Классы максимальных подгрупп в конечных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Скресанов Савелий Вячеславович

• Скресанов Савелий Вячеславович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Скресанов Савелий Вячеславович

1.5 Автоморфизмы графов ранга

1.6 Контрпример к гипотезе Пономаренко

Глава 2. Подгруппы наименьшего индекса

2.1 Теорема Берковича

2.2 Алгоритмы на конечных группах

2.3 Доказательство теоремы

2.4 Доказательство теоремы

Глава 3. Теорема Виланда—Хартли

3.1 Предварительные сведения

3.2 Доказательство теоремы

3.3 Доказательство следствия

Заключение

Приложение

Список условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классы максимальных подгрупп в конечных группах»

Введение

Постановка задачи и актуальность темы исследования

Изучение максимальных подгрупп является одной из центральных тем теории конечных групп, а такие результаты, как теорема О'Нэна-Скотта и теорема Ашбахера, описывающие максимальные подгруппы в симметрических и линейных группах, соответственно, находят свои приложения при изучении вопросов, максимальных подгрупп напрямую не касающихся. Данная диссертация тоже посвящена изучению максимальных подгрупп, однако, понятие максимальности трактуется более широко: рассматриваются максимальные подгруппы, сохраняющие некоторые комбинаторные объекты, подгруппы, максимальные по порядку, и также подгруппы, максимальные в некоторых классах.

Первая тема, рассматриваемая в диссертации, касается связи между группами подстановок и комбинаторными объектами. Напомним, что конечная группа подстановок С на множестве О действует естественным образом на множестве га-кортежей От, а орбита группы С на этом множестве называется га-орбитой. Максимальную группу подстановок на О, имеющую такие же га-орбиты, что и С, будем называть га-замыканием группы С и обозначать С(т). Если смотреть на совокупность га-орбит данной группы как на некоторую комбинаторную структуру, то га-замыкание будет соответствовать максимальной группе подстановок, сохраняющей эту структуру.

Понятие га-замыкания было введено Х. Виландом в [62] и было использовано им в качестве инструмента изучения групп подстановок, см., например, приложение 2-замыкания к оценке порядка унипримитивных групп [62, § 8]. Новую жизнь в теорию га-замыканий вдохнула обнаружившаяся связь с проблемой изоморфизма графов. Напомним, что в теории сложности вычислений проблемой изоморфизма графов называется проблема распознавания изоморфизма двух графов, заданных своими матрицами смежности. Не известно, решаема ли

эта проблема за полиномиальное время, а лучший на данный момент алгоритм для проблемы изоморфизма является квазиполиномиальным [14]. Естественно попробовать рассмотреть более слабые аналоги проблемы изоморфизма, и одним из таких аналогов является алгоритмическая проблема т-замыкания: по заданной группе подстановок вычислить её m-замыкание. Другими словами нас интересует вопрос, если известно достаточно много автоморфизмов комбинаторного объекта, легко ли найти остальные автоморфизмы?

Нетрудно показать, что алгоритмическая проблема m-замыкания сводится к проблеме изоморфизма графов и, таким образом, не сложнее этой проблемы. Однако, в общей постановке эта задача оказалась нетривиальной. Естественным направлением исследований явилось изучение m-замыканий групп из определённых классов, так, в работе С.А. Евдокимова и И.Н. Пономаренко [27] был построен полиномиальный алгоритм вычисления 2-замыкания группы подстановок нечётного порядка — стоит отметить, что алгоритм опирался на тот факт, что 2-замыкание группы нечётного порядка снова будет группой нечётного порядка. В работе И.Н. Пономаренко [50] было показано, что 2-замыкание нильпотентной группы будет группой разрешимой, а в [24] И.Н. Пономарен-ко и Д.В. Чуриков установили, что 2-замыкание нильпотентной группы снова нильпотентно. Нельзя не упомянуть работу А.В. Васильева и И.Н. Пономаренко [49], в которой было получено ограничение на композиционные факторы 2-замыкания сверхразрешимой группы, а также работу Э.А. О'Брайена, А.В. Васильева, Е.П. Вдовина и И.Н. Пономаренко [57], показывающую, что 3-замыкание разрешимой группы снова разрешимо. Во всех перечисленных случаях, полученные ограничения на замыкания позволили сконструировать искомый полиномиальный алгоритм.

Помимо структурных ограничений на группы подстановок, можно рассматривать и свойства m-орбит. Например, в работе А.В. Васильева и Д.В. Чурикова [4] был построен полиномиальный алгоритм вычисления 2-замыкания 3-транзитивных групп подстановок (напомним, что транзитивная группа подстановок G множества Q называется |-транзитивной, если орбиты стабилизатора точки Ga на Q \ {а} имеют один размер). Другим естественным параметром является ранг, т.е. количество 2-орбит. Так как проблема нахождения 2-замыкания группы ранга 2 тривиальна (2-замыкание такой группы совпада-

ет со всей симметрической группой), первым нетривиальным случаем является класс групп подстановок ранга 3. Таким образом, естественно сформулировать следующую проблему.

