Математические модели, численные методы и программы для оптимизации структуры и свойств металлопродукции в многостадийных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Суханов Андрей Владимирович

• Суханов Андрей Владимирович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Суханов Андрей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СВОЙСТВ И СТРУКТУРЫ СПЛАВОВ В СОВРЕМЕННЫХ МНОГОСТАДИЙНЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Современные методы формального описания многостадийных производственных систем

1.2. Интеллектуальная поддержка систем управления производством с использованием имитационного моделирования

1.3. Математическое моделирование систем с использованием автоматов

1.4. Использование субмоделей как вспомогательного инструмента в итеративных цепях

1.5. Методы стохастической оптимизации параметров технологических процессов

1.6. Использование компьютерного моделирования в современных технологических процессах металлургических производств

1.6.1. Задачи и методы автоматизации современных систем управления технологией производств

1.6.2. Роль статистической обработки информации в современных системах управления

1.6.3. Применение методов нечёткой логики в компьютерных моделях технологических процессов современных производств

1.7. Цели работы и задачи исследования. 39 Глава 2. СОЗДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО КОНЕЧНОГО АВТОМАТА НА ОСНОВЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАБОТЫ СПЛАВОВ В ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ УСЛОВИЯХ

2.1. Вероятностный конечный автомат как модель системы принятия решений

2.2. Моделирование технологического процесса с применением вероятностного конечного автомата

2.3. Численные методы создания матрицы переходов для конечного вероятностного автомата

2.3.1. Графы переходов клеток конечного автомата из одного состояния в другое

2.3.2. Кодирование информации в конечном автомате

2.4. Математическое моделирование работы исследуемого объекта в эксплуатационных условиях

Выводы

Глава 3. МОДИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 70 3.1. Методы стохастического поиска глобального оптимума 70 3.1.1. Сравнительный анализ методов стохастической оптимизации

3.1.2. Варианты организации алгоритмов стохастической оптимизации на основе метода имитации отжига

3.2. Модификации алгоритмов стохастического поиска для оптимизации численных параметров диаграмм деформирования чугуна

3.2.1. Целевая функция и область стохастического поиска

3.2.2. Стохастический поиск simulated annealing на основе модифицированной функции распределения Гиббса

3.3. Модификации алгоритмов стохастического поиска для оптимизации химического состава сплавов

3.3.1. Целевая функция и область стохастического поиска

3.3.2. Стохастический поиск simulated annealing на основе модифицированной функции распределения Гиббса

Выводы

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СХОДИМОСТИ И ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА В КОНЕЧНОМ АВТОМАТЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ НЕЧЁТКОЙ ЛОГИКИ

4.1. Структура нечёткой системы логического вывода

4.2. Численный метод формирования базы правил системы логического вывода

4.3. Оптимизация параметров алгоритмов стохастического поиска на основе методов нечёткого управления

4.3.1. Исследование влияния численных параметров алгоритма поиска на его точность и скорость сходимости

4.3.2. Альтернативы и выбор алгоритма оптимизации вычислительных процессов

4.3.3. Численный метод построения схемы стохастической оптимизации на основе алгоритма нечёткого управления Такаги и Сугено

Выводы

Глава 5. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС, РЕАЛИЗУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ПОЭТАПНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ И ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА СПЛАВОВ ЧУГУНА И РЕЗУЛЬТАТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ АПРОБАЦИИ

5.1. Блоки принятия решений по моделированию, оптимизации и управлению процессом формирования структуры и химического состава сплавов

5.2. Структура программного обеспечения

5.3. Пользовательский интерфейс программного обеспечения

5.4. Результаты практической апробации 139 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели, численные методы и программы для оптимизации структуры и свойств металлопродукции в многостадийных системах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Комплексы современных систем управления процессами в различных отраслях промышленности характеризуются многоста-дийностью процессов функционирования, включающих как выбор набора оптимизируемых параметров, так и способы их оптимизации. При решении задач оптимизации параметров внутри систем основной трудностью может стать математическая неопределённость, когда аналитическое получение стохастических характеристик изучаемого объекта затруднено или невозможно. В этом случае уровень неопределённости влияет на выбор позиции для формирования решения, -способом стохастического поиска или с применением теории нечётких множеств.

С возрастанием вычислительных способностей технических систем оптимизация или выбор параметров для построения алгоритмов всё чаще производятся с использованием математических моделей изучаемых объектов внутри систем. В этих условиях актуализируется задача комбинированного применения методик стохастической оптимизации и нечёткого управления как для совершенствования самих математических моделей, так и для осуществления подбора параметров для построения схем алгоритмов.

Актуальна и задача построения иерархии применения алгоритмов для многоуровневой оптимизации, поскольку при таком подходе алгоритм уже не является неизменным и статическим объектом, а сам играет роль исследуемого объекта, а его численные параметры - оптимизируемых объектов соответственно.

Задача построения иерархии алгоритмов, позволяющих параллельно осуществлять вычислительные эксперименты и оптимизацию параметров математических моделей, также актуальна благодаря активному развитию существующих интеллектуальных технологий, решающих широкий круг задач в области управления распределенными процессами производства в различных отраслях.

Математическое моделирование систем управления можно выполнить с использованием вероятностных конечных автоматов и субмоделей как вспомогательных инструментов в итеративных цепях. Эффективность функционирования

системы будет определяться характером построения информационных связей между функционалами, отвечающими за вычислительный эксперимент с применением математической модели исследуемого объекта, и функционалами, решающими локальные задачи оптимизации параметров для математической модели. Это делает актуальной задачу модификации алгоритмов стохастической оптимизации с учётом особенностей информационного взаимодействия внутри систем.

Степень разработанности проблемы. Основополагающие теоретические и методологические аспекты возможностей модификации схем алгоритмов стохастической оптимизации отражены в работах отечественных исследователей: Жиг-лявского А. А., Лопатина А. С., Пантелеева А.В., Тихомирова А. С. Базовые понятия и классическое описание основных схем алгоритмов стохастической оптимизации представлены в трудах зарубежных исследователей: Ingber L., Spall J.C., Yao X.A.

Проблемам глобальной оптимизации в технологических системах промышленного производства посвящены труды Ананченко А.Г. и Холоднова В. А. В их работах представлена подробная классификация задач и алгоритмов глобальной оптимизации. Использование предложенной ими классификации позволило обосновывать выбор методики поиска экстремума в зависимости от вида выполняемых задач в технологической системе.

