Магнитные квантовые и угловые осцилляции проводимости в слоистых металлах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Могилюк Тарас Игоревич

• Могилюк Тарас Игоревич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Могилюк Тарас Игоревич

Введение

Глава 1. Взаимное влияние угловых и квантовых осцилляций

магнетосопротивления

1.1 Введение

1.2 Двуслоевая модель

1.3 Расчёты для произвольной формы уровней Ландау

1.4 Угловые осцилляции магнетосопротивления для разных форм

уровней Ландау

1.4.1 Угловые осцилляции магнетосопротивления для лоренцевой формы уровней Ландау

1.4.2 Угловые осцилляции магнетосопротивления для самосогласованного борновского приближения и приближения непересекающихся примесных линий

1.4.3 Угловые осцилляции магнетосопротивления для

гауссовой формы уровней Ландау

1.5 Случай больших углов наклона магнитного поля

1.6 Спиновый ток и влияние зеемановского расщепления на угловые

осцилляции магнетосопротивления

1.7 Влияние угловых осцилляций на магнитные квантовые

осцилляции магнетосопротивления

1.7.1 Общие формулы

1.7.2 Общие аналитические выражения

1.7.3 Проводимость при наличии сильного электронного резервуара и |lmE^(e)| « const

1.7.4 Проводимость в отсутствие резервуара электронных состояний

1.7.5 Проводимость при различных силах электронного резервуара

Глава 2. Медленные осцилляции магнетосопротивления

Стр.

2.1 Гармоническое разложение проводимости

2.1.1 Вклад нулевой гармоники о!0

2.1.2 Вклад от слагаемого oi^ первой гармоники и полное выражение для магнитных осцилляций

2.1.3 Подавление осцилляций температурой и неоднородностями образца

2.1.4 Влияние спина электронов на проводимость

2.1.5 Предельные случаи больших и малых туннельных интегралов tz

2.2 Обсуждение

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Общие формулы для проводимости в двуслоевой

модели в магнитном поле

А.1 Вывод исходного выражения для межслоевой

магнетопроводимости из формулы Кубо

А.2 Внутрислоевая электронная функция Грина при наличии

примесного потенциала

А.3 Вывод формулы для классической части проводимости

А.4 Вывод формулы для квантовой части проводимости

А.5 Электронная функция Грина и собственно-энергетическая

функция в самосогласованном борновском приближении

А.6 Вывод упрощённого выражения для межслоевой

магнетопроводимости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитные квантовые и угловые осцилляции проводимости в слоистых металлах»

Введение

Работа посвящена рассмотрению кинетических свойств слоистых квазидвумерных металлов в квантующем магнитном поле при низких температурах. К слоистым металлам относятся активно изучаемые соединения, включая высокотемпературные сверхпроводники, органические металлы, гетероструктуры и др. Квантующее магнитное поле часто применяется для изучения электронной структуры этих материалов. В диссертации рассматриваются магнитные квантовые осцилляции электропроводности, также так называемые «медленные» и угловые осцилляции, о которых будет написано подробнее ниже.

Впервые магнитные квантовые осцилляции намагниченности и проводимости были экспериментально обнаружены в 1930 году в бисмуте [1—3]. Они возникают из-за квантования уровней энергии электронов в магнитном поле [4]. Частота магнитных квантовых осцилляций пропорциональна экстремальному сечению поверхности Ферми, перпендикулярному магнитному полю. Изучая магнитные квантовые осцилляции, можно определить геометрию поверхности Ферми в металлах, а также получить информацию об эффективной массе, ширине уровней и ^-факторе носителей заряда.

Угловые осцилляции магнето сопротивления изначально были обнаружены в квазидвумерных органических металлах вида (ВЕБТ-ТТБ^Х [5—8]. При поворотах слоистой структуры в магнитном поле наблюдаются квазипериодические осцилляции магнетосопротивления как функции угла наклона поля по отношению к нормали к слоям. При анализе угловых осцилляций магнетосо-противления особое значение играют так называемые «магические углы» или «углы Ямаджи», т. е. углы наклона магнитного поля, при которых межслоевое сопротивление принимает максимальную величину [9]. Углы Ямаджи не зависят от величины магнитного поля и находятся из условия: 30(крё,tg6) = 0, где кр — внутрислоевой импульс Ферми, ё, — межслоевое расстояние. По положению углов Ямаджи можно выяснить величину кр и геометрические характеристики поверхности Ферми квазидвумерных слоистых проводников.

Первый раз «медленные» осцилляции были открыты Карцовником М. В. и др. в 1988 году [7; 8]. Одно из объяснений обнаруженных осцилляций основывалось на предположении о существовании дополнительных небольших карманов поверхности Ферми, вносящих свой вклад в магнитные квантовые

осцилляции. Однако такое объяснение вносило дополнительные трудности. В работах Григорьева П. Д. [10; 11] в качестве основной причины медленных осцилляций выдвигалась гофрированность поверхности Ферми. Эффект напоминает межподзонные осцилляции, открытые ранее в полупроводниках. Медленные осцилляции согласно работе возникали из-за зацепления магнитных квантовых осцилляций с близкими частотами от двух близких по площади экстремальных сечений поверхности Ферми. Медленные осцилляции отчётливо проявляются в сильно анизотропных слоистых металлах при величине интеграла межслоевого перескока 1г > Ь,шс. Также возникает сдвиг фаз биений квантовых осцилляций транспортных и термодинамических величин. Привычная всем трёхмерная теория не в состоянии объяснить таковые два явления, так как они появляются в высших порядках малости по отношению .

Целью данной работы является теоретическое исследование осцилляций проводимости в слоистых металлах в магнитном поле при низкой температуре. В частности рассмотреть взаимное влияние угловых и квантовых осцилляций межслоевой проводимости, медленные осцилляции.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Теоретически исследовать осцилляции проводимости в слоистых металлах в магнитном поле при низкой температуре.

2. Вычислить межслоевую проводимость в квантующем магнитном поле с учётом как угловых, так и квантовых осцилляций.

3. Рассмотреть взаимное влияние угловых и квантовых осцилляций межслоевой проводимости в квазидвумерных металлах. Определить область применимости их независимого рассмотрения.

4. Вычислить осцилляции проводимости вдоль проводящих слоев в квантующем магнитном поле в квазидвумерных металлах.

5. Сравнить квантовые и медленные осцилляции проводимости вдоль и поперек проводящих слоёв в сильном магнитном поле.

Научная новизна:

1. Впервые было получено выражение для шубниковских и так называемых «медленных» осцилляций внутрислоевой проводимости в слоистом проводнике с использованием формулы Кубо в самосогласованном борновском приближении.

2. Впервые выведено выражение для межслоевой проводимости в слоистом проводнике, содержащее как угловые, так и магнитные квантовые осцилляции. Продемонстрировано взаимное влияние угловых и квантовых магнитных осцилляций. Проведено сравнение характера ос-цилляций для разных форм уровней Ландау. Показано, как угловые осцилляции приводят к немонотонной угловой зависимости амплитуды квантовых осцилляций и к новому явлению, названному «ложными спиновыми нулями».

Практическая значимость. Найденные выражения полезны для анализа экспериментальных данных по проводимости слоистых проводников в магнитном поле при низких температурах. Используя полученные формулы, можно оценить микроскопические параметры слоистой системы: эффективную массу электрона, время свободного пробега носителей заряда, их импульс Ферми, интеграл межслоевого перескока, а также получить сведения о типе беспорядка.

Методология и методы исследования. Теоретическое исследование использовало аппарат функций Грина и диаграммной техники Фейнмана, самосогласованное борновское приближение.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В рамках двуслоевой модели получена аналитическая формула для межслоевой проводимости квазидвумерных металлов в магнитном поле при низких температурах для произвольных форм уровней Ландау, содержащая угловые и квантовые осцилляции.

2. Показано, что при одних и тех же параметрах угловые осцилляции для лоренцевой формы уровней Ландау более плавные, чем для гауссовой и выведенной в самосогласованном борновском приближении.

3. В рамках той же модели показано взаимовлияние магнитных квантовых и угловых осцилляций межслоевой проводимости. Угловые осцилляции приводят к осцилляциям амплитуды (биениям) магнитных квантовых осцилляций.

4. Выведено аналитическое выражение для магнитных квантовых осцил-ляций диагональной внутрислоевой проводимости в слоистой квазидвумерной системе в первом порядке малости по множителю Дингла для магнитных квантовых осцилляций и втором порядке малости для медленных осцилляций.

5. Показано, что амплитуда медленных осцилляций внутрислоевой проводимости немонотонна и меняет знак с ростом магнитного поля.

Достоверность подтверждается соответствием с теоретическими работами других авторов в предельных случаях. Для расчётов применялась опробованная во многих задачах и надёжная диаграммная техника Фейнмана в самосогласованном борновском приближении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. Стендовый доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Угловая зависимость магнитосопротивления в сильно анизотропных квазидвумерных металлах при различных формах уровней Ландау». // 48-я Школа ПИ-ЯФ, 10—15 марта 2014, г. Санкт-Петербург.

2. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Угловая зависимость магнитосопротивления в сильно анизотропных квазидвумерных металлах для различных форм уровня». // XIII Школа-конференция молодых учёных «Проблемы физики твёрдого тела и высоких давлений», 12—21 сентября 2014, г. Сочи.

3. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D., «Angular dependence of magnetoresistance in strongly anisotropic quasi-two-dimensional metals: the influence of Landau-level shape». // XV Школа молодых учёных (ФИ-АН), 16—18 ноября 2014, г. Москва.

4. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Угловая зависимость амплитуды квантовых осцилляций магнитосопротивления и их поведение вблизи углов Ямаджи». // XIV Школа-конференция молодых учёных «Проблемы физики твёрдого тела и высоких давлений. Идеи и методы физики конденсированного состояния», 11—20 сентября 2015, г. Сочи.

5. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Угловая зависимость квантовых осцилляций магнитосопротивления в сильно анизотропных слоистых квазидвумерных проводниках». // Международная конференция ФизикА.СПб/2015, 26—29 ноября 2015, г. Санкт-Петербург.

6. Стендовый доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Медленные осцилляции поперечного магнетосопротивления в слоистых материалах в слабом магнитном поле». // XIV Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», 3 июня 2016, г. Троицк, г. Москва.

7. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Slow oscillations of transverse magnetoresistance in anisotropic quasi-two-dimensional conductors». // International Workshop Localization, Interactions and Superconductivity, 27 июня—1 июля 2016, г. Черноголовка.

8. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Slow oscillations of transverse magnetoresistance in anisotropic quasi-two-dimensional conductors». // The Summer School 2016 (Russian Quantum Center), 22—27 августа 2016, г. Москва.

9. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Медленные осцилляции магнетосопротивления в анизотропных квазидвумерных слоистых металлах». // XV Конференция молодых учёных «Проблемы физики твёрдого тела и высоких давлений», 16—26 сентября 2016, г. Троицк, г. Москва.

10. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Slow oscillations of transverse magnetoresistance in anisotropic quasi-two-dimensional layered conductors». // Международная конференция ФизикА.СПб/2016, 1—3 ноября 2016, г. Санкт-Петербург.

11. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Тензор магнето-проводимости в слоистых материалах». // XVII Всероссийская школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-17), 15—22 ноября 2016, г. Екатеринбург.

12. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Тензор проводимости в слоистых материалах в магнитном поле». // 59-я научная конференция МФТИ, 21—26 ноября 2016, г. Долгопрудный.

13. Стендовый доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Угловая зависимость магнитных квантовых осцилляций в квазидвумерных металлах». // XV Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления» памяти бессменного председателя конференции академика Келдыша Л.В., 7 июня 2017, г. Троицк, г. Москва.

14. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Осцилляции проводимости в магнитном поле в слоистых материалах». // Международная конференция «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», посвящённая 60-летию Института физики

ДНЦ РАН и 110-летию Амирханова Х.И., 6—9 сентября 2017, г. Махачкала.

15. Устный доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «False spin zeros in the angular dependence of magnetic quantum oscillations in quasi-two-dimensional metals». // XVI Международная школа-конференция «Проблемы физики твёрдого тела и высоких давлений. Идеи и методы физики конденсированного состояния II», 15—24 сентября 2017, г. Сочи.

16. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «False spin zeros in the angular dependence of magnetic quantum oscillations in quasi-two-dimensional metals». // International conference Physica.SPb/2017, 24—26 октября 2017, г. Санкт-Петербург.

17. Устный доклад: Могилюк Т. И., «Ложные спиновые нули в угловой зависимости магнитных квантовых осцилляций в квазидвумерных металлах». // XVIII Всероссийская школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-18), 16—23 ноября

2017, г. Екатеринбург.

18. Стендовый доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Медленные осцилляции поперечного магнетосопротивления в слоистых материалах в слабом магнитном поле». // 51-я Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния, 11—16 марта 2017, г. Санкт-Петербург.

19. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Interplay between quantum and angular oscillations in layered structures». // 2017 Winter workshop-school on localization, interactions and superconductivity, 17—21 декабря 2017, г. Черноголовка.

20. Устный доклад: Могилюк Т. И., Кешарпу К. К., Григорьев П. Д. «Анизотропное влияние зарождающейся сверхпроводимости на электронный транспорт в FeSe». // Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии ЛаПлаз 2018», 31 января—1 февраля

2018, г. Москва.

21. Устный доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Interplay between quantum and angular magnetoresistance oscillations». // International Winter School of Theoretical Physics «Kourovka», 25 февраля—3 марта 2018, г. Екатеринбург.

22. XVI Стендовый доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Анизотропное влияние зарождающейся сверхпроводимость на электронный транспорт в FeSe». // XVI Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», 7 июня 2018, г. Троицк, г. Москва.

23. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Anisotropic effect of appearing superconductivity on the electron transport in FeSe». // Международная школа/конференция «Локализации, взаимодействия и сверхпроводимость», 30 июня—4 июля 2018, г. Черноголовка.

24. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Анизотропное влияние зарождающейся сверхпроводимости на электронный транспорт в FeSe». // XVII Всероссийская конференция «Проблемы физики твёрдого тела и высоких давлений», 14—23 сентября 2018, г. Сочи.

25. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Анизотропное влияние зарождающейся сверхпроводимости на электронный транспорт в FeSe». // XIX Всероссийская школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-19) памяти Танкеева А.П., 21 Ноября—28 Ноября 2019, г. Екатеринбург.

26. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Анизотропное влияние зарождающейся сверхпроводимости на электронный транспорт в FeSe». // 15-я зимняя школа по теоретической физике «Сложные системы и перспективные материалы», 28 января—1 февраля 2019, ОИЯИ г. Дубна, г. Москва.

27. Устный доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Magnetic quantum oscillations of in-plane conductivity in quasi-two-dimensional metals». // Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии ЛаПлаз 2019», 12—15 февраля 2019, г. Москва.

28. Стендовый доклад: Григорьев П. Д., Синченко А. А., Кешарпу К. К., Могилюк Т. И. «Изменение анизотропии проводимости при зарождении сверхпроводимости в виде редких изолированных островков: теория и применение к слоистым сверхпроводникам». // Совещание по теории твёрдого тела, 28—30 мая 2019, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, г. Санкт-Петербург.

29. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «О влиянии действительной части собственно-энергетической функции на магнитные

квантовые осцилляции намагниченности и сопротивления». // XVII Конференция «Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления», 6 июня 2019, г. Троицк, г. Москва.

30. Стендовый доклад: Mogilyuk T. I., Grigoriev P. D. «Interaction of angular and quantum magnetoresistance oscillations in quasi-2D metals. The effect of real part of electron self-energy». // Modern Trends in Condensed Matter Physics (Lev Gorkov Memorial Conference), 24—27 июня 2019, г. Черноголовка.

31. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «О влиянии действительной части собственно-энергетической функции на магнитные квантовые осцилляции намагниченности и сопротивления». // XVIII Школа-конференция молодых учёных «Проблемы физики твёрдого тела и высоких давлений. Идеи и методы физики конденсированного состояния III», 18—29 сентября 2019, г. Сочи.

32. Устный доклад: Могилюк Т. И., Григорьев П. Д. «Влияние действительной части собственно-энергетической функции на магнитные квантовые осцилляции намагниченности и сопротивления в слоистых материалах». // XX Юбилейная Всероссийская школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-20), 21 Ноября—28 Ноября 2019, г. Екатеринбург.

Личный вклад. Автор проводил аналитические и численные расчёты, готовил публикации и доклады для конференций.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 24 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, из которых 3 работы в журнале Physical Review B, а 22 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и одного приложения. Полный объём диссертации составляет 112 страниц, включая 30 рисунков. Список литературы содержит 99 наименований.

Глава 1. Взаимное влияние угловых и квантовых осцилляций

магнетосопротивления

1.1 Введение

Угловые осцилляции магнетосопротивления (УОМС) — характерная черта сильно анизотропных слоистых проводников, дающая ценные сведения об их электронных свойствах (см., например, работы [12—14]). УОМС активно используются для исследования разных слоистых структур, включая органические металлы [12—18], высокотемпературные сверхпроводники на основе купратов [19—23], гетероструктуры [24] и т. д.

