Магнитооптические эффекты в одномерных магнитофотонных кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.11, кандидат физико-математических наук Ерохин, Сергей Геннадьевич

• Ерохин, Сергей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ерохин, Сергей Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР

1.1. Магнитооптические явления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитооптические эффекты в одномерных магнитофотонных кристаллах»

4.2. Модель 69

4.3. Результаты 70

4.4. Заключение 82

4.5. Выводы к главе 4 84

ГЛАВА 5. МЕТОД РАСЧЕТА МАГНИТООПТИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ В

МНОГОСЛОЙНЫХ СИСТЕМАХ КВАНТОВЫХ ЯМ 85

5.1. Введение: Квантовые ямы 85

5.2. Метод расчета 87

5.3. Вывод к главе 5 91

ГЛАВА 6. МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ОДНОМЕРНЫХ

МАГНИТОФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ НА ОСНОВЕ КВАНТОВЫХ ЯМ 92

6.1. Структура 92

6.2. Эффект Фарадея 93

6.3. Схема модулятора 96

6.4. Выводы к главе 6 100

7. ВЫВОДЫ 101

8. ПРИЛОЖЕНИЕ 109

9. ЛИТЕРАТУРА 110

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы значительное внимание уделяется исследованию магнитооптических (МО), свойств искусственно созданных магнитных наноструктур, таких как тонкие пленки на основе ферромагнитных металлов и магнитных полупроводников, нанокомпозиты, мультислойные структуры, магнитофотонные кристаллы. Это связано с целым рядом факторов, имеющих как научное, так и прикладное значение. Во-первых, МО методы весьма эффективны для изучения особенностей разнообразных свойств магнитных наноструктур и позволяют изучать процессы перемагничивания и спиновую динамику с рекордным быстродействием, превышающим пикосекундное разрешение. Во-вторых, с помощью МО методик возможно определение спиновой поляризации электронов в создаваемых новых магнитных материалах, таких как ферромагнитных при температурах выше комнатной разбавленных магнитных полупроводниках и оксидах, и перспективных материалах спинтроники. В-третьих, исследование механизмов взаимодействия электромагнитного излучения с ферромагнетиками и целенаправленный поиск усиления МО отклика имеет самостоятельное научное значение и необходимо для создания нового поколения МО устройств оптоэлектроники, систем отображения, хранения и передачи информации, магнитной голографии, магнитных сенсоров и т. д.

Магнитофотонные кристаллы (МФК) - это одно-, двух-, или трёхмерные периодические структуры, период которых сравним с длиной волны электромагнитного излучения и которые состоят как из немагнитных, так и магнитных компонент [1],[2]. Отличительной чертой фотонных кристаллов (ФК) является появление запрещённых зон в спектре электромагнитного излучения, т.е. интервалов длин волн, где свет или не распространяется, или распространяются только определённые его поляризации. Применение магнитных материалов в качестве компонент ФК открыло целый ряд преимуществ, а, именно, позволило как усилить МО эффекты, так и наметить пути к созданию управляемых магнитным полем устройств магнитофотоники [1,2]. Однако, наличие поглощения света в большинстве МО материалах существенно ограничивает возможности их использования в МФК, поэтому нахождение на основе теоретического исследования условий, когда поглощение света в магнетиках не является препятствием для усиления какого-либо конкретного МО эффекта в МФК, является важной задачей, определяющей развитие данного направления магнитофотоники.

Целью работы явилась разработка теории МО эффектов в одномерных МФК и нахождение способов усиления этих эффектов, как за' счет использования новых магнитных материалов, так и оптимизации характера распределения электромагнитного поля в МФК при наличии поглощения света. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- разработка методики и программного обеспечения для расчёта МО отклика многослойных структур с учётом пространственной дисперсии

- нахождение условий усиления МО эффектов Фарадея и Керра в одномерных МФК на основе ферритов-гранатов

- исследование возможности использования в МФК магнитных наноком-позитов и других материалов, характеризующихся поглощением света

- исследование МО эффектов в резонансных МФК на основе экситонных возбуждений в квантовых ямах магнитных полупроводников

Первая глава диссертационной работы имеет обзорный характер. В ней изложены основные результаты экспериментальных и теоретических работ, посвящённых физике ФК и МФК, магнитооптике многослойных структур и МО приложениям.

