Магнитные поля и диффузия космических лучей в Галактике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Киселев Александр Михайлович

• Киселев Александр Михайлович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Киселев Александр Михайлович

1.2 Изотропный случай

1.2.1 Тензорная структура коррелятора скорости

1.2.2 Коррелятор магнитного поля

1.2.3 Расщепление корреляторов

1.2.4 Итоговое уравнение. Нелинейность

1.2.5 Безразмерное уравнение

1.2.6 Решение стационарного уравнения

1.2.7 Уравнение Шредингера с переменной массой

1.3 Учет среднего магнитного поля

1.3.1 Уравнения эволюции анизотропных корреляторов

1.3.2 Предел большого среднего поля

1.3.3 Случай малого среднего поля

1.4 Магнитные поля в молекулярном облаке Sgr B2

1.5 Сравнение с другими работами

1.6 Выводы по главе

2 Учет негауссовости поля скорости

2.1 Программа для операций с тензорами на языке Wolfram Mathematica

2.1.1 Символьные вычисления

2.1.2 Структура хранения тензоров

2.1.3 Алгоритм свертки

2.1.4 Дифференцирование тензоров

2.1.5 Примеры вычислений и проверка

2.2 Вывод уравнения эволюции

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Обобщенная формула Фурутцу-Новикова

2.2.3 Интегралы по времени

2.2.4 Трехточечный коррелятор скорости - симметрии

2.2.5 Трехточечный коррелятор скорости - ответ

2.2.6 Трехточечный коррелятор скорости - сшивка

2.2.7 Тензорные уравнения для коррелятора

2.2.8 Скалярное уравнение для магнитного поля

2.3 Анализ уравнения эволюции

2.3.1 Вид функций V(г)

2.3.2 Безразмерное уравнение

2.3.3 Асимптотики решений

2.3.4 Аналитические результаты для

2.3.5 Выделенное значение /

2.4 Численные результаты

2.4.1 Случай х0 = то

2.4.2 Специальный случай без инерционного интервала

2.4.3 Полная задача

2.5 Выводы по главе

3 Диффузия заряженных частиц в бессиловом стохастическом

магнитном поле

3.1 Введение

3.2 Общие соотношения

3.2.1 Большие ларморовские радиусы

3.3 Малые ларморовские радиусы

3.3.1 "Бессиловое"магнитное поле

3.3.2 Движение частицы

3.3.3 Коэффициент диффузии

3.3.4 Усреднение по начальным скоростям

3.3.5 Усреднение по спектру

3.4 Диффузия космических лучей в Галактике

3.5 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Вывод уравнения эволюции в к-пространстве

Приложение Б. Решение анизотропных уравнений при Н ^

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитные поля и диффузия космических лучей в Галактике»

Актуальность проблемы

Согласно общепринятой теории образования и распространения космических лучей, их первичная компонента состоит преимущественно из протонов и не содержит антивещества. При распространении в Галактике первичные космические лучи взаимодействуют с газом, в результате чего образуется вторичные частицы, в в том числе антипротоны и позитроны. Вычисленный в рамках такой теории энергетический спектр вторичных частиц должен степенным образом спадать с ростом энергии. Также таким же образом должно вести себя отношение числа античастиц к числу частиц [1]. Однако, в 2009 году были опубликованы данные с орбительного прибора PAMELA, который обнаружил избыток позитронов с энергиями 10 — 100 ГэВ в космических лучах [2]. Позднее эти результаты были расширены [3] и подтверждены спутником Fermi [4] и инструментом AMS [5]. По последним данным AMS, избыток позитронов наблюдается вплоть до энергии 500 ГэВ.

Эти наблюдения привлекли к себе большое внимание, и было предложено несколько теоретических моделей для их объяснения, включая вклад пульсаров и аннигиляцию темной материи. Однако возможен другой, менее экзотический механизм образования позитронов в Галактике - ускорение частиц в гигантских молекулярных облаках и образование там же вторичных космических лучей. Эта идея была предложена задолго до запуска прибора PAMELA в работе В.А. Догеля, А.В. Гуревича, Я.Н. Истомина и К.П. Зыбина [6], а позже развивалась в [7, 8]. Однако в этих работах использовалась упрощенная модель распространения частиц в магнитных полях молекулярных облаков. В связи с появлением данных об избытке позитронов, требуется детальное исследование космических лучей в молекулярных облаках.

Молекулярные облака состоят преимущественно из нейтрального водорода. По данным наблюдений, газ в молекулярных облаках слабоионизован, а его движение имеет турбулентный характер. В такой системе возникает стохастическое магнитное поле. Этот процесс носит название турбулентного динамо. Распространение заряженных частиц в случайном магнитном поле имеет диффузионный характер. Чтобы вычислить распределение космических лучей внутри облака, требуется знать коэффиент диффузии для частиц различных энергий. Коэффициент диффузии определяется спектром магнитного поля. Поскольку экспериментальные данные недостаточны, спектр магнитного поля в молекулярных облаках может быть рассчитан только с использованием теоретических моделей.

Одним из самых известных аналитических подходов к изучению динамо в турбулентной среде является метод Казанцева-Крейчнана [9], [10]. Существуют и другие способы исследования турбулентного динамо - модели среднего поля (см. например [18]) и Лагранжевых деформаций [19]. Чаще всего в литературе используются уравнения одножидкостной магнитной гидродинамики [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Слабоионизованный газ в молекулярных облаках необходимо описывать с помощью двухжидкостной магнитной гидродинамики. Динамо в такой системе также изучалась, см. например [17], но гораздо меньше.

Несмотря на многолетние исследования магнитного динамо, многие вопросы в этой области остаются открытыми. Например, известно, что молекулярные облака в центре Галактики окружены однородным магнитным полем, а в теоретических моделях влияние среднего поля исследовано плохо. С другой стороны, в модели Казанцева-Крейчнана поле скоростей несжимаемой жидкости считается гауссовым случайным процессом с нулевым средним. Это означает, в том числе, что все корреляторы нечетных степеней равны нулю. Однако в реальной турбулентности это не так. Колмогоровский закон «четырех пятых»

[20] утверждает, что кубический коррелятор не равен нулю, в инерционном интервале он пропорционален расстоянию между точками. Для лучшего понимания процесса магнитного динамо требуется развитие теоретических моделей -учет среднего магнитного поля и негауссовости поля скоростей.

Структура магнитного поля определяет коэффициенты диффузии заряженных частиц в молекулярных облаках. Однако вычисление коэффициента диффузии является нетривиальной задачей.