Базовые принципы дискретного моделирования многостадийных производственных систем подробно описаны в работах Блюмина С. Л. и Корнеева А.М. В их работах представлена методология моделирования технологического процесса с использованием вероятностного автомата. Возможность использования итеративных цепей для описания многостадийных технологических процессов, на разных уровнях которых существенную роль играют случайные факторы, подтверждена в работах Корнеева А.М. и Сметанниковой Т. А.

Методы нечеткого управления в условиях, когда результат определяется множеством независимых факторов, рассмотрены в работах Takagi Т. и Sugeno M.

Анализ специальной литературы позволяет сделать вывод о том, что многие вопросы, связанные с вероятностным моделированием многостадийных техноло-

гических процессов производства металлопродукции исследованы недостаточно. В частности, не реализован механизм изменения структуры алгоритмов стохастической оптимизации в зависимости от параметров решаемых ими задач. Решение данной задачи актуально, поскольку схема алгоритма в значительной мере определяет скорость его сходимости и точность получаемого результата. Также мало исследованы аспекты и особенности применения методов нечёткого регулирования для выбора численных параметров алгоритмов стохастической оптимизации в системах интеллектуальной поддержки технических процессов.

Для решения данных проблем необходимо проведение специального исследования особенностей модификации алгоритмов стохастической оптимизации параметров математических моделей в системах с нечётким управлением.

Цели и задачи исследования. Целью работы является разработка математической модели многостадийной производственной системы с использованием итеративной одномерной цепи для оптимизации структуры и свойств металлопродукции с использованием модифицированных алгоритмов стохастического поиска в многомерном пространстве на основе методов имитации отжига, и создание специального комплекса программ для интеллектуальной поддержки процесса выбора технологических параметров на основе методов нечёткого управления.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

• Создание математической модели многостадийного технологического процесса на основе итеративной цепи вероятностного конечного автомата, определение порядка применения функций, описывающих состояния клеток и соответствующих входов и выходов, их иерархию и типы.

• Модификация существующих алгоритмов стохастической оптимизации на основе методов случайного поиска в пространствах с большой размерностью, позволяющих минимизировать затраты на вычисление и повышать точность значений параметров математических моделей.

• Разработка на основе методов нечеткой логики алгоритма и метода агрегации нечёткого вывода для расчёта границ области поиска оптимальных значений технологических параметров в математических моделях систем.

• Разработка численного метода формирования базы правил для агрегации логического вывода, позволяющего создавать новые правила с учётом корреляционных связей между случайными факторами внутри системы и оптимизируемыми параметрами.

• Разработка численного метода для агрегации нечёткого вывода параметра, определяющего скорость сходимости алгоритмов стохастической оптимизации.

• Разработка комплекса программ, реализующих численные методы и алгоритмы стохастического поиска на основе метода имитации отжига, и позволяющих оптимизировать параметры математических моделей в системах с нечётким управлением, осуществлять интеллектуальную поддержку процесса выбора технологических параметров.

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе использовались методы стохастической оптимизации, вычислительной математики, математическая теория систем, теории вероятностей и случайных процессов, методы нечёткой логики и линейного программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18: п.3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п.8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования».

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Математическая модель многостадийного технологического процесса с нечётким управлением, отличающаяся структурой информационных связей между функциями, корректирующими параметры оптимизируемого в системе объекта, и

позволяющая за конечное число циклов оптимизировать структуру и свойства объекта.

• Модификация алгоритмов и методов стохастического поиска оптимальных значений параметров математической модели исследуемых объектов, отличающаяся функцией распределения при переходе точки поиска в новое состояние, и позволяющая снижать временные затраты на вычисления.

• Разработка алгоритма определения области стохастической оптимизации на основе методов нечёткой логики, отличающегося наличием регулируемой базы правил модуля агрегации нечёткого вывода, и позволяющего на основе входных данных системы рассчитывать верхние и нижние границы поиска для каждого параметра математической модели.

• Численный метод определения функции сходимости алгоритма стохастической оптимизации, отличающийся использованием методики нечёткого вывода Такаги и Сугено, и позволяющий регулировать скорость сходимости алгоритмов и вероятность перехода к новому решению с учётом размерности пространства поиска.

• Численный метод формирования новых правил в алгоритме агрегации нечёткого вывода при структуризации объектов, отличающийся учётом корреляции между параметрами воздействия на объект и возникновения в нём отдельной структуры, и позволяющий регулировать базу правил с повышением точности результатов агрегации нечёткого вывода.

• Программный комплекс, реализующий алгоритм поэтапной оптимизации свойств объекта, особенностью которого является использование методов нечёткой логики и функционалов стохастического поиска оптимальных параметров математических моделей исследуемого объекта с построением модифицированных схем алгоритмов оптимизации, и позволяющий формировать структуру и свойства объектов согласно требованиям к их эксплуатационным характеристикам.

Практическая значимость работы заключается в разработке методик, позволяющих решать задачи интеллектуализации процесса принятия решений при формировании внутренней структуры и физических свойств металлопродукции; в

разработке комплекса программ поэтапной оптимизации свойств сплавов согласно выбранным критериям и требованиям к их эксплуатационным характеристикам.

На отдельные модули комплекса созданных программ получены свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические и практические результаты исследований, представленные в диссертационной работе, послужили основой созданного программного комплекса, прошедшего промышленную апробацию в производственных условиях на предприятии ООО «Липецкая трубная компания «Свободный Сокол». Программный комплекс использовался в качестве инструмента интеллектуальной поддержки при выборе технологических параметров производства сплавов высокопрочного серого чугуна. В частности, осуществлялся выбор процентного содержания легирующих элементов и параметров термической обработки с целью повысить прочностные свойства сплавов.

Результаты диссертационной работы используются в Липецком государственном техническом университете при подготовке бакалавров по направлению 15.03.03 «Прикладная механика», профиль подготовки «Вычислительная механика и компьютерный инжиниринг».

Апробация работы. Полученные результаты исследований докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях «Актуальные направления научных исследований» (Чебоксары, 2016); «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2017); «Вопросы образования и науки» (Тамбов, 2018); «Молодёжь и системная модернизация страны» (Курск, 2018).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 научных работ, в том числе: 6 статей в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендованных в Перечне ВАК, 3 статьи в международных журналах, индексируемых в базе цитирования SCOPUS, 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, из которых в автореферат включено 16 работ.