Проблема 1. Описать 2-замыкания групп подстановок ранга 3.

Классификация групп ранга 3 была получена в серии работ Э. Баннаи [16], В.М. Кантора и Р.А. Либлера [39], М. Либека и Я. Саксла [44], и окончательно завершена в 1987 г. в статье М. Либека [41]. Несмотря на это, вопрос о 2-замыканиях групп ранга 3 оставался открытым. Во многом это связано с тем, что полученная классификация характеризует минимальные группы ранга 3 и фокусируется на их теоретико-групповом строении, а не на строении соответствующих 2-орбит. Так как внедиагональная 2-орбита группы ранга 3 чётного порядка является сильно регулярным графом, а 2-замыкание такой группы будет полной группой автоморфизмов соответствующего графа, проблема 1 также включает в себя и проблему описания групп автоморфизмов всех графов ранга 3. Решению указанных проблем и посвящена первая часть данной диссертации.

В первой части также рассматривается вопрос 19.67 из «Коуровской тетради» [58], поставленный И.Н. Пономаренко: верно ли, что 2-замыкание разрешимой группы подстановок имеет только циклические и знакопеременные композиционные факторы? В заключительном параграфе первой главы даётся отрицательный ответ на этот вопрос, причём полученная бесконечная серия контрпримеров базируется на соответствующем примере в ранге 3.

Второй темой, рассматриваемой в диссертации, является изучение максимальных подгрупп наибольшего порядка или, эквивалентно, собственных подгрупп наименьшего индекса. Мотивацией снова явилась проблема изоморфизма графов.

Известно, что проблема изоморфизма графов эквивалентна проблеме вычисления полной группы автоморфизмов графа [45], и довольно естественно рассмотреть близкие вычислительные проблемы, связанные с графами и группами. В работе [26] С. Дутта и П.П. Курур предложили так называемую проблему представимости группы на графе: по данной конечной группе С и графу Г требуется определить, существует ли нетривиальный гомоморфизм из С в Аи^Г)? Оказалось, что данная проблема в общем случае не проще проблемы

изоморфизма графов, а именно, последняя проблема сводится к проблеме представимости циклических групп.

В той же работе было предложено ограничить класс графов и рассмотреть проблему представимости группы на (конечном) дереве, где группа задаётся таблицей умножения, а дерево — списком рёбер. Не сложно показать, что эту проблему можно свести к вычислению наименьшего возможного индекса собственной подгруппы данной группы, так что естественно сформулировать следующую проблему.

Проблема 2. Построить полиномиальный алгоритм вычисления подгруппы наименьшего индекса для группы, заданной таблицей умножения.

Стоит отметить, что в [26] С. Дутта и П.П. Курур предположили, что проблема представимости группы на дереве не решается за полиномиальное время. Во второй части данной диссертации мы решим проблему 2 даже в более общей постановке, и, таким образом, решим проблему представимости группы на дереве за полиномиальное время.

Третий результат, представленный в данной диссертации, касается изучения максимальных Х-подгрупп для полных классов Х. Напомним, что класс конечных групп X называется полным, если он замкнут относительно взятия прямых произведений, гомоморфных образов и расширений (например, полным является класс разрешимых групп и класс р-групп для фиксированного простого числа р). Группа, принадлежащая классу X также называется Х-группой, а максимальной Х-подгруппой некоторой группы называется максимальная по включению Х-подгруппа.

Хорошо известно, что изучение подгрупп данной группы зачастую можно свести к изучению максимальных подгрупп, например, строение р-подгрупп часто определяется структурой максимальных р-подгрупп (т.е. силовских р-подгрупп). В общем случае, описать максимальные Х-подгруппы становится затруднительно. Так, известны обобщения теорем Силова на случай ^-подгрупп в разрешимых группах (см. работы Ф. Холла [32] и С.А. Чунихина [10]), но для произвольных групп и классов Х подобное описание едва ли возможно.

Закономерным подходом для решения этой проблемы является попытка свести описание максимальных Х-подгрупп данной группы к соответствующей задаче в фактор-группах и нормальных подгруппах, по сути дела, редуцируя

исходную проблему к вопросам о композиционных факторах. По аналогии со свойствами силовских подгрупп, можно сформулировать следующие два утверждения, которые были бы полезны при индукционных рассуждениях: пусть С — конечная группа, Н — максимальная Х-подгруппа в С, и А — нормальная подгруппа в С; тогда

(1) НА/А — максимальная Х-подгруппа в С/А, и (п) Н П А — максимальная Х-подгруппа в Н.