УОМС впервые были обнаружены (см. [7; 8]) в 1988 г. в квазидвумерном сильно анизотропном |3-(ВЕВТ-ТТР)2Юг2. Первое объяснение природы УОМС появилось на следующий год (см. [9]), опирающееся на геометрические особенности поверхности Ферми в виде гофрированного цилиндра, соответствующей спектру

бзд (к) « б2£ (кх, ку) - еов^й), (1.1)

где %кг — межслоевой импульс электронов, % — постоянная Планка, й — межслоевое расстояние, а — интеграл межслоевого переноса, который много меньше энергии Ферми ц. Для случая квадратичной и изотропной внутрислоевой электронной дисперсии е2в (кх, ку) = %2 (к2х + /(2т*) Кунихико Ямаджи нашёл (см. [9]), что минимумы межслоевой проводимости ахх (6) соответствуют нулям 30 (к), где 30 — функция Бесселя нулевого порядка, к = кр&tg(6), %кр — внутрислоевой импульс Ферми, а 6 — угол между приложенным магнитным полем В и нормалью к проводящим плоскостям. К примеру, первому углу Ямаджи соответствует к! « 2.40483. Непосредственное вычисление межслоевой проводимости с использованием электронной дисперсии из формулы (1.1) и уравнения Больц-мана в тау-приближении даёт (см. [25])

ж = ^ (к)+ 2 Е , (1-2)

где шс = еВг/(т*с) = шс0 еов(6) — циклотронная частота, т — время свободного пробега, а межслоевая проводимость в отсутствие магнитного поля (с учётом

обеих компонент спина)

00, = 2е2ро („2> т (1.3)

Po = т*/(2nh2d) — трёхмерная плотность состояний на уровне Ферми в отсутствие магнитного поля на одну компоненту спина, а средний квадрат межслоевой скорости электронов (v^) = 2t2zd2/%2. Здесь е — электронный заряд, т* — эффективная масса электронов, Bz — компонента магнитного поля, перпендикулярная проводящим слоям, с — скорость света. Формула (1.2) находится в согласии с результатом Ямаджи при шст ^ ж. Микроскопический подход (см. [26]) к вычислению аналогично приводит к формуле (1.2) при большом числе заполненных уровней Ландау (УЛ) uf ^ 1.

Формула (1.2) описывает зависимость проводимости только от полярного угла 6, отсчитываемого от нормали к проводящим слоям и направлением магнитного поля, поскольку предполагается изотропный закон электронной дисперсии в проводящем слое е2р (кх, ку). Обобщение, дающее зависимость магнетосопро-тивления от азимутального угла, для анизотропной внутрислоевой дисперсии, было аналитически рассмотрено в тау-приближении в работах [27—30] и численно в работах [19—22].

Расчёты УОМС в работах [9; 13; 25—27; 29; 31] предполагают чётко определённую трёхмерную дисперсию электронов (1.1), т. е. что расстояние между УЛ Пшс и уширение Г = %/(2т) намного меньше, чем tz. В этих работах время свободного пробега электрона берётся постоянным и таким же, как без магнитного поля: т = т0. Обратный «слабо некогерентный» предел tz ^ Г0 при «когерентном» межслоевом транспорте, сохраняющем импульс, изучался в работе [32], где межслоевая проводимость была рассчитана как туннельная проводимость между двумя соседними проводящими слоями, снова приводя к формуле (1.2). Расчёты в работах [26; 32] также предполагают, что собственная энергия электрона |1т£й| = Г0 = %/(2т0) не зависит от энергии и магнитного поля. Это предположение, почти эквивалентное тау-приближению, некорректно в двумерии или для сильно анизотропных квазидвумерных слоистых соединениях с {tz, Г0} < Пшс, т. е. в присутствии сильных магнитных квантовых осцилляций (МКО) [11; 33—42]. Даже если МКО подавляются температурой, «размазывающей» функцию распределения Ферми [4; 43; 44], МКО приводят к монотонному росту [38—42; 45] продольного межслоевого магнето сопротивления Rzz (Bz) = 1/ozz и уширению УЛ Г = Г (Bz), что изменяет угловую

зависимость Ягг (6) [38]. В работе [38] была предложена полуфеноменологическая поправка к формуле (1.2) в пределе С Г0 (см. формулу (20) из работы [38]). Поправка к формуле включает в себя перенормировку префактора

и похожую перенормировку эффективного времени свободного пробега в формуле (1.2)

Однако расчёт в работе [38] имеет несколько недостатков. Во-первых, вывод формулы (1.2) и все предыдущие расчёты УОМС игнорируют дополнительное «квантовое» слагаемое, исходящее из МКО, впервые полученное в работах [11; 35; 36] для магнитного поля, перпендикулярного проводящим слоям. Для наклонного магнитного поля второе слагаемое в фигурных скобках в формуле (1.12) ниже или в формуле (29) из работы [38] и есть то самое «квантовое» слагаемое. Во-вторых, и это даже более важно, формула (1.2) выводится в предположении лоренцевой формы УЛ. В сильно анизотропных квазидвумерных слоистых металлах с ^ %шс и в сильном магнитном поле, т. е. при шст ^ 1, фактическая форма УЛ не лоренцева, а скорее гауссова [42], как и у двумерных проводников [34; 46—55]. Вопрос о влиянии формы УЛ на угловую зависимость магнетосопротивления не был исследован до сих пор, но все предыдущие расчёты УОМС были выполнены для лоренцевой формы УЛ. Данная глава частично направлена на восполнение этого пробела в знаниях. Ниже мы покажем прямым подсчётом, что УОМС в значительной степени зависят от формы УЛ, т. е. профиля плотности электронных состояний каждого УЛ. Это важно для анализа экспериментальных данных по УОМС и для извлечения значения шст из этих данных. Мы также вывели аналитическую формулу для УОМС для случая гауссовой формы УЛ (см. формулу (1.49)), заменяющую формулу (1.2) в пределе ^ ^ %шс. Кроме того, мы показываем (см. формулу (1.23)), что обычно пренебрегаемое «квантовое слагаемое» не оказывает значительного влияния на угловую зависимость монотонной части магнетосопротивления, участвуя лишь

(1.4)

(1.5)

в МКО.

Предлагаемое теоретическое исследование также мотивировано заметным расхождением в величине амплитуды УОМС, найденной из формулы (1.2) и экспериментов с различными органическими металлами. К примеру, рассмотрим данные по УОМС, приведённые на рисунке 1 из работы [56]. Принимая сообщённое в работе значение т « 5 пс и подставляя эффективную массу т* = 1.3ше для этого соединения при давлении ~ 6 кбар, получим шст « 0.34 для грязного образца в работе [56] при В = 0.5 Тл. Согласно формуле (1.2) при шст « 0.34 УОМС не должны быть видимы вообще. Даже при шст = 1 УОМС незаметны (см. рисунок 1 из [32]). Это предсказание противоречит экспериментальным данным на рисунке 1 из работы [56], где, по крайней мере, первые два максимума УОМС отчётливо наблюдаются при В = 0.5 Тл. Видимо, это расхождение связано с различными значениями шст, входящими в формулы для амплитуд МКО и УОМС. Однако теоретическое исследование УОМС для не лоренцевой формы УЛ необходимо для лучшего понимания этой проблемы. В работе [42] была продемонстрирована явно не лоренцева форма УЛ в квазидвумерном органическом металле а—(ВЕБТ-ТТР^КН^ЗСК^ из анализа затухания различных гармоник МКО [42].

В параграфе 1.2 мы формулируем двуслоевую модель, в рамках которой выполнены расчёты в этой главе. В параграфе 1.3 запишем формулы для УОМС, которые справедливы для произвольных форм УЛ. В параграфе 1.4 мы получим явные результаты для лоренцевой, гауссовой и куполовидной формы УЛ, получаемой в самосогласованном борновском приближении (ССБП). В параграфе 1.5 мы анализируем общую угловую зависимость магнетосопротивления и отношение агг (6 ^ ±90°) /игг (6 = 0) для различных форм УЛ. Покажем, что зависимость агг (6 ^ ±90°) от поля обеспечивает полезную информацию о значении т0, которое может значительно отличаться от значения т, полученного из амплитуды УОМС или температуры Дингла. В параграфе 1.6 мы изучим спиновый ток, создаваемый УОМС и зеемановским расщеплением, а также соберём замечания по предыдущим параграфам1. Другой важный вопрос, изучаемый в этой главе, — это влияние угловых осцилляций на квантовые осцилляции межслоевой проводимости в магнитном поле. Данное влияние нетривиально и может приводить к заметным биениям в угловой зависимости МКО. В параграфе 1.7 мы рассмотрим вопрос правильности факторизации межслоевой проводимости, часто применяемой при анализе экспериментальных данных, т. е. вопрос

1 Влияние МКО на УОМС изучалось в нашей работе [57].

о правильности разбиения выражения для проводимости на произведение двух множителей, отвечающих за МКО и УОМС соответственно (см. формулу (1.63)). В этом параграфе мы покажем, что такая факторизация неверна в сильном магнитном поле. Также в данном параграфе рассматриваются угловые колебания амплитуды МКО.