В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, соискателю принадлежит: исследование точности и скорости сходимости модифицированных алгоритмов стохастической оптимизации [2, 7, 10, 13, 15, 16]; структура программного комплекса, реализующего алгоритмы стохастической оптимизации на основе метода имитации отжига, и осуществляющего интеллектуальную поддержку подбора химического состава сплавов с позиций математического моделирования [1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14]; численные методы оптимизации схем алгоритмов стохастического поиска с использованием методов нечёткой логики [5].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы (146 источников), приложений. Общий объём 171 страница, включая 58 рисунков и 23 таблицы.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СВОЙСТВ И СТРУКТУРЫ СПЛАВОВ В СОВРЕМЕННЫХ МНОГОСТАДИЙНЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Современные методы формального описания многостадийных производственных систем

Современный производственный процесс отличается многостадийностью преобразования исходного сырья и материалов в готовую продукцию [59, 64]. При этом все стадии технической обработки изделия в той или иной степени оказывают влияние на свойства, структуру и, соответственно, показатели качества продукции. Для множества отдельных процессов в современных производственных системах не существует однозначного аналитического описания зависимостей значений показателей качества изготавливаемой продукции от технологических факторов; более того, практически любой фактор технологии производства характеризуется наличием случайных величин, оказывающих влияние на свойства и структуру изделия. Эти и другие причины привели к необходимости выявления максимальных и минимальных значений величин, характеризующих производственный процесс на каждой стадии, и, соответственно, к заданию рекомендуемых интервалов для каждого технологического фактора. Поэтому при создании математических моделей современных производственных систем и алгоритмов принятия решений чрезвычайно важно учитывать неоднозначность функциональных связей между факторами технологии производства и свойствами (структурой, показателями качества) металлопродукции [46, 47, 56].

Системы принятия решений содержат объекты выбора и объекты, представляющие собой функционалы, предназначенные для формирования оценки других объектов. При решении сложных многоцелевых и многокритериальных задач в таких системах обязательно необходимо учитывать взаимосвязи между объектами, критериями оценки и иными элементами системы. В работах [6, 94, 95, 96] приведены различные варианты организации современных систем принятия решений, подробно рассмотрены подходы к анализу многоцелевых задач в системах. Один

из распространённых методом организации системы принятия решений, - метод аналитических сетей, - подробно рассмотрен в работах Т. Л. Саати [94, 95, 96]. Метод аналитических сетей базируется на анализе иерархий объектов внутри системы принятия решений.

Математическое моделирование - один из базовых методов прогнозирования работы современных систем управления при изменении параметров внешних условий. В таких математических системах используются человеко-машинные системы построения решений. Важным элементов такой методики является вычислительный эксперимент [30, 33, 113]. Возможность предсказывать и анализировать поведении системы в изменяющихся условиях, основываясь при этом на методах системного подхода и соответствующих информационных связях между отдельными элементами системы и внешней среды, является существенным преимуществом моделирования как метода [88, 89]. Системный подход предусматривает чёткое формулирование цели моделирования, которая в большинстве случаев заключается в решении конкретной задачи или проблемы внутри системы. Правильное формирование цели и постановка решаемых моделированием задач позволяет определять критерии выбора элементов создаваемой модели.

В работах [4, 24, 71] предлагается следующее формальное определение системы:

5 = (Х, Я), (1.1)

где X = (X], х2, х3, ..., хп) - множество элементов х; Я - множество правил поведения системы, а также правил взаимодействия между её отдельными элементами х{ и внешней средой.

Часто для моделирования многостадийных производственных процессов применяют методику ситуационного управления. Она используется в случае, когда моделируется сложный объект, характеристики которого изменяются во времени. Пространство, которое содержит все возможные состояния объекта, называется множеством ситуаций, которые рассматриваются здесь как временные срезы в процессе изменения свойств объекта [87]. Применение такой методики требует комплексного знания структуры объекта для достаточно полного описания

каждой ситуации с использованием соответствующего аппарата формализации [76]. Чаще для формального описания удобнее применять математический аппарат, то есть каждая ситуация представляется как вектор значений соответствующих параметров объекта или системы. Для моделирования современных сложных многостадийных производственных систем в настоящее время не существует единого точного математического метода формализации, в связи с чем актуальным является подход, заключающийся в комбинации математических методов, компьютерного моделирования и методов метаэвристики [43, 48, 63]. Подробная характеристика существующих формальных моделей, способы их конструирования и основы проектирования процессов приведены в работах [73, 99]. Основной составляющие анализа проектных решений современных многостадийных производственных процессов в металлургической промышленности является имитационное моделирование, которое позволяет изучить взаимовлияние случайных и технологических факторов в процессе управления системой, прогнозировать надёжность исследуемых систем, а также осуществлять интеллектуальную поддержку принятия решений, искать эффективные решения [2, 26, 42, 43, 58, 110].

В современном инструментарии теории управления в качестве наиболее эффективного метода изучения форм и способов принятия решений в условиях ограниченности ресурсов, высоких требований к качеству изделий и возможности изменений внутри системы предлагается метод, известный как Project Management, - метод «управления проектами» [99]. Этот метод подразумевает разбиение проектируемой системы на ряд уровней, связанных единством достигаемой цели, а также наличием ограничений, которыми могут быть механические и прочностные свойства материалов (выпускаемой продукции), ресурсы и структурные особенности изделий или материалов [2].

Системы управления современными пространственно-распределёнными системами представляют собой процесс взаимодействия между управляемым объектом и управляющими подсистемами. Под управляющими подсистемами здесь подразумеваются лица или технические устройства, которые осуществляют воздействие на объект с учётом информации о процессе и о внешней среде. В то же

время объект, подвергающийся воздействию управляющих подсистем для достижения желаемого результата или поведения, сам является управляемой подсистемой [61, 78, 80, 99]. Системный подход к принятию управленческих решений позволяет формализовать аппарат описания многостадийных пространственно-распределенных процессов и эффективно реализовать поставленные перед управляющей системой цели [20, 108].

Современные многостадийные производственные системы характеризуются наличием дискретных процессов, что приводит к необходимости учёта взаимовлияния технологических режимов, циклов и параметров производства. Количество сочетаний параметров производства и технологических режимов обработки изделий, как правило, весьма многочисленно. Для определения оптимальных решений необходим анализ задачи с применением комплексов математических и имитационных моделей [8, 10, 20, 25, 41, 47, 48, 50, 51, 59, 108].