Наиболее разработанный на данный момент подход к вычислению коэффициентов диффузии - квазилинейная теория, впервые предложенная в работе [21]. В данной теории предполагается, что магнитное поле есть сумма однородного поля и случайных флуктуаций, причем амплитуда флуктуаций много меньше среднего поля. Это позволяет использовать теорию возмущений и аналитически найти коэффициент диффузии. Однако во многих астрофизических системах флуктуации сравнимы или сильно превышают среднее магнитное поле. В таком случае квазилинейная теория неприменима. Поэтому изучение диффузии частиц в магнитном поле с большими флуктуациями имеет множество применений в астрофизике космических лучей. Среди них задачи о распространении космических лучей в Галактических молекулярных облаках [22], в Галактике в целом, в скоплениях галактик [23], а также задача об ускорении космических лучей на ударных волнах в остатках сверхновых [24].

Цель и задачи работы

Целью работы является вычисление коэффициента диффузии заряженных частиц в стохастическом магнитном поле.

Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучить пространственную структуру магнитного поля в галактических

молекулярных облаках. Получить уравнение эволюции парного коррелятора магнитного поля с учетом однородного среднего магнитного поля. Исследовать тензорную структуру анизотропных корреляторов магнитного поля в данном случае. Найти соотношение между средним магнитным полем и амплитудой флуктуаций магнитного поля.

2. Вычислить корреляционную длину магнитного поля в молекулярном облаке В2.

3. Построить обобщение модели Казанцева-Крейчнана для негауссового поля скоростей жидкости с учетом ненулевого трехточечного коррелятора скорости. Получить уравнение эволюции парного коррелятора магнитного поля и исследовать его экспоненциальные моды. Найти область параметров, при которых магнитное поле растет со временем.

4. Вычислить коэффициент диффузии заряженных частиц в стохастическом магнитном поле с малым средним полем. Для этого найти конфигурацию регулярного магнитного поля, в котором уравнения движения частицы интегрируются аналитически. Усреднить закон движения частицы по спектру магнитного поля и найти зависимость коэффициента диффузии частиц от их энергии.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

1. Получена замкнутая система анизотропных уравнений эволюции парного коррелятора магнитного поля при наличии среднего магнитного поля.

2. Впервые вычислен вклад ненулевого трехточечного коррелятора скорости в уравнение эволюции магнитного поля в инерционном интервале.

3. Аналитически вычислен коэффициент диффузии частиц в «бессиловом» стохастическом магнитном поле.

Практическая ценность

Для решения многих задач физики плазмы и взаимодействия высокоэнергичных заряженных частиц с плазмой требуется знать параметры магнитного поля в данной системе. Однако для многих астрофизических систем и наземных плазменных установок напрямую возможно измерить только внешние параметры плазмы. Экспериментально определить спектр магнитного поля невозможно, особенно для удаленных космических объектов. Поэтому теоретические предсказания пространственных характеристик магнитного поля имеют важное значение. Они позволяют вычислить коэффициент диффузии заряженных частиц.

В свою очередь изучение диффузии частиц в магнитном поле с большими флуктуациями позволяет определить пространственное распределение космических лучей. Эта задача имеет множество применений в астрофизике.

Методология и методы исследования.

В ходе работы применялись современные методы физики плазмы. Расщепление корреляторов базировалось на методе Фурутцу-Новикова. Использовались численные расчеты, а также символьные вычисления в специально разработанном автором программном пакете.

Защищаемые положения

1. В слабоионизованном газе при большом числе Рейдольдса и большом среднем магнитном поле Н существует стационарное стохастическое магнитное поле. Парный коррелятор флуктуирующего магнитного поля анизотропен,

амплитуда флуктуаций в пределе H ^ <ж выходит на константу.

2. В слабоионизованном газе в пределе малого среднего поля H парный коррелятор магнитных флуктуаций является изотропным. Амплитуда флуктуаций пропорциональна v/77. Корреляционная длина магнитного поля пропорциональна H.

3. В проводящей среде для негауссового поля скоростей среды уравнения эволюции коррелятора магнитного поля имеют экспоненциально растущие решения. Учет ненулевого трехточечного коррелятора скорости ухудшает генерацию магнитного поля и уменьшает область параметров, при которых происходит генерация магнитного поля. Негауссовость не приводит к генерации магнитного поля при большом числе Рейдольдса и нулевом среднем поле.

4. Движение заряженных частиц в случайном магнитном поле с нулевым средним полем имеет диффузионный характер. Для частиц, чей лармо-ровский радиус меньше корреляционной длины магнитного поля, коэффициент диффузии пропорционален первой степени ларморовского радиуса D к rL.

Личный вклад автора

Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично либо при его непосредственном участии.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается их согласием с результатами других авторов. Численные результаты подтверждаются асимптотиками ответов, которые получены аналитически.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались автором на всероссийских и международных научных конференциях:

1. Российская молодёжная конференция по физике и астрономии. Санкт-Петербург, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 24-25 октября 2012г

2. Всероссийская астрономическая конференция «Многоликая Вселенная». Санкт-Петербург, 23-27 сентября 2013г.

3. The ISSI-BJ Meeting «New Approach to Active Processes in Central Regions of Galaxies», June 1-5, 2015, Пекин, ISSI-BJ. «Structure of magnetic fluctuations excited by a turbulence of neutral gas inside molecular clouds»

4. The ISSI-BJ Meeting «New Approach to Active Processes in Central Regions of Galaxies», June 6-8, 2016, Пекин, ISSI-BJ. «Diffusion of charged particles in the turbulent magnetic feld»

Также полученные результаты были представлены автором лично на заседаниях Астрофизического семинара ОТФ ФИАН (руководители А.В. Гуревич и Н.С. Кардашев)

1. Астрофизический семинар ОТФ 18 сентября 2013 г. «Магнитные поля в галактических молекулярных облаках».

2. Астрофизический семинар ОТФ 1 июня 2016 г. «Диффузия заряженных частиц в бессиловом магнитном поле»

3. Астрофизический семинар ОТФ 21 апреля 2021 г. «Негауссовы поправки к модели турбулентного динамо Казанцева-Крейчнана»

Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты работы опубликованы в пяти статьях в рецензируемых научных журналах, входящих в базу данных Web of Science:

1. Istomin Ya. N., Kiselev A. Magnetic field generation in Galactic molecular clouds // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2013. - V. 436.

- Issue 3. - P. 2774-2784.

2. Dogiel V. A., Chernyshov D.O., Kiselev A.M., Cheng K.-S. On the origin of the 6.4 keV line in the Galactic Center region // Astroparticle Physics. - 2014.

- V. 54. - P. 33-39.

3. Dogiel V. A., Chernyshov D.O., Kiselev A.M., Cheng K.-S., Hui C. Y. , Ko C. M., Nobukawa K. K., Tsuru T. G. Spectrum of relativistic and subrelativistic cosmic rays in the 100 pc central region // The Astrophysical Journal. - 2015.

- V. 809. - Issue 1. - P. 48.

4. Istomin Ya. N., Kiselev A. M. Diffusion of charged particles in a stochastic force-free magnetic field // Physical Review D. - 2018. - V. 98. - Issue 8. - P. 083026.