В [60, (14.2) и с. 27] Х. Виланд показал, что свойства (1) и (п) не выполняются для некоторых полных классов. Несмотря на это, можно предложить аналог свойства (п), который будет верен для произвольного полного класса X, а именно, верна следующая

Теорема (Теорема Виланда-Хартли для нормальных подгрупп) Пусть С — конечная группа, а X — полный класс. Если А нормальна в С, и Н — максимальная Х-подгруппа в С, то Ыа(НПА)/(НП А) не содержит нетривиальных Х-подгрупп.

Это утверждение было независимо доказано Х. Виландом в 1963-64 гг. (см. [60, предложение 13.2]) и Б. Хартли в 1972 г. (см. [33, леммы 2 и 3]). Стоит отметить, что схожий результат был получен Л.А. Шеметковым [11], и что также частные случаи упомянутой теоремы были переоткрыты в работах [64] и [43].

Теорема Виланда-Хартли для нормальных подгрупп стала прекурсором к введению Х. Виландом следующего понятия [60, определение 15.1], обобщающего понятие максимальных Х-подгрупп. Будем говорить, что Н — субмаксимальная (в сильном смысле) Х-подгруппа группы С, если С можно вложить в некоторую конечную группу С* так, что С нормальна в С*, а Н является пересечением С и некоторой максимальной Х-подгруппы в С* .В этой терминологии теорему Виланда-Хартли можно переформулировать следующим образом: для любой субмаксимальной в сильном смысле Х-подгруппы Н группы С, факторгруппа Ыс^Н)/Н не содержит нетривиальных Х-подгрупп.

Пятнадцать лет спустя, на конференции в Санта-Круз [61] Х. Виланд выдвинул программу по изучению максимальных Х-подгрупп посредством изуче-

ния проекций на факторы композиционного ряда группы. Центральной в данном подходе стала концепция субмаксимальной Х-подгруппы, однако, несколько модифицированная: будем говорить, что Н — субмаксимальная Х-подгруппа группы С, если С можно вложить в некоторую конечную группу С* так, что С субнормальна в С*, а Н является пересечением С и некоторой максимальной Х-подгруппы в С*. Множество субмаксимальных Х-подгрупп в С будем обозначать через вшХ(С).

Ясно, что новое определение субмаксимальности включает в себя старое («субмаксимальность в сильном смысле»), но главным отличием является то, что из нового определения непосредственно вытекает следующее индукционное свойство:

если Н е яшХ(С) и N<<С, то Н П N е 8шХ(Ж).

Естественным следующим шагом является обобщение теоремы Виланда-Харт-ли на случай субмаксимальных подгрупп, и соответствующий результат был анонсирован Х. Виландом в [61, 5.4(а)]:

Теорема (Теорема Виланда-Хартли для субмаксимальных Х-подгрупп) Пусть С — конечная группа, а Х — полный класс. Если Н е 8шХ(С), то Ыс(Н)/Н не содержит нетривиальных Х-подгрупп.

Доказательство этого обобщения так и не было опубликовано Х. Вилан-дом. Вообще говоря, хотя определения субмаксимальности данные в [60] и [61] формально отличаются, возможно, что на практике эти понятия совпадают, и доказывать теорему Виланда-Хартли для субмаксимальных (в новом смысле) подгрупп не требуется. Как было показано в [66, предложение 1], это не так, и существуют примеры групп, для которых класс субмаксимальных в сильном смысле подгрупп строго уже класса субмаксимальных подгрупп в смысле работы [61].

Таким образом, отсутствие доказательства обобщения теоремы Виланда-Хартли оставило некоторый пробел в теории максимальных Х-подгрупп и препятствовало полноценной реализации программы Х. Виланда. Заполнению этого пробела и посвящена последняя проблема, рассматриваемая в диссертации.

Проблема 3. Дать доказательство теоремы Виланда-Хартли для субмаксимальных Х-подгрупп.

Степень разработанности темы и цели исследования

Как было уже сказано, классификация групп ранга 3 была закончена в работе [41]. Ш.Е. Прэгер и Я. Саксл установили связь между цоколем группы и её га-замыкания (см. [51]), что, по сути дела, свело проблему 1 к случаю аффинных групп подстановок. В недавней книге А.Е. Броуэра и Х. ван Мальдегема [20] была предпринята попытка описать графы ранга 3 как частные случаи некоторых бесконечных серий сильно регулярных графов, а в статье [46] М. Музычуком было получено описание одномерных аффинных графов ранга 3. Таким образом к началу исследования появилось достаточно явное описание аффинных графов ранга 3, что и дало возможность получить описание соответствующих 2-замыканий.

