Магнитопримесные состояния частицы в структурах различной размерности и их роль в кинетических явлениях в полупроводниках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Павлова, Татьяна Витальевна

• Павлова, Татьяна Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлова, Татьяна Витальевна

Список обозначений

Введение б

Глава 1. Объемные полупроводники с изотропным спектром носителей

1.1 Волновые функции и спектр МП состояний.

1.2 Квантовый циклотронный резонанс на МП состояниях.

1.3 Диффузия и проводимость электронов при рассеянии на центрах малого радиуса в квантующем магнитном поле.

1.4 Краткие выводы и основные результаты Главы 1.

Глава 2. Объемные полупроводники с анизотропным спектром носителей

2.1 МП состояния в полупроводниках с резко анизотропным энергетическим спектром носителей.

2.2 МП осцилляции поперечной и продольной проводимости в полупроводниках с резко анизотропным энергетическим спектром носителей.

2.3 Экспериментальное наблюдение МП осцилляций статической проводимости.

2.4 Краткие выводы и основные результаты Главы 2.

Глава 3. Двумерные полупроводниковые структуры с изотропным спектром носителей

3.1 МП состояния электрона в двумерной структуре в приближении слабого перемешивания уровней Ландау центром

3.2 Основное МП состояние электрона на центре малого радиуса произвольной глубины в двумерной структуре.

3.3 Экспериментальное наблюдение МП состояний на D~-центрах в двумерных структурах.

3.4 Краткие выводы и основные результаты Главы 3.

Глава 4. Двумерные полупроводниковые структуры с анизотропным спектром носителей

4.1 Волновая функция водородоподобного атома в двумерной структуре с анизотропной эффективной массой носителей.

4.2 Энергия связи примесного атома в двумерной структуре с анизотропной эффективной массой носителей

4.3 Сравнение теоретических и экспериментальных данных для энергии связи D~ центра.

4.4 Краткие выводы и основные результаты Главы 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитопримесные состояния частицы в структурах различной размерности и их роль в кинетических явлениях в полупроводниках»

Задача о взаимодействии электрона с примесным центром в магнитном ноле важна в двух отношениях. Первое, с теоретической точки зрения: изучения квантовомеханической системы — отрицательный ион в магнитном поле. Второе, с прикладной точки зрения: исследования кинетических свойств примесных полупроводников в квантующих магнитных полях. Специфической особенностью указанного взаимодействия является возникновение особых, обусловленных как притягивающим центром, так и магнитным полем, магнито-примесных (МП) состояний [1]. Зависимость таких состояний от магнитного поля, глубины примесного потенциала, проекции момента электрона и номера зоны Ландау весьма своеобразна и приводит к целому ряду эффектов в кинетике низкотемпературных явлений в полупроводниках [2]. В частности, рассеяние на МП состояниях приводит к уширению линии квантового циклотронного резонанса [3, 4, 5], нетривиальным осцилляционным зависимостям продольной и поперечной проводимости от напряженности магнитного поля в полупроводниках с анизотропной эффективной массой носителей [6], специфическому поведению коэффициента диффузии в низкотемпературной области, обусловленному резонансным рассеянием носителей на МП состояниях, и т.д.

Механизм образования магнитопримесных состояний заключается в следующем. Пусть электрон находится в поле центра притяжения малого радиуса и достаточно сильном однородном магнитном поле, таком, что энергия движения электрона поперек магнитного поля Н значительно превышает энергию движения вдоль поля. Тогда потенциал центра можно усреднить по волновым функциям поперечного движения электрона в магнитном поле и считать эффективно одномерным. Как известно, любой симметричный одномерный потенциал притяжения связывает частицу. Таким образом, трехмерный центр притяжения, даже если в нем не содержится связанных состояний при Н — О, в достаточно сильном магнитном поле связывает частицу и образуются так называемые магнитопримесные состояния.

Магнитные поля, необходимые для реализации МП состояний, относительно легко реализовать в полупроводниках, благодаря малым значениям эффективной массы носителей и большим значениям диэлектрической проницаемости. Поэтому именно полупроводники являются идеальными объектами для моделирования и экспериментального изучения магнитопримесных состояний.

В экспериментах по изучению кинетических явлений в полупроводниках, определяемых рассеянием на МП состояниях, для создания сильного магнитного поля применяются инфракрасные (ИК) лазеры. Например в экспериментах по квантовому циклотронному резонансу, описанных в работе [7], в качестве источника электромагнитных воли использовались ИК лазеры с разрядной (Н20 и D20; 2204-119 мкм) и оптической (НСООН и СЩОВ; 513-f295 мкм) накачкой.

В случае короткодействующего потенциала примеси1 (гс <С 1н), "а малых расстояниях от центра влияние магнитного ноля несущественно, поэтому МП состояния классифицируются по орбитальному моменту электрона I и его

1 Магнитопримесные состояния на центрах малого радиуса интересны тем, что для них удается получить точное уравнение спектра. При нахождении волновой функции электрона на малых расстояниях от центра можно пренебречь магнитным полем, а на больших расстояниях можно не учитывать влияние потенциала центра. Условие сшивки волновых функций дает уравнение спектра МП состояний на центре малого радиуса. Отметим, что в подавляющем большинстве экспериментов радиус действия потенциала нейтральной примеси тс оказывается малым по сравнению с квантовым ларморовым радиусом (магнитной длиной /я)проекции т = 1г || Н [8]. Состояния отрицательного иона в магнитном поле в объемных полупроводниках рассматривались целым рядом авторов (см. обзор [2] и цитированную там литературу). Волновые функции s-рассеяиия электрона Ландау на центре малого радиуса вне рамок борцовского приближения впервые были получены в [9], для состояний с / ф 0 в [10]. Однако, их применимость фактически ограничена малыми отрицательными длинами рассеяния а электрона на потенциале примеси (а < 0, |а| 1н). Это естественным образом ограничивало возможности расчета и анализа кинетических коэффициентов полупроводника, в частности, линии поглощения квантового циклотронного резонанса, проводимости и диффузии, мелкими примесями.

Таким образом, в плане расчета кинетических коэффициентов при рассеянии носителей на нейтральных примесях и их сравнения с экспериментом, имеются следующие проблемы.

1. Одним из самых мощных инструментов получения информации о свойствах полупроводников: эффективной массе, знаке и законе дисперсии носителей; их взаимодействии с колебаниями решетки и дефектами; типах и концентрации последних является квантовый циклотронный резонанс2 (КЦР).

При низких температурах (Т <С Ьсин, шц — циклотронная частота) существенным становится квантование движения электрона в магнитном поле [11, 12]. В невырожденном полупроводнике, помещенном в квантующее магнитное поле3 Н и перпендикулярное ему слабое резонансное электрическое поле Е, свободные носители находятся в основном вблизи дна нулевой зоны Ландау. Под действием слабого резонансного электрического поля электроны

2Квантовым циклотронным резонансом называется резонансное поглощение электромагнитного поля носителями заряда в скрещенных электрическом и квантующем магнитном полях. Основными характеристиками линии КЦР, представляющими интерес с экспериментальной точки зрения, являются площадь, форма и ширина линии поглощения.