5. Kopyev A. V., Kiselev A.M., Il'yn A.S., Sirota V.A., Zybin K.P. Non-Gaussian Generalization of the Kazantsev-Kraichnan Model for a Turbulent Dynamo // The Astrophysical Journal. - 2022. - V. 927. - Issue 2. - P. 172.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 123 страницы, включая 20 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 63 наименования.

В первой главе мы изучается магнитное поле в турбулентном слабоионизо-ванном газе. Основной акцент сделан на приложении к галактическим молекулярным облакам. Учитывается среднее магниное поле, которое окружает облако. Также полученные теоретические результаты использованы для исследования молекулярного облака В2, которое расположено вблизи центра Галактики. Вторая глава посвящена теории магнитного динамо с учетом негауссовости поля скорости. В третьей главе исследована диффузия заряженных частиц в случайном магнитном поле. При этом использованы результаты о структуре магнитного поля, полученные в предыдущих главах.

1 Магнитное поле в турбулентном слабоионизованном газе. Учет среднего поля

В данной главе мы исследуем магнитное поле в турбулентном слабоионизо-ванном газе. Примером такой системы являются Галактические молекулярные облака. Мы обобщим модель Казанцева-Крейчнана турбулентного динамо и учтем однородное среднее магнитное поле Н. Срденее поле определяет выделенное направление в пространстве. Мы изучим тензорную структуру парного коррелятора магнитного поля, который в данном случае будет анизотропным.

Эта глава состоит из четырех частей. В первой части мы запишем систему уравнений, описывающих газ и магнитное поле в молекулярных облаках. Во второй части мы рассмотрим изотропный случай (без среднего поля) и подробно опишем вывод уравнения эволюции парного коррелятора магнитного поля. Также мы покажем, что для Колмогоровского спектра это уравнение не имеет стационарных решений. В третьей части мы учтем среднее магнитное поле. В этом случае корреляторы становятся анизотропными, что существенно усложняет задачу. В случае малого среднего поля Н мы получим стационарное решение. Мы найдем зависимость амплитуды флуктуаций магнитного поля от величины среднего поля Н. Также мы найдем полную структуру анизотропного коррелятора в пределе большого Н. В четвертой части мы применим полученные результаты к молекулярному облаку В2. Мы вычислим корреляционную длину магнитного поля в этом облаке. Пятая часть посвящена сравнению полученных результатов с работами других авторов. Выводы собраны в шестой части.

1.1 Уравнение для магнитного поля

Молекулярные облака состоят преимущественно из молекулярного водорода и являются неоднородными образованиями со сложной структурой, см. [25]. Их размеры достигают 100 парсек, массы - 1О6М0. Концентрация газа равна N = 102-103см-3, температура Т =10 — 50 К. Согласно наблюдениям, движение газа в облаках имеет турбулентный характр, спектр турбулентности близок к Колмогоровскому. Кроме того, газ является слабоионизованным со степенью ионизации = 10—8 — 10—5, где N - концентрация ионов. В такой системе

может возникнуть стохастическое магнитное поле. Величина магнитного поля измерена во многих молекулярных облаках, результаты измерений собраны в работе [26]. Согласно измерениям, характерные значения магнитного поля равны 10 — 30 мкГс для средних частей молекулярных облаков.

Направление магнитного поля можно определить из поляризации излучения молекул. Такие измерения проведенны для нескольких десятков молекулярных облаков [27]. Оказывается, направления магнитного поля в разных точках облака зачастую коррелированны, рис. 1.1. Вероятно, в облаке наряду со случайным магнитным полем, вызванным турбулентностью, присутствует и среднее однородное магнитное поле. В работах Догеля с соавторами [6], [7] предполагалось, что среднее поле равно нулю. В настоящей работе исследуется генерация магнитного поля турбулентным слабоионизованным газом при наличии среднего магнитного поля. При выводе уравнения эволюции мы не делаем никаких предположений о величине флуктуирующего поля по сравнению со средним.

В нашей задаче движение нейтрального и ионизованного газа можно описывать уравнениями двухжидкостной магнитной гидродинамики. Согласно общепринятой теории Колмогорова [20], [30], движение жидкости или газа является турбулентным на масштабах Ь, лежащих в инерционном интервале <

Рисунок 1.1 — Наблюдения молекулярного облака W49A. Контуры обозначают уровни потока радиоизлучения. Черные штрихи - направление магнитного поля в данной точке. Рис. взят из [27]

Ь < Ь0, где Ь0 определяется размерами системы, а соответствует вязкому масштабу. Характерный размер молекулярного облака равен Ь0 = 1019 см, а число Рейнольдса порядка Яв = 108, откуда для колмогоровской турбулентности

Ь = ЬоЯв-3/4 = 1013 см. (1.1)

При изучении инерционного интервала можно пренебречь вязкостью. Также мы будем считать газ несжимаемым, поскольку скорости турбулентных пульсаций почти во всем диапазоне масштабов меньше скорости звука и достигают значений порядка скорости звука только на больших масштабах. Газ, движущийся с дозвуковой скоростью, можно приближенно считать несжимаемым.

Обозначим за V скорость нейтрального газа, и - скорость ионизованной компоненты, В - магнитное поле. Тогда система уравнений для ионизованной

компоненты и магнитного поля имеет вид

дu , _ 1 г „„ (V х B) х Бп . . .

— + (uV)u = - - VPi + ^--] - fj,in{u - v) (1.2)

dt pi 4п

д B

-— = V х (u x В) + r]AB (1.3)

д t

div u = 0 div B = 0,

где Pi, pi - давление и плотность ионизованной компоненты, ßin - частота столкновений иона с нейтральным газом, п - магнитная вязкость. Обозначим также за Mni частоту столкновений нейтральной молекулы с ионами. В отличие от обычной магнитной гидродинамики, в данном случае присутствует внешняя сила в виде трения между ионизованной и нейтральной компонентами газа. Оценки дают (подробнее см. [6])

Mni = 10-13 с-1, n = 2 • 10-6 с-1, (1.4)

тогда как частоты турбулентных движений лежат в диапазоне

wTOin = 10-12 с-1, штах = 10-8 с-1. (1.5)

Отсюда следует важное соотношение

Mni < ^ < Min. (1.6)

Это значит, что нейтральный газ не чувствует наличие ионизованной компоненты, а движение ионов, наоборот, полностью определяется движением нейтрального газа и магнитным полем.