1.2 Двуслоевая модель

Напомним формулировку и основные формулы двуслоевой модели для межслоевой проводимости, развитой в работах [32; 38; 57]. Одноэлектронный гамильтониан в слоистых металлах со слабой межслоевой связью состоит из трёх слагаемых:

Н = Но + Нь + Н!. (1.6)

Первое слагаемое Н0 — двумерный гамильтониан свободных электронов, просуммированный по всем слоям ] и всем квантовым состояниям {т} электронов в магнитном поле в двумерном проводящем слое:

Но = ^ М ат,3,

т, з

где б2в (т) = ет = %шс (т + 1/2) — соответствующая дисперсия свободных электронов, а а+ (ат) суть оператор рождения (уничтожения) электронов в состоянии {т}. Следующее слагаемое в формуле (1.6) описывает когерентное туннелирование электронов между ближайшими слоями:

Щ = 2Ъг ^ [ф] (г)ф-х(г) + Ф]-1(г)Ф, (г)

3

(1.7)

где Ф] (х, у) и Ф^ (х, у) суть оператор рождения (уничтожения) электрона на слое ] в точке (х, у). Гамильтониан межслоевого туннелирования зовётся «когерентным», поскольку сохраняет внутрислоевую компоненту импульса электрона в течение межслоевого туннелирования. Последнее слагаемое Н1 — примесный потенциал:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Могилюк Тарас Игоревич, 2021 год

Список литературы

1. Schubnikow, L. Magnetische Widerstandsvergrösserung in Einkristallen von Wismut bei tiefen Temperaturen / L. Schubnikow, W. J. de Haas // Proc. R. Neth. Acad. Arts Sci. - 1930. - Февр. - Т. 33. - С. 130-133.

2. Schubnikow, L. Neue Erscheinungen bei der Widerstandsanderung von Wismuthkristallen im Magnetfeld bei der Temperatur von flüssigem Wasserstoff (I) / L. Schubnikow, W. J. de Haas // Proc. R. Neth. Acad. Arts Sci. - 1930. -Апр. - Т. 33. - С. 363-378.

3. De Haas, W. /.The dependence of the susceptibility of diamagnetic metals upon the field / W. J. De Haas, P. M. Van Alphen // Proc. R. Neth. Acad. Arts Sci. -1930. - Февр. - Т. 33. - С. 1106-1118.

4. Shoenberg, D. Magnetic Oscillations in Metals (Cambridge Monographs on Physics) / D. Shoenberg. - Cambridge University Press, 09.2009. - URL: https: / / www. amazon. com/Magnetic - Oscillations - Cambridge - Monographs -Physics/dp/0521118786.

5. Transverse magnetoresistance and Shubnikov-de Haas oscillations in the organic superconductor ß-(ET)2IBr2 / M. V. Kartsovnik [и др.] // Pisma v Zhurnal Eksperimentalnoi i Teoreticheskoi Fiziki. - 1988. - Март. - Т. 47. -С. 302-305.

6. Transverse magnetoresistance and Shubnikov-de Haas oscillations in the organic superconductor ß-(ET)2IBr2 / M. V. Kartsovnik [и др.] // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. - 1988. - Март. - Т. 47. -С. 363-366. - URL: http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1093/article_16511.shtml.

7. Anisotropy of magnetoresistance and Shubnikov-de Haas oscillation in the organic metal ß-(ET)2IBr2 / M. V. Kartsovnik [и др.] // Pisma v Zhurnal Eksperimentalnoi i Teoreticheskoi Fiziki. - 1988. - Нояб. - Т. 48. -С. 498-501.

8. Anisotropy of magnetoresistance and the Shubnikov-de Haas oscillations in the organic metal ß-(ET)2IBr2 / M. V. Kartsovnik [и др.] // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. - 1988. - Нояб. - Т. 48. -С. 541-544. - URL: http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1109/article_16777.shtml.

9. Yamaji, K. On the Angle Dependence of the Magnetoresistance in Quasi-Two-Dimensional Organic Superconductors / K. Yamaji // J. Phys. Soc. Jpn. — 1989. — Май. — Т. 58, № 5. — С. 1520—1523.

10. Slow Oscillations of Magnetoresistance in Quasi-Two-Dimensional Metals / M. V. Kartsovnik [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Авг. — Т. 89, № 12. — С. 126802.

11. Grigoriev, P. D. Theory of the Shubnikov-de Haas effect in quasi-two-dimensional metals / P. D. Grigoriev // Phys. Rev. B. — 2003. — Апр. — Т. 67, № 14. — С. 144401.

12. Kartsovnik, M. V. High Magnetic Fields: A Tool for Studying Electronic Properties of Layered Organic Metals / M. V. Kartsovnik // Chem. Rev. — 2004. — Нояб. — Т. 104, № 11. — С. 5737—5782.

13. Singleton, J. Studies of quasi-two-dimensional organic conductors based on BEDT-TTF using high magnetic fields / J. Singleton // Rep. Prog. Phys. — 2000. — Авг. — Т. 63, № 8. — С. 1111.

14. Kartsovnik, M. V. Galvanomagnetic phenomena in layered organic conductors (Review) / M. V. Kartsovnik, V. G. Peschansky // Low Temp. Phys. — 2005. — Март. — Т. 31, № 3. — С. 185—202.

15. Ishiguro, T. Organic superconductors / T. Ishiguro. — Berlin New York : Springer, 1998.

16. Wosnitza, J.Fermi Surfaces of Low-Dimensional Organic Metals and Superconductors / J. Wosnitza. — Berlin : Springer Berlin, 2013.

17. Fermiology and superconductivity at high magnetic fields in a completely organic cation radical salt / J. S. Brooks [и др.] // New J. Phys. — 2006. — Окт. — Т. 8, № 10. — С. 255.

18. Lebed, A. G. The physics of organic superconductors and conductors / A. G. Lebed. — Berlin : Springer, 2008.

19. A coherent three-dimensional Fermi surface in a high-transition-temperature superconductor / N. E. Hussey [и др.] // Nature. — 2003. — Окт. — Т. 425, № 6960.— С. 814—817.

20. Anisotropic scattering and anomalous normal-state transport in a high-temperature superconductor / M. Abdel-Jawad [и др.] // Nat. Phys. — 2006. — Дек. — Т. 2. — С. 821—825. — eprint: cond-mat/0609763.

21. Correlation between the Superconducting Transition Temperature and Anisotropic Quasiparticle Scattering in Tl2Ba2CuO6+6 / M. Abdel-Jawad [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Сент. — Т. 99, № 10. — С. 107002.

22. Kennett, M. P. Sensitivity of the interlayer magnetoresistance of layered metals to intralayer anisotropies / M. P. Kennett, R. H. McKenzie // Phys. Rev. B. — 2007. — Авг. — Т. 76, № 5. — С. 054515.

23. Magnetic Breakdown in the Electron-Doped Cuprate Superconductor Nd2-xCexCuO4: The Reconstructed Fermi Surface Survives in the Strongly Overdoped Regime / T. Helm [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Дек. — Т. 105, № 24. — С. 247002.

24. Transport measurement for low-dimensional conductors under ultra-high magnetic fields beyond 100 T / M. Saito [и др.] // Synth. Met. — 2003. — Март. — Т. 133/134. — С. 133—135.

25. Semiclassical Interpretation of the Angular-Dependent Oscillatory Magnetoresistance in Quasi-Two-Dimensional Systems / R. Yagi [и др.] // J. Phys. Soc. Jpn. — 1990. — Сент. — Т. 59, № 9. — С. 3069—3072.

26. Kurihara, Y. A Microscopic Calculation of the Angular-Dependent Oscillatory Magnetoresistance in Quasi-Two-Dimensional Systems / Y. Kurihara // J. Phys. Soc. Jpn. — 1992. — Март. — Т. 61, № 3. — С. 975—982.

27. Angular magnetoresistance oscillations and the shape of the Fermi surface in ß(ET)2lBr2 / M. V. Kartsovnik [и др.] // J. Phys. I. — 1992. — Янв. — Т. 2, № 1. — С. 89—99.

28. Fermi surface shape and angle-dependent magnetoresistance oscillations / M. S. Nam [и др.] // J. Phys.: Condens. Matter. — 2001. — Март. — Т. 13, № 10. — С. 2271.

29. Grigoriev, P. D. Angular dependence of the Fermi surface cross-section area and magnetoresistance in quasi-two-dimensional metals / P. D. Grigoriev // Phys. Rev. B. — 2010. — Май. — Т. 81, № 20. — С. 205122.

30. Detailed Topography of the Fermi Surface of Sr2RuO4 / C. Bergemann [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Март. — Т. 84, № 12. — С. 2662—2665.

31. Schofield, A. J.Quasilinear magnetoresistance in an almost two-dimensional band structure / A. J. Schofield, J. R. Cooper // Phys. Rev. B. — 2000. — Окт. — Т. 62, № 16. — С. 10779—10784.

32. Moses, P. Comparison of coherent and weakly incoherent transport models for the interlayer magnetoresistance of layered Fermi liquids / P. Moses, R. H. McKenzie // Phys. Rev. B. — 1999. — Сент. — Т. 60, № 11. — С. 7998—8011.

33. Ando, T. Theory of Quantum Transport in a Two-Dimensional Electron System under Magnetic Fields. I. Characteristics of Level Broadening and Transport under Strong Fields / T. Ando, Y. Uemura // J. Phys. Soc. Jpn. — 1974. — Апр. — Т. 36, № 4. — С. 959—967.