3Магнитное поле II называется квантующим, когда тепловая энергия носителей Т мала по сравнению с циклотронной энергией Ншц. преимущественно переходят в первую зону Ландау. При переходе поглощается энергия и кривая поглощения имеет дельта-функционный пик при частоте электрического поля ш, совпадающей с циклотронной частотой электрона шн-За счет взаимодействия носителей заряда с дефектами возникает ушпренпе линии поглощения (см. рис. 1). При этом наблюдается хорошее согласие теории с экспериментом по квантовому циклотронному резонансу при рассеянии носителей на фонолах и ионизованных примесях [7]. Исключение составляют нейтральные примеси. Все попытки добиться сколь угодно удовлетворительного согласия теоретически рассчитанных температурно-полевых зависимостей полуширины линии КЦР 5uj(T, Н) [13-15] с получаемыми на эксперименте, не принесли результатов на протяжении более чем трех десятилетий

17].

При описании рассеяния носителей на нейтральных примесях в полупроводниках в неквантующих магнитных полях (Т Тшц) с успехом используется формула Эргипсоя [16]. Эргинсой получил свою формулу для сечения рассеяния электронов на мелких нейтральных примесях в полупроводниках, подставив в сечение рассеяния медленных электронов на атоме водорода с учетом поляризационных эффектов, диэлектрическую постоянную и эффективный боровский радиус. Использование формулы Эргипсоя для теоретических расчетов ширины линии классического циклотронного резонанса (ЦР) при рассеянии носителей на нейтральных примесях в полупроводниках [17, 18], приводит к хорошему согласию с экспериментом.4

Были сделаны попытки приспособить формулу Эргинсоя для расчетов 5ш в квантовом пределе циклотронного резонанса (не выходя, однако, при этом за рамки борцовского приближения). Для описания рассеяния вводился псев

4 На настоящий момент для классического ЦР имеется хорошее согласие экспериментальных и теоретических результатов по температурно-полевым зависимостям ширины линии ЦР для всех механизмов рассеяния носителей в полупроводниках: на фонопах, ионизованных и нейтральных примесях (см. [19] и цитированную там литературу).

Рис. 1: Линия поглощения электромагнитного поля при рассеянии носителей на нейтральных примесях [7]. Концентрация примесей в образцах n-GaAs-1, n-GaAs-З и n-GaAs-5 равна 7,5-1014 см-3, 15-1014 см-3 и 100 • 1014 см-3 соответственно. допотенциал центра, подобранный таким образом, чтобы в борновском приближении в отсутствии магнитного поля для сечения рассеяния получалась формула Эргинсоя. Этот псевдопотенциал использовался затем для описания рассеяния в квантующем магнитном поле по теории возмущений. Рассчитанная таким образом полуширина линии КЦР превышала измеренную больше чем па порядок и имела совершенно иную температурную зависимость. Попытки модернизировать эту схему ситуацию не улучшили.

Впервые удовлетворительное совпадение теории с экспериментом по КЦР было получено в работах [20-22]. Температурно-полевая зависимость полуширины линии КЦР Slu(T, Н) была найдена путем решения системы квантовых кинетических уравнений для одноэлектронной матрицы плотности и одно-центрового коррелятора. Однако, в вычислениях [20-22] было использовано приближение слабого перемешивания уровней Ландау отдельным центром, поэтому полуширина кривой поглощения [20-22] получена лишь для малых глубинах примесного потенциала.

2. Расчет статических кинетических коэффициентов полупроводников в квантующих магнитных полях в борцовском приближении по взаимодействию с примесями приводит к расходимостям при малых продольных энергиях носителей е. Расходимости обусловлены большой плотностью состояний электрона д(е) ~ г~1/2 —> со при е —> 0 и их ликвидация требует постулирования конечной ширины электронных уровней [23] или выхода за рамки борновского приближения. В работе [24] для поперечной проводимости впервые было показано, что выход за рамки борновского приближения при рассмотрении рассеяния электрона на центре малого радиуса в магнитном поле [9] автоматически приводит к устранению указанных расходимостей. Однако, использованный в [9] алгоритм вычисления волновых функций не совсем корректен. В частности, полюса найденной в [9] амплитуды рассеяния позвои ляют получить спектр магнитопримесных состояний электрона лишь в узких областях параметров: а < 0; \а\/1н <С 1 (а— длина рассеяния электрона на центре в отсутствии магнитного поля, 1н — магнитная длина). Соответственно, сами волновые функции правильно описывают процесс рассеяния только в узких интервалах продольных энергий электрона, напряженностей магнитного поля и глубин потенциала примеси. Это, естественно, ограничивает и область применения полученных на их основе кинетических коэффициентов полупроводника. Поэтому температурио-полевые зависимости проводимости и диффузии, рассчитанные с помощью волновых функций работы [9], справедливы лишь при некоторых Я и Т.

3. В работах [25-27] было обнаружено, что резкая анизотропия эффективной массы электрона т* = (ш±,т±,т\\) (характерная для полупроводников IV группы) радикальным образом меняет характер МП состояний на нейтральных центрах. При ориентации Н вдоль тяжелой массы шц (тц > т±), одномерный потенциал, в котором движется электрон (получающийся в результате усреднения потенциала примеси по волновым функциям поперечного движения электрона в магнитном поле), оказывается глубоким. За счет тяжелой продольной массы характерная энергия квантования в потенциальной яме меньше, чем при изотропной массе, поэтому в потенциале центра находится несколько МП уровней, в отличие от одномерного потенциала примеси в полупроводниках с изотропной массой, в котором существует лишь одно состояние. Поскольку одномерный потенциал зависит от магнитного поля, при уменьшении Н МП уровни переходят в континуум с периодом ~ л/Я. При пересечении МП уровнем границы континуума одномерная яма становится или прозрачной или абсолютно непроницаемой (в зависимости от четности МП уровня). Это приводит к осцилляциям кинетических коэффициентов полупроводника в квантующем магнитном поле, периодичным но магнитному полю как у/Н [25-27].

Влияние иесферичности потенциала индивидуальной примеси, связанное с анизотропией эффективной массы носителей, на исследованные в [25] осцилляции не учитывалось. Результаты [25-27] были получены в допущениях, что примесный потенциал является сферически-симметричным, однако в полупроводниках с анизотропной эффективной массой носителей потенциал мелких примесей оказывается несферическим вследствие деформации волновой функции примесного электрона [28]. В работе [20] был рассчитан потенциал индивидуальной примеси, обусловленный деформацией волновой функции и было показано, что он становится дальнодействующим, причем радиус его спадания и глубина определяются магнитным полем. Как следствие, в полупроводниках с анизотропным энергетическим спектром возникают осцилляции кинетических коэффициентов, периодичные по магнитному полю по а не по НV2.

4. Интенсивное развитие технологии изготовления полупроводниковых структур, произошедшее за последние три десятилетия, вызвало сильный интерес к явлениям переноса в электронных системах с пониженной размерностью. Существенную роль в магнптокинетических явлениях в двумерных полупроводниках играют квантово-размерные эффекты. В зависимости от ориентации магнитного поля относительно плоскости двумерного слоя могут реализоваться два случая. Если Н лежит в плоскости слоя, то энергия квантово-размерных уровней увеличивается за счет дополнительного ограничения движения носителей магнитным полем. Это упрощает наблюдение ряда эффектов в полупроводниковых структурах, т.к. позволяет легко менять в эксперименте энергии уровней. В целом, параллельное поле сохраняет качественный характер энергетического спектра, хотя меняет его количественно. Поэтому принципиально новых эффектов в этом случае не ожидается [29].