Хотя подгруппы наименьшего индекса и изучались ранее, исследование проводилось вне контекста теории сложности. В работе [1] Я.Г. Берковича был получен критерий простоты группы в терминах подгрупп наименьшего индекса, а в серии работ Б.Н. Куперстейна [25], П.Б. Кляйдмана и М. Либека [40], В.Д. Мазурова [8; 9] и А.В. Васильева [2] были описаны минимальные подстановочные представления простых групп. Одной из целей диссертации является приложение этих классических результатов к проблеме представимости группы на дереве и решение проблемы 2.

Изучение максимальных Х-подгрупп восходит к фундаментальным работам Ф. Холла и С.А. Чунихина [10; 32]. Х. Виландом были получены обоще-ния известных результатов на случай произвольного полного класса, также им была предложена техника субмаксимальных Х-подгрупп. В работе Л.А. Ше-меткова [12] был сделан первый шаг к решению проблемы 3, и был доказан некоторый частный случай теоремы Виланда-Хартли для субмаксимальных подгрупп. Впоследствии это доказательство было обобщено В. Го и Д.О. Реви-ным [5], которые также получили и описание субмаксимальных Х-подгрупп в прямых произведениях простых групп. В диссертации проблема 3 решается в общей постановке, и полученное доказательство опирается на вышеупомянутые результаты.

Основные результаты диссертации

1. Описаны 2-замыкания всех групп подстановок ранга 3 достаточно большой степени.

2. Доказано, что для группы, заданной таблицей умножения, подгруппу наименьшего индекса можно вычислить за полиномиальное время.

3. Доказано, что для произвольного полного класса групп Х и субмаксимальной Х-подгруппы Н группы С фактор-группа Ыс(Н)/Н не содержит нетривиальных Х-подгрупп.

Методы исследования

Доказательства всех основных результатов используют классификацию конечных простых групп. Изучение групп ранга 3 базируется на известной теореме О'Нэна-Скотта о строении примитивных групп подстановок и на классификации аффинных групп ранга 3 [41]. Для различения графов ранга 3 используются арифметические условия на подстепени, в частности, ограничения, полученные в [29] для аффинных одномерных групп. При вычислении 2-замыканий привлекаются как и хорошо известные результаты из теории групп подстановок, так и описания групп автоморфизмов сильно регулярных графов [19; 54]. Для нахождения группы автоморфизмов аффинного полуспинор-ного графа используется описание параболических подгрупп в исключительных группах.

Работа с подгруппами наименьшего индекса ведётся при помощи теоремы Берковича [1] и хорошо известного инструментария полиномиальных алгоритмов для групп подстановок [55].

При изучении субмаксимальных Х-подгрупп используются классические результаты о субнормальных подгруппах, и также специализированные результаты об Х-отделимых подгруппах [60] и субмаксимальных Х-подгруппах [5].

Научная новизна и значимость работы

Работа носит теоретический характер. Все полученные результаты являются новыми (теорема 5 была анонсирована Х. Виландом, однако доказательство так и не было опубликовано). Теорема 1 даёт первое достаточно полное описание 2-замыканий групп ранга 3. Построена бесконечная серия разрешимых групп, в 2-замыкании которых есть композиционный фактор, отличный от циклического или знакопеременного (см. [58, вопрос 19.67]). Следствие из теоремы 3 даёт отрицательный ответ на вопрос С. Дутты и П.П. Курура [26].

Теорема 5 используется в [53] при изучении поведения субмаксимальных X-подгрупп при действии гомоморфизмов с X-сепарабельным ядром.

Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в области теории сложности, комбинаторики и теории групп, в особенности при изучении вопросов, связанных с группами подстановок и субмаксимальными подгруппами, а также могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [65—68] в журналах, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [66] получены в соавторстве с А.В. Васильевым и Д.О. Ревиным, которым принадлежит формулировка задачи и доказательство различия между разными определениями субмаксимальности, в то время как автором было получено доказательство теоремы Виланда-Хартли для субмаксимальных подгрупп (третий основной результат).