Во второй'главе описан метод расчёта МО эффектов в многослойных структурах. Метод расчёта основан на методе трансфер-матриц с обобщением на магнитооптику. Используя эту методику, удаётся получить точное решение уравнений Максвелла для планарных структур, т.е. появляется возможность учёта квадратичных поправок по недиагональным компонентам диэлектрической проницаемости.

В третьей главе проводится исследование различных МО эффектов в одномерных МФК на основе достаточно прозрачных ферромагнетиков, какими являются ферриты-гранаты в соответствующей области спектра. Рассмотрены эффекты Фарадея, Керра и МРЭ в МФК. Произведено сравнение с экспериментальными данными.

В четвёртой главе-предложен и рассмотрен новый тип одномерных ФК, в которых контраст импеданса слоев достигается за счет отличия не действительных, а мнимых частей диэлектрических проницаемостей слоёв. Показано, что в таких структурах запрещенные зоны конечной,ширины не образуются, а имеются их признаки (следы), в окрестности которых коэффициент прохождения может быть либо больше, либо меньше, чем в гомогенизированном образце тех же размеров и с тем же суммарным поглощением.

В пятой главе разработаны методика и комплекс программ для рас' чёта МО эффектов в произвольных конечных, многослойных структурах квантовых ям при нормальном угле падения света.

В шестой' главе проводится теоретическое изучение нового класса МФК, построенных на основе структуры брегговских квантовых ям (Bragg multiple-quantum-well structures). Такие материалы принадлежат к классу так называемых резонансных ФК, потому что множественное переотражение света на периодической структуре дополняется резонансным взаимодействием с экситонами в квантовых ямах.

Полученные в диссертационной работе результаты расширяют представление о МО явлениях в МФК и наноструктурах. Выявленное сильное влияние особенностей распределения электрического поля в резонаторах типа Фабри-Перо на усиление МО эффектов Фарадея и Керра, магниторефрак-тивного эффекта (МРЭ) позволяет не только достичь высоких для этих МО эффектов значений, но и дает возможность использования в МФК материалов с поглощением, таких как магнитные нанокомпозиты или магнитные полупроводники. Впервые предложена и рассмотрена модель ФК с контрастом на затухании и показано, что коэффициенты прохождения, отражения и поглощения света зависят от периодического или непериодического характера распределения поглощающих свет центров. Предсказана возможность значительного усиления МО эффектов в МФК на основе экситонных возбуждений в квантовых ямах. Выполненные теоретические исследования позволили предложить новый тип управляемых магнитным полем модуляторов света на основе экситонных возбуждений в квантовой яме, существующей в ФК. Результаты работы могут быть использованы для разработки и оптимизации функциональных устройств магнитофотоники на основе МФК.

1. ОБЗОР

Заключение диссертации по теме «Физика магнитных явлений», Ерохин, Сергей Геннадьевич

Результаты работы изложены: статьи и материалы конференций

1. А.П. Виноградов, С.Г. Ерохин, А.Б. Грановский, М. Инуе, Исследование эффекта Фарадея в многослойных одномерных системах, Радиотехника и электроника, 49, 96 (2004).

2. А.П. Виноградов, С.Г. Ерохин, А.Б. Грановский, М. Инуе, Полярный эффект Керра в многослойных системах (магнитофотонных кристаллах), Радиотехника и электроника, 49, 726 (2004).

3. S. Erokhin, Yu. Boriskina, A. Vinogradov, М. Inoue, D. Kobayashi, A. Fedyanin, M. Kochneva, E. Gan'shina, A. Granovsky, Transverse Kerr ef- . feet in one-dimensional magnetophotonic crystals: experiment and theory, JMMM, 300, e257 (2006).

4. Ю.В. Борискина, С.Г.Ерохин, А.Б.Грановский, А.П.Виноградов, М.Инуе, Усиление магниторефрактивного эффекта в магнитофотонных кристаллах, ФТТ, 48, 674 (2006).

5. С.Г. Ерохин, А.П.Виноградов, А.Б Грановский, М.Инуе, Распределение поля световой волны в окрестности магнитного дефекта в одномерных фотонных кристаллах, ФТТ, 49, 477 (2007).