1.2. Интеллектуальная поддержка систем управления производством с использованием имитационного моделирования

Имитационное моделирование - один из основных современных инструментов комплексного анализа сложных производственных процессов. Имитационное моделирование тесно связано с компьютерным моделированием, из-за чего его часто называют «машинной имитацией», включающей в себя общие методы построения модели реальной системы. Моделирования реальных систем преследует несколько целей: проверка функционирования моделируемой системы, проверка и оценка стратегий поведения отдельных подсистем и постановка эксперимента над моделью для выявления недостатков и совершенствования алгоритмов [13, 32, 37, 80, 83, 111]. В основе имитационного моделирования лежат методы алгоритмизации поведения объектов или их отдельных элементов. Построение имитационной модели на основе методов алгоритмизации происходит в несколько этапов, основными из которых являются следующие:

- исследование объекта моделирования с позиций системного анализа, определение свойств и характеристик, необходимых для машинной имитации;

- формализованное описание модели системы и отдельных подсистем с учётом информационных связей между выделенными подсистемами;

- создание алгоритмов, моделирующих отдельные процессы поведения моделируемого объекта или его отдельных составляющих элементов;

- проверка адекватности построенной имитационной модели изучаемому объекту;

- проведение вычислительных экспериментов с использованием построенной имитационной модели, выявление недостатков, оптимизация алгоритмов [99].

Создание имитационных моделей многостадийных процессов позволяет эффективно анализировать и изучать свойства сложных производственных комплексов с помощью вычислительных экспериментов именно над моделями, а не над самой системой [14, 91, 113].

При моделировании объектов или систем различной сложности необходимо использовать методики и схемы, позволяющие учитывать как детерминированный, так и вероятностный характер процессов, протекающих в системе или внутри объекта при внешних воздействиях [74]. Часто также приходится прибегать к вариантам, собранным из экспертных оценок лиц, которые принимают непосредственное участие в поиске решения локальных проблем при построении имитационной модели [91, 100, 111]. Такой подход позволяет исключить неподходящие варианты решения и выбрать необходимые, которые впоследствии станут основой для построения модели. Таким образом, имитационное моделирование, экспертный анализ множества вариантов возможных решений вкупе со стохастическими и дискретными методами оптимизации вполне может стать равноценной заменой существующим традиционным технологиям проектирования, реализуемым в САПР.

В работах [2, 9, 31, 91, 73, 99] в качестве перспективного способа исследования техпроцессов промышленных предприятий рассматривается построение иерархий операций, на основе которых создаются технологические цепи агрегатов и

генерируются массивы векторов для управления реальными производственными процессами. Здесь построение дерева операций, реализующих технологический процесс, построение цепочек агрегатов и выбор режима производства реализуется на основе данных из портфеля заказов предприятия. Таким образом, после исключения из массива возможных вариантов неэффективных или нереализуемых технологически в качестве оптимального решения выбирается альтернатива, удовлетворяющая требуемым критериям (прочности, экономичности, материалоёмкости и др.) [99, 100]. Такой подход применим для производств, характеризующихся вероятностным характером параметров технологических процессов [9,

31].

При разработке компьютерных моделей многостадийных производственных процессов, отдельные элементы которых можно представить в виде цепочки элементарных действий или событий, важную роль играют модели систем массового обслуживания. Здесь отдельное внимание исследователей уделяется системам, при моделировании которых используются марковские процессы [97].

На ряду с перечисленными численными методами, которые используются при построении имитационных моделей многостадийных производственных процессов, можно выделить ещё следующие: методы теории активных систем [81], методы теории информации [96], методы анализа иерархий для решения многокритериальных задач [23]. В работах [118, 136] подробно рассмотрены вопросы иерархического моделирования применительно к задачам статистического анализа данных.

Алгоритмы разбиения многостадийного процесса в различных отраслях имеют много общего, в частности, можно выделить следующие важные этапы:

- задаётся пространство элементов первого уровня, над которым в дальнейшем надстраивается иерархия элементов более высокого уровня;

- задаётся множество возможных иерархий для выбора оптимальной;

- задаётся способ сравнения иерархий, критерий их оценки;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Суханов Андрей Владимирович, 2020 год

- !

•V *

¿4' С

.-Г V.

1

•-г.-аа.?. V эдНЕУ«

• : 7 Г/. ]

>

51 0,52 0, 53 0,51 0, 55 0,56 0,57 0.58 0,59 0.60 0,

10

Рис. 3.12. Приближение значений коэффициентов £19 (е^), £20 (е^), £26 (а^), £27 к оптимальным в процессе стохастического поиска по схеме Коши модификации Б

3.3. Модификации алгоритмов стохастического поиска для оптимизации

химического состава сплавов

3.3.1. Целевая функция и область стохастического поиска

В общем случае при оптимизации параметров множества 5 поведение исследуемой системы описывается следующим законом функционирования f : Rd ^ R2:

( ,US ) = f({S}), (3.38)

где Ts - твёрдость сплава; Us - износостойкость сплава; {5} = {£/, ..., £d} = {xc, xSi, XMn, xP, xS, ...} - значения процентного содержания химических элементов в сплаве чугуна; d - количество химических элементов в сплаве, процентное содержание которых оптимизируется.

Целевая функция поиска глобального оптимума имеет вид:

f ({S})^ max. (3.39)

В качестве целевой функции может использоваться сумма параметров с весовыми коэффициентами:

f ({S}) = \TS +A2Us ^ max, ^ + Я2 = 1. (3.40)

Весовые коэффициенты Xj, X2 здесь определяют степень значимости параметров,

характеризующих сплав. E = XJ,TS + X2US

Области поиска для каждого из коэффициентов из множества 5 представлены в таблице 3.6.

Таблица 3.6. Области поиска оптимальных значений множества 5

Коэффициент Идентификация Область поиска

6 Хс [Ai; Bi]

£2 XSi [A2; B2]

6 ХМп [A3; B3]

Хр [A4; B4]

£5 Xs [A5; B5]

XCr [Аб; B6]

£7 XNi [A7; B7]

£8 XCu [A«; B8]

£9 XV [A9; B9]

£jo XMo [A10; B10]

£jj XTi [A11; B11]

£12 XAl [A12; B12]

£j3 XMg [A13; B13]

Здесь A1, B1, ..., A13, B13 - постоянные, определяющие границы поиска для каждой переменной из множества 5. Значения для границ стохастического поиска определяются с использованием методов нечеткого управления.