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на конференции «Symmetry vs. Regularity» (Пльзень, Чехия, 2018), молодёжной школе-конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (Новосибирск, 2018), конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2019), воркшопе «Algebraic graph theory and its applications» (Новосибирск, 2020), на 8-ом европейском конгрессе математиков (Порторож, Словения, 2021), а также обсуждались на общеинститутском математическом семинаре Института математики им. С.Л. Соболева, семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» Института математики и Новосибирского государственного университета.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.В. Васильеву за помощь и поддержку в учебной и научной деятельности, а также всему коллективу лаборатории алгебры ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики ММФ НГУ за творческую атмосферу, в которой была выполнена эта работа.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения, списка условных обозначений и списка литературы. Она изложена на 65 страницах, включает 8 таблиц и 1 рисунок. Главы диссертации подразделены на параграфы. Основные результаты глав сформулированы в виде теорем и имеют сквозную нумерацию. Вспомогательные утверждения (леммы, предложения) имеют тройную нумерацию: первая цифра обозначает номер главы, вторая — номер параграфа в главе, а третья — номер утверждения в текущем параграфе. Список литературы содержит 68 наименований, работы автора по теме диссертации приведены отдельным списком. Табличные сведения собраны в приложении к диссертации, а использующиеся нестандартные обозначения даны в списке условных обозначений в порядке первого упоминания в тексте.

Глава 1 2-Замыкание групп ранга 3

Данная глава посвящена описанию 2-замыканий групп подстановок ранга 3. Напомним, что 2-орбитой группы подстановок С < 8уш(О) называется её орбита на множестве пар О х О в индуцированном действии; ранг группы есть количество её 2-орбит. Наибольшая группа подстановок на О, имеющая те же 2-орбиты, что и С, называется 2-замыканием группы С и обозначается С(2).

Основным результатом является следующее описание 2-замыканий групп ранга 3.

Теорема 1. Пусть С — группа подстановок ранга 3 на множестве О. Тогда либо С — одна из групп из таблицы 8, либо верно в точности одно из следующих утверждений.

(1) С импримитивна, т.е. сохраняет нетривиальное разложение вида О = А х X. Тогда С(2) = 8уш(Д) ? 8уш(Х}.

(п) С примитивна и сохраняет нетривиальное разложение вида О = А2. Тогда С(2) = 8уш(Д) | Вуш(2).

(ш) С примитивна и почти проста с цоколем Ь, т.е. Ь < С < Ли^Ь). Тогда = Щут(п)(Ь), и группа почти простая с цоколем Ь.

(Гу) С примитивная аффинная группа, не сохраняющая разложение О в произведение. Тогда — тоже аффинная группа. Более точно, существует целое число а > 1 и число д, являющееся степенью простого числа, такие, что С < ЛГЬа(д), и выполнена в точности одна из следующих возможностей (положим Р = 0¥(у)).

(а) С < ЛГЬ^). Тогда С(2) < ЛГЬ^).

(b) С < ЛГЬ2то(д) сохраняет граф билинейных форм Нд(2,т), т > 3. Тогда

С{2) = х ((СЬ2(^) 0 СЬт(^)) X ЛИ1(^)).

(c) С < ЛГЬ2то(д) сохраняет аффинный полярный граф V0e2то(q), т > 2, е = ±. Тогда

с(2) = ^2то X Г02то(4).

(сС) С < ЛГЬ10(д) сохраняет граф знакопеременных форм А(5,д). Тогда

С(2) = ^10 х ((ГЬв(д)/{±1}) х (^х/(^х)2)).

(е) С < ЛГЬ16(д) сохраняет аффинный полуспинорный граф VD5,5(g). Тогда С(2) < ЛГЬю(д) и

С(2) = ^16 х ((^х о 1пп^(^5(д))) х Ли^)).

(I) О < ЛГЬ4(д) сохраняет граф Сузуки-Титса VSz(g), д = 22е+1, е > 1. Тогда

С(2) = х ((^х х Sz(g)) х Ли1(^)).

Фигурирующие в формулировке обозначения и понятия будут определены в последующих параграфах. Таблицу 8 (и другие табличные данные) можно найти в приложении к диссертации.

Пункт (1у)(а) предыдущей теоремы, касающийся одномерных аффинных групп, можно уточнить, и уменьшить список потенциальных исключений.

Теорема 2. Пусть С — примитивная аффинная группа подстановок ранга 3, и пусть С < ЛГЬ1(д) для некоторого д, являющегося степенью простого числа. Тогда С(2) < ЛГЬ1(д) кроме конечного числа исключений, степени и подстепени которых перечислены в таблице 7.

Пример группы С < ЛГЬ1(д) ранга 3, 2-замыкание которой не лежит в ЛГЬ1(д), будет построен в шестом параграфе.

Структура главы выстроена следующим образом. В первом параграфе приводятся предварительные сведения о примитивных группах подстановок, в

частности, формулируется теорема О'Нэна-Скотта. Во втором параграфе вычисляются 2-замыкания групп, соответствующих пунктам (1)-(ш) теоремы, тем самым задача сводится к аффинному случаю. Третий параграф посвящён обзору классификации аффинных групп ранга 3, а в четвёртом параграфе исследуются параметры соответствующих групп. Доказательство теоремы 2 также приводится в четвёртом параграфе. Наконец, в пятом параграфе вычисляются группы автоморфизмов оставшихся графов ранга 3 и завершается доказательство теоремы 1.