В таком случае можно считать движение нейтральной компоненты известным - оно соответствует обычной гидродинамической турбулентности. Для ионизованной компоненты существенными являются только две силы - сила трения о нейтральный газ и сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля. Давлением Pi можно пренебречь по сравнению с давлением магнитного

поля. Поэтому уравнение движения ионизованной компоненты приобретает вид

(Ух В) х В

4 прг

Введем обозначение

- ¡im(u - v) = 0. (1.7)

1 / ч

а = --. 1.8

4прг^гп

Поскольку мы считаем жидкость несжимаемой, а = const. Выражая скорость u ионизованной компоненты из (1.7) и подставляя ее в уравнение индукции (1.3), получим

д B

- = Vx(vxB)+ г]АВ - aVx( В х (V х В) х В). (1.9)

д t

Запишем его также в индексной форме: дВг

= evmnenp^m(vpBq) + г]дтдтВг ^ (1.10)

где егmn - полностью антисимметричный псевдотензор. Это уравнение задает зависимость магнитного поля от скорости v нейтрального газа.

1.2 Изотропный случай

Наша цель - исследовать зависимость магнитного поля от времени. Для этого мы будем изучать двухточечный коррелятор магнитного поля (В(r)B(r')). Мы получим уравнение эволюции данного коррелятора и исследуем его решения.

Для начала подробно рассмотрим случай, когда среднее магнитное поле равно нулю

(В) = 0.

Мы приведем подробный вывод уравнения эволюции парного коррелятора магнитного поля (В(r)B(r')). Мы будем пользоваться методом Казанцева-Крейчнана.

В дальнейшей работе мы будем производить различные обобщения - учтем анизотропию при наличии среднего поля а также негауссовость поля скорости. Получать уравнения эволюции коррелятора мы будем аналогичным способом.

1.2.1 Тензорная структура коррелятора скорости

Для вывода уравнения эволюции можно воспользоваться преобразованием Фурье и далее работать в k-пространстве. Такой способ описан в Приложении А. Там же мы указали на принципиальные ограничения такого метода. Хотя исторически этот метод появился раньше, мы будем работать в r-пространстве.

В этой главе мы будем считать скорость v(t) турбулентного движения нейтрального газа гауссовым стохастическим процессом с нулевым средним (v) = 0. Вся статистическая информация о гауссовом процессе содержится в его парном корреляторе (vi(x,t)vj(x + r,t')). Угловые скобки здесь и далее означают усреднение по ансамблю реализаций.

Нейтральный газ в нашей задаче - однородная изотропная среда. Из однородности следует, что парный коррелятор может зависеть только от разности точек r. Мы будем считать, что скорость - дельта-коррелированный по времени стохастический процесс, то есть

(Vi(x,t)Vj(x + r,t')) = rc6(t - t')Vij(r). (1.11)

Здесь мы ввели тс - параметр размерности времени, будем называть его корреляционным временем. Мы считаем что тс - константа, значение которой выберем ниже.

Мы рассматриваем случай отсутствия спиральности, при котором коррелятор симметричен по индексам. Из изотропии следует, что тензорную часть коррелятора должна состоять из тензоров второго ранга 6ij и rirj-. Для удобства представим ее в виде

/У> ./у» .

Vij = 2V(r)ötJ + Ух(r)(ötJ - ). (1.12)

Скалярные функции V(r) и V1(r) зависят только от модуля вектора r = |r|. Это также следует из изотропии. Теперь используем условие несжимаемости

V = 0, откуда следует

дгугз = д, у, = о, (1.13)

что приводит нас к уравнению

У = гУ'. (1.14)

Здесь штрих обозначает производную по г, У' = дУ/дг. В итоге мы получаем

/У» ./У» .

У,(г) = 2У{г)6ц + гУ (г)(^ - (1.15)

Таким образом, двухточечный (парный) коррелятор скорости нейтрального газа описывается одной скалярной функцией У (г). Мы считаем, что коррелятор скорости не зависит от времени.

1.2.2 Коррелятор магнитного поля

Теперь перейдем к рассмотрению магнитного поля. Его мы также считаем гауссовым стохастическим процессом. Сейчас мы рассматриваем случай когда среднее магитное поле равно нулю, значит наша система изотропна. Уравнение Максвелла В = 0 аналогично уравнению несжимаемости ^у V = 0, поэтому тензорная структура коррелятора магнитного поля аналогична структуре коррелятора скорости (1.15)

(£г(г,ад(г7)) = = 2Q(t,p)5гJ + pQf(t,p)(5гJ - (1.16)

р

Мы ввели обозначение Qij для парного коррелятора магнитного поля, а также обозначение р = г — г'. Отметим, что мы изучаем коррелятор магнитного поля в совпадающие моменты времени. Он описывается одной скалярной функцией Q(t,г)

При выводе уравнения эволюции мы будем обозначать пространственный

аргумент верхним индексом:

д д д

в, = в,(г), в; = в,(г'), в1 = в„(п), э, = —, % = аг = —,

V = V (г), V1 = v(г1).

Наша цель - получить уравнение эволюции данного коррелятора, то есть

вычислить производную по времени Для этого необходимо посчитать

д дВ дВ'

= + (1.17)

Используя уравнение (1.10) для магнитного поля, получим

^imn&npqdmi'VpBqBj^ Tj дтдт{В^Вj^j

д_

dt

- a • eimnenpqeqsteshidm(BpBtdhBi)Bj + (i ^ j, r ^ r') (1.18)

Добавка +(i ^ j,r ^ r'), как мы увидим ниже, всегда даст просто умножение на 2, что вполне логично.

Если отвлечься от индексов и производных, а посмотреть только на степени магнитного поля и скорости, мы увидим следующую структуру равенства

д

~{ВВ') = + + (1.19)

I II„ Па

Назовем слагаемое (vB2) первым слагаемым (будем обозначать его I), слагаемые n(B2) + a(B4) будем называть вторым слагаемым и обозначать IIn и IIa.

1.2.3 Расщепление корреляторов

В слагаемое IIn входит обычный парный коррелятор (1.16) магнитного поля, это слагаемое вычисляется элементарно. Для вычисления корреляторов в слагаемых I и IIa требуется выразить их через парные корреляторы скорости (vv') и магнитного поля (BB'). Такую процедуру часто называют "расщеп-лением"корреляторов.

Мы предполагаем, что скорость и магнитное поле - гауссовские случайные процессы.

Для расщепления коррелятора в первом слагаемом воспользуемся формулой Фурутцу-Новикова, см. [28], [29]. Если R[v] - функционал, зависящий от случайного процесса v(r,t) через решение некоторого дифференциального уравнения, то

/ÖR

dndhiviirfivsir (1-20)

Здесь gv ~ функциональная производная, для вычисления которой нужно воспользоваться уравнением, задающим зависимость R[v] от v. Нам требуется вычислить коррелятор (vß2), поэтому нам нужна функциональная производная f-.

ov

В слагаемое IIa входит коррелятор (ß4). Для гауссового случайного процесса с нулевым средним (ß) = 0 коррелятор четвертого порядка выражается через произведение парных корреляторов

(B1B2B3 ß4) = (ßl B2KB3 ß4) + (ßl ßa)(ß2 B4) + (ßlß4)(ß2 ßs). (1.21)

Слагаемое II

Начнем с самого простого IIn слагаемого.