6. А.Б. Грановский, Е.А. Ганыпина, А.Н. Юрасов, Ю.В. Борискина, С.Г. Ерохин, А.Б. Ханикаев, М. Иноуе, А.П. Виноградов и Ю.П. Сухоруков, Магниторефрактивный эффект в наноструктурах, манганитах и магнитофотонных кристаллах, Радиотехника и электроника 52, 1152 (2007)

7. S. G. Erokhin, Y. V. Boriskina, А. В. Granovsky, А. P. Vinogradov, X.S. Zhao and М. Inoue, Magnetorefractive effect in magnetophotonic crystals, Mater.Res.Soc.Symp.Proc. 834, J5.3 (2005).

8. A.P. Vinogradov, S.G. Erokhin, A.B. Granovsky, M. Inoue, A. Lisyansky and A. M. Merzlikin, On electrodynamics of one-dimensional random systems and related magneto-optical phenomena, Electromagnetic Materials, Proceedings of the Symposium F, ICMAT 2003, p.21-23, SUNTEC, Singapore, 7-12 December 2003

9. A.Granovsky, M.Inoue, A.Vinogradov, and S.Erokhin, Recent results on magnetorefractive effect in nanocomposites and magnetooptics in magneto-photonic crystals, Proceedings of International Workshop on Novel Electromagnetic Functions of Nanoscale Materials, Toyohashi University of Technology, Japan, p.60-64, 2003

10.A.P.Vinogradov, S.G.Erokhin, A.B.Granovsky, M.Inoue, A.M.Merzlikin, Electromagnetic band gap theory of light localization with application in magnetophotonics, Proceedings of 27th ESA Antenna Workshop on Innovative Periodic Antennas, p. 222-224, March 2004, Spain

П.А.Б.Ханикаев, А.М.Мерзликин, С.Г. Ерохин, Ю.В. Борискина, А.П.Виноградов, М. Инуе, А.Б.Грановский, Магнитооптика одномерных, двумерных и трехмерных магнитофотонных кристаллов, Сборник трудов НМММ-20, Юбилейная XX Международная нпсола-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники", БС-1, 1216 июня 2006, Россия, Москва 12.Магнитооптические эффекты на отражении в магнитофотонных кристаллах, С.Г. Ерохин, А.П. Виноградов, А.Б. Грановский, Сборник трудов XIX Международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" 28 июня - 2 июля, 2004, Москва, с.619-620 13 .Магниторефрактивный эффект в магнитофотонных кристаллах, С.Г. Ерохин, А.П. Виноградов, А.Б. Грановский, Сборник трудов XIX Международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" 28 июня - 2 июля, 2004, Москва, с.621-622 14.Метод определения компонент тензора диэлектрической проницаемости прозрачных магнитооптических материалов, М.В. Вашук, Е.А. Ганыдина, С.Г. Ерохин, А.П. Виноградов, Сборник трудов XIX Международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" 28 июня - 2 июля, 2004, Москва, с.623-624 тезисы докладов

1. Influence of electric field distribution near a lossy defect on magnetooptics in one-dimensional magnetophotonic crystals, S.G. Erokhin, A.P. Vinogradov, A.M. Merzlikin, A.B. Granovsky, H. Uchida and M. Inoue, EAST-MAG-2004, 2nd Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism", p. 234, Krasnoyarsk, Russia, 24—27 August 2004

2. Eigenmodes in 2D magnetophotonic crystals, A.P. Vinogradov, S.G. Erokhin, A.M. Merzlikin, A.B. Granovsky , A.B. Khanikaev and M. Inoue, EASTMAG-2004, 2nd Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism", p. 235, Krasnoyarsk, Russia, 24—27 August 2004

3. Enhancement of Magnetooptic Responce by Surface State (Tamm) Resonance in ID Magneto Photonic Crystal, A.M. Merzlikin, A.V.Dorofeenko, S.G.Erokhin, M.Inoue, A.A.Lisyansky, A.P.Vinogradov, and A.B.Granovsky, MORIS 2006 Workshop June 6 - 8, WeZ-02, Japan