34. Ando, T. Theory of Quantum Transport in a Two-Dimensional Electron System under Magnetic Fields II. Single-Site Approximation under Strong Fields / T. Ando // J. Phys. Soc. Jpn. — 1974. — Июнь. — Т. 36, № 6. — С. 1521—1529.

35. Shubnikov-de Haas effect in quasi-two-dimensional compounds / P. D. Grigoriev [и др.] // arXiv. — 2001. — Авг. — eprint: cond-mat/0108352. — URL: https: //arxiv.org/abs/cond-mat/0108352.

36. Champel, T. Magnetic quantum oscillations of the longitudinal conductivity uzz in quasi-two-dimensional metals / T. Champel, V. P. Mineev // Phys. Rev. B. — 2002. — Нояб. — Т. 66, № 19. — С. 195111.

37. Gvozdikov, V. M. Magnetic quantum oscillations of the conductivity in layered conductors / V. M. Gvozdikov // Phys. Rev. B. — 2004. — Авг. — Т. 70, № 8. -С. 085113.

38. Grigoriev, P. D. Weakly incoherent regime of interlayer conductivity in a magnetic field / P. D. Grigoriev // Phys. Rev. B. — 2011. — Июнь. — Т. 83, №24. — С. 245129.

39. Grigoriev, P. D. Monotonic growth of interlayer magnetoresistance in strong magnetic field in very anisotropic layered metals / P. D. Grigoriev // JETP Lett. — 2011. — Сент. — Т. 94, № 1. — С. 47.

40. Grigoriev, P. D. New features of magnetoresistance in highly anisotropic layered metals / P. D. Grigoriev // Low Temp. Phys. — 2011. — Окт. — Т. 37, № 10. — С. 738—743.

41. Grigoriev, P. D. Longitudinal interlayer magnetoresistance in strongly anisotropic quasi-two-dimensional metals / P. D. Grigoriev // Phys. Rev. B. — 2013. — Авг. — Т. 88, № 5. — С. 054415.

42. Grigoriev, P. D. Magnetic-field-induced dimensional crossover in the organic metal a-(BEDT-TTF)2KHg(SCN)4 / P. D. Grigoriev, M. V. Kartsovnik, W. Biberacher // Phys. Rev. B. — 2012. — Окт. — Т. 86, № 16. — С. 165125.

43. Abrikosov, A. A. Fundamentals of the theory of metals / A. A. Abrikosov. — Amsterdam New York New York, NY, USA : North-Holland Sole distributors for the USA, Canada, Elsevier Science Pub. Co, 1988.

44. Ziman, J. M. Principles of the theory of solids / J. M. Ziman. — Cambridge England : Cambridge University Press, 1972.

45. Grigoriev, A. D. Crossover from the weak to strong-field behavior of the longitudinal interlayer magnetoresistance in quasi-two-dimensional conductors / A. D. Grigoriev, P. D. Grigoriev // Low Temp. Phys. — 2014. — Апр. — Т. 40, № 4. — С. 367—370.

46. Ando, T. Theory of Quantum Transport in a Two-Dimensional Electron System under Magnetic Fields. III. Many-Site Approximation / T. Ando // J. Phys. Soc. Jpn. — 1974. — Сент. — Т. 37, № 3. — С. 622—630.

47. Brezin, E. Density of states in the presence of a strong magnetic field and random impurities / E. Brezin, D. J. Gross, C. Itzykson // Nucl. Phys. B. — 1984. — Май. — Т. 235, № 1. — С. 24—44.

48. Raikh, M. E. High Landau levels in a smooth random potential for two-dimensional electrons / M. E. Raikh, T. V. Shahbazyan // Phys. Rev. B. — 1993. — Янв. — Т. 47, № 3. — С. 1522—1531.

49. Dyugaev, A. M. Surface tension of pure liquid helium isotopes / A. M. Dyugaev, P. D. Grigoriev // Jetp. Lett. — 2003. — Окт. — Т. 78, № 7. — С. 466—470.

50. Burmistrov, I. S. On the effect of far impurities on the density of states of two-dimensional electron gas in a strong magnetic field / I. S. Burmistrov, M. A. Skvortsov // Jetp. Lett. — 2003. — Авг. — Т. 78, № 3. — С. 156—161.

51. Efetov, K. B. Effect of impurities on electron motion in two dimensions in a strong magnetic field / K. B. Efetov, V. G. Marikhin // Phys. Rev. B. — 1989. — Дек. — Т. 40, № 18. — С. 12126—12132.

52. Кукушкин, И. В. Плотность состояний двумерных электронов в поперечном магнитном поле / И. В. Кукушкин, С. В. Мешков, В. Б. Тимофеев // Усп. физ. наук. — 1988. — Июнь. — Т. 155, № 6. — С. 219—264. — URL: https: //ufn.ru/ru/articles/1988/6/b/.

53. Kukushkin, I. V. Two-dimensional electron density of states in a transverse magnetic field / I. V. Kukushkin, S. V. Meshkov, V. B. Timofeev // Sov. Phys. Usp. — 1988. — Июнь. — Т. 31, № 6. — С. 511—534.

54. Mirlin, A. D. Quasiclassical approach to impurity effect on magnetooscillations in 2D metals / A. D. Mirlin, E. Altshuler, P. Wolfle // Ann. Phys. — 1996. — Апр. — Т. 508, № 3. — С. 281—304.

55. Nonequilibrium phenomena in high Landau levels / I. A. Dmitriev [и др.] // Rev. Mod. Phys. — 2012. — Нояб. — Т. 84, № 4. — С. 1709—1763.

56. Magnetic field induced coherence-incoherence crossover in the interlayer conductivity of a layered organic metal / M. V. Kartsovnik [и др.] // Phys. Rev. B. — 2009. — Апр. — Т. 79, № 16. — С. 165120.

57. Grigoriev, P. D. Angular dependence of magnetoresistance in strongly anisotropic quasi-two-dimensional metals: Influence of Landau-level shape / P. D. Grigoriev, T. I. Mogilyuk // Phys. Rev. B. — 2014. — Сент. — Т. 90, № 11. — С. 115138.

58. Mahan, G. D. Many-Particle Physics | SpringerLink / G. D. Mahan. — Springer, Boston, MA, 2000.

59. Altland, A. Condensed Matter Field Theory / A. Altland, B. D. Simons. — Cambridge University Press, 04.2010. — URL: https://www.amazon.com/ Condensed-Matter-Theory-Alexander-Altland/dp/0521769752.

60. Abrikosov, A. A. Resonant tunneling in high-Tc superconductors / A. A. Abrikosov // Physica C. — 1999. — Май. — Т. 317/318. — С. 154—174.

61. Gutman, D. B. Anomalous c-Axis Transport in Layered Metals / D. B. Gutman, D. L. Maslov // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Нояб. — Т. 99, № 19. — С. 196602.

62. Gutman, D. B. Boson-assisted tunneling in layered metals / D. B. Gutman, D. L. Maslov // Phys. Rev. B. — 2008. — Янв. — Т. 77, № 3. — С. 035115.

63. Lundin, U. Indications of coherence-incoherence crossover in layered metallic transport / U. Lundin, R. H. McKenzie // Phys. Rev. B. - 2003. - Авг. - Т. 68, № 8. - С. 081101.

64. Ho, A. F. c-axis transport in highly anisotropic metals: Role of small polarons / A. F. Ho, A. J. Schofield // Phys. Rev. B. - 2005. - Янв. - Т. 71, № 4. -С. 045101.

65. Maekawa, S. Spin current / S. Maekawa. - Oxford : Oxford University Press, 2012.

66. Angle-Dependent Magnetoresistance in the Weakly Incoherent Interlayer Transport Regime in a Layered Organic Conductor / M. V. Kartsovnik [и др.] // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Апр. - Т. 96, № 16. - С. 166601.

67. Grigoriev, P. D. Slow In-Plane Magnetoresistance Oscillations in Multiband Quasi-Two-Dimensional Metals / P. D. Grigoriev, M. M. Korshunov, T. I. Mogilyuk // J. Supercond. Novel Magn. - 2016. - Апр. - Т. 29, №4. - С. 1127-1132.

68. Slow Oscillations of In-plane Magnetoresistance in Strongly Anisotropic Quasi-Two-Dimensional Rare-Earth Tritellurides / A. A. Sinchenko [и др.] // J. Low Temp. Phys. - 2016. - Дек. - Т. 185, № 5/6. - С. 657-664.

69. Bilayer splitting versus Fermi-surface warping as an origin of slow oscillations of in-plane magnetoresistance in rare-earth tritellurides / P. D. Grigoriev [и др.] // Eur. Phys. J. B. - 2016. - Июнь. - Т. 89, № 6. - С. 151.

70. Champel, T. de Haas-van Alphen effect in two- and quasi-two-dimensional metals and superconductors / T. Champel, V. P. Mineev // Philos. Mag. B. -2001. - Янв. - Т. 81, № 1. - С. 55-74.

71. Anomalous beating phase of the oscillating interlayer magnetoresistance in layered metals / P. D. Grigoriev [и др.] // Phys. Rev. B. - 2002. - Янв. -Т. 65, № 6. - С. 060403.