В последнем, шестом, параграфе строится пример разрешимой примитивной группы подстановок ранга 3, в 2-замыкании которой есть композиционный фактор, отличный от циклического или знакопеременного, и, тем самым, даётся отрицательный ответ на вопрос [58, 19.67], поставленный И.Н. Пономаренко.

§ 1.1 Предварительные сведения о группах подстановок

Пусть С — группа подстановок на множестве О. Как было отмечено ранее, 2-замыкание группы С будет обозначаться через Выполнены следующие свойства:

С < С(2), (С(2))(2) = с(2), н < с н(2) < с(2),

другими словами, 2-замыкание является оператором замыкания, см. [62, теоремы 5.4, 5.9, 5.7].

Если А — орбита С, то диагональ {(а, а) | а € А} является 2-орбитой. Если |Д| > 1, то А х А разбивается на по крайней мере две 2-орбиты (одна из которых диагональная), откуда следует, что группа ранга 3 обязана быть транзитивной.

Так как у группы ранга 3 ровно две внедиагональные 2-орбиты, они являются дополнениями друг друга. Если порядок С чётный, то 2-орбиты инвариантны относительно транспонирования (т.е. преобразования вида ) ^ (Р,а)) и, значит, в таком случае 2-орбиту можно рассматривать как множество рёбер неориентированного графа. Граф, полученный таким образом, называется графом ранга 3 — в силу транзитивности С на рёбрах и нерёбрах, этот граф будет сильно регулярным. Несложно также показать, что полная группа

автоморфизмов графа ранга 3, построенного по группе С, совпадает с

Напомним, что если С — транзитивная группа подстановок на О, то порядки орбит стабилизатора Са на О \ {а} называются подстепенями группы С. У группы ранга 3 ровно две подстепени (которые, однако, могут совпадать между собой), и если по С можно построить граф ранга 3, то подстепени С можно вычислить исходя из количества вершин и валентности графа.

Нам потребуются конструкции импримитивного и примитивного сплетений групп подстановок. Заметим, что С действует импримитивно на О тогда и только тогда, когда С сохраняет нетривиальное разложение вида О = А х X, т.е. множество О можно отождествить с нетривиальным декартовым произведением А х X, | А| > 1, |Х| > 1, где С переставляет блоки А х {х}, х Е X. Обозначим через Sym(А) ? Sym(X) < Sym(О) сплетение групп Sym(А) и Sym(X) в импримитивном действии. Таким образом, С < Sym(А) ? Sym(X).

Допустим, что область действия группы подстановок является декартовой степенью какого-то множества: О = Ато, т > 2 и |А| > 1. Обозначим через Sym(А) ^ Sym(m) сплетение групп Sym(А) и Sym(m) в действии на произведении, т.е. база сплетения действует на Ато покоординатно, а Sym(m) переставляет координаты. Будем говорить, что С < Sym(О) сохраняет нетривиальное разложение в произведение О = Ато, если С < Sym(А) ^ Sym(m).

Основным инструментом изучения конечных примитивных групп подстановок является теорема О'Нэна-Скотта, дающая их классификацию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Скресанов Савелий Вячеславович, 2021 год

Список литературы

1. Беркович Я. Г. Необходимые и достаточные условия простоты конечной группы // Алгебра и теория чисел, Нальчик. — 1979. — № 4. — С. 3—6.

2. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп скрученного типа // Алгебра и логика. — 1998. — Т. 37, № 1. — С. 17—35.

3. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типа Е6, Е7 и Е8 // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36, № 5. — С. 518—530.

4. Васильев А. В., Чуриков Д. В. 2-Замыкание |-транзитивных групп за полиномиальное время // Сиб. матем. журн. — 2019. — Т. 60, № 2. — С. 360— 375.

5. Го В., Ревин Д. О. О максимальных и субмаксимальных Х-подгруппах // Алгебра и логика. — 2018. — Т. 57, № 1. — С. 14—42.

6. Калужнин Л. А., Клин М. Х. О некоторых числовых инвариантах групп подстановок // Латв. Мат. Ежегодник. — 1976. — Т. 18, № 1. — С. 81—99.

7. Клин М. Х. Об одном методе построения примитивных графов // Труды НКИ. — 1974. — Т. 87. — С. 3—8.

8. Мазуров В. Д. Минимальное подстановочное представление простой группы Томпсона // Алгебра и логика. — 1988. — Т. 27, № 5. — С. 562—580.