3.3.2. Стохастический поиск simulated annealing на основе модифицированной

функции распределения Гиббса

При моделировании схемы Больцмана алгоритма стохастического поиска simulated annealing для оптимизации химического состава чугунных сплавов также используется плотность распределения (3.26) для генерации новых состояний; для моделирования нормального распределения используется центральная предельная теорема и формула (3.27). В качестве критерия перехода сгенерированной случайной точки поиска в новое состояние системы используется распределение Гиббса (3.6). Для моделирования уменьшения параметра температуры в алгоритме по схеме Больцмана используется формула (3.28).

На рисунке 3.13 представлена структурная схема алгоритма случайного поиска (simulated annealing) оптимальных параметров 5 по больцмановской схеме на основе модифицированной функции распределения Гиббса. Функция распределения Гиббса здесь имеет вид:

P(AE, Tk ) =

1, AE < 0,

exp

Г A 7-Л

AE

T

V 1k У

I f , AE>0., (3.41)

mod, fuz 5

где 1той/иг - коэффициент модификации, определяемый с помощью методов нечеткой логики. 1шой/иг = 0,5(1 + Вгез), где Бгез е [0; 1] - нечёткий выход, результат дефаззификации в функционале //и2.

Начало поиска оптимальных значений и

Задаются значения данных, полученных в результате натурного эксперимента:

Г$о ~ начальная твердость сплава; и$0 - начальная износостойкость сплава; Задаются весовые коэффициенты Л/, / ;

Случайным образом выбирается вектор начальных значений точек поиска: Расчет целевой функции состояния системы:

Е = А1,ТзО+ ХгИзО

г

Устанавливается начальное значение номера шага: к — 1.

__Г I _

Задаются максимальное 70 и минимальное Уоту значения параметра 7 :

Т(к)=Т0,Т0>Твм1.

Семейство нормальных распределений для генерации новых точек поиска задается плотностью;

,схр

шоё/н-

2Цк)1щв<1/а:

Генерируются новые точки поиска: 1

Расчет целевой функции состояния системы:

Е'^л^Тцк + ЫЛк 1

Вычисляются приращения функции Е: А/'. /' '—/'..

Вычисляется вероятность принятия нового состояния с помощью модифицированной функции распределения Гиббса:

р(ЬЕ,Т(к)) = схр

то<1/н- *

-Ъ Переход к новому состоянию; П = Н'Е = Е\ 1

Увеличение номера шага: к = к 4-1 .

Уменьшение параметра 7 : А') =

Ч*)'

Завершение процедуры поиска оптимальных значений И

Рис. 3.13. Структурная больцмановская схема алгоритма поиска оптимальных

параметров 5

Также предлагается модифицировать формулу для плотности вероятностных распределений следующим образом:

g* * T)=V2*1I '6XP

С I , 12 л

X Л

2T•I dj

^ mod, juz j

(3.42)

// • f

mod, fuz

Благодаря такой модификации в процессе поиска по схеме Больцмана оптимальных значений процентного содержания химических элементов в сплаве чугуна данный коэффициент способствует расширению области новой генерации точки для тех величин область поиска которых больше, то есть для более значимых легирующих элементов.

На рисунке 3.14 графически представлено приближение к оптимальному значению точек (xC), (хмп), £4 (xP), £5 (xs) для чугуна марки ЧХ1 (каждый 10-ый цикл). При поиске использовалась смоделированная схема Больцмана на основе алгоритма, показанного на рисунке 3.13. (T0 = 10, Tend = 0,4; количество полных циклов - 138082).

4.3 4.12 3.94 3.7G 3,58

3.4 3.22

3.04 2,86 2.68

2.5

С, X

Л 774" V •••••• * - • :

t-. .. * \ • • // * * « ; v

-Y.

• \ '■

t.f! <

К. •

ш vv

S" • :

! / ••• .

• - -

• " ....... »

-

г \

• -, : :.. ;

; * :

4 • •Î

: ••

• *

*•• ... е4

0.62 0.558 0,496 0.434 0.372 0.31 0,248 0.186 0.124 0.062

S. X

...

. г .

:

*

. j

«

-

■ ■ : г

; : ■ '. " Г • . ;

■ : •Л • -. « 1

• ■

Ч • • • ••*

Vv • % ••Ч

. ■ 1 й "x У'

■ ■:. Л* ц; m г: "г *

st и . \ \

рт Гг •j- /

0 од 18 0.16 0.24 0. )2 0,4 0.48 0,56 0,G4 0,72 0.

Р, X

1.3 1.44 1,58 1.72 1.86 2.00 2.14 2.28 2.42 2.56 2.7

Рис. 3.14. Изменение значений коэффициентов & (хс), £з (хмп), £4 (хр), £5 Х) в процессе стохастического поиска по больцмановской схеме На рисунке 3.15. графически представлено приближение к оптимальным значениям точек (хс), (хМп), (хр), Х) для чугуна марки ЧЮ30 (каждый 10-ый цикл). Использовалась схема Больцмана модификации А (Т0 = 10, Тепа = 0,35; количество полных циклов - 289994).

На рисунке 3.16. графически представлено приближение к оптимальным значениям точек £1 (хс), £3 (хмп), С4 (хр), С5 Х) для чугуна марки ЧХ22 (каждый 10-ый цикл). Использовалась схема Больцмана модификации Б (Т0 = 10, Тепс1 = 0,4).

Рис. 3.15. Изменение значений коэффициентов C1 (xC), С3 (xMn), С4 (xp), Cs (xS) в процессе стохастического поиска по больцмановской схеме модификации А

Рис. 3.16. Изменение значений коэффициентов C1 (xC), С3 (xMn), С4 (xP), Cs (xS) в процессе стохастического поиска по больцмановской схеме модификации Б На рисунке 3.17. представлена структурная схема алгоритма случайного поиска (simulated annealing) оптимальных параметров S по схеме Коши на основе функции распределения Гиббса, модифицированной по аналогии с алгоритмом на основе схемы Больцмана.

Рис. 3.17. Структурная схема Коши алгоритма поиска оптимальных параметров 5 Модификация формулы распределения Гиббса здесь также используется формула (3.50). Также предлагается модифицировать формулу для плотности вероятностных распределений Коши следующим образом:

1 T ■ I

if rri\ 1 mod, fuz

g (x; x, T )=-■—--2--, (3.43)

я xx + (T ■ I df ) V 7

mod, fuz

В данной модификации в процессе поиска по схеме Коши оптимальных значений процентного содержания химических элементов в сплаве чугуна данный коэффициент Imoffuz способствует расширению области новой генерации точки для тех величин область поиска которых больше, то есть для более значимых легирующих элементов.