Ситуация, когда магнитное поле ориентировано по нормали к слою, значительно более интересна. Вследствие ограничения движения носителей вдоль Н, спектр двумерных электронных систем в магнитном поле является чисто дискретным, характерным для микроскопических объектов (атомов, квантовых точек и др.). Дискретный спектр двумерной электронной системы приводит к существенной модификации ее гальваномагнитиых свойств по сравнению с трехмерным случаем [29].

Двумерные системы в магнитном поле, приложенном перпендикулярно поверхности слоя, являются идеальным инструментом для изучения квантовых явлений переноса, в то время как характеристики трехмерных систем ие так просты из-за наличия свободного движения в направлении, параллельном магнитному полю. Ограничение движения электрона перпендикулярно поверхности слоя приводит к тому, что электрон не может уйти далеко от примеси и в среднем находится от нее на меньшем расстоянии, чем в объемном полупроводнике. Поэтому основное состояние электрона в потенциале центра в двумерном случае имеет энергию связи в несколько раз большую, чем в трехмерном. За счет этого кинетические эффекты в квантово-размерных системах оказываются значительно более ярко выражены, чем в массивных образцах [29]. (Двумерная природа D~ центров в структурах GaAs-GaAlAs была экспериментально подтверждена в работе [30] при исследовании магпи-топри водимости.)

При расчете кинетических коэффициентов в двумерных системах, определяемых рассеянием носителей на МП состояниях, необходимо знать спектр и волновые функции таких состояний, с учетом их зависимости от толщины слоя.5 В большинстве работ для интерпретации кинетических явлений в таких системах используются двумерные модели (см. обзор [32] и цитирован

Экспериментальное исследование зависимости энергии связи I)--центра от ширины квантовой ямы проводилось в работе [31) методом ЦР в образцах GaAs. ную там литературу). Однако, как было показано в работе [33], модель строго двумерного электронного газа не адекватна реальному слою пространственного заряда и не позволяет рассмотреть вопрос о влиянии потенциала границ слоя на примесные (и магнитопримесные) состояния.

5. Для изучения кинетических свойств двумерных полупроводников с анизотропным энергетическим спектром носителей6 необходимо знать, какое влияние оказывают анизотропия и размерное квантование на примесный атом и уметь вычислять волновые функции и энергетический спектр примесных состояний в таких структурах. Используя волновые функции примесного атома можно, в частности, находить потенциал взаимодействия примеси с электронами зоны проводимости двумерного полупроводника (см. [20]), проводить анализ D~ состояний в кинетике низкотемпературных явлений в подобных структурах [6] и т.д. Однако, совместное влияние анизотропии эффективной массы носителей и размерного квантования на примесный атом до настоящего момента не изучалось. Поэтому нахождение волновых функций и спектра энергий доноров и акцепторов в двумерных полупроводниках с анизотропным спектром носителей является необходимым предварительным шагом для анализа примесных состояний и изучения их влияния на кинетику в двумерных полупроводниках во внешних полях.

Волновые функции и энергетический спектр примесных состояний в отсутствии магнитного поля в объемных полупроводниках (в том числе и в полупроводниках с анизотропным энергетическим спектром носителей) вычислялись различными методами в большом количестве работ (см. обзор [34] и цитированную там литературу). Наиболее простой и изящный метод расчета основного состояния мелкой водородоподобной примеси был предложен Коном и Латтинжером [35]. В их работе вариационным методом вычислялись

6например кремния, который является основным материалом, используемым для изготовления МДП-структур (металл — диэлектрик — полупроводник) энергия связи и волновая функция основного состояния примесного центра в полупроводниках как с изотропной, так и с резко анизотропной эффективной массой носителей. Пробная функция бралась в виде волновой функции электрона атома водорода с двумя вариационными параметрами. Такой вид волновой функции позволяет учесть несферичность электронного облака, обусловленную тем, что в полупроводниках с резко анизотропной эффективной массой мелкие примесные атомы деформируются — вытягиваются в направлении тяжелой массы. Полученные значения энергии основного состояния водородоподобной примеси с хорошей точностью согласуются с экспериментальными данными для мелких примесей в широком классе массивных образцов как с изотропной, так и с анизотропной эффективной массой носителей заряда.

Влияние размерного квантования на мелкий водородоподобный примесный центр также изучалось в целом ряде работ [36-39]. Одной из основополагающих является работа Бастарда [40], в которой автор рассчитывает энергию связи примесного атома в квантовой яме вариационным методом. Пробная функция бралась в виде произведения трехмерной волновой функции электрона в кулоновском потенциале притяжения и волновой функции частицы в бесконечной потенциальной яме. Энергия связи вычислялась как функция толщины слоя и положения примеси. Однако, выбранная в работе [40] волновая функция является однопараметрической, что позволяет находить энергию связи примесного центра только в полупроводниках с изотропной эффективной массой носителей. Кроме того, однопараметрическая волновая функция не позволяет изучить деформацию электронного облака, обусловленную наличием границ слоя. Это резко сужает область применения полученных результатов, ограничивая их на практике некоторыми полупроводниками типа А3В5, и не позволяет находить энергию связи мелких примесей, в частности, в таких широко используемых полупроводниках, как Ge и Si. Для расчета примесных состояний в подобных полупроводниках необходимо обобщить теорию на двумерные структуры с анизотропным энергетическим спектром носителей.

Таким образом, актуальность темы исследований состоит в следующем:

1. Отсутствует последовательная теория квантового циклотронного резонанса в полупроводниках, легированных нейтральными примесями, при произвольной глубине их потенциала. На основе имеющихся теоретических результатов не удается достигнуть хорошего согласия с экспериментом.

2. Существующие на данный момент формулы для коэффициента диффузии и проводимости газа электронов, рассеивающихся на центрах малого радиуса, справедливы лишь в узком диапазоне глубин примесного потенциала и напряженностей магнитного поля.

3. В полупроводниках с анизотропной эффективной массой электронов не изучено влияние несферичности примесного потенциала на кинетику низкотемпературных явлений.

4. Волновые функции и спектры МП состояний в структурах пониженной размерности не были найдены, что не позволяло проводить точные расчеты кинетических коэффициентов двумерных полупроводников, определяемых рассеянием на таких состояниях.

5. В двумерных структурах с анизотропным энергетическим спектром носителей, широко используюемых в опто- и наноэлектронике, не было изучено совместное влияние анизотропии эффективной массы электронов и размерности полупроводника на примесный атом и, соответственно, на кинетические явления в таких полупроводниках, легированных нейтральными примесями.

Подчеркнем, что для вычисления кинетических коэффициентов в полупроводниках, легированных нейтральными примесями малого радиуса, в том числе полуширины линии КЦР, статической проводимости и диффузии, требуется знать точные волновые функции электрона в магнитном поле и короткодействующем центральном потенциале (полюса амплитуды рассеяния которых дают правильный спектр МП состояний). Именно такие волновые функции были найдены в диссертации и использованы для расчета кинетических коэффициентов в полупроводниках.

Целыо диссертационной работы явилось:

1. Теоретическое изучение магнитокинетических явлений в полупроводниках с различной зонной структурой, обусловленных рассеянием носителей на МП состояниях.