IIn = ndmdmQij + (i ^ j,r ^ r'). (1.22)

Используя структуру коррелятора Qj, прямым вычислением получаем

dmdmQtJ = 2(Q" + ^Sij + p(Q" + ^'(Sij - Щ). (1.23)

p p p

Мы специально сгруппировали слагаемые в правой части так, чтобы тензорная структура ответа совпадала с тензорной структурой коррелятора (1.16). Мы видим, что ответ симметричен при замене индексов i ^ j, поэтому остается

лишь умножить скалярный множитель на 2, и мы получаем вклад слагаемого IIn в уравнение эволюции

= + (1.24)

Для вычисления слагаемого IIa IIa = -a • eimn^npq^qs^shldm(BpBtdhBi)Bj + (i ^ j, r ^ r'). (1.25)

представим коррелятор четвертого порядка как произведение парных корреляторов по формуле (1.21). После свертки индексов получаем вклад слагаемого IIa в уравнение эволюции

= +8«(0(г) + jrQ'(r))U(<?" + (1.26)

Если функция Q(r) конечна в нуле, как и должно быть для коррелятора магнитного поля, это выражение упрощается

= 0)(Q" + (1.27)

Мы видим, что вклад слагаемых IIn и IIa очень похож.

Функциональная производная

Мы предполагаем, что случайный процесс v дельта-коррелирован по времени, см. (1.11), (vi(t)vs(t\)) ~ ö(t - ti). Также, из принципа причинности следует, что функциональная производная

tBit'r\ =0 при t < t'. (1.28)

öv(t' ,r1) F v 7

Следовательно, для расщепления корреляторов по формуле Фурутцу-Новикова

(1.20) нам потребуется знать только предел при стремлении t1 ^ t снизу, то

есть при условии t1 < t. Его мы будем обозначать как

öBi(r) öBi(t,r)

r ; \ = lim r v ' \ 1.29

öva(ri) ti^t-0 öva(ti,ri)

Этот предел не зависит от момента времени t. Именно этот предел мы можем вычислить для дельта-коррелированного процесса V. Поэтому мы сможем замкнуть нашу систему. Именно здесь мы пользуемся дельта-коррелированностью поля скорости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Киселев Александр Михайлович, 2023 год

Литература

[1] Moskalenko I. V., Strong A. W. Production and propagation of cosmic-ray positrons and electrons // The Astrophysical Journal. - 1998. - V. 493. -Issue 2. - P. 694.

[2] Adriani O. et al. An anomalous positron abundance in cosmic rays with energies 1.5-100 GeV // Nature. - 2009. - V. 458. - P. 607-609.

[3] Adriani O. et al. The PAMELA Mission: Heralding a new era in precision cosmic ray physics // Physics Reports. - 2014. - V. 544. - Issue 4. - P. 323370.

[4] Morselli A. Latest Results from the Fermi Gamma-Ray Telescope // Acta Polytechnica CTU Proceedings. - 2014. - V. 1. - Issue 1. - P. 139-145.

[5] Weng Z. et al. Latest results from the AMS experiment on the International Space Station // PoS ICHEP2020. - 2021. - V. 45.

[6] Dogiel V. A. et al. On relativistic particle acceleration in molecular clouds // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1987. - V. 228. - Issue 4. - P. 843-868.

[7] Dogiel V. A. et al. Cosmic ray acceleration inside molecular clouds // Multiwavelength Approach to Unidentified Gamma-Ray Sources. - Springer, Dordrecht, 2005. - P. 201-211.

[8] Dogiel V. A., Sharov G. S. Manifestations of cosmic ray acceleration in giant molecular clouds // Astronomy and Astrophysics. - 1990. - V.229. - P.259.

[9] Казанцев А.П. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью // ЖЭТФ - 1967. - Т. 53 - №. 5 - С. 1806.

[10] Kraichnan R. H. Small scale structure of a scalar field convected by turbulence // The Physics of Fluids. - 1968. - V. 11. - Issue 5. - P. 945-953.

[11] Novikov V.G., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Kinematic dynamo in a reflection-invariant random field // Soviet Phys. JETP. - 1983. - V. 58 - Issue 3 - P. 527.

[12] Rogachevskii I., Kleeorin N. Intermittency and anomalous scaling for magnetic fluctuations // Physical Review E. - 1997. - V. 56. - Issue 1. - P. 417.

[13] Schekochihin A. A., Boldyrev S. A., Kulsrud R. M. Spectra and growth rates of fluctuating magnetic fields in the kinematic dynamo theory with large magnetic Prandtl numbers // The Astrophysical Journal. - 2002. - V. 567. -Issue 2. - P. 828.

[14] Malyshkin L. M., Boldyrev S. Magnetic dynamo action at low magnetic Prandtl numbers // Physical review letters. - 2010. - V. 105. - Issue 21. -P. 215002.

[15] Kleeorin N., Rogachevskii I. Growth rate of small-scale dynamo at low magnetic Prandtl numbers // Physica Scripta. - 2012. - V. 86. - Issue 1. - P. 018404.

[16] Schleicher D.R.G., Schober J., Federrath C., Bovino S., Schmidt W. The small-scale dynamo: breaking universality at high Mach numbers // New Journal of Physics. - 2013. - V. 15. - Issue 2. - P. 023017.

[17] Subramanian K. Dynamics of fluctuating magnetic fields in turbulent dynamos incorporating ambipolar drifts // arXiv preprint astro-ph/9708216. - 1997.

[18] Yushkov, E. V., Allahverdiyev R., Sokoloff D. D. Mean-field dynamo model in anisotropic uniform turbulent flow with short-time correlations // Galaxies. -2020. - V. 8. - Issue 3. - P. 68.

[19] Chertkov M., Falkovich G., Kolokolov I., Vergassola M. Small-scale turbulent dynamo // Physical review letters. - 1999. - V. 83. - Issue 20. - P. 4065.

[20] Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности // Докл. АН СССР. - 1941. - Т. 32 - № 1. - С. 19-21.

[21] Jokipii J. R. Cosmic-ray propagation. I. Charged particles in a random magnetic field // The Astrophysical Journal. - 1966. - V. 146. - P. 480.

[22] Ivlev A. V., Dogiel V. A., Chernyshov D. O., Caselli P., Ko C.-M., Cheng K. S. Penetration of Cosmic Rays into Dense Molecular Clouds: Role of Diffuse Envelopes // The Astrophysical Journal. - 2018. - V. 855. - Issue 1. - P. 23.

[23] Dogiel V. A. et al. In-situ acceleration of subrelativistic electrons in the Coma halo and the halo's influence on the Sunyaev-Zeldovich effect // Astronomy & Astrophysics. - 2007. - V. 461. - Issue 2. - P. 433-443.