72. Grigoriev, P. D. Interplay between angular and quantum magnetoresistance oscillations / P. D. Grigoriev, T. I. Mogilyuk // J. Phys. Conf. Ser. - 2018. -Июнь. - Т. 1038, № 1. - С. 012123.

73. Grigoriev, P. D. The influence of the chemical potential oscillations on the de Haas-van Alphen effect in quasi-two-dimensional compounds / P. D. Grigoriev // J. Exp. Theor. Phys. - 2001. - Июнь. - Т. 92, № 6. - С. 1090-1094.

74. Champel, T. Chemical potential oscillations and de Haas-van Alphen effect / T. Champel // Phys. Rev. B. — 2001. — Июль. — Т. 64, № 5. — С. 054407.

75. Grigoriev, P. D. False spin zeros in the angular dependence of magnetic quantum oscillations in quasi-two-dimensional metals / P. D. Grigoriev, T. I. Mogilyuk // Phys. Rev. B. — 2017. — Май. — Т. 95, № 19. — С. 195130.

76. Economou, E. N. Green's Functions in Quantum Physics | Eleftherios N. Economou | Springer / E. N. Economou. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006.

77. Abrikosov, A. A. Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover Books on Physics) / A. A. Abrikosov. — Dover Publications, 10.1975. — URL: https: //www. amazon. com/Methods - Quantum- Theory- Statistical - Physics/dp/ 0486632288.

78. Streda, P. Galvanomagnetic Effects in Alloys in Quantizing Magnetic Fields / P. Streda, L. Smrcka // Phys. Status solidi B. — 1975. — Авг. — Т. 70, № 2. — С. 537—548.

79. Quantum oscillations of the hall effect of a fermion gas with random impurity scattering / A. Bastin [и др.] // J. Phys. Chem. Solids. — 1971. — Янв. — Т. 32, № 8. — С. 1811—1824.

80. Lifshitz, I. M. On the theory of the Shubnikov-de Haas effect / I. M. Lifshitz, L. M. Kosevich // Sov. Phys. JETP. — 1958. — Янв. — Т. 6. — С. 67—77. — URL: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/6/1/p67?a=list.

81. Wilton, J. R. A Proof of Poisson's Summation Formula / J. R. Wilton // J. London Math. Soc. — 1930. — Окт. — Т. s1—5, № 4. — С. 276—279.

82. Table of Integrals, Series, and Products, Sixth Edition / I. S. Gradshteyn [и др.]. — Academic Press, 08.2000. — URL: https://www.amazon.com/Table-Integrals-Products-Sixth-Gradshteyn/dp/0122947576.

83. Prudnikov, A. P. Integrals and Series: Volume 1: Elementary Functions; Volume 2: Special Functions / A. P. Prudnikov. — CRC Press, 01.1986. — URL: https: //www.amazon.com/Integrals-Elementary-Functions-Special/dp/2881240976.

84. Mogilyuk, T. I. Magnetic oscillations of in-plane conductivity in quasi-two-dimensional metals / T. I. Mogilyuk, P. D. Grigoriev // Phys. Rev. B. — 2018. — Июль. — Т. 98, № 4. — С. 045118.

85. Grigoriev, P. D. Magnetic oscillations measure interlayer coupling in cuprate superconductors / P. D. Grigoriev, T. Ziman // Phys. Rev. B. - 2017. - Окт. -Т. 96, №16. -С. 165110.

86. Grigoriev, P. D. Slow quantum oscillations without fine-grained Fermi surface reconstruction in cuprate superconductors / P. D. Grigoriev, T. Ziman // JETP Lett. - 2017. - Сент. - Т. 106, № 6. - С. 371-377.

87. Quantum oscillations and the Fermi surface in an underdoped high-Tc superconductor / N. Doiron-Leyraud [и др.] // Nature. - 2007. - Май. -Т. 447, № 7144. - С. 565-568.

88. A multi-component Fermi surface in the vortex state of an underdoped high-Tc superconductor / S. E. Sebastian [и др.] // Nature. - 2008. - Июль. - Т. 454, № 7201.-С. 200-203.

89. Multiple Quantum Oscillations in the de Haas-van Alphen Spectra of the Underdoped High-Temperature Superconductor YBa2Cu3O65 / A. Audouard [и др.] // Phys. Rev. Lett. - 2009. - Окт. - Т. 103, № 15. - С. 157003.

90. Magnetic Quantum Oscillations in YBa2Cu3O661 and YBa2Cu3O66g in Fields of Up to 85 T: PaTching the Hole in the Roof of the Superconducting Dome / J. Singleton [и др.] // Phys. Rev. Lett. - 2010. - Февр. - Т. 104, № 8. -С. 086403.

91. Metal-insulator quantum critical point beneath the high Tc superconducting dome / S. E. Sebastian [и др.] // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. - 2010. -Апр. - Т. 107, № 14. - С. 6175-6179.

92. Compensated electron and hole pockets in an underdoped high-Tc superconductor / S. E. Sebastian [и др.] // Phys. Rev. B. - 2010. - Июнь. -Т. 81, №21.-С. 214524.

93. Quantum Oscillations from Nodal Bilayer Magnetic Breakdown in the Underdoped High Temperature Superconductor YBa2Cu3O6+x / S. E. Sebastian [и др.] // Phys. Rev. Lett. - 2012. - Май. - Т. 108, № 19. - С. 196403.

94. Normal-state nodal electronic structure in underdoped high-Tc copper oxides / S. E. Sebastian [и др.] // Nature. - 2014. - Июль. - Т. 511, № 7507. -С. 61-64.

95. Evidence for a small hole pocket in the Fermi surface of underdoped YBa2Cu3Oy / N. Doiron-Leyraud [и др.] // Nat. Commun. — 2015. — Янв. — Т. 6. — С. 6034.

96. Ando, T. Theory of Quantum Transport in a Two-Dimensional Electron System under Magnetic Fields. IV. Oscillatory Conductivity / T. Ando // J. Phys. Soc. Jpn. — 1974. — Нояб. — Т. 37, № 5. — С. 1233—1237.

97. Ando, T. Electronic properties of two-dimensional systems / T. Ando, A. B. Fowler, F. Stern // Rev. Mod. Phys. — 1982. — Апр. — Т. 54, № 2. — С. 437—672.

98. Pitaevskii, L. P. Physical Kinetics, Volume 10 / L. P. Pitaevskii, E. M. Lifshitz, J. B. Sykes. — Pergamon, 01.1981. — URL: https://www.elsevier.com/books/ physical-kinetics/pitaevskii/978-0-08-026480-6.

99. Лифшиц, Е. М. Физическая Кинетика, Том 10 / Е. М. Лифшиц, Л. П. Пита-евский. — Физматлит, 2002.

Приложение А

Общие формулы для проводимости в двуслоевой модели в магнитном поле

А.1 Вывод исходного выражения для межслоевой магнетопроводимости из

формулы Кубо

Межслоевая проводимость $zz, связанная с гамильтонианом (1.7), может быть рассчитана при помощи формулы Кубо и методики, развитой для переходов металл-изолятор-металл [58] (см. параграф 9.3 на стр. 788)1. По аналогии с формулой (44) из работы [32] межслоевая проводимость выражается равна

а,, = Ц^Ц d2rd2r'J Aap(r, r', j, e)Asp(r', r, j + 1, e) [- fF(e)]^ , (А.1)

где спектральная функция электрона

Asp(r, r', j, e) = i [GÄ(r, r', j, e) - GR(r, r', j, e)] , (А.2)

а опережающая (запаздывающая) функция Грина электрона GA(R)(r, r', j, e) включает взаимодействие с примесями. Произведение двух спектральных функций в формуле (А.1) переписывается как

Asp(r, r', j, e)Asp(r', r, j + 1, e) = GA(r, r', j, e)GR(r', r, j + 1, e) +Gr(r, r', j, e)GA(r', r, j + 1, e) - GR(r, r', j, e)GR(r', r, j + 1, e)

-GA(r, r', j, e)GA(r', r, j + 1, e). (А.3)

Так как по определению GR(r, r', j, e) = GA*(r, r', j, e), то верны следующие равенства:

GA(r, r', j, e)GA(r', r, j + 1, e) = GR*(r, r', j, e)GR*(r', r, j + 1, e)

= (GR(r, r', j, e)GR(r', r, j + 1, e))*, (А.4)

откуда следует соотношение

GR(r, r', j, e)GR(r', r, j + 1, e) + GA(r, r', j, e)GA(r', r, j + 1, e)

= 2Re [GR(r, r', j, e)GR(r', r, j + 1, e)] . (А.5)

1Данный подраздел написан на основе подраздела III из работы [38].

Воспользовавшись равенством (А.5), преобразуем (А.3) в виде

П = Азр(г, г', ], е)Айр(г', г, 2 + 1, е) = Ол{т, г', 2, е)СЕ(г', г, 2 + 1, е) +СЕ(г, г', 2, е)СЛ(г', г, ; + 1, е) - 2Яе [СЕ(г, г', 2, е)СЕ(г', г, ; + 1, е)] .