2. Исследование магнитопримесных состояний электрона с изотропной и анизотропной эффективной массой, на центрах малого радиуса произвольной глубины в объемных и двумерных полупроводниках.

В диссертации решена моделыю-независимая задача рассеяния электрона Ландау зоны 0 < N < ljj/rl с произвольным моментом \т\ = I на центре малого радиуса гс 1н произвольной глубины. Найдены волновые функции МП состояний. В отличии от предыдущих работ, полюса амплитуды рассеяния этих функций дают правильные значения энергии МП и собственных состояний электрона для всех допустимых значений напряженности магнитного поля Н и глубины примесного потенциала U. Это снимает ограничения на продольную энергию электрона е и указанные параметры в задаче рассеяния и позволяет рассчитывать кинетические коэффициенты полупроводников в широких диапазонах параметров е, Н и U. Исследовано поведение магнитопримесных уровней и их ширин как функции глубины потенциала индивидуальной примеси, момента электрона и номера зоны Ландау. Уточнены результаты ряда предыдущих работ (см. [9, 10]).

Для расчета уширения линии КЦР нейтральными примесями малого радиуса в диссертации использован последовательный квантово-механический подход. Было получено замкнутое кинетическое уравнение для одноэлектроп-ной матрицы плотности (в скрещенных квантующем магнитном, слабом резонансном электрическом полях, и потенциале хаотически расположенных нейтральных примесей). Вычисления удалось провести благодаря разложению одноцентрового коррелятора по полученным точным волновым функциям одноцептровой задачи рассеяния электрона в магнитном поле. Центральным моментом явилось отсутствие каких-либо ограничений на глубину потенциала индивидуального рассеивающего центра. Единственным ограничением развитой теории является использование линейного по концентрации примесей приближения для интеграла столкновений. Сравнение найденной 5и(Т, Н) с экспериментом [7] свидетельствует о хорошем их качественном и количественном согласии.

С помощью полученных волновых функций задачи рассеяния электрона Ландау на короткодействующем потенциале центра произвольной глубины, в диссертации рассчитаны коэффициент диффузии и проводимость газа невзаимодействующих между собой электронов, рассеивающихся в сильном магнитном поле /г/г -С Е\\, (г — время релаксации импульса электрона, Е\\ — энергия движения носителей вдоль магнитного поля) на хаотически расположенных нейтральных центрах. Радиус действия потенциала центра предполагается малым по сравнению с магнитной длиной и средним расстоянием между рассеивателями. Ограничений на глубину потенциала примеси не накладывается, т.е. перемешивание уровней Ландау индивидуальным центром может быть сколь угодно сильным. Вычисления выполнены на основе формулы Кубо [41-43], согласно которой диагональная часть тензора поперечной диффузии определяется миграцией центра циклотронного движения. Разложение коэффициента диффузии по плотности примесных атомов [44] позволило провести вычисления с использованием волновых функций одноцен-тровой задачи рассеяния электрона. Исследована зависимость коэффициента диффузии от продольной энергии электронов при различном соотношении между длиной рассеяния и магнитной длиной. Обнаружены резкие расхождения с результатами работы [24], полученными для центра нулевого радиуса. В частности, коэффициент диффузии, рассчитанный с использованием результатов работы [24], не имеет резонансного поведения в сильном магнитном поле и дает заниженное значение при наличии собственного уровня в яме. Полученные результаты позволяют проводить анализ энергетического спектра нейтральной примеси по зависимости коэффициента диффузии от напряженности магнитного поля. На основе найденной формулы для коэффициента диффузии с использованием соотношения Эйнштейна получена поперечная проводимость электронов в невырожденном полупроводнике в квантующем магнитном поле, обусловленная их рассеянием на короткодействующих центрах. Вычислена статическая поперечная проводимость невырожденного электронного газа и проведено сравнение с результатами работы [24], полученными для случая рассеивателей нулевого радиуса. Обнаружено, что благодаря усреднению коэффициента диффузии по энергиям электронов при вычислении проводимости, резкие расхождения с результатами работы [24], ликвидируются.

Для газа невзаимодействующих между собой электронов с сильно сжатыми изоэнергетическими поверхностями (в конфигурации Я || тц), рассеивающихся в квантующем магнитном поле на мелких нейтральных донорах, в диссертации вычислены поперечная и продольная статические проводимости7. Учтена анизотропия эффективной массы примесного электрона при расче

7Для упрощения окончательных формул мы ограничили рассмотрение задачи однодолинной моделью. Подобная ситуация может быть реализована методом одноосного сжатия полупроводника [45]. те потенциала индивидуального рассеивателя. Обнаружены осцилляции как продольной, так и поперечной проводимости при изменении магнитного поля, периодичные по я1/4. Исследованы температурно-полевые зависимости МП осцилляций проводимости.

В диссертации решена задача о нахождении магнитопримесных состояний электрона на D~ центре в двумерном полупроводнике. Спектр связанных состояний электрона с произвольной проекцией момента в зоне Ландау О < iV < Ijj/rl в короткодействующем потенциале центра (гс <С 1ц) с длиной рассеяния а < 0, |а| С 1н получен как функция отношения толщины слоя L к магнитной длине в приближении слабого перемешивания уровней Ландау центром. В рамках этого приближения изучено влияние верхних зон на МП состояния электрона. В случае сильного перемешивания двух зон Ландау обнаружено специфическое поведение МП уровней, в частности, прн пересечении примесного уровня ямными уровнями нижележащих зон Ландау возникает расщепление МП уровней. Если энергия четного ямного уровня оказывается близкой к энергии примесного уровня, величина расщепления Ае сравнима с глубиной залегания примесного уровня. При переходе к бесконечно широкому слою (L оо) найденное расщепление исчезает но закону As ~ \Jlii/aL (а — константа взаимодействия электрона с центром). В высших зонах Ландау количество ямиых уровней, одновременно взаимодействующих с примесью, пропорционально y/~N, и в трехмерной задаче этому соответствует ширина МП уровня, также пропорциональная y/N [1]. Отметим, что использование приближения слабого перемешивания дает хорошее согласие с экспериментом не только для центров малого радиуса , но и для центров, длина рассеяния которых не превышает магнитную длину [20, 4]. Проведен анализ зависимости энергии МП уровней от положения D~ центра в слое.

Методом потенциала нулевого радиуса [46, 47] удалось получить уравнение для энергии основного состояния отрицательного иона, находящегося в магнитном поле в двумерной структуре. Полученное уравнение справедливо для примесного потенциала произвольной глубины, при сколь угодно сильном перемешивании уровней Ландау центом. Показано, что в слабом поле при а < О уравнение спектра совпадает с уравнением, полученным в приближении слабого перемешивания уровней Ландау центром (при замене борцовской длины рассеяния на точную и перенормировке ее за счет верхних зон Ландау). Изучена зависимость энергии связи от магнитного поля. Получены поправки к диамагнитному и антидиамагнитному сдвигам энергии от границы сплошного спектра трехмерной задачи [46].

Обнаружено, что в отличие от трехмерной задачи, в которой при а < О всегда есть связанное МП состояние электрона на центре, в двумерном случае такое состояние существует только в достаточно широком слое. Найден критерий возникновения связанных МП состояний в двумерных структурах.