4. Магнитооптика магнитофотонных кристаллов, А.П. Виноградов, С.Г. Ерохин; А.Б. Грановский, М. Инуе, A.M. Мерзликин, X. Учида, International Baikal Scientific Conference "Magnetic Materials", c. 40-41, Irkutsk, Russia, August 2003

5. Excitonic magnetophotonic one-dimensional structures, S. Erokhin, L. Deych, A. Lisyansky, A. Granovsky, ICFM 2007: Metamaterials. Photonic, Magnonic and Phononic crystals, October 1-6, 2007 Crimea, Ukraine

6. Magnetooptics in magnetophotonic crystals, Vinogradov A.P., Erokhin S.G., Granovsky A.B., Inoue M., Merzlikin A.M., Uchida H., Symposium on Magnetism of thin films, ultra-fine particles and nanostructures ,Astrakhan, Russia, September, 2003

7. Influence of electric field distribution near a lossy defect on magnetooptics in one-dimensional magnetophotonic crystals, Erokhin S.G., Vinogradov A.P., Merzlikin A.M., Granovsky A.B., Uchida H., Inoue M., Symposium and summer school "Nano and Giga Challenges in Microelectronics", p. 234, Cracow,Poland, 2004

8. Eigenmodes in 2D magnetophotonic crystals, Vinogradov A.P., Erokhin S.G., Merzlikin A.M., Granovsky A.B., Khanikaev A.B., Inoue M., Symposium and summer school "Nano and Giga Challenges in Microelectronics", p. 235, Cracow,Poland, 2004

9. Исследование эффекта Фарадея в многослойных одномерных системах, С.Г. Ерохин, Четвёртая ежегодная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН, с. 42, Москва, февраль 2003

10.Эффекты Фарадея и Керра в магнитофотонных кристаллах, С.Г. Ерохин, А.Б. Грановский, А.П. Виноградов, Пятая ежегодная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН, с. 20-21, Москва, март 2004

11 .Зонная структура двухмерных магнитофотонных кристаллов А.П. Виноградов, А.Б. Грановский, A.M. Мерзликин, С.Г. Ерохин, Пятая ежегодная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН, с. 17, Москва, март 2004

VI.Исследование эффекта Фарадея в многослойных одномерных структурах, С.Г. Ерохин, Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов -2003", с. 199-201, Москва, апрель 2003

13 .Магнитофотонные кристаллы на основе нанокомпозитов, С.Г. Ерохин, Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов -2004", с.204-205, Москва, апрель 2004

14.Эффекты Фарадея и Керра в магнитофотонных кристаллах, А.Б. Грановский, А.П. Виноградов, С.Г. Брохин, XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка - 2004", С.130-С, Екатеринбург-Челябинск, Россия, февраль 2004

4.4. Заключение

Таким образом, в ФК, построенном на контрасте затухания, имеются признаки (следы) запрещенных зон, обусловленных интерференцией волн при периодически модулированном импедансе. Эти признаки проявляются в значительных отклонениях коэффициентов прохождения, отражения и затухания от гомогенизированного случая. Коэффициент прохождения может быть как больше, так и меньше, чем при однородном распределении поглощающих центров. Причиной этих отклонений является перераспределение электрического поля внутри ячейки ФК. Прохождение света оказывается зависимым от характера распределения поглощающих центров в образце. Высказанное утверждение достаточно очевидно. Действительно, представим, что в однородный и прозрачный образец, в котором распространяется волна, и поэтому имеются максимумы и минимумы электрического поля, вставлен дельта-слой поглощающих центров. Тогда, если этот дельта-слой расположен в области максимума поля поглощение будет существенно больше, чем когда этот слой будет расположен в области нулевых значений поля. Подобное же происходит в рассмотренных в данной работе ФК. Но вдали от областей конструктивной интерференции, которые могут быть найдены с помощью решения Рытова, эти эффекты пренебрежимо малы.