9. Мазуров В. Д. Минимальные подстановочные представления конечных простых классических групп. Специальные линейные, симплектические и унитарные группы // Алгебра и логика. — 1993. — Т. 32, № 3. — С. 267—287.

10. Чунихин С. А. О разрешимых группах // Изв. НИИММ Том. унив. — 1938. — Т. 2. — С. 220—223.

11. Шеметков Л. А. О силовских свойствах конечных групп // Докл. АН БССР. — 1972. — Т. 16. — С. 881—883.

12. Шеметков Л. А. Обобщения теоремы Силова // Сиб. матем. журн. — 2003. — Т. 44, № 6. — С. 1127—1132.

13. Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups / J. H. Conway [et al.]. — Clarendon Press, 1985.

14. Babai L. Groups, graphs, algorithms: the graph isomorphism problem. // Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2018). Vol. 3. — Rio de Janeiro : WORLD SCIENTIFIC, 2019. — P. 3303-3320.

15. Babai L., Luks E, Seress A. Permutation groups in NC // Proceedings of the Nineteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — New York, New York, USA : ACM, 1987. — P. 409-420. — (STOC '87).

16. Bannai E. Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. — 1972. — Vol. 18. — P. 475-486.

17. Berkovich Y. The degree and index of a finite group //J. Algebra. — 1999. — Vol. 214, no. 2. — P. 740-761.

18. Bray J. N., Holt D. F., Roney-Dougal C. M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. — Cambridge University Press, 2013. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).

19. Brouwer A. E, Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs. — Springer Berlin Heidelberg, 1989. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics).

20. Brouwer A. E, Van Maldeghem H. Strongly regular graphs. — URL: https: //homepages.cwi.nl/~aeb/math/srg/rk3/srgw.pdf.

21. Buekenhout F., Van Maldeghem H. A characterization of some rank 2 incidence geometries by their automorphism group // Mitt. Mathem. Sem. Giessen. — 1994. — Vol. 218. — P. 1-70.

22. Burness T. C., Liebeck M. W, Shalev A. Generation and random generation: from simple groups to maximal subgroups // Advances in Mathematics. — 2013. — Vol. 248. — P. 59-95.

23. Cameron P. J. Finite permutation groups and finite simple groups // Bull. London Math. Soc. — 1981. — Vol. 13, no. 1. — P. 1-22.

24. Churikov D., Ponomarenko I. On 2-closed abelian permutation groups. — 2020. — arXiv: 2011.12011.

25. Cooperstein B. N. Minimal degree for a permutation representation of a classical group // Israel J. Math. — 1978. — Vol. 30. — P. 213-235.

26. Dutta S., Kurur P. P. Representing groups on graphs // Mathematical Foundations of Computer Science 2009 / ed. by R. Kralovic, D. Niwinski. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2009. — P. 295-306.

27. Evdokimov S., Ponomarenko I. Two-closure of odd permutation group in polynomial time // Discrete Mathematics. — 2001. — Vol. 235, no. 1. — P. 221-232.

28. Foulser D. A. Solvable primitive permutation groups of low rank // Trans. Amer. Math. Soc. — 1969. — Vol. 143. — P. 1-54.

29. Foulser D. A., Kallaher M. J. Solvable, flag-transitive, rank 3 collineation groups // Geometriae Dedicata. — 1978. — Vol. 7. — P. 111-130.

30. GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.11.1 / The GAP Group. — 2021. —URL: https://www.gap-system.org.

31. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple Groups, number 3. — American Mathematical Society, 1994. — (Mathematical surveys and monographs).

32. Hall P. A note on soluble groups //J. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3. — P. 98-105.

33. Hartley B. A theorem of Sylow type for finite groups // Math. Z. — 1971. — Vol. 122. — P. 223-226.

34. Hering C. Transitive linear groups and linear groups which contain irreducible subgroups of prime order, II // J. Algebra. — 1985. — Vol. 93, no. 1. — P. 151-164.

35. Hirschfeld J. W. P. Finite projective spaces of three dimensions. — Clarendon Press, 1985. — (Oxford mathematical monographs).

36. Huppert B, Blackburn N. Finite groups III. — Springer, 1982. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ; 243).

37. Isaacs I. M. Finite group theory. — American Mathematical Society, 2008. — (Graduate studies in mathematics).

38. Kaloujnine L., Krasner M. Le produit complet des groupes de permutations et le probieme d'extension des groupes // C. R. Acad. Sci. Paris. — 1948. — Vol. 227. — P. 806-808.

39. Kantor W. M., Liebler R. A. The rank 3 permutation representations of the finite classical groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1982. — Vol. 271. — P. 1-71.

40. Kleidman P. B., Liebeck M. W. The subgroup structure of the finite classical groups. — Cambridge University Press, 1990. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).