Проведено сравнение полученных результатов с экспериментом [48] и с теоретическими рассчетами, выполненными другим методом [49]. Вычисленная энергия связи D~ центра в слое толщиной 20 нм в магнитном поле 9 • 104 Гс составила 4,6 меВ, что согласуется с экспериментальным значением 4,45 ± 0,25 меВ работы [48].

В диссертации вариационным методом изучен водородоподобный примесный атом в двумерном полупроводнике с анизотропной эффективной массой носителей в отсутствии магнитного поля. При расчете использована двухпа-раметрическая пробная волновая функция трехмерной задачи с модулирующим множителем, учитывающим наличие бесконечного потенциала на границах полупроводника. Исследована зависимость энергии основного состояния электрона от толщины слоя и параметра анизотропии эффективной массы т|/тц. Проанализирована деформация электронного облака при изменении толщины слоя для различных полупроводников. Проведено сравнение полученных результатов с таковыми для водородоподобного атома с анизотропной массой электрона в трехмерной задаче [35] и однопараметрического подхода двумерной задачи с изотропной эффективной массой носителей [40]. Показано, что в предельном случае бесконечной толщины слоя энергия связи совпадает с результатами работы [35] и с экспериментом, а в случае двумерного изотропного полупроводника совпадает с результатами работы [40].

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими основными моментами. Впервые проведены теоретические исследования влияния рассеяния носителей на нейтральных примесях малого радиуса на уши-рение линии КЦР, статические диффузию и проводимость, не ограниченные малыми глубинами примесного потенциала. На основе полученных формул достигнуто хорошее качественное и количественное согласие с наблюдаемыми на эксперименте значениями полуширины резонансной кривой в широком диапазоне температур, магнитных полей и концентраций примесей. Найдена точная зависимость коэффициента диффузии от энергии носителей, определяемая рассеянием электронов на МП состояниях нейтральных примесей малого радиуса и справедливая при произвольных значениях глубины примесного потенциала и напряженности магнитного поля. Впервые рассчитаны продольная и поперечная статические проводимости в полупроводниках в квантующих магнитных полях с учетом несферичности примесного потенциала, обусловленной анизотропией эффективной массы электронов. Обнаружены МП осцилляции как продольной, так и поперечной проводимости с нестандартным периодом по магнитному полю я1/4. Получены волновые функции и спектр МП состояния электрона в двумерных полупроводниковых слоях с произвольной конечной шириной слоя. Впервые обнаружено расщепление магнитопримесных уровней, сравнимое по величине с глубиной их залегания, обусловленное квантово-размерными эффектами. Проведен анализ влияния анизотропии эффективной массы и границ двумерного слоя на основное состояние водородоподобной примеси. Рассчитана энергия связи такой примеси с использованием минимального числа вариационных параметров.

Основные результаты диссертации:

1. Построена теория квантового циклотронного резонанса при рассеянии носителей на нейтральных примесях малого радиуса и произвольной глубины. На основе полученных формул исследовано влияние магнитопримесных состояний электрона на уширение линии квантового циклотронного резонанса и достигнуто хорошее качественное и количественное согласие с экспериментом.

2. Получены формулы для коэффициента диффузии и статической проводимости в полупроводниках, легированных нейтральными примесями произвольной глубины. Определены зависимости полученных кинетических коэффициентов от температуры, магнитного поля и глубины потенциала рассеивающего центра.

3. Развита теория магнитопримесных осцилляций статической проводимости в полупроводниках со сфероидальными изоэнергетическими поверхностями носителей. Исследованы осцилляции как продольной, так и поперечной проводимости, обусловленные анизотропией эффективной массы электронов, рассеивающихся на магнитопримесных состояниях.

4. Получен и исследован спектр магнитопримесных состояний электрона на центрах малого радиуса в двумерных полупроводниках. Найден критерий существования МП уровней в потенциале центра.

5. Найдены волновая функция и энергия связи основного состояния водородоподобной примеси в двумерных полупроводниках с анизотропной эффективной массой носителей. Проанализировано совместное влияние анизотропии эффективной массы и толщины слоя на основное состояние водоро-доподобной примеси.

Структура диссертации: диссертация состоит из Введения, 4-х глав и Заключения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Павлова, Татьяна Витальевна

Основные результаты настоящей главы опубликованы в работах [51,59,60], выполненных совместно с С.П.Андреевым.

Полупроводник Примесь Энергия связи s-состояиия, мэВ

Si Р 45,5 33,9 32,6

As 53,7 32,6 31,2

Sb 42,7 32,9 30,6

Ge Р 12,9 9,9

As 14,17 10,0

Sb 10,32 10,0

GaAs Ge 6,1

Si 5,8

S 6,1

Заключение

На протяжении длительного времени изучение МП состояний носителей и кинетических явлений при наличии таких состояний было, в основном, ограничено задачей кулоновекого примесного потенциала (см. [83-89] и цитированную там литературу). Вопросы теории энергетических спектров и кинетических явлений в веществах с МП состояниями на примесях с конечным радиусом действия потенциала долгое время оставались совершенно неизученными. В значительной степени это было связано с отсутствием экспериментальных доказательств существования связанных состояний заряженных частиц на нейтральных примесях (£>~-центров) в полупроводниках и последующими сомнениями в наличии таких состояний в сильных магнитных полях. На существование МП состояний электрона на нейтральных примесях первым указал Бычков [90]. На сегодняшний день имеется целый ряд экспериментов, подтверждающих существование и определяющую роль МП состояний носителей на нейтральных примесях с конечным радиусом действия потенциала в кинетике низкотемпературных явлений [91]. К ним относятся эксперименты по осцилляциям эффекта де Гааза-Ваи Альфена в Bi [92], эксперименты по фотопоглощению на £)~-примесях в Ge [93] и Si [45] в квантующем магнитном поле, эксперименты по фотоотрыву электрона с МП состояний с ^"-центров в образцах n-CdS при низких температурах [94].

В течение нескольких лет рядом авторов были разработаны общие принципы анализа (и проделаны конкретные расчеты) спектров слабосвязанных состояний заряженных частиц на примесях конечного радиуса действия потенциала во внешних (электро-) магнитных полях. На их основе была построена последовательная теория кинетических явлений в веществах различной зонной структуры (см. обзор [2]).

Однако до последнего времени изучение МП состояний и, следовательно, расчеты кинетических коэффициентов в полупроводниках при рассеянии носителей на таких состояниях были ограничены малыми глубинами примесного потенциала и, соответственно, справедливы только в определенных интервалах наиряжепиостей магнитного поля и температур. Кроме того, состояния электрона на центре малого радиуса в структурах пониженной размерности до настоящего момента были слабо изучены, в частности, не был получен спектр и волновые функции таких состояний, не проводилось изучение перестройки спектров МП состояний в структурах пониженной размерности, возникающей в результате пространственного ограничения движения носителей. Вопрос о совместном влиянии анизотропии эффективной массы носителей и границ квази-двумсрного слоя на примесный атом также не обсуждался.

Полученные в диссертации результаты исследований МП состояний в полупроводниках различной размерности с произвольными значениями параметра анизотропии эффективной массы носителей в них, а также кинетических явлений, обусловленных рассеянием носителей на таких состояниях, закрывают эти пробелы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. На основе найденных волновых функций МП состояний в диссертации получены формулы для линии поглощения КЦР, проводимости и коэффициента диффузии в полупроводниках, легированных нейтральными примесями малого радиуса. Обнаружено, что все перечисленные выше кинетические коэффициенты определяются точной амплитудой рассеяния электрона в магнитном поле на одномерном потенциале примеси, усредненном по поперечному движению носителей. Данное утверждение справедливо в широком диапазоне магнитных полей, температур и при произвольных значениях глубин примесного потенциала.