Отметим, что рассмотренная ситуация вполне реализуема в эксперименте либо последовательным напылением двух разных материалов с одинаковыми показателями преломления, либо путем создания в однородном материале периодически расположенных центров затухания. Последнее можно достичь имплантацией или фото сенсибилизацией. Интересным могла быть структура, содержащая периодическую последовательность квантовых ям с высокой прозрачностью на определенной рабочей длине волны. При облучении такой структуры на длине волны резонанса экситонов квантовых ям, возникло бы затухание в квантовых ямах, что привело бы к изменению прозрачности системы на рабочей длине волны. То есть данная структура была бы управляемым светом модулятором излучения

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ерохин, Сергей Геннадьевич, 2008 год

1. 1.oue М. Fujikawa R., Baryshev A. et al, Magnetophotonic crystals, J. Phys. D: Appl. Phys. 39 (2006) R151

2. Inoue M., Granovsky A., Aksipetrov O. et al, Chapter: Magnetophotonic crystals, Springer-Verlag Magnetic nanostructures (2007)

3. Физическая энциклопедия, M.: Наука (1988)

4. Кринчик Г. С., Физика магнитных явлений, Издательство Московского университета (1985)

5. Звездин А. К., Котов В. А. Магнитооптика тонких плёнок. М.: Наука (1988)

6. Кособукин В. А., Фотонные кристаллы, Окно в Микро Мир 4 (2002) 4

7. Yablonovitch Е. Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987)

8. John S. Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987)

9. Johnson S G and Joannoupolos J D 2002 Photonic Crystals: The Road from Theory to Practice (Boston: Kluwer)

10. Soukoulis С (ed) 2000 Photonic Crystals and Light Localization in the 21st Century 2001: Proc. NATO Advanced Study Institute. 'Photonic Crystals and Light Localization' (Crete, Greece, 2000), NATO Science Series (Dodrecht: Kluwer).

11. Sakoda К 2001 Optical Properties of Photonic Crystals (Berlin: Springer)

12. Londergan J T, Carini J P and Murdock D P 1999 Binding and Scattering in Two-Dimensional Systems: Application to Quantum Wires, Waveguides and Photonic Crystals (Berlin: Springer)

13. Soukoulis С (ed) 2000 Photonic Crystals and Light Localization in the 21st Century 2001: Proc. NATO Advanced Study Institute. 'Photonic Crystals and Light

14. Localization' (Crete, Greece, 2000), NATO Science Series (Dodrecht: Klu-wer).

15. Sakoda К 2001 Optical Properties of Photonic Crystals (Berlin: Springer)

16. Lyubchanskii I. L., Dadoenkova N.N., Lyubchanskii V. I., et al // J. Phys. D : Appl. Phys. 2003, V. 36, P. R277

17. Кринчик Г.С. , Шалыгина E.E. и др. // Изв. Вузов MB и ССО, Физика, 10(1989) 10-14

18. Шалыгина Е.Е. Докторская диссертация «Магнитооптическое исследование магнитных микроструктур», Москва, 1990 i

19. Кринчик Г.С., Шалыгина Е.Е. и др. // ЖЭТФ, 74, №2 (1978) 714-719

20. Кринчик Г.С., Чепурова Е.Е. Кузнецова И.М // ВИНИТИ, №6198-В89 (1989), с. 57

21. Kohmoto М., Sutherland В., and Iguchi К. // Phys. Rev. Lett. 1987 V. 58. № 23. P. 2436.

22. Rosenberg R., Rubinstein С. B. and Heriott D. R. Appl. Optics 3 (1964) 1079

23. Inoue M., Yamamoto Т., Isamoto K., and Fujii T. // J. Appl. Phys. 1996 V. 79. № 8. P. 5988

24. Takayama T et al 2000 J. Magn. Soc. Japan. 24 391 (in Japanese)

25. Fedyanin A A, et al 2004 IEEE Trans. Magn. 40 2850'

26. Inoue M., Fujii T. // J. Appl. Phys. 1997 V. 81. № 8. P. 5659.

27. Inoue M., Arai K, Fujii Т., Abe M. // J. Appl. Phys. 1998 V. 83. № 11. p. 6768.

28. Inoue M., Arai K., Fujii Т., Abe M. // J. Appl. Phys. 1999 V. 85. № 8. P. 5768.

29. Takeda E., Todoroki N., Kitamoto Y. et al. // J. Appl. Phys. 2000 V. 87. № 9. P.6782.31 . Kushwaha M S and Martinez G // Phys. Rev. 2002 В 65 153202