[24] Schure K.M., Bell A.R., O'C Drury L., Bykov A.M. Diffusive shock acceleration and magnetic field amplification // Space science reviews. - 2012. - V. 173. -Issue 1. - P. 491-519.

[25] Larson R. B. The physics of star formation // Reports on Progress in Physics. - 2003. - V. 66. - Issue 10. - P. 1651.

[26] Crutcher R. M. et al. Magnetic fields in interstellar clouds from Zeeman observations: inference of total field strengths by Bayesian analysis // The Astrophysical Journal. - 2010. - V. 725. - Issue 1. - P. 466.

[27] Tassis K. et al. Statistical assessment of shapes and magnetic field orientations in molecular clouds through polarization observations // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2009. - V. 399. - Issue 4. - P. 1681-1693.

[28] Новиков Е. А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности // ЖЭТФ. - 1964. - V. 47. - Issue 5. - P. 1919.

[29] Кляцкин В. И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами // Москва: Наука, 1975. Главы 2-3.

[30] Falceta-Gongalves D. et al. Turbulence in the interstellar medium // Nonlinear Processes in Geophysics. - 2014. - V. 21. - Issue 3. - P. 587-604.

[31] Matthaeus W.H., Smith C. Structure of correlation tensors in homogeneous anisotropic turbulence // Physical Review A. - 1981. - V. 24. - Issue 4 - P. 2135-2144.

[32] Boldyrev S., Cattaneo F., Rosner R. Magnetic-field generation in helical turbulence // Physical review letters. - 2005. - V. 95. - Issue 25. - P. 255001.

[33] Ponti G. et al. Discovery of a superluminal Fe K echo at the galactic center: the glorious past of Sgr A* preserved by molecular clouds // The Astrophysical Journal. - 2010. - V. 714. - Issue 1. - P. 732.

[34] Oka T. Interstellar H3+ //Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2006. - V. 103. - Issue 33. - P. 12235-12242.

[35] Yang R., Jones D. I., Aharonian F. Fermi-LAT observations of the Sagittarius B complex // Astronomy & Astrophysics. - 2015. - V. 580. - P. A90.

[36] Crocker R. M. et al. A lower limit of 50 microgauss for the magnetic field near the Galactic Centre // Nature. - 2010. - V. 463. - Issue 7277. - P. 65-67.

[37] Pinto C., Galli D., Bacciotti F. Three-fluid plasmas in star formation-I. Magneto-hydrodynamic equations // Astronomy & Astrophysics. - 2008. -V. 484. - Issue 1. - P. 1-15.

[38] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 8. Электродинамика сплошных сред // Москва : Наука, 1982. — 620 с.

[39] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика // Москва : Наука, 1982. — 736 с.

[40] Kopyev A. V., Zybin K. P. Exact result for mixed triple two-point correlations of velocity and velocity gradients in isotropic turbulence // Journal of Turbulence. - 2018. - V. 19. - Issue 9. - P. 717-730.

[41] Girimaji S. S., Pope S. B. Material-element deformation in isotropic turbulence // Journal of fluid mechanics. - 1990. - V. 220. - P. 427-458.

[42] Liithi B., Tsinober A., Kinzelbach W. Lagrangian measurement of vorticity dynamics in turbulent flow // Journal of Fluid mechanics. - 2005. - V. 528. -P. 87-118.

[43] Balkovsky E., Fouxon A. Universal long-time properties of Lagrangian statistics in the Batchelor regime and their application to the passive scalar problem // Physical Review E. - 1999. - V. 60. - Issue 4. - P. 4164.

[44] Il'Yn A. S., Zybin K. P. Material deformation tensor in time-reversal symmetry breaking turbulence // Physics Letters A. - 2015. - V. 379. - Issue 7. - P. 650-653.

[45] Il'yn A. S., Sirota V. A., Zybin K. P. Statistical properties of the T-exponential of isotropically distributed random matrices // Journal of Statistical Physics.

- 2016. - V. 163. - Issue 4. - P. 765-783.

[46] Il'yn A. S., Sirota V. A., Zybin K. P. Turbulent dynamo as a result of noncoherent overlap of localized magnetic field perturbations //Physica Scripta.

- 2019. - V. 94. - Issue 6. - P. 064001.

[47] Plotnikov I., Pelletier G., Lemoine M. Particle transport in intense small-scale magnetic turbulence with a mean field // Astronomy & Astrophysics. - 2011. - V. 532. - P. A68.

[48] Shalchi A., Skoda T., Tautz R. C., Schlickeiser R. Analytical description of nonlinear cosmic ray scattering: isotropic and quasilinear regimes of pitch-angle diffusion // Astronomy & Astrophysics. - 2009. - V. 507. - Issue 2. - P. 589-597.

[49] Matthaeus W. H., Qin G., Bieber J. W., Zank G. P. Nonlinear collisionless perpendicular diffusion of charged particles // The Astrophysical Journal. -2003. - V. 590. - P. L53-L55.

[50] Zirakashvili V. N., Ptuskin V. S. Numerical simulations of diffusive shock acceleration in SNRs // Astroparticle Physics. - 2012. - V. 39. - P. 12-21.

[51] Bohm D., Burhop E., The characteristics of electric discharges in magnetic fields // New York: McGraw-Hill, 1949.

[52] Casse F., Lemoine M., Pelletier G. Transport of cosmic rays in chaotic magnetic fields // Physical Review D. - 2001. - V. 65. - Issue 2. - P. 023002.

[53] Snodin A.P., Shukurov A., Sarson G.R., Bushby P.J., Rodrigues L.F.S. Global diffusion of cosmic rays in random magnetic fields //Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2016. - V. 457. - Issue 4. - P. 3975-3987.

[54] Hussein M., Shalchi A. Detailed numerical investigation of the Bohm limit in cosmic ray diffusion theory // The Astrophysical Journal. - 2014. - V. 785. -Issue 1. - P. 31.

[55] Beresnyak A., Yan H., Lazarian A. Numerical study of cosmic ray diffusion in magnetohydrodynamic turbulence // The Astrophysical Journal. - 2011. - V. 728. - Issue 1. - P. 60.

[56] Cohet R., Marcowith A. Cosmic ray propagation in sub-Alfvenic magnetohydrodynamic turbulence // Astronomy & Astrophysics. - 2016. -V. 588. - P. A73.

[57] Shukurov A., Snodin A.P., Seta A., Bushby P.J., Wood T.S. Cosmic rays in intermittent magnetic fields // The Astrophysical Journal Letters. - 2017. -V. 839. - Issue 1. - P. L16.

[58] Berezinskii V. S., Bulanov S. V., Dogiel V. A., Ptuskin V. S., Astrophysics of cosmic rays, Edited by Ginzburg V.L. // Amsterdam: North-Holland, 1990.