2. Получены формулы продольной и поперечной проводимости в полупроводниках с резко анизотропным энергетическим спектром носителей, обусловленные рассеянием на МП состояниях. Показано, что несферичность потенциала индивидуального центра, обусловленная анизотропией волновой функции примесного электрона, приводит к осцилляциям кинетических коэффициентов с нестандартным периодом по магнитному полю ^ #1//4.

3. Впервые проведено детальное исследование МП состояний в двумерной электронной системе. Получен спектр МП состояний на центрах малого радиуса в квантовой яме. Обнаружено, что МП состояния существуют только при определенном соотношении между магнитной длиной, длиной рассеяния и толщиной двумерного слоя в отличии от трехмерного случая. В частности, при совпадении энергии МП уровня и квантово-размерных уровней, возникает расщепление МП уровней, сравнимое по величине с глубиной их залегания.

4. Исследован водородоподобный атом в двумерной структуре с анизотропным спектром носителей вариационным методом. Показано, что совместное влияние границ слоя и анизотропии эффективной массы электронов полупроводника приводит к деформации примесного атома. Найдена энергия связи водородонодобиого атома как функция параметра анизотропии массы электрона и толщины слоя.

Практическая ценность результатов диссертации.

Полученные в диссертации результаты позволяют проводить расчеты кинетических коэффициентов в двумерных и объемных полупроводниках как с изотропной, так и с анизотропной эффективной массой электронов, определяемых рассеянием носителей на нейтральных центрах в квантующих магнитных полях. На основе найденных волновых функций задачи рассеяния электрона на короткодействующем центре произвольной глубины в магнитном поле, в диссертации вычислены линия поглощения КЦР, проводимость и коэффициент диффузии в полупроводниках, легированных нейтральными примесями малого радиуса. В частности, рассчитанная таким образом полуширина линии квантового циклотронного резонанса позволила устранить существовавшие расхождения между теорией и экспериментом.

Найденные температурно-полевые и частотные зависимости полуширины резонансной кривой, проводимости и коэффициента диффузии позволяют получать непосредственную информацию об энергетическом спектре примесей, их типах и концентрации в полупроводниках в квантующих магнитных полях.

Одним из актуальных направлений физики полупроводников является разработка методов целенаправленного управления энергетическим спектром носителей в них. В диссертации получены зависимости спектра примесных и магнитопримесных состояний от напряженности магнитного поля, глубины примесного потенциала, толщины слоя и положения примеси относительно центра слоя в различных типах полупроводников, легированных нейтральными примесями. В частности, представляет интерес возможность использования МП состояний при создании лазеров на основе полупроводниковых гетероструктур.

Таким образом в диссертации, на основе проведенных автором оригинальных исследований в области теоретической физики взаимодействия заряженных частиц с веществом и физики твердого тела, решена важная научная задача: исследованы магнитопримеспые состояния частицы в двух- и трехмерных структурах с различными законами дисперсии носителей и проведен анализ роли таких состояний в кинетике низкотемпературных явлений в полупроводниках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлова, Татьяна Витальевна, 2006 год

1. Андреев С. П. Тонкая структура линий циклотронного резонанса // ЖЭТФ. 1978. т.75, N.3. - С. 1056-1065.

2. Андреев С. П. Спектры и кинетика систем с магнитоиримесными состояниями при конечном радиусе потенциала // УФН. — 1984. т.143, N.2. — С. 213-238.

3. Andreev S.P., Pavlova T.V. Line Broadening in Quantum Cyclotron Resonance due to Neutral Impurities of Arbitrary Depth // Laser Physics. — 2002. Vol.12, N.ll. P. 1381-1385.

4. Andreev S.P., Pavlova T.V. Quantum Cyclotron Resonance due to Neutral Impurities of Arbitrary Depth // Laser Physics. 2003. Vol.13, N.6. - P. 897-901.

5. Andreev A.S., Andreev S.P., Gurvich Yu.A. The Role of Magnetic-Impurity States in the Broadening of a Quantum Cyclotron Resonance Line // Laser Physics. 1997. Vol.7, N.2. - P. 488-501.

6. Andreev S.P., Pavlova T.V. Magnetic-Impurity Conductivity Oscillations in Semiconductors with a Sharply Anisotropic Effective Mass of Charge Carriers // Laser Physics. 2001. Vol.11, N.12. - P. 1357-1364.

7. Kobori H., Ohyama Т., Otsuka E. Line-Width of Quantum Limit Cyclotron Resonance // J. Phys. Soc. of Japan. 1990. Vol.59, N.6. - P. 2141-2178.

8. Андреев С.П., Кариаков Б.М., Мур В Д. Слабосвязанные состояния электрона во внешнем электромагнитном поле // Письма в ЖЭТФ. — 1983. т.37, N.3. С. 155-157.

9. Скобов В. Г. Рассеяние электрона малой энергии на короткодействующем потенциале в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. — 1959. т.37, N.5. — С. 1467-1469.

10. Гурвич Ю.А., Зилъбермииц А.С. Фотоотрыв электрона, связанного на центре малого радиуса, в магнитном поле // ЖЭТФ. — 1983. т.85, N.4. -С. 12994307.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.:Физматгиз, 1974.- 525 с.

12. Давыдов А.С. Теория твердого тела. — М.:Наука, 1976. — 161 с.

13. Callaway J., LaBahn R.W. Extended Polarization Potential: Applications to Atomic Scattering // Physical Review. 1968. Vol.168, N.l. - P. 12-21.

14. Mianwar B.L., Khaze S.P., Shobha P. Elastic Scattering of Electrons by Hydrogen Atoms of Intermediate Energies // J. Phys. B. — 1975. Vol.8, N.8.- P. 1228-1235.

15. Kawabata A. Theory of Cyclotron Resonsnce Line Width // J. Phys. Soc. of Japan. 1967. Vol.23, N.5. - P. 999-1006.

16. Erginsoy C. Neutral Impurity Scattering in Semiconductors // Phys. Rev. — 1950. Vol.79. P. 1013-1014.

17. Fukai M., Kawamura H., Sekido K., Imai I. Line Broadening of Cyclotron Resonsnce due to Lattice and Neutral Impurity Scattering in Silicon and Germanium // J. Phys. Soc. of Japan. 1964. Vol.19, N.l. - P. 30-39.

18. Благосклопская Л.Е., Гершензоп Е.М., Ладыэ/синский Ю.П., Попова А. П. Рассеяние электронов на нейтральных донорах в полупроводниках // Физика твердого тела. 1969. т. 11. N.10 - С. 2967-2971.

19. Otsuka Е. Line-Width of Classical Limit Cyclotron Resonance // Appl. Phys. of Japan. 1986. Vol. 25, N.l. - P. 303-328.

20. Andreev A.S., Andreev S.P., Gurvich Yu.A. The Role of Magnetic-Impurity States in the Broadening of a Quantum Cyclotron Resonance Line // Laser Physics. 1997. Vol.7, N.2. - P. 488-501.