30. Golosovsky M, Saado Y and Davidov D // 1999 Appl. Phys. Lett. 75 4168

31. Saado Y, Golosovsky M, Davidov D and Frenkel A // 2001 Synth. Metals 116 427

32. Saado Y, Ji T, Golosovsky M, Davidov D, Avni Y and Frenkel A // 2001 Opt. Mater. 17 1

33. Golosovsky M, Saado Y and Davidov D // 2002 Phys. Rev. E 65 06145

34. Saado Y, Golosovsky M, Davidov D and Frenkel A // 2002 Phys. Rev. В 66 195108

35. Семенцов Д.И. 1980 Микроэлектроника 9 473

36. Dadoenkova N N, Lyubchanskii I L, Lyubchanskii M I and Rasing Th // 1999 Appl. Phys. Lett. 74 1880

37. Fedyanin A A, Yoshida T, Nishimura K, Marowsky G, Inoue M and Aktsipetrov OA// 2002 JETP Lett. 76 527

38. Fedyanin A A, Nishimura K, Marowsky G, Inoue M and Aktsipetrov OA// 2003 J. Magn. Magn. Mater. 258-259 96

39. Murzina T V, Karpov R V, Rassudov A A, Aktsipetrov О A, Nishimura K, Ushuda H and Inoue M // 2003 JETP Letters.77 537

40. Zak J., Moog E.R., Liu C. and Bader S.D. // J. Magn. Magn. Mat. 1990 V. 89. P.107.

41. Vinogradov A. P., Merzlikin A. M. Advances in Electromagnetics of Complex Media and Metamaterials, p. 341-361, ed. by S. Zouhdi and A. Sihvola, ) Kluwer Academic Publishers Dordrecht 2003

42. Kato H., Matsushita N., Takayama A., et all // IEEE Tr. Mag, 2002, V. 38, № 5, P. 3246

43. Steel M.J., Levy V., and Osgood R. M. // IEEE Photonics Tech. Lett. 2000, V.12, P. 1171

44. Steel M.J., Levy V., and Osgood R. M. // IEEE Photonics Tech. Lett. 2000, V.12, P. 1171

45. Argyres P. N. // Phys. Rev. 1955, V. 97, № 2, P. 334

46. Kato H., Matsushita N., Takayama A., et all // J. Appl. Phys. 2003, V. 93, № 7, p. 3906 , V. 91, № 10, P. 7017

47. А.Б. Грановский и др. // ЖЭТФ, 2003, том 123, вып. 6, стр. 1256-1265

48. А.В. Granovsky, M.Inoue // J.Magn.Magn.Mat. 272-276, Suppl.l (2004) E1601

49. A.A. Козлов, E.A. Ганыпина, И.В. Быков, А.Б. Грановский, B.C. Гущин, С. Онума, Т. Масумото // ФТТ (принято в печать)

50. А.Б. Грановский, А.А. Козлов, Т.В. Багмут, С.В. Недух, С.И. Тарапов, Ж.П. Клерк//ФТТ, 2005.

51. Kronig R. de L., Penney W.G., Quantum mechanics of electrons in crystal lattices, "Proc. Roy. Soc. London", 1931 V.130A, p.49

52. A. Yariv, P. Yeh Optical waves in crystals (Wley-Interscience Publication John Wiley&Sons Inc. NY 1984

53. Brillouin L, Parodi M Wave Propagation in Periodic Structures (New York: Dover Publ, 1953)

54. L. M. Brekhovskikh, Waves in Layered Media (Academic, New York, 1960).

55. S. M. Rytov, Akust. Zh. 2, 71 (1956) Sov. Phys.-Acoust. 2, 68 (1956)

56. M. Born, E. Wolf Principles of Optics, sixth edition, Pergamon Press 1993

57. E.L Ivchenko, M.M. Voronov, M.E. Erementchouk, L.I. Deych, A.A. Lisyansky, Phys. Rev. В 70, 195106 (2004)

58. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А, Квазичастицы в физике конденсированного состояния, Москва (2007)

59. Ivchenko Е. L., Optical Spectroscopy of Semiconductor Nanostructures, Alpha Science International, Ltd (2005)114

60. Ivchenko E. L., Voronov M. M., Erementchouk M. E., Deych L. I., Li-syansky A.A., Phys. Rev. В 70 (2004) 195106