[59] Istomin Y. N., Kiselev A. Magnetic field generation in Galactic molecular clouds // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2013. - V. 436. - Issue 3. - P. 2774-2784.

[60] Dogiel V. A., Chernyshov D.O., Kiselev A.M., Cheng K.-S. On the origin of the 6.4 keV line in the Galactic Center region // Astroparticle Physics. - 2014.

- V. 54. - P. 33-39.

[61] Dogiel V. A., Chernyshov D.O., Kiselev A.M., Cheng K.-S., Hui C. Y. , Ko C. M., Nobukawa K. K., Tsuru T. G. Spectrum of relativistic and subrelativistic cosmic rays in the 100 pc central region // The Astrophysical Journal. - 2015.

- V. 809. - Issue 1. - P. 48.

[62] Istomin Y. N., Kiselev A. M. Diffusion of charged particles in a stochastic force-free magnetic field // Physical Review D. - 2018. - V. 98. - Issue 8. - P. 083026.

[63] Kopyev A. V., Kiselev A.M., Il'yn A.S., Sirota V.A., Zybin K.P. Non-Gaussian Generalization of the Kazantsev-Kraichnan Model for a Turbulent Dynamo // The Astrophysical Journal. - 2022. - V. 927. - Issue 2. - P. 172.

Приложение А Вывод уравнения эволюции в к-пространстве

Уравнение эволюции (1.44) коррелятора магнитного поля можно получить альтернативным способом. Для этого нужно перейти к Фурье-компонентам. Приведем этот вывод в частном случае п = 0.

Представим скорость в виде интеграла Фурье

у(Г,£) = / у(к,£)ехр(г(кт))^к. (3.57)

Тогда тензорная струкура коррелятора становится проще

__ъ.ъ.

(<л(к,ф,-(к'/)> = У(к)тс5(1 - ¿)(513 - ^/Жк + к'). (3.58)

Множитель £(к + к') возникает из однородности задачи, а тензорный множитель однозначно определяется изотропией и условием несжимаемости к^Дк) = 0. Обозначим за У(г) преобразование Фурье функции У (к)

У(г) = Jv{k)eщ>{i{\sr))dk, (3.59)

тогда У(г) связана с корреляционной функцией скорости У(г) соотношением

V (т) = 3У (т) + тУ'(т). (3.60)

В данном параграфе мы рассматриваем только изотропный случай. В Фурье-представлении коррелятор (1.16) имеет вид

(Вг(к,1)В3(к',*)) = <Э(к)(5у - ^Щк + к'), (3.61)

где связь между (¿(г) и С^(к) аналогична (3.60). Благодаря изотропии <5(к) = С^(к). Наша цель - вычислить производную по времени д(^(к)/д1. Преобразование Фурье от уравнения (1.9) при п = 0 дает

= г J ^к х х В(р)]+а J йк^к2к х {Вк1 х ([к2 х Вкз] х Вкз)}.

(3.62)

В первом слагаемом правой части р+д = к, во втором слагаемом к1+к2 + к3 = к, и мы пишем аргумент в виде верхнего индекса.

Корреляторы расщепляем точно так же, как и при выводе уравнения в г-пространстве. В первом слагаемом воспользуемся формулой Фурутцу-Новикова

(уг(к,*)Д[у]> = I <№йИ <у(к,ф,(к',О) • (3.63)

Нам потребуется только значение функциональной производной в совпадающие моменты времени. Оно вычисляется из уравнения (3.62):

ИШ ^ГТШ = ibmibjBl~ SjmBf-*'), (3.64)

t'^t-o 5vj (k' ,t') m i

где для краткости аргумент снова записан в виде верхнего индекса.

Во втором слагаемом коррелятор четвертого порядка расписываем как произведение попарных, аналогично (1.21).

Запишем промежуточный результат, полученный после расщепления корреляторов и раскрытия тензорных произведений. Для этого введем обозначение

k-k-

4 = "а - (3.65)

а также p = k — q. Получаем соотношение

a J dqQ(k)Q(q){-k2ninkSJ - ктк8П1^ + к^П^} - тскт J dqV(q)Q(k) {Qlpn(5msnknj - 5nsQkmj) - {i++m)} + rckm J dqV(q)Q(p) {nlkn(5Jsnpnm - 5nsnpmj) (3.66)

В правую часть последнего уравнения входят тензоры, включающие векторы qi и pi, которых нет в левой части. Чтобы выделить в правой части множитель Qk и получить скалярное уравнение на функцию Q{k), воспользуемся изотропией функций V(q) и Q(k) и усредним первые две строчки по сфере |q| = const, а третью строчку - по окружности, заданной условиями |k| = const, (kq) = const.

Тогда в правой части не останется векторов ^ и р и выделится множитель . Получаем уравнение эволюции коррелятора

1 дЯ(к) Гт?,^ , 1,9

= --к1я{к) / УШч + -кА / У(я)<2(р)

2тс д£ 3 ^ у) ^ ^ 2

' _ (кр)(кя)(ря)'

к2р2д2

3т

(3.67)

где к = р + д. Оно было впервые получено в работе [7].

Обозачение (1.45) можно переписать так

Л = АаШ = = о) = ^ у (3.68)

Напомним, что сейчас мы пренебрегаем магнитной вязкостью п = 0. Также заметим, что

ПО) = Ц УШч. (3.69)

С помощью данных соотношений можно показать, что полученное уравнение (3.67) аналогично уравнению (1.44). Для этого нужно применить обратное преобразование Фурье к уравнению (3.67), воспользоваться сферической симметрией корреляторов и переходя от функций (¿(г), У (г) к (¿(г), У (г) согласно (3.60). После многократного интегрирования по частям мы получаем в точности уравнение (1.44).

Одним из ключевых моментов нашего вывода было усреднение по сфере (или окружности), при котором мы пользовались изотропией функций У{д) и С^(к). В неизотропном случае, например при наличии среднего поля, такое усреднение осуществить не удастся. Таким образом, в общем случае необходимо выводить и решать уравнения в т - пространстве, не осуществляя преобразования Фурье. Тензорная структура корреляторов в т - пространстве (1.15) несколько сложнее, но это не является принципиальной проблемой.

Приложение Б Решение анизотропных уравнений при Н ^ 1

В этом приложении мы подробно опишем решение системы (1.77) стационарных анизотропных уравнений в случае Н ^ 1.

Из последнего уравнения и свойств симметрии (функция д должна быть нечетна по переменной д) следует д = 0. Остается 5 уравнений на 4 функции. Заметим, что функция В входит только во 2 и 4 уравнения системы (1.77) и только в виде производных. Из этих двух уравнений выразим В;, В;

в; =дгА; - (1 + д2- дв - гС; - дс; - 3С - дгУ' (3.70)

гв; = - (1 - д2 )га; - д3а; + (1 - д2)в - дгс; + (1 - д2)с;-- 3дС + (1 - д2)гУ'.