(А.6)

Вдобавок к слагаемым с произведением функций Грина СЛСЕ, выражение для проводимости содержит слагаемое —КеСЕСЕ, играющее важную роль, если рассматриваются МКО [11; 36]. Формула (46) и последующие формулы из работы [32], где подобное слагаемое опущено, могут быть применены, лишь если пре-небрегается МКО. В сильном магнитном поле, особенно в слоистых металлах, МКО очень сильны.

Угловые скобки в формуле (А.1) означают усреднение по положению примесей. Так как распределение примесей на каждом слое независимо от распределения на других слоях, то можно провести усреднение для каждой

спектральной функции отдельно.

6 ^ ( [ ^

% } } 2п

(А.7)

Усреднённые по положению примесей функции Грина трансляционно инвариантны: (СЕ(г, г', 2, е)) = (СЕ(г — г', 2, е)).

Если магнитное поле наклонено под углом 6 по отношению к нормали к проводящим слоям, В = (Вх, 0, Вг) = (В Бт(6), 0, В еов(6)), то в калибровке Ландау вектор-потенциал равен А(г) = (0, хВг — хВх, 0), где В и А связано соотношением В = Ух A. Вектор-потенциалы в соседних слоях с номерам 2 и 2 + 1 не равны друг другу, а отличаются через калибровочное преобразование А^+\(х, у) = Aj(х, у) + У Л с УЛ = (0, — В<1 вт(6), 0). Вследствие этого волновые функции на двух ближайших слоях приобретают сдвиг фаз:

Ф(г, 2 + 1) = Ф(г, з) ех^^^! , (А.8)

^ = ¿2г¿4 I — (Азр(г, г', з, е)> (Азр(г', г, 2 + 1, е)> [—ГР(е)].

а функции Грина на двух ближайших слоях отличаются так (см. формулу (49) из работы [32]):

СЕ(г, г', 2 + 1, е) = СЕ(г, г', 2, е) ехр , (А.9)

где

Л (г) = —уВх(1 = —уВ(1 вт(6).

Подставляя формулу (А.9) в формулу (А.6), находим

и

П = 2 СА(г, г', з, е)Ск(г', г, е) сое |

е [Л (г) - Л (г')]

сЬ

-2Яе

' пк( ' • ' • ч М е[Л(г) - Л (г')] (г, г , ], е)Сл(г , г, ], е) ехр <--—-

(А.10)

а ** =

2 еН 1<1 [ 2 Г &е

Ь] 2П [-Л(е)^ К^(г, е)) |2 сов^

12 ( е Вуй . Л

1 ~ 81П(0) 1

сЬ

-Яе

СЕ(г, е))2 ехр(^^ 81п(е)

(А.11)

Последнее слагаемое в формуле (А.11) отсутствует в формуле (50) из работы [32].

А.2 Внутрислоевая электронная функция Грина при наличии примесного

потенциала

Рассмотрим невзаимодействующий двумерный электронный газ в потенциале случайно распределённых точечных примесей2. Особенность двумерного электронного газа в сильном магнитном поле в том, что борновского приближения недостаточно для описания поведения системы. Физически это означает, что электрон рассеивается много раз на одной примеси, так как в магнитном поле электроны периодически возвращается к одной и той же точке после прохождения вдоль циклотронной орбиты. В трёхмерном случае диаграмма на рисунке А.1 с пересечениями примесных линий мала по параметру щ/пе, где щ и пе — это объёмные концентрации примесей и электронов. В двумерном случае в магнитном поле нет общего доказательства, что диаграммы с пересечениями примесных линий малы. Однако же расчёты плотности состояний в работах [46; 47; 50] показывают, что такие диаграммы приводят к малым хвостам в плотности состояний. Значит, в последующем анализе мы сохраним лишь диаграммы без пересечения примесных линий.

Теперь мы докажем методом математической индукции, что если пренебречь пересечением примесных линий, то функция Грина, усреднённая по

2Этот подраздел написан на основе приложения из работы [38].

/ Л \ / / \ \

Рисунок А.1 — Первая диаграмма электронной собственно-энергетической функции электрона с пересечением примесных линий.

Xх ^

^ I / \ /1 \

Е =1+/ \ + / I \ + ..

Рисунок А.2 — Уравнение Дайсона для неприводимой собственно-энергетической функции в приближении непересекающихся примесных линий. Двойная сплошная линия Грина обозначает точную

электронную функцию.

положению примесей, имеет вид уравнения с (1.13)

СЕ(п, г2, е) = £ Ф; ^(г2)Фп, ^(п)СЕ (е, п), (А.12)

п, ку

где

G (е,п) = —---, (А.13)

t — €п — (t)

двумерная волновая функция электрона

Фп, ку (r) = Фп(х - l2Hky) exp(fкуу), (А.14)

дисперсия свободного электрона в магнитном поле еп = Тгшс(п + 1/2),

, ч exp (-х2/(2Н))Нп (х/ 1Н)

Фп (х) = —-1\.НН,) пЛ ' Н , (А.15)

П ( ) (ПН)1/4 2п/2^П! '

Собственно-энергетическая функция £п (е) для уровня Ландау с номером п, относящаяся к набору диаграмм на рисунке А.1, должна быть определена самосогласованно. В приближении непересекающихся примесных линий при изолированных друг от друга уровнях Ландау (noncrossing approximation) собственно-энергетическая часть равна

Sn (е) * Е - ^ Т -Е>, (А.16)

где Е = £ — еп — пги, Ед = и/(2п(12н), и характеризует потенциал точечной примеси и63(г — гг), ( — межслоевое расстояние, 1н = у7^с/(е|Дг|) — магнитная длина, границы колокола распределения плотности электронных состояний:

Е1 = Ед (^ — 1)2 , Е2 = Ед (^ + 1)2 , (А.17)

а сг = 2П^пг, пг — концентрация точечных примесей. Ограничение, задаваемое формулой (А.12) нетривиально, так как С (£, п) не зависит от ку.

В отсутствие примесей, т. е. в нулевом порядке математической индукции, формула (А.12) выполняется по определению. Предположим, что формула верна для произвольного числа примесей N в электронной функции Грина Сн(г1, г2, £). После добавления ещё одного примесного центра функция Грина Сн+1(г1, г2, £) даётся выражением

См+1(Т1, Г2, £, кг) = J (2ГаСя(Г1, Га, £, кг)См(га, Г2, £, кг)Ъ (£, га), (А.18)

где 2 (£) относится на набору диаграмм на рисунке А.2 с двойной линией, обозначающей функцию Сн(га, га, £). Интегрируя по ку в формуле (А.12), находим

СН(га га, £, кг) = ^ £-—^-7£Г.

^ £ — 6п — Ън, п (£)

п

Поэтому Ъ (£, га) = Ъ (£). Подставляя формулу (А.12) в формулу (А.18) и интегрируя по га, находим

С ( ) ,ку (г2)Фп,ку (г1) +

СN+1(г1, г2, £) = -—*-Ъ-Т£Т- +

£ — Сп — Ън, п (£)

П, К*,

+с /- £га Е *и(га)Ъ.„(г) Е ^^ Ъ (£) + ..

п,Х £ — ^ — ЪН,п (£) ^ £ — еп — ЪМ,п> (£)

Фп, ку ЫФп, ку (г1) / С,Ъ(£) У' = у^ Фп, ку (г2)Фп, ку (г1)

^ £ — 6п — ЪМ,п (£) ^ \ £ — <^п — ЪМ,п (£) / ^ £ — ^ — Ън+1, п (£) ,

п, ку 2—и п, ку

(А.19)

где

Ън+1, п (£) = Ън, п (£) + СгЪ (£) .

Формула (А.19) имеет вид формул (А.12) и (А.13), что подтверждает наше утверждение.

А.3 Вывод формулы для классической части проводимости

Подставляя формулу (1.13) в первую строчку формулы (1.17), можно найти

С1 = J (1хХ(1х2(1у1(1у2 е08(д(у2 — ш)) ^ Ф* к'у (г1)Фп,к> (г2)

п, р, ку, к'у

хФ1+Р,ку(г2)Фп+Р,ку(г\)СЕ(е, п)СЕ *(е, п + р), (А.20)

где волновые функции задаются формулами (1.15) и (1.16) или (А.14) и (А.15). Интегрирование по ух, у2 в (А.20) (площадь проводящих плоскостей считается равной единице) приводит к формуле

С1 = 4гс2Яе У ¿Х1^Х2 ^ Ф; (хх — 12нк'у )Фп(х2 — 12нк'у )Фп+р (хх — 12нку)

P, П, ку , к'у

хФ*п+р(х2 — 12нку)СЕ(е, п)СЕ *(е, п + р)6(ку + д — к'у). (А.21) Суммирование по кк сокращает 6-функцию. Затем используется тождество:

+то 2 2 2пл/Лп!№

Зхе—с х Нп(а + сх)Нп+р(Ь + сх) = —-'—Ьрп(—2аЬ), 0 < р. (А.22)

J —то С

Используя формулы (А.15) и (А.22), можно найти:

г+то

= ехр

¿хФп(х — 12н (ку + я))Ф„+р (х — 12нку) (А.23)

(Фн)2\ (д1н\Р тр ((д1н/ п!