21. Andreev A.S., Andreev S.P., Gurvich Yu.A., Podlivaev I.F. Line Broadening in a Quantum Cyclotron Resonance due to Neutral Impurities // Laser Physics. 1996. Vol.6, N.6. - P. 1214-1217.

22. Andreev A.S., Andreev S.P., Gurvich Yu.A. Theory of Line Broadening in a Quantum Cyclotron Resonance due to Neutral Impurities // Laser Physics.- 1998. Vol.8, N.l. P. 159-163.

23. Adams E.N., Holstein T.D. Quantum Theory of Transverse Galvano-Magnetic Phenomena // J. Phys. Chem. Solids. 1959. Vol.10. - P. 254-276.

24. Скобов В. Г. К теории проводимости электронного газа в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. 1960. т.38, N.4. - С. 1304-1310.

25. Андреев С. П. Осцилляции проводимости носителей заряда с анизотропным энергетическим спектром в квантующем магнитном ноле // ЖЭТФ.- 1979. т.77, N.3. С. 1046-1057.

26. Андреев С.П., Ткаченко С.В. Атомный ЦР в полупроводниках с анизотропным энергетическим спектром носителей заряда в квантующем магнитном поле // Физика твердого тела. — 1980. т.21, N.11. — С. 3473-3474.

27. Андреев С.П., Полунин В.А. Осцилляции ширины линии атомного циклотронного резонанса // Доклады Академии Наук СССР. — 1982. т.262, N.6. С. 1354-1356.

28. Шкловский В.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных полупроводников. — М.: Наука, 1979. — 416 с.

29. Шик А.Я., Бакуева Л.Г., Мусихин С.Ф., Рыков С.А. Физика низкоразмерных систем. — СПб.: Наука, 2001.

30. Huant S., Najda S.P., Etienne В. Two-dimensional D~ Centers // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol.65, N.12. - P. 1486-1489.

31. Huant S. et al. Well-width Dependence of D~ Cyclotron Resonance in Quantum Wells // Phys. Rev. B. 1993. Vol.48, N.4. - P. 2370-2375.

32. Аидо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. М.:Мир, 1985.

33. Martin B.G., Wallis R.F. Theory of Bound States Associated with n-type Inversion Layers on Silicon // Phys. Rev. B. 1978. Vol.18, N.10. - P. 5644-5648.

34. Bassani F., Iadonisi G., Preziosi B. Electronic Impurity Levels in Semiconductors // Reports on Prog. Phys. 1974. Vol.37. - P. 1099-1210.

35. Kohn W., Luttinger J.H. Theory of Donor States in Silicon // Phys. Rev. — 1955. Vol.98, N.4. P. 915-922.

36. Betancur F.J., Mikhailov I.D. Simple Trial Function for Shallow Donor Do-states in GaAs — Gai-xAlxAs Quantum-well Structures // Phys. Rev. B. — 1995. Vol.51, N.8. P. 4982-4986.

37. Ronald L. Greene, Bajaj K.K. Effect of Magnetic Field on the Energy Levels of a Hydrogenic Impurity Center in GaAs /Ga\-xAlxAs Quantum-well Structures // Phys. Rev. B. 1985. Vol.31, N.2. - P. 913-918.

38. Zang J.X., Rustgi M.L. Energy Levels of a Hydrogenic Impurity in a Parabolic Quantum Well with a Magnetic Field // Phys. Rev. B. 1993. Vol.48, N.4. - P. 2465-2469.

39. Zhao Q.X., Holtz P.O., Pasquarello А., Monemar В., Willander M. Theoretical Calculations of Shallow Acceptor States in GaAs / AlxGa\-xAs Quantum Wells in the Presence of an External Magnetic Field // Phys. Rev. B. 1994. Vol.50, N.4. - P. 2393-2398.

40. Bastard G. Hydrogenic Impurity States in a Quantum Well: A Simple Model // Phys. Rev. B. 1981. Vol.24, N.8. - P. 4714-4722.

41. Kubo R. Statical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems // J. Phys. Soc. Jpn. 1957. Vol.12, N.6. - P. 570-586.

42. Kubo R., Hasegawa H., Hashitsume N. Quantum Theory of Galvano-Magnetic Phenomena I j J. Phys. Soc. Jpn. 1959. Vol.14, N.l. - P. 56.

43. Kubo R., Miyake S.J., Hashitsume N. Quantum Theory of Galvanomagnetic Effect of Extremly Strong Magnetic Fields // Sol. St. Phys. 1965. Vol.17. - P. 269-364.

44. Андреев С. П. Поперечная проводимость в квантующем магнитном поле для случая рассеивателей конечного радиуса // Письма в ЖЭТФ. — 1979. т.ЗО, N.10.-С. 665-668.

45. Narita S., Shinbashi Т., Kobayashi М. Inaxial Stress and Magnetic Field Effects of Far Infrared Photoconductivity of D~ Centers in P, As and Li

46. Dopped Si Crystals. // J. Phys. Soc. of Japan. 1982. Vol.51, N.7. - P. 2186-2193.

47. Демков 10.H., Друкарев Г.Ф. Частица с малой энергией связи в магнитном поле // ЖЭТФ. 1965. т.49, N.1. - С. 257-264.

48. Демков 10.U., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. — Л.:Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. — 141 с.

49. Glaser Е., Shanabrook B.V., Hawkins R.L. et al. Far-Infrared Magnetoabsorption Study of Weakly Bound Electrons in GaAs / AlxGa\-xAs Multiple Quantum Wells // Phys. Rev. B. 1987. Vol.36, N.15. - P. 8185-8188.

50. Pang Т., Louie S.G. Negative-Donor Centers in Semiconductors and Quantum Wells // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol.65, N.13. - P. 1635-1638.

51. Andreev S.P., Pavlova Т. V. Magnetic Impurity Particle States on the Short-Range Potential of Arbitrary Depth // Laser Physics. 2004. Vol.14, N.2.- P. 174-178.

52. Andreev S.P., Pavlova T.V. Hydrogenic Impurity in Two-Dimensional Semiconductors with Anisotropic Energy Spectrum of Carriers // Laser Phys. Lett. 2005. Vol.2, N.12. - P. 608-611.

53. Andreev S.P., Pavlova T.V. Particle in Short-Range Potential in Tvvo-Dimensional Structure in Magnetic Field // Laser Phys. Lett. — 2006. Vol.3, N.6. P. 319-323.

54. Andreev S.P., Pavlova T.V. Magnetic Impurity States of Electron in Two-Dimensional Semiconductor Structures // Laser Physics. — 2006. Vol.16, N.6.- P. 998-1004.

55. Andreev S.P., Pavlova T.V. Quantum Cyclotron Resonance due to Neutral Impurities of Arbitrary Depth // Book of Abstracts 11th International Laser Physics Workshop LPHYS'02. 2002. - P. 87.

56. Andreev S.P., Pavlova T.V. Magnetic Impurity Particle States on the Short-Range Potential of Arbitrary Depth // Book of Abstracts 12th International Laser Physics Workshop LPHYS'03. 2003. - P. 97.

57. Andreev S.P., Pavlova Т. V. Magnetic Impurity Particle States on the Short-Range Potential in Two-Dimensional Structures // Book of Abstracts 13th International Laser Physics Workshop LPHYS'04. 2004. - P. 99.

