1757.