4 ) Л 2 )У(п + р)1

Интегрирование по хх, х2 в формуле (А.21) совершается с использованием формулы (А.23). Далее, суммирование по ку даёт вырождение УЛ дц = 1/(2п12н) = е|В^|/(2п%с), приводя к формулам (1.17), (1.18).

А.4 Вывод формулы для квантовой части проводимости

Подстановка формулы (1.13) в первую строчку формулы (1.19) даёт величину

Х Фп+Р, ку (г2)Ф п+р, ку (г1)СД(£, П)СД(£, П +Р),

которая после подстановки формулы (1.15) и интегрирования по у1, у2 принимает вид

< = 4п2Ке J (Х1(Х2 ^ Фп (х1 — 1нк'у )Фп(х2 — 12нк'у)

т^ p, ку, к'у

хФ1+р(х2 — 12нку)Фп+р(х1 — 12нку)СЕ(£, п)СЕ(£, п + р)Ь(ку + д — к'у).

Интегрирование по х1, х2 сходно с интегрированием в формуле (А.21) и нетрудно выполняется с использованием формулы (А.23). Суммирование по ку даёт вырождение УЛ. Интегрируя, находим формулу (1.19).

А.5 Электронная функция Грина и собственно-энергетическая функция в самосогласованном борновском приближении

Выражение (1.14) для электронной функции Грина содержит собственно-энергетическую функцию Ъй (£), которая при низких температурах главным образом возникает из-за рассеяния на примесном потенциале

У (г) = ^иб3 (г — г,). (А.24)

Примеси считаются короткодействующими (точечными), случайно разбросанными с объёмной концентрацией пг. Рассеяние на этом примесном потенциале не зависимо от спина. В приближении непересекающихся примесных линий электронная собственно-энергетическая функция удовлетворяет следующему уравнению [34]:

ЪЯ = Т—и&оо, (А.25)

а усреднённая функция Грина в совпадающих точках имеет вид [36; 45]

Ск (е)= ^ Ск (е,п) = ^ (£, п) (А.26)

п, ку, kz п=0

d

d - йшс(п + 1/2) - £R(e)

е - SR(e)

9LL V _1__(А27)

Z^ е_ йж (п + 1 /2) — Y!R(р) V^-^-V

пИLL t

fiWrd

п-

(А.28)

Суммирование по ky в формуле (А.26) даёт вырождение уровней Ландау gLL = e|Bz|/(2пЙс), а суммирование по kz даёт 1/d. Строго говоря, в формулах (А.26) суммирование п должно быть оборвано на nmax ~ W/(?iwc), где W ~ ц — ширина зоны, так как выражение логарифмически расходится. Похожим образом в формуле (А.27) мы протянули суммирование по п от -то, поскольку прене-брегаемая добавка П=-оо GR (е, п) ~ ln(W/^)/(йшс) = const не влияет на наблюдаемые величины. В ССБП, используемом ниже, отброшенная добавка эквивалентна постоянному сдвигу химического потенциала.

Для удобства используем нормированную функцию Грина

, G (е) . (А.29)

п L L

Для получения монотонного роста продольной межслоевой проводимости [38; 39; 41] и других качественных физических эффектов [57] достаточно ССБП, которое вместо формулы (А.25) даёт

SR(e) - пги = mU2GR (е) = Го# (е). (А.30)

Здесь использовано, что уширение уровней Ландау в нулевом магнитном поле равно Г0 = miiU2pF = nnU2gLL/(d%wc) = й/(2т0), где рР = m*/(2nfi2d) — трёхмерная плотность электронных состояний на уровне Ферми в отсутствие магнитного поля на одну компоненту спина. Ниже мы также пренебрегли постоянным сдвигом энергии nU в формуле (А.30), не влияющим на физические величины вроде проводимости.

Формулы (А.28—А.30) дают выражения для функции Грина д = д (е):

т sinh (yolmg) у

Tmg = ——-—г--- = —, (А.31)

cosh (y0Tmg) + cos (a) y0

Reff = ,, ~TSin <a) , ,, (А.32)

cosh (y0Tmg) + cos (a)

и уравнения для собственно-энергетической функции £R(е):

у sinh (у)

у0 cosh (y) + cos (a)'

(А.33)

a - = w ^' (А.34)

лшс cosh (y) + cos (a)

где использованы обозначения, введённые после формулы (1.71): y = 2п | Im£R(e) \/(Пшс), y0 = 2пГ0/(^шс) и a = 2пе*/(Пшс) = 2rc(e-Re£R(e))/(fta Решение уравнения (А.33) предоставляет Im£R(a), покуда уравнение (А.34) позволяет найти a (е) и Re£R(е). Система уравнений (А.33) и (А.34) различается от уравнения (30) из работы [36] даже в отсутствие электронного резервуара (при R = 0), так как уравнение (30) из работы [36] не учитывает осциллирующую действительную часть собственно-энергетической функции электрона, приводящей к другой зависимости Z(BZ) [41].

Формула (А.33) позволяет найти значение y0 с, при котором уровни Ландау становятся изолированными в ССБП, т. е. когда плотность состояний и ImSR (е) между уровнями Ландау зануляется. В середине между двумя ближайшими уровнями Ландау cos (a) = 1, а уравнение (А.33) для y тiп для минимума проводимости становится:

Y тiп sinh (y тiп) , , /У

= tanh

(Y^) . (А.35)

Y0 cosh (у тгп) + 1 ^2

Уравнение имеет тривиальное решение у = 0. Тем не менее при у0 > Y0c = 2, что эквивалентно пГ0 > %шс, формула (А.35) также имеет ненулевое решение. Ненулевое решение означает конечную плотность состояний для энергий между уровней Ландау, т. е. при пГ0 < %шс в ССБП уровни Ландау изолированны, что влияет на физические наблюдаемые, например, влечёт за собой монотонный рост vzz(Bz) [45].

Строго в середине одного из уровней Ландау cos (a) = -1, а формула (А.33) для утах в максимуме проводимости

у тах sinh (у тах) coth ^Y тах

Y0 cosh (утах) - 1 ^ 2

Уравнение (А.36) всегда обладает ненулевым решением.

(Утах) . (А.36)

А.6 Вывод упрощённого выражения для межслоевой магнетопроводимости

Начнём с выражения (1.72) для межслоевой магнетопроводимости, выведенного в параграфе 1.7:

Г

00

Г(е)

У^ Зр'^р(к),

(А.37)

р=-ж

где

Зо = £

(2/п)Пшс Г3

8шЬ(у)

[(е* - (п + 1 ))2 + Г2

ео8(а) + еовЬ(у)

-у

1 + еов(а) еовЬ(у)

(еов(а) + еовЬ(у))2'

(А.38)

а для р _ 0

Яр = У",

(2/п) ПшсГ3

^ [(е*- Пшс(п + 1/2))2 + Г2 (е*- Пшс (п + р+1/2))2 + Г2

в1пЬ(у)

(А.39)

(еов(а) + еовЬ(у)) [1 + (рп/у)2]' Во втором томе книги [83] можно найти в пункте 5.7.13 следующую формулу (9):

Е

к=1

]2(х) .]2(х) п]а{х)]-а{х)

к2 — а2 2а2 2авт(па)

(А.40)

Замена а ^ га в (А.40) приводит к формуле

Е

к=!

ш _

к2 + а2 2а2 2а в1пЬ(па)

]^(х) + п.]а,г (х)]-т (¿)

(А.41)

Применяя соотношение ]аг(х) _ ]*а1 (х) и (А.41), преобразуем выражение (А.37), просуммировав по р, и получаем искомое:

0

_ ТО - Т ' , \ - ]о (к)т——йТ\\9 . (А.42)

о^ \еов(а) + еовЬ(у) 0У у (еов(а) + еовЦу))2/

Рассмотрим выражение для усреднённой по периоду МОК межслоевой проводимости (1.34), соответствующей лоренцевой форме УЛ:

0

Г

о

00

Е

(к)

Г^ 1 + (р%Шс/(2Г))2'

(А.43)

2

п

1

п

Путём применения (А.41) выражение для (А.43) для суммирования по р преобразуем в выражение

I 12 | 12

°гг = 2пГ0 1 J2 гГ/(^ше)(к)| = У0 []уг/п(к)| (А 44)

00гг = Тшс 8тЬ(2гсГ/(Тшс )) = втЬ(у) ' ( )

Отпечатано с оригинал-макетов Заказчика в типографии «Переплетофф» Адрес: г. Долгопрудный, ул. Циолковского, 4. Тел: [phone]. www.perepletoff.ru Формат 210 х 297 мм. Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 11 экз.

Твёрдый переплёт. Заказ №_25.11.20 г.