58. Andreev S.P., Pavlova Т. V. The Role of Magnetic Impurity States of Short-Range Potential in Conductivity of Electron Gas // Book of Abstracts 20th General Conference Condensed Matter Division EPS CMD20. 2004. -P. 111.

59. Андреев С.П., Павлова Т.В. Состояния электрона на нейтральной примеси в двумерных полупроводниках в квантующем магнитном поле // Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2005. — 2005. — С. 276.

60. Andreev S.P., Pavlova T.V. Hydrogenic impurity in two-dimensional semiconductors with anisotropic energy spectrum of carriers // Book of Abstracts 14th International Laser Physics Workshop LPHYS'05. 2005. - P. 179.

61. Андреев С.П., Павлова Т.В. Расчет энергии связи водородоподобной примеси в двумерных полупроводниках с анизотропным энергетическим спектром носителей // Сборник научных трудов IV научно-технической конференции Молодежь в науке. — 2005.

62. Андреев С.П., Павлова Т.В. Энергетический спектр магнитопримесных состояний электрона па D0 центре в двумерной структуре // Сборникнаучных трудов IV научно-технической конференции Молодежь в науке. 2005.

63. Андреев С.П., Павлова Т. В. Квантовый циклотронный резонанс па короткодействующих центрах произвольной глубины // Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2006. 2006. т.4. - С. 197.

64. Андреев С.П., Павлова Т.В. Основное состояние D~ центра в двумерной структуре в магнитном поле // Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ 2006. 2006. т.5. - С. 180.

65. Гурвич ЮЛ. Неоднородное ушпрение линии циклотронного резонанса в полупроводниках в квантующем магнитном поле // ЖЭТФ. — 1974. т.66, N.2. С. 667-678.

66. Андреев С.П., Карнаков Б.М., Кошелкин А.В., Мур В.Д. Состояния с малой энергией связи в короткодействующем потенциале при наличии магнитного поля: Препринт 027-87. МИФИ, 1987. - 24 с.

67. Зырянов П.С., Клингер М.И. Квантовая теория явлений электронного переноса в кристаллических полупроводниках. — М.: Наука, 1976. — 413 с.

68. Зильберман П.Е. Некоторые следствия трансляционной инвариантности в однородных электрическом и магнитном полях // Физика твердого тела. 1970. т. 12, N.6. - С. 1697-1704.

69. Левинсон И. Б. Трансляционная инвариантность в однородных полях и уравнение для матрицы плотности в вигнеровском представлении // ЖЭТФ. 1969. т.57, N.2. - С. 660-672.

70. Друкарев Г.Ф. Столкновения электронов с атомами и молекулами. — М.: Наука, 1978. 158 с.

71. Андреев С.П., Ткаченко С. В. К теории поперечных гальваномагнитных явлений в полупроводниках // ЖЭТФ. 1982. т.82, N.3 - С. 915-925.

72. Поляков Д. Г. Диффузия электронов в квантующем магнитном поле // ЖЭТФ. 1983. т.84, N.2 - С. 749-759.

73. Andreev A.S., Andreev S.P., Gurvich Yu.A. Magnetic-Impurity States of a Particle with an Anisotropic Effective Mass in a Short-Range Potential I j Laser Physics. 1997. Vol.7, N.4. - P. 976-983.

74. Faulkner R.A. Higher Donor Exited States for Prolate-Spheroid Conduction Bands: A Reevaluation of Silikon and Germanium // Phys. Rev. — 1969. Vol.184, N.3. P. 713-721.

75. Бейнихес И.Л., Коган Ш.М. Доноры в многодоменных полупроводниках в приближении центральной ячейки нулевого радиуса // ЖЭТФ. — 1987. т.93, N.1. С. 285-301.

76. Турбинер А.В. Задача о спектре в квантовой механике и процедура «нелинеаризации» // Успехи физических наук. — 1984. т.144, N.1. — С. 35-78.

77. Градштейн И. С., Pudicuk И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1967. — 1086 с.

78. Абрамовиц М., Сгпиган И. Справочник по специальным функциям. — М.-.Наука, 1979. 80 с.

79. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников М.:Наука, 1978. — 301 с.

80. Гершензоп Е.М., Гурвич Ю.А., Орлова С.Л., Птицына Н.Г. Метод регистрации циклотронного резонанса по изменению статической проводимости // Физика твердого тела. — 1967. т.9. — С. 691.

81. Галицкий В.М., Кариаков Б.М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. — М.:Наука, 1981. 154 с.

82. Levine J.D. Nodal Hydrogenic Wave Functions of Donors on Semiconductor Surfaces // Phys. Rev. 1965. Vol. 140A, N.2. - P. 586-589.

83. Fujito M., Natori A., Yasunada H. Magneto-Optical Absorption Spectrum of a D~ Ion in a GaAs — Ga.Qj5Alo.25As Quantum Well // Phys. Rev. B. - 1995. Vol.51, N.7. - P. 4637-4640.

84. Hasegawa H., Howard R.E. Optical Absorption Spectrum of Hydrogenic Atoms in a Strong Magnetic Field // J. Phys. Chcm. Solids. — 1961. Vol.21, N.314. P. 179-198.

85. Горькое Л.П., Дзялошииский И.Е. К теории экситона Мотта в сильном магнитном поле. // ЖЭТФ. 1967. т.53, N.2. - С. 717-722.

86. Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Елантьев А.И. Энергетический спектр доноров в GaAs и Ge и влияние на него магнитного поля. // ЖЭТФ. — 1977. т.72, N.3. С. 1062-1080.

87. Lee N., Larsen D.M., Lax В. Exiton Levels in a Magnetic Field // J. Phys. Chem. Solids. 1973. Vol.34, N.6. - P. 1059-1067.

88. Praddaudc M. C. Energy Levels of Hydrogenic Atoms in a Strong Magnetic Field // Phys. Rev. 1972. V0I.6A, N.4. - P. 1321-1324.

89. Smith E.D., Henry R.J.W., Surmelian C.L., 0'Cornell R.F., Rajagopal A.K. Energy Spectrum of the Hydrogenic Atom in a Strong Magnetic Field // Phys. Rev. 1972. V0I.6D, N.12. - P. 3700-3702.

90. Бенеславский С.Д., Энтралъго Э. Магнитокулоновские уровни в полупроводниках с сильно анизотропными законами дисперсии электронов. // ЖЭТФ. 1975. т.68, N.6. - С. 2271-2275.

91. Бычков Ю.А. Квантовая теория электропроводности металлов в сильных магнитных полях // ЖЭТФ. 1960. т.39, N.3. - С. 689-702.

92. Gershenson Е.М., Mel'nikov А.P., Rabinovich R.I. Modern Problems in Condensed Matter Sciences // North-Holland. 1985. Vol.10. - P. 483.

93. Брандгп Н.Б., Любутипа Н.Г. Исследование эффекта де Гааза-Ван Аль-фена у сплавов висмута с селеном, теллуром и цинком // ЖЭТФ. — 1967. т.52, N.3 С. 686-698.

94. Taniguchi М., Narita S. Isolated D~ States and D~ Complexes in Germanium in Magnetic Fields // J. Phys. Soc. of Japan. — 1979. Vol.47, N.5. P. 1503-1510.

95. Cohn D.R., Lax В., Button K.J., Dreybrodt W. Anomalous Far Infrared Magnetoabsorption in n-CdS // Solid State Communications. — 1971. Vol.9. P. 441-444.