На рисунке 3.18. графически представлено приближение к оптимальным значениям точек (xc), £3 (xMn), £4 (xP), £5 (xS) для чугуна марки ЧЮ30 (каждый 10-ый цикл). При поиске использовалась смоделированная схема Коши на основе алгоритма, показанного на рисунке 3.17 (T0 = 80, Tend = 0,18; количество полных циклов - 124042).

р. %

и.1 0.22 0.34 0.46 0.58 0.7 0.82 0.Э4 1.06 1.18 1.3 0 0.054 0.108 0.162 0.216 0.27 0.324 0.378 0.432 0.486 0.54

Рис. 3.18. Изменение значений коэффициентов £1 (хс), £3 (хМп), £4 (хр), £5 (хз) в процессе стохастического поиска по схеме Коши На рисунке 3.19. графически представлено приближение к оптимальным значениям точек коэффициентов £1 (хс), £3 (хМп), £4 (хр), £5 (хз) для чугуна марки ЧЮ30 (каждый 10-ый цикл). При поиске использовалась смоделированная схема Коши модификации А на основе алгоритма, показанного на рисунке 3.17 (Т0 = 70, ТепС = 0,14; количество полных циклов - 113456).

Рис. 3.19. Изменение значений коэффициентов £2 (хс), £3 (хМп), £4 (хр), £5 (х5) в процессе стохастического поиска по схеме Коши модификации А На рисунке 3.20. графически представлено приближение к оптимальным значениям точек коэффициентов £2 (хс), £3 (хМп), £4 (хр), £5 (х^) для чугуна марки ЧХ22 (каждый 10-ый цикл). Использовалась схема Коши модификации Б (Т0 = 80, Тепа = 0,15; количество полных циклов - 105172).

Рис. 3.20. Изменение значений коэффициентов £2 (хс), £3 (хМп), £4 (хр), £5 (х5) в процессе стохастического поиска по схеме Коши модификации Б

106 Выводы

1. Алгоритмы стохастического поиска на основе метода имитации отжига являются наиболее приемлемым для прикладных исследований, поскольку допускает варианты соотношений между точностью вычислений и скоростью сходимости стохастического поиска.

2. На основе анализа существующих вариантов организации метода случайного поиска simulated annealing наиболее приемлемыми для поиска оптимальных значений коэффициентов характеристических диаграмм признаны модификации алгоритмов Больцмана и Коши.

3. Определенная аналитическая зависимость для коэффициента модификации функции распределения Гиббса, позволяет сократить количество итераций в схемах поиска и уменьшить время на принятие решений в системе управления процессом формирования химического состава чугунных сплавов.

4. Модифицированы алгоритмы и методы стохастического поиска оптимальных значений параметров математической модели исследуемых объектов, отличающиеся функцией распределения при переходе точки поиска в новое состояние, и позволяющие снижать временные затраты на вычисления.

5. Для схем Больцмана и Коши алгоритмов случайного поиска предложены способы модификации функций, задающей плотности вероятностных распределений, что способствует расширению области новой генерации точки для тех оптимизируемых величин, границы области поиска которых шире, то есть для более значимых легирующих элементов в сплаве.

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СХОДИМОСТИ И ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА В КОНЕЧНОМ АВТОМАТЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ НЕЧЁТКОЙ ЛОГИКИ

4.1. Структура нечёткой системы логического вывода

Методы нечеткой логики использованы при построении алгоритмов принятия решений в функционале ffuz (рис. 2.6),который осуществляет фаззификацию данных, - характеристики, которым должен удовлетворять сплав. Функционалом также осуществляется дефаззификация, - вычисление на основе композиционных правил границ областей поиска оптимальных значений содержания химических элементов в составе сплава [42].

Основу нечеткой системы логического вывода в функционале ffuz составляет база правил с несколькими переменными:

IF x1 = a1, AND x2 = a2, ... AND x8 = a8, AND y1 = b1, ... AND y19 = b19, THEN z1 = c1 AND z2 = c2 ... AND z13 = c13.

Количество правил в базе может варьироваться. Значения величин ai, b, ci, di для каждого правила задаются на основе анализа информации о влиянии отдельных химических элементов на свойства сплава, а также с учетом данных химического состава отливок из чугуна определенных марок из соответствующих областей применения (по ГОСТ 7769-82). Формирование новых правил осуществляется функционалом frb, на основе информации, полученной после исследования структуры и свойств сплава с вновь сформированным химическим составом [42].

Начальной (входной) информацией системы управления является марка чугуна, химический состав которого предполагается оптимизировать и вектор значений содержания легирующих элементов чугунного сплава g. Дефаззификация выходных данных функционала осуществляется на основе алгоритма агрегации выходов правил. Такой алгоритм может осуществлять логический вывод, состоящий из нескольких этапов, а в качестве операторов агрегации могут использо-

ваться нормы максимума, минимума и различные виды импликаций (Мамдани, Ларсена и др.) [42, 65].

Результат работы функционала / является вектор значений, задающий границы для стохастического поиска оптимальных значений процентного содержания каждого легирующего элемента в сплаве чугуна. Количество легирующих элементов, содержание которых оптимизируется на определенной стадии процесса принятия решений может варьироваться. На рисунке 4.1 представлен пример диаграмм, построенных на основе значений выходного вектора Вге8 [42] функционала /^г для различных типов сплавов чугуна.

а) б)

Рис. 4.1 Диаграммы, построенные на основе значений выходного вектора функционала ffuz для чугунных сплавов марки ЧХ1 (а) и ЧН20Д2Ш (б) Значения границ стохастического поиска для каждого легирующего элемента сплава являют собой вектор входящей информации для функционала fas (рис. 2.6). Оптимизация значений, определяющих содержание элементов в сплаве, осуществляется посредством методов стохастической оптимизации в многомерном пространстве. В основе метода лежат алгоритмы имитации отжига, модифицированные с учётом количества оптимизируемых переменных [42, 45, 63].

Функционал ffuz также осуществляет анализ структуры чугуна на основе данных о температурных параметрах термической обработки сплава. Температурными параметрами здесь считаются координаты расчётного графика термообработки сплава (рис. 4.2). Выходная информация работы функционала используется функционалом frb для формирования новых правил в базе.