41. Liebeck M. W. The affine permutation groups of rank three // Proc. London Math. Soc. — 1987. — Vol. s3-54, no. 3. — P. 477-516.

42. Liebeck M. W, Praeger C. E, Saxl J. On the 2-closures of finite permutation groups //J. London Math. Soc. — 1988. — Vol. s2-37, no. 2. — P. 241252.

43. Liebeck M. W, Praeger C. E., Saxl J. On the O'Nan-Scott theorem for finite primitive permutation groups //J. Aust. Math. Soc. Ser. A. — 1988. — Vol. 44, no. 3. — P. 389-396.

44. Liebeck M. W, Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank three // Bull. London Math. Soc. — 1986. — Vol. 18, no. 2. — P. 165-172.

45. Mathon R. A note on the graph isomorphism counting problem // Inform. Process. Lett. — 1979. — Vol. 8, no. 3. — P. 131-136.

46. Muzychuk M. A classification of one-dimensional affine rank three graphs // Discrete Mathematics. — 2021. — Vol. 344, no. 7. — P. 112400.

47. On the maximum orders of elements of finite almost simple groups and primitive permutation groups / S. Guest [et al.] // Trans. Amer. Math. Soc. — 2015. — Vol. 367. — P. 7665-7694.

48. Peisert W. All self-complementary symmetric graphs //J. Algebra. — 2001. — Vol. 240, no. 1. — P. 209-229.

49. Ponomarenko I., Vasil'ev A. Two-closure of supersolvable permutation group in polynomial time // Comp. Complexity. — 2020. — Vol. 29, no. 5.

50. Ponomarenko I. N. Graph isomorphism problem and 2-closed permutation groups // AAECC. — 1994. — Vol. 5. — P. 9-22.

51. Praeger C. E, Saxl J. Closures of finite primitive permutation groups // Bull. London Math. Soc. — 1992. — Vol. 24, no. 3. — P. 251-258.

52. Praeger C. E, Schneider C. Permutation groups and cartesian decompositions. — Cambridge University Press, 2018. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).

53. Revin D. O., Zavarnitsine A. V. The behavior of ^-submaximal subgroups

\

under homomorphisms with ^-separable kernels // Sib. Elektron. Mat. Izv. — 2020. — Vol. 17. — P. 1155-1164.

54. Schröder E. M. Ein einfacher Beweis des Satzes von Alexandroff-Lester // J.

Geom. — 1990. — Vol. 37. — P. 153-158. /

55. Seress A. Permutation group algorithms. — Cambridge University Press, 2003. — (Cambridge Tracts in Mathematics).

56. Suzuki M. Group theory II. — Springer-Verlag, 1982. — (Group Theory).

57. The 3-closure of a solvable permutation group is solvable / E. A. O'Brien [et al.] //J. Algebra. — 2021.

58. Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook / ed. by E. I. Khukhro, V. D. Mazurov. — 19th ed. — Inst. of Mathematics, SO RAN, Novosibirsk, 2018.

59. Van Lint J. H., Schrijver A. Construction of strongly regular graphs, two-weight codes and partial geometries by finite fields // Combinatorica. — 1981. — Vol. 1. — P. 63-73.

60. Wielandt H. Zusammengesetzte Gruppen endlicher Ordnung // Helmut Wie-landt: Mathematical Works, Vol. 1: Group theory / ed. by B. Huppert, H. Schneider. — Berlin : De Gruyter, 1994. — P. 607-655.

61. Wielandt H. Zusammengesetzte Gruppen: Holders Programm heute // Finite groups, Santa Cruz Conf. 1979, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 37. — 1980. — P. 161-173.

62. Wielandt H. W. Permutation groups through invariant relations and invariant functions. — The Ohio State University, 1969.

63. Wilson R. The finite simple groups. — Springer London, 2009. — (Graduate Texts in Mathematics).

64. Wilson R. A. Maximal subgroups of automorphism groups of simple groups // J. London Math. Soc. — 1985. — Vol. s2-32, no. 3. — P. 460-466.

Работы автора по теме диссертации

65. Скресанов С. В. Контрпримеры к двум гипотезам из Коуровской тетради // Алгебра и логика. — 2019. — Т. 58, № 3. — С. 249—253.

66. Revin D., Skresanov S., Vasil'ev A. The Wielandt-Hartley theorem for submaximal X-subgroups // Monatsh. Math. — 2020. — Vol. 193. — P. 143155.

67. Skresanov S. V. On 2-closures of rank 3 groups // Ars Math. Contemp. — 2021. — Vol. 21, no. 1. — P. 20.

68. Skresanov S. V. Subgroups of minimal index in polynomial time //J. Algebra Appl. — 2019. — Vol. 19, no. 1. — P. 4.