Используя 1 и 3 уравнения системы (1.77), выражения (3.70) можно упростить:

в; = -2а; - гс; - дс; - 2С + дг(2У' + гу'') (3.71)

гв; = -2гА; - гв; - В - 2дгс; - дС + гУ' + д2г(2У' + гУ'').

Используя три оставшихся уравнения из (1.77), можно показать, что смешанные производные функции в, вычисленные из первого и второго уравнений (3.71), совпадают: ^¡В^, = ^В^. Следовательно, эти уравнения согласованы. У нас остается система 3 уравнений на 3 функции А,В,С:

га; - да; + гв; + гдс; + (1 - д2)с; + 2в - дс = о (3.72) гда; + (1 - д2)а; - дв - с = гд(зу' + гУ'') в; - гс; + дс; + с = гд(у' - гУ''),

решив которую, мы вычислим В, используя любое из уравнений (3.71). Тем самым мы показали, что система (1.77) не является переопределенной.

Поскольку функции А(т, д),В(т, д) четны по переменной д, в то время как С(т, д) - нечетна, будем искать решение в виде

А(т,д) = Ао(т) + А:(т)д2, (3.73)

В (т,д) = Во(т) + Вх(т)д2, С (т, д) = Со(т)д.

Получим систему 5 обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной т на 5 функий Ао, В0, С0, Ах, В1. Вводя обозначение /3 = тдг, запишем ее в

матричном виде /

/3 /3 + 2 1

0

0

\

0 0 /3 - 2 /3 - 2 /3 + 2 в -1 -12 0 0 0 0 в - 2 -1

V

0 0 2 - /3

0

2

( ^ \

Ао Во Со Ах

В1

/

0 0

\

т(3У' + тУ'') 0

У ув^ ^т(У'- тУ'') у

(3.74)

Общее решение такой системы есть сумма общего решения однородной системы (с нулевой правой частью) и частного решения неоднородной. Поскольку степенные функции являются собственными для оператора /3: /Зтв = втв, надо искать решения однородной системы в виде степенных функций. Заменяя оператор в на число: в ^ в, мы получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений. Существование ненулевого решения равносильно вырожденности системы. Приравнивая нулю определитель матрицы из (3.74) и решая полученное уравнение на в, находим значения

01 = 0; 02 = -3; вз,4 = 2; вв = -5.

Находя соответвующие этим значениям в решения СЛАУ, получаем общее решение однородной системы уравнений из (3.74). Если выбрать коррелятор скорости V(т) в виде степенной функции, можно аналитически найти частное решение неоднородной системы, и тем самым полностью решить систему (3.74)

аналитически. Взяв, как и раньше V(г) в виде (1.54), мы получаем: при г > 1 - нулевое частное решение; при г < 1:

(к ^

Ао Во Со А1

\ВЧ

\ / неоднор

а

а + 5

а + 6 -(а + 3) 1

\ а - 2 /

га = Р (а)Г

(3.75)

В последней формуле мы ввели обозначение Р(а) для вектора констант.

Мы ищем решение, ограниченное в нуле и спадающее на бесконечности. Следовательно, при г < 1 оставляем только степени г0, г2, а при г > 1 только степени г-3, г-5. Решение должно быть непрерывно в г = 1, откуда мы получаем ответ:

при г < 1: при г > 1:

Ао = Р1(а)га - (3сз - 4с4)г2 - с1 Ао = 1/5С5г-5 + С2г 3

Во = Р2(а)га + (4сз - 2С4)г2 Во = -С5г-5 - - 3С2г-3

Со = Рз(а)га - 10сзг2 Со = -2С5г-5

А1 = Р4(а)га - 5с4г2 А1 = -С5 г-5

В1 = Р5(а)га В1 = 7с5г-5

где

С1 = 13а + 54_ 30 ' С2 = 4 =--СУ' 15 ' а СЗ = "Т4; а С4 = 35; С5 =

а(а — 2) 7 (а + 5)' (3.76)

а вектор Р(а) определен в (3.75).

Теперь вычислим функцию В(г,д). Подставляя (3.73) в (3.71), получаем

а

В(г,д) = Во(г) + ^1(г)д2, где

(3.77)

-1

-2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

г

Рисунок 3.6 — Решение для коррелятора (1.54). Функции А0(;) сплошная, В0 штрихованная, ^о пунктирная, 0\ штрих-пунктирная линии

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

г

Рисунок 3.7 — Решение для коррелятора (1.54). Функции С0(;) сплошная, А\ штрихованная, В1 пунктирная линии

2Вх = -4Ах - (/3 + 3)0) + г(2У' + гУ'') /ЗВо = -2/3 Ао - (/3 + 1)во + гУ'.

(3.78)

Значение В0 определяется с точностью до константы. Мы выбираем ее так, чтобы Во (то) = 0. Получаем ответ:

при г < 1:

при г > 1:

Во В1

а

2 + 6а + 7

1

а + 5

- 5с4г --(4а + 7) 5

32 —аг"

2

Во В1

= 2/5свг

=0

-5

Графики полученного решения для а = 2/3 приведены на Рис 3.6, 3.7. Как мы видим, мы получили разрыв в функции В1 при г = 1. Это вызвано изломом коррелятора скорости У (г).

Чтобы получить непрерывное решение, выберем коррелятор скорости в виде гладкой функции

У(г) =

1 - Уога при г < 1,

(3.79)

- У^7 при г > 1, где показатель степени 7 < 0 можно выбрать любым, а значения констант

1

0

равны

V) =

7

а — 7'

VI =

а

а — 7

(3.80)

и выбраны так, чтобы в г = 1 были непрерывны и сама функция V(г), и ее производная V'(г). Повторив для гладкой функции V(г) описанные выше вычисления, мы получаем решение

при г < 1:

при г > 1:

Ао = ад(а)га — С1 Ао = ^^1(7 )г7 + 1/5С5г—5

Во = ад(а)га Во = ^(7)г7 5 — С5г

Со = ад(а)га Со = ^Вз(7)г7 — 2С5г—5

А1 = ад(а)га А1 = ^1^4 (7 )г7 5 — С5г

В1 = К)В5(а)га 7 5 В1 = ^В5(7 )г7 + 7С5 г—5

Во = К)В6(а)га — Во = ^1^6 (7 )г7 + 2/5с5г—5

В1 = 0 В1 =0

где мы добавили определение

Во (а) =

а2 + 6а + 7 а + 5

а константы теперь равны

9

С1 = "5'

С5 =

а7

(3.81)

(а + 5)(7 + 5)'

При любом значении 7 все корреляторы получились непрерывны, функция В1 тождественно равна нулю. Так что можно выбрать любое разумное 7, например 7 = —2. Графики полученного решения для а = 2/3, 7 = —2 приведены на Рис 1.2, 1.3.