Рис. 4.2. Расчётный график термообработки сплава чугуна Функционал /тос1 реализует вычислительные эксперименты для оценки соответствия сплава чугуна с вновь сформированным химическим составом критериям и заданным требованиям. Результат работы данного функционала определяет следующее состояние системы [42].

В функционале реализован алгоритм, решающий задачу нахождения значений с1, ..., с13 переменных г1, ..., 113 при условии, что переменные х1, ..., х8 принимают значения а1, ..., а8, и переменные у1, ..., у19 принимают значения Ь1, ..., Ь19.

Таким образом, систему, содержащую N базовых правил, можно задать матрицами вида ЛеЯ , БеЯ и Се Д . Матрица Л содержит информацию о свойствах отливок из чугуна, матрица Б содержит информацию о возможной области применения отливки. Матрица С будет являться базовой для осуществления агрегации выхода с помощью выбранного оператора агрегации [42, 92].

Числа в матрицах Л, Б и С задаются на основании анализа данных о связи между химическим элементом и его влиянием на прочностные и физические свойства сплава. Начальный анализ такой связи и построение базовых прави можно провести с использованием данных о чугунах разных марок, представленных в таблицах ГОСТ 7769-82. Фаззификация входных данных заключается в представлении данных о свойствах чугунного сплава в виде двух векторов 8Л = {^а1, ..., sa8}, Бб = {^Ь1, ..., sЬ19}, каждый элемент которых принадлежит отрезку [0; 1]. Вектор БЛ содержит информацию о степени значимости отдельного физиче-

ского свойства для отливок из чугуна, вектор SB содержит информацию о вероятности применения отливок из чугуна в той или иной области. Идентификация элементов векторов SA и SB представлена в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Идентификация элементов векторов входной информации сис-

темы логического вывода

Элемент Идентификация элемента

Элементы вектора SA

sa1 Жаростойкость

sa2 Высокопрочность

sa3 Коррозийностойкость

sa4 Коррозийностойкость в жидкой среде

sa5 Коррозийностойкость в газовой среде

sa6 Износостойкость при высоких температурах

sa7 Стойкость в цинковом расплаве

sa8 Хладостойкость

Элементы вектора Sв

sb1 Трубы и трубопроводы

sb2 Колосники и балки агломерационных машин

Sb3 Детали коксохимического оборудования

Sb4 Детали газотурбинных двигателей и компрессоров

Sb5 Детали контактных аппаратов химического оборудования

Sb6 Мелющие детали рудоразмольных мельниц и ковши пескомётов

sb7 Детали цементных печей

Sb8 Детали аппаратуры для концентрированной азотной и фосфорной кислот

Sb9 Детали печей обжига колчедана

sb10 Сопряжённые детали пар трения, работающие в цинковом растворе

Sb11 Детали пароперегревателей котлов, плиты термических печей

Sb12 Фасонные детали для трубопроводной арматуры

sb13 Пресс-формы для стекольных изделий, ролики чистовых клетей

sb14 Детали, работающие при температуре до 1073К

Sb15 Немагнитные детали, сопряжённые трущиеся детали

sb16 Маслоты поршневых компрессорных и маслосъёмных колец

Sb17 Поршни и гильзы цилиндров паровых машин, тепловозных двигателей

sb18 Различные типы зубчатых колёс, валы бумагоделательных машин

sb19 Фланцы изоляторов, зажимы труб

Анализ данных, приведенных в таблицах 1-3 ГОСТ 7769-82, позволил оце-

нить влияние легирующих элементов в составе сплавов чугунов различных марок на повышение отдельных физико-механических свойств (таблица 4.2).

Таблица 4.2. Влияние основных легирующих элементов на повышение

свойств сплавов

Параметр Легирующие элементы

С 81 Ми р 8 Сг N1 Си V Мо Т1 А1 ме

Т - - - - г т - - - - ж -

т т - - - г т т - Г - - Г

8аЗ - т - - - т - - - - - - -

За>1 - т - - - - - - - г - - -

8а5 т - - - т г т т - г т - -

8а6 т - т - - т - - т - - т -

8а7 - т - т - т - - - - - - -

5!а8 т - - - - - т т - - - т -

Оценка влияния легирующих элементов в сплавах чугуна для отливок в отдельных областях применения представлена в таблице 4.3.

Таблица 4.3. Оценка влияния легирующих элементов

Параметр Легирующие элементы

С 51 Мп р 8 Сг N1 Си V Мо 11 А1 Mg

Г т 1 т т - - т - - - -

$Ъ2 Г т - - - - - - - - т -

$ЪЗ г т 1 т т - - - - - - -

$Ъ4 г т 1 т - - - - - - - -

$Ъ5 г т 1 - - 1 - - - - - - -

$Ъ6 - - - - - 1 т 1 - т - - -

$Ъ7 - т 1 т т 1 - - - - т - -

$Ъ8 - - - - т - - - - 1 - -

$Ъ9 г т - т - - - - - 1 т -

$ыо - - - т - - - - - - - г

$Ы1 г т т -

$Ы2 г т 1 - - - 1 - т - т -

$ыз г т 1 - - - - - - - т -

$Ы4 - т - - - т - - - - т -

$Ы5 г - 1 - - т 1 - - - - -

$Ы6 - - - 1 - т - - - т - -

$Ы7 г - - - - т 1 - т - - -

$Ы8 г - - - - т 1 - т - - г

$Ы9 - - 1 - т - 1 - - - - - -

В таблицах 4.2 и 4.3 символ «|» обозначает необходимость присутствия легирующего элемента в сплаве чугуна для выполнения требований к физико-механическим характеристикам сплава. На основе этих данных предлагаются следующие значения матриц А, В и С:

1 0,?5 0,5 0,2 0 0 0 0 >

0,9 1 0,7 0,4 0,2 0 0 0

0,7 0,8 1 0,5 0,4 0,2 0 0

0,5 0,7 1 0,8 0,5 0,4 0,2 0

0,2 0,4 0,7 1 0,8 0,5 0,4 0,2

0 0,2 0,4 0,7 0,9 1 0,7 0,5

0 0 0,2 0,4 0,7 0,9 1 0,8

0 0 0,25 0,35 0,6 0,8 1 0,8

0 0 0 0,2 0,4 0,6 0,7 1

0 0 0 0 0,2 0,5 0,75 1

1 0,8 0,5 0,1 0 0,5 0,8 1

1 0,75 0,4 0 0 0,4 0,75 1

0 0 0 0,9 0,4 0 0 0

0 0 0 0,4 0,9 0 0 0

1 0,7 0,3 0,1 0 0 0 0

0,9 1 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

0,7 0,8 0,9 1 0,8 0,6 0,5 0,4

0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0

0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,6 0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,4 0,6 0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2j

в =

1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,62 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,1 0

0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,1

0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2

0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25

0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3

0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35

0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4

0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45

0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5

0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 ,75 0,7 0,65 0,6 0,55

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6

0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 ,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65

0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7

0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85 0,8

0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9 0,85

0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95 0,9

0,1 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,95

0 0,1 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4

В матрице A представлены 23 строки, в которых варьируются возможные варианты значений для вектора SA = {sa1, ..., sa8}. В матрице B представлены 23 строки, в которых варьируются возможные варианты значений для вектора SB = {sb1,

..., sb19}.

Матрица C содержит 23 строки соответствующих нечетких логических выходов:

с =

' 0,9 0,4 0,2 0,3 0,5 0,1 0 0 0 0 0 0 0 1

0,8 0,1 0,3 0,1 0,2 1 0 0 1 0 0,9 0 0,1

0,4 1 0,1 0,1 0,2 0 0 0 0 1 0 0,1 0

0,9 0,3 0,1 0,08 0,2 0,01 0,3 0,4 0 0,3 0 0 0,1

0,5 0,3 0,3 0,2 0,05 0 0 0 0 0 0,1 1 0,2

0,6 0,4 0,1 0,9 0,1 1 0 0 0 0 0 0 0

0,6 0,7 0,2 0,08 0,05 0,3 1 0,5 0 0 0 0,1 0

0,8 0,6 1 0,5 0,3 0 0,4 0,6 0 0 0 0,3 0,1

1 0,8 0,2 0,1 0,08 0,1 0 0 0 0 0 0,2 0,2

0,8 0,7 0,3 0,1 0,09 0,2 1 0 0 0 0 0 0

0,8 0,6 0,2 0,1 0,1 0,2 0,8 0 0 0 0 0 0,1

0,7 0,7 0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0 0 0,2 0 0 0

0,1 0,1 0,1 0,05 0,1 0 0 0 0 0 0,1 1 0

0,9 0,8 0,2 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0 0,1 0

0,8 0,6 0,3 0,6 0,3 0,1 0,2 0 0 0 0,2 0 0

0,75 0,5 0,3 0,5 0,2 0,1 0,2 0 0 0 0,1 0 0

0,2 0,9 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 1 0 0 0,1

0,3 0,2 0,1 0,1 0,08 0,1 0,1 0,1 0 0,2 0 0 0

0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0 0,1 0,95 0,2

0,5 0,2 0,1 0,7 0,08 1 0 0 0 0 0 0 0,1

0,6 0,8 0,4 0,05 0,05 0,2 1 0,3 0 0 0 0,1 0

0,6 0,3 1 0,1 0,1 0 0,2 0,5 0 0 0 0,2 0

0,8 0,5 0,1 0,05 0,15 0,1 0 0 0 0 0 0,1 0

0,5 0,3 0,3 0,1 0,1 1 0,3 0,3 0 0 0 0 0,1

0,2 0,85 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,9 0 0 0

V 0,5 0,2 0,2 0,15 0,3 0,1 0,3 0,3 0 0,3 0 0 0,1,

В сокращенном виде матрицы имеют вид:

а =

Г1 0,75 0,5 0,2 0 0 0 0 > Г 1 0,95 0,8 0,2 0,1 0 1

0,9 1 0,7 0,4 0,2 0 0 0 0,95 1 0,95 0,25 0,2 0,1

0,7 0,8 1 0,5 0,4 0,2 0 0 , в = 0,9 0,95 1 0,3 0,25 0,2

0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,6 0,7 0,8 0,5 0,6 0,7

0,6 0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,5 0,6 0,7 0,3 0,4 0,5

V 0,4 0,6 0,8 1 0,8 0,6 0,4 0,2у V 0,4 0,5 0,6 0,2 0,3 0,4 ,

' 0,9 0,4 0,2 0,3 0,5 0,1 0 0 0 0 0 0 0 ^

0,8 0,1 0,3 0,1 0,2 1 0 0 1 0 0,9 0 0,1

0,4 1 0,1 0,1 0,2 0 0 0 0 1 0 0,1 0

с =

0,5 0,3 0,3 0,1 0,1 1 0,3 0,3 0 0 0 0 0,1

0,2 0,85 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0,9 0 0 0

V 0,5 0,2 0,2 0,15 0,3 0,1 0,3 0,3 0 0,3 0 0 01

(4.1)

Необходимую начальную информацию для системы принятия решений при формировании химического состава сплавов чугуна с высокими физико-механическими характеристиками содержит вектор geRn g2, <?«)• Здесь п -количество легирующих элементов в сплаве, процентное содержание которых необходимо оптимизировать с учётом предъявляемых к сплаву требований.

Дефаззификация информации, содержащейся в векторах БА = (£а1, ..., $а8] и Бв = (^ъи ..., sъ19} осуществляется через созданный алгоритм агрегации. В алгоритме агрегации используется Б-норма [42]. Логический вывод результата осуществляется в три этапа. На первом этапе используется функция тт(тах(), тах(), ..., тах()}: для каждого I = 1 ... N (Ы - количество правил) рассчитываются значения переменной аг-:

т^тр^а^ А,1)} ^

а = mm <

max{imp(sa 8S At 8 )} max {imp (sb1,

• • • 3

max{imp(sbi9, В ,19)}

(4.2)

В алгоритме вывода используется импликация (imp) Мамдани (x^y=min{x, y}) когда выполняется условие |y-x|<0,5; в случае, если выполняется условие |y-x|>0,5 используется импликация Ларсена (x^y=xy). предусмотрен выбор одного из двух видов импликаций.

На втором этапе рассчитываются значения вектора результатов Bres = {r1, r 2, ..., r n}eRn на основе следующего композиционного правила:

В

max

min{Cu,a },

{C2,1 , а2},

min

min

in{N1,aN }

max

min{C12, а1},

{ 2,2 , а2 },

min

min{CN,2,aN }

max

min{CU13,a1},

{2,13